材料力学梁的弯曲变形第4节 简单超静定梁

yB yB1 yB2 0
力F1单独作用时，查表 6-1 得
yB1


F1a 2 6EI
(3l

a)
力F2单独作用时，查表 6-1 得
yB2

F2l 3 3EI
代入变形协调条件得
+
F2

F1 2
a3 l3
(3 l a
1)
• 用静力学平衡方程求解
n
Fix 0
i 1
n
Fiy 0
84.9 kN m
两根槽钢组成的截面梁，要求其抗弯截面系数
2WZ

M max
[ ]

708 cm3
查 B-3 表 28b 槽钢
表 WZ 366 cm3
i 1
n
M A (Fi ) 0
i 1
FAx 0
联
FAy F1 F2 0
立 求
M A F1a F2l 0 解
+
F2

F1 2
a3 l3
(3
l a
1)
即 可
注意 多余约束的选取并不是唯一的，只要是维持 平衡额外的约束，都可以视为多余约束，也就是说相 当系统可以有不同的选择。
补充方程
yB 0
ql4 Fl3 0 8EI 3EI
（5）求解多余约束力 F 3 ql (1) 8
（6）列方程求 A 处支反力
n
Fix 0
i 1
n
Fiy 0
i 1
n
M A (Fi ) 0
i 1
FAx 0
( 2)
FAy F ql 0 (3)
MA

ql 2 2

Fl

0
( 4)
联立求解即可
FAx 0
FAy

5ql 8
MA

ql 2 8
（7）画剪力图和弯矩图
FS ( x)

5ql 8

qx
M (x) ql2 5ql x 1 qx2 88 2
例6-9 例 6-8 中，若 q 10 kN/m ，l 8 m，材料
• 将原来的超静定梁在形式上
转力变F2成共在同载作荷用下F1和的多静余定未悬知臂
梁，称为原静不定梁的相当 系统。
• 为了使相当系统和原超静定 梁相同，要求在多余约束处 必须符合超静定梁的变形协 调条件。
在本例中
yB 0
+
• 现在利用叠加法求图示梁的 B 点的挠度。
• 超静定梁的变形协调条件：
求解静不定梁的关键在于确定多余约束反力，其 方法和步骤可概述如下：
• 根据约束反力与独立平衡方程的数目，判断梁的静 不定次数；
• 解除多余约束，以相应的多余约束力代替其作用， 得到原静不定梁的相当系统；
• 计算相当系统在多余约束处的位移，并由相应的变 形协调条件建立补充方程，由此求出多余支反力。
例6-8 梁的约束如图，承受均布载荷 q 作用，试
静不定次数 = 未知约束力总个数 独立平衡方程数
• 超静定梁的求解方法：与求解轴向拉压超静定问题
类似，为了求解静不定梁，除列出静力平衡方程式
外，还需要变形协调条件以及力与位移间的物理关
系，建立的补充方程个数应与静不定次数相等，这
样才能解出全部约束反力。
解除多余约束，以
举例说明分析静不定梁的解法 多余未知力F2 代替
许用应力 [ ] 120 MPa ，选用两根热轧普通槽钢组
成如示截面梁，试选择槽钢型号。
（1）不考虑梁自重的影响； （2）考虑梁自重的影响。
解：（1）不考虑梁自重影响
由弯矩方程和弯矩图
M max

ql 2 8
源自文库0 kN m
两根槽钢组成的截面梁，要求其抗弯截面系数
2WZ

M max
[ ]
• 超静定梁：在工程中，有时为了提高粱的强度和刚 度，或由于构造上的需要，会给静定梁增加约束， 于是，梁未知约束力（支反力）的数目就超过了静 力学平衡方程的数目，某些约束力不能完全由静力 学平衡方程求出，这就是静不定梁，或者称为超静 定梁。
静不定次数 = 未知约束力总个数 独立平衡方程数
• 多余约束：在静定梁上增加的约束，对于维持构件 平衡来说是多余的，因此，常把这种对维持构件平 衡并非必要的约束称为多余约束。与多余约束所对 应的支座反力或反力偶，统称为多余约束反力。
求约束力 F 、FAx、FAy
力图和弯矩图。
，以及约束力偶
M
，并画出剪
A
解：（1）梁的静不定次数 梁是一次静不定梁
（2）选择相当系统
（3）在相当系统上计算解 除约束处的变形
yB yBq yBF
查表
yBq

ql4 ， 8EI
yBF

Fl3 3EI
+
（4）将相当系统与原静不定梁的变形进行比较，列出

667 cm3
查 B-3 表 28a 槽钢
表 WZ 340 cm3
（2）考虑梁自重影响
查表得 28a 槽钢理论重量为 31.427 kg/m，如果考 虑槽钢自重，则二根槽钢
qG 2 31.427 9.8 N/m 0.6154 kN/m
由弯矩方程和弯矩图
M max

(q qG )l 2 8