12.8尺规作图2-中垂线
尺规作图专题详尽归纳
考点名称：尺规作图【学习目标】1．了解什么是尺规作图．2．学会用尺规作图法完成下列五种基本作图：(1)画一条线段等于已知线段；(2)画一个角等于已知角；(3)画线段的垂直平分线；(4)过已知点画已知直线的垂线；(5)画角平分线．3．了解五种基本作图的理由．4．学会使用精练、准确的作图语言叙述画图过程．5．学会利用基本作图画三角形等较简单的图形．6．通过画图认识图形的本质，体会图形的内在美．【基础知识精讲】1．尺规作图：①定义：限定只用直尺和圆规来完成的画图，称为尺规作图．注意：这里所指的直尺是没有刻度的直尺，由于免去了度量，因此，用尺规作图法画出的图形的精确度更高，它在工程绘图等领域应用比较广泛．②步骤：(1)根据给出的条件和求作的图形，写出已知和求作部分；(2)分析作图的方法和过程；(3)用直尺和圆规进行作图； (4)写出作法步骤，即作法。
（根据题目要求来定是否需要写出作法）2．尺规作图中的最基本、最常用的作图称为基本作图．任何尺规作图的步骤均可分解为以下五种.3．基本作图共有五种：(1)画一条线段等于已知线段．如图24-4-1，已知线段DE．求作：一条线段等于已知线段．作法：①先画射线AB．②然后用圆规在射线AB上截取AC＝MN．线段AC就是所要作的线段．(2)作一个角等于已知角．如图24-4-2，已知∠AOB．求作：∠A′O′B′，使∠A′O′B′＝∠AOB．作法：①作射线O′A′；②以点O为圆心，以任意长为半径作弧，交OA于C，交OB于D．③以点O′为圆心，以OC长为半径作弧，交O′A′于C′．④以点C′为圆心，以CD为半径作弧，交前弧于D′．⑤经过点D′作射线O′B′，∠A′O′B′就是所求的角．(3)作线段的垂直平分线．如图24-4-3，已知线段AB．求作：线段AB的垂直平分线．作法：①分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点C和D．②作直线CD．直线CD就是线段AB的垂直平分线．注意：直线CD与线段AB的交点，就是AB的中点．(4)经过一点作已知直线的垂线．a．经过已知直线上的一点作这条直线的垂线，如图24-4-4．已知：直线AB和AB上一点C，求作：AB的垂线，使它经过点C．作法：作平角ACB的平分线CF．直线CF就是所求的垂线，如图24-4-4．b．经过已知直线外一点作这条直线的垂线．如图24-4-5，已知：直线AB和AB外一点C．求作：AB的垂线，使它经过点C．作法：①任意取一点K，使K和C在AB的两旁．②以C为圆心，CK长为半径作弧，交AB于点D和E．③分别以D和E为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点F．④作直线CF．直线CF就是所求的垂线．注意：经过已知直线上的一点，作这条直线的垂线转化成画线段垂直平分线的方法解决．(5)平分已知角．如图24-4-6，已知∠AOB．求作：射线OC，使∠AOC＝∠BOC．作法：①在OA和OB上，分别截取OD、OE．②分别以D、E为圆心，大于的长为半径作弧，在∠AOB内，两弧交于点C．③作射线OC．OC就是所求的射线．注意：以上五种基本作图是尺规作图的基础，一些复杂的尺规作图，都是由基本作图组成的，同学扪要高度重视，努力把这部分内容学习好．通过这一节的学习，同学们要掌握下列作图语言：(1)过点×和点×画射线××，或画射线××．(2)在射线××上截取××＝××．(3)以点×为圆心，××为半径画弧．(4)以点×为圆心，××为半径画弧，交××于点×．(5)分别以点×，点×为圆心，以××，××为半径作弧，两弧相交于点×．(6)在射线××上依次截取××＝××＝××．(7)在∠×××的外部或内部画∠×××＝∠×××．注意：学过基本作图后，在作较复杂图时，属于基本作图的地方，不必重复作图的详细过程，只用一句话概括叙述就可以了．如：(1)画线段××＝××．(2)画∠×××＝∠×××．(3)画××平分∠×××，或画∠×××的角平分线．(4)过点×画××⊥××，垂足为点×．(5)作线段××的垂直平分线××，等等．但要注意保留全部的作图痕迹，包括基本作图的操作程序，不能因为作法的叙述省略而作图就不按程序操作，只有保留作图痕迹，才能反映出作图的操作是否合理．【经典例题精讲】例1已知两边及其夹角，求作三角形．如图24-4-7，已知：∠α，线段a、b，求作：△ABC，使∠A＝∠α，AB＝a，AC＝b．作法：①作∠MAN＝∠α．②在射线AM、AN上分别作线段AB＝a，AC＝b．③连结BC．如图24-4-8，△ABC即为所求作的三角形．注意：一般几何作图题，应有下面几个步骤：已知、求作、作法，比较复杂的作图题，在作图之前可根据需要作一些分析．例2如图24-4-9，已知底边a，底边上的高h，求作等腰三角形．已知线段a、h．求作：△ABC，使AB＝AC，且BC＝a，高AD＝h．分析：可先作出底边BC，根据等腰三角形的三线合一的性质，可再作出BC的垂直平分线，从而作出BC边上的高AD，分别连结AB和AC，即可作出等腰△ABC来．作法：(1)作线段BC＝a．(2)作线段BC的垂直平分线MN，MN与BC交于点D．(3)在MN上截取DA，使DA＝h．(4)连结AB、AC．如图24-4-10，△ABC即为所求的等腰三角形．例3已知三角形的一边及这边上的中线和高，作三角形．如图24-4-11，已知线段a，m，h(m>h)．求作：△ABC使它的一边等于a，这边上的中线和高分别等于m和h(m>h)．分析：如图24-4-12，假定△ABC已作出，其中BC＝a，中线AD＝m，高AE＝h，在△AED中AD＝m，AE＝h，∠AED＝90°，因此这个Rt△AED可以作出来(△AED为奠基三角形)．当Rt△AED作出后，由的关系可作出点B和点C，于是△ABC即可得到．作法：(1)作△AED，使∠AED＝90°，AE＝h，AD＝m．(2)延长ED到B，使．(3)在DE或BE的延长线上取．(4)连结AB、AC．则△ABC即为所求作的三角形．注意：因为三角形中，一边上的高不能大于这边上的中线，所以如果h>m，作图题无解；若m＝h，则作出的图形为等腰三角形．例4如图24-4-13，已知线段a．求作：菱形ABCD，使其半周长为a，两邻角之比为1∶2．分析：因为菱形四边相等，“半周长为a”就是菱形边长为，为此首先要将线段a等分，又因为菱形对边平行，则同旁内角互补，由“邻角之比为1∶2”可知，菱形较小内角为60°，则菱形较短对角线将菱形分成两个全等的等边三角形．所以作图时只要作出两个有公共边的等边三角形，则得到的四边形即为所求的菱形ABCD．作法：(1)作线段a的垂直平分线，等分线段a．(2)作线段AC，使．(3)分别以A、C为圆心，为半径，在AC的两侧画弧，两弧分别交于B，D．(4)分别连结AB、BC、CD、DA得到四边形ABCD，则四边形ABCD为所求作的菱形(如图24-4-14)．注意：这种通过先画三角形，然后再画出全部图形的方法即为“三角形奠基法”．例5如图24-4-15，已知∠AOB和C、D两点．求作一点P，使PC＝PD，且使点P到∠AOB的两边OA、OB的距离相等．分析：要使PC＝PD，则点P在CD的垂直平分线上，要使点P到∠AOB的两边距离相等，则P应在∠AOB的角平分线上，那么满足题设的P点就是垂直平分线与角平分线的交点了．作法：(1)连结CD．(2)作线段CD的中垂线l．(3)作∠AOB的角平分线OM，交l于点P，P点为所求．注意：这类定点问题应需确定两线，两直线的交点即为定点，当然这两直线应分别满足题目的不同要求．【中考考点】例6 (2000·安徽省)如图24-4-16，直线表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有( )A．一处 B．二处C．三处 D．四处分析：到直线距离相等的点在相交所构成的角的平分线上，可利用作角平分线的方法找到这些点．解：分别作相交所构成的角平分线，共可作出六条，三条角平分线相交的交点共有四个．答案：D．注意：本题应用了角平分线的性质，在具体作图时，不可只作出位于中心位置的一处，而要全面考虑其他满足条件的点．例7 (2002·陕西省)如图24-4-17，△ABC是一块直角三角形余料，∠C＝90°，工人师傅要把它加工成—个正方形零件，使C为正方形的—个顶点，其他三个顶点分别在AB、BC、AC边上．(1)试协助工人师傅用尺规画出裁割线(不写作法，保留作图痕迹)；(2)工人师傅测得AC＝80 cm，BC＝120cm，请帮助工人师傅算出按(1)题所画裁割线加工成的正方形零件的边长．解：(1)作∠ACB的平分线与AB的交点E即为正方形—顶点，作CE线段的中垂线HK 与AC、BC的交点F、D即为所作正方形另两个顶点，如图24-4-17．(2)设这个正方形零件的边长为x cm，∵DE∥AC，∴，∴．∴x＝48．答：这个正方形零件的边长为48cm．注意：本题是几何作图和几何计算相结合题目，要求读者对基本作图务必掌握，同时对作出图形的性质要清楚．例8 (2002·山西省)如图24-4-18①，有一破残的轮片(不小于半个轮)，现要制作一个与原轮片同样大小的圆形零件，请你根据所学的有关知识，设计两种方案，确定这个圆形零件的半径．分析：欲确定这个圆形零件的半径，可以借助三角板，T形尺或尺规作图均可，图②中是这个零件的半径，图③中OB是这个零件半径．解：如图24-4-18②③所示．【常见错误分析】例9如图24-4-19，已知线段a、b、h．求作△ABC，使BC＝a，AC＝b，BC边上的高AD＝h．并回答问题，你作出的三角形唯一吗？从中你可以得到什么结论呢？错解：(1)作法：①作Rt△ADC，使AD＝h，AC＝b．②在直线CD上截取CB＝a．如图24-4-20，则△ABC就是所求作的三角形．(2)作出的三角形唯一．(3)得出结论：有两边及一边上的高对应相等的两三角形全等．误区分析：本题错解在于忽略了三角形的高可能在三角形内部也可能在三角形的外部．正解：如图24-4-21，作法：①作Rt△ADC，使AD＝h，AC＝b．②在直线CD上截取CB＝a(在点C的两侧)．则△ABC，△AB′C都是所求作三角形．(2)作出的三角形不唯一．(3)得出结论有两边及—边上的高对应相等的两三角形不一定全等．注意：与三角形的高有关的题目应慎之又慎．【学习方法指导】学习基本作图，主要是运用观察法，通过具体的操作，了解各种基本作图的步骤，掌握作图语言．【规律总结】画复杂的图形时，如一时找不到作法，—般是先画出一个符合所设条件的草图，再根据这个草图进行分析，逐步寻找画图步骤．有时，也可以根据已知条件和基本作图，先作局部三角形，再以此为基础，根据有关条件画出其余部分，从而完成全图，这种方法称为三角形奠基法．拓展： 1．利用基本作图作三角形：(1)已知三边作三角形； (2)已知两边及其夹角作三角形； (3)已知两角及其夹边作三角形； (4)已知底边及底边上的高作等腰三角形；（5）已知一直角边和斜边作直角三角形．2．与圆有关的尺规作图：(1)过不在同一直线上的三点作圆(即三角形的外接圆)． (2)作三角形的内切圆．（3）作圆的内接正方形和正六边形．附件：尺规作图简史：“规”就是圆规，是用来画圆的工具，在我国古代甲骨文中就有“规”这个字.“矩”就像现在木工使用的角尺，由长短两尺相交成直角而成，两者间用木杠连接以使其牢固，其中短尺叫勾，长尺叫股.矩的使用是我国古代的一个发明，山东历城武梁祠石室造像中就有“伏羲氏手执矩，女娲氏手执规”之图形.矩不仅可以画直线、直角，加上刻度可以测量，还可以代替圆规.甲骨文中也有矩字，这可追溯到大禹治水(公元前2000年)前.《史记》卷二记载大禹治水时“左准绳，右规矩”.赵爽注《周髀算经》中有“禹治洪水，……望山川之形，定高下之势，……乃勾股之所由生也.”意即禹治洪水，要先测量地势的高低，就必定要用勾股的道理.这也说明矩起源于很远的中国古代.春秋时代也有不少著作涉及规矩的论述，《墨子》卷七中说“轮匠(制造车子的工匠)执其规矩，以度天下之方圆.”《孟子》卷四中说“离娄(传说中目力非常强的人)之明，公输子(即鲁班，传说木匠的祖师)之巧，不以规矩，不能成方圆.”可见，在春秋战国时期，规矩已被广泛地用于作图、制作器具了.由于我国古代的矩上已有刻度，因此使用范围较广，具有较大的实用性.古代希腊人较重视规、矩在数学中训练思维和智力的作用，而忽视规矩的实用价值.因此，在作图中对规、矩的使用方法加以很多限制，提出了尺规作图问题.所谓尺规作图，就是只有限次地使用没有刻度的直尺和圆规进行作图.古希腊的安那萨哥拉斯首先提出作图要有尺寸限制.他因政治上的纠葛，被关进监狱，并被判处死刑.在监狱里，他思考改圆成方以及其他有关问题，用来打发令人苦恼的无所事事的生活.他不可能有规范的作图工具，只能用一根绳子画圆，用随便找来的破木棍作直尺，当然这些尺子上不可能有刻度.另外，对他来说，时间是不多了，因此他很自然地想到要有限次地使用尺规解决问题.后来以理论形式具体明确这个规定的是欧几里德的《几何原本》.由于《几何原本》的巨大影响，希腊人所崇尚的尺规作图也一直被遵守并流传下来.由于对尺规作图的限制，使得一些貌似简单的几何作图问题无法解决.最著名的是被称为几何三大问题的三个古希腊古典作图难题：立方倍积问题、三等分任意角问题和化圆为方问题.当时很多有名的希腊数学家，都曾着力于研究这三大问题，虽然借助于其他工具或曲线，这三大难题都可以解决，但由于尺规作图的限制，却一直未能如愿以偿.以后两千年来，无数数学家为之绞尽脑汁，都以失败而告终.直到1637年笛卡尔创立了解析几何，关于尺规作图的可能性问题才有了准则.到了1837年万芝尔首先证明立方倍积问题和三等分任意角问题都属于尺规作图不可能问题.1882年林德曼证明了π是无理数，化圆为方问题不可能用尺规作图解决，这才结束了历时两千年的数学难题公案.。
用尺规作图(作线段的垂直平分线)
2.画一个直角三角形，使其斜边和直 角边分别等于已知的两条线段.
(第 4 题)
E F B D C
2，书本上的练习
作业
课堂作业：书本P37 上的7,9,11题 （画在书本上） 家庭作业（方便居民的生 活，计划在三个住宅小区A、B、 C之间修建一个购物中心，试问， 该购物中心应建于何处，才能 使得它到三个小区的距离相等。
A
·
B
C
问题探讨
以C为圆心，任一线段的长为半径 画弧，交l于A、B两点，则C是线段 AB的中点．因此，过C画直线l的垂 线转化为画线段AB的垂直平分线．
图 24.4.9
作法：(1)以点C为圆心，任一线段的 长为半径画弧，交直线l于点A、B； (2)以点A为圆心，以CB长为半径在 直线一侧画弧; (3)以点D为圆心，以同样的长为半径 在直线的同一侧画弧，两弧交于点D； (4)经过点C、D作直线CD． 则直线CD即为所求．
你能做出下面五角星的一条对称轴吗？
A
A’
生活中的数学
A
在某高速公路L的同侧，有两个工厂A、B，为了便 于两厂的工人看病，市政府计划在公路边上修建一所医 院，使得两个工厂的工人都没意见，问医院的院址应选 在何处？你的方案是什么?
B
L
高 速 公 路
1，已知，如图，AD是△ABC的角平分线， DE,DF,分别是△ABD和△ACD的高。 求证：AD垂直平分EF A
思考：
有时我们感觉两个平面图形是轴对称图形，如何验 证呢？不折叠图形，你能准确的作出轴对称图形的对称 轴吗？
如果两个图形成轴对称，其对称轴是任何 一对对应点所连线段的垂直平分线.因此，我们 只要找到一对对应点，作出连接它们的线段的 垂直平分线，就可以得到这两个图形的对称轴。
尺规作图：画等角、垂线及平行线
a
2、设计一个漂亮的图案。
①过P作PQ⊥a于Q，
a
活动1：你有多少种画平行线的方法？
方法2：根据“同一平面内，垂直同一直线的两条直 线互相平行”.
P
如，过P点作直线a的平行线。
解：作法， ①过P作PQ⊥a于Q，
a
Q
②过P作直线b⊥PQ于P，
活动1：你有多少种画平行线的方法？
方法2：根据“同一平面内，垂直同一直线的两条直 线互相平行”.
方法1：运用平行线的判定定理1.
如，过P点作直线a的平行线。
P
解：作法， ①过P直线b与a相交，
a
1
②以P为顶点，作∠1的同位角∠2，
且∠2=∠1的同位角，
活动1：你有多少种画平行线的方法？ b
方法1：运用平行线的判定定理1.
如，过P点作直线a的平行线。
P
解：作法， ①过P直线b与a相交，
a
1
②以P为顶点，作∠1的同位角∠2，
A’
复习2：过一点画已知直线的垂线；
P a
a P
复习2：过一点画已知直线的垂线；
P a
a P
复习2：过一点画已知直线的垂线；
P a
a P
复习2：过一点画已知直线的垂线；
P a
a P
复习2：过一点画已知直线的垂线；
P a
a P
复习2：过一点画已知直线的垂线；
P a
a P
活动1：你有多少种画平行线的方法？ b
5 教学活动
教学内容：(P32-33)
1、运用平行线判定方法来画平行线； 2、运用平移的方法来设计美丽的图案．
复习1：画一个等于已知角的角？
B
O
初中数学九年级《尺规作图(3)画垂线》
在解数学选择题时，直接法是最基本和使用率 最高的一种方法。当题目具备一定的条件和特 征时，可考虑采用其他几种方法。有时解一个 选择题需要几种方法配合使用。另外还要注意 充分利用题干和选择支两方面所提供的信息， 全面审题。不但要审清题干给出的条件，还要 考察四个选项所提供的信息（它们之间的异同 点及关系、选项与题干的关系等），通过审题 对可能存在的各种解法（直接的、间接的）进 行比较，包括其思维的难易程度、运算量大小 等，初步确定解题的切入点。
• 已知线段AB，画出它的垂直平分线.
说出你的 作图思路
议一议；能否说出这 种画法的依据，小组 讨论交流一下。
试一试你的能力
1、如图，点C在直线上，试过 点C画出直线的垂线。
2、如图，如果点C不在直线上，试和同学 讨论，应采取怎样的步骤，过点C画出直 线的垂线？
作法：
• （1）任取一点M，使点M和点C在的两侧； • （2）以C点为圆心，以CM长为半径画弧，
h
a
动手实践
• AB、AC分别是菱形ABCD 的一条边和对角线，请你 用尺规把这个菱形补充完 整。
C
A
B
生活离不开数学
• A、B是两个村庄，要从灌 溉总渠引两条水渠便于灌溉， 请你选择最佳方案。
B A
灌溉总渠
•教学反思 • 本节课你掌握了哪些知识？ • 还有哪些疑惑？
在模拟考试中，有学生大题做得 好，却在选择题上失误丢分，主 要原因有二:
练：下列命题正确的是( ) A 对角线互相平分的四边形是菱形 B 对角线互相平分且相等的四边形
是菱形 C 对角线互相垂直的四边形是菱形 D 对角线互相垂直平分的四边形是
菱形
直接依据定义判断
（六）方程法 通过设未知数，找等量关系，建方程，解方程，使问题得以 解决的方法。
2024中考备考热点09 尺规作图(7大题型+满分技巧+限时分层检测)(原卷版)
热点09 尺规作图中考数学中《尺规作图》部分主要考向分为三类：一、尺规作图的痕迹（每年1道，3~8分）二、尺规作图画图（每年1道，3~12分）三、网格问题中的作图设计（每年1题，6~8分）尺规作图指的是只用无刻度的直尺和圆规，作已知线段的中垂线、已知角的角平分线；部分题型则考察由作图痕迹逆向推导是什么线，然后利用中垂线或者角平分线的性质继续解题。
最近几年又出现一类不用“尺规”，只用无刻度的直尺在网格图中按要求画图或找点。
当考察作图痕迹时，基本以选择题为主，实际画图题或者网格类问题则是简单题，虽然难度中等，但是对应考点的综合性已经越来越强，需要在做题时更加全面的分析。
考向一：尺规作图的痕迹【题型1 线段中垂线的尺规作图痕迹】满分技巧1、线段垂直平分线的画图痕迹：2、线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等1．（2023•凉山州）如图，在等腰△ABC中，∠A＝40°，分别以点A、点B为圆心，大于AB为半径画弧，两弧分别交于点M和点N，连接MN，直线MN与AC交于点D，连接BD，则∠DBC的度数是（）A．20°B．30°C．40°D．50°2．（2023•西宁）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，分别以点A和点C为圆心，大于AC的长为半径作弧，两弧相交于P，Q两点，作直线PQ交AB，AC于点D，E，连接CD．下列说法错误的是（）A．直线PQ是AC的垂直平分线B．CD＝ABC．DE＝BCD．S△ADE：S四边形DBCE＝1：43．（2023•随州）如图，在▱ABCD中，分别以B，D为圆心，大于BD的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，过M，N两点作直线交BD于点O，交AD，BC于点E，F，下列结论不正确的是（）A．AE＝CF B．DE＝BF C．OE＝OF D．DE＝DC4．如图，在△ABC中，∠C＝40°，分别以点B和点C为圆心，大于BC的长为半径画弧，两弧相交于M，N两点，作直线MN，交边AC于点D，连接BD，则∠ADB的度数为（）A．40°B．50°C．80°D．100°5．（2023•西藏）如图，在△ABC中，∠A＝90°，分别以点B和点C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于M，N两点；作直线MN交AB于点E．若线段AE＝5，AC＝12，则BE长为．6．（2023•广元）如图，a∥b，直线l与直线a，b分别交于B，A两点，分别以点A，B为圆心，大于AB 的长为半径画弧，两弧相交于点E，F，作直线EF，分别交直线a，b于点C，D，连接AC，若∠CDA ＝34°，则∠CAB的度数为．【题型2 角平分线的尺规作图痕迹】满分技巧1、角平分线的画法：2、角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等1．（2023•衢州）如图，在△ABC中，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB，AC于点D，E．分别以点D，E为圆心，大于长为半径画弧，交于∠BAC内一点F．连结AF并延长，交BC于点G．连结DG，EG．添加下列条件，不能使BG＝CG成立的是（）A．AB＝AC B．AG⊥BC C．∠DGB＝∠EGC D．AG＝AC2．（2023•辽宁）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，以点A为圆心，适当长为半径作弧，分别交AB，AC于点E，F，分别以点E，F为圆心，大于EF的长为半径作弧，两弧在∠BAC的内部相交于点G，作射线AG，交BC于点D，则BD的长为（）A．B．C．D．3．阅读以下作图步骤：①在OA和OB上分别截取OC，OD，使OC＝OD；②分别以C，D为圆心，以大于CD的长为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点M；③作射线OM，连接CM，DM，如图所示．根据以上作图，一定可以推得的结论是（）A．∠1＝∠2且CM＝DM B．∠1＝∠3且CM＝DMC．∠1＝∠2且OD＝DM D．∠2＝∠3且OD＝DM4．（2023•湖北）如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交BC，BD于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于长为半径画弧交于点P，作射线BP，过点C作BP 的垂线分别交BD，AD于点M，N，则CN的长为（）A．B．C．D．45．（2023•丹东）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，以点B为圆心，以任意长为半径作弧，分别交AB，BC于点E，F，分别以E，F为圆心，以大于长为半径作弧，两弧在∠ABC内交于点P，作射线BP，交AD于点G，交CD的延长线于点H．若AB＝AG＝4，GD＝5，则CH的长为（）A．6B．8C．9D．106．（2023•内蒙古）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠BAC＝60°，以点A为圆心，以AB的长为半径画弧交AC于点D，连接BD，再分别以点B，D为圆心，大于BD的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交BD于点M，交BC于点E，连接DE，则S△BDE：S△CDE是（）A．1：2B．1：C．2：5D．3：87．如图，在▱ABCD中，∠D＝60°．以点B为圆心，以BA的长为半径作弧交边BC于点E，连接AE．分别以点A，E为圆心，以大于AE的长为半径作弧，两弧交于点P，作射线BP交AE于点O，交边AD 于点F，则的值为．8．（2023•鞍山）如图，△ABC中，在CA，CB上分别截取CD，CE，使CD＝CE，分别以D，E为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在∠ACB内交于点F，作射线CF，交AB于点M，过点M作MN⊥BC，垂足为点N．若BN＝CN，AM＝4，BM＝5，则AC的长为．9．（2023•甘孜州）如图，在平行四边形ABCD（AB＜AD）中，按如下步骤作图：①以点A为圆心，以适当长为半径画弧，分别交AB，AD于点M，N；②分别以点M，N为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧在∠BAD内交于点P；③作射线AP交BC于点E．若∠B＝120°，则∠EAD为°．10．（2023•阜新）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8．连接AC，在AC和AD上分别截取AE，AF，使AE＝AF，分别以点E和点F为圆心，以大于EF的长为半径作弧，两弧交于点G，作射线AG交CD 于点H，则线段DH的长是．考向二：尺规作图画图【题型3 作一条线段的垂直平分线】满分技巧线段垂直平分线的画图步骤：1、分别以线段两端点为圆心，相同适当长（大于线段的一半）为半径画圆弧，上下各得两个弧的一个交点；2、过两个弧的交点作一条直线，则该直线即为所求作的线段中垂线。
12.8尺规作图2-中垂线
经过Байду номын сангаас条线段的中点，并且垂直于这条线段
的直线 8分钟
二.互助探究
环节1----师友探究
1.画一条线段AB，尺规作出它的中垂线CD，垂 足为E。
2.在CD上任取一点P，连接PA、PB。 3.你发现PA与PB有什么数量关系？请说明 理由。 4.请用最精炼的语言总结这一规律 8分钟
一.预习交流
环节1----学生动手操作 按以下步骤画图 1.画一条线段AB；
2. 分别以A、B为圆心，以大于1/2的AB长为半径
作弧，两弧分别交于点C、D； 3.作直线CD. 4.猜想直线CD与线段AB的关系，并说明理由。 4分钟
一.预习交流
环节1----学生动手操作 按以下步骤画图 1.画一条线段AB； 为什么要大于1/2的AB？
到线段两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上环节1师友探究8分钟例1de分别是线段ab中垂线上的点求证
12.8尺规作图—线段的垂直平分线
线段的垂直平分线
学习目标： 1.会用尺规作线段的垂直平分线，知道 作图的依据。 2.探索并证明线段垂直平分线的性质定理 和逆定理； 3.会简单应用性质。
2分钟
三.分层提高
环节1----师友探究
例2.如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交AB于 E,交AC于D,若AC=12，BC=10，试求△BDC的周长
1.先将已知条件标在图上， 独立思考
2. 再师友交流（友说师听）
8分钟
三.分层提高
变式练习：
如图，在△ABC中，AB=AC=10cm，D是AB中点， DE⊥AB于D,交AC于点E,若△EBC的周长是16cm， 则BC=______ 学友讲给学师听，学师作补充
尺规作图资料(完整)
1：尺规作出正三角形2尺规作出正方形3：尺规作出正六边形4：尺规作出正十边形5：尺规作出正十六边形6:尺规作出正十七边形7：尺规作出正十五边形8：尺规作出正五边形9:单尺作出正八边形10：单尺作出正方形11：单尺作出正六边形12：单尺作出正五边形13：单规找出两点间的三等分点14：单规找出两点间的中点15:单规作出等边三角形16：单规作出正八边形17：单规作出正方形18：单规作出正六边形19：单规作出正十边形20:单规作出正十二边形21：单规作出正十六边形22：单规作出正十五边形23单规作出正五边形24：只有两个刻度的直尺作出正三角形25:只有两个刻度的直尺作出正方形初中数学尺规作图专题讲解张远波尺规作图是起源于古希腊的数学课题.只使用圆规和直尺，并且只准许使用有限次，来解决不同的平面几何作图题。
平面几何作图，限制只能用直尺、圆规.在历史上最先明确提出尺规限制的是伊诺皮迪斯.他发现以下作图法：在已知直线的已知点上作一角与已知角相等。
这件事的重要性并不在于这个角的实际作出,而是在尺规的限制下从理论上去解决这个问题.在这以前，许多作图题是不限工具的.伊诺皮迪斯以后，尺规的限制逐渐成为一种公约，最后总结在《几何原本》之中。
初等平面几何研究的对象,仅限于直线、圆以及由它们（或一部分）所组成的图形，因此作图的工具,习惯上使用没有刻度的直尺和圆规两种。
限用直尺和圆规来完成的作图方法，叫做尺规作图法。
最简单的尺规作图有如下三条:⑴经过两已知点可以画一条直线;⑵已知圆心和半径可以作一圆;⑶两已知直线；一已知直线和一已知圆；或两已知圆,如果相交，可以求出交点;以上三条，叫做作图公法.用直尺可以画出第一条公法所说的直线；用圆规可以作出第二条公法所说的圆;用直尺和圆规可以求得第三条公法所说的交点.一个作图题，不管多么复杂，如果能反复应用上述三条作图公法，经过有限的次数,作出适合条件的图形,这样的作图题就叫做尺规作图可能问题；否则,就称为尺规作图不能问题.历史上，最著名的尺规作图不能问题是：⑴三等分角问题：三等分一个任意角；⑵倍立方问题：作一个立方体，使它的体积是已知立方体的体积的两倍;⑶化圆为方问题：作一个正方形，使它的面积等于已知圆的面积。
尺规作图(3)画垂线
课题 ：24.4.3 尺规作图（3）画垂线【教学目标】：1、使学生掌握作线段的垂直平分线，过一点作已知直线垂线的两种基本作图；2、继续训练学生用简练、准确地运用几何语言表达作图方法与步骤，认识它的正确性、合理性；3、培养学生探索问题、解决问题的方法，经历如何画线段的垂直平分线，体验利用画线段垂直平分线的方法为基础，画过一点作已知垂线的作图。
【重点难点】：1、重点：让学生掌握过一点作直线的垂线，作直线的垂直平分线的基本方法；2、难点：理解作图的理论依据。
【教学过程】：一、复习1、什么叫做尺规作图？（限定用直尺和圆规来画图，称为尺规作图） 2、用尺规作图（1）作线段，使它等于已知线段的长； （2）作角，使它等于已知角；①让学生在练习本上画任意长的线段和任意角。
②提问学生口述作法，教师在黑板上操作尺规画图，或教师口述作图步骤，让学生按老师的口述，操作尺规作图。
作线段：已知线段a ，作射线AC ，以A 为圆心，在AC 上截取A B a =，AB 就是所求作的；作角：已知A O B ∠，作射线''O A ，以O 为圆心，以任意长为半径作弧，分别交OA 、OB 于D 、C 两点，以'O 为圆心，以OC 为半径作弧，交''O A 于'C ，以点'C 为圆心，以CD 长为半径作弧，交前弧于'D ，经过'D 作射线''O B ，'''A O B ∠就是所求的角。
3、什么垂直平分线？（过线段的中点，垂直这条线段的直线） 4、线段垂直平分线有哪些特征？（线段的垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等；反过来，到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上）二、做一做如图，如图24.4.6，已知线段AB ，画出它的垂直平分线.提示：由线段垂直平分线的特征能否为你提供一些作图的依据。
若有学生懂得画，请他上台展示；若讨论没有结果的话，教师示范。
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1. 练习册63-64页
1分钟
12.8尺规作图—线段的垂直平分线
线段的垂直平分线
学习目标： 1.会用尺规作线段的垂直平分线，知道 作图的依据。 2.探索并证明线段垂直平分线的性质定理 和逆定理； 3.会简单应用性质。
2分钟
一.预习交流
环节1----学生动手操作 按以下步骤画图 1.画一条线段AB；
2. 分别以A、B为圆心，以大于1/2的AB长为半径
环节1----师友探究
1.画一条线段AB，尺规作出它的中垂线CD，垂 足为E。
2.在CD上任取一点P，连接PA、PB。 3.你发现PA与PB有什么数量关系？请说明 理由。 4.请用最精炼的语言总结这一规律 8分钟
环节2----教师点拨 3. 线段的垂直平分线的性质？
定理：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的 距离相等
1.先将已知条件标在图上， 独立思考
2. 再师友交流（友说师听）
8分钟
三.分层提高
变式练习：
如图，在△ABC中，AB=AC=10cm，D是AB中点， DE⊥AB于D,交AC于点E,若△EBC的周长是16cm， 则BC=______ 学友讲给学师听，学师作补充
四.总结归纳
环节1----师友总结
1、这节课你学会了哪些知识和学习方法？ 1.会用尺规作已知线段的中垂线，知道 其依据。 SSS 2.探索并证明中垂线的性质定理和逆定理 ； 运用全等 3.会对中垂线的性质进行简单的应用。 得线段相等-角等
定理：到线段两个端点的距离相等的点在这条 3分钟 线 段的垂直平分线上
三.分层提高
环节1----师友探究
例1.D、E分别是线段AB中垂线上的点，求证： ∠DAE=∠DBE
1.根据题意画出图形并证明； 2.同桌交流。 8分钟
三.分层提高
环节1----师友探究
例2.如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交AB于 E,交AC于D,若AC=12，BC=10，试求△BDC的周长
作弧，两弧分别交于点C、D； 3.作直线CD. 4.猜想直线CD与线段AB的关系，并说明理由。 4分钟
一.预习交流
环节1----学生动手操作 按以下步骤画图 1.画一条线段AB； 为什么要大于1/2的AB？
2. 分别以A、B为圆心，以大于1/2的AB长为半径
作弧，两弧分别交于点C、D； 3.作直线CD.
AC、AD、BC、BD有什么 数量关系？
4.猜想直线CD与线段AB的关系，并说明理由。 CD⊥AB,CD平分AB 4分钟
二.互助探究
环节1----师友探究
1.请你给直线CD命名？ 线段AB的垂直平分线 中垂线
2.什么叫做线段的垂直平分线？
经过一条线段的中点，并且垂直于这条线段
的直线 8分钟
二.互助探究