数列与不等式的综合问题

数列与不等式的综合问题

测试时间：120分钟

满分：150分

解答题(本题共9小题，共150分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 1．[2016·银川一模](本小题满分15分)在等差数列{a n }中，a 1＝3，其前n 项和为S n ，等比数列{b n }的各项均为正数，b 1＝1，公比为q (q ≠1)，且b 2＋S 2＝12，q ＝S 2

b 2

.

(1)求a n 与b n ；

(2)证明：13≤1S 1

＋1S 2

＋…＋1S n

<2

3.

解 (1)设{a n }的公差为d ，因为⎩⎪⎨⎪

⎧

b 2＋S 2＝12，q ＝S 2

b 2，

所以⎩

⎪⎨⎪

⎧

q ＋6＋d ＝12，q ＝6＋d

q .解得q ＝3或q ＝－4(舍)，d ＝3.(4分)

故a n ＝3＋3(n －1)＝3n ，b n ＝3n －

1.(6分) (2)证明：因为S n ＝n 3＋3n 2，(8分)

所以1S n ＝2n 3＋3n ＝23⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1.(10分)

故1S 1＋1S 2＋…＋1

S n

＝ 23⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋⎝⎛⎭⎫13－14＋…＋⎝⎛⎭⎫1n －

1n ＋1 ＝23⎝⎛

⎭

⎫1－1n ＋1.(12分)

因为n ≥1，所以0<1n ＋1≤12，于是12≤1－1

n ＋1<1，

所以13≤23

⎝⎛

⎭⎫1－1n ＋1<23， 即13≤1S 1

＋1S 2

＋…＋1S n

<2

3.(15分)

2．[2017·黄冈质检](本小题满分15分)已知数列{a n }的首项a 1＝35，a n ＋1＝3a n

2a n ＋1，n

∈N *.

(1)求证：数列⎩

⎨⎧⎭

⎬⎫

1a n

－1为等比数列；

(2)记S n ＝1a 1

＋1a 2

＋…＋1

a n

，若S n <100，求最大正整数n .

解 (1)证明：因为1a n ＋1＝23＋1

3a n

，

所以1a n ＋1－1＝13a n

－13＝13⎝⎛⎭⎫1

a n －1. 又因为1a 1

－1≠0，所以1

a n

－1≠0(n ∈N *)，

所以数列⎩

⎨⎧⎭

⎬⎫

1a n

－1为等比数列．(7分)

(2)由(1)，可得1a n －1＝23×⎝⎛⎭⎫13n －1

，

所以1

a n

＝2×⎝⎛⎭⎫13n ＋1. 所以S n ＝1a 1＋1a 2＋…＋1a n ＝n ＋2⎝⎛⎭⎫13＋132

＋…＋13n ＝n ＋2×13－1

3n ＋11－

13

＝n ＋1－1

3n ，

若S n <100，则n ＋1－1

3

n <100，所以最大正整数n 的值为99.(15分)

3．[2016·新乡许昌二调](本小题满分15分)已知{a n }是等差数列，{b n }是各项都为正数的等比数列，且a 1＝2，b 1＝3，a 3＋b 5＝56，a 5＋b 3＝26.

(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；

(2)若－x 2＋3x ≤2b n

2n ＋1

对任意n ∈N *恒成立，求实数x 的取值范围．

解 (1)由题意，⎩

⎪⎨

⎪⎧

a 1＋2d ＋

b 1·q 4＝56，

a 1＋4d ＋

b 1·q 2＝26，

将a 1＝2，b 1＝3代入，得⎩

⎪⎨

⎪⎧

2＋2d ＋3·q 4＝56，

2＋4d ＋3·q 2＝26，

消d 得2q 4－q 2－28＝0，∴(2q 2＋7)(q 2－4)＝0，

∵{b n }是各项都为正数的等比数列，∴q ＝2，所以d ＝3，(4分) ∴a n ＝3n －1，b n ＝3·2n －

1.(8分)

(2)记c n ＝3·2n －

1

2n ＋1

，

c n ＋1－c n ＝3·2n －

1·

2n －1

2n ＋12n ＋3

>0

所以c n 最小值为c 1＝1，(12分) 因为－x 2＋3x ≤

2b n

2n ＋1

对任意n ∈N *恒成立， 所以－x 2＋3x ≤2，解得x ≥2或x ≤1， 所以x ∈(－∞，1]∪[2，＋∞)．(15分)

4．[2016·江苏联考](本小题满分15分)在等差数列{a n }和等比数列{b n }中，a 1＝1，b 1

＝2，b n >0(n ∈N *)，且b 1，a 2，b 2成等差数列，a 2，b 2，a 3＋2成等比数列．

(1)求数列{a n }、{b n }的通项公式；

(2)设c n ＝abn ，数列{c n }的前n 项和为S n ，若S 2n ＋4n

S n ＋2n >a n

＋t 对所有正整数n 恒成立，

求常数t 的取值范围．

解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q (q >0)．

由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧

21＋d ＝2＋2q ，

2q

2

＝1＋d 3＋2d ，

解得d ＝q ＝3.(3分)

∴a n ＝3n －2，b n ＝2·3n －

1.(5分)

(2)c n ＝3·b n －2＝2·3n －2.(7分) ∴S n ＝c 1＋c 2＋…＋c n ＝2(31＋32＋…＋3n )－2n ＝3n ＋

1－2n －3.(10分)

∴S 2n ＋4n S n ＋2n ＝32n ＋

1－3

3n ＋1－3

＝3n ＋1.(11分) ∴3n ＋1>3n －2＋t 恒成立，即t <(3n －3n ＋3)min .(12分)

令f (n )＝3n －3n ＋3，则f (n ＋1)－f (n )＝2·3n －3>0，所以f (n )单调递增．(14分) 故t

5．[2016·天津高考](本小题满分15分)已知{a n }是各项均为正数的等差数列，公差为d .对任意的n ∈N *，b n 是a n 和a n ＋1的等比中项．

(1)设c n ＝b 2n ＋1－b 2n ，n ∈N *

，求证：数列{c n }是等差数列；

(2)设a 1＝d ，T n ＝∑2n

k ＝1 (－1)k b 2k ，n ∈N *，求证：∑n

k ＝1

1T k <1

2d 2

. 证明 (1)由题意得b 2n ＝a n a n ＋1，有c n ＝b 2n ＋1－b 2

n ＝a n ＋1a n ＋2－a n a n ＋1＝2da n ＋1，(3分)

因此c n ＋1－c n ＝2d (a n ＋2－a n ＋1)＝2d 2，所以{c n }是等差数列．(6分)

(2)T n ＝(－b 21＋b 22)＋(－b 23＋b 24)＋…＋(－b 22n －1＋b 22n )

＝2d (a 2＋a 4＋…＋a 2n ) ＝2d ·n a 2＋a 2n 2

＝2d 2n (n ＋1)．(9分)

所以∑n

k ＝1 1T k ＝12d 2

∑n k ＝1 1k k ＋1

＝12d 2∑n

k ＝1 ⎝⎛⎭⎫1k －1k ＋1(12分)

＝12d 2·⎝⎛

⎭

⎫1－1n ＋1<12d 2.(15分)

6．[2016·德州一模](本小题满分15分)已知数列{a n }满足a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝n (n ∈N *)．

(1)求数列{a n }的通项公式a n ；

(2)令b n ·2 1

a

n

＝1a 2n －1

(n ∈N *)，T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ，写出T n 关于n 的表达式，并求

满足T n >5

2时n 的取值范围．

解 (1)∵a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝n ，