2017年全国高中数学联合竞赛(四川初赛)word版

2017年全国高中数学联合竞赛（四川初赛）

（5月14日下午14:30—16:30）

考生注意：1.本试卷共有三大题（16个小题），全卷满分140分 2.用黑（蓝）色圆珠笔或钢笔作答。 3.计算器，通讯工具不准待入考场。 4.解题书写不要超过封线

一，单项选择题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分） 1. 已知函数()1ln 2=+=x x x a x f 在处有极值，则实数a 的值是（ ）

A. -2

B. -1

C. 1

D. 2

2.已知()013tan ,tan 02=++∈x x 是方程，，，βαπβα的两个根，则()的值是βα-cos （ ）

A. 31

B. 32

C. 35

D. 2

5

3.在()8

z y x ++的展开式。所有形如()N b a z y x b

a ∈.2

的项的系数之和是（ ）

A. 112

B. 448

C. 1792

D. 14336

4.已知()0122

2221>>=+b a b

y a x F F 为椭圆，的左，右焦点，该椭圆上存在两点A,B,使得B F A F 213=,则该

椭圆的离心率的取值范围是（ ）

A. （0.21）

B.（0.31）

C.（21，1）

D.（3

1

，1）

5.已知△ABC 中，BC

AB AC AB

CA BC AB +⋅=⋅则

，3的最大值时（ ）

A.

2

5

B.3

C.2

D.5 6.已知数列{}n a 满足：(

)(

)

()N n an n

n

∈--

+=1212，用[]x 表示不超过实数x 的最大整数，则[]2017a 的

个位数是（ ）

A.2

B.4

C.6

D.8

二，填空题（本大题共6个小题，每条题5分，共30分）

7. 已知函数()∑=⎪⎭

⎫

⎝⎛+=2016

12017,5

2525k x

x

k f x f 则=_________.

8. 设i a z i a z i a z R a 43,22,,321+=+=+=∈复数，其中i 是虚数单位，若321,,z z z 成等比数

列，则实数a 的值是___________.

9.若()y x P ,是双曲线14

82

2=-

y x 上的点，则y x -的最小值是_________.

10. 如图，设正方体1111D C B A ABCD -的棱长为1，α为过直线1BD 的平面，则 α截该正方体的截面面积的取值范围是_________.

11.已知实数321,,x x x 满足：232212

32221,2x x x x x x x x 则=++++的最大值是____.

12.设集合{

}()(){}

3339,,,,,,10987654321z y x M z y x z y x A M ++∈==丨且丨，，，，，，，，，则集

合A 中元素的个数是___________

三，解答题（本大题共4个小题，每小题20分，共80分）

13.已知数列{}n a 满足：()

*111

8

5,N n a a a a a n n n ∈--==+

（1）若a=3,求证：数列⎭⎬⎫

⎩⎨⎧--42n n a a 成等比数列，并求出数列{}n a 的通项公式；

（2）若对任意的正整数n,都有3>n a ，求实数a 的取值范围。

14.1993年，美国数学家F.Smarandache 提出许多数论问题，引起国内外相关学者的关注，其中之一便是著名的Smarandache 函数。正整数n 的Smarandache 函数定义为(){}

!,min *m n N m m n S 丨丨∈=，比如：()()()363322===S S S ，，

（1）求数S （16）和S （2016）的值； （2）若S （n ）=7,求正整数n 的最大值；

（3）证明：存在无穷多个合数n ，使得()p n S =,其中n p 为的最大质因数.

15. 如图，x A A 在与点点'轴上，且关于y 轴对称，过点A '垂直于x 轴的直线与抛物线x y 22=交于 B,C,点D 为线段AB 上的动点，点E 在线段AC 上，满足AB

AD CA

CE =

（1）求证：直线DE 与此抛物线有且只有一个公共点；

（2）设直线DE 与此抛物线的公共点F ，记△BCF 与△ADE 的面积分别为 21S S ，,求2

1

S S 的值.

16.设βα，为实数，若对任意的实数()()

222,,,z y x M zx yz xy z y x ++≤≤++βα有恒成立，其中

⋅++⋅++⋅++⋅++⋅++⋅++=222222222222y xy x x zx z x zx z z yz y z yz y y xy x M

求α的最大值和β的最小值

2017年全国高中数学联赛（四川初赛）试题

草考答案及评分标准

一，选择题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）

1.A

2.B

3.C

4.C

5.B

6.A

二，填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）

7.1008 8.0 9.2 10.⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡226， 11.2 12.243

三，解答题（本大题共4个小题，每小题20分，共80分）

13. 证明：（1）因为4

2

341

852

18

54211--⋅=------=--++n n n n n n n n a a a a a a a a

所以，数列⎭⎬⎫

⎩⎨⎧--42n n a a 成等比数列 ……5分

于是1

3234,342421

1111++⋅=⋅--=-----n n n n n n a a a a a 解得 即数列{}n a 的通项公式

132

341

1++⋅=--n n n a ……10分 （2）法1：因为3>n a 对任意的正整数n 都成立，故31>=a a

由（1）知13234,3342421

11

111++⋅=-=⋅--=------n n n n n n n a a a a a 解得 ①当3⋅>-n n b b 则

n n n n a a b b >-⋅>-⋅+-11,1

32132于是，即数列{}n a 单调递增

从而43,3<<>a a n 因此 ……15分 ②当a=4时，由条件可知4=n a 满足条件：

③1,0424>>->->b a a a 则时，当

注意到3,03,1

31

3311

1>>⋅-⋅+⋅+=---n n n n n a b b b a 故而，满足条件