材料力学-梁的弯曲问题
材料力学(赵振伟)梁的弯曲变形2
3. 应用叠加原理的若干情况 1 ) 荷载的分解或重组
q m
q
L/2 L/2
L
F
q
q
m L/2 L/2
F
例
q0
EI
A 求图示自由端的挠度。
L2
L2
q0
L
w1
q0
w3
B
w2
L2
L2
w1
q0 L4 8EI
w2
q0 L 24
8EI
q0 L4 128EI
w3
B
L 2
q0 L 23
6EI
L 2
q0 L4 96EI
wA
w1
w2
w3
41q0 L4 384EI
2) 逐段刚化法
依据： 若结构可分为若干部分，且各部分在荷载作用下的 变形不是相互独立的，那么，结构中 A 点的位移是各个部 分在这一荷载作用下的变形在 A 点所引起的位移的叠加。
A EI a
变形刚体
F
F
Fa 2
B
C
a/2
wwww1122
B (F1, F2,, Fn ) B1(F1) B2 (F2 ) Bn(Fn )
yB (F1, F2,, Fn ) yB1(F1) yB2 (F2 ) yBn(Fn )
叠加法的特征： 1、梁在简单载荷作用下挠度、转角应为已知或有变形表可查； 2、叠加法适用于求梁个别截面的挠度或转角值。
分析和讨论
q
在下列不同的支承方 式中，哪一种刚度最高？
q
q
分析和讨论
q
梁由混凝土材料制成，如果横截面从左图改为右图，能 够改善强度吗？能够改善刚度吗？
梁的材料由普通钢改为优质钢，能够改善强度吗？ 梁的材料由普通钢改为优质钢，能够改善刚度吗？
材料力学第七章课后题答案 弯曲变形
(a) (b)
7
该梁的位移边界条件为：
在x 0处， w0 dw 在x 0处， 0 dx 将条件(c)与(d)分别代入式(b)和(a)，得 D 0，C 0 4．建立挠曲轴方程 将所得 C 与 D 值代入式(b)，得挠曲轴的通用方程为
1 Fa 2 F 3 3Fa [ x x xa EI 4 6 4 由此得 AC 段、 CD 段和 DB 段的挠曲轴方程依次为 w
5．计算 wC 和 θ B 将 x a 代入上述 w1或w2 的表达式中，得截面 C 的挠度为
41qa 4 ( ) 240EI 将以上所得 C 值和 x 2a 代入式(a)，得截面 B 的转角为 wC θB qa 3 7 4 16 1 187 203qa 3 [ ] EI 24 24 24 720 720 EI ()
(4)
D1 0 ， C1
由条件（4） 、式（a）与（c） ，得
qa 3 12 EI
C2
由条件（3） 、式（b）与（d） ，得
qa 3 3EI
D2
7qa 4 24 EI
3. 计算截面 C 的挠度与转角 将所得积分常数值代入式（c）与（d） ，得 CB 段的转角与挠度方程分别为
q 3 qa 3 x2 6 EI 3EI 3 q qa 7 qa 4 4 w2 x2 x2 24 EI 3EI 24 EI 将 x2=0 代入上述二式，即得截面 C 的转角与挠度分别为
5．计算 wC 和 θ B 将 x a 代入上述 w1 或 w2 的表达式中，得截面 C 的挠度为
Fa 3 ( ) 12 EI 将以上所得 C 值和 x 3a 代入式(a)，得截面 B 的转角为 wC
工程力学---材料力学第七章-梁弯曲时位移计算与刚度设计经典例题及详解
P
B C
l 2 l 2
A
x
P 解：AC段：M ( x ) x 2 y P EIy x 2 A P 2 EIy x C x 4 l 2 P 3 EIy x Cx D 12
P
B C
l 2
x
由边界条件： x 0时，y 0
l 由对称条件： x 时，y 0 2
梁的转角方程和挠曲线方程分别为：
最大转角和最大挠度分别为：
11qa max A 1 x1 0 6 EI 19qa 4 ymax y2 x2 2 a 8EI
3
例5：图示变截面梁悬臂梁，试用积分法
求A端的挠度 P
I
2I
l
fA 解： AC段 0 x l
B
P 3 2 EIy x C2 x D2 6
由边界条件： x l时,y=0, =0
得：
C2
1 1 Pl 2 , D2 Pl 3 2 3
l x 时,yC左 =yC右 , C左 = C右 由连续条件： 2
5 3 2 C1 Pl , D1 Pl 3 16 16
由连续条件： x1 x2 a时, y1 y2 , y1 y2
由边界条件： x1 0时, y1 0
0 x 2 a 时 , y 由对称条件： 2 2
得 D1 0
C1 C2 得 D1 D2
11 3 得 C2 qa 6
qa 1 (11a 2 3 x12 ) 0 x1 a 6 EI q 2 [3ax2 2 ( x2 a)3 11a 3 a x2 2a 6 EI qa y1 (11a 2 x1 x13 ) 0 x1 a 6 EI q y2 [4ax23 ( x2 a) 4 44a 3 x2 ] a x2 2a 24 EI
材料力学——4梁的弯曲内力
21
例题1 图所示，悬臂梁受集中力F作用， 试作此梁的剪力图和弯矩图 解： 1.列剪力方程和弯矩方程
FQ ( x) F
(0＜x＜l ) (0≤x＜l)
M ( x) Fx
2.作剪力图和弯矩图 由剪力图和弯矩图可知：
FQ M
max max
F Fl
22
例题 2简支梁受均布荷载作用，如图示， 作此梁的剪力图和弯矩图。 解：1.求约束反力 由对称关系，可得： 1 FAy FBy ql 2 2.列剪力方程和弯矩方程
Q2 Q1– Q2=P
x
x
梁的内力计算的两个规律：
（1）梁横截面上的剪力FQ，在数值上等于该截 面一侧（左侧或右侧）所有外力在与截面平行方 向投影的代数和。即：
FQ
F
yi
若外力使选取研究对象绕所求截面产生顺时针 方向转动趋势时，等式右边取正号；反之，取 负号。此规律可简化记为“顺转剪力为正”， 或“左上，右下剪力为正”。相反为负。
12
二、例题
[例1]：求图（a）所示梁1--1、2--2截面处的内力。 q 2 解：截面法求内力。 qL 1 1--1截面处截取的分离体 1 a y qL A M1 x1 Q1 图（b） 2 b 如图（b）示。
x
图（a）
Y qL Q1 0 Q1 qL
mA( Fi ) qLx1 M1 0 M1 qLx1
作梁的剪力图 FQB右=4kN/m×2m=8kN，FQD=0
34
35
27
3. 弯矩图与剪力图的关系
(1)任一截面处弯矩图切线的斜率等于该截面 上的剪力。 (2) 当FQ图为斜直线时，对应梁段的M图为二 次抛物线。当FQ图为平行于x轴的直线时，M图 为斜直线。
材料力学 典型案例
材料力学典型案例材料力学典型案例：1. 悬臂梁的弯曲问题悬臂梁是一种常见的结构，经常用于桥梁、楼梯和支撑物等。
在悬臂梁的弯曲问题中，常常需要计算梁的挠度和应力分布。
通过应用材料力学的理论和公式，可以准确计算出悬臂梁在外力作用下的弯曲情况，并确定梁的安全性。
2. 拉伸试验中的应力应变关系拉伸试验是材料力学中常用的实验方法之一，用于确定材料的力学性质。
在拉伸试验中，通过施加不断增加的拉伸力，测量材料的应变和应力，得到应力应变关系曲线。
该曲线可以描述材料在拉伸过程中的变形和破坏行为。
3. 管道的弯曲问题管道的弯曲问题是材料力学中的一个重要问题。
在工程实践中，经常需要对管道进行弯曲设计和分析。
通过应用材料力学的理论和方法，可以计算出管道在外力作用下的应力和变形情况，从而确定管道的强度和稳定性。
4. 钢筋混凝土梁的受弯问题钢筋混凝土梁是建筑结构中常用的承载构件之一。
在设计和施工过程中，需要对钢筋混凝土梁的受弯性能进行分析和计算。
通过应用材料力学的理论和公式，可以确定钢筋混凝土梁在受弯作用下的应力和变形情况，并评估梁的承载能力和安全性。
5. 地基沉降引起的结构变形问题地基沉降是建筑结构中常见的问题之一，它会导致结构的变形和破坏。
通过应用材料力学的理论和方法，可以计算出地基沉降引起的结构变形和应力分布，从而评估结构的稳定性和安全性，并提出相应的加固措施。
6. 薄壁容器的承载问题薄壁容器是化工和食品等行业常用的储存和运输设备。
在设计和使用过程中，需要对薄壁容器的承载能力进行评估。
通过应用材料力学的理论和公式，可以计算出薄壁容器在内外压力作用下的应力和变形情况，从而确定容器的安全性和可靠性。
7. 斜拉桥的稳定性问题斜拉桥是一种特殊的桥梁结构，具有较大的跨度和较轻的自重。
在斜拉桥的设计和施工过程中，需要对桥梁的稳定性进行分析和计算。
通过应用材料力学的理论和方法，可以确定斜拉桥在外力作用下的应力和变形情况，从而评估桥梁的稳定性和安全性。
《材料力学》弯曲计算-习题
②无均布载荷段弯矩图均为直线。有均布载荷段，弯矩图为
抛物线，其开口与均布载荷方向相同。
(3)弯矩、剪力、载荷集度的关系
①
M '(x) F S (x) F S'(x) q(x)
② FS=0的点是M图的取极值的点，FS=0的段M图是平行
于轴线的直线。
注意: 内力图上要注明控制面值、特殊点纵坐标值。
利用微分关系绘内力图
y
B截面 30.3 +
z
C截面 15.1 z
-
+
69
34.5
(d) 单位:MPa
Engineering Mechanics
四、弯曲 弯曲强度计算
例3 之二
解：（1）求截面形心轴，即中性轴z轴。
yC
( yi Ai ) Ai
170 30 170 30 200 (170 30)
2
2
17030 30 200
解：（1）外力分析，判变形。
10kN
50kN
(a) A
CD
B
z
4m
2m
4m
求得支坐反力
FA 26kN ,FB 34kN
荷载与梁轴垂直，梁将发
26kN 26 16
34kN
生平面弯曲。中性轴z过形心
+ (b)
与载荷垂直，沿水平方向。
FQ(kN)
104 136
34
（2）内力分析，判危险面。剪力
+
(c)
⑤解题步骤：
1）外力分析，判变形、中性轴，求截面的几何性质、支反力。 2）内力分析，判危险面，画剪力图、弯矩图（可只画弯矩图）
3）应力分析，判危险点。 4）强度计算。
工程力学---材料力学(第七章- 梁弯曲时位移计算与刚度设计)经典例题及详解
得： D 0
Pl 2 得： C 16
AC段梁的转角方程和挠曲线方程分别为：
P 2 2 (4 x l ) 16 EI Px y (4 x 2 3 l 2 ) 48 EI
y
P
B
A
x
l 2
C
l 2
x
最大转角和最大挠度分别为：
max A B
ymax y
q 7qa 8k 384 EI
3
q/2
B C
q/2
A B C
顺时针
q/2
例16：图示梁Ｂ处为弹性支座，弹簧刚 度
EI k 求C端挠度fC。 2a 3
q
A
EI k
B
C
2a
a
解：(1)梁不变形，仅弹簧变形引起的C点挠度为 4 3 qa 3qa B处反力=qa fC 1 2 k EI
q
B
x
l
由边界条件： x 0时，y 0
x l时，y 0
得：
ql 3 C , D0 24
梁的转角方程和挠曲线方程分别为：
y
q 2 3 3 (6lx 4 x l ) 24 EI
q
x
A qx y (2lx 2 x 3 l 3 ) 24 EI
ql 3 24 EI
A a a
q
B C
a
qa 12 EI
顺时针
3 3
P=qa
A B
P=qa
m=qɑ²/2
qa qa C B 6 EI 4 EI
4
顺时针
B
q
C
qa 5qa fC B a 8EI 24 EI
弯曲-理论力学,经典
②精确适用于纯弯曲梁；
③对于横力弯曲的细长梁(跨度与截面高度比l/h>5)，
上述公式的误差不大，但公式中的M应为所研究截面
上的弯矩，即为截面位置的函数。
M ( x) y 1 M ( x) , Iz ( x) EI z
26 材料力学多媒体_孙艳 例题
b III、三种典型截面对中性轴的惯性矩 1.矩形截面 h
2qa 2qa FS图
2qa2
M图
6qa2
15 材料力学多媒体_孙艳 例题
Ⅱ、平面曲杆 面内受力时的内力——轴力、剪力、弯矩 弯矩的符号约定——使杆的曲率增加（即外侧受拉） 为正 作平面曲杆内力图的约定与刚架相同。 F m B m
A
材料力学多媒体_孙艳
R
O
16 例题
例 一端固定的四分之一圆环，半径为R，在自由端 B受轴线平面内的集中荷载F作用如图，试作出其内 力图。 F h F m FS( B m FN( z M R ( A O O 解：取分离体如图写出其任意横截面m-m上的内力 方程： FN F sin 0 π/2
E
E
A
ydA E I yz 0
E
Sz 0
中性轴z通过截面形心
(2) M y
A
zydA
(3) M z y dA
A
E
A
y dA
2
E
Iz M
M EI z
24
1
材料力学多媒体_孙艳
例题
4.纯弯曲梁横截面上的应力(弯曲正应力)：
My ①距中性层y处的应力： Iz ②梁的上下边缘处，弯曲正应力取得最大值，分别 为：
材料力学B试题6弯曲变形
弯曲变形1。
已知梁的弯曲刚度EI 为常数，今欲使梁的挠曲线在x =l /3处出现一拐点，则比值M e1/M e2为：（A) M e1/M e2=2； （B ） M e1/M e2=3；（C ） M e1/M e2=1/2； （D) M e1/M e2=1/3.答:(C)2。
外伸梁受载荷如致形状有下列(A)（B)、（C ）,(D)答:(B)3. 简支梁受载荷并取坐标系如图示，则弯矩M 、剪力F S 与分布载荷q 之间的关系以及挠曲线近似微分方程为： （A ）EI x M xw q xF FxM )(d d ,d d ,d d 22SS ===；(B ）EI x M x w q x F F x M )(d d ,d d ,d d 22S S =-=-=; （C)EI x M xw q x F F x M )(d d ,d d ,d d 22S S -==-=;(D ）EI x M xw q x F F x M )(d d ,d d ,d d 22S S -=-==。
答：（B ）4。
弯曲刚度为EI 的悬臂梁受载荷如图示,自由端的挠度EIl M EI Flw B 232e3+=（↓)则截面C 处挠度为：（A ）2e 3322323⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫⎝⎛l EI M l EI F （↓）;（B ）233223/323⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛l EI Fl l EI F （↓）； （C）2e 3322)3/(323⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫⎝⎛l EI Fl M l EI F （↓）；(D)2e 3322)3/(323⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫⎝⎛l EI Fl M l EI F (↓）.答：（C ）5. 画出（a ）、（b)、(c ）三种梁的挠曲线大致形状。
答：6.7.(a ）、(b)刚度关系为下列中的哪一种: (A) （a)＞（b ）； (B) (a)＜(b)；（C ） (a)=（b ）； （D) 不一定. 答：(C)8。
材料力学-梁的弯曲刚度
同时，还会加大齿轮磨损，同时将在转动的过程中产生很大的 噪声。
此外，当轴的变形很大时，轴在支承处也将产生较大的转角， 从而使轴和轴承的磨损大大增加，降低轴和轴承的使用寿命。
解：1． 确定梁约束力 首先，应用静力学方法求得梁 在支承A、C二处的约束力分别如图 中所示。
2． 分段建立梁的弯矩方程
因为B处作用有集中力FP，所以需要分为AB和BC两段建立 弯矩方程。
在图示坐标系中，为确定梁在0～l/4范围内各截面上的弯矩， 只需要考虑左端A处的约束力3FP/4；而确定梁在l/4～l范围内各 截面上的弯矩，则需要考虑左端A处的约束力3FP/4和荷载FP。
材料力学
第6章 梁的弯曲刚度
小挠度微分方程
对于小挠度问题
d2 X ( dx2
)2
d2Y ( dx2
)2
d2Y dx2
1M EI
d2Y dx2
d2w dx2
M EI
对于弹性曲线的小挠度微分方程，式中的正负号与w坐标的取 向有关。
何斌
Page 17
材料力学
第6章 梁的弯曲刚度
小挠度微分方程
d2w 0,M 0
在平面弯曲的情形下，梁上的任意微段的两横截面绕 中性轴相互转过一角度，从而使梁的轴线弯曲成平面曲线， 这一曲线称为梁的挠度曲线（deflection curve）。
何斌
Page 6
材料力学 何斌
第6章 梁的弯曲刚度
梁的挠度与曲率
根据上一章所得 到的结果，弹性范围 内的挠度曲线在一点 的曲率与这一点处横 截面上的弯矩、弯曲 刚度之间存在下列关 系：
材料力学 第6章 梁的弯曲变形
(c)
材料力学
第2章第剪6章切与梁连的接弯件曲的变实形用计算
在本章所取的坐标系中，
上凸的曲线w″为正值，下凸的为负值。
如图6-5所示。 按弯矩正负号的规定，正弯矩对应着负的w″， 负弯矩对应着正的w″，故（c）式
w
M (x)
(1
w2 )3 2
EI z
在小变形情况下， w dw 是一个很小的量， dx
则 w'2为高阶微量，可略去不计，故
挠曲线的近似微分方程
M x
w EI z
EIw''= −M (x)
(6-1b)
图6-5
材料力学
第2章第剪6章切与梁连的接弯件曲的变实形用计算
6.4 积分法计算梁的变形
对于等直梁，可以直接积分，计算梁的挠度和转角。 将式(6-1b)积分一次，得到
EIw′ = EIθ = −∫ M (x) dx + C
maxFl 2 2EI来自A xyF
θmax B
x
wmax
l
图6-7 例题 6-1 图
wm a x
Fl 3 3EI
θ max为正值，表明梁变形后，截面B顺时针转动；
wmax为正值，表明点B位移向下。
材料力学
第2章第剪6章切与梁连的接弯件曲的变实形用计算
例题6-2 一简支梁受均布荷载q作用，如图6-8所示。试求梁的转角方程和 挠度方程， 并确定最大挠度和A、B截面的转角。设梁的弯曲刚度为EI。
A x
y
F
θmax B
x
wmax
l
进行两次积分，得到
EIw EI Flx Flx2 C
(a)
2
EIw Flx2 Fx3 Cx D
材料力学-弯曲变形
二、叠加法求梁的变形 梁的刚度校核
1. 叠加法求梁的变形
当梁上同时受几种荷载作用时，我们可用叠加法来计算 梁的变形。其方法是：先分别计算每一种荷载单独作用时所 引起的 梁的变形（挠度或转角），然后求出各种荷载作用下 变形的代数和，即得到这些荷载共同作用下的变形。一般工 程中要找的是特定截面的变形（最大挠度和最大转角）。我 们将一些简单荷载作用下梁变形的计算公式列成教材中表81，以供选用。
2
式(8-2)再积分一次得：
y
1 EI
M( x)dxdx
Cx
D 8
3
式(8-2)、(8-3)为转角方程和挠曲线方程。式中常数C、D
可由边界条件确定。
图8-1a 图8-1b
（图8-1a）的边界条件为：
x 0, yA 0; x l, yB 0
（图8-1b）的边界条件为：
x 0, yA 0;
ql 3 24EI
, B
ql 3 24EI
转角 A 为负值，表明A截面绕中性轴作顺时针方向转动； 转角 B 为负值，表明B截面绕中性轴作逆时针方向转动。
例2：试计算图示梁的转角方程和挠曲线方程，并求 ymax
例2图
设：a>b
解：（一）分段建立弯矩方程和挠曲线近似微分方程并积分二次
AC 段 (0 x1 a)
C1a D1 C2a D2 将 C1 C2, D1 0 代入上式得：D1 D2 0
将 D2
0 代入式e得：C2
Pbl 6
P(l a)3 6l
化简后得：
C1
C2
Pb 6l
(l 2
b
2)
（三） 列出转角方程和挠曲线方程：将C1,C2, D1, D2代入式 a,b,c,d得：
材料力学实验四 直梁弯曲实验
实验四 直梁弯曲实验预习要求：1、复习电测法的组桥方法；2、复习梁的弯曲理论；3、设计本实验的组桥方案；4、拟定本实验的加载方案；5、设计本实验所需数据记录表格。
一、 实验目的：1. 电测法测定纯弯梁横截面上的正应变分布，并与理论值进行比较，验证理论公式；2. 电测法测量三点弯梁横截面上的正应变分布及最大切应变，并 与理论值进行比较，验证理论公式； 3．学习电测法的多点测量方法及组桥练习。
二、实验设备：1. 微机控制电子万能试验机；2. 电阻应变仪；三、实验试件：本实验所用试件为中碳钢矩形截面梁，其横截面设计尺寸为h ×b =(50×30)mm 2，a=50mm , 材料的屈服极限MPa s 360=σ, 弹性模量 E=210GPa ，泊松比μ=0.28。
四.实验原理及方法：处于纯弯曲状态的梁，在比例极限内，根据平面假设和单向受力假设，其横截面上的正应变为线性分布，距中性层为 y 处的纵向正应变和横向正应变为：()()ZZM y y E I M yy E I εεμ⋅=⋅⋅'=-⋅ （1）距中性层为 y 处的纵向正应力为：()()zM yy E y I σε⋅=⋅=（2） 本实验采用重复加载法，多次测量在一级载荷增量∆M 作用下，产生的应变增量∆ε和∆ε’。
于是式（1）和式（2）分别变为：()()()ZZZM y y E I M yy E I M y y I εεμσ∆⋅∆=⋅∆⋅'∆=-⋅∆⋅∆=（3） （4）在本实验中，/2M P a ∆=∆⋅ （5） 最后，取多次测量的平均值作为实验结果：111()()()()()()Nnn Nnn Nnn y y Ny y Ny y Nεεεεσσ===∆∆='∆'∆=∆∆=∑∑∑ （6）三点弯曲时，最大切应力理论值为：As2F 3max =理论τ （7） 其实验值测量方法为在最大切应力所在中性层处沿与轴线成±45°布置单向应变片，测量出其应变值，则最大切应力的实验值为：()()︒+︒===4545-max 2-G 2G G εεγτ实验 （8）本实验采用电测法,测量采用1/4桥，如下图五所示。
材料力学梁的弯曲应力
52 y
解：（1）求截面形心
z1
8 0 2 0 1 0 12 20 0 80
z
yc
5m 2 m 8 0 2 0 12 200
（2）求截面对中性轴z的惯性矩
Iz
80 20 3 12
80 20 42 2
20 120 3 20 120 28 2 12
7.64 10 6 m4
28
2.5kN.m 4kN.m
与实验结果相符。
9
（2）应力分布规律
在线弹性范围内，应用胡克定律
sE E y
(b)
对一定材料， E=C； 对一定截面，
1
C.
sy
——横截面上某点处的应力与此点距中性轴的距离y成比例。
当 y0时,s0；
应力为零的点的连线。
s s yyma 时 x, ma.x
M
与实验结果相符。
10
（3）由静力平衡方程确定中性轴的位置及应力计算公式
Iz
即使最大拉、压应力同时达到许用应力值。 y
c
y2
z
y1
压边
39
（二）、合理安排载荷和支承的位置，以降低
M
值。
max
1、载荷尽量靠近支座：
F
F
A
A
B
B
0.8L
0.5L
L
L
0.25FL (+)
M 图
0.16FL (+)
M 图
40
F
F
A
BA
B
0.9L
L
L
0.09FL
(+)
M 图
M 图
41
2、将集中力分解为分力或均布力。
材料力学剪力弯曲为什么可以忽略的例题
在材料力学中，当研究某些结构的弯曲行为时，有时可以合理地忽略剪力的影响。
这通常发生在以下情况：
1.细长梁：对于细长梁（即长度远大于其横截面尺寸的梁），剪切变形通常比弯曲变
形小得多。
因此，在分析细长梁的弯曲时，可以忽略剪切变形的影响。
2.均匀截面梁：对于具有均匀横截面的梁，剪切应力和剪切变形在横截面上是均匀分
布的。
这意味着剪切变形对梁的整体弯曲行为的影响较小，因此可以忽略。
3.弹性范围内的小变形：在弹性范围内，如果梁的变形相对较小，剪切变形的影响也
会相应减小。
在这种情况下，可以合理地忽略剪切变形，而只考虑弯曲变形。
下面是一个简单的例题，说明了在什么情况下可以忽略剪力弯曲的影响：
例题：考虑一个均匀细长的悬臂梁，其长度为L，横截面面积为A，弹性模量为E，受到一个集中力F的作用在自由端。
求梁的挠度。
解：由于梁是细长的，并且受到的是集中力，剪切变形的影响相对较小。
因此，我们可以忽略剪切变形，只考虑弯曲变形。
根据材料力学的基本原理，梁的挠度可以通过以下公式计算：
挠度= (F * L^3) / (3 * E * I)
其中，I是梁的截面惯性矩。
这个公式只考虑了弯曲变形，没有考虑剪切变形的影响。
因此，对于这个问题，我们可以忽略剪力弯曲的影响，使用上述公式来计算梁的挠度。
需要注意的是，这个例题仅适用于特定的情况（如细长梁、均匀截面、弹性范围内的小变形等）。
在其他情况下，剪切变形可能不能忽略，需要更全面的分析。
材料力学习题弯曲变形
弯曲变形基本概念题一、选择题1.梁的受力情况如图所示，该梁变形后的挠曲线如图（）所示(图中挠曲线的虚线部分表示直线，实线部分表示曲线)。
2. 如图所示悬臂梁，若分别采用两种坐标系，则由积分法求得的挠度和转角的正负号为（）。
题2图题1图A．两组结果的正负号完全一致B．两组结果的正负号完全相反C．挠度的正负号相反，转角正负号一致D．挠度正负号一致，转角的正负号相反3.已知挠曲线方程y = q0x(l3 - 3lx2 +2 x3)∕(48EI)，如图所示，则两端点的约束可能为下列约束中的（）。
题3图4. 等截面梁如图所示，若用积分法求解梁的转角、挠度，则以下结论中（）是错误的。
A．该梁应分为AB、BC两段进行积分B．挠度积分表达式中，会出现4个积分常数-26-题4图 题5图 C ．积分常数由边界条件和连续条件来确定D ．边界条件和连续条件表达式为x = 0，y = 0；x = l ，0==右左y y ，0='y 5. 用积分法计算图所示梁的位移，边界条件和连续条件为( )A ．x = 0，y = 0；x = a + l ，y = 0；x = a ，右左y y =，右左y y '=' B ．x = 0，y = 0；x = a + l ，0='y ；x = a ，右左y y =，右左y y '=' C ．x = 0，y = 0；x = a + l ，y = 0，0='y ；x = a ，右左y y =D ．x = 0，y = 0；x = a + l ，y = 0，0='y ；x = a ，右左y y '=' 6. 材料相同的悬臂梁I 、Ⅱ，所受荷载及截面尺寸如图所示。
关于它们的最大挠度有如下结论，正确的是（ ）。
A ． I 梁最大挠度是Ⅱ梁的41倍 B ．I 梁最大挠度是Ⅱ梁的21倍 C ． I 梁最大挠度与Ⅱ梁的相等 D ．I 梁最大挠度是Ⅱ梁的2倍题6图 题7图 7. 如图所示等截面梁，用叠加法求得外伸端C 截面的挠度为（ ）。
3.3梁的弯曲变形分析
单位为M Pa
MM-和y截面上的弯矩 均以绝对值代入，至于弯曲 (N.mm) 正应力是拉应力还是压应力，则 y--计算点到中性轴距离(mm) 由欲求应力的点处于受拉侧还是 4 受压侧来判断。受拉侧的弯曲正 Iz--横截面对中性轴惯性矩 mm 应力为正，受压侧的为负。
推导过程
1）沿y轴线性分布，同 一坐标y处，正应力相 等。中性轴上正应力为 零。
梁发生平面弯曲时，横截面上一般产生两种 内力，即剪力和弯矩。
d A dA
dA
dA FS dA M M FS
dA M dA FS
在横截面上，只有法向内力元素dN=σdA才能合成
弯矩M，只有切向内力元素d FS =τdA才能合成剪力 FS
• 在横截面上，只有弯矩M，没有剪 力Fs，这种弯曲称为纯弯曲； • 横截面上同时有弯矩M和剪力Fs， 这种弯曲称为横力弯曲。
0.2L
M
qL2 8
x
M
qL2 40 qL2 50
+
x
+
qL2 50
合理布置载荷
F=qL q
L
L
M
qL2 4
x +
M
qL2 8
x +
合理布置载荷
F=qL F=qL
对称
L/5 4L/5
M
qL2 4
M x +
qL2/10
x
合理布置载荷
2. 合理选择梁的截面，用最小的截面面积得 到大的抗弯截面模量。
推论：
梁在弯曲变形时，上面部分纵向纤维缩短， 下面部分纵向纤维伸长，必有一层纵向纤维 既不伸长也不缩短,保持原来的长度，这一纵 向纤维层称为中性层。 中性层与横截面的交线称为中性轴
《材料力学》课件5-6梁内的弯曲应变能
弯曲应变能对应力分布的影响
弯曲应变能对梁内应力分布的影响
在梁弯曲过程中，由于弯曲应变能的存在，梁内的应力分布会发生变化。在靠近梁的自由端区域，弯 曲应变能较低，因此应力水平较低；而在靠近固定端区域，弯曲应变能较高，因此应力水平也相应较 高。
弯曲应变能对梁的承载能力的影响
弯曲应变能的大小直接影响到梁的承载能力。随着弯曲应变能的增加，梁的承载能力会逐渐降低。因 此，在设计梁时，应充分考虑弯曲应变能的影响，以确保梁的承载能力满足使用要求。
应变能与外力势能的关系
01
应变能是外力势能的一部分，当外力对物体做功时，应变能逐 渐增加。
02
当外力去除后，应变能逐渐释放，使物体恢复原状。
应变能的大小取决于材料的弹性模量、应变程度以及外力的大
03
小和作用方式。
弯曲应变能的计算方法
弯曲应变能计算公式： $U = int_{L} frac{1}{2}EI left( frac{dtheta}{dx} right)^2 dx$
弯曲应变能对应力平衡的影响
弯曲应变能对梁内应力平 衡的影响
在梁弯曲过程中，由于弯曲应变能的释放或 吸收，会对梁内的应力平衡状态产生影响。 当梁受到外力作用时，弯曲应变能的变化会 引起梁内应力的的影响
在分析梁的稳定性时，需要考虑弯曲应变能 的作用。通过引入弯曲应变能的相关因素， 可以更准确地预测梁在受到外力作用时的稳 定性状态，从而为梁的设计和优化提供依据
梁的弯曲应变能与截面尺寸的关系
截面尺寸对弯曲应变能的影响
梁的截面尺寸对弯曲应变能有一定影响。一般来说，随着截面尺寸的增大，梁的弯曲应 变能也会相应增大。这是因为较大的截面尺寸意味着更多的材料参与弯曲变形，导致应
变能的增加。
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线弹性，位移可以叠加
F F F
F1+F2
F2 F1 O Δ 1 Δ O Δ Δ2 O Δ2 Δ Δ1 Δ
1+2
非线性弹性，位移不可以叠加
F F F
F2 F1 O Δ1 Δ
F1+F2
1
Δ Δ2 O Δ2 Δ Δ
O
1+2
叠加原理成立的前提条件：
（1）小变形 （2）材料满足虎克定理（线性本构关系）
FRA
FRA FRB
ql 2
x l
FRB
(2)列出剪力方程和弯矩方程 取距左端为x处的任一截面，此截面的剪力和弯矩 表达式分别为: l FQ x FRA qx q x
2
x q M x FRA x qx x l x 2 2
FQ图 M图
a F l
a F 1 a l
5 集中力偶Me作用处
FRA
Me
x
b
FRA
Me l
Me l
l
FQ图
FRB
FRB
Me l
M图
bMe
bM e
l
Me
l
结论:在有集中力偶作用的地方弯矩图发生突 变(剪力不变)，突变的数值等于集中力偶的大小，
方向为“顺下逆上”。
2
q=12kN/m
1.5m
2
B
FRA
3m
FRB
(3) 求2-2截面的剪力FQ2、弯矩M2 根据2-2截面右侧的外力计算可得：
FQ2 q 1.5 FRB 11kN
M 2 q 1.5 0.75 FRB 1.5 30kN m
F =8kN A 1 2 1.5m B q=12kN/m 1 2
5qa
a
FQ
a
2qa
D
qa
M 2qa 2
3qa
2qa 2
15.5 叠加法作剪力图和弯矩图
F q
A a
C b
l
D
Me
B
结论：q、F、Me共同作用时产生的内力等于q、F、 Me分别单独作用时产生的内力之和。
因此，当梁上有几种（或几个）荷载作用时，可以 先分别计算每种（或每个）荷载单独作用时的梁的反 力和内力，然后将这些分别计算所得的结果代数相加 得梁的反力和内力。这种方法称为叠加法。
例9 试判断图示各题的FQ、M图是否正确，如 有错请指出并加以改正。
例1 图示简支梁受两个集中力作用，已知F1=12kN， F2=10kN，试计算指定截面1-1、2-2的内力。
0.5m F1 1
F2
2
1m
A FRA 1m
1 2
B FRB
1.5m 3m
解：(1) 求支座反力
M B 0 F1 2.5 F2 1.5 FRA 3 0
Fy 0
q/2 C
l
A
EI
B
A
q/2
EI
B
C l
q/2
F Q图 M图
三、画剪力图、弯矩图的简便方法 例7 图示左端外伸梁，外伸端A作用一集中力偶 Me=qa2，BA段所受荷载的分布集度为q，试利用微分 关系作梁的剪力图、弯矩图。
Me C A B a FRA
3a
q
FRB
解：(1)求支座反力
M
A
0 FRB
FRA 5ql FRB 4ql
A (O) FRA
C l/3
F
D
Me
B l/3
FRB
l
(2)分三段AC、CD、DB列出剪力方程和弯矩方程 AC段
FQ x FRA 5ql M x FRA x 5ql x
CD段
FQ x FRA F 4ql
q x 0
dFQ x dx
q x
二、剪力图、弯矩图的规律 q
FQ M FQ
>0 =0 >0 <0
直线段
=0 <0 >0 <0 >0 <0
M
★结论（规律）：
(1)当梁的支承情况对称，荷载也对称时，则弯矩 图永为对称图形，剪力图永为反对称图形；
(2)当梁的支承情况对称，荷载反对称时，则弯矩 图永为反对称图形，剪力图永为对称图形。
B l/3
FRB
l
(3)画剪力图、弯矩图，标出特征值
FRA 5ql
FRB 4ql
5ql FQ x 4ql 4ql
5ql x 2 M x 3ql 4qlx 4ql 2 4qlx
A (O )
FRA
C
1 1
F
2 2
Me
D l/3 l
B
FRB
l/3
5ql
FQ图
4 ql
M图
4 ql 2 3
5ql 2 3
ql 2 3
结论：
●当梁上荷载有变化时，剪力方程和弯矩方程 不可能用一个统一的函数式来表达，必须分段列出 其表达式。分段是以集中力、集中力偶的作用位置 及分布荷载的起点和终点为界。 ●剪力图和弯矩图一般是连续的 。在集中力作 用处剪力图发生突变，突变的数值等于集中力的大 小，方向与集中力的方向相同；在有集中力偶作用 的地方弯矩图发生突变，突变的数值等于集中力偶 的大小，方向为“顺下逆上”。
Fl
M
-
结论:剪力图为一水平直线，弯矩图为斜率 的绝对值等于FS一斜直线 （＼）。
3 FQ x C 0
A l
-
B F F
FQ
M Fl
结论:剪力图为一水平直线，弯矩图为斜率的绝对值 等于FS一斜直线 （／）。
+
2 q(x)>0
A
q
B
l
ql/2
FQ图
ql/ 2
M图
结论:剪力图为斜率等于q的 一斜直线（／） ，弯矩图 为抛物线（开口向下）。
M 1 FRA 2 F 2 1.5 26kN m
根据1-1截面右侧的外力计算可得
FQ1 q 3 FRB 7kN
可见计算结果完全相同。
A
F=8kN
M 1 q 3 2.5 FRB 4 26kN m
1 1
2m 1.5m
例8 作梁的内力图
P=3kN M2=6kNm M1=2kNm q=1kN/m
A
FRA=5kN
B
FRB=4kN
2m
2
2m
2m
2
2m
FQ (kN) 3
6
+
6 4
+
2 8
6
M(kNm)
q
qa
q
qa qa
a
FQ
a
a 2qa qa
qa
M
qa / 2
2
qa / 2
2
2qa 2
q
2qa
C
A
B 2a
qa
FRB
FQ F1 ql F2 sin FRB
l M F1 e ql e c M e F2 sin f b FRB f 2
例3 求图示简支梁1-1与2-2截面的剪力和弯矩。
F =8kN A 1 2 1.5m q=12kN/m
1
2 B
FRA
2m 1.5m
3m
FRB
解：(1)求支座反力
M M
B
0
FR A 6 8 4.5 12 3 1.5
FR B 6 8 1.5 12 3 4.5
FR A 15kN
FR B 29kN
A
0
(2)求1-1截面的剪力FQ1、弯矩M1 根据1-1截面左侧的外力计算可得： FQ1 FRA F 15 8 7kN
弯曲内力
MB A
q
MA B B
l
+
MB
MA
+
M0
+
MB M0
M x M x M x
0
MA1 q(x)=0 Q x CA l FQ M
+
1 FQ x 0
B
Me
结论:弯矩图为一水平直线 。
2 FQ x C 0
A l
F B
F FQ
M 2 FRA 2 F1 1.5 F2 0.5
FQ2 FRA F1 F2
FQ M FRA
F1
F2 FQ2
M2
结论：
M 2 FRA 2 F1 1.5 F2 0.5
1 梁的任一横截面上的剪力在数值上等于该截面左 侧（或右侧）所有竖向力（包括斜向外力的竖向分力、 约束反力）的代数和；且截面左边向上（右边向下） 的外力使截面产生正号的剪力。
15.4 弯矩、剪力、荷载集度之间的关系
一、弯矩、剪力、荷载集度之间的关系
C l/3 l
dM x FQ x dx
F
Me
A (O )
D l/3
B
5ql x 2 M x 3ql 4qlx 4ql 2 4qlx
5ql FQ x 4ql 4ql
2 梁的任一横截面上的弯矩在数值上等于该截面左 侧（或右侧）所有竖向力对该截面形心力矩的代数和 （包括外力偶、约束反力偶）；且截面左边顺时针 （右边逆时针）的力矩使截面产生正号的弯矩。
例2 试利用上述结论写出图示梁1-1截面上的剪力和 弯矩的表达式。
e 1 F1 c l q