弹性力学

计算机辅助几何建模技术进展
模型的几何表达： 70年代，解决复杂表面的表达问题成了几何建模研究中的热点，这一
阶段的技术成果就是曲面建模。曲面建模技术是基于Bezier、Coons、B样 条 、 NURBS 、 Shepard 等 曲 面 表 达 式 实 现 的 几 何 建 模 。 其 中 ， 1963 年 Ferguson将曲面表达为参数矢量函数形式，1964年Coons用封闭曲线定义曲 面，1971年Bezier用控制多边形定义区面，1974年Gordon和Riesenfeld将B 样条理论用于形状描述而提出B样条曲面，1975年Versprill提出有理B样条， 随后Piegl和Tiller将有理B样条发展成为非均匀有理B样条（NURBS）。这 一时期，国际上许多公司如美国的 NASA、Ford、GE、法国的Renault、 Dassault、德国的Volkswagen公司等都采用曲面建模技术开发了许多实用 软件包，著名软件包括CADDS、I-DEAS、UG、CATIA、EUCLID、SURF、PDG等。 曲面建模对提高零件造型的设计质量和效率起到了显著作用，同时也使计 算机辅助制造（CAM）成为现实。
讨论一点各个截面的应力变化趋势称为应力状态分析。为探讨各个截 面应力的变化趋势，确定可以描述应力状态的参数，通常将应力矢量分解。 分解的方法通常有沿三个坐标轴分解，或沿微分面的法线和切线方向分解。
由于微分面法线的方向只有一个，因此说明截面方位就确定了正应力的方 向。切应力不仅需要确定截面方位，还需要指明方向，为了表达弹性体内 部任意一点的应力状态，利用三个与坐标轴方向一致的微分面，通过点截 取一个平行六面体单元。
计算机辅助几何建模技术进展
模型的参数表达： 最初几何建模的目的只是为了描述清除结构几何信息，与零件的功能是
没有直接关系的。这时模型参数的表达对于二维平面模型是点坐标参量和点 线对应关系式，对于曲面建模是点坐标参量和点、线、面表达方程，对于实 体模型是点坐标参量和点、线、面、体素对应关系式。随着计算机辅助设计 内涵的的不断发展，产品设计、分析、制造整个周期要求设计信息的全面性 和延续性，在几何建模中参数表达具有了更体系化和功能化的发展趋势。因 此，在建模中出现了基于特征化的参数化设计和变量化设计。
内力：物体在外界因素作用下，例如外力、温度变化等，物体内部各个部 分将产生相互作用，分子的初始状态发生变化，产生了分子之间的附加力， 表现为物体一部分与相邻部分之间的作用力。
为了具体地反映内力的分布情况，可以运用截面法引进内力的集度， 即应力的概念。应力矢量不仅随点的位置改变而改变，而且即使在同一点， 也由于截面的法线方向改变而改变，这种性质称为应力状态。因此应力须 说明在物体内哪一点，并且通过该点哪一个微分面的应力。
弹性力学－问题的建立
在弹性力学问题分析中，为了研究弹性体在外界因素影响下（包括外 力、温度）其内部所生成的位移和应力分布，就需要建立一套相关未知量 （如位移）所满足的微分方程，并提取适当的定解条件以保证可以求得关 心的未知量。
一般而言，需要从四个方面来考虑：静力学，几何学，物理学，边界 条件。
静力学－平衡微分方程
几何学－几何方程
物理学－物理方程
边界条件：前面建立问题相关方程包括静力学、几何学和物理学三个方面。 为了使方程待求未知量有解，需要建立相应的边界条件。一般地，弹性力 学问题的边界包括位移边界和应力边界。对于边界条件的分类，可分为位 移边界条件、应力边界条件和混合边界条件。
圣维南原理：如果将物体的一小部分边界上的面力，变换为分布不同但静 力等效的面力（主矢量相同，对于同一点的主矩也相同），那么物体内部 只能导致应力（即近处的应力分布）的改变，而在较远处所受的影响可以 忽略不计。
即假定物体由同一类型的均匀材料组成，因而在物体内各部分的 物理性质是相同的，不会随坐标的位置的改变而发生变化。根据这条 假设，就可以从物体内部取出任一部分进行分析，再将分析结果运用 到整个物体中去。
各向同性假设： 假定物体在不同方向上具有相同的物理性质，从而使应力与应变
的关系不随坐标方向的改变而改变。
无初应力假设： 假定物体在受到外界因素作用之前，物体处于无应力状态。根据
这个假定，由弹性力学求得的应力仅仅是由于载荷作用、温度改变等 外界因素所引起的。如物体内有初应力的存在，只须与弹性力学求得 的应力相加即可。
外力：一般将外界作用在物体上的力称为外力，根据作用在物体内部或表 面区分为体力和面力。 体力：分布在物体整个体积内部各个质点上的力，又称质量力。如物体的 重力、惯性力、电磁力等。 面力：分布在物体表面上的力，如风力，静水压力，物体间的接触力、摩 擦力等。
位移：由于外载荷作用或温度变化等外界因素等影响，物体内各点在空间 的位置将发生变化，即产生位移。在这个移动过程中，弹性体将可能同时 发生两种位移变化。第一种位移是由于位置的改变，但物体内各个点仍然 保持初始状态的相对位置不变，这种位移是物体在空间做刚体运动引起的， 因此称为刚体位移。第二种是由于弹性体形状的变化，位移发生时不仅改 变物体的决定位置，而且改变了物体内部各个点的相对位置，这是物体形 状变化引起的位移，称为变形。
计算机辅助几何建模技术进展
模型的参数表达： 变量化设计方法综合考虑了约束参数化设计和无约束随意性设计，通
过可欠约束尺寸参数驱动函数的形式实现整个实体模型的建立。约束方程 可以是几何关系，也可以是工程计算条件。变量化设计特别适合于结构初 始方案设计，在提高设计效率和信息传输效率的同时，能够更充分地发挥 设计人员的设计创造性。变量化设计的代表性软件是CATIA。
根据圣维南原理，假如我们用一静力等效力系取代弹性体上作用的原 外力，则其影响仅在力作用区域附近。离此区域较远处，几乎不受影响。
计算机辅助几何建模技术进展
计算机辅助几何建模技术进展
计算机辅助几何建模技术进展
模型的几何表达： 国外从50年代开始研究计算机辅助建模，60年代基本实现了计算机绘
图和线框模型。在以后将近20年的时间内，以计算机屏幕二维交互绘图为 基本手段的建模技术成为实用技术和在商品化软件中深入发展主流。二维 几何建模的主要目的是解决计算机辅助绘制工程图的问题，其研究的核心 是如何快速、准确地创建和修改零件视图，以及如何方便快捷地表达与工 程图有关的信息。Autodesk公司推出的软件包AutoCAD是二维计算机建模技 术最具标志性的体现，在几十年来不断更新和发展，一直在二维绘图软件 市场占有主导地位。
在弹性力学中，主要研究变形。因为变形和弹性体的应力有着直接的 关系。根据连续性假设，弹性体在变形前后仍保持为连续体。
形变：物体形状的改变。物体形变总是可以用它各部分的长度和角度来表 示。因此物体的形变可以归结为长度和角度的改变。
为了研究弹性体的变形情况，假设从弹性体中分割出一个微分六面体 单元，其六个面分别与三个坐标轴垂直。对于微分单元体的变形，可分为 两个部分讨论。一是微分单元体棱边的伸长和缩短；ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ是棱边之间夹角的 变化。弹性力学分别使用正应变和剪切应变表示这两种变形。与描述应力 的情况类似，在已知的坐标系中形变状态通常可用应变张量表示。使用应 变张量可以完整地描述一点的形变或应变状态。
弹性力学－绪论
弹性力学是固体力学的一个分支，是研究弹性体受力作用或由于变温、 支座沉陷等原因而产生位移、应力、应变等的一门学科。
从工程应用的目的出发，弹性力学的基本任务与材料力学、结构力学 相同，都是解决各种结构或构件的强度、刚度和稳定的问题。但在研究对 象和研究方法上有所区别。
材料力学：杆状构件 结构力学：杆状构件的组合 弹性力学：除杆状构件的组合外，还要研究板、壳、实体等结构。 在研究的范围方面，弹性力学只研究弹性体或物体的弹性范围。在研 究方法上，弹性力学从基本假设出发，对物体的受力变形进行精确的分析。 在计算方法上，除了少部分直接运用弹性力学的理论结果外，大部分利用 其基本理论和基本公式推导出的数值解法，克服了弹性力学由于求解偏微 分方程边值问题的困难而带来的局限性。
弹性力学以六条基本假设为前提 连续性假设：
弹性力学作为连续介质力学的一部分，将弹性体假定为连续密实 而忽略组成物体的质点之间的空隙以及材料在制造过程中产生的微缺 陷。从这条假设出发，任务物理量如应力、应变和位移等是连续的， 从而可以表达为坐标的连续函数，在数学推导时能方便地运用连续和 极限的概念。 均匀性假设：
计算机辅助设计技术进展
静力刚强度分析 ： 结构强度分析是结构功能及可靠性设计中所关心的最基本问题，因此，
静力数值分析是最早开始进入工程应用的内容，也是目前最成熟的仿真分析 技术之一。一般均匀材料实体单元应用于静力分析的理论和程序已经相当成 熟，因此工程应用中有限元分析主要关心的问题是模型建立的合理性与易用 性。其中，复杂结构的网格生成、质量检查方法和准则、自适应修正是分析 几何模型的核心问题，边界描述的可表达性、边界条件施加的精确性是模型 力学条件的核心问题。从目前形成的技术看，网格生成可分为直接手工法、 基于分区映射半自动法和全域自动划分法，网格自动划分为快速建模提供了 条件，但目前的三维自动划分只能实现三角分割，网格质量难以保证是复杂 零件分析中遇到的最大问题。边界条件的施加包括直接离散数值施加法、物 力单元模拟法、接触算法、约束罚函数法等。随着商品化软件的发展和动力 装置分析经验的不断积累，对零部件的静力分析已成为十分成熟的手段，在 应用方法上值得研究的主要是复杂组合结构及多物理场的静力分析。
线性完全弹性假设： 对应于一定的温度，应力与应变呈线性的一一对应的关系。这样，
在引起物体变形的外加因素除去以后，将完全恢复其原来的形状和大 小，而弹性常数与应力、应变的大小无关。
小变形假设： 假设物体在外界因素作用下产生的位移远小于物体原来的尺寸。
根据这条假设使问题得到简化，例如，在考虑平衡条件时，可以忽略 变形引起的物体尺寸和位置的变化；在推导几何和物理方程时，可以 略去非线性项，使方程成为线性的偏微分方程，从而可以运用叠加原 理来分析问题。
计算机辅助几何建模技术进展
模型的几何表达： 1973年Braid提出体素表达几何结构的方法，在随后的20多年时间
实体建模技术快速发展，80年代至90年代初，Requicha对实体建模技术 进行了较为全面的论述。现在，实体建模技术已经趋于成熟，成为目前 几何建模中使用的的主流工具。从软件应用情况看，1976年美国罗切斯 特大学在实体表达的基础上推出PADL软件，实体建模开始进入实用。目 前流行的商品化实体建模软件很多，包括著名的Pro/Engineer、I-DEAS、 UG、CATIA等。采用实体建模技术，不仅可以反映零件的整体几何结构， 还可以反映构成整体结构的各部分的几何拓扑关系。更重要的是，实体 建模可以全面表达零件几何结构以外的物理量，如体积、质量、惯量等， 为全面进行零件结构分析和机械系统仿真提供了基本模型。
计算机辅助几何建模技术进展
模型的参数表达： 参数化设计方法是用描述几何模型的尺寸作为参数，以函数驱动方式
实现整个零件模型的形状尺寸联动，其显著特点是所有进入参数化描述的 几何参量实现全约束。基于特征的参数化建模是将以参数化方式形成的特 征作为建立组合实体的子结构，调用的特征除了几何参数还具有其他相关 信息，其几何参数实现全参数化。基于参数化设计推出的商品化软件最具 代表性的是美国参数化技术公司的Pro/Engineer。
计算机辅助几何建模技术进展
模型的几何表达： 二维建模解决了工程师的绘图问题，从实用意义上它取代了传
统的图板、尺规和铅笔，提高了绘图效率和精确度，但它还根本谈 不上直接用于辅助提高产品设计水平。设计技术的生存最根本的前 提是对产品功能的需要，因此计算机辅助设计技术的发展必将紧密 结合产品性能的提高。从严格意义上说，任何机械零件都是空间三 维结构，基于二维几何模型很难进行设计中大量的分析工作。所以， 计算机辅助三维几何建模是该技术发展的必然产物。在程序中实现 的最早的三位模型是线框模型，这种模型不含有三维结构的面积、 质量等物理参数，仅仅以点和线在屏幕上表达零件框架的视觉形象。 有真正实用意义的三维建模技术是随后产生的计算机辅助曲面建模 和实体建模。