材料力学-梁的弯曲问题
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FRA 5ql FRB 4ql
A (O) FRA
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
C l/3
F
D
Me
B l/3
FRB
l
(2)分三段AC、CD、DB列出剪力方程和弯矩方程 AC段
FQ x FRA 5ql M x FRA x 5ql x
CD段
FQ x FRA F 4ql
B
FRB
l/3
5ql
FQ图
4 ql
M图
4 ql 2 3
5ql 2 3
ql 2 3
结论：
●当梁上荷载有变化时，剪力方程和弯矩方程 不可能用一个统一的函数式来表达，必须分段列出 其表达式。分段是以集中力、集中力偶的作用位置 及分布荷载的起点和终点为界。 ●剪力图和弯矩图一般是连续的 。在集中力作 用处剪力图发生突变，突变的数值等于集中力的大 小，方向与集中力的方向相同；在有集中力偶作用 的地方弯矩图发生突变，突变的数值等于集中力偶 的大小，方向为“顺下逆上”。
(3)求2-2截面上的内力
0.5m F1 1
F2
F1
2 1m 2
F2
M2
A FRA 1
1m 3m
B FRB
A
1.5m
FRA
FQ2
F
y
0
FQ2 FRA F1 F2 0 FQ2 7kN
FQ2 FRB
FQ2 FRA F1 F2
M
O
0 M 2 FRA 2 F1 1.5 F2 0.5 0 M 2 7kN m
例1 图示简支梁受两个集中力作用，已知F1=12kN， F2=10kN，试计算指定截面1-1、2-2的内力。
0.5m F1 1
F2
2
1m
A FRA 1m
1 2
B FRB
1.5m 3m
解：(1) 求支座反力
M B 0 F1 2.5 F2 1.5 FRA 3 0
Fy 0
2 F x F x l 3 3 ql 4ql x M x RA
DB段
FQ x FRA F 4ql
M x FRA x F x l 3 Me 4ql 2 4qlx
A (O) FRA
C
l/3
F
D
Me
当变形为微小时，可采用变 形前尺寸进行计算。
1、叠加原理：当梁在各项 荷载作用下某一横截面上 的弯矩等于各荷载单独作 用下同一横截面上的弯矩 的代数和。 2、区段叠加法作弯矩图： 设简支梁同时承受跨间荷 载q与端部力矩MA、MB的作用 。其弯矩图可由简支梁受端部 力矩作用下的直线弯矩图与跨 间荷载单独作用下简支梁弯矩 图叠加得到。即：
例8 作梁的内力图
P=3kN M2=6kNm M1=2kNm q=1kN/m
A
FRA=5kN
B
FRB=4kN
2m
2
2m
2m
2
2m
FQ (kN) 3
6
+
6 4
+
2 8
6
M(kNm)
q
qa
q
qa qa
a
FQ
a
a 2qa qa
qa
M
qa / 2
2
qa / 2
2
2qa 2
q
2qa
C
A
B 2a
qa
2 梁的任一横截面上的弯矩在数值上等于该截面左 侧（或右侧）所有竖向力对该截面形心力矩的代数和 （包括外力偶、约束反力偶）；且截面左边顺时针 （右边逆时针）的力矩使截面产生正号的弯矩。
例2 试利用上述结论写出图示梁1-1截面上的剪力和 弯矩的表达式。
e 1 F1 c l q
d
b
FQ M
1
f
Me
α
F2
3 q(x)<0
A x ql/2
FQ图
q B
l
ql/2
M图
ql2/8
结论:剪力图为斜率等于q的 一斜直线（＼） ，弯 矩图为抛物线（开口向上）。
4 集中力F作用处
F
a FRA F 1 l a FRB F l
1
A
FRA
B
a
FRB
l
a F 1 l
结论:在集中力作用 处剪力图发生突变(弯矩 不变)，突变的数值等于 集中力的大小，方向与 剪力的方向相同。
q x 0
dFQ x dx
q x
二、剪力图、弯矩图的规律 q
FQ M FQ
>0 =0 >0 <0
直线段
=0 <0 >0 <0 >0 <0
M
★结论（规律）：
(1)当梁的支承情况对称，荷载也对称时，则弯矩 图永为对称图形，剪力图永为反对称图形；
(2)当梁的支承情况对称，荷载反对称时，则弯矩 图永为反对称图形，剪力图永为对称图形。
q/2 C
l
A
EI
B
A
q/2
EI
B
C l
q/2
F Q图 M图
三、画剪力图、弯矩图的简便方法 例7 图示左端外伸梁，外伸端A作用一集中力偶 Me=qa2，BA段所受荷载的分布集度为q，试利用微分 关系作梁的剪力图、弯矩图。
Me C A B a FRA
3a
q
FRB
解：(1)求支座反力
M
A
0 FRB
FRA
2m
1.5m
3m
FRB
15.3 内力图──剪力图和弯矩图
为了形象地看到内力的变化规律，通常将剪力、弯 矩沿梁长的变化情况用图形表示出来，这种表示剪力 和弯矩变化规律的图形分别称为剪力图和弯矩图。
具体作法是：
剪力方程：
FQ FQ x
M M x
弯矩方程：
函数图形
例4 求作图示受均布荷载作用的简支梁的剪力图和 q 弯矩图。 A B 解：(1)求支座反力
11 qa 6
F
y
0
FRA
7 qa 6
(2)作剪力图
FRA 7 11 qa FRB qa 6 6
C
Me A
q
B
a
7/6qa
FRA
3a
FRB
(3)作弯矩图
7 qa x 6 7 a 6 q
FQ图
x
11/6qa
M图
M max
Me Mmax =121/72qa2
11 11 11 11 121 2 qa a q a a qa 6 6 6 12 72
5qa
a
FQ
a
2qa
D
qa
M 2qa 2
3qa
2qa 2
15.5 叠加法作剪力图和弯矩图
F q
A a
C b
l
D
Me
B
结论：q、F、Me共同作用时产生的内力等于q、F、 Me分别单独作用时产生的内力之和。
因此，当梁上有几种（或几个）荷载作用时，可以 先分别计算每种（或每个）荷载单独作用时的梁的反 力和内力，然后将这些分别计算所得的结果代数相加 得梁的反力和内力。这种方法称为叠加法。
2
q=12kN/m
1.5m
2
B
FRA
3m
FRB
(3) 求2-2截面的剪力FQ2、弯矩M2 根据2-2截面右侧的外力计算可得：
FQ2 q 1.5 FRB 11kN
M 2 q 1.5 0.75 FRB 1.5 30kN m
F =8kN A 1 2 1.5m B q=12kN/m 1 2
1
2 B
FRA
2m 1.5m
3m
FRB
解：(1)求支座反力
M M
B
0
FR A 6 8 4.5 12 3 1.5
FR B 6 8 1.5 12 3 4.5
FR A 15kN
FR B 29kN
A
0
(2)求1-1截面的剪力FQ1、弯矩M1 根据1-1截面左侧的外力计算可得： FQ1 FRA F 15 8 7kN
弯曲内力
MB A
q
MA B B
l
+
MB
MA
+
M0
+
MB M0
M x M x M x
0
MA
1 q(x)=0
FQ x C
A l FQ M
+
1 FQ x 0
B
Me
结论:弯矩图为一水平直线 。
2 FQ x C 0
A l
F B
F FQ
FRA FRB F1 F2 0
FRA 15kN
FRB 7kN
(2)求1-1截面上的内力
0.5m F1 1
F2
2
1m
0.5m
F1
M1
A FRA 1m
1 2
A
B FRB
FRA
FQ1
1m
1.5m 3m
F
y
0
FRA F1 FQ1 0 FQ1 3kN
M
O
0 M1 FRA 1 F 1 0.5 0 M1 9kN m
1 1
F
2 2
D 3
3
Me
4 4
B
l/3
l/3
l
分析： 1-1、2-2截 面上的剪力
结论：当梁中间受力较复杂时，剪力方程和弯 矩方程不可能用一个统一的函数式来表达，必须分 (分段点如何确定？) 段 列出其表达式。 分段是以集中力、集中力偶的作用位置及分布荷 载的起点和终点为界 （ ? ）
解：(1)求支座反力
FRB
FQ F1 ql F2 sin FRB
l M F1 e ql e c M e F2 sin f b FRB f 2
例3 求图示简支梁1-1与2-2截面的剪力和弯矩。
F =8kN A 1 2 1.5m q=12kN/m
(3)画剪力图、弯矩图，标出特征值
q A B
l FQ x q x 2 q M x xl x 2
FRA
x
l
FRB
ql/2
F Q图
ql/2
M图
ql2/8
例5 简支梁受一集中力F=9ql和一集中力偶Me=ql2作 用，试作出其剪力图和弯矩图。
A (O) C
M 2 FRA 2 F1 1.5 F2 0.5
FQ2 FRA F1 F2
FQ M FRA
F1
F2 FQ2
M2
结论：
M 2 FRA 2 F1 1.5 F2 0.5
1 梁的任一横截面上的剪力在数值上等于该截面左 侧（或右侧）所有竖向力（包括斜向外力的竖向分力、 约束反力）的代数和；且截面左边向上（右边向下） 的外力使截面产生正号的剪力。
Fl
M
-
结论:剪力图为一水平直线，弯矩图为斜率 的绝对值等于FS一斜直线 （＼）。
3 FQ x C 0
A l
-
B F F
FQ
M Fl
结论:剪力图为一水平直线，弯矩图为斜率的绝对值 等于FS一斜直线 （／）。
+
2 q(x)>0
A
q
B
l
ql/2
FQ图
ql/ 2
M图
结论:剪力图为斜率等于q的 一斜直线（／） ，弯矩图 为抛物线（开口向下）。
例9 试判断图示各题的FQ、M图是否正确，如 有错请指出并加以改正。
FRA
FRA FRB
ql 2
x l
FRB
(2)列出剪力方程和弯矩方程 取距左端为x处的任一截面，此截面的剪力和弯矩 表达式分别为: l FQ x FRA qx q x
2
x q M x FRA x qx x l x 2 2
线弹性，位移可以叠加
F F F
F1+F2
F2 F1 O Δ 1 Δ O Δ Δ2 O Δ2 Δ Δ1 Δ
1+2
非线性弹性，位移不可以叠加
F F F
F2 F1 O Δ1 Δ
F1+F2
1
Δ Δ2 O Δ2 Δ Δ
O
1+2
叠加原理成立的前提条件：
（1）小变形 （2）材料满足虎克定理（线性本构关系）
15.4 弯矩、剪力、荷载集度之间的关系
一、弯矩、剪力、荷载集度之间的关系
C l/3 l
dM x FQ x dx
F
Me
A (O )
D l/3
B
5ql x 2 M x 3ql 4qlx 4ql 2 4qlx
5ql FQ x 4ql 4ql
M 1 FRA 2 F 2 1.5 26kN m
根据1-1截面右侧的外力计算可得
FQ1 q 3 FRB 7kN
可见计算结果完全相同。
A
F=8kN
M 1 q 3 2.5 FRB 4 26kN m
1 1
2m 1.5m
FQ图 M图
a F l
a F 1 a l
5 集中力偶Me作用处
FRA
Me
x
b
FRA
Me l
Me l
l
FQ图
FRB
FRB
Me l
M图
bMe
bM e
l
Me
l
结论:在有集中力偶作用的地方弯矩图发生突 变(剪力不变)，突变的数值等于集中力偶的大小，
方向为“顺下逆上”。
B l/3
FRB
l
(3)画剪力图、弯矩图，标出特征值
FRA 5ql
FRB 4ql
5ql FQ x 4ql 4ql
5ql x 2 M x 3ql 4qlx 4ql 2 4qlx
A (O )
FRA
C
1 1
F
2 2
Me
D l/3 l
A (O) FRA
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
C l/3
F
D
Me
B l/3
FRB
l
(2)分三段AC、CD、DB列出剪力方程和弯矩方程 AC段
FQ x FRA 5ql M x FRA x 5ql x
CD段
FQ x FRA F 4ql
B
FRB
l/3
5ql
FQ图
4 ql
M图
4 ql 2 3
5ql 2 3
ql 2 3
结论：
●当梁上荷载有变化时，剪力方程和弯矩方程 不可能用一个统一的函数式来表达，必须分段列出 其表达式。分段是以集中力、集中力偶的作用位置 及分布荷载的起点和终点为界。 ●剪力图和弯矩图一般是连续的 。在集中力作 用处剪力图发生突变，突变的数值等于集中力的大 小，方向与集中力的方向相同；在有集中力偶作用 的地方弯矩图发生突变，突变的数值等于集中力偶 的大小，方向为“顺下逆上”。
(3)求2-2截面上的内力
0.5m F1 1
F2
F1
2 1m 2
F2
M2
A FRA 1
1m 3m
B FRB
A
1.5m
FRA
FQ2
F
y
0
FQ2 FRA F1 F2 0 FQ2 7kN
FQ2 FRB
FQ2 FRA F1 F2
M
O
0 M 2 FRA 2 F1 1.5 F2 0.5 0 M 2 7kN m
例1 图示简支梁受两个集中力作用，已知F1=12kN， F2=10kN，试计算指定截面1-1、2-2的内力。
0.5m F1 1
F2
2
1m
A FRA 1m
1 2
B FRB
1.5m 3m
解：(1) 求支座反力
M B 0 F1 2.5 F2 1.5 FRA 3 0
Fy 0
2 F x F x l 3 3 ql 4ql x M x RA
DB段
FQ x FRA F 4ql
M x FRA x F x l 3 Me 4ql 2 4qlx
A (O) FRA
C
l/3
F
D
Me
当变形为微小时，可采用变 形前尺寸进行计算。
1、叠加原理：当梁在各项 荷载作用下某一横截面上 的弯矩等于各荷载单独作 用下同一横截面上的弯矩 的代数和。 2、区段叠加法作弯矩图： 设简支梁同时承受跨间荷 载q与端部力矩MA、MB的作用 。其弯矩图可由简支梁受端部 力矩作用下的直线弯矩图与跨 间荷载单独作用下简支梁弯矩 图叠加得到。即：
例8 作梁的内力图
P=3kN M2=6kNm M1=2kNm q=1kN/m
A
FRA=5kN
B
FRB=4kN
2m
2
2m
2m
2
2m
FQ (kN) 3
6
+
6 4
+
2 8
6
M(kNm)
q
qa
q
qa qa
a
FQ
a
a 2qa qa
qa
M
qa / 2
2
qa / 2
2
2qa 2
q
2qa
C
A
B 2a
qa
2 梁的任一横截面上的弯矩在数值上等于该截面左 侧（或右侧）所有竖向力对该截面形心力矩的代数和 （包括外力偶、约束反力偶）；且截面左边顺时针 （右边逆时针）的力矩使截面产生正号的弯矩。
例2 试利用上述结论写出图示梁1-1截面上的剪力和 弯矩的表达式。
e 1 F1 c l q
d
b
FQ M
1
f
Me
α
F2
3 q(x)<0
A x ql/2
FQ图
q B
l
ql/2
M图
ql2/8
结论:剪力图为斜率等于q的 一斜直线（＼） ，弯 矩图为抛物线（开口向上）。
4 集中力F作用处
F
a FRA F 1 l a FRB F l
1
A
FRA
B
a
FRB
l
a F 1 l
结论:在集中力作用 处剪力图发生突变(弯矩 不变)，突变的数值等于 集中力的大小，方向与 剪力的方向相同。
q x 0
dFQ x dx
q x
二、剪力图、弯矩图的规律 q
FQ M FQ
>0 =0 >0 <0
直线段
=0 <0 >0 <0 >0 <0
M
★结论（规律）：
(1)当梁的支承情况对称，荷载也对称时，则弯矩 图永为对称图形，剪力图永为反对称图形；
(2)当梁的支承情况对称，荷载反对称时，则弯矩 图永为反对称图形，剪力图永为对称图形。
q/2 C
l
A
EI
B
A
q/2
EI
B
C l
q/2
F Q图 M图
三、画剪力图、弯矩图的简便方法 例7 图示左端外伸梁，外伸端A作用一集中力偶 Me=qa2，BA段所受荷载的分布集度为q，试利用微分 关系作梁的剪力图、弯矩图。
Me C A B a FRA
3a
q
FRB
解：(1)求支座反力
M
A
0 FRB
FRA
2m
1.5m
3m
FRB
15.3 内力图──剪力图和弯矩图
为了形象地看到内力的变化规律，通常将剪力、弯 矩沿梁长的变化情况用图形表示出来，这种表示剪力 和弯矩变化规律的图形分别称为剪力图和弯矩图。
具体作法是：
剪力方程：
FQ FQ x
M M x
弯矩方程：
函数图形
例4 求作图示受均布荷载作用的简支梁的剪力图和 q 弯矩图。 A B 解：(1)求支座反力
11 qa 6
F
y
0
FRA
7 qa 6
(2)作剪力图
FRA 7 11 qa FRB qa 6 6
C
Me A
q
B
a
7/6qa
FRA
3a
FRB
(3)作弯矩图
7 qa x 6 7 a 6 q
FQ图
x
11/6qa
M图
M max
Me Mmax =121/72qa2
11 11 11 11 121 2 qa a q a a qa 6 6 6 12 72
5qa
a
FQ
a
2qa
D
qa
M 2qa 2
3qa
2qa 2
15.5 叠加法作剪力图和弯矩图
F q
A a
C b
l
D
Me
B
结论：q、F、Me共同作用时产生的内力等于q、F、 Me分别单独作用时产生的内力之和。
因此，当梁上有几种（或几个）荷载作用时，可以 先分别计算每种（或每个）荷载单独作用时的梁的反 力和内力，然后将这些分别计算所得的结果代数相加 得梁的反力和内力。这种方法称为叠加法。
2
q=12kN/m
1.5m
2
B
FRA
3m
FRB
(3) 求2-2截面的剪力FQ2、弯矩M2 根据2-2截面右侧的外力计算可得：
FQ2 q 1.5 FRB 11kN
M 2 q 1.5 0.75 FRB 1.5 30kN m
F =8kN A 1 2 1.5m B q=12kN/m 1 2
1
2 B
FRA
2m 1.5m
3m
FRB
解：(1)求支座反力
M M
B
0
FR A 6 8 4.5 12 3 1.5
FR B 6 8 1.5 12 3 4.5
FR A 15kN
FR B 29kN
A
0
(2)求1-1截面的剪力FQ1、弯矩M1 根据1-1截面左侧的外力计算可得： FQ1 FRA F 15 8 7kN
弯曲内力
MB A
q
MA B B
l
+
MB
MA
+
M0
+
MB M0
M x M x M x
0
MA
1 q(x)=0
FQ x C
A l FQ M
+
1 FQ x 0
B
Me
结论:弯矩图为一水平直线 。
2 FQ x C 0
A l
F B
F FQ
FRA FRB F1 F2 0
FRA 15kN
FRB 7kN
(2)求1-1截面上的内力
0.5m F1 1
F2
2
1m
0.5m
F1
M1
A FRA 1m
1 2
A
B FRB
FRA
FQ1
1m
1.5m 3m
F
y
0
FRA F1 FQ1 0 FQ1 3kN
M
O
0 M1 FRA 1 F 1 0.5 0 M1 9kN m
1 1
F
2 2
D 3
3
Me
4 4
B
l/3
l/3
l
分析： 1-1、2-2截 面上的剪力
结论：当梁中间受力较复杂时，剪力方程和弯 矩方程不可能用一个统一的函数式来表达，必须分 (分段点如何确定？) 段 列出其表达式。 分段是以集中力、集中力偶的作用位置及分布荷 载的起点和终点为界 （ ? ）
解：(1)求支座反力
FRB
FQ F1 ql F2 sin FRB
l M F1 e ql e c M e F2 sin f b FRB f 2
例3 求图示简支梁1-1与2-2截面的剪力和弯矩。
F =8kN A 1 2 1.5m q=12kN/m
(3)画剪力图、弯矩图，标出特征值
q A B
l FQ x q x 2 q M x xl x 2
FRA
x
l
FRB
ql/2
F Q图
ql/2
M图
ql2/8
例5 简支梁受一集中力F=9ql和一集中力偶Me=ql2作 用，试作出其剪力图和弯矩图。
A (O) C
M 2 FRA 2 F1 1.5 F2 0.5
FQ2 FRA F1 F2
FQ M FRA
F1
F2 FQ2
M2
结论：
M 2 FRA 2 F1 1.5 F2 0.5
1 梁的任一横截面上的剪力在数值上等于该截面左 侧（或右侧）所有竖向力（包括斜向外力的竖向分力、 约束反力）的代数和；且截面左边向上（右边向下） 的外力使截面产生正号的剪力。
Fl
M
-
结论:剪力图为一水平直线，弯矩图为斜率 的绝对值等于FS一斜直线 （＼）。
3 FQ x C 0
A l
-
B F F
FQ
M Fl
结论:剪力图为一水平直线，弯矩图为斜率的绝对值 等于FS一斜直线 （／）。
+
2 q(x)>0
A
q
B
l
ql/2
FQ图
ql/ 2
M图
结论:剪力图为斜率等于q的 一斜直线（／） ，弯矩图 为抛物线（开口向下）。
例9 试判断图示各题的FQ、M图是否正确，如 有错请指出并加以改正。
FRA
FRA FRB
ql 2
x l
FRB
(2)列出剪力方程和弯矩方程 取距左端为x处的任一截面，此截面的剪力和弯矩 表达式分别为: l FQ x FRA qx q x
2
x q M x FRA x qx x l x 2 2
线弹性，位移可以叠加
F F F
F1+F2
F2 F1 O Δ 1 Δ O Δ Δ2 O Δ2 Δ Δ1 Δ
1+2
非线性弹性，位移不可以叠加
F F F
F2 F1 O Δ1 Δ
F1+F2
1
Δ Δ2 O Δ2 Δ Δ
O
1+2
叠加原理成立的前提条件：
（1）小变形 （2）材料满足虎克定理（线性本构关系）
15.4 弯矩、剪力、荷载集度之间的关系
一、弯矩、剪力、荷载集度之间的关系
C l/3 l
dM x FQ x dx
F
Me
A (O )
D l/3
B
5ql x 2 M x 3ql 4qlx 4ql 2 4qlx
5ql FQ x 4ql 4ql
M 1 FRA 2 F 2 1.5 26kN m
根据1-1截面右侧的外力计算可得
FQ1 q 3 FRB 7kN
可见计算结果完全相同。
A
F=8kN
M 1 q 3 2.5 FRB 4 26kN m
1 1
2m 1.5m
FQ图 M图
a F l
a F 1 a l
5 集中力偶Me作用处
FRA
Me
x
b
FRA
Me l
Me l
l
FQ图
FRB
FRB
Me l
M图
bMe
bM e
l
Me
l
结论:在有集中力偶作用的地方弯矩图发生突 变(剪力不变)，突变的数值等于集中力偶的大小，
方向为“顺下逆上”。
B l/3
FRB
l
(3)画剪力图、弯矩图，标出特征值
FRA 5ql
FRB 4ql
5ql FQ x 4ql 4ql
5ql x 2 M x 3ql 4qlx 4ql 2 4qlx
A (O )
FRA
C
1 1
F
2 2
Me
D l/3 l