3-5 函数图像的描绘

3
函数图形的描绘
2. 水平渐近线
x
(平行于x轴的渐近线)
f ( x ) b (b为常数) 如果lim f ( x ) b 或 xlim
那么 y b 就是 y f ( x ) 的一条水平渐近线.
如 y arctan x,
lim arctan x lim arctan x x 2 x 2 水平渐近线: y , y . 2 2
第五节
函数图形的描绘
渐近线 图形描绘的步骤 作图举例
第三章 微分中值定理与导数的应用
1
函数图形的描绘
一、渐近线
定义
当曲线y f ( x )上的一动点 P沿着曲线
移向无穷点时 , 如果点 P 到某定直线L 的距离
趋向于零 ,那么直线L 就称为曲线y f ( x ) 的
一条渐近线.
2
函数图形的描绘
y
x2 2x 2 的图形. 1 作函数 2 (x 2, ) (1,2) y 1
2 2 f ( 2 ) f ( 0 ) 2 , 极小值 极大值

0
极小值

y
极大值
2
无定义
2
作图
y
x 1
y x 1
1
3 2 1
O
1
1
2
3
x
14


间 断 点
3
10
函数图形的描绘
x
( ,3) 3 ( 3,2) 2 ( 2,0)
0
不存在
(0,)
4( x 1) f ( x ) f ( x) 2 x2 f ( x )
水平渐近线:

0
拐点


0
极小值


y
间 断 点


y 2,
f ( x)
垂直渐近线: x 0. 极小值 f ( 2) 3 拐点 ( 3,
4
函数图形的描绘
3. 斜渐近线
如果 lim [ f ( x ) (ax b)] 0 (a, b 为常数, 且a 0) (1)

那么 y ax b 就是 y f ( x ) 的一条斜渐近线.
计算a , b的公式:
由(1)式，b lim [ f ( x ) ax ]
x ( x 2) ( x 1) 2 2 y ( x 1)3 y
列表
x
y
y
(,0)


0 0
(0,1)
1
(1,2)
2
(2,)

无定义

0

极小值

13
y
极大值
2
2
函数图形的描绘
x (,0) 0 (0,1) 5 补充点 : ( 1, 0 ), B y A ( 3,6).
1. 竖直渐近线
x x0
(垂直于x轴的渐近线)
x x0
如果 lim f ( x ) 或 lim f ( x )
那么 x x0就是y f ( x ) 的一条 竖直渐近线. 1 1 lim , x 如 y ( x 2)( x 3) 2 ( x 2)( x 3) 1 lim 竖直渐近线: x 2, x 3. x 3 ( x 2)( x 3)
2( x 2)( x 3) 2 x( x 1) lim 4 b x x 1
y 2 x 4 是曲线的一条斜渐近线 .
7
函数图形的描绘
二、图形描绘的步骤
利用函数特性描绘函数图形. 确定函数的定义域、值域、间断点, 讨论函数的单调性和极值, 曲线的凹凸性 和拐点, 渐近线. 适当计算曲线上一些点的坐标, 特别注意 与坐标轴是否有交点.
令 f ( x ) 0, 得x 3.
4( x 1) lim f ( x ) lim[ 2] 2, 水平渐近线y 2; 2 x x x
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函数图形的描绘 4( x 1)
f ( x)
4( x 1) lim f ( x ) lim[ 2] ,铅直渐近线x 0. 2 x 0 x 0 x 无斜渐近线.
2( x 2)( x 3) 的渐近线. 例 求 f ( x) x 1
f ( x) 解 定义域 (,1) (1,). lim x 1
,
x 1 是曲线的竖直渐近线 .
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函数图形的描绘
( x3 )) 2( x 2)( xf lim无水平渐近线 [ f ( x ) ax ] a lim , b lim x x x x 1 x
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函数图形的描绘
三、作图举例
4( x 1) 例 作函数 f ( x ) 2 的图形. 2 x 解 D : x 0, 非奇非偶函数, 4( x 2) 8( x 3) f ( x ) , f ( x ) . 3 4 x x 令 f ( x ) 0, 得驻点 x 2,
注 如果
a lim
x
f ( x) , b lim [ f ( x ) ax ] x x
f ( x) (1) lim 不存在 ; x x f ( x) ( 2) lim a 存在, 但 lim [ f ( x ) ax] 不存在, x x x 可以断定 y f ( x ) 不存在斜渐近线.
x2
2
f ( x )
4( x 2) x3
8( x 3) f ( x ) x4
列表
x ( ,3) 3 ( 3,2) 2 ( 2,0)
f ( x ) f ( x )
f ( x)
0
不存在
(0,)


0
拐点
( 3, 26 ) 9
0

极小值

2( x 2)( x 3) 求 f ( x) 的渐近线. x 1
2( x 2)( x 3) f ( x) 又 lim lim 2 a x x x ( x 1) x
2( x 2)( x 3) 2 x] lim[ f ( x ) ax] lim[ x x x 1
x ( x 2) 2 y , y . 2 3 ( x 1) ( x 1)
令 y 0, 得驻点 x 0, x 2, 无y 0的点.
x2 2x 2 x2 2x 2 lim , lim . x 1 x 1 x 1 x 1
x
1 又x为无穷大 , 有 lim [ f ( x ) (ax b)] 0 x x f ( x) f ( x) b f ( x) [ a ] lim a 0从而 a lim 即 xlim x x x x x x
5
函数图形的描绘
26 ) 9
作图
6
补充点
(1 3 ,0), (1 3 ,0),
3 2 1O

1

1

2

x
( 1,2), (1,6), ( 2,1).
2 3
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函数图形的描绘
x2 2x 2 例 作函数 y 的图形. x 1
解 D : x 1, 非奇非偶函数,
垂直渐近线x 1.
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函数图形的描绘
x2 2x 2 f ( x) x 1 又 a lim lim 1 x x x x
x2 2x 2 b lim[ f ( x ) ax] lim( x ) 1 x x x 1 y x 1 是曲线的一条斜渐近线 .