第11讲 复杂抽屉原理
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最多可以取出 5+5+4+1=15 （个）。
练习4
从1至50这50个自然数中取出若干个数，使其中任意两个数的和
都不能被9整除，则最多能取出多少个数？
【答案】：25。 【解析】： 将 1~50 这 50 个数，按照除以 9 的余数分为：0、1、2、3、4、5、6、7、8 这 9 类。 每类所含的数的个数分别为 5、6、6、6、6、6、5、5、5。 被 9 除余 1 与余 8 的两个数之和是 9 的倍数，所以取出的数只能是这两种之一；同 理，被 9 除余 2 与余 7 的两个数之和是 9 的倍数，所以取出的数只能是这两种之一； 被 9 除余 3 与余 6 的两个数之和是 9 的倍数，所以取出的数只能是这两种之一；被 9 除余 4 与余 5 的两个数之和是 9 的倍数，所以取出的数只能是这两种之一；两个 数都是 9 的倍数，和也是 9 的倍数，所以 9 的倍数中只能取 1 个。所以最多可以取
两个数字互质，11004 11005（个），最少选出 1005 个数字，才能保证其中必
有两个数互质。
例题4
从1至30这30个自然数中取出若干个数，使其中任意两个数的和
都不能被7整除，则最多能取出多少个数？
【答案】：15。 【解析】： 将 1~30 这 30 个数，按照除以 7 的余数分为 7 类：余 0、余 1、余 2、余 3、余 4、 余 5、余 6，每类所含的数的个数分别为 4、5、5、4、4、4、4。 被 7 除余 1 与余 6 的两个数之和是 7 的倍数，所以取出的数只能是这两类之一；同 样的，被 7 除余 2 与余 5 的两个数之和是 7 的倍数，所以取出的数只能是这两类之 一；被 7 除余 3 与余 4 的两个数之和是 7 的倍数，所以取出的数只能是这两类之一； 两个数都是 7 的倍数，它们的和也是 7 的倍数，所以 7 的倍数中只能取 1 个。所以
【答案】：7 人。 【解析】：
1+2+3+L +11=66本 ， 400 66=6L L 4， 6+1=7人
练习1
把325个桃子分给若干只猴子，每只猴子分得的桃子不超过8个。 问：至少有几只猴子得到的桃子一样多？
【答案】：10 只。 【解析】：
1+2+3+L +8=36个 ， 325 36=9L L 1， 9+1=10只
例题3
从1至50这50个自然数中至少要选出多少个数，才能保证其中必有两 个数互质？
【答案】：26。 【解析】： 我们将 1~50 分成(1，2)，(3，4)，(5，6)，(49，50)这 25 组，每组内的数字相 邻，而相邻的两个自然数互质。25 组为 25 个抽屉，如果要保证一定会有两个数字
互质，1 25 1 26（个），最少选出 26 个数字，才能保证其中必有两个数互质。
练习3
从1至200Leabharlann Baidu这2008个自然数中至少要选出多少个数，才能保证其 中必有两个数互质？
【答案】：1005。 【解析】： 我们将 1~2008 分成(1，2)，(3，4)，(5，6)，(2007，2008)这 1004 组，每组内的 数字相邻，而相邻的两个自然数互质。1004 组为 1004 个抽屉，如果要保证一定会
例题6
在边长为1的正方形里放入51个点，这51个点任意三点不共线，
请说明：这51个点中一定有3个点构成的三角形面积不超过0.02。
【答案】：见解析。 【解析】： 将正方形沿一条边等分为 25 份，下图仅表示其中的 2 部分，则由抽屉原理知：必然 有 3 个点在同一个区域，那么由这 3 个点所构成的三角形的面积必然不超过该区域 的一半，即长方形面积的五十分之一，因此这 51 个点中一定有 3 个点构成的三角形 的面积不超过 0.02。
练习2
六年级数学小组共有20名同学，他们在数学小组中都有一些朋
友，请说明：至少有两名同学，他们的朋友人数一样多。
【答案】：见解析。 【解析】： 数学小组共有20名同学，因此每个同学最多有19个朋友；又由于他们都有 朋友，所以每个同学至少有1个朋友。因此，这20名同学中，每个同学的朋 友数只有19种可能：1，2，3，……，19。把这20名同学看作20个“苹果”， 又把同学的朋友数目看作19个“抽屉”，根据抽屉原理，至少有2名同学， 他们的朋友人数一样多。
第十一讲
六年级寒假C版课件
复杂抽屉原理
数学教研组 编写
知识要点：
小热身
1． 一只鱼缸里有很多条鱼，共有五个品种。问：至少捞出多少条鱼， 才能保证有5条相同品种的鱼？
【答案】：21条。
2． 向10个筐里放入47个苹果，放入苹果最多的筐里最少要放入多少 个苹果？
【答案】：5个。
例题1
将400本书随意分给若干同学，但每人不得超过11本。问：至少 有多少同学得到的书的本数相同？
出1 6 6 6 6 25 （个）。
例题5
在边长为1的正方形中随意放入9个点，这9个点中任何三点不共
线，请说明：这9个点中一定有3个点构成的三角形面积不超过0.125。
【答案】：见解析。 【解析】： 如下图，用 9 个点四等分正方形，得到四个面积都为 0.25 的正方形，我们把四个面 积为 0.25 的正方形看成 4 个抽屉，9 个点看成苹果，因此必有三个点在一个面积为 0.25 的正方形内，如果这三点恰好是正方形的顶点，则三角形的面积为 0.125，如 果这三点在正方形内部，则三角形的面积小于 0.125，因此存在三个点，以这三个点 为顶点的三角形的面积不超过 0.125。
例题2
儿童节到了，六年级（1）班的学生到公园游玩，在公园里他们 各自遇到了一些同班同学。试说明：在游园的学生中，至少有两名学 生遇到的同班同学数目相等。
【答案】：见解析。 【解析】： 假设共有 n 名学生到公园游玩，我们把他们看作 n 个“苹果”，再把每名同学遇到的 同班同学数目看作“抽屉”，那么，n 名学生每人遇到的同班同学数目共有以下 n-1 种可能： 1，2，……，n-1 。 这时，“苹果”数（n 名学生）超过“抽屉”数（n-1 种同班同学数目），根据抽屉原 理，至少有两名学生，他们遇到的同班同学数目相等。
练习4
从1至50这50个自然数中取出若干个数，使其中任意两个数的和
都不能被9整除，则最多能取出多少个数？
【答案】：25。 【解析】： 将 1~50 这 50 个数，按照除以 9 的余数分为：0、1、2、3、4、5、6、7、8 这 9 类。 每类所含的数的个数分别为 5、6、6、6、6、6、5、5、5。 被 9 除余 1 与余 8 的两个数之和是 9 的倍数，所以取出的数只能是这两种之一；同 理，被 9 除余 2 与余 7 的两个数之和是 9 的倍数，所以取出的数只能是这两种之一； 被 9 除余 3 与余 6 的两个数之和是 9 的倍数，所以取出的数只能是这两种之一；被 9 除余 4 与余 5 的两个数之和是 9 的倍数，所以取出的数只能是这两种之一；两个 数都是 9 的倍数，和也是 9 的倍数，所以 9 的倍数中只能取 1 个。所以最多可以取
两个数字互质，11004 11005（个），最少选出 1005 个数字，才能保证其中必
有两个数互质。
例题4
从1至30这30个自然数中取出若干个数，使其中任意两个数的和
都不能被7整除，则最多能取出多少个数？
【答案】：15。 【解析】： 将 1~30 这 30 个数，按照除以 7 的余数分为 7 类：余 0、余 1、余 2、余 3、余 4、 余 5、余 6，每类所含的数的个数分别为 4、5、5、4、4、4、4。 被 7 除余 1 与余 6 的两个数之和是 7 的倍数，所以取出的数只能是这两类之一；同 样的，被 7 除余 2 与余 5 的两个数之和是 7 的倍数，所以取出的数只能是这两类之 一；被 7 除余 3 与余 4 的两个数之和是 7 的倍数，所以取出的数只能是这两类之一； 两个数都是 7 的倍数，它们的和也是 7 的倍数，所以 7 的倍数中只能取 1 个。所以
【答案】：7 人。 【解析】：
1+2+3+L +11=66本 ， 400 66=6L L 4， 6+1=7人
练习1
把325个桃子分给若干只猴子，每只猴子分得的桃子不超过8个。 问：至少有几只猴子得到的桃子一样多？
【答案】：10 只。 【解析】：
1+2+3+L +8=36个 ， 325 36=9L L 1， 9+1=10只
例题3
从1至50这50个自然数中至少要选出多少个数，才能保证其中必有两 个数互质？
【答案】：26。 【解析】： 我们将 1~50 分成(1，2)，(3，4)，(5，6)，(49，50)这 25 组，每组内的数字相 邻，而相邻的两个自然数互质。25 组为 25 个抽屉，如果要保证一定会有两个数字
互质，1 25 1 26（个），最少选出 26 个数字，才能保证其中必有两个数互质。
练习3
从1至200Leabharlann Baidu这2008个自然数中至少要选出多少个数，才能保证其 中必有两个数互质？
【答案】：1005。 【解析】： 我们将 1~2008 分成(1，2)，(3，4)，(5，6)，(2007，2008)这 1004 组，每组内的 数字相邻，而相邻的两个自然数互质。1004 组为 1004 个抽屉，如果要保证一定会
例题6
在边长为1的正方形里放入51个点，这51个点任意三点不共线，
请说明：这51个点中一定有3个点构成的三角形面积不超过0.02。
【答案】：见解析。 【解析】： 将正方形沿一条边等分为 25 份，下图仅表示其中的 2 部分，则由抽屉原理知：必然 有 3 个点在同一个区域，那么由这 3 个点所构成的三角形的面积必然不超过该区域 的一半，即长方形面积的五十分之一，因此这 51 个点中一定有 3 个点构成的三角形 的面积不超过 0.02。
练习2
六年级数学小组共有20名同学，他们在数学小组中都有一些朋
友，请说明：至少有两名同学，他们的朋友人数一样多。
【答案】：见解析。 【解析】： 数学小组共有20名同学，因此每个同学最多有19个朋友；又由于他们都有 朋友，所以每个同学至少有1个朋友。因此，这20名同学中，每个同学的朋 友数只有19种可能：1，2，3，……，19。把这20名同学看作20个“苹果”， 又把同学的朋友数目看作19个“抽屉”，根据抽屉原理，至少有2名同学， 他们的朋友人数一样多。
第十一讲
六年级寒假C版课件
复杂抽屉原理
数学教研组 编写
知识要点：
小热身
1． 一只鱼缸里有很多条鱼，共有五个品种。问：至少捞出多少条鱼， 才能保证有5条相同品种的鱼？
【答案】：21条。
2． 向10个筐里放入47个苹果，放入苹果最多的筐里最少要放入多少 个苹果？
【答案】：5个。
例题1
将400本书随意分给若干同学，但每人不得超过11本。问：至少 有多少同学得到的书的本数相同？
出1 6 6 6 6 25 （个）。
例题5
在边长为1的正方形中随意放入9个点，这9个点中任何三点不共
线，请说明：这9个点中一定有3个点构成的三角形面积不超过0.125。
【答案】：见解析。 【解析】： 如下图，用 9 个点四等分正方形，得到四个面积都为 0.25 的正方形，我们把四个面 积为 0.25 的正方形看成 4 个抽屉，9 个点看成苹果，因此必有三个点在一个面积为 0.25 的正方形内，如果这三点恰好是正方形的顶点，则三角形的面积为 0.125，如 果这三点在正方形内部，则三角形的面积小于 0.125，因此存在三个点，以这三个点 为顶点的三角形的面积不超过 0.125。
例题2
儿童节到了，六年级（1）班的学生到公园游玩，在公园里他们 各自遇到了一些同班同学。试说明：在游园的学生中，至少有两名学 生遇到的同班同学数目相等。
【答案】：见解析。 【解析】： 假设共有 n 名学生到公园游玩，我们把他们看作 n 个“苹果”，再把每名同学遇到的 同班同学数目看作“抽屉”，那么，n 名学生每人遇到的同班同学数目共有以下 n-1 种可能： 1，2，……，n-1 。 这时，“苹果”数（n 名学生）超过“抽屉”数（n-1 种同班同学数目），根据抽屉原 理，至少有两名学生，他们遇到的同班同学数目相等。