齐次和非齐次线性方程组的解法精编日
齐次线性方程组与非齐次线性方程组
齐次线性方程组与非齐次线性方程组线性方程组是数学中经常遇到的一类问题，其中，常常会涉及到齐次线性方程组和非齐次线性方程组。
本文将介绍齐次线性方程组和非齐次线性方程组的定义、特点以及解的求解方法。
一、齐次线性方程组（Homogeneous Linear Equations）齐次线性方程组是指系数矩阵中各行线性组合的和为零的线性方程组。
一般形式为：A_11x_1 + A_12x_2 + ... + A_1nx_n = 0A_21x_1 + A_22x_2 + ... + A_2nx_n = 0...A_m1x_1 + A_m2x_2 + ... + A_mnx_n = 0其中，A_ij为系数矩阵的元素，x_i为未知数。
齐次线性方程组的特点是零解的存在。
零解是指将所有未知数都取零时，方程组成立。
除了零解外，齐次线性方程组可能还存在非零解。
对于齐次线性方程组的求解可以采用矩阵的方法，即对系数矩阵进行行变换，将其化为行阶梯型矩阵或行最简形矩阵，然后根据矩阵的特性来求解未知数。
具体的求解方法不再赘述。
二、非齐次线性方程组（Non-Homogeneous Linear Equations）非齐次线性方程组是指系数矩阵中各行线性组合的和不为零的线性方程组。
一般形式为：A_11x_1 + A_12x_2 + ... + A_1nx_n = b_1A_21x_1 + A_22x_2 + ... + A_2nx_n = b_2...A_m1x_1 + A_m2x_2 + ... + A_mnx_n = b_m其中，A_ij为系数矩阵的元素，x_i为未知数，b_i为常数向量。
非齐次线性方程组的特点是除了零解外，可能还存在其他解。
当方程组存在解时，称其为有解方程组。
对于非齐次线性方程组的求解，可以将其转化为齐次线性方程组的形式来求解。
具体方法是将方程组转化为增广矩阵，然后对增广矩阵进行行变换，化简为行阶梯型矩阵或行最简形矩阵。
齐次和非齐次线性方程组的解法(整理定稿)
线性方程组解的结构（解法）一、齐次线性方程组的解法【定义】 r (A )= r <n ,若AX = 0（A 为m n ⨯矩阵）的一组解为,,,n r -12ξξξ ,且满足：(1) ,,,n r -12ξξξ线性无关;(2) AX = 0 的)任一解都可由这组解线性表示. 则称,,,n r -12ξξξ为AX = 0的基础解系.称n r n r k k k --=+++1122X ξξξ为AX = 0的通解 。
其中k 1,k 2,…, k n-r 为任意常数).齐次线性方程组的关键问题就是求通解， 而求通解的关键问题是求基础解系. 【定理】 若齐次线性方程组AX = 0有解，则(1) 若齐次线性方程组AX = 0（A 为m n ⨯矩阵）满足()r A n =，则只有零解； (2) 齐次线性方程组有非零解的充要条件是()r A n <.（注：当m n =时，齐次线性方程组有非零解的充要条件是它的系数行列式0A =.）注：1、基础解系不唯一，但是它们所含解向量的个数相同，且基础解系所含解向量的个数等于()n r A -. 2、非齐次线性方程组AX B =的同解方程组的导出方程组（简称“导出组”）为齐次线性方程组AX O =所对应的同解方程组。
由上述定理可知，若m 是系数矩阵的行数（也即方程的个数），n 是未知量的个数，则有：（1） 当m n <时，()r A m n ≤<，此时齐次线性方程组一定有非零解，即齐次方程组中未知量的个数大于方程的个数就一定有非零解；（2）当m n =时，齐次线性方程组有非零解的充要条件是它的系数行列式0A =； （3）当m n =且()r A n =时，若系数矩阵的行列式0A ≠，则齐次线性方程组只有零解； （4）当m n >时，若()r A n ≤，则存在齐次线性方程组的同解方程组；若()r A n >，则齐次线性方程组无解。
1、求AX = 0（A 为m n ⨯矩阵）通解的三步骤（1）−−→A C 行（行最简形）; 写出同解方程组CX =0. (2) 求出CX =0的基础解系,,,n r -12ξξξ;(3) 写出通解n r n r k k k --=+++1122X ξξξ其中k 1,k 2,…, k n-r 为任意常数.【例题1】 解线性方程组12341234123412342350,320,4360,2470.x x x x x x x x x x x x x x x x +-+=⎧⎪++-=⎪⎨+-+=⎪⎪-+-=⎩解法一：将系数矩阵A 化为阶梯形矩阵12472315071014312143001641367124726000743A --⎡⎤⎢⎥-⎡⎤-⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥=→→-⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦显然有()4r A n ==，则方程组仅有零解，即12340x x x x ====.解法二：由于方程组的个数等于未知量的个数（即m n =）（注意：方程组的个数不等于未知量的个数（即m n ≠），不可以用行列式的方法来判断），从而可计算系数矩阵A 的行列式：23153121327041361247A --==≠---，知方程组仅有零解，即12340x x x x ====.注：此法仅对n 较小时方便【例题2】 解线性方程组12345123452345123450,3230,2260,54330.x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ++++=⎧⎪+++-=⎪⎨+++=⎪⎪+++-=⎩解：将系数矩阵A 化为简化阶梯形矩阵11111321130122654331A ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦1412(5)(3)r r r r ⨯-+⨯-+−−−−→11111012260122601226⎡⎤⎢⎥----⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎣⎦2123242(1)(1)r r r r r r r ++⨯-+-⨯−−−−→10115012260000000000---⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦可得()2r A n =<，则方程组有无穷多解，其同解方程组为134523455,226.x x x x x x x x =++⎧⎨=---⎩（其中3x ，4x ，5x 为自由未知量）令31x =，40x =，50x =，得121,2x x ==-； 令30x =，41x =，50x =，得121,2x x ==-； 令30x =，40x =，51x =，得125,6x x ==-， 于是得到原方程组的一个基础解系为112100ξ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，212010ξ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，356001ξ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦.所以，原方程组的通解为 112233X k k k ξξξ=++（1k ，2k ，3k R ∈）. 二、非齐次线性方程组的解法 求 AX = b 的解（,()m n r r ⨯=A A ） 用初等行变换求解，不妨设前r 列线性无关1112111222221()00rn r n rrrn r r c c c c d c c c d c c d d +⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥−−→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦A b 行其中 0(1,2,,),ii c i r ≠= 所以知1(1)0r d +≠时,原方程组无解.1(2)0,r d r n +==时,原方程组有唯一解. 1(3)0,r d r n +=<时,原方程组有无穷多解.其通解为01122n r n r k k k --=++++X ξξξη，12,,,n r k k k -为任意常数。
§2.4非齐次线性方程组
X 0 + k1 X1 + k2 X 2 + ... + kt X t
其中 X 0 是 AX = b的一个特解，X1 , X 2 ,..., X t 是导出方
k 程组 AX = 0的一个基础解系， 1 , k2 ,...kt是 t个任意常
数。
例 求下列方程组的一般解
=0 x1 + x2 + x3 ⎧ ⎪ x + x − x − x − 2x = 1 ⎪ 1 2 3 4 5 ⎨ ⎪ 2 x1 + 2 x2 − x4 − 2 x5 = 1 ⎪5 x1 + 5 x2 − 3 x3 − 4 x4 − 8 x5 = 4 ⎩
也线性相关。 证明 因为 β 1 , β 2 , 出，所以 r{ β 1 , β 2 , 已知 α 1 ,α 2 ,
, β n 可由 α1 , α 2 ,
, α n 线性表
, β n } ≤r { α1 ,α 2 ,
,α n }
,α n 线性相关，故有
r{ α 1 ,α 2 ,
,α n } < n
于是， r{ β 1 , β 2 , 由此可得 β 1 , β 2 ,
k1 (1, 1, 0, 0) + k2 ( 0, 0, 1, 1)
设 γ 是方程组（I）与（II）的公共解，则存在数
k1，k2，k3，k4 使
γ = k1 (1, 1, 0, 0) + k2 ( 0, 0, 1, 1)
∴ 一般解为
X 0 + k1 X 1 + k 2 X 2 + k 3 X 3
▌
例 已知非齐次方程组
⎧ x1 + x2 + x3 ⎪ ⎨ 3 x1 − 2 x2 + x3 ⎪ 2 x + ax + 2bx ⎩ 1 2 3
齐次和非齐次线性方程组的解法(整理定稿)
齐次和非齐次线性方程组的解法(整理定稿)
一、齐次线性方程组
1.定义：所有方程的常数项都为0的线性方程组称为齐次线性方程组。
2.求解方法：
（1）齐次线性方程组必有解x=0，称为零解。
（2）如果齐次线性方程组的系数行列式不为0，则方程组只有零解。
（3）如果齐次线性方程组的系数行列式等于0，则方程组有非零解。
（4）对于齐次线性方程组的非零解，若x1是其中一个解，则对于k≠0，kx1也是方程组的解。
例如，对于齐次线性方程组
a1x1+a2x2+...+anxn=0
b1x1+b2x2+...+bnxn=0
……
c1x1+c2x2+...+cnxn=0
如果a1a2...an≠0，则只有零解x1=0。
如果a1a2...an=0，且b1b2...bn≠0，则有非零解
x=(b1,b2,...,bn)T和x=k(b1,b2,...,bn)T。
3.推论：对于齐次线性方程组，n个未知量的向量{x1,x2,...,xn}张成的向量空间叫做齐次线性方程组的解空间，其维数等于n-r，其中r是系数矩阵的秩。
二、非齐次线性方程组
1.定义：所有方程的常数项不都为0的线性方程组称为非齐次线性方程组。
2.求解方法：
（1）若常数项b≠0，则非齐次线性方程组必定有解。
（2）设x1和x2为非齐次线性方程组的两个解，则x1-x2为其对应齐次线性方程组的解。
（3）设x0为非齐次线性方程组的一个解，则一般解为
x=x0+kx1，其中x1为对应齐次线性方程组的解，k为任意实数。
3.推论：非齐次线性方程组的解集为齐次线性方程组的解集加上非齐次线性方程组的特解。
线性代数非齐次方程求解
1 2 3 1 1 2 3 1 1 2 3 1
A
1 2
4 4
4 6
3 4
0 0
2 0
1 0
4 6
0 0
2 0
1 0
4 6
1 2 3 4 0 0 0 3 0 0 0 0
1 0 2 5 1 0 2 0
0 0
1 0
1 2
0
2 1
0 0
1 0
1 2
0
0 1
0 0 0 2021/4/22 0 0 0 0 0
故， 1, 2, …, s 是AX = 0的基础解系.
2021/4/22
15 返回
例5 设n阶矩阵A, B满足AB = O, 证明： R(A)+R(B)≤ n.
证 设 B = (b1, …, bn), 则 AB = A(b1, …, bn) = (A b1 , …, Abn) =O, A bi = 0, i = 1, …, n.
0
2
1 5
0
3 10
1
X k11 k22, k1, k2 R.
2021/4/22
11 返回
例2 解 解
x1 2x2 3x3 0
32xx1165xx22
10 x3 7x3
0 0
x1 2x2 4x3 0
1
A
3 2
1
2 6 5 2
3 1
10 7
0 0
4 0
（证明这样的解 构成基础解系）
7 返回
5. 通解
设1, 2, …, n - r 为AX = 0 的一个基解系，则 AX = 0 的解，
= k11+ k22+ …+ kn-rn-r , k1, k2, …, kn-r R.
非齐次线性方程组的解法
非齐次线性方程组的解法线性方程组是数学中的基本概念之一，它由若干个线性等式组成，每个线性等式都可以写成\[a_1x_1 + a_2x_2 + \cdots + a_nx_n = b\]其中$a_1, a_2, \cdots, a_n$为已知系数，$b$为已知常数，$x_1, x_2, \cdots, x_n$为未知数。
如果一个方程组中的方程都是线性等式，并且未知数的个数与方程的个数相等，那么这个方程组就是一个齐次线性方程组。
否则，它就是一个非齐次线性方程组。
对于齐次线性方程组，我们可以很容易地得出解的性质。
通过高斯消元法，我们可以将齐次线性方程组转化为一个上三角方程组。
由于方程组是齐次的，所以最后一个未知数可以任意取值。
然后，一次逆推，我们就可以得到整个方程组的解。
如果未知数的个数为$n$，那么齐次线性方程组的解将包含$n-1$个自由变量。
接下来我们来讨论非齐次线性方程组的解法。
与齐次线性方程组不同，非齐次线性方程组的解并不总是存在，而且如果存在，解也不一定唯一。
所以我们需要找到一种方法来判断非齐次线性方程组是否有解，并且找到它的一个特殊解。
非齐次线性方程组有解的充分必要条件是它的系数矩阵的行秩等于增广矩阵的行秩。
如果这个条件满足，那么我们可以通过高斯消元法将方程组转化为一个上三角方程组。
当方程组用矩阵表示时，如果系数矩阵的秩小于增广矩阵的秩，那么方程组无解；如果两个秩相等，那么方程组有解。
我们可以对非齐次线性方程组做如下判断：1. 对方程组进行高斯消元操作，将其转化为上三角方程组。
2. 根据上三角方程组，判断方程组是否有解。
如果最后一行的最后一个非零元素对应的常数不为零，则方程组无解；否则，方程组有解。
3. 如果方程组有解，我们需要找到一个特殊解。
特殊解可以通过回代得到。
我们可以自由地选择最后一个未知数的值为任意常数，然后逐个回代即可求得特殊解。
4. 方程组的解是由特殊解和齐次方程组的解的线性组合得到的。
第九讲 求解非齐次线性方程组
中基础解系向量个数为
9.1 复习
以上例说明： 令
为主变量，
分别得
的解为
则
为自由变量.
9.2 求特解
这次课，考虑求解一般线性方程组
已知：(1)
有解
(2)设 是
的一特解，则
是方程全部解.
9.2 求特解
例
一个特解
则原方程组解集
从图像上看，
和
是两条平行直线.
9.2 求特解
如何求特解？ 例 解：考虑增广矩阵
§9 求解非齐次线性方程组
9.1 复习
设是
阶矩阵，考虑
行变换
行变换
(阶梯形)
主变量：主列对应的变量. 主列个数 主元个数 主变量个数
秩 无关行向量个数 无关列向量个数
列对换
9.1 复习
(1) 中主列设为第
列，则 中
列线性无关
(称为 中主列)，且 中其余列均是这些主列的线性组合.
例:
容易看出
则
(2)
则 是可逆的.
有唯一解
9.3 解的一般性讨论
则 有唯一解(特解).
只有零解，此时
例：
的列数. 考虑
无解或
有解
9.3 解的一般性讨论
则 行消去得到 个主元，即
列对换
则
变为
此时自由变量有
故这种情况下
(同解). 个.
有无穷多解.
总有特解
9.3 解的一般性讨论
有解
有解.
满足
若有解，则有无穷解
有无穷解.
9.3 解的一般性讨论
注记：
列满秩.
即 有左逆 行满秩.
即 有右逆
9.3 解的一般性讨论
齐次和非齐次线性方程组的解法整理
践性方程组解的结构(解法)一、齐sail方程纽的解法【定义】r<n,若从=0 (A为加x川矩阵)的一组解为询,$，…,爲―，且満足：(1) …境"线性无关;(2) 如GO的)任一解部可由这组解找性表示.H称盒，益，…，仏t为从=0的基硏解系.祢X = +心疋2 +…+心心为从=0的逋解。
其中危危…,怎冷任«»»).齐®att方程组的关键冋题就是来通解，而求通解的关键阿题是求基•解系.【定理】若齐次线性方程组从=0有解，!!(1) 若齐次裁性方程组以=O(A为〃以〃拒阵)葫足HA) = ", K只有零解；(2) 齐次拔性方程组有非零解的充嬰条件是r(A)<n.(注：当〃匸”时，齐ftStt方程组有非零解的充要条件是它的系数行列3|A|=0.)注：1、基础解系不唯一，但是它0所含解向最的个数相同，且基碣解系所含解旬量曲个数等于n-r(A).2、非齐次线性方程组AX=B的同解方程组的导出方程组(简称“导出组”)为齐ftSft方程组AX=O^对应的同解方程组。
由上述定理可知，若加是系数矩阵的打数(也即方程的个效)，”是未知量的个数，II有：(1) 当加<"时，r(A)<m<n t ft时齐次线性方程组一定有非零解，即齐次方程组中未知量的个数大于方程的个数旅一定有非零解；(2) 当〃匸"时，齐次拔性方程组有非零解的充要条件是它的系数行则衣国=0；(3) 当m = n且r(A) = “时，若泵数拒阵的行列刻A|H O, H齐次线U方程组只有零解；(4) 当m > H时，若r(A)<//r IS存在齐次城性方程组的同解方程组；若心)>”,则齐次拔性方程组无解。
1、来从=O(A为〃7X"矩阵)通解的三步U(1) A^-^C (行最简形)；写出同解方程组CX=Q.(2) 来岀的基硏解系询爲，•••，&・『；(3) 耳出i解X = + «$ +…+ Vr^-r其中东，忽・・・，紿为任显热有r （A ） = 4 = //,则方程组仅有零解.解法二：由于方程组的个数等于未知量的个数（即m “）（注ih 方程组的个数不等于未知量的个数（即m 知i ）,不可以用行列衣的方法来判Bi h 从而可廿算系数矩l?A 的行列式:23-15:: ：=327工0,知方程组仅有零解，即x 1=x 2=x 3=x 4=0.41—3 o1 -2 4 -7注：ft 法仅对n 较小时方便令 x 3 = 1 , x 4 = 0 , x 5=0 9 II x, =l,x 2 =-2； 令 x 3 = 0 , x 4= \ f x 5 = 0 F 得 X] = h 忑=一2 ; 令七=0 , 兀=0, X 5= \ 9 x } =5,X 2 =-6 , 于是得到原方程组的一个基碣解系为+3X 2 ~X 3 +5X 4 =0, +x 2 +2® ~X4=0, +x 2 _3兀 +6X 4 =0,—2X 2 +4X 3 一 7q =0.2xl 3x [«R1】解线性方程组「+Xy +£ +X5=0, 3x }+2x ? +九 +q—3*5 =0,X 2+2X 3 +2X 4 +6X 5 =0,5zV)+4x ) +3X 3 +3X 4 "X 5=0.[flH2]解找性方程组解法一: 将系数矩阵A 化为阶梯形矩薛2 3 4 13 11 -2-1 2 -3 45 -16 -7-274 -10 43 'T-7 14 16即 x\ =x 2=x 3=x 4=0.ri 1 1 1r"1 1 1 1■ 132 1 1 a 斤x(-5)+、 0 -1 -2 - 2 -6 1 1 一/|X (-3)+G0 1 2 2 61 2 2 6.5 4 3 3 一 L_0 _1 -2 -2 -610-1-1 0 12 2 0 0 0 0 00 0一5 6 0 0可得 r(A) = 2<n 9 解：将系数矩阵A 化为筒化阶U 站矩阵A = ；2^(-1)+?4舅方程组有无穷多解・其同解方程组为x } = x 3 +x 4 x 2 = -2X 3 -2X 4（其中X- x 4f x 5为自由未知量）所以，原方程组的通解为X=k^+k^2+k^ (k lt k2f k3eR).二、非齐次线性方程组的解狀AX=b { A mxn r(A) = r )用初等行变换*解，不ffiSSir列践性无关(1) 〃冲工0时，原方程组无解.(2) <+1=0,r = n时,泉方程纽有唯一解.(3) 為=O,r<HW,g方程组有无穷多解.其通解为X =班 +出f +••• + «—$_ , k、、％、•••,匕”为任其中：盲疋2,…疋…为从=力导出组AX=0的基碣解系，久为AX=b^特解,【定理1】如果〃是非齐次拔性方程组AX=b的解，◎是其导出组AX=0ffl-个解，»a +〃是非齐次缆性方程组AX=b的解。
线性代数课件3-5齐次线性方程组的解法
下面证明 1 , 2 , , n r 是齐次线性方程组(1)的一 个基础解系．
(1)证明 1 , 2 ,, n 线性无关.
1 0 , 0 0 1 , , 0 0 0 1
n 由于
r
个n
r
维向量
线性无关， 所以n r 个n 维向量 1 , 2 , , n r 亦线性无关.
(2)证明 1 , 2 , , n 线性无关.
设 x 1 方程组的一个解
r
r 1
n 为上述
T
. 再作 1 , 2 , , n r 的线性组合
b11 b12 b b r1 r2 r 1 1 r 2 0 n 0 1 0 0 b1 ,n r c 1 b r ,n r c r 0 r 1 0 r2 1 n
~
1 0 0
0 1 0
2 7 5 7 0
3 7 4 7 , 0
便得
2 x1 x 3 7 5 x2 x3 7
3 7 4 7
x4, x4.
x3 1 0 2 7 3 7 令 及 ,对应有 x 1 及 , 0 1 x4 x2 5 7 4 7
解
对系数矩阵施 行初等行变换
1 2 A 1 3
1 1 1 1
1 3 3 5
4 5 2 6
线性代数-非齐次线性方程组
1 1 x1 , x2 , x3 . 2 2 2
Hale Waihona Puke 12定理1 线性方程组 Amn x b有解 r ( A) r ( A | b).
且在有无穷多解时，其 通解表达式中含有 n r ( A)个任意参数。
推论
矩阵方程 AX B有解的充分必要条件是
r ( A) r ( A, B )
证明： 不妨设r(A)=r,利用初等行变换把增广 矩阵化为行阶梯形
(1) r ( A) r ( A ) 方程组无解 .
(2) r ( A) r ( A ) n 方程组有唯一解；
(3) r ( A) r ( A ) < n 方程组有无穷多解；
Ann x b ， 推论 对n 元非齐次线性方程组
(1)r ( A) n，即 A可逆时,方程组有唯一 解.
证
对增广矩阵 A 进行初等变换，
方程组的增广矩阵为
0 0 1 1 0 1 1 0 0 0 0 1 1 0 A 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1
0 0 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 0 ~ 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0
方程组
例3
x1 x2 x x 2 3 证明方程组 x3 x4 x x 5 4 x5 x1
a1 a2 a3 a4 a5 有解的充要条件
是a1 a2 a3 a4 a5 0. 在有解的情况下，求出 它 的一切解．
问取何值时, 有唯一解? 无解？有无穷多个解 ?
解一 对增广矩阵 A ( A, b) 作初等行变换，
4.3非齐次线性方程组
(k1,k2∈R)
x1 − 2 x 2 + 3 x 3 − x4 = 1 例2 求解方程组 3 x1 − x 2 + 5 x 3 − 3 x4 = 2 2 x + x + 2 x − 2 x = 3 2 3 4 1
1 3 解: B = 2 1 − 2 ~ 0 5 − 0 0
方程组(1)的系数阵 方程组 的系数阵: 的系数阵
a11 ⋯ A= a m 1
a11 ⋯ B= a m 1
a12 ⋯ a1n ⋯ ⋯ ⋯ =(β1,β2,⋅⋅⋅ βn) ⋅⋅⋅, ⋅⋅⋅ a m 2 ⋯ a mn
a12 ⋯ ⋯ a1n ⋯ ⋯ b1 ⋯ =(β1,β2,⋅⋅⋅ βn,b) ⋅⋅⋅, ⋅⋅⋅ bn
方程组(1)的增广阵 方程组 的增广阵: 的增广阵
a m 2 ⋯ a mn
方程组(1)有解 ⋅⋅⋅,x 方程组 有解x1,x2,⋅⋅⋅ n 有解 ⋅⋅⋅ 存在一组数x ⋅⋅⋅,x ⋅⋅⋅+x ⇔存在一组数 1,x2,⋅⋅⋅ n,使x1β1+⋅⋅⋅ nβn=b ⋅⋅⋅ 使 ⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅, ⇔b可由β1,⋅⋅⋅ βn线性表示 可由 ⋅⋅⋅ 下面四种提法可互为充要条件: 下面四种提法可互为充要条件 1° 方程组 有解 有解. ° 方程组(1)有解 2° b可由β1,⋅⋅⋅ βn线性表示 ⋅⋅⋅, ° 可由 ⋅⋅⋅ 3° 向量组β1,⋅⋅⋅ βn与向量组β1,β2,⋅⋅⋅ βn,b等价 ⋅⋅⋅, ⋅⋅⋅, ° ⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅ 等价 4° R(A)=R(B) ° 定理二 非齐次线性方程组(1)有解 有解⇔ 非齐次线性方程组 有解⇔R(A)=R(B)
1 λ 1 ~ 0 λ − 1 1 − λ − 0 1 − λ 1 − λ2
齐次方程组和非齐次方程组的解
齐次方程组和非齐次方程组的解齐次方程组和非齐次方程组是线性代数中的重要概念，它们在解决实际问题中起着重要作用。
本文将分别介绍齐次方程组和非齐次方程组的定义、特点以及求解方法。
一、齐次方程组的解齐次方程组是指方程组的右边等于零的线性方程组。
具体来说，对于一个n元线性方程组，可以表示为：a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn = 0a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn = 0...an1x1 + an2x2 + ... + annxn = 0其中a11, a12, ..., ann为常数，x1, x2, ..., xn为未知数。
齐次方程组的特点是它必定有解，因为至少有一个平凡解，即所有未知数取零的解。
除了平凡解外，齐次方程组还可能有非平凡解，即至少存在一组未知数不全为零的解。
求解齐次方程组的一种方法是利用矩阵的性质，将其转化为矩阵方程。
具体步骤是将系数矩阵A和未知数向量X写成矩阵的形式：AX = 0其中A是一个n×n的矩阵，X是一个n×1的列向量。
根据线性代数的知识可知，当且仅当矩阵A的行列式不为零时，方程组有唯一解即平凡解。
当矩阵A的行列式为零时，方程组有无穷多解即非平凡解。
这是因为非零行向量可以线性组合得到零向量，从而得到非平凡解。
另一种求解齐次方程组的方法是使用高斯消元法。
通过对系数矩阵进行行变换，将其化为行简化阶梯形矩阵，从而得到方程组的解。
二、非齐次方程组的解非齐次方程组是指方程组的右边不等于零的线性方程组。
具体来说，对于一个n元线性方程组，可以表示为：a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn = b1a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn = b2...an1x1 + an2x2 + ... + annxn = bn其中a11, a12, ..., ann为常数，b1, b2, ..., bn为已知常数，x1, x2, ..., xn为未知数。
线性齐次及非齐次方程的解法
作业
习 题 五 （P230）
1 （1）（3）（5）；
4 ； 6 （2）。
4.4.2 常系数 线性微分方程
第十二章
一、求解常系数线性齐次微分方程 二、求解常系数线性齐次微分方程
18
一、二阶常系数齐次线性微分方程:
①
和它的导数只差常数因子,
∴ e x 与 xe x 线性无关。
定理 2.
是二阶线性齐次方程的两个线
性无关特解, 则 y C1y1(x) C2 y2 (x)
数) 是该方程的通解. (自证)
例如, 方程
有特解
且
y2 y1
tan
x
常数, 故方程的通解为
推论.
是 n 阶齐次方程
的 n 个线性无关解, 则方程的通解为
y C1y1 Cn yn (Ck为任意常数)
4
说明:
y C1y1(x) C2 y2 (x) 不一定是所给二阶方程的通解.
例如,
是某二阶齐次方程的解, 则
也是齐次方程的解
但是
并不是通解
为解决通解的判别问题, 下面引入函数的线性相关与 线性无关概念.
5
定义: 设 y1(x), y2 (x), , yn (x) 是定义在区间 I 上的
n 个函数, 若存在不全为 0 的常数
u 0
取 u = x , 则得 y2 x er1 x , 因此原方程的通解为 y ( C1 C2 x ) er1 x
20
3. 当 p2 4 q 0 时, 特征方程有一对共轭复根
这时原方程有两个复数解:
y1 e( i ) x e x (cos x i sin x ) y2 e( i ) x e x (cos x i sin x )
齐次和非齐次的区别非齐次线性方程组解如何判别
齐次和非齐次的区别非齐次线性方程组解如何判别
常数项不同：齐次线性方程组的常数项全部为零，非齐次方程组的常数项不全为零。
表达式不同：齐次线性方程组表达式：Ax=0；非齐次方程组程度常数项不全为零：Ax=b。
如果系数矩阵的秩小于增广矩阵的秩，方程组无解；如果系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，方程组有解。
齐次和非齐次的区别
1、常数项不同：
齐次线性方程组的常数项全部为零，非齐次方程组的常数项不全为零。
2、表达式不同：
齐次线性方程组表达式：Ax=0；非齐次方程组程度常数项不全为零： Ax=b。
非齐次线性方程组解的判别
如果系数矩阵的秩小于增广矩阵的秩，方程组无解；如果系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，方程组有解。
在有解的情况下，如果系数矩阵的秩等于未知数的个数，非齐次线性方程组有唯一解。
如果系数矩阵的秩小于未知数的个数，非齐次线性方程组有无穷多解，如果有无穷多解，先求所对应齐次线性方程组的基础解系，再求出非齐次线性方程组的一个特解。
由此可知：如果非齐次线性方程组有无穷多解，则其对应的齐次线性方程组一定有非零解，且非齐次线性方程组的全部解（通解）可表示为：对应齐次线性方程组的通解+非齐次线性方程组的特解。
齐次线性方程组求解步骤
（1）对系数矩阵A进行初等行变换，将其化为行阶梯形矩阵；
（2）若r(A)=r=n（未知量的个数），则原方程组仅有零解，即x=0，求解结束；若r(A)=r<n（未知量的个数），则原方程组有非零解，进行以下步骤：
（3）继续将系数矩阵A化为行最简形矩阵，并写出同解方程组；
（4）选取合适的自由未知量，并取相应的基本向量组，代入同解方程组，得到原方程组的基础解系，进而写出通解。
齐次和非齐次线性方程组的解法定稿
齐次和非齐次线性方程组的解法定稿This manuscript was revised by the office on December 10, 2020.线性方程组解的结构（解法）一、齐次线性方程组的解法【定义】 r (A )= r <n ,若AX = 0（A 为m n ⨯矩阵）的一组解为,,,n r -12ξξξ ,且满足：(1) ,,,n r -12ξξξ线性无关;(2) AX = 0 的)任一解都可由这组解线性表示. 则称,,,n r -12ξξξ为AX = 0的基础解系.称n r n r k k k --=+++1122X ξξξ为AX = 0的通解 。
其中k 1,k 2,…, k n-r 为任意常数).齐次线性方程组的关键问题就是求通解， 而求通解的关键问题是求基础解系. 【定理】 若齐次线性方程组AX = 0有解，则(1) 若齐次线性方程组AX = 0（A 为m n ⨯矩阵）满足()r A n =，则只有零解； (2) 齐次线性方程组有非零解的充要条件是()r A n <.（注：当m n =时，齐次线性方程组有非零解的充要条件是它的系数行列式0A =.） 注：1、基础解系不唯一，但是它们所含解向量的个数相同，且基础解系所含解向量的个数等于()n r A -.2、非齐次线性方程组AX B =的同解方程组的导出方程组（简称“导出组”）为齐次线性方程组AX O =所对应的同解方程组。
由上述定理可知，若m 是系数矩阵的行数（也即方程的个数），n 是未知量的个数，则有： （1） 当m n <时，()r A m n ≤<，此时齐次线性方程组一定有非零解，即齐次方程组中未知量的个数大于方程的个数就一定有非零解；（2）当m n =时，齐次线性方程组有非零解的充要条件是它的系数行列式0A =； （3）当m n =且()r A n =时，若系数矩阵的行列式0A ≠，则齐次线性方程组只有零解； （4）当m n >时，若()r A n ≤，则存在齐次线性方程组的同解方程组；若()r A n >，则齐次线性方程组无解。
非齐次方程组的解
非齐次方程组的解1、列出方程组的增广矩阵：做初等行变换，得到最简矩阵。
2、利用系数矩阵和增广矩阵的秩：判断方程组解的情况，R(A)＝R(A，b)＝3<4。
所以，方程组有无穷解。
3、将第五列作为特解：第四列作为通解，得到方程组的通解，过程如下图：扩展资料：非齐次线性方程组Ax=b的求解步骤：（1）对增广矩阵B施行初等行变换化为行阶梯形。
若R(A)<R(B)，则方程组无解。
（2）若R(A)=R(B)，则进一步将B化为行最简形。
（3）设R(A)=R(B)=r；把行最简形中r个非零行的非0首元所对应的未知数用其余n-r个未知数（自由未知数）表示，并令自由未知数分别等于，即可写出含n-r个参数的通解。
非齐次线性方程组有唯一解的充要条件是rank(A)=n。
非齐次线性方程组有无穷多解的充要条件是rank(A)<n。
（rank(A)表示A的秩）微分方程中有两个地方用到“齐次”的叫法：1、形如的方程称为“齐次方程”，这里是指方程中每一项关于x、y的次数都是相等的，例如都算是二次项，而算0次项，方程中每一项都是0次项，所以是“齐次方程”。
2、形如（其中p和q为关于x的函数）的方程称为“齐次线性方程”，这里“线性”是指方程中每一项关于未知函数y及其导数y',y'',……的次数都是相等的（都是一次）。
“齐次”是指方程中没有自由项（不包含y及其导数的项），方程就不是“齐次”的，因为方程右边的项x不含y及y的导数，因而就要称为“非齐次线性方程”。
另外在线性代数里也有“齐次”的叫法，例如称为二次齐式，即二次齐次式的意思，因为f中每一项都是关于x、y的二次项。
6-齐次线性方程组的解法
- 8 1 2 750 1 - 8 2 1200 1 1 - 9 2250
1 0 0 200 0 1 0 250 0 0 1 300
所以此方程组的解为 x1 200 x2 250 x 300 3
若各部门在计划期内的最终产品为y1=75,y2=120, y3=225，预测各部门在计划期内的总产出x1,x2,x3.
解：列出此经济系统在计划期内的产品分配 平衡表。
产出 投入
1 生产部门 2 3
消费部门 最终产品 1 2 3 0.2x1 0.1x2 0.2x3 75 0.1x1 0.1x1 0.2x2 0.1x2 0.2x3 0.1x3 120 225
取x4为自由未知量， 则方程可化为
x1 c x 2 c 令x4 c， 则方程的解为 x 3 0 x4 c
x1 x 4 , x x , 4 2 x3 0
第四节 投入产出问题
投入产出是分析研究经济各个部分（作为 生产单位或消费单位的产业部门、行业、产品 等）之间表现为投入和产出的相互依存关系的 一种经济数量分析方法。由美国经济学家里昂 惕夫1933年提出。
产出 投入
消费部门 农业 工业 190 1520 95 1995 3800 其他 30 180 60 330 600 60 90 30 420 600
最终产品 总产出 320 2010 415 600 3800 600
农业 生产部门 工业 其他 创造价值 总投入
xij 解： 由公式 aij 得出直接消耗系数矩阵 xj
令X ( x1 , x 2 ,, xn )T , Y ( y 1 , y 2 ,, y n )T , 则上式可化为矩阵方程
非齐次线性方程组通解的一种简便求法
非齐次线性方程组通解的一种简便求法非齐次线性方程组通解的一种简便求法非齐次线性方程组是线性代数中的一个重要概念，它的一般形式为Ax=b，其中A为n×n矩阵，b为n维向量。
求解非齐次线性方程组的关键在于找到其通解，即包含所有解的集合。
本文将介绍一种简便的求法，帮助读者快速掌握非齐次线性方程组的通解。
一、基本概念在介绍求法之前，我们先回顾一下非齐次线性方程组的基本概念。
定义1：非齐次线性方程组的一般形式为Ax=b，其中A为n×n矩阵，b为n 维向量。
定义2：若x1和x2都是非齐次线性方程组的解，则称x1-x2为对应的齐次线性方程组的解。
定义3：非齐次线性方程组的通解是其所有解的集合，通常表示为x=η0+k1η1+k2η2+.+kn-rηn-r，其中η0为特解，η1, η2, . ηn-r为对应齐次线性方程组的基础解系，k1, k2, . kn-r为任意常数。
二、简便求法接下来我们介绍一种简便的求法，分为以下几步：Step 1：将增广矩阵(A|b)进行初等行变换，化为行阶梯形矩阵。
Step 2：根据行阶梯形矩阵，找出非零行的首个非零元素所在的列，将这些列对应的未知量作为主元，其他未知量作为自由未知量。
Step 3：将行阶梯形矩阵进一步化简为行最简形矩阵，使得主元上方的元素都为0，主元下方的元素都为0。
Step 4：根据行最简形矩阵，写出非齐次线性方程组的通解。
其中，特解可直接从行最简形矩阵中得到，基础解系则需要根据自由未知量的取值进行构造。
三、示例解析下面我们通过一个具体的例子来说明这种简便求法的应用。
例：求解非齐次线性方程组2x+y-z=13x-y+2z=4x+y+z=3Step 1：将增广矩阵(A|b)进行初等行变换，化为行阶梯形矩阵。
(A|b)=[2 1 -1 1; 3 -1 2 4; 1 1 1 3] → [1 0 0 2; 0 1 0 1; 0 0 1 -1] Step 2：根据行阶梯形矩阵，找出非零行的首个非零元素所在的列，将这些列对应的未知量作为主元，其他未知量作为自由未知量。
齐次线性方程组的解法
齐次线性方程组的解法非齐次线性方程组ax=b有解的充分必要条件是：系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，即rank(a)=rank(a， b)（否则为无解）。
非齐次线性方程组有唯一解的充要条件是rank(a)=n。
当系数矩阵a的秩等于增广矩阵b的秩时非齐次线性方程组有解。
（矩阵的秩就是指矩阵通过初等行变换和初等列变换得到的非零行或非零列的个数。
）当方程存有唯一解时，r(a)=r(b)=n；当方程组有无限多个解时,r(a)=r(b)=r\ucn；当方程组难解时，r（a）＜r（b）。
1、非齐次线性方程组：常数项不全为零的线性方程组比如：x+y+z=1;2x+y+3z=2;4x-y+3z=3;2、齐次线性方程组：常数项全部为零的线性方程组例如：x+y+z=0;2x+y+3z=0;4x-y+3z=0;齐次线性方程组求解步骤：1、对系数矩阵a展开初等行转换，将其化成行阶梯形矩阵；2、若r(a)=r=n（未知量的个数），则原方程组仅有零解，即x=0，求解结束；若r(a)=r\ucn（未知量的个数），则原方程组存有非零求解，展开以下步骤：3、继续将系数矩阵a化为行最简形矩阵，并写出同解方程组；4、挑选出最合适的民主自由未知量，并挑适当的基本向量组，代入同解方程组，获得原方程组的基础卢播，进而写下吉龙德。
（1）对增广矩阵b施行初等行变换化为行阶梯形。
若r(a)\ucr(b)，则方程组无解。
（2）若r(a)=r(b)，则进一步将b化成行及最简形。
（3）设r(a)=r(b)=r；把行最简形中r个非零行的非0首元所对应的未知数用其余n-r个未知数（自由未知数）表示，并令自由未知数，即可写出含n-r个参数的通解。
第四章第三节+非齐次线性方程组
λ −1 −1 1 − 1 λ − 1 − λ B = [ A, b] = 2 − 1 − 1 λ λ
15
返回
1 1 −λ −λ 0 λ +1 − (λ + 1) − λ (λ + 1) . 2 0 0 (λ + 1)(λ − 2) (λ + 1)(λ − 1)
⋯
1 − 2 3 − 1 1 0 5 − 4 0 − 1 . 0 0 2 0 0
R( A) ≠ R( B ). ∴ 原方程组无解 .
14
∵ R( A) = 2, R(B) = 3.
返回
例3. 求线性方程组
λ x1 − x 2 − x 3 = 1, − x1 + λ x 2 − x 3 = − λ , − x1 − x 2 + λ x 3 = λ 2 有唯一解、无穷多个解、 所取的值. 有唯一解、无穷多个解、无解时λ 所取的值
x1 − 2 x2 + 3 x3 − x4 = 1, 3 x1 − x2 + 5 x3 − 3 x4 = 2, 2 x1 + x2 + 2 x3 − 2 x4 = 3.
13
返回
增广阵: 解: 增广阵:
1 − 2 3 − 1 1 B = 3 − 1 5 − 1 2 2 1 2 − 2 3
2
返回
则方程组④可写成 则方程组④可写成:
x1 β 1 + x 2 β 2 + ⋯ + x n β n = b
④的系数阵: 的系数阵
⑤
a 11 ⋯ A= am 1
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齐次和非齐次线性方程组的解法精编日
Company number【1089WT-1898YT-1W8CB-9UUT-92108】
线性方程组的解法
注意：考试以非齐次线性方程组的无穷多解为主要考查点，但是同学们学得时候要系统，要全面，要完整。
下面是解线性方程组各种情况的标准格式，请同学们以此为准，进行练习。
一、齐次线性方程组的解法
定理齐次线性方程组一定有解：
(1) 若齐次线性方程组()
=，则只有零解；
r A n
(2) 齐次线性方程组有非零解的充要条件是()
r A n
<.（注：当=时，齐次线性方程组有非零解的充要条件是它的系数行列式
m n
A=.）
注：1、基础解系不唯一，但是它们所含解向量的个数相同，且基础解系所含解向量的个数等于()
-.
n r A
2、非齐次线性方程组AX B
=的同解方程组的导出方程组（简称“导出组”）为齐次线性方程组AX O
=所对应的同解方程组。
由上面的定理可知，若m是系数矩阵的行数（也即方程的个数），n 是未知量的个数，则有：（1）当m n
<时，()
≤<，此时齐次线性方
r A m n
程组一定有非零解，即齐次方程组中未知量的个数大于方程的个数就一定有非零解；
（2）当m n
=时，齐次线性方程组有非零解的充要条件是它的系数行列式0
A=；
（3）当m n
A≠，故齐次线=且()
=时，此时系数矩阵的行列式0
r A n
性方程组只有零解；
（4）当m n >时，此时()r A n ≤，故存在齐次线性方程组的同解方程组，使“m n ≤”.
例 解线性方程组12
341
23412341
2
3
4
2350,320,4360,2470.
x x x x x x x x x x x x x x x x +-+=⎧⎪++-=⎪
⎨+-+=⎪⎪-+-=⎩
解法一：将系数矩阵A 化为阶梯形矩阵
显然有()4r A n ==，则方程组仅有零解，即12340x x x x ====.
解法二：由于方程组的个数等于未知量的个数（即m n =）（注意：方程组的个数不等于未知量的个数（即m n ≠），不可以用行列式的方法来判断），从而可计算系数矩阵A 的行列式：
231531
2132704
13
6
1247
A --=
=≠---，知方程组仅有零解，即12340x x x x ====.
例 解线性方程组123
451
2
3452
34512
3
4
5
0,3230,2260,54330.
x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ++++=⎧⎪+++-=⎪⎨+++=⎪⎪+++-=⎩
解：将系数矩阵A 化为简化阶梯形矩阵
可得()2r A n =<，则方程组有无穷多解，其同解方程组为 134523
4
55,226.
x x x x x x x x =++⎧⎨=---⎩（其中3x ，4x ，5x 为自由未知
量）
令31x =，40x =，50x =，得121,2x x ==-；令30x =，41x =，50x =，得121,2x x ==-；令30x =，40x =，51x =，得125,6x x ==-，于是得到原方程组的一个基础解系为
112100ξ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，212010ξ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，356001ξ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦
.
所以，原方程组的通解为
112233X k k k ξξξ=++（1k ，2k ，3k R ∈）.
例3 求齐次线性方程组12341
2341
2
3
4
20,
20,250.
x x x x x x x x x x x x -++=⎧⎪
-+-=⎨⎪-++=⎩的一个基础解系，并以该基础解系表示方程组的全部解. 解：将系数矩阵A 化成简化阶梯形矩阵
可得()2r A n =<，则方程组有无穷多解，其同解方程组为
12342,
0,
x x x x =-⎧⎨
=⎩（其中2x ,3x 为自由未知量）
令21x =，30x =，得142,0x x ==；令20x =，31x =，得141,0x x =-=，于是得到原方程组的一个基础解系为
12100ξ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦,21010ξ-⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦
所以，原方程组的通解为
1122X k k ξξ=+（其中1k ,2k 为任意实数）.
二、非齐次线性方程组的解法
⑴ 唯一解：()()r A r A n == ⇔线性方程组有唯一解
例 解线性方程组1
231
231
2
3
21,224,44 2.
x x x x x x x x x ++=⎧⎪
-+=-⎨⎪++=-⎩
解：2113(2)(4)1121112
1()2124032641420346r r r r A A B ⨯-++-+⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==--−−−−−→---⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦
可见()()3r A r A ==，则方程组有唯一解，所以方程组的解为
123
1,
2,0.x x x =-⎧⎪
=⎨⎪=⎩ ⑵ 无解：()()r A r A ≠⇔线性方程组无解（或若阶梯形方程组出现
100r d +=≠，则原方程组无解）
例 解线性方程组1231
231
2
3
21,22,2 4.
x x x x x x x x x -++=⎧⎪
-+=-⎨⎪+-=⎩ 解：
1212132(1)211112
12()1212033311240336r r r r r r A A B ↔⨯+⨯-+---⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==--−−−−−→--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦23r r +−−−−
→ 121203330003--⎡⎤
⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎣⎦
，可见()3()2r A r A =≠=，所以原方程组无解. ⑶ 无穷多解：()()r A r A n =<⇔线性方程组有无穷多解
例 解线性方程组1
23
41
2
4134
23,231,2210 4.
x x x x x x x x
x x +-+=⎧⎪
+-=⎨⎪--+=⎩
解：1213(2)2111231112
3()21031012752021040241410r r r r A A B ⨯-+⨯+--⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==-−−−−−−→---⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦
可见()()24r A r A ==<，则方程组有无穷多解，其同解方程组为
13
423
425,527.
x x x x x x =--+⎧⎨
=+-⎩ （其中3x ,4x 为自由未知量）
令340,0,x x ==得原方程组的一个特解2500η-⎡⎤⎢⎥
⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦
.
又原方程组的导出组的同解方程组为13
423
45,27.
x x x x x x =-+⎧⎨
=-⎩（其中
3x ,4x 为自由未知量）
令31x =，40x =，得121,2x x =-=；令30x =，41x =，得
125,7x x ==-，于是得到导出组的一个基础解系为
11210ξ-⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，25701ξ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦。
所以，原方程组的通解为
1122X k k ηξξ=++（1k ，2k R ∈）.
例 求线性方程组 的全部解.
解： 21111()1211211213A A B -⎡⎤⎢⎥==-⎢⎥
⎢⎥⎣⎦
12
12
13(2)(1)r r r r r r ↔⨯-+⨯-+−−−−→ 12
1120333301121-⎡⎤⎢⎥---⎢⎥⎢⎥-⎣⎦
可见()()34r A r A ==<，所以方程组有无穷多解，其同解方程组为
1
4243
431,2
3,211.2x x x x x x ⎧
=-⎪⎪
⎪
=
⎨⎪
⎪
=-⎪⎩
（其中4x 为自由未知量）
令40x =，可得原方程组的一个特解1010η⎡⎤⎢⎥
⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦
.
又原方程组的导出组的同解方程组为1
4243
43,2
3,21.2x x x x x x ⎧
=-⎪⎪
⎪
=⎨⎪
⎪
=-⎪⎩
（其中4x 为自由未
知量）
令42x =-（注：这里取-2为了消去分母取单位向量的倍数），得，
1233,3,1x x x ==-=，于是得到导出组的一个基础解系为3312ξ⎡⎤
⎢⎥
-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦
.
所以，原方程组的通解为
X k ηξ=+ （k R ∈）.。