现代控制理论 3-1 可控可观的概念 3-2 线性系统的可控性

⎢
y ⎣
2
0
−2
0⎥⎦
⎢ ⎣
2
⎥ ⎦
⎡ 0 −1 0 3 ⎤
tc [ ] rank b
Ab
A2b
A3b
= ⎢⎢−1 ⎢0
0 2
3 0
0
⎥ ⎥
−6⎥
=
2
⎢ ⎣
2
0 −6
0
⎥ ⎦
11
PBH 秩判据 Popov-Belevitch-Hautus Tests
系统 x&(t) = Ax(t)+ Bu(t) 完全可控 ⇔
A 的两重特征值有两个独立的特征向量
tcy [ ] 秩判据 rank B AB A2B L An-1B = dim(A)= n
⎡ ⎢
e ⎣
x&1 x&2
⎤ ⎥ ⎦
=
⎡4 ⎢⎣0
0⎤ − 5⎥⎦
⎡ ⎢ ⎣
x1 x2
⎤ ⎥ ⎦
+
⎡1⎤ ⎢⎣2⎥⎦u
y = [0
−
6]⎢⎡
⎣
x1 x2
⎤ ⎥ ⎦
ax&1 = 4x1 + u cx&2 = −5x2 + 2u y y = −6x2
u 可以控制 x1、x2 ， 系统完全可控！
y 无法反映 x1， 系统不完全可观！
e Popov-Belevitch-Hautus Eigenvector Tests a A 不能有与B 所有的列正交的非零左特征向量 c tcy αTA = λαT, αTB = 0 ⇒ α ≡ 0
13
cae 特殊形式判据 (1) A 为对角阵 (2) A 为约当阵
x& = Λx + Bu
tcy x& = Jx+Bu 返回
e A的特征值 arank[λiI − A B] = dim(A) = n i = 1,2,L, n 返回 c tcy 或者 rank[sI− A B]= dim(A)= n
例：判别下列系统的可控性。
⎡0 1 0 0⎤ ⎡ 0 1⎤
ex&
=
⎢⎢0 ⎢0
0 0
−1 0
10⎥⎥⎥x +
⎢ ⎢ ⎢
1 0
10⎥⎥⎥u
cA
=
⎢⎢−1 ⎢0
0 0
1 0
10⎥⎥⎥,
B
=
⎢⎢1 ⎢0
0⎥⎥ 0⎥
系统可控！
⎢
y ⎣
2
0 −2 0⎥⎦
⎢⎣0 2⎥⎦
⎡0 0 1 0⎤
tc [ ] rank B
AB
A2B
A3B
= ⎢⎢1 ⎢0
0 0
0 0
0⎥⎥ 2⎥
=
4
⎢⎣0 2 0 0⎥⎦
10
例：m1=1，m2 =0.5， k =1，分析可控性。
b
=
⎢⎢−1⎥⎥ ⎢0⎥
⎢ ⎣
2
0
−2
0⎥⎦
⎢ ⎣
2
⎥ ⎦
比较
例：m1=1，m2 =0.5， k =1，分析可控性。
前页
x1(t ), x&1(t)
x2 (t), x&2 (t)
f (t)
e m1
m2
k
a⎡ 0 1 0 0⎤ ⎡ 0 ⎤
系统不可控！
cA
=
⎢⎢−1 ⎢0
0 0
1 0
10⎥⎥⎥,
b
=
⎢⎢−1⎥⎥ ⎢0⎥
x(t1) = 0
t
t0
t1
tc x1
x0 ⇒ x(t1 ) = 0
所有非零状态
e所有时刻
x0 在 t0 时刻可控 系统在 t0 时刻完全可控 系统一致可控
ax2
cx(t0 )
x(t1 )
x(t2 )
线性定常 系统的可 控性与 t0 无关
y t0
t1
tc x1
t2
t
6
¾规定了状态的起点和终点,未限制状态转移的轨迹。
⎥ ⎥
−1⎥⎦
⎡u1 ⎢⎣u2
⎤ ⎥ ⎦
a 解: 秩判据
c ⎡2 1 3 2 5 4⎤
[ ] S = B
AB
A2B
=
⎢ ⎢
1
1
2
2
4
4
⎥ ⎥
y ⎢⎣−1 −1 − 2 − 2 − 4 − 4⎥⎦
rank S = 2 < dim A = 3
tc 系统不可控！
MMAATTLLAABB相相关关函函数数
e∫ ¾容许控制 u(t) ⇒
( ) t
2
t0 ui t dt < ∞
t,
t0
∈
T t
a x2
cx(t0)= x0 y t0
tc x1
x(t1) = 0
t1
t
¾ x(t0 ) ≠ 0 ⇒ x(t1 ) = 0 状态可控
返回
¾ x(t0 ) = 0 ⇒ x(t1) ≠ 0 状态可达
ex2
ax(t0)≠ 0
返回
一、线性连续系统的可控性定义
返回
x&(t) = A(t)x(t)+ B(t)u(t), t ∈Tt
状状态态可可控控
e 给定初始时刻 t0 和一个非零初始状态 x(t0 ) = x0 a 如果存在有限时刻 t1 > t0和一个容许控制u(t), t ∈[t0, t1] c使状态由x0 转移到 x(t1) = 0 ,则称x0在 t0 时刻是可控的。
现代控制理论提纲
e 线性连续系统
线性离散系统
a可控性 c可观性 tcy 稳定性
建立
建建模模
状态空间 表达式
求解
转换
分分析析
状态反馈
设设计计 状态观测器
最优控制
返回
第三章 线性系统的可控性与可观性
e §1 可控、可观测性的概念 ca §2 线性系统的可控性
§3 线性系统的可观测性
tcy §4 线性系统的可控与可观测标准型 前页
返回
x1(t ), x&1(t)
e f1(t) m1
k
x2 (t), x&2 (t)
m2
f2 (t)
⎡ x1 ⎤ ⎡ x1 ⎤
选取
x
=
⎢ ⎢
x2
⎥ ⎥
=
⎢ ⎢
x&1
⎥ ⎥
⎢ ⎢
x3
⎥ ⎥
⎣x4 ⎦
⎢ ⎢ ⎣
x2 x&2
⎥ ⎥ ⎦
ca ⎩⎨⎧mm21&x&x&&12
= =
f1 + k(x2 − x1 ) f2 − k(x2 − x1 )
u
=
⎡u1 ⎢⎣u2
⎤ ⎥ ⎦
=
⎡ ⎢ ⎣
f1 f2
⎤ ⎥ ⎦
y
=
⎡ ⎢ ⎣
y1 y2
⎤ ⎥ ⎦
=
⎡ x1
⎢ ⎣
x3
⎤ ⎥ ⎦
⎧x&1 = x2
⎪
y ⎪⎪
x&2
⎨
tc ⎪
x&3
= =
−k m1
x4
x1
+
k m1
x3
+
1 m1
u1
⎪ ⎪⎩
x&4
=
k m2
x1
−
k m2
x3
+
1 m2
u2
⎡ 0 1 0 0⎤ ⎡0 0⎤
− x1
)
⎧x&1 = x2
⎪
y ⎪⎪x&2
⎨ ⎪
x&3
= =
−k m1
x4
x1
+
k m1
x3
−
1 m1
u
tc ⎪
⎪⎩
x&4
=
k m2
x1
−
k m2
x3
+
1 m2
u
u= f
y
=
⎡ ⎢ ⎣
y1 y2
⎤ ⎥ ⎦
=
⎡ x1
⎢ ⎣
x3
⎤ ⎥ ⎦
⎡ 0 1 0 0⎤ ⎡ 0 ⎤
A
=
⎢⎢−1 ⎢0
0 0
1 0
10⎥⎥⎥,
前页
e 求系统的
可控性矩阵
a及其秩
⎡ x&1 ⎤ ⎡1
⎢ ⎢
x&2
⎥ ⎥
=
⎢⎢0
⎢⎣x&3 ⎥⎦ ⎢⎣0
3 2 1
2⎤⎡ x1 ⎤ ⎡ 2
0⎥⎥
⎢ ⎢
x2
⎥ ⎥
+
⎢ ⎢
1
3⎥⎦⎢⎣x3 ⎥⎦ ⎢⎣−1
1⎤
1
⎥ ⎥
−1⎥⎦
⎡u1 ⎢⎣u2
⎤ ⎥ ⎦
cA = [ 1 3 2; 0 2 0; 0 1 3 ];
⎢⎣0 0 5 0⎥⎦ ⎢⎣− 2 0⎥⎦
a 解: PBH 秩判据 n = dim(A) = 4
前页
cA的特征值 λ1 = λ2 = 0, λ3 = 5, λ4 = − 5
⎡0 −1 0 0 0 1⎤
y rank[0I − A
B]
=
rank
⎢⎢0 ⎢0
0 0
1 0
0 1 0⎥⎥ = 4
−1 0 1⎥
tc 系统可控、不可观测！
3
例：已知桥式电路
L iL
选取 x1 = iL , x2 = uC
eR C R
y = x2 = uC
au
R
uC R
若 x2 (t0 ) = uC (t0 ) = 0
c 则 x2(t) ≡ 0, t ≥ t0
u 只能控制 x1，不能控制 x2 x2 不可控！
y y = x2 ≡ 0 不能由 y 反映 x1的变化 x1 不可观测！ tc 系统不可控、不可观测！
(1) A 为对角阵
e ⎡λ1 0 L 0 ⎤
a Λ
=
⎢ ⎢ ⎢
0 M
λ2 M
L M
0
⎥ ⎥
M⎥
⎢
c⎣
0
0
L
λn
⎥ ⎦
x& = Λx + Bu
tcy ¾¾BB矩矩阵阵的的行行不不全全为为零零
14
x&
=
⎡λ1 ⎢
⎣
⎤ ⎡0⎤
λ2
⎥ ⎦
x
+
⎢⎣b2
⎥u ⎦
x&1 = λ1x1 x&2 = λ2 x2 + b2u
2
1960年，美籍匈牙利人 R.E.Kalman 发表 “On the General Theory of Control Systems”等 论文，引入状态空间法分析系统，提出可控性、
e 可观测性、最佳调节器和 kalman 滤波等概念， ca tcy 奠定了现代控制理论的基础。
例：已知系统的动态方程：
B = [ 2 1; 1 1; -1 -1];
y Co = ctrb (A, B) tc Controllability = rank(Co)
Co = 213254 112244 -1 -1 -2 -2 -4 -4
Controllability =
2
9
例：m1=1，m2 =0.5， k =1，分析可控性。
0 0
系统可控！
⎢⎣ 0
−5 0 0
1 −5 −5
0 −1 −5
1 0 −2
0⎥⎥ 1⎥
=
4
⎥
0⎥⎦
⎡s −1 0 0 0 1⎤
y 或者 rank[sI − A B]= rank⎢⎢0 s ⎢0 0
1 s
0 −1
1 0
0⎥⎥ 1⎥
=4
tc 系统可控！
⎢⎣0 0 − 5 s − 2 0⎥⎦
PBH 特征向量判据
tcy [ ] 单输入： rank b Ab A2b L An-1b = dim(A) = n
8
例：判别下列系统的可控性。
返回
⎡ x&1 ⎤ ⎡1
⎢
e ⎢
x&2
⎥ ⎥
=
⎢⎢0
⎢⎣x&3 ⎥⎦ ⎢⎣0
3 2 1
2⎤⎡ x1 ⎤ ⎡ 2
0⎥⎥⎢⎢
x2
⎥ ⎥
+
⎢ ⎢
1
3⎥⎦⎢⎣x3 ⎥⎦ ⎢⎣−1
1⎤
1
tc ⎢⎣0 0 −5 0 −2 0⎥⎦
12
⎡ 5 −1 0 0 0 1⎤
⎢
[ ] rank
5I − A
B
=
rank
⎢ ⎢
⎢
0 0
e⎢⎣ 0
5 0 0
1 5 −5
0 −1
5
1 0 −2
0⎥⎥ 1⎥
=
4
⎥
0⎥⎦
⎡− 5 −1 0 0 0 1⎤
a [ ] ⎢
crank −
5I − A
B = rank⎢⎢ ⎢
返回
e y = [c1 c2]x
y = c1x1 + c2 x2
ca u与 x1无任何联系
x&1 ∫ x1 c1
系统不可控！
λ1
y
y u
b2
x&2 ∫ x2 c2
tc λ2
注 意 对角阵含有相同元素时，要求更高！
e ⎡λ1
⎤
⎢
a⎢
λ1
⎥ ⎥
c⎢⎣
λ2 ⎥⎦
¾¾BB矩矩阵阵的的行行线线性性无无关关
返回
1
第三章 线性系统的可控性与可观性
e §1 可控、可观测性的概念 ca §2 线性系统的可控性
§3 线性系统的可观测性
tcy §4 线性系统的可控与可观测标准型
u1
u2
来自百度文库e up
M
系统
x1, x2 ,L, xn
y1
M
y2 yq
ca可控 ——系统所有状态变量都可以由 输入来影响和控制？ y 可观 ——系统所有状态变量都可以由 tc 输出完全反映？
第三章 线性系统的可控性与可观性
e §1 可控、可观测性的概念 ca §2 线性系统的可控性
§3 线性系统的可观测性
tcy §4 线性系统的可控与可观测标准型
4
一，线性连续系统的可控性定义
二，线性定常连续系统的可控性判据
返回
ae 三，线性离散系统的可控性定义 c四，线性定常离散系统的可控性判据
y 五，线性连续系统的输出可控性定义 tc 六，线性定常连续系统的输出可控性判据
c x(t0)= 0
t0
y x1
x(t1) ≠ 0
x(t1) = 0 t
t1
tc 线性定常系统：可控性与可达性等价
7
二、线性定常连续系统的可控性判据
ex&(t) = Ax(t)+ Bu(t) 可控对(A, B)
a 格拉姆矩阵判据
c系统 x&(t) = Ax(t)+ Bu(t) 完全可控 ⇔ 存在 t1 > 0
系系统统可可控控
y 如果所有非零状态在 t0 时刻都是可控的,则称系统 tc 在 t0 时刻是完全可控的；如果系统在所有时刻都是可
控的,则称系统一致可控。
5
u(t )
x0 ⇒ x(t1 ) = 0 x0 在 t0 时刻可控
所有非零状态
ae x(t0)= x0
系统在 t0 时刻完全可控 x2
c y 0
A
=
⎢⎢−1 ⎢0
0 0
1 0
10⎥⎥⎥,
B
=
⎢⎢1 ⎢0
0⎥⎥ 0⎥
⎢ ⎣
2
0
−2 0⎥⎦
⎢⎣0 2⎥⎦
返回
例：m1=1，m2 =0.5， k =1，分析可控性。
返回
x1(t ), x&1(t)
x2 (t), x&2 (t)
e f1(t) m1
k
m2
f2 (t)
条件满足即可，
a 不必写出所有列
⎡ 0 1 0 0⎤ ⎡0 0⎤
前页
x1(t ), x&1(t) f (t)
e m1 k
x2 (t), x&2 (t)
m2
⎡ x1 ⎤ ⎡ x1 ⎤
选取
x
=
⎢ ⎢
x2
⎢ ⎢
x3
⎥ ⎥ ⎥ ⎥
⎣x4 ⎦
=
⎢ ⎢
x&1
⎥ ⎥
⎢ ⎢ ⎣
x2 x&2
⎥ ⎥ ⎦
ca ⎩⎨⎧mm21&&xx&&12
= =
k (x2
f−
− x1
k (x2
)− f
tcy ∫ 使格拉姆矩阵
W(0,t1) Δ
t1 e−AtBBT e−ATt dt 非奇异
0
秩判据
x&(t) = Ax(t)+ Bu(t)
条件满足即可，不必写出所有列
ae[ ] 多输入：rank B AB A2B L An-1B = dim(A) = n cn×np阶可控性矩阵
n × n 阶可控性矩阵