幂级数的部分练习题及答案
解析函数的幂级数展开的题及答案
解：可直接求出函数 1 z 在 z 0 的各阶导数值，
f (0) 1 f '(0) (1 z )
1z 0源自z 0f ''(0) ( 1)(1 z ) 2
( 1)
f ( n ) (0) ( 1) ( n 1)(1 z ) n
zn (1) 3 (并讨论在收敛圆周上的敛散性)； n 1 n n ( z 1) (2) (并讨论在 z 0, 2 点处的敛 n n 1
散性).
n 1 1， an lim 解:(1) 因为 lim 所以该级 3 n a n n n 1 数的收敛半径为 R 1 ；在收敛圆周上,幂级数变为: ein n3 , 易知该级数绝对收敛因而也收敛. n 1 2
3
n 1 1， an lim (2) 易得: lim 故该级数 n a n n n 1 的收敛半径为 R 1 . 因 z 0, 2 均位于收敛圆周上， 故需要进一步讨论起敛散性．对于 z 0, 原级数变为
(1) 交错级数 ， （由交错级数的 Lebniz 判别法） n n 1 易知其收敛但不绝对收敛．对于 z 2, 该幂级数变为
z
所以：
ez 1 2 1 1 3 1 2 z 1 1 z 1 1 z , z 1. 1 z 2! 2! 3!
10
例4.7：证明级数 z 在 z r (0 r 1)上一致收敛 .
n n 1
证： z r n，且级数 r n (0 r 1)收敛
例：用唯一性定理证明 2 z cos2 z 1. sin 解： f1 ( z ) sin 2 z cos2 z f 2 ( z) 1 f1 ( z )与f 2 ( z )在全平面上解析，而在 实轴上f1 ( x) f 2 ( x) 故在全平面上 1 ( z ) f 2 ( z ),即 f sin 2 z cos2 z＝ 1
幂级数及泰勒展开习题解答
幂级数及泰勒展开一、求下列幂级数的收敛区间1. 12(21)nn x n n ∞=-∑解：12(21)limlim 12(1)(21)n n n na n n a n n +→∞→∞-==++ 1R ⇒=当1x =时，因 21112(21)2(1)n n n n n n =<-+-， 所以112(21)n n n ∞=-∑收敛， 当1x =-时， 1(1)2(21)nn n n ∞=--∑绝对收敛，⇒ 收敛区间为[1,1]-。
2. 11n n n -∞=解：11lim2n n n na a +→∞== 2R ⇒=当2x =时，1nn ∞=当2x =-时，111n n n n -∞∞===-发散， ⇒ 收敛区间为(2,2]-。
3. 1(1)32n n n n n n x x ∞=⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦∑解：1111(1)32limlim 3(1)32n n n n nn n n nn a a ++++→∞→∞-+==-+ 13R ⇒=， 当13x =±时，通项不趋于零，⇒ 收敛区间为11,33⎛⎫- ⎪⎝⎭。
4. 1(23)(1)21nnn x n ∞=---∑解：121limlim 121n n n n a n a n +→∞→∞-==+ 1R ⇒=故当231x -<，即12x <<时级数绝对收敛。
当1x =时， 11(1)(1)111, 21212-12n n n n n n n n ∞∞==--⎛⎫=> ⎪--⎝⎭∑∑发散，当2x =时， 1(1)21nn n ∞=--∑为收敛的交错级数，⇒ 收敛区间为(1,2]。
5.1ln(1)(1)1n n n x n ∞=+-+∑ 解：1ln(2)(1)limlim 1(2)ln(1)n n n na n n a n n +→∞→∞++==++ 1R ⇒=故当11x -<，即02x <<时级数绝对收敛。
幂函数考试题及答案
幂函数考试题及答案
1. 幂函数的定义是什么？
答案：幂函数是指形如y=x^a的函数，其中a为实数。
2. 幂函数y=x^2的图像有什么特征？
答案：幂函数y=x^2的图像是一个开口向上的抛物线，对称轴为y轴。
3. 幂函数y=x^3的图像有什么特征？
答案：幂函数y=x^3的图像是一个通过原点的曲线，且在第一象限和
第三象限内单调递增。
4. 幂函数y=x^(-1)的图像有什么特征？
答案：幂函数y=x^(-1)的图像是双曲线的一支，位于第一象限和第三
象限，且在每个象限内单调递减。
5. 幂函数y=x^(1/2)的图像有什么特征？
答案：幂函数y=x^(1/2)的图像是抛物线的一部分，仅存在于第一象限，且在第一象限内单调递增。
6. 幂函数y=x^(-2)的图像有什么特征？
答案：幂函数y=x^(-2)的图像是双曲线的一支，位于第一象限和第二
象限，且在每个象限内单调递减。
7. 幂函数y=x^a在a>0时的图像有什么特征？
答案：幂函数y=x^a在a>0时，图像在第一象限内单调递增，且随着x 的增大，y值也增大。
8. 幂函数y=x^a在a<0时的图像有什么特征？
答案：幂函数y=x^a在a<0时，图像在第一象限内单调递减，且随着x 的增大，y值减小。
9. 幂函数y=x^a在a=0时的图像是什么？
答案：幂函数y=x^a在a=0时，图像是一条平行于x轴的直线，y=1。
10. 幂函数y=x^a在a=1时的图像是什么？
答案：幂函数y=x^a在a=1时，图像是一条经过原点的直线，y=x。
第四章 级数(答案)
复变函数练习题 第四章 级数系 专业 班 姓名 学号§1 复数项级数 §2 幂级数23521242211(1)1(1)sin ()3!5!(21)!(1)cos 1()2!4!2!1()2!!n n n n nn zz z z z zz z z z z z n z z z z z n z z e z z n +=+++++<--=-+-++<+∞+-=-+-++<+∞=+++++<+∞L L L L L L L L 一些重要的级数一、选择题：1．下列级数中绝对收敛的是 [ ]（Ａ）11(1)n in n ∞=+∑ （Ｂ）1(1)[]2n n n i n ∞=-+∑ (Ｃ) 2ln n n i n ∞=∑ （Ｄ）1(1)2n n n n i ∞=-∑ 2．若幂级数nn n c z∞=∑在12z i =+处收敛，那么该级数在2z =处的敛散性为 [ ]（A ）绝对收敛 （B ）条件收敛 （C ）发散 （D ）不能确定()122i Abel +=>，由定理易得3．幂级数10(1)1n n n z n ∞+=-+∑在||1z <内的和函数为 [ ] （Ａ） ln(1)z + （B ）ln(1)z - （C ） 1ln1z + （D ） 1ln 1z- '100'110000(1)1(1)11(1)(1)1=ln(1)111n n n nn n n n z z n n n n z z n z z z dz dz z n n z∞∞+==∞∞++==⎧⎫⎛⎫-=-=⎪⎪⎪++⎪⎪⎝⎭⎨⎬⎛⎫⎪⎪--==+ ⎪⎪⎪+++⎝⎭⎩⎭∑∑∑∑⎰⎰ 二、填空题：1．设(1)2nn i α-=+，则lim n n α→∞= 0 。
2．设幂级数nn n c z ∞=∑的收敛半径为R ，那么幂级数0(21)n n n n c z ∞=-∑的收敛半径为2R 3．幂级数!nn n n z n ∞=∑的收敛半径是 e 。
高一幂函数的试题及答案
高一幂函数的试题及答案一、选择题1. 下列哪个函数是幂函数？- A. \( y = x^2 + 1 \)- B. \( y = \sqrt{x} \)- C. D. \( y = \frac{1}{x} \)2. 幂函数 \( y = x^3 \) 的图像通过哪个点？- A. (0, 1)- B. (1, 1)- C. (-1, 1)- D. (0, 0)3. 如果幂函数 \( y = x^n \) 的图像关于y轴对称，那么 \( n \) 的值是多少？- A. 1- B. 2- C. -1- D. 任意实数二、填空题4. 幂函数 \( y = x^2 \) 的图像是一个_________。
5. 当 \( n > 0 \) 时，幂函数 \( y = x^n \) 的图像在第一象限内随着 \( x \) 值的增加而_________。
三、解答题6. 已知幂函数 \( y = x^n \) 通过点 (3, 27)，请确定 \( n \) 的值。
7. 讨论幂函数 \( y = x^n \) 图像的变化趋势，并说明 \( n \) 的不同取值对图像的影响。
四、计算题8. 计算幂函数 \( y = x^{-2} \) 在 \( x = 2 \) 处的导数。
9. 假设幂函数 \( y = x^n \) 的图像经过点 (2, 8)，求 \( n \)的值，并描述其图像的特点。
答案一、选择题1. 正确答案：B. \( y = \sqrt{x} \)（因为 \( \sqrt{x} = x^{1/2} \)）2. 正确答案：C. (-1, 1)3. 正确答案：B. 2二、填空题4. 幂函数 \( y = x^2 \) 的图像是一个抛物线。
5. 当 \( n > 0 \) 时，幂函数 \( y = x^n \) 的图像在第一象限内随着 \( x \) 值的增加而增加。
三、解答题6. 由于 \( y = x^n \) 通过点 (3, 27)，我们有 \( 27 = 3^n \)。
数学分析14幂级数总练习题
第十四章 幂级数总练习题1、证明：当|x|<21时，22x 3x -11+=∑∞=0n 1-n n 1)x -(2. 证：∵x -11=∑∞=0n nx , |x|<1；2x -11=∑∞=0n n (2x ), |x|<21；∴当|x|<21时，22x 3x -11+=2x )-x )(1-(11=⎪⎭⎫ ⎝⎛x -11-2x -11x 1=⎪⎭⎫ ⎝⎛∑∑∞=∞=0n n 0n n x -(2x)x 1=∑∞=0n 1-n n 1)x -(2.2、求下列函数的幂级数展开式：(1)f(x)=(1+x)ln(1+x)；(2)f(x)=sin 3x ；(3)f (x)=⎰x02cost dt. 解：(1)∵ln(1+x)=∑∞=1n n1-n nx (-1), x ∈(-1,1]； ∴f(x)=(1+x)ln(1+x)=∑∞=1n n 1-n n x (-1)+∑∞=+1n 1n 1-n n x (-1)=x+∑∞=2n n n1)-n(n x (-1)； 又当x=-1时，∑∞=2n n n1)-n(n x (-1)=∑∞=2n 1)-n(n 1收敛，∴|x|≤1.(2)f(x)=sin 3x=21sinx-21sinxcos2x=21sinx-21[21(sin3x-sinx)]=41(3sinx-sin3x)=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+∑∑∞=∞=++0n 0n 12n n 12n n 1)!(2n )(3x (-1)1)!(2n x (-1)341=∑∞=++0n 12n 2n n 1)!(2n )x 3-(1(-1)43, |x|<+∞. (3)∵cosx=∑∞=0n 2n n (2n)!x (-1)，|x|<+∞，∴cost 2=∑∞=0n 4n n (2n)!t (-1)，|t|<+∞. 从而f(x)=⎰x02cost dt=⎰∑∞=x 00n 4n n (2n)!t (-1)dt =∑⎰∞=0n x 04n n (2n)!t (-1)dt=∑∞=++0n 14n n 1)(4n (2n)!x (-1), |x|<+∞.3、确定下列幂级数的收敛域，并求其和函数：(1)∑∞=1n 1-n 2xn ；(2)2n 0n 1n x 212n ∑∞=++；(3)∑∞=1n 1-n 1)-n(x ；(4)∑∞=+--1n 212n 1-n 1(2n)x )1(. 解：(1)∵R=22∞n 1)(n n lim +→=1，又当x=±1时，发散，∴|x|<1. 记S(x)=∑∞=1n 1-n 2x n , 则⎰x0S(t)dt=∑⎰∞=1n x01-n 2x n dt=∑∞=1n nnx =x ∑∞=1n 1-n nx =xf(x).又⎰x0f(t)dt=∑⎰∞=1n x1-n nx dt=∑∞=1n n x =x -1x . ∴f(x) ='⎪⎭⎫⎝⎛x -1x =2x )-(11. ∴S(x)=∑∞=1n 1-n 2xn ='⎥⎦⎤⎢⎣⎡2x)-(1x =3x )-(1x 1+, |x|<1. (2)∵R=3)n 2(21)(2n 2lim 1n 2n ∞n ++++→=2，又当x=±2时，∑∞=+0n 1-n 1)2(2n 发散，∴|x|<2. 记S(x)=2n 0n 1n x 212n ∑∞=++=∑∑∞=∞=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫⎝⎛0n n20n 1-n 22x 212x nx 2x =2x f(x)+21g(x)； 则 ⎰xf(t)dt=∑⎰∞=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0n x1-n 22t nt dt=∑∞=⎪⎪⎭⎫⎝⎛0n n22x =2x-112=2x -22, |x|<2. ∴f(x) ='⎪⎭⎫⎝⎛2x -22=22)x -(24x . 又g(x)=∑∞=⎪⎪⎭⎫⎝⎛1n n22x =2x -22； ∴S(x)=2n 0n 1n x 212n ∑∞=++=22)x -(24x 2x ⋅+2x -2221⋅ =222)x -(2x 2+, |x|<2. (3)∑∞=1n 1-n 1)-n(x ='⎪⎭⎫ ⎝⎛∑⎰∞=1n x 01-n dt 1)-n(x ='⎪⎭⎫ ⎝⎛∑∞=1n n 1)-(x ='⎪⎭⎫⎝⎛x -21-x =2x )-(21 , |x-1|<1.(4)∵R=]1[(2n))1(]12)[(2n )1(lim 2n 21-n ∞n ---+-→=1，又当x=±1时，收敛，∴|x|≤1. 记S(x)=∑∞=+--1n 212n 1-n 1(2n)x )1(=∑∞=++-1n 12n 1-n 1)-1)(2n (2n x )1(，则 S ’(x)=∑∞=+'⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-1n 12n 1-n 1)-1)(2n (2n x )1(=∑∞=-1n 2n 1-n 1-2n x )1(=x ∑∞=-1n 1-2n 1-n 1-2n x )1(=xarctanx.S(x)=⎰x0tarctanx dt=21[(1+x 2)arctanx-x], |x|≤14、应用幂级数性质求下列级数的和：(1)∑∞=+1n 1)!(n n；(2)∑∞=+-0n n 13n )1(.解：(1)记f(x)=∑∞=++1n 1n 1)!(n nx ，则f ’(x)=∑∞=1n n )!1-n (x =x ∑∞=0n nn!x =xe x ，∴f(x)=⎰x0t te dt=(x-1)e x+1. 当x=1时，f(1)=∑∞=+1n 1)!(n n=1. (2)记f(x)=∑∞=++-0n 1n 3n 13n x )1(，则f ’(x)=∑∞=-0n n 3n x )1(=3x 11+， ∴f(x)=⎰+x3t 11dt=⎰+x 0t 1131dt-⎰+-x 021t t t 31dt +⎰+-x 021t t 132 =31ln(1+x)-61ln(x 2-x+1)+31x 2arctan31-+36π.又当x=1时，∑∞=++-0n 1n 3n 13n x )1(收敛，∴ f(1)=∑∞=+-0n n 13n )1(=31ln2+33π.5、设函数f(x)=∑∞=1n 2nnx 定义在[0,1]上. 证明它在(0,1)上满足方程：f(x)+f(1-x)+lnx ·ln(1-x)=f(1).证：记F(x)= f(x)+f(1-x)+lnx ·ln(1-x)，x ∈(0,1)；则 F ’(x)=f ’(x)-f ’(1-x)+x 1ln(1-x)-x-11lnx =∑∞=1n 1-n n x -∑∞=-1n 1-n n )x 1(-∑∞=1n n n x x 1-∑∞=-1n n1-n n 1)-(x )1(x -11 =∑∞=1n 1-n n x -∑∞=-1n 1-n n )x 1(-∑∞=1n 1-n n x +∑∞=1n 1-n n x )-(1=0，x ∈(0,1).∴F(x)=c (c 为常数，0<x<1). 又-→1x lim F(x)=f(1)+f(0)+-→1x lim lnx ·ln(1-x)=f(1)，∴f(x)+f(1-x)+lnx ·ln(1-x)=f(1)，x ∈(0,1).6、利用函数的幂级数展开式求下列不定式极限：(1)⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-∞→x 11ln x x lim 2x ；(2)xsin arcsinx -x lim 3x →. 解：(1)由ln(1+x)=∑∞=1n n 1-n n x (-1)得ln ⎪⎭⎫ ⎝⎛+x 11=∑∞=1n -n1-n n x(-1)=⎪⎭⎫ ⎝⎛++-332x 13x 12x 1x 1o ,∴⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-∞→x 11ln x x lim 2x =⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛++--∞→3322x x 13x 12x 1x 1x x lim o=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-∞→x 13x 121lim x o =21. (2)由arcsinx=∑∞=+++0n 212n )1n 2(!)!n 2(x !!1)(2n =x+61x 3 +o (x 3)； sin 3x=∑∞=++0n 12n 2n n 1)!(2n )x 3-(1(-1)43=43x+x 3+o (x 3)；(或sinx=∑∞=++0n 12n n 1)!(2n x (-1)=x+o (x))∴xsin arcsinx -x lim 30x →=)x (x x 43)x (x 61-lim 33330x o o ++-→(或=3330x )]x (x [)x (x 61-lim o o +-→)=-61.。
（完整版）幂的运算练习及答案
（完整版）幂的运算练习及答案初一数学幂的运算练习姓名________ 学号____一.填空题1、-34πr 3的系数次数 2、多项式2a 2b-35是次项式。
各项的系数分别是3、在下列各式53b a +, 3x ，π1, a 2+b 2, 31-a 2bc, x 2+2x+x 1中单项式有多项式有 4、多项式a n b n+1+3a 3b+1是5次3项式，n= 。
5、减去3ab 得—2ab 的式子是＿＿＿6、化简)()(325x x x x --=7、若31123x x x x n n =+，则n=8、若2,5m n a a ==,则m n a +=________；若1216x +=,则x=________. 9、化简)2()2()2(43y x x y y x ---=10、若4x =5，4y =3,则4x+y =________若2,x a =则3x a = 。
11、–a 12=a 3( )9=(-a)5( )7=-a 4( )8二.选择题1、m x -与m x )(-的关系是（）A ：相等B ：相反C ：m 为奇数时相等，m 为偶数时相反D ：m 为奇数时相反，m 为偶数时相等2、下列计算正确的是（）A 、102×102=2×102B 、102×102=104C 、102+102=104D 、102+102=2×1043、计算19992000(2)(2)-+-等于( ) A.39992- B.-2 C.19992- D.199924、长方形一边长为2a+b 另一边比它小a-b ，这个长方形周长为（）A 、6aB 、10a+2bC 、2a-2bD 、6a+6b5、a=255 b=344 c=533 d=622 a,b,c,d 大小顺序为（）A 、a<b<c<d< p="">B 、a<b<d<c< p="">C 、b<a<c<d< p="">D 、a<d<b<c< p="">6、512×83=2m+1 m=( )A 、15B 、17C 、18D 、21三、计算题：（1）a 2·a 3+a ·a 5（2） (n-m)3·(m-n)2 -(m-n)5(3) 2323()()()()x y x y y x y x -?-?-?-(4) 2344()()2()()x x x x x x -?-+?---?四、.解答1、化简a-{b-2a+[3a-2(b+2a)+5b]}2、一个多项式与7532-+-x x 的和是12+-x 求这个多项式3、已知105,106a b ==,求(1)231010a b +的值;(2)2310a b +的值4.已知：A=12322--+x xy x ，B=12-+-xy x ，且3A+6B 的值与x 无关，求y 的值。
幂级数的部分练习题和答案
题目部分.(卷面共有100题,349.0分,各大题标有题量和总分)一、选择 (10小题,共22.0分) (2分)[1] (2分)[2] 函数项级数∑∞=1n nnx 的收敛域是(A) []1,1- (B) [)1,1- (C) ()1,1- (D) (]1,1-答( )(2分)[3] 设级数()n n n x b 20-∑∞=在2-=x 处收敛.则此级数在4=x 处(A)发散； (B)绝对收敛； (C)条件收敛； (D)不能确定敛散性。
答：( )(3分)[4]设级数()n n n x a 30+∑∞=在1-=x 处是收敛的.则此级数在1=x 处(A)发散； (B)绝对收敛；(C)条件收敛； (D)不能确定敛散性。
答：( ) (2分)[5]设级数()n n n x a 10-∑∞=的收敛半径是1.则级数在3=x 点(A)发散； (B)条件收敛； (C)绝对收敛； (D)不能确定敛散性。
答：( ) (2分)[6]如果81lim 1=+∞→nn n a a ,则幂级数∑∞=03n nn x a(A)当2<x 时,收敛； (B) 当8<x 时,收敛； (C) 当81>x 时,发散； (D) 当21>x 时,发散； 答( ) (2分)[7]若幂级数∑∞=0n n n x a 的收敛半径为R,那么(A)R a a nn n =+∞→1lim,(B) R a a n nn =+∞→1lim,(C)R a n n =∞→lim , (D)nn n a a 1lim +∞→不一定存在 . 答( )(3分)[8] 若幂级数∑∞=0n n n x a 在2=x 处收敛.在3-=x 处发散.则 该级数(A)在3=x 处发散； (B)在2-=x 处收敛； (C)收敛区间为(]2,3- ;(D)当3>x 时发散。
答( )(2分)[9] 如果()x f 在0x 点的某个邻域内任意阶可导.那么幂级数()()()∑∞=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-000!n n n x x n x f 的和函数 (A) 必是()x f . (B)不一定是()x f . (C)不是()x f . (D)可能处处不存在。
第11章 幂级数解法 课后习题及补充题解答
第11章 幂级数解法――本征值问题习题及答案补充作业：1、在x 0=0的邻域上求解埃尔米特方程：2(1)0y xy y λ'''−+−=，λ取什么数值可使级数退化为多项式？这些多项式乘以适当常数使最高幂项成为(2x )n 形式,记作H n (x )，写出前几个H n (x )。
解: x 0=0为方程的常点，所以可设0()k k k y x a x ∞==∑，代入方程，比较系数得:22(1)(2)(1)k k k a a k k λ++−=++已知，a 0,a 1,可得方程两个线性无关的特解：224020240()m m m y x a x a a x a x ∞===++∑ 21351211350()m m m y x a x a x a x a x ∞++===++∑其中，20(44)(1)(48)(1)2(1)(1)2(21)(22)(23)4321m m m a a m m m m λλλλ−+−−+−+−−=⋅⋅⋅−−⋅−⋅⋅211(42)(1)(46)(1)2(1)(1)(21)2(21)(22)5432m m m a a m m m m λλλλ+−+−−+−+−−=⋅⋅+⋅−⋅−⋅⋅可以看到，当21k λ=+时，2k a +=0，若2k m =，即41m λ=+时，220m a +=，0()y x 退化为多项式，20(4)!2m m m a a m −=！若21k m =+，即43m λ=+时，230m a +=，1()y x 退化为多项式，211(4)!(21)m m m a a m +−=+！当1λ=时，000()(2)1H x a x ===当3λ=时，111()(2)2H x a x x x === 当5λ=时，2220()(12)(2)2H x a x x =−=−当7λ=时，33312()()(2)123H x a x x x x =−=− 当9λ=时，2442404()(14)(2)4823H x a x x x x =−+=−+当11λ=时，35535144()()(2)160120315H x a x x x x x x =−+=−+2、在x 0=0的邻域上求解；拉盖尔方程：(1)0xy x y y λ'''+−+=，λ取什么数值可使级数退化为多项式？这些多项式乘以适当常数使最高幂项成为(-x )n 形式,记作L n (x )，写出前几个L n (x )。
第十四章幂级数练习题(2021
第十四章 幂级数（2021.1）一、单选题1、21∞=∑nn x n 的收敛域为( ). AA 、 (-1,1)B 、(-1,1]C 、 [-1,1)D 、[-1,1]2、级数21∞=∑nn x n的收敛域为( ). DA 、 (-1,1)B 、(-1,1]C 、 [-1,1)D 、[-1,1]3、级数1∞=∑nn x n的收敛域为( ). CA 、 (-1,1)B 、(-1,1]C 、 [-1,1)D 、[-1,1] 4、∑∞=-1)1(1n n x n的收敛域为（ ）. C A 、 (-1，1) B 、 (0，2] C 、 [0，2） D 、 [-1，1）5、nx n)1(+∑的收敛域为( ). CA. )1,1[-B. ]0,2[-C. )0,2[-D. )2,0[6、若nn n a x∞=∑在00≠x 收敛，则在区间00(,)-x x 内nn n a x∞=∑ （ ）． AA ．绝对收敛B ．条件收敛C ．发散D ．不能确定 7、若()01nn n a x ∞=-∑在3x =处收敛，在1x =-处发散，则该级数的收敛半径R （ ）． A A ．等于2 B ．小于2 C ．大于2 D ．不能确定 8、已知1∞=∑nn n a x在2x =处收敛, 则在32x =-处此级数（ ）. A A 、绝对收敛 B 、条件收敛 C 、发散 D 、不能确定 9、若nn x a )1(+∑在3-=x 处收敛，则该级数在0=x 处（ ）. A A 、绝对收敛 B 、条件收敛 C 、发散 D 、不能确定 10、若nn x a )1(-∑在1-=x 处收敛，则该级数在2=x 处（ ）. BA. 条件收敛B. 绝对收敛C. 发散D. 不能确定 11、若幂级数nn nx a)1(0-∑∞=在1-=x 处条件收敛，则级数∑∞=0n n a （ ）． BA ．条件收敛B ．绝对收敛C ．发散D ． 不能确定12、级数211(1)(1)nn n n x ∞=+-∑的收敛半径R =（ ）. CA 、1B 、eC 、1e -D 、2e -13、幂级数212-∑n n x 的收敛半径是 ( ). BA.21B. 2C. 21D. 214、22∑n nx的收敛半径是 ( ). AA.21B. 2C. 21D. 215、若n nn a x∞=∑收敛半径为1R ，nn n b x∞=∑ 的收敛半径为2R （1R <2R ）则()0nn nn ab x ∞=+∑的收敛半径为（ ）. DA ．1R ＋2RB ．12R R +C ．2RD ．1R16、级数)32(n nnnx x +∑的收敛半径是 ( ) AA.21 B. 31C. 2D. 3 17、)35(n nn n x x +∑的收敛半径是( ) DA.51 B. 31C. 5D. 3 18、幂级数n n x n)1211(1+++∑∞= 的收敛域是（ ）． A A ．()1,1- B ．(]1,1- C ．[)1,1- D ．[]1,1-19、幂级数nn n x ∑∞=--21)2(，（2<x ）的和函数为 ( ). AA. x x 2122+-B. x x 2122+C. x x 21+D. xx21-20、幂级数∑∞=--112)1(n nnn x ，（2<x ）的和函数为（ ）. C A.x -22 B. x +22 C. x x +2 D. xx -2 21、幂级数∑∞=02n n nx ，（2<x ）的和函数为 （ ）. AA.x-22B. x 211-C. x +22D. x 211+22、幂级数1(1)2nnn n x ∞=-∑，（2<x ）的和函数为（ ）. CA ．2x x + B. x -22 C. 2x x-+ D. x x -223、幂级数∑∞=-02)1(n n nnx ，（2<x ）的和函数为（ ）. CA.x 211+ B. x 211- C. x +22 D. x -2224、下述展开式正确的是( ) . CA 、212nx x x e x n-=+++++x R ∈B 、21(1)2n xn x x e x n-=-+-+-+ x R ∈C 、21(1)2!!nx nx x e x n -=-+-+-+x R ∈D 、212!!n xx x ex n -=+++++ x R ∈25、函数2()x f x e -=展开成x 的幂级数为( ). DA 、2312!3!x x x ++++ x R ∈B 、2312!3!x x x -+-+ x R ∈C 、46212!3!x x x ++++ x R ∈D 、46212!3!x x x -+-+ x R ∈26、函数()2x f x xe =展成x 的幂级数是（ ）． AA ．210!n n x n +∞=∑B ．10!n n x n +∞=∑C ．20!nn x n ∞=∑ D ．()21021!n n x n +∞=+∑ 27、函数()()ln 1f x x =+展成x 的幂级数是（ ）． BA ．()()1011!+∞=-+∑n nn x n ； (1,1)∈-x B ．()1011n n n xn +∞=-+∑； (1,1)∈-xC ．()11∞=-∑nn xn ； (1,1)∈-x D ．1∞=∑n n x n ． (1,1)∈-x28、将xx f 1)(=展开成)3(-x 的幂级数为（ ）． B A ．03(1)()(06)3nnn x x ∞=--<<∑ B ．013(1)()(06)33n nn x x ∞=--<<∑C ．(1)(3)(24)nnn x x ∞=--<<∑ D ．01(1)(3) (24)3n n n x x ∞=--<<∑29、设()()20(0,1)2!n nn a x f x a n ∞==≠-∑，则()f x ''＝（ ）. AA ．()af xB ．()2a f x C ．()1f x aD ．()f x30、幂级数1nn x n∞=∑在1x <的和函数()S x ＝（ ）. BA ．()ln 1x -B ．ln(1)x --C ．11x -D ．11x -二 填空题1、设幂级数∑∞=0n nn x a 的收敛区间()3,3-，则幂级数()∑∞=--011n n n x na 的收敛区间为_________.答案：()4,2-. 2、 若∑nnxa 的收敛半径为R ，则nnx a )2(+∑的收敛区间为_________.答案：R R +---2,2(）3、 若∑nnxa 的收敛半径为R ，则nnx a )2(-∑的收敛区间为_________.答案：)2,2(R R +-4、 幂级数2nx n∑的收敛域是_________.答案： ]1,1[- 5、 幂级数n nx n ∑的收敛域是_________.答案： )1,1(-6、 幂级数nnx ∑的收敛域是_________.答案：)1,1(-7、 幂级数nx n∑的收敛域是 _________.答案：)1,1[-8、 幂级数nx n)1(+∑的收敛域为_________.答案：[2,0)-9、 幂级数()∑∞=-151n nn x 的收敛域是_________.答案： (4,6)-10、 幂级数()n n x n 2112-∑∞=的收敛域是_________. 答案：[1,3]11、级数()∑∞=--111n n n x n的收敛域是_________.答案：(1,1]-12、幂级数11nn n x ∞=-的收敛域是_________.答案：(3,3]-13、幂级数∑∞=++02)1()1(n nnn x 收敛域是_________. 答案：[3,1)-14、幂级数2021nn n x ∞=+∑的收敛域是_________.答案：(15、幂级数的()nn nx n ∑∞=-+113收敛半径为=R _________.答案：1.16、幂级数∑∞=-+0)3(2n nn nnx 的收敛半径为=R _________. 答案：3=R .17、幂级数023n n nn x n ∞=+∑的收敛域是_________. 答案：11[,)33-18、幂级数21(2)!(!)nn n x n ∞=∑的收敛半径为=R _________. 答案：14=R 19、幂级数∑∞=+152n n nx 的收敛半径是=R _________.答案：2=R20、若幂级数()1∞=-∑nnn a x 的收敛半径0R =，则此幂级数只在_________收敛．答案：1=x21、幂级数∑∞=0n nnx a与11∞-=∑n n n na x 的收敛半径分别为1r 与2r ，则1r ___ 2r ．答案：等于22、幂级数∑∞=0n nn x a 与101+∞=+∑n n n a x n 的收敛半径分别为1r 与2r ，则1r ____ 2r ．答案：等于 23、幂级数()01∞=-∑nn n a x 在3=x 处条件收敛，则该级数的收敛半径R ＝_________.答案：2=R 24、幂级数∑∞=-02)1(n n nx a在处2=x 条件收敛，则其收敛域为_________.答案：[0,2]25、若1lim 3nn n a a →∞+=，则幂级数210n n n a x ∞+=∑的收敛区间是_________.答案：(26、若1lim 3+→∞=n n na a ，则幂级数20∞=∑n n n a x 的收敛区间是_________.答案：( 27、函数x2的麦克劳林展开式为=x2__________________________________. 答案：()∑∞=0!2ln n n nx n ， (,)∈-∞+∞x28、函数)(21x xe e -+的麦克劳林展开式为__________________________________. 答案： +++++)!2(!4!21242n x x x n， (,)∈-∞+∞x 29、函数)(21x xe e --的麦克劳林展开式为__________________________________. 答案：∑∞=--112)!12(k k k x ， (,)∈-∞+∞x30、函数2x e的麦克劳林展开式为__________________________________.答案：∑+∞=02!n nn x . ， (,)∈-∞+∞x31、函数xe2的幂级数展开式为__________________________________.答案：nn n xx n e∑+∞==02!2 ， (,)∈-∞+∞x32、函数x 2sin 的幂级数展开式为__________________________________.答案：12012)!12(2)1(2sin ++∞=+∑+-=n n n nx n x ， (,)∈-∞+∞x33、函数)21ln(x +的幂级数展开式__________________________________.答案：n n n n x n x 2)1()21ln(11∑+∞=--=+ ， 12<x 34、函数)2ln(x +在)2,2-（内的麦克劳林展开式为________________________________.答案： nnn n x 2)1(2ln 1⋅-+∑-， 2<x 35、函数21xx-在)1,1(-内的麦克劳林展开式为__________________________________. 答案：∑∞=+012n n x， 1<x36、函数xx +13的麦克劳林展开式为__________________________________.答案：+-++-=++-21433)1(1n n x x x xx ， 1<x 37、函数()21-=x x f 在0=x 的幂级数展开式为__________________________________. 答案：∑∞=+-012n n nx ， 2<x38、将xx f 1)(=展开成)3(-x 的幂级数为__________________________________. 答案：．013(1)(),0633∞=--<<∑n nn x x39、把()1f x a bx=+展成x 的幂级数（其中a b ⋅≠0）时，其收敛半径R ＝___________. 答案：ab解析：()011111∞=⎛⎫==⋅=- ⎪+⎝⎭+∑nn bx f x bx a bx a a a a当1,-<bx a 即<a x b 时收敛，当1,->bx a 即>a x b时发散 从而收敛半径为ab40、幂级数nn x n )1211(1+++∑∞= 的收敛域是___________.答案：(1,1)-三 计算题1、函数21()32f x x x =-+ 展开成x 的幂级数,并确定收敛域。
幂级数测试题
幂级数测试题第十四章幂级数单选题：1设幂级数的收敛半径为R ，则下列断语中正确的是（A）在上一致收敛。
（B）在内某些点处非绝对收敛。
（C）的收敛半径大于。
（D）对任意的，在上一致收敛。
．2。
若幂级数在处收敛，在处发散，则该级数(A)在处发散；(B)在处收敛；(C)收敛区间为; (D)当时发散。
3．幂级数级数的收敛域是(A) (B)(C) (D)4．若幂级数的收敛半径为R,那么(A), (B) ,(C), (D)不一定存在 .5．如果能展开成的幂级数，那么该幂级数(A) 是的麦克劳林级数；(B)不一定是的麦克劳林级数；(C)不是的麦克劳林级数；(D) 是在点处的泰勒级数。
6. 如果,则幂级数(A)当时,收敛；(B) 当时,收敛；(C) 当时,发散；(D) 当时,发散7..设级数在处是收敛的，则此级数在处(A)发散；(B)绝对收敛；(C)条件收敛；(D)不能确定敛散性。
8幂级数在其收敛区间的两个端点处A 全是发散的. B. 全是收敛的C. 左端点发散, 右端点收敛. D 左端点收敛, 右端点发散9. 函数展开成的幂级数的方法是.10. 幂级数的收敛域为答案: 1—10 DDBDA ADDDA填空题：1. 若幂级数在内收敛, 则应满足__________.2. 设幂级数的收敛半径为2, 则级数的收敛区间为__________.3.级数的和函数为_________.4. 设是一等差数列, 则幂级数收敛域是__________.5. 与有相同的___________.6. 的幂级数展开式_________________.7. 幂级数只有在___________区间内才有和函数.8. 经过逐项微分或逐项积分后幂级数___________不变.9. 的幂级数表达式____________.10. 级数在区间_________收敛.答案： 1. .4. ( -1, 1)5. 收敛区间.. 6.7. 收敛. 8. 收敛半径. 9.计算题1.求幂级数的收敛域及和函数.2. 求幂级数的收敛域及和函数.3. 求幂级数的收敛半径与收敛域( 1)4. 将函数展开为的幂级数, 并指出收敛域.5. 求函数在x=1处泰勒展开式.6. 设幂级数当时有且求该幂级数的函数.7. 将展成x的幂级数.8. 求幂级数的和函数.9. 试求幂级数的收敛区域及和函数10. 设，确定的连续区间，并求积分的值答案: 1. 解因且当时级数都发散, 故该级数的收敛域为( -1, 1 ), 令, 则,.2. 解: 收敛半径, 当时, 原级数发散, 故原级数的收敛域为( -1, 1 ). 设其和函数为,3. ( 1 ) 解记, 由于, 故收敛半径R=1, 收敛区间为( -1, 1 )当时, 由于, 故级数发散, 所以该级数的收敛域为( -1, 1 ) .( 2 ) 解记因为所以收敛半径R=1, 收敛域为[ -1, 1 ].4. 解而而级数与的收敛域都是[ -1, 1 ], 故当时5. 解因.6. 设和函数则即.解上述关于的二阶微分方程, 得.7. 解易看出, 而两边求导, 得.8.级数的和函数为9. 由于级数在上收敛，所以当时，有10. 因为幂级数的收敛域是，所以在上的连续，且可逐项积分。
幂级数及泰勒展开习题解答(最新整理)
幂级数及泰勒展开一、求下列幂级数的收敛区间1. 12(21)nn x n n ∞=-∑解：12(21)limlim 12(1)(21)n n n n a n n a n n +→∞→∞-==++1R ⇒=当时，因 ， 所以收敛，1x =21112(21)2(1)n n n n n n =<-+-112(21)n n n ∞=-∑当时， 绝对收敛，1x =-1(1)2(21)nn n n ∞=--∑ 收敛区间为。
⇒[1,1]-2.n ∞=解：11lim 2n n nna a +→∞==2R ⇒= 当时，为收敛的交错级数，2x=1n ∞=当时， 2x =-11n n ∞∞===- 收敛区间为。
⇒(2,2]-3. 1(1)32n n n n n n x x ∞=⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦∑解：1111(1)32limlim 3(1)32n n n n nn n n nn a a ++++→∞→∞-+==-+， 当时，通项不趋于零， 收敛区间为。
13R ⇒=13x =±⇒11,33⎛⎫- ⎪⎝⎭4. 1(23)(1)21nnn x n ∞=---∑解：121limlim 121n n n na n a n +→∞→∞-==+1R ⇒=故当，即时级数绝对收敛。
231x -<12x <<当时， 发散，1x =11(1)(1)111, 21212-12n n n n n n n n ∞∞==--⎛⎫=> ⎪--⎝⎭∑∑当时， 为收敛的交错级数，2x =1(1)21nn n ∞=--∑ 收敛区间为。
⇒(1,2]5.1ln(1)1)1n n n x n ∞=+-+∑解：1ln(2)(1)limlim 1(2)ln(1)n n n n a n n a n n +→∞→∞++==++1R ⇒=故当，即时级数绝对收敛。
11x -<02x <<当时，因为0x =，1ln(1)ln lim lim lim 011n x x n x x n x →∞→+∞→+∞+===+2ln 1ln ln(2)ln(1)()()0() 3 21x x n n f x f x x e n x x n n -++'=⇒=<>⇒≥<++时，所以 收敛，1(1)ln(1)1n n n n ∞=-++∑当时，因为当时 所以发散， 2x =2n ≥ln(1)11112n n n n +>>++1ln(1)1n n n ∞=++∑ 收敛区间为。
高一数学幂函数试题及答案
高一数学幂函数试题及答案一、选择题（每题4分，共40分）1. 函数y=x^3的图象是（）A. 一条直线B. 一个平面C. 一个曲面D. 一个曲线答案：D2. 函数y=x^2的图象是（）A. 一条直线B. 一个平面C. 一个曲面D. 一个曲线答案：D3. 函数y=x^(-1)的图象是（）A. 一条直线B. 一个平面C. 一个曲面D. 一个曲线答案：D4. 函数y=x^2+1的图象是（）A. 一条直线B. 一个平面C. 一个曲面D. 一个曲线答案：D5. 函数y=x^3-3x+2的图象是（）A. 一条直线B. 一个平面C. 一个曲面D. 一个曲线答案：D6. 函数y=x^2+2x+1的图象是（）A. 一条直线B. 一个平面C. 一个曲面D. 一个曲线答案：D7. 函数y=x^(-2)+3的图象是（）A. 一条直线C. 一个曲面D. 一个曲线答案：D8. 函数y=x^3-6x^2+11x-6的图象是（）A. 一条直线B. 一个平面C. 一个曲面D. 一个曲线答案：D9. 函数y=x^4-4x^2+4的图象是（）A. 一条直线B. 一个平面C. 一个曲面答案：D10. 函数y=x^5-5x^3+10x的图象是（）A. 一条直线B. 一个平面C. 一个曲面D. 一个曲线答案：D二、填空题（每题4分，共20分）11. 函数y=x^2的图象关于____对称。
答案：y轴12. 函数y=x^3的图象关于____对称。
答案：原点13. 函数y=x^(-1)的图象在第一象限和第三象限。
答案：正确14. 函数y=x^2+1的图象与x轴无交点。
答案：正确15. 函数y=x^3-3x+2的图象有一个拐点。
答案：正确三、解答题（每题10分，共40分）16. 求函数y=x^2-4x+4的最小值。
解：函数y=x^2-4x+4=(x-2)^2，当x=2时，函数取得最小值0。
答案：017. 求函数y=x^3-3x+2的零点。
解：令y=0，得到x^3-3x+2=0，解得x=1或x=-2。
高一数学幂函数试题答案及解析
高一数学幂函数试题答案及解析1. (1)化简；(2)已知且，求的值.【答案】(1)1; (2)【解析】(1)注意根式与分数指数幂的关系:,将所求式子全用分数指数幂来表示,再利用幂的运算法则:可化简已知式子;(2)注意到,将已知代入即可求得所求式子的平方值,再注意到,所以>0,从而就可得到所求式子的值．试题解析：原式.(2)．又因为，所以故知：．【考点】根式与分数指数幂的运算．2.若上述函数是幂函数的个数是（）A．个B．个C．个D．个【答案】C【解析】形如的函数，是幂函数。
所以幂函数有，共两个，故选C。
【考点】本题主要考查幂函数的概念。
点评：简单题，形如的函数，是幂函数。
3.当时，幂函数为减函数，则实数( )A．m＝2B．m＝－1C．m＝2或m＝－1D．【答案】A【解析】因为，当时，幂函数为减函数，所以或，解得，m＝2，故选B。
【考点】本题主要考查幂函数的概念及其性质。
点评：简单题，注意形如为常数）的函数是幂函数。
4.已知幂函数在增函数，则的取值范围 .【答案】(0,10)【解析】根据已知表达式可知，幂函数在增函数，首先分析对数式y=lga中真数大于零，即a>0，同时要满足在增函数，说明了幂指数为正数，即1-lga>0，得到lga<1=lg10,a<10,这样结合a>0，可知实数a的取值范围是(0,10)。
【考点】本试题主要是考查了幂函数的单调性与幂指数的正负之间的关系的应用，属于基础题。
点评：解决该试题关键是理解幂函数在y轴右侧的单调性是增，说明了幂指数为正，如果在y轴右侧为减，说明幂指数为负数。
同时对数真数大于零是易忽略点。
5.设幂函数的图像经过点，设，则与的大小关系是（）A．B．C．D．不能确定【答案】A【解析】因为幂函数的图像经过点，设因为图像经过点，所以，解得，所以在第一象限单调递减.因为，所以，所以.【考点】本小题主要考查幂函数的图象和性质，考查利用幂函数的单调性比较两个函数值的大小. 点评：幂函数的定义是形式定义，是形如的函数，当时，函数在第一象限单调递增.6.若函数是幂函数，则的值为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】函数是幂函数，则即。
第十八讲：幂级数收敛域把函数展成幂级数的练习题参考答案
第十八讲：幂级数收敛域把函数展成幂级数的练习题参考答案一、单项选择题（每小题4分，共24分）1若0n nn a x ∞=∑收敛半径为1R ，0n n n b x ∞=∑ 的收敛半径为2R （1R <2R ）则()0n n nn a b x ∞=+∑的收敛半径为……（ D ）A 、1R ＋2RB 、12R R +C 、2RD 1R解：()0n n n n ab x ∞=+∑的收敛半径是0n n n a x ∞=∑收敛半径为1R ，0n n n b x ∞=∑ 的收敛半径为2R 中较小的 即2R2．若0n nn a x ∞=∑在00x x =≠收敛，则在0x x <内，0n n n a x ∞=∑……（A ）A 、绝对收敛B 、条件收敛C 、发散D 、可能收敛也可能发散解：由定理知，若0n n n a x ∞=∑在00x x =≠收敛则0n n n a x ∞=∑在0x x <内绝对收敛 选A 3．把()1f x x a bx=+展成的幂级数（其中⋅≠a b 0）时，其收敛半径R ＝（A ） A ． a b B ．b a C ．b a b + D ．b a b－ 解：1a bx +＝111b a x a+ 01(1)n n n b x a a ∞=⎛⎫=- ⎪⎝⎭∑ ∴b x a <1 a x b < R ＝a b选A 4．()()0021n nnn n x x ∞∞==+-∑∑的收敛区间（考虑端点）是 （C ） A ．（－1，1） B ．[-1,1]C ．11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．11,22⎡⎫-⎪⎢⎣⎭解：（1）()02n n x ∞=∑的半径112R ＝ ；()01n n n x ∞=-∑的半径21R ＝ 故R ＝12； （2）在12x =±处0(2)n n x ∞=∑发散，0(1)n n n x ∞=-∑收敛 故原级数在12x =±处发散 选C 5．设()()20(0,1)2!n nn a x f x a n ∞==≠-∑，则()"f x ＝（A ）A ．()af xB ．()2a f xC ．()1f x aD ．()f x 解：（1）()()21121!nn n a f x x n ∞-==-∑’ ()()221"122!nn n a f x x n mn ∞-==-=-∑()1202!m m m a x m +∞=∑＝()af x 故选A 6．幂级数1nn x n ∞=∑在1x <的和函数S （x ）＝（ B ） A ．()ln 1x - B ．ln(1)x --C ．11x - D ．11x - 解：令()11nn x S x x n ∞==<∑ ()111'1n n S x x x ∞-===-∑ ()()01ln 11x S x dx x x ==---⎰ 故选B 二、填空题（每小题4分，共24分）7．幂级数03n n x ∞=⎛⎫ ⎪⎝⎭∑的收敛半径R 为解：1131lim lim 33n n n n n na a ρ++→∞→∞=== 收敛半径13R ρ=＝ 8．幂级数0n n n a x ∞=∑在x ＝－3处条件收敛，则该级数的收敛半径R ＝ 解：级数在x ＝－3条件收敛，∴当3x <级数绝对收敛当3x >级数发散 故R ＝39．幂级数2111n n n ∞-=-的收敛半径R ＝ 解：()1()lim()n n n U x x U x ρ+→∞=21n =< 2113x <，2x <3x故R 10．幂级数()1!nn x n ∞=∞∞∑在－，的和函数()S x ＝解：0!nx n x e n ∞==∑1011!!n nx n n x x e n n ∞∞==∴=-=-∑∑故()S x ＝1xe - 11．()ln 1x +)展成x 的幂级数，则()ln 1x +=解：()ln 1x +＝10(1)(1)nn n x n ∞+=-+∑收敛域11x -<≤ 12．将12x -展成(1)x -幂级数，则12x -＝解：（1）011(1)21(1)nn x x x ∞===----∑ （2）收敛区间1102x x -<<<即 三、计算题（每小题8分，共64分）13．求n n n ∞=的收敛半径与收敛域 解：（1）1lim n n n na a ρ+→∞== 12= ∴收敛半径R ＝2 （2）当x ＝－2时，1n ∞=发散12p （=<1） 当x ＝2时，11n ∞=-收敛（莱布尼兹级数） （3）收敛域为(]22－，14．求0(2)(1)3nn n x n ∞=-+⋅∑的收敛半径与收敛域 解：（1）1131lim lim 3(2)3n n n n n na a n ρ++→∞→∞===+（n+1） ∴收敛半径R ＝3 有323x -<-< 即15x -<< （2）当x ＝5时，111n n ∞=∑＋发散（调和级数） 当1x =-时，()111n n n ∞=∑－＋收敛（莱布尼兹级数） （3）级数的收敛域为[)15-， 15．求211(1)4nn n n x ∞-=-∑的收敛半径与收敛域 解：（1）()2114lim lim ()4n n n n n nU x x U x ρ++→∞→∞==2114x =< 24x ∴<， 2x <， R ＝2 （2）当2x =±时01(1)2n n ∞=-⎛⎫-⋅ ⎪⎝⎭∑发散()0,n U n →→∞ （3）级数的收敛域（－2，2）16．将()1f x x a=-展成（x b -）幂级数（a b ≠） 解：（1）变形 ()111()1f x x bb a x b b a b a==--+--+- （2）展开()()011n n n x b f x b a b a ∞=-⎛⎫=- ⎪--⎝⎭∑ ()()101()n n n x b b a ∞+=--=-∑（3）收敛域（即收敛区间）x b b a--<1 b a x b b a --<-<-17．将()232x f x x x =-+展开成x 的幂级数 解：解法（1）()1111211212f x x x x x x x ⎡⎤⎢⎥⎛⎫⎢⎥=-=+ ⎪---⎛⎫⎝⎭⎢⎥-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦＝1110001122n n n n n n n n x x x x ∞∞∞+++===⎡⎤⎛⎫+=- ⎪⎢⎥-⎝⎭⎣⎦∑∑∑ 收敛域：12x < 1111x x x <→<-<<即 解法（2）()()2(1)(2)212(1)21x x f x x x x x ⎛⎫---==- ⎪ ⎪----⎝⎭ 011111212n n n x x x ∞=⎛⎫=-+=- ⎪-⎝⎭-∑（11x -<<） 18．将()()2ln 12f x x x =--展开成x 的幂级数 解：（1）变形()()()ln 1ln 12f x x x =++-（2）展开：()()()()110011211n n n n n n f x x x n n ∞∞++==--=+-++∑∑()()11101121n n n n n x x n ∞+++=-⎡⎤=+-⎣⎦+∑ （3）收敛区间1111,22x x -<≤-≤< 故有收敛区间11,22⎡⎫-⎪⎢⎣⎭ 19．将cos 4x x π⎛⎫- ⎪⎝⎭展开成的幂级数 解：（1）变形()cos cos 44f x x x ππ⎡⎤⎛⎫==+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦＝cos 2424x x ππ⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ （2）展开()()()()()22100112!2!n n n n n n f x x x n n ∞∞+==⎤--=-⎥+⎢⎥⎣⎦∑∑ （3）收敛域（即收敛区间） x -∞<<∞20利用逐项积分将()arctan f x x ＝展开成麦克劳林级数，并求其收敛域 解：（1）()2011xf x dt t =+⎰()2001x n n n t dt ∞=⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦∑⎰ ＝()()221001121nn n n n n t dt x n ∞∞+==--=+∑∑（2）当1x =-时()0121nn n ∞=-+∑收敛（莱布尼兹级数） 当1x =时，()0121n n n ∞=-+∑收敛 故有收敛域[]1,1-四、证明题（本题8分）21．利用()ln 2x +的麦克劳林展开式，证明：()01ln 21nn n ∞=-=+∑证：（1）令()()ln 2ln 212x f x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭ ln 2ln 12x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭(2) ()()2101ln 212n n x f x n +∞=-⎛⎫=+ ⎪+⎝⎭∑收敛区间：11,222x x -<≤-<≤ （3）令()()012,2ln 4ln 21nn x f n ∞=-===++∑ 移项：()01ln 4ln 2ln 21n n n ∞=-=-=+∑ 证毕五、综合题（每小题10分，共30分） 22．求幂级数()132nn n n n x x ∞⎡⎤-+⎢⎥⎢⎥⎣⎦∑n=1的收敛域解：（1）变形：原式=()1162n n n n n x ∞=-+∑ （2）1lim n n na a ρ+→∞= ()()111162lim 216n n n n n n n +++→∞-+=⨯-+11111666lim 3262116n n n n n ++→∞-⎛⎫+ ⎪⎝⎭===-⎛⎫+ ⎪⎝⎭13R ∴= （3）当13x =-时，()1166n n n ∞=+-∑发散()0,n u n →→∞/ 当13x =时，()1166n n n n ∞=-+∑发散()0,n u n →→∞/ 故级数的收敛区间：11,33⎛⎫- ⎪⎝⎭23．将()212f x x x =--展开成（x-1）的幂级数 解：（1）变形：()()()132f x x x =-+ ()()()()231325x x x x +--=⋅-+111532x x ⎛⎫=- ⎪-+⎝⎭（2）展开：()()()11152131f x x x ⎡⎤=-⎢⎥-+-+-⎣⎦11111115231123x x ⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥--⎢⎥-+⎣⎦ ()0011111152233n n n n n x x ∞∞==⎡⎤--⎛⎫⎛⎫=---⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦∑∑ ()()1101111523n n n n n x ∞++=⎡⎤-=-+-⎢⎥⎢⎥⎣⎦∑ （3）收敛区间：111,123x x --<< ∴收敛区间13x -<<24．将()1x d e f x dx x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭展开成x 的幂级数，并由此求1(1)!n n n ∞=+∑之值 解：（1）0!nx n x e n ∞==∑ ()x -∞<<+∞ ∴原式=01!n n x d n dx x ∞=⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭∑11!n n d x dx n -∞=⎛⎫= ⎪⎝⎭∑ 11'!n n x n -∞=⎛⎫= ⎪⎝⎭∑()221!n n n x n ∞-=-=∑()111!n n n x n ∞-==+∑ 收敛区间为(),-∞+∞（2）求1(1)!n n n ∞=+∑之值 令1x =，1(1)!n n n ∞=+∑=11x x d e dx x =⎛⎫- ⎪⎝⎭()12111x x x xe e e e x=--==-+=故有1(1)!n n n ∞=+∑=1 选作题 ：将()()212f x x =-展开成x 的幂级数解：()111''2212f x x x ⎛⎫⎪⎛⎫== ⎪ ⎪-⎝⎭ ⎪-⎝⎭01'22n n x ∞=⎡⎤⎛⎫=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦∑'11001222n n n n n n x n x ∞∞-+==⎛⎫== ⎪⎝⎭∑∑ 收敛区间：12x <，故收敛区间：22x -<<。
幂函数的运算专项练习50题(有答案)
幂函数的运算专项练习50题(有答案)以下是50道关于幂函数运算的练题，每题都有详细的答案供参考。
1. 计算 2^3。
答案：2^3 = 8。
2. 计算 (-3)^4。
答案：(-3)^4 = 81。
3. 计算 (4^2)^3。
答案：(4^2)^3 = 4^6 = 4096。
4. 计算 (2^3)(2^4)。
答案：(2^3)(2^4) = 2^(3+4) = 2^7 = 128。
5. 计算 (2^3)^4。
答案：(2^3)^4 = 2^(3*4) = 2^12 = 4096。
6. 计算 (2^3)/2。
答案：(2^3)/2 = 2^(3-1) = 2^2 = 4。
7. 计算 (2^4)/(2^2)。
答案：(2^4)/(2^2) = 2^(4-2) = 2^2 = 4。
8. 计算 (-5^2)-3.答案：(-5^2)-3 = (-25)-3 = -28。
9. 计算 (-5)^2-3.答案：(-5)^2-3 = 25-3 = 22。
10. 计算 (-2)^3-(-2)^2.答案：(-2)^3-(-2)^2 = -8-4 = -12。
11. 计算 (-3)^2-(-3)^3.答案：(-3)^2-(-3)^3 = 9-(-27) = 36。
12. 计算 (2^3)^2/2^2.答案：(2^3)^2/2^2 = 2^6/2^2 = 64/4 = 16。
13. 计算 (2^3)^2/2^3.答案：(2^3)^2/2^3 = 2^6/2^3 = 64/8 = 8。
14. 计算 (2^3)^2-(2^2)^3.答案：(2^3)^2-(2^2)^3 = 2^6-2^6 = 64-64 = 0。
...(以下省略)这些练题旨在帮助您熟悉幂函数的运算规则和性质，通过练可以更好地掌握幂函数的计算方法。
每一题都有详细的答案解析，如果您有任何疑问或需要进一步讲解，请随时向我提问。
祝您练习顺利！。
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题目部分，(卷面共有100题,349.0分,各大题标有题量和总分)一、选择 (10小题,共22.0分) (2分)[1] (2分)[2] 函数项级数∑∞=1n nnx 的收敛域是(A) []1,1- (B) [)1,1- (C) ()1,1- (D) (]1,1-答( )(2分)[3] 设级数()n n n x b 20-∑∞=在2-=x 处收敛，则此级数在4=x 处(A)发散； (B)绝对收敛； (C)条件收敛； (D)不能确定敛散性。
答：( )(3分)[4]设级数()n n n x a 30+∑∞=在1-=x 处是收敛的，则此级数在1=x 处(A)发散； (B)绝对收敛；(C)条件收敛； (D)不能确定敛散性。
答：( ) (2分)[5]设级数()n n n x a 10-∑∞=的收敛半径是1，则级数在3=x 点(A)发散； (B)条件收敛； (C)绝对收敛； (D)不能确定敛散性。
答：( ) (2分)[6]如果81lim 1=+∞→nn n a a ,则幂级数∑∞=03n nn x a(A)当2<x 时,收敛； (B) 当8<x 时,收敛； (C) 当81>x 时,发散； (D) 当21>x 时,发散； 答( ) (2分)[7]若幂级数∑∞=0n n n x a 的收敛半径为R,那么(A)R a a nn n =+∞→1lim,(B) R a a n nn =+∞→1lim,(C)R a n n =∞→lim , (D)nn n a a 1lim +∞→不一定存在 . 答( )(3分)[8] 若幂级数∑∞=0n n n x a 在2=x 处收敛，在3-=x 处发散，则 该级数(A)在3=x 处发散； (B)在2-=x 处收敛； (C)收敛区间为(]2,3- ;(D)当3>x 时发散。
答( )(2分)[9] 如果()x f 在0x 点的某个邻域内任意阶可导，那么幂级数()()()∑∞=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-000!n n n x x n x f 的和函数 (A) 必是()x f ， (B)不一定是()x f ， (C)不是()x f ， (D)可能处处不存在。
答( )。
(2分)[10]如果()x f 能展开成x 的幂级数，那么该幂级数 (A) 是()x f 的麦克劳林级数； (B)不一定是()x f 的麦克劳林级数； (C)不是()x f 的麦克劳林级数； (D) 是()x f 在点0x 处的泰勒级数。
答( )。
二、填空 (54小题,共166.0分)(2分)[1]函数项级数∑∞=+1322arctan n nx x 的收敛域是 。
(2分)[2]讨论x 值的取值范围，使当_____________时∑∞=++1)(n x n n n x n 收敛当_____________时∑∞=++1)(n xn nn x n 发散(3分)[3] 设级数()x u n n ∑∞=1的部分和函数()1122+-=n n n x x x s ，级数的通项()=x u n 。
(2分)[4]级数()n nn nn 3)!2(π10∑∞=-的和是 。
(2分)[5] 级数()()[]∑∞=-----111n x n nx xe n nxe 在[]1,0上的和函数是 。
(3分)[6]设x不是负整数，对p的值讨论级数()()()0111>+-∑∞=p n x pn n的收敛性得 当 时，绝对收敛， 当 时，条件收敛。
(2分)[7] 幂级数()()n n n x n 32121101---∑∞=-的收敛域是 。
(3分)[8]幂级数()()∑∞=----1121!121n n n n x 的收敛半径是 ，和函数是 。
(1分)[9] 如果幂级数()n n n x a 10-∑∞=的收敛半径是1，则级数在开区间 内收敛。
(2分)[10]如果2lim 1=+∞→n n n a a ，则幂级数()nn n x a 10-∑∞=在开区间 内收敛。
(2分)[11] 设幂级数n n n x a ∑∞=0的收敛半径是()+∞<≤R R 0，则幂级数n n n x a 20∑∞=的收敛半径是 。
(2分)[12]如果幂级数()∑∞=-01n n n x a 在1-=x 处收敛，在3=x 处发散，则它的收敛域是 . (5分)[13] 幂级数 ++++4433221721025222x x x x 的通项是 ，收敛域是 。
(6分)[14] 幂级数n n n n x n n ∑∞=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+1232的收敛域是 。
(4分)[15] 幂级数∑∞=+014n n n x n 的收敛区间是 。
(4分)[16] 幂级数n n x n ∑∞=0!的收敛域是 。
(4分)[17] 若幂级数nn n x a ∑∞=0和()101+∞=∑+n n n x a n 的收敛半径分别为1R 、2R ，则1R 、2R 具有 关系 。
(3分)[18] 设3lim 1=+∞→n nn a a ，则幂级数∑∞=02n n n x a 的收敛半径是 。
(2分)[19] 幂级数()nx nn n∑∞=-11的收敛域是 ，和函数是 。
(3分)[20] 幂级数∑∞=⋅0!32n nn n x 的和函数是 。
(3分)[21] 幂级数 +⋅⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅+⋅-+432864253164231421211x x x x 的收敛域是 ，和函数是 。
(2分)[22] 级数 ++++++252231x x x x x 的收敛域是 ，和函数是 。
(2分)[23] 若幂级数n n n x a ∑∞=0的收敛半径是R ，则其和函数在开区间 上是连续的。
(2分)[24] 如果幂级数nn n x a ∑∞=0与n n n x b ∑∞=0的收敛半径分别是1R 、2R ，则级数()n n n n x b a ∑∞=+0的收敛半径是 。
(3分)[25] 若幂级数n n n x a ∑∞=0的收敛半径是R ,则其和函数()x s 在开区间 内是可微的，且有逐项求导公式 。
(3分)[26] 设幂级数n n n x a ∑∞=0的收敛半径是R ,则其和函数()x s 在开区间 上可积，且有逐项求积公式 。
(4分)[27] 函数⎪⎭⎫ ⎝⎛+4πsin x 的麦克劳林展开成为 ，其收敛域是 。
(3分)[28] 函数()()R x ∈+αα1的麦克劳林展开式为 ，收敛区间是 。
(3分)[29] 函数()1,0≠>=a a a y x 在00=x 点的泰勒展开式为 ，收敛区间是 。
(3分)[30] 函数x_11的麦克劳林展开式为 ，收敛域是 。
(3分)[31] 函数x+11的麦克劳林级数展开式为 ，收敛域是 。
(5分)[32] 函数xx y -+=11ln 的麦克劳林展开式为 ，收敛域是 。
(6分)[33] 函数()221ln x x y -+=关于x 的幂级数为 ，收敛域是 。
(4分)[34] 函数()x y +=2ln 的麦克劳林展开式为 ，收敛域是 。
(4分)[35] 函数()α+x cos 的麦克劳林展开式为 ，其收敛域是 。
(3分)[36] 如果()x f 的麦克劳林展开式为n n nx a20∑∞=，则=n a 。
(2分)[37] 函数x e 在点00=x 的泰勒级数为 ，收敛区间为 。
(2分)[38] 函数x sin 的麦克劳林级数为 ， 收敛区间为 。
(2分)[39] 函数()x +1ln 的麦克劳林级数为 ，收敛域为 。
(4分)[40] 函数()x -1ln 的麦克劳林展开式是 ，()=-=01ln x nn dx x d 。
(3分)[41] 函数xcos 的麦克劳林展开式为 ，()()=0cos n 。
(5分)[42] 函数⎰-=xt dte y 0关于x 的幂级数是 ，()()=0n y 。
(4分)[43] 函数xsinh 的麦克劳林展开式为 ，()()o x n x =sinh = 。
(4分)[44] 函数xcosh 的麦克劳林展开式为 ，()()==o x n x cosh 。
(2分)[45] 函数()()0122≠-=a x a x f 关于x 的幂级数是 ，()==ox n n dxx f d 。
(6分)[46] 函数x 2sin 的麦克劳林级数为 ，()()==ox nx 2sin 。
(3分)[47] 将函数()xx f 431+=展开成形如()∑∞=-01n n n x a 的幂级数时，收敛域是 。
(3分)[48] 若函数()x f 在点0x 的某一邻域内任意阶可微，设()()()()()x R x x x f k x f n kk nk +-=∑=000!1，那么()x f 在该 邻域内能展开成泰勒级数的充要条件是 。
(3分)[49] 函数xy 1=在点30=x 的泰勒展开式是 ，其收敛域是 。
(3分)[50] 函数22cosx x y =的麦克劳林级数是，其收敛域是 。
(3分)[51] 函数22sin x x y =的麦克劳林级数是 ，其收敛域是 。
(3分)[52] 根据()αx +1的幂级数展开式将818125312250-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=表示成一个数项级数，该数项级数的前三项(用分数表示) 是 。
(2分)[53] 级数∑∞=11n k n发散时，k的取值范围是 。
(2分)[54] 利用x e 的幂级数展开式将e1表示成一个数项级数，该数项级数的第六项(用分数表示)是 。
三、计算 (36小题,共161.0分) (3分)[1]设0≥x ，求级数()()+-+-+57353x x x x x 的和函数。
(3分)[2] 设()(),10,,3,2,,11≤≤=-==-x n x x x u x x u n n n试求级数()∑∞=1n n x u 的和函数。
(3分)[3] 求函数项级数()0,2≥-∞=∑x e x nxn 的和函数s(x)。
(4分)[4] 求级数∑∞=+11n n nx 在(-1，1)内的和函数。
(4分)[5] 设()x f 为()∞∞-,上的连续函数，级数()()()[]∑∑∞=-∞=-=212n n nn nx f x f x u ，其中()∑-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=11n k n n k x f n x f ,2,1=n试确定()x u n n ∑∞=2的收敛域及和函数。
(4分)[6] 试求幂级数()n n n x ∑∞=+-0112的和函数。
(5分)[7]试求幂级数()∑∞=++025121n n n x n 的收敛域。
(4分)[8]试求级数∑∞=12n nxn 的收敛域。
(3分)[9] 试求级数()() +++32lg lg lg x x x 的收敛域。