齐次和非齐次线性方程组的解法精编日

齐次和非齐次线性方程组的解法精编日

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线性方程组的解法

注意：考试以非齐次线性方程组的无穷多解为主要考查点，但是同学们学得时候要系统，要全面，要完整。下面是解线性方程组各种情况的标准格式，请同学们以此为准，进行练习。

一、齐次线性方程组的解法

定理齐次线性方程组一定有解：

(1) 若齐次线性方程组()

=，则只有零解；

r A n

(2) 齐次线性方程组有非零解的充要条件是()

r A n

<.（注：当=时，齐次线性方程组有非零解的充要条件是它的系数行列式

m n

A=.）

注：1、基础解系不唯一，但是它们所含解向量的个数相同，且基础解系所含解向量的个数等于()

-.

n r A

2、非齐次线性方程组AX B

=的同解方程组的导出方程组（简称“导出组”）为齐次线性方程组AX O

=所对应的同解方程组。

由上面的定理可知，若m是系数矩阵的行数（也即方程的个数），n 是未知量的个数，则有：（1）当m n

<时，()

≤<，此时齐次线性方

r A m n

程组一定有非零解，即齐次方程组中未知量的个数大于方程的个数就一定有非零解；

（2）当m n

=时，齐次线性方程组有非零解的充要条件是它的系数行列式0

A=；

（3）当m n

A≠，故齐次线=且()

=时，此时系数矩阵的行列式0

r A n

性方程组只有零解；

（4）当m n >时，此时()r A n ≤，故存在齐次线性方程组的同解方程组，使“m n ≤”.

例 解线性方程组12

341

23412341

2

3

4

2350,320,4360,2470.

x x x x x x x x x x x x x x x x +-+=⎧⎪++-=⎪

⎨+-+=⎪⎪-+-=⎩

解法一：将系数矩阵A 化为阶梯形矩阵

显然有()4r A n ==，则方程组仅有零解，即12340x x x x ====.

解法二：由于方程组的个数等于未知量的个数（即m n =）（注意：方程组的个数不等于未知量的个数（即m n ≠），不可以用行列式的方法来判断），从而可计算系数矩阵A 的行列式：

231531

2132704

13

6

1247

A --=

=≠---，知方程组仅有零解，即12340x x x x ====.

例 解线性方程组123

451

2

3452

34512

3

4

5

0,3230,2260,54330.

x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ++++=⎧⎪+++-=⎪⎨+++=⎪⎪+++-=⎩

解：将系数矩阵A 化为简化阶梯形矩阵

可得()2r A n =<，则方程组有无穷多解，其同解方程组为 134523

4

55,226.

x x x x x x x x =++⎧⎨=---⎩（其中3x ，4x ，5x 为自由未知

量）

令31x =，40x =，50x =，得121,2x x ==-；令30x =，41x =，50x =，得121,2x x ==-；令30x =，40x =，51x =，得125,6x x ==-，于是得到原方程组的一个基础解系为

112100ξ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，212010ξ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，356001ξ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦

.

所以，原方程组的通解为

112233X k k k ξξξ=++（1k ，2k ，3k R ∈）.

例3 求齐次线性方程组12341

2341

2

3

4

20,

20,250.

x x x x x x x x x x x x -++=⎧⎪

-+-=⎨⎪-++=⎩的一个基础解系，并以该基础解系表示方程组的全部解. 解：将系数矩阵A 化成简化阶梯形矩阵

可得()2r A n =<，则方程组有无穷多解，其同解方程组为

12342,

0,

x x x x =-⎧⎨

=⎩（其中2x ,3x 为自由未知量）

令21x =，30x =，得142,0x x ==；令20x =，31x =，得141,0x x =-=，于是得到原方程组的一个基础解系为

12100ξ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦,21010ξ-⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦

所以，原方程组的通解为

1122X k k ξξ=+（其中1k ,2k 为任意实数）.

二、非齐次线性方程组的解法

⑴ 唯一解：()()r A r A n == ⇔线性方程组有唯一解

例 解线性方程组1

231

231

2

3

21,224,44 2.

x x x x x x x x x ++=⎧⎪

-+=-⎨⎪++=-⎩

解：2113(2)(4)1121112

1()2124032641420346r r r r A A B ⨯-++-+⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==--−−−−−→---⎢⎥⎢⎥

⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦

可见()()3r A r A ==，则方程组有唯一解，所以方程组的解为

123

1,

2,0.x x x =-⎧⎪

=⎨⎪=⎩ ⑵ 无解：()()r A r A ≠⇔线性方程组无解（或若阶梯形方程组出现

100r d +=≠，则原方程组无解）

例 解线性方程组1231

231

2

3

21,22,2 4.

x x x x x x x x x -++=⎧⎪

-+=-⎨⎪+-=⎩ 解：

1212132(1)211112

12()1212033311240336r r r r r r A A B ↔⨯+⨯-+---⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==--−−−−−→--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦23r r +−−−−

→ 121203330003--⎡⎤

⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎣⎦

，可见()3()2r A r A =≠=，所以原方程组无解. ⑶ 无穷多解：()()r A r A n =<⇔线性方程组有无穷多解

例 解线性方程组1

23

41

2

4134

23,231,2210 4.

x x x x x x x x

x x +-+=⎧⎪

+-=⎨⎪--+=⎩

解：1213(2)2111231112

3()21031012752021040241410r r r r A A B ⨯-+⨯+--⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==-−−−−−−→---⎢⎥⎢⎥

⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦

可见()()24r A r A ==<，则方程组有无穷多解，其同解方程组为

13

423

425,527.

x x x x x x =--+⎧⎨

=+-⎩ （其中3x ,4x 为自由未知量）