大学物理 1-3 圆周运动

s s 解： （1） 2 R 6.28(m), r 0, 0, t 由 s t 2 t 2 R 得 t 1s
2 R 1 6.28(ms ) t
第一章 质点运动学
ds 2 t （2） dt
时， 3 9.42(ms 1 ) t 1s d at 2 6.28(ms 2 ) dt
r
o
r A

lim s r lim 即 ds r d 速率 t0 t t0 t dt dt 有 r
x
第一章 质点运动学
三 匀速率圆周运动 速率 和角速度 都为常量 d a lim t 0 t dt d 加速度的方向 an 向心加速度 dt 向心加速度的大小：
可得 an

y
B

2
r
r
o
B A A
r 2

x
在匀速率圆周运动中，向心加速 度只改变速度的方向，不改变速度的 大小。 四. 变速圆周运动 切向加速度和法向 加速度 速度的大小和方向都改变
A B



A

B

第一章 质点运动学
n t n t a lim lim t 0 t t 0 t
at
0, π, 2 0, π π, 2
0, 0 π, 2
v vc v 减小
增大
a
y
（3） 利用自然坐标, 一切运动可 以根据切向、法向加速度来分类： a n= 0 a n= 0 an 0 at= 0 匀速直线运动 at 0 变速直线运动 at = 0 匀速曲线运动
（C）由于速度沿切线方向，法向分速度必为零， 因此法向加速度必为零.
（D）若物体作匀速率运动，其总加速度必为零；
为恒矢量，它一定作 （E）若物体的加速度 a
匀变速率运动 .
第一章 质点运动学
例2 质点作半径为R的变速圆周运动的加 速度大小为：
dv （1） dt
（3） dv v dt R
2
（2）
v (bt) an r r b 2t 4 2 2 12 12 b( 2 1) （3） a (at an ) r
dv b （2） at dt
2
2
第一章 质点运动学 例6 一质点沿半径为 R 0.10m 的圆周运动，其 角位置可用下式表示： 2 4t 3（SI制）, 求:（1） t=2s时的切向加速度;（2）当切向加速度的大小恰为总 加速度的一半时，求角位置。 解：（1）由 d d 24t，得 at R 24Rt 2
r a n

o
a

at
dv at dt
vB
分离变量有
v
vB
A
dv at dt
0
t
第一章 质点运动学 已知：vA 1940km h
1
AB 3.5km vB v A vB t 2 at 23.3m s dv at dt vA t 0 2 vB 2 an 106m s 在点 B 的法向加速度 r vA A 在点 B 的加速度
y
B

r
o

B A A


x
A , B , 组成 由于三角形OAB和 的三角形相似，可得

A B


A


AB AB 有 r t r t


B

第一章 质点运动学
s an lim lim( ) t 0 t t 0 r t s ds 由于 lim t 0 t dt
(3 ) 2 2 an 88.83(ms ) R 1
a an 2 at 2 89.05(ms 2 )
2
第一章 质点运动学 1-4 相对运动
一 时间与空间
低速运动时（ c ）， 在两个相对作直线运动的参考 系中，时间和空间的测量是绝对的，与参考系无关。 高速运动时（ c ）， 时间和空间的测量依赖于 （相对论）。 时间和长度的绝对性是经典力学或牛顿力学的基础 。
v R
2
dv 2 v 2 （4） ( ) ( ) dt R
2
第一章 质点运动学 例3 如图一超音速歼击机在高空 A 时的水平速率 为 1940 km/h , 沿近似于圆弧的曲线俯冲到点 B ,其速率 为 2192 km/h , 所经历的时间为 3s , 设圆弧 AB 的半径 约为 3.5km , 且飞机从 A 到 B 的俯冲过程可视为匀变 速率圆周运动 , 若不计重力加速度的影响, 求 (1) 飞机 在点 B 的加速度; (2)飞机由点A 到点B 所经历的路程 . 解（1）因飞机作匀变速率 vA A 运动所以 a t 和 为常量 . B
dy dx 解：由 vx 4t 3, vy dt dt 得 v vx 2 + vy 2 9 16t 2
dy dx 由 ax 2 0, ay 2 4 得 a ax 2 + ay 2 4 dt dt
2 2
d at dt
2
16t 9 16t 2
解: 以地面为静止参考系S系,以随风 飘移的坐标系为 S' 系
2
an
a at
12t 9 16t 2
第一章 质点运动学 例5 设有一个质点作半径为 r 的圆周运动. 质点沿 圆周运动所经历的路程与时间的关系为 s = bt2/2, 并设 b 为一常量, 求（1）此质点在某一时刻的速率; （2）法向加速度和切向加速度的大小;（3）总加速度.
ds d 1 2 解： ( bt ) bt （1） v dt dt 2
1
所转过的角度 为 （2）在时间 t 内矢径 r
A
t 3s
AB 3.5km
vA
B

1 2 At t 2
飞机经过的路程为
r a n

at
1 2 s r v A t a t t 2
vB
代入数据得
o
a
s 1722m
第一章 质点运动学 2 例4 已知质点运动方程为 r (t ) 3ti (2t 4) （SI制）， j 求：任一时刻的切向加速度和法向加速度及总加速度。
ds d (曲率半径 ) at , an d dt
2
en 法向:指向曲线凹侧
an 2 at 2 an arctg at a
2 d a an en at et en et dt
第一章 质点运动学
(2) an 0 π 0
2
dt
dt
t 2s 时， at R 24Rt 4.8m 2 s 3 2 2 a 3at 3 24 Rt （2）an a at 2 2 2 2 得 t3 3 an R R(12t ) 6 代入得 3.15
第一章 质点运动学 例7 一质点沿半径为R 1m 的圆周顺时针运动， t=0时，质点在A点，运动学方程为 s t 2 （SI制）, t 试求:（1）质点绕行一周所经历的路程、位移、平均速 度、平均速率;（2）质点在1秒末的速度和加速度的大 小。
P
r
u
p'
QQ'
D o'
r '
xx'
du 若 0 dt
注意
dv dv' du dt dt dt
则 a a'
z
z'
t t
u c 时，伽利略速度
变换不成立！
第一章 质点运动学 例1 如图所示，一实验者 A 在以 10 m/s 的速率沿 水平轨道前进的平板车上控制一台射弹器, 此射弹器以 与车前进方向呈 60 斜向上射出一弹丸 . 此时站在地面 上的另一实验者 B 看到弹丸铅直向上运动, 求弹丸上升 的高度 . 解 地面参考系为 S 系
v'
v
y' y v'
B
60

A
u
u
x'
速度变换 v v' u
分量式
' 平板车参考系为 S系 v'y tan 3 v'x
o'
o
x
v x u v'x v y v'y
分量式
vx 0
v x u v'x v y v'y
第一章 质点运动学
v'x u 10m s
1
1
v y v'y v'x tan
v y 17.3m s
弹丸上升高度
v'

A
v
u
y' y v'
B
60
y
v
2 y
2g
15.3m
u
x'
o'
o
x
第一章 质点运动学 例2 风的方向与正北方向的夹角为120,风速为40km/h, 飞机相对于风的速率为230km/h,问使飞机朝哪个方向飞 行才能使飞机相对于地面的速度朝正北,飞机相对于地 面的速度等于多少?
pp '
*
oo'
v v'u
绝对速度 相对速度
zz' S y
o ut
S ' y'
P
r
u
p'
QQ'
伽利略速度变换
D o'
r '
xx '
z
z'
t t
第一章 质点运动学
yy'
S, S '
u
t 0
xx'
加速度关系
pp '
*
oo'
zz' S y
o ut
S ' y'
o a x a
et e
n
v
an 0
at 0 变速曲线运动
第一章 质点运动学
五
1
角加速度
匀变角加速运动
2
d d 2 角加速度 dt dt r 由 r 得 d r d 线量与角量 at r dt dt 有 at r 2
t 3s
vB 2192km h
1
r a n
B

o
a

at
vB
a 与法向之间夹角
a
2 at
2 an
109m s
为
2
at arctan 12.4 an
第一章 质点运动学
已知： vA 1940km h
1
vB 2192km h
s r
2 匀变角加速圆周运动( 常量) 如 t 0 时,
an
r
r
2
0 , 0 0 t
0 0t 1t 2 2 2 2 0 2 ( 0 )
消去 t
d d 2 2 dt dt
第一章 质点运动学 例1 对于作曲线运动的物体，以下几种说法中哪一 种是正确的： （A）切向加速度必不为零； （B）法向加速度必不为零（拐点处除外）；
物体运动的位移、速度和运动轨迹与参考系的选择有关。 二 相对运动
两个以速度 u 相对作匀速直线运动的参考系 S , S '
t=0,两Βιβλιοθήκη Baidu考系重合
r r ' D r r ' u t t
牵连速度
第一章 质点运动学
yy'
S, S '
u
t 0
xx'
法向加速度 n an lim （速度方向变化） t 0 t 方向：指向圆心， 大小： an



vB
B
vA
o
vB
vt

r
vA
A
2
r
v
vn
切向加速度 t at lim （速度大小变化） t 0 t d d 2 s 2 方向：切向， 大小：at dt dt

vB vA
a lim an at t 0 t

第一章 质点运动学 at et
讨论：
（1）对任意平面曲线，上述仍适用 自然坐标系 在平面曲线运动中，以轨迹上任 一点的切向和法向组成的平面坐标系。

en an
a
et 切向:指向运动方向
第一章 质点运动学 1-3 圆周运动
一 平面极坐标
y
x r cos y r sin
以 ( r , ) 为坐标的参考系为平面极 坐标系。
二 圆周运动的角速度 角坐标 (t ) 单位：弧度（ rad ）

o
r
A
x
y
B
d 单位：弧度每秒 角速度 dt 1
s （ rad ）