2020年全国高中数学联赛A卷一试真题+答案

2020年全国高中数学联赛A 卷

一试

一、填空题

1. 在等比数列{}n a 中，139=a ，113=a ，则13log 1a 的值为__________.

2. 在椭圆Γ中，A 为长轴的一个端点，B 为短轴的一个端点，21,F F 为两个焦点. 若02121=⋅+⋅BF BF AF AF ，则

21F F AB 的值为__________. 3. 设0>a ，函数()x

x x f 100+=在区间(]a ,0上的最小值为1m ，在区间[)+∞,a 上的最小值为2m .若202021=m m ，则a 的值为__________.

4. 设z 为复数，若

i

z z --2为实数（i 为虚数单位），则3+z 的最小值为 . 5. 在ABC ∆中，6=AB ，4=BC ，边AC 上的中线长为10，则2cos 2sin 66A A +的值为________. 6. 正三棱锥ABC P -的所有棱长均为1，N M L ,,分别为棱PC PB PA ,,的中点，则该正三棱锥的外接球

被平面LMN 所截的截面面积为__________.

7. 设0,>b a ，满足：关于x 的方程b a x x =++恰有三个不同的实数解321,,x x x ，且b x x x =<<321，则b a +的值为__________.

8. 现有10张卡片，每张卡片上写有1，2，3，4，5中两个不同的数，且任意两张卡片上的数不完全相同.

将这10张卡片放入标号为1，2，3，4，5的五个盒子中，规定写有j i ,的卡片只能放在i 号或j 号盒子中.一种放法称为“好的”，如果1号盒子中的卡片数多于其他每个盒子中的卡片数，则“好的”放法共有__________种.

二、解答题

9. 在ABC ∆中，2

2sin =

A .求C

B cos 2cos +的取值范围.

10. 对正整数n 及实数x （n x <≤0），定义(){}()[]{}[]11,+⋅+⋅-=x n x n C x C x x n f ，其中[]x 表示不超过实

数x 的最大整数，{}[]x x x -=.若整数2,≥n m 满足1231,2,1,=⎪⎭⎫ ⎝

⎛-++⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛

n mn m f n m f n m f ，求⎪⎭

⎫ ⎝⎛-++⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛m mn n f m n f m n f 1,2,1,

的值.

11. 在平面直角坐标系中，点C B A ,,在双曲线1=xy 上，满足ABC ∆为等腰直角三角形.求ABC ∆的面积的最小值.