第11讲 复杂抽屉原理
《抽屉原理》(PPT课件
在算法分析中，抽屉原理可以用于分析算法的时间复杂度和空间复杂度，以及确 定算法的最坏情况下的性能。
在日常生活中的应用
资源分配
在资源分配问题中，可以将资源视为抽屉，将待分配的物品 或任务视为物体，根据抽屉原理得出最优的分配方案。
排队理论
在排队理论中，抽屉原理可以用于分析排队系统的性能和稳 定性，以及确定最优的排队策略。
有限制的抽屉原理的证明
有限制的抽屉原理是指
如果 n+1 个物体要放入 n 个容器中，且每个容器最多只能容纳 k 个物体（k < n），那么至少有一个容器包含两个或以上的物体。
证明方法
假设 n+1 个物体放入 n 个容器中，且每个容器最多只能容纳 k 个物体（k < n）。如果存在一个容器只包含一个物体，那么我们可以将这个物体放入另一个 容器中，从而证明了至少有一个容器包含两个或以上的物体。
在数论中的应用
质数分布
根据抽屉原理，如果将自然数按 照质数和非质数进行分类，则质 数在自然数中的比例趋近于 $frac{1}{2}$。
同余方程
在解同余方程时，可以将模数视 为抽屉，方程的解为物体，根据 抽屉原理得出解的存在性和个数 。
在计算机科学中的应用
数据结构
在计算机科学中，抽屉原理可以应用于各种数据结构的设计和分析，如数组、链 表、哈希表等。
现代研究
现代数学研究中对抽屉原理进行了深入的探讨和研究，不断拓展其 应用范围和理论体系。
02
抽屉原理的证明特殊形式，其基本思想是
如果 n 个物体要放入 n-1 个容器中，且每个容器至少有一个物体，则至少有一个容器包含两个或以上的物体。
证明方法
假设 n 个物体放入 n-1 个容器中，且每个容器至少有一个物体。如果存在一个容器只包含一个物体，那么我们 可以将这个物体放入另一个容器中，从而证明了至少有一个容器包含两个或以上的物体。
小学数学《抽屉原理》课件
验证数学定理
抽屉原理可以用于验证一 些数学定理，例如鸽巢原 理和韦达定理等。
抽屉原理的扩展
1 二项式系数与抽屉原理
二项式系数与抽屉原理之间存在着密切的关联，可以互相解释和证明。
2 概率与抽屉原理
抽屉原理可以与概率相结合，帮助我们解决一些涉及随机性和选择性的问题。
3 抽屉原理的数学证明
虽然抽屉原理是直观的，但也可以通过数学方法进行证明和推导。
教育领域
抽屉原理可以帮助教师理解学 生在学习和理解数学概念方面 可能遇到的困难。
数据分析
在数据分析过程中，抽屉原理 可以帮助我们发现数据之间可 能存在的关联和规律。
博弈论
在博弈论中，抽屉原理可以用 于分析玩家行为和策略。
抽屉原理与概率
1 使用抽屉原理计算概率
抽屉原理可以帮助我们计算复杂事件的概率，尤其是在考虑到互斥事件和独立事件时。
2 抽屉原理在概率推理中的应用
抽屉原理可以帮助我们在概率推理问题中确定可能性和不可能性。
3 概率问题的抽屉原理方法
抽屉原理为解决一些复杂的概率问题提供了一种简明直观的方法。
抽屉原理的实际应用举例
3
抽屉原理在球队比赛中的应用
一支球队有11名队员，但只有10个球衣可供分配。根据抽屉原理，至少有一个 球员没有得到自己的球衣。
抽屉原理在数学问题中的应用
分析排列组合问题
抽屉原理可以帮助我们分 析排列组合问题，找到隐 藏的规律和限制条件。
解决鸽巢原理问题
鸽巢原理是抽屉原理的一 个推论，用于解决包含抽 象对象的随机分配问题。
小学数学《抽屉原理》课 件
欢迎大家来到今天的课程！在本课程中，我们将学习抽屉原理的定义、应用、 示例以及其在数学问题中的应用。让我们一起开始这个有趣的学习之旅吧！
《抽屉原理例》课件
计算几何
计算几何是计算机科学中的一个重要分支，它涉及到图形处理、计算机图形学等领域。抽 屉原理在计算几何中也有着重要的应用，例如在处理几何形状的交、并、差等运算时，抽 屉原理可以帮助我们理解和分析问题。
03
抽屉原理的实例
生活中的实例
鸽巢原理
如果$n$个鸽子飞进$m$个鸽巢 中，且$n > m$，那么至少有一 个鸽巢里有两只或以上的鸽子。
生日悖论
在不到33人的房间里，存在至少 两个人生日相同的概率大于50% 。
数学中的实例
整数划分问题
给定整数$n$，求证存在至少两个正 整数，它们的和等于$n$。
与组合数学的联系
抽屉原理是组合数学中的基本原理之 一，与其他组合数学原理存在密切联 系。
与概率论的关系
与其他数学分支的交叉
抽屉原理可以应用于其他数学分支中 ，如代数、几何、离散概率等。
在概率论中，抽屉原理常被用于证明 一些概率性质和结论。
06
抽屉原理的应用前景和 展望
在数学领域的应用前景
01 02
从整数到实数的推广
在整数上成立的抽屉原理可以推广到实数上。例如，如果无穷多的实数被放入有限个区间中，那么至少有一个区间包含无穷 多的实数。这个结论被称为巴拿赫定理。
另一个推广是将抽屉原理应用到测度理论中。在测度论中，一个集合的测度可以被视为“体积”，而集合的子集可以被视为 “物品”。在这种情况下，抽屉原理表明：如果无穷多的子集被放入有限个测度不为零的集合中，那么至少有一个集合包含 无穷多的子集。
组合数学
抽屉原理是组合数学中的基础原理之一，在计数、排列组合等领域有广 泛的应用。通过抽屉原理，可以解决一些经典的数学问题，如鸽巢原理 问题。
奥数知识点解析之抽屉原理
奥数知识点解析之抽屉原理第一步：初步理解该知识点的定理及性质1、提出疑问：什么是抽屉原理？2、抽屉原理有哪些内容呢？【抽屉原理1】：将多于n件的物品任意放到n个抽屉中，那么至少有一个抽屉中的物品不少于2件；【逆抽屉原理】：从n个抽屉中拿出多于n件的物品，那么至少有2个物品来至于同一个抽屉。
【抽屉原理2】：将多于mn件的物品任意放到n个抽屉中，那么至少有一个抽屉中的物品不少于（m+1）件。
第二步：学习最具有代表性的题目【例1】证明：任取8个自然数，必有两个数的差是7的倍数。
【例2】对于任意的五个自然数，证明其中必有3个数的和能被3整除。
【总结】以上的例题都是在考察抽屉原理在整除与余数问题中的运用。
以上的题目我们都是运用抽屉原理一来解决的。
第三步：找出解决此类问题的关键【例3】从2、4、6、…、30这15个偶数中，任取9个数，证明其中一定有两个数之和是34。
【例4】从1、2、3、4、…、19、20这20个自然数中，至少任选几个数，就可以保证其中一定包括两个数，它们的差是12。
【例5】从1到20这20个数中，任取11个数，必有两个数，其中一个数是另一个数的倍数。
｛1，2，4，8，16｝｛3，6，12｝，｛5，10，20｝｛7，14｝，｛9，18｝｛11｝，｛13｝，｛15｝，｛17｝，｛19｝。
【总结】根据题目条件灵活构造“抽屉”是解决这类题目的关键。
第四步：重点解决该类型的拓展难题我们先来做一个简单的铺垫题：【铺垫】请说明，任意3个自然数，总有2个数的和是偶数。
【例6】请说明，对于任意的11个正整数，证明其中一定有6个数，它们的和能被6整除。
【总结】上面两道题目用到了抽屉原理中的“双重抽屉”与“合并抽屉”，都是在原有典型抽屉原理题目的基础上进行的拓展。
什么是抽屉原理？（1）举例桌上有十个苹果，要把这十个苹果放到九个抽屉里，无论怎样放，有的抽屉可以放一个，有的可以放两个，有的可以放五个，但最终我们会发现至少我们可以找到一个抽屉里面至少放两个苹果。
复杂抽屉原理(基础篇)
复杂抽屉原理从1、2、3、4、…、19、20这20个自然数中，至少任选几个数，就可以保证其中一定包括两个数，它们的差是12。
从1到20这20个数中，任取11个不同的数，必有两个数其中一个是另一个数的倍数。
证明：任取8个自然数，必有两个数的差是7的倍数。
在任意的五个自然数中，是否其中必有三个数的和是3的倍数？8位小朋友围着一张圆桌坐下，在每位小朋友面前都放着一张纸条，上面分别写着这8位小朋友的名字。
开始时，每位小朋友发现自己面前所对的纸条上写的都不是自己的名字，请证明：经过适当转动圆桌，一定能使至少两位小朋友恰好对准自己的名字。
(★★★) (★★★)(★★★★)(★★★★)(★★★★★)在线测试题温馨提示：请在线作答，以便及时反馈孩子的薄弱环节。
1．从1、3、5、…、19、21、23这12个自然数中，至少任选几个数，可以保证其中一定包括两个数，它们的差是10。
A．6 B．7 C．8 D．92．从1到10这10个数中，任取几个不同的数，必有两个数其中一个是另一个数的倍数。
A．4 B．5 C．6 D．73．任选几个自然数，必有两个数的差是5的倍数。
A．5 B．6 C．7 D．44．求证：对于任意的几个自然数，一定能从中找到6个数a、b、c、d、e、f，使得a b c d e f---是105的倍数。
()()()A．4 B．6 C．8 D．105．10个小朋友围在一张大圆桌前吃饭，每人点一道菜，菜上齐后发现每人面前的这道菜都不是自己点的，经几次转动圆桌，一定能使至少两个小朋友恰好对准自己点的菜。
A．8 B．9 C．10 D．11。
高中数学抽屉原理容斥原理
高中数学抽屉原理容斥原理在数学问题中有一类与“存在性”有关的问题，例如：“13个人中至少有两个人出生在相同月份”；“某校400名学生中，一定存在两名学生，他们在同一天过生日”；“2003个人任意分成200个小组，一定存在一组，其成员数不少于11”；“把[0，1]内的全部有理数放到100个集合中，一定存在一个集合，它里面有无限多个有理数”。
这类存在性问题中，“存在”的含义是“至少有一个”。
在解决这类问题时，只要求指明存在，一般并不需要指出哪一个，也不需要确定通过什么方式把这个存在的东西找出来。
这类问题相对来说涉及到的运算较少，依据的理论也不复杂，我们把这些理论称之为“抽屉原理”。
“抽屉原理”最先是由19世纪的德国数学家迪里赫莱（Dirichlet）运用于解决数学问题的，所以又称“迪里赫莱原理”，也有称“鸽巢原理”的。
这个原理可以简单地叙述为“把10个苹果，任意分放在9个抽屉里，则至少有一个抽屉里含有两个或两个以上的苹果”。
这个道理是非常明显的，但应用它却可以解决许多有趣的问题，并且常常得到一些令人惊异的结果。
抽屉原理是国际国内各级各类数学竞赛中的重要内容，本讲就来学习它的有关知识及其应用。
（一）抽屉原理的基本形式定理1、如果把n+1个元素分成n个集合，那么不管怎么分，都存在一个集合，其中至少有两个元素。
证明：（用反证法）若不存在至少有两个元素的集合，则每个集合至多1个元素，从而n个集合至多有n个元素，此与共有n+1个元素矛盾，故命题成立。
在定理1的叙述中，可以把“元素”改为“物件”，把“集合”改成“抽屉”，抽屉原理正是由此得名。
同样，可以把“元素”改成“鸽子”，把“分成n个集合”改成“飞进n个鸽笼中”。
“鸽笼原理”由此得名。
例题讲解1．已知在边长为1的等边三角形内（包括边界）有任意五个点（图1）。
证明：至少有两个点之间的距离不大于2．从1-100的自然数中，任意取出51个数，证明其中一定有两个数，它们中的一个是另一个的整数倍。
复杂抽屉原理知识点总结
复杂抽屉原理知识点总结1.抽屉原理的基本概念抽屉原理是组合数学中的一个基本概念，它描述了一种常见的现象：如果有n个抽屉和m 个物品要放进这些抽屉中，那么当m>n时，至少有一个抽屉中会有两个或以上的物品。
这个原理背后的逻辑是很直观的，因为当物品的数量超过了抽屉的数量，就不可能每个物品都有自己独立的抽屉，必然会有抽屉中有多个物品。
这个概念在计算机科学、概率论、统计学等领域都有着十分重要的应用，因此对抽屉原理的理解和运用至关重要。
2. 抽屉原理的证明抽屉原理的证明可以通过反证法来进行。
假设有n个抽屉和m个物品，假设每个抽屉中最多只有一个物品，那么总共最多只能放n个物品，这与有m个物品的情况矛盾。
因此可以得出结论：当m>n时，至少有一个抽屉中会有两个或以上的物品。
3. 抽屉原理的应用抽屉原理在计算机科学、统计学、概率论等领域都有着广泛的应用。
在计算机科学中，抽屉原理常常用来证明算法的正确性。
在设计算法的过程中，要保证算法能够处理所有可能的输入，而抽屉原理能够帮助我们找到重复的输入，以便对算法进行优化。
在概率论中，抽屉原理可以用来解决一些问题，比如生日问题：如果在一个房间里有n个人，问至少有两个人生日相同的概率是多少？抽屉原理可以帮助我们解答这个问题。
同样地，在统计学中，抽屉原理可以帮助我们理解抽样调查的有效性，以及分析数据的相关性等问题。
4. 抽屉原理的扩展除了基本的抽屉原理，还有一些抽屉原理的扩展和变种。
比如广义抽屉原理，它描述了更一般的情况，即如果有n个容量为m的容器，要放入(m+1)(n-1)+1个物品，那么至少有一个容器中会有n+1个或以上的物品。
除此之外，还有加强版的抽屉原理、弱化版的抽屉原理，以及抽屉原理的多重运用等。
了解这些抽屉原理的扩展，有助于我们更深入地理解这个概念，以及在更多的情况下运用抽屉原理进行问题的解决。
5. 抽屉原理的启示抽屉原理不仅仅是一种数学定理，更是一种思维方式。
抽屉原理及其例子与应用PPT课件
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谢谢您的观看！
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抽屉原理简单应用之同余类
【例4】任给n个整数a1, a2 ,..., an ，证明：
n | ai ai 1 ... ai k (1 i i k n).
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抽屉原理简单应用之有理数和无理数
【例1】任给n个整数a1, a2 ,..., an ，证明：
n | ai ai 1 ... ai k (1 i i k n).
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抽屉原理若干散例
【例2】世界上任何6人中必有3人之间两两认识，或 者3人之间两两不认识.
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抽屉原理若干散例
【例3】边长为1的正方形内任意9点，必有3点围成 的三角形面积不1大于 .
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抽屉原理若干散例
【例4】正方形等分为15×15的小方格，将 1,2,...,56这56个数任意填入小方格中.求证：一定 能找出4个小方格，它们的中心构成一平四边形的4 个顶点（4个中心共线视为蜕化的平行四边形），并 且该平行四边形各对角线两端的方格填入的数字之 和相等.
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抽屉原理简单应用之同余类
【例1】平面直角坐标系中任意五个整点，其中必有 两个点，其连线的中点为整点.
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抽屉原理简单应用之同余类
【例2】空间直角坐标系中任意28个整点，其中必有 2个点，其连线的三等分点为整点.
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抽屉原理简单应用之同余类
【例3】任意正整数m，一定有m的某个倍数，它完全 由0和1两个数字组成.
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抽屉原理知识点总结抽屉原理复习知识点.docx
抽屉原理知识点总结抽屉原理复习知识点抽屉原理是组合数学中一个重要的原理，也是小学数学的一个重点知识。
以下是本人为你整理的抽屉原理知识点总结，希望你喜欢。
抽屉原理知识点总结抽屉原理的一般含义为：“如果每个抽屉代表一个集合，每一个苹果就可以代表一个元素，假如有n+1 或多于 n+1个元素放到 n 个集合中去，其中必定至少有一个集合里至少有两个元素。
”抽屉原理有时也被称为鸽巢原理 ( “如果有五个鸽子笼，养鸽人养了 6 只鸽子，那么当鸽子飞回笼中后，至少有一个笼子中装有 2 只鸽子” ) 。
它是德国数学家狄利克雷首先明确的提出来并用以证明一些数论中的问题，因此，也称为狄利克雷原理。
它是组合数学中一个重要的原理。
抽屉原理知识点总结：抽屉原则一如果把 (n+1) 个物体放在n 个抽屉里，那么必有一个抽屉中至少放有 2 个物体。
例：把 4 个物体放在 3 个抽屉里，也就是把 4 分解成三个整数的和，那么就有以下四种情况：①4=4+0+0 ②4=3+1+0 ③4=2+2+0 ④4=2+1+1观察上面四种放物体的方式，我们会发现一个共同特点：总有那么一个抽屉里有 2 个或多于 2 个物体，也就是说必有一个抽屉中至少放有 2 个物体。
抽屉原理知识点总结：抽屉原则二如果把 n 个物体放在 m个抽屉里，其中 n>m，那么必有一个抽屉至少有：①k=[n/m ]+1个物体：当n 不能被 m整除时。
②k=n/m 个物体：当n 能被 m整除时。
理解知识点： [X] 表示不超过X 的最大整数。
例 [4.351]=4;[0.321]=0;[2.9999]=2;关键问题：构造物体和抽屉。
也就是找到代表物体和抽屉的量，而后依据抽屉原则进行运算。
抽屉原理知识点总结：抽屉原理练习1.木箱里装有红色球 3 个、黄色球 5 个、蓝色球 7 个，若蒙眼去摸，为保证取出的球中有两个球的颜色相同，则最少要取出多少个球 ?解：把 3 种颜色看作 3 个抽屉，要符合题意，则小球的数目必须大于 3，故至少取出 4 个小球才能符合要求。
《抽屉原理》教学课件
鸽巢原理的变种
VS
应用在概率论中的抽屉原理是指将抽屉原理与概率论相结合，以解决概率论中的一些问题。
详细描述
在概率论中，抽屉原理可以应用于解决一些概率分布的问题。例如，可以将抽屉原理应用于计算概率密度函数或者概率分布函数的性质。通过将抽屉原理与概率论相结合，可以更好地理解概率分布的性质和特点，并解决一些概率论中的难题。
整数划分问题
应用抽屉原理解析
总结词
整数划分问题是指将一个正整数拆分成若干个正整数之和。抽屉原理在这个问题中发挥了关键作用，通过巧妙地将各个整数视为“抽屉”，而将划分方式视为“物品”，利用抽屉原理证明了某些特定划分的不可能性。
详细描述
04
CHAPTER
抽屉原理的变种与推广
总结词
有限制的鸽巢原理的推广是指将有限制的鸽巢原理应用到更广泛的场景中，以解决更为复杂的问题。
抽屉原理的定义
19世纪中叶，德国数学家鲁布里奇正式提出了抽屉原理这一名称，并进行了系统的研究和发展。
随着组合数学的发展，抽屉原理在数学、计算机科学、信息科学等领域得到了广泛的应用和推广。
抽屉原理的起源可以追溯到古希腊数学家欧几里得，他在《几何原本》中提出了类似的原理。
抽屉原理的起源与发展
实例分析
提供多种形式的练习题，让学生通过变式训练加深对抽屉原理的理解和应用。
变式训练
组织小组讨论，让学生互相交流思路和方法，拓展解决问题的思路和途径。
小组讨论
如何引导学生应用抽屉原理解决问题
THANKS
感谢您的观看。
总结词
应用在概率论中的抽屉原理
05
CHAPTER
抽屉原理的教学建议
通过日常生活中的实例，如“四个苹果放入三个抽屉，至少有一个抽屉有两个苹果”来引入抽屉原理的概念。
复杂抽屉原理（精选五篇）
复杂抽屉原理（精选五篇）第一篇：复杂抽屉原理奥数周周练——复杂抽屉原理1．证明：任给12个不同的两位数，其中一定存在着这样的两个数，它们的差是个位与十位数字相同的两位数．2．从1，2，3，…，49，50这50个数中取出若干个数，使其中任意两个数的和都不能被7整除，则最多能取出多少个数?3．有49个小孩，每人胸前有一个号码，号码从1到49各不相同．现在请你挑选若干个小孩，排成一个圆圈，使任何相邻两个小孩的号码数的乘积小于100，那么你最多能挑选出多少个孩子?4．某班有16名学生，每个月教师把学生分成两个小组．问最少要经过几个月，才能使该班的任意两个学生总有某个月份是分在不同的小组里?5．上体育课时，21名男、女学生排成3行7列的队形做操．老师是否总能从队形中划出一个长方形，使得站在这个长方形4个角上的学生或者都是男生，或者都是女生?如果能，请说明理由；如果不能，请举出实例．奥数周周练——复杂抽屉原理6．8个学生解8道题目．(1)若每道题至少被5人解出，请说明可以找到两个学生，每道题至少被过两个学生中的一个解出．(2)如果每道题只有4个学生解出，那么(1)的结论一般不成立．试构造一个例子说明这点.7．试卷上共有4道选择题，每题有3个可供选择的答案．一群学生参加考试，结果是对于其中任何3人，都有一个题目的答案互不相同．问参加考试的学生最多有多少人?8.求从1到1994中不能被5整除,也不能被6或7整除的自然数的个数.【例20】一次数学竞赛出了10道选择题，评分标准为：基础分10分，每道题答对得3分，答错扣 1分，不答不得分。
问：要保证至少有4人得分相同，至少需要多少人参加竞赛？【例20巩固】（第十届《小数报》数学竞赛决赛）一次测验共有10道问答题，每题的评分标准是：回答完全正确，得5分；回答不完全正确，得3分，回答完全错误或不回答，得0分．至少____人参加这次测验，才能保证至少有3人得得分相同．奥数周周练——复杂抽屉原理【例24巩固】（小学数学奥林匹克决赛）从1，2，3，4，…，1988，1989这些自然数中，最多可以取____个数，其中每两个数的差不等于4．【例25】（北京市第十一届“迎春杯”刊赛）从1，2，3，4，…，1994这些自然数中，最多可以取个数，能使这些数中任意两个数的差都不等于9．【例27】从1，3，5，7，…，97，99中最多可以选出多少个数，使得选出的数中，每一个数都不是另一个数的倍数?【例29】从1，2，3，……49，50这50个数中取出若干个数，使其中任意两个数的和都不能被7整除，则最多能取出多少个数？【例34】有苹果和桔子若干个，任意分成5堆，能否找到这样两堆，使苹果的总数与桔子的总数都是偶数？奥数周周练——复杂抽屉原理【例36】在一个矩形内任意放五点，其中任意三点不在一条直线上。
抽屉原理（又名：鸽笼原理）
抽屉原理（又名：鸽笼原理）编辑本段常见形式第一抽屉原理原理1：把多于n+1个的物体放到n个抽屉里，则至少有一个抽屉里的东西不少于两件。
证明（反证法）：如果每个抽屉至多只能放进一个物体，那么物体的总数至多是n，而不是题设的n+k(k≥1)，故不可能。
原理2 ：把多于mn(m乘以n)个的物体放到n个抽屉里，则至少有一个抽屉里有不少于m+1的物体。
证明（反证法）：若每个抽屉至多放进m个物体,那么n个抽屉至多放进mn个物体,与题设不符，故不可能。
原理3 ：把无穷多件物体放入n个抽屉，则至少有一个抽屉里有无穷个物体。
原理1 、2 、3都是第一抽屉原理的表述。
第二抽屉原理把（mn－1）个物体放入n个抽屉中，其中必有一个抽屉中至多有（m—1）个物体。
证明（反证法）：若每个抽屉都有不少于m个物体，则总共至少有mn个物体，与题设矛盾，故不可能。
编辑本段应用基本介绍应用抽屉原理解题抽屉原理的内容简明朴素，易于接受，它在数学问题中有重要的作用。
许多有关存在性的证明都可用它来解决。
例1：同年出生的400人中至少有2个人的生日相同。
解：将一年中的365天视为365个抽屉，400个人看作400个物体，由抽屉原理1可以得知：至少有2人的生日相同. 400/365=1…35,1+1=2又如：我们从街上随便找来13人，就可断定他们中至少有两个人属相相同。
“从任意5双手套中任取6只，其中至少有2只恰为一双手套。
” “从数1，2，...，10中任取6个数，其中至少有2个数为奇偶性不同。
” 例2：幼儿园买来了不少白兔、熊猫、长颈鹿塑料玩具，每个小朋友任意选择两件，那么不管怎样挑选，在任意七个小朋友中总有两个彼此选的玩具都相同，试说明道理. 解：从三种玩具中挑选两件，搭配方式只能是下面六种：（兔、兔），（兔、熊猫），（兔、长颈鹿），（熊猫、熊猫），（熊猫、长颈鹿），（长颈鹿、长颈鹿）。
把每种搭配方式看作一个抽屉，把7个小朋友看作物体，那么根据原理1，至少有两个物体要放进同一个抽屉里，也就是说，至少两人挑选玩具采用同一搭配方式，选的玩具相同. 上面数例论证的似乎都是“存在”、“总有”、“至少有”的问题，不错，这正是抽屉原则的主要作用.（需要说明的是，运用抽屉原则只是肯定了“存在”、“总有”、“至少有”，却不能确切地指出哪个抽屉里存在多少. 抽屉原理虽然简单，但应用却很广泛，它可以解答很多有趣的问题，其中有些问题还具有相当的难度。
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例题6
在边长为1的正方形里放入51个点，这51个点任意三点不共线，
请说明：这51个点中一定有3个点构成的三角形面积不超过0.02。
【答案】：见解析。 【解析】： 将正方形沿一条边等分为 25 份，下图仅表示其中的 2 部分，则由抽屉原理知：必然 有 3 个点在同一个区域，那么由这 3 个点所构成的三角形的面积必然不超过该区域 的一半，即长方形面积的五十分之一，因此这 51 个点中一定有 3 个点构成的三角形 的面积不超过 0.02。
【答案】：7 人。 【解析】：
1+2+3+L +11=66本 ， 400 66=6L L 4， 6+1=7人
练习1
把325个桃子分给若干只猴子，每只猴子分得的桃子不超过8个。 问：至少有几只猴子得到的桃子一样多;2+3+L +8=36个 ， 325 36=9L L 1， 9+1=10只
最多可以取出 5+5+4+1=15 （个）。
练习4
从1至50这50个自然数中取出若干个数，使其中任意两个数的和
都不能被9整除，则最多能取出多少个数？
【答案】：25。 【解析】： 将 1~50 这 50 个数，按照除以 9 的余数分为：0、1、2、3、4、5、6、7、8 这 9 类。 每类所含的数的个数分别为 5、6、6、6、6、6、5、5、5。 被 9 除余 1 与余 8 的两个数之和是 9 的倍数，所以取出的数只能是这两种之一；同 理，被 9 除余 2 与余 7 的两个数之和是 9 的倍数，所以取出的数只能是这两种之一； 被 9 除余 3 与余 6 的两个数之和是 9 的倍数，所以取出的数只能是这两种之一；被 9 除余 4 与余 5 的两个数之和是 9 的倍数，所以取出的数只能是这两种之一；两个 数都是 9 的倍数，和也是 9 的倍数，所以 9 的倍数中只能取 1 个。所以最多可以取
练习2
六年级数学小组共有20名同学，他们在数学小组中都有一些朋
友，请说明：至少有两名同学，他们的朋友人数一样多。
【答案】：见解析。 【解析】： 数学小组共有20名同学，因此每个同学最多有19个朋友；又由于他们都有 朋友，所以每个同学至少有1个朋友。因此，这20名同学中，每个同学的朋 友数只有19种可能：1，2，3，……，19。把这20名同学看作20个“苹果”， 又把同学的朋友数目看作19个“抽屉”，根据抽屉原理，至少有2名同学， 他们的朋友人数一样多。
例题3
从1至50这50个自然数中至少要选出多少个数，才能保证其中必有两 个数互质？
【答案】：26。 【解析】： 我们将 1~50 分成(1，2)，(3，4)，(5，6)，(49，50)这 25 组，每组内的数字相 邻，而相邻的两个自然数互质。25 组为 25 个抽屉，如果要保证一定会有两个数字
互质，1 25 1 26（个），最少选出 26 个数字，才能保证其中必有两个数互质。
练习3
从1至2008这2008个自然数中至少要选出多少个数，才能保证其 中必有两个数互质？
【答案】：1005。 【解析】： 我们将 1~2008 分成(1，2)，(3，4)，(5，6)，(2007，2008)这 1004 组，每组内的 数字相邻，而相邻的两个自然数互质。1004 组为 1004 个抽屉，如果要保证一定会
第十一讲
六年级寒假C版课件
复杂抽屉原理
数学教研组 编写
知识要点：
小热身
1． 一只鱼缸里有很多条鱼，共有五个品种。问：至少捞出多少条鱼， 才能保证有5条相同品种的鱼？
【答案】：21条。
2． 向10个筐里放入47个苹果，放入苹果最多的筐里最少要放入多少 个苹果？
【答案】：5个。
例题1
将400本书随意分给若干同学，但每人不得超过11本。问：至少 有多少同学得到的书的本数相同？
两个数字互质，11004 11005（个），最少选出 1005 个数字，才能保证其中必
有两个数互质。
例题4
从1至30这30个自然数中取出若干个数，使其中任意两个数的和
都不能被7整除，则最多能取出多少个数？
【答案】：15。 【解析】： 将 1~30 这 30 个数，按照除以 7 的余数分为 7 类：余 0、余 1、余 2、余 3、余 4、 余 5、余 6，每类所含的数的个数分别为 4、5、5、4、4、4、4。 被 7 除余 1 与余 6 的两个数之和是 7 的倍数，所以取出的数只能是这两类之一；同 样的，被 7 除余 2 与余 5 的两个数之和是 7 的倍数，所以取出的数只能是这两类之 一；被 7 除余 3 与余 4 的两个数之和是 7 的倍数，所以取出的数只能是这两类之一； 两个数都是 7 的倍数，它们的和也是 7 的倍数，所以 7 的倍数中只能取 1 个。所以
例题2
儿童节到了，六年级（1）班的学生到公园游玩，在公园里他们 各自遇到了一些同班同学。试说明：在游园的学生中，至少有两名学 生遇到的同班同学数目相等。
【答案】：见解析。 【解析】： 假设共有 n 名学生到公园游玩，我们把他们看作 n 个“苹果”，再把每名同学遇到的 同班同学数目看作“抽屉”，那么，n 名学生每人遇到的同班同学数目共有以下 n-1 种可能： 1，2，……，n-1 。 这时，“苹果”数（n 名学生）超过“抽屉”数（n-1 种同班同学数目），根据抽屉原 理，至少有两名学生，他们遇到的同班同学数目相等。
出1 6 6 6 6 25 （个）。
例题5
在边长为1的正方形中随意放入9个点，这9个点中任何三点不共
线，请说明：这9个点中一定有3个点构成的三角形面积不超过0.125。
【答案】：见解析。 【解析】： 如下图，用 9 个点四等分正方形，得到四个面积都为 0.25 的正方形，我们把四个面 积为 0.25 的正方形看成 4 个抽屉，9 个点看成苹果，因此必有三个点在一个面积为 0.25 的正方形内，如果这三点恰好是正方形的顶点，则三角形的面积为 0.125，如 果这三点在正方形内部，则三角形的面积小于 0.125，因此存在三个点，以这三个点 为顶点的三角形的面积不超过 0.125。