运筹(第三章运输问题)概论

销地 运费单价
B1
B2
B3
B4
产量 （吨）
产地
A1
3
11
3
10
7
A2
1
9
2
8
4
A3
7
销量（吨）
3
4
10
5
9
6
5
6
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解：从表中可知：总产量 = 总销量。这是一个产销 平衡的运输问题。
假设 xij 表示从产地 i 运往销地 j 的产品数量，
i 1,2,3; j 1,2,3,4. 建立如下表格：
5
1
1
1
1
B4
32 21 10 3
3 3 2 2
10 0 0 0 7 8 1 116 51 2
4、重复第二、第三步，直至得到最优解。
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10
例1 用表上作业法求解下面的运输问题：
销地 运费单价
B1
B2
B3
B4
产量 （吨）
产地
A1
3
11
3
10
7
A2
1
9
2
8
4
A3
7
销量（吨）
3
4
10
5
9
6
5
6
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§2.1 确定初始基本可行解
对于有m个产地n个销地的产销平衡问题，有m个关于 产量的约束方程和n个关于销量的约束方程。表面上， 共有m+n个约束方程。
n
说明：当 si d j 时，称其为产销平衡的运输问题，
i 1
j 1
否则产销不平衡。
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说明：从上述模型可以看出： （1）这是一个线性规划的模型； （2）变量有m×n个； （3）约束条件有 m+n 个； （4）系数矩阵非常稀疏；系数矩阵的秩一般为
（m+n-1),而非m+n 。
若直接用单纯形法求解，显然单纯形表比较庞大， 于是在单纯形法的基础上创建了表上作业法求解 运输问题这一特殊的线性规划问题
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§2 运输问题的表上作业法
从第一节的运输问题的数学模型可知，运输问题 实际上也属于线性规划，但由于运输问题的特殊性 （变量个数较多，系数矩阵的特点），如果用单纯 形表格方法迭代，计算量很大。今天介绍的 “表上 作业法”，是针对运输问题的特殊求解方法，实质还 是单纯形法，但减少了计算量。
运筹学
OPERATIONS RESEARCH
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第三章 运输问题
运输问题的数学模型 表上作业法 产销不平衡的运输问题及应用
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§1 运输问题的典例及数学模型
§1.1 引例
某公司从三个产地 A1 ，A2 ，A3 将产品运往四个销地 B1，B2，B3 ，B.4 各产地的产量，各销地的销量，及各 产地往各销地的运费单价如表所示。应如何调运可使 运费最小？
x21 9x22 2x23 8x24
7x31 4x32 10x33 5x34 约束条件：x11 x12 x13 x14 7
20
产量约束 x21 x22 x23 x24 4
x31 x32 x33 x34 9
x11 x21 x31 3
销量约束 x12 x22 x32 6
在表上找到单位运价最小的x21，并使x21取尽可 能大的值，即x21=3,把A1的产量改为1，B1的销量改 为0，并把B1列划去。在剩下的3×3矩阵中再找最小 运价，同理可得其他的基本可行解。
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销地 产地
A1 A2 A3
销量
B1
3
31
7
3 0
B2
11 9
64
6 0
B3
43 12
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2.Vogel法
Vogel法的思想是:一地的产品如果不能按照最小 运费就近供应，就考虑次小运费，这就有差额，差额 越大，说明不能按最小运费调运时，运费增加得越多。 因而差额越大处，就应当采用最小运费调运。
销地 产地
A1 A2 A3
B1
3
2 2 2
B2
B3
3
11 5
1
9
76
4
销地 运费单价
B1
产地
A1
3 x11
A2
1 x21
A3
7 x31
销量（吨）
3
B2
11 x12 9 x22 4 x32
6
B3
3 x13 2 x23 10 x33
5
于是可建立如下的数学模型：
B4
10 x14 8 x24 5 x34
6
产量 （吨）
7 4 9
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4
目标函数： MinZ 3x11 11x12 3x13 10x14
10
5 4 0
B4
产量
3 10 7 3 0
84 1 0
3 59 3 0
6
20
3
0 20
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表中填有数字的格对应于基变量(取值即为格中数 字），而空格对应的是非基变量（取值为零）.
在求初始基本可行解时要注意的一个问题：
当我们取定xij的值之后，会出现Ai的产量与Bj的 销量都改为零的情况，这时只能划去Ai行或Bj列， 但不能同时划去Ai行与Bj列。（或者在同时划去Ai 行与Bj列时，在该行或该列的任意空格处填加一个 0。）这样可以保证填过数或零的格为m+n-1个，即 保证基变量的个数为m+n-1个。
Ai 的产量是 si；B j 的销量是 d j 。
则该运输问题的模型如下：
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mn
Min f
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
cij xij
i 1 j 1
m
s.t
xij d j
j 1,...,n
i 1
n
xij si j 1
i 1,...m
xij 0, i 1,...m,
j 1,...,n
m
20
x13 x23 x33 5
x14 x24 x34 6
xij 0,i 1,2,3; j 1,2,3,4
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§1.2 一般运输问题数学模型
设有m个产地，分别为 A1, A2 ,.... Am ； n 个销地，分别是 B1, B2 ,.... Bn ；
从 Ai 运往 B j 的单位运价是 cij ，运量 xij ；
但由于产销平衡，其模型最多只有m+n-1个独立的约 束方程，所以运输问题实际上有m+n-1个基变量。在 m×n的产销平衡表上给出m+n-1个数字格，其相对应的 调运量的值即为基变量的值。
那么在该例中，应有 3+4-1=6个基变量。
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1.最小元素法
最小元素法的思想是就近供应，即对单位运价最 小的变量分配运输量。
表上作业法适用于求解产销平衡的运输问题。 （产销不平衡的问题可转化为平衡问题）
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表上作业法 一般步骤：
1、找出初始基本可行解；
2、检查各非基变量的检验数，是否达到最优性条 件，若达到，则得最优解；否则 转第三步；
3、确定出基变量、进基变量，用闭回路方法进行调 整，得到新的基可 行解；