幂级数的部分练习题及答案

题目部分，(卷面共有100题,349.0分,各大题标有题量和总分)

一、选择 (10小题,共22.0分) (2分)[1] (2

分)[2] 函数项级数∑

∞

=1n n

n

x 的收敛域是

(A) []1,1- (B) [)1,1- (C) ()1,1- (D) (]1,1-

答( )

(2分)[3] 设级数()n n n x b 20-∑∞

=在2-=x 处收敛，则此级数在

4=x 处

(A)发散； (B)绝对收敛； (C)条件收敛； (D)不能确定敛散性。

答：( )

(3分)[4]设级数()n n n x a 30+∑∞

=在1-=x 处是收敛的，则此级数

在1=x 处

(A)发散； (B)绝对收敛；

(C)条件收敛； (D)不能确定敛散性。

答：( ) (2分)[5]设级数()n n n x a 10-∑∞

=的收敛半径是1，则级数在3

=x 点

(A)发散； (B)条件收敛； (C)绝对收敛； (D)不能确定敛散性。

答：( ) (2

分)[6]如果81

lim 1=+∞→n

n n a a ,则幂级数∑∞

=03n n

n x a

(A)当2x 时,发散； (D) 当

2

1

>x 时,发散； 答( ) (2分)[7]若幂级数∑∞

=0n n n x a 的收敛半径为R,那么

(A)R a a n

n n =+∞

→1

lim

,

(B) R a a n n

n =+∞

→1

lim

,

(C)R a n n =∞

→lim , (D)n

n n a a 1lim +∞

→不一定存在 . 答( )

(3分)[8] 若幂级数∑∞

=0n n n x a 在2=x 处收敛，在3-=x 处发

散，则 该级数

(A)在3=x 处发散； (B)在2-=x 处收敛； (C)收敛区间为(]2,

3- ;

(D)当3>x 时发散。

答( )

(2分)[9] 如果()x f 在0x 点的某个邻域内任意阶可导，那么

幂级数()()()∑∞

=⎥⎦

⎤

⎢

⎣⎡-000!n n n x x n x f 的和函数 (A) 必是()x f ， (B)不一定是()x f ， (C)不是()x f ， (D)可能处处不存在。

答( )。

(2分)[10]如果()x f 能展开成x 的幂级数，那么该幂级数 (A) 是()x f 的麦克劳林级数； (B)不一定是()x f 的麦克劳林级数； (C)不是()x f 的麦克劳林级数； (D) 是()x f 在点0x 处的泰勒级数。 答( )。 二、填空 (54小题,共166.0分)

(2分)[1]函数项级数∑∞

=+1322arctan n n

x x 的收敛域

是 。

(2分)[2]讨论x 值的取值范围，使当_____________时

∑∞

=++1

)(n x n n n x n 收敛

当_____________时∑∞

=++1

)(n x

n n

n x n 发散

(3

分)[3] 设级数()x u n n ∑∞

=1

的部分和函数()11

22+-=n n n x x x s ，

级数的通项()=x u n 。 (2

分

)[4]

级

数

()n n

n n

n 3)!2(π10

∑∞

=-的

和

是 。

(2分)[5] 级数()()[]∑∞

=-----111n x n nx xe n nxe 在[]1,0上的和

函数是 。 (3分)[6]设

x

不是负整数，对

p

的值讨论级数

()()()0111

>+-∑∞

=p n x p

n n

的收敛性

得 当 时，绝对收敛， 当 时，条件收敛。

(2分)[7] 幂级数()()n n n x n 321

21101---∑∞

=-的收敛域

是 。

(3分)[8]幂级数()()∑∞

=----1

1

21!121n n n n x 的收敛半径是 ，和

函数是 。

(1分)[9] 如果幂级数()n n n x a 10-∑∞

=的收敛半径是1，则

级数在开区间 内收敛。 (2

分)[10]如果2lim 1

=+∞→n n n a a ，则幂级数()n

n n x a 10-∑∞=在开区间 内收敛。

(2分)[11] 设幂级数n n n x a ∑∞

=0的收敛半径是()+∞<≤R R 0，

则幂级数n n n x a 20

∑∞

=的收敛半径是 。

(2分)[12]如果幂级数()∑∞

=-0

1n n n x a 在1-=x 处收敛，在3=x 处

发散，则它的收

敛域是 . (5

分)[13] 幂级数 ++++4

4332217

21025222x x x x 的通项

是 ，收敛域是 。