长方体和正方体的面棱顶点及体积公式的妙用

巧用长方体和正方体的面、棱、顶点及体积、表面积公式

在九年制义务教育六年制小学教科书，苏教版小学数学第十册第34页，有这样一道思考题：

把一个六面都涂上颜色的正方体木块，切成64块大小相等的小正方体木块（如图）。其中：

（1）三面涂色的小正方体有多少块？

（2）两面涂色的小正方体有多少块？

（3）一面涂色的小正方体有多少块？

我们不妨再加一个问题（4）六面都不涂色的小正方体有多少块？

这个问题看起来好象很棘手，如果我们换个角度来考虑的话，问题便会迎刃而解。我们不妨从正方体的顶点、棱、面和体积公式的角度去解决这几个看似棘手的问题。

首先我们来看第一个小问题：三面涂色的小正方体有多少个？这个问题假如我们从正方体的顶点来看就很简单，三面都涂色的小正方体只出现在未分割的大正方体的顶点上，而正方体又只有8个顶点，所以在分割成的64个小正方体中就会有8个三面涂色的小正方体（如下图）。

在这里图（1）是涂色的大正方体，图（2）是从（1）上取下的处在顶点位置的一个小正方体。图（3）是成品演示（由于只研究顶点所以其他的面没有涂色以示区别，在解决下面的问题时，我们只给要研究的小正方体的面涂色以示区别，下同。）。

其次我们来看第二个问题：两面涂色的小正方体有多少块？这个问题我们可以从正方体的棱来考虑，如下图，我们从图中可以看出只有处在每条棱上的（顶点除外）2个小正方体是两面都涂色的。

所以两面涂色的小正方体有（4－2）×12＝24个。（这里的4是表示把棱长分成的份数，根据题义和图一可得知，由于是把大正方体分成64块大小相等的小正方体，所以大正方体的棱是被平均分成了4份；减去2，是把顶点上的三面涂色的去掉；12是棱的条数。）我们也可以用一个公式来表达两面涂色的小正方体的块数：（a－2）×12＝两面涂色的小正方体的块数（a是根据不同的分割情况得到的大正方体的棱长被平均分成的

份数，下同。）。

再次我们来看第三个问题：一面涂色的小正方体有多少块？这个问题我们可以从正方体的面来考虑，如下图，我们可以从图中看到只有处在每个面中央的小正方体是一面涂色的（中央：把处在顶点和棱上的小正方体都去掉所剩下的小正方体）。

由图我们可知一面涂色的小正方体在大正方体的每一个面上有4块，也就是（4－2）2×6＝24个，这个我们同样可以用一个公式来表达：（a－2）2×6＝一面涂色的小正方体块数。

最后我们来看第四个问题：六面都不涂色的小正方体有多少块？这个问题我们可以从正方体的体积公式下手来求，如下图所示，分割后所剩余的图（6）就是六面都不涂色的小正方体。图（1）到图（6）是一层层的分割过程的演示。

由图我们可以知道：（4－2）×（4－2）×（4－2）＝（4－2）3＝8就是六面都没有涂色的小正方体的块数。我们也可以用一个公式来表达：（a－2）3＝六面都不涂色的小正方体的块数。

这样一道看似棘手的问题就迎刃而解了，由此我们也可以用这样的一个总结来作为求类似问题的公式，在这里我们可以把正方体的棱用a来表示，那么就会有这样的计算公式：

（1）三面涂色的小正方体的块数就是顶点的个数（只要分割前后都是规则六面体）；

（2）两面涂色的小正方体的块数＝(a－2)×12；

（3）一面涂色的小正方体的块数＝（a－2）2×6；

（4）六面都不涂色的小正方体的块数＝（a－2）3

（在实际计算时，假设把正方体分成大小相等的8块，a就是2；假设把正方体分成大小相等的27块，a

就是3；假设把正方体分成大小相等的64块，a就是4；假设把正方体分成大小相等的125块，a就是5；假设把正方体分成大小相等的216块，a就是6，依次类推。）

同样我们也可以找到适用于长方体的平均分割和不平均分割，分割的要求和正方体的相同。（分割后的小的立体图形一定要是规则的，都要是具有8个顶点，6个面，12条棱规则六面体，正方体的不平均分割也要用以下的方法来计算）。

计算方法和公式如下(在长方体中长方体的棱要用长、宽、高来命名分组，并分别用a、b、h来表示，即表示每条棱被分割成的份数。):

（1）三面涂色的小正方体的块数就是顶点的个数（只要分割前后都是六面体）；

（2）两面涂色的小正方体的块数＝[（a－2）﹢（b－2）﹢（h－2）]×4

（3）一面涂色的小正方体的块数

＝{[（a－2）×（b－2）]﹢[（a－2）×（h－2）]﹢[（b－2）×（h－2）]}×2

(4)三面都不涂色的小正方体块数＝（a－2）×（b－2）×（h－2）

（注意：在正方体中平均分割是指把大的正方体分割成完全相等的小的正方体，不平均分割是把大正方体分割成小长方体或小正方体和小长方体的组合图形；在长方体中是指把大长方体分割成大小完全相等的小正方体或小长方体。不平均分割是指把大长方体分割成小的长方体大小可以不等或是小正方体和小长方体的组合图形。但是在长方体和正方体的分割时每一条棱都要有分割，相对的棱一定要分割相同。在这里无论分割成的是小长方体还是小正方体我们都暂称之为小正方体。）