第二章能带理论.ppt
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能带理论课件
2
k V k
II、能量的二级修正：
Ek(2)
k
Ek0 Ek0
kV k
a. k k n 2
a
kVka 10 aei2a nV()dVn
b. k kn2 kV k 0
a
2
二级微扰能：
E (2) k
k
kV k Ek0 Ek0
n
Vn 2
2 2m
k
2
(k
n a
2
)2
微扰下的电子能量就可写成：
有 N个具有相同能量 的束缚态波函数 ，所以在不考虑原 认为一个电子在离子实和其他电子所形成的势场中运动，称为哈特里—福克自洽场近似，也称为单电子近似。
二、近自由电子近似（Nearly Free Electron）模型
在周期场中，若电子的势能随位置的变化（起伏）比较 小，而电子的平均动能要比其势能的绝对值大得多时，电 子
的运动就几乎是自由的。因此，我们可以把自由电子看成是
它的零级近似，而将周期场的影响看成小的微扰来V求解。
（也称为弱周期V 场(近x)似）V。势场V(x)可用平均势 代替，
E
Ek0
Vn
2Tn
(
2Tn Vn
1)
Ek0 Vn
2Tn
(
2Tn Vn
1)
E i：原来较低的
E
0 k
态微扰使它下降为：
E ii：原来较高的
E
0 k
态微扰使它更高为：
差别为 2 V n
——在近自由电子近似中，在晶体中运动的共有电子被看成
是近自由电子。所有电子及原子实产生的场是具有晶格周期
性的等效势场，周期性势场的起伏对共有化电子
材料物理性能课件第二章能带理论
能带理论有助于理解光生载流子的产生和分离机 制，为提高太阳能电池的效率提供了理论指导。
3
光电子器件性能分析
能带理论用于分析光电子器件的性能，如LED、 激光器等，有助于优化其性能参数。
在能源科学中的应用
新能源材料设计
能带理论在新能源材料的设计中 发挥了重要作用，如太阳能电池
、燃料电池等。
能源转化与存储
03
电子填充
根据泡利不相容原理，每个能带只能填充有限个电子， 而电子填充的方式决定了材料的物理和化学性质。
能带理论的重要性
01
02
03
预测材料性质
通过能带理论，可以预测 材料的电子结构和性质， 如导电性、光学性质等。
指导材料设计
能带理论为材料设计提供 了理论基础，帮助科学家 了解材料性能的来源和变 化规律。
揭示新现象
能带理论的发展和应用， 不断揭示出新的物理现象 和材料特性，推动了科学 技术的发展。
能带理论的发展历程
初创期
能带理论起源于20世纪初的金属电子 论，初步建立了固体电子结构的理论 基础。
发展期
成熟期
现代计算技术和计算机模拟的进步， 使得能带理论在材料科学、物理学等 领域得到广泛应用，成为研究材料性 能的重要工具。
半导体能带结构
03
半导体的导电性
电子导电
在半导体中，部分电子可 以获得足够的能量越过禁 带，形成自由电子，在电 场作用下参与导电。
空穴导电
当价电子被激发到导带时 ，会在价带中留下空穴， 空穴也可以参与导电。
离子导电
在某些半导体中，离子的 迁移也是导电的主要方式 。
半导体的光电效应
光电导效应
当光照射在半导体表面时，光子能量 大于禁带宽度的部分光子可以激发电 子从价带跃迁到导带，产生自由电子 和空穴，从而改变半导体的导电性。
3
光电子器件性能分析
能带理论用于分析光电子器件的性能，如LED、 激光器等，有助于优化其性能参数。
在能源科学中的应用
新能源材料设计
能带理论在新能源材料的设计中 发挥了重要作用，如太阳能电池
、燃料电池等。
能源转化与存储
03
电子填充
根据泡利不相容原理，每个能带只能填充有限个电子， 而电子填充的方式决定了材料的物理和化学性质。
能带理论的重要性
01
02
03
预测材料性质
通过能带理论，可以预测 材料的电子结构和性质， 如导电性、光学性质等。
指导材料设计
能带理论为材料设计提供 了理论基础，帮助科学家 了解材料性能的来源和变 化规律。
揭示新现象
能带理论的发展和应用， 不断揭示出新的物理现象 和材料特性，推动了科学 技术的发展。
能带理论的发展历程
初创期
能带理论起源于20世纪初的金属电子 论，初步建立了固体电子结构的理论 基础。
发展期
成熟期
现代计算技术和计算机模拟的进步， 使得能带理论在材料科学、物理学等 领域得到广泛应用，成为研究材料性 能的重要工具。
半导体能带结构
03
半导体的导电性
电子导电
在半导体中，部分电子可 以获得足够的能量越过禁 带，形成自由电子，在电 场作用下参与导电。
空穴导电
当价电子被激发到导带时 ，会在价带中留下空穴， 空穴也可以参与导电。
离子导电
在某些半导体中，离子的 迁移也是导电的主要方式 。
半导体的光电效应
光电导效应
当光照射在半导体表面时，光子能量 大于禁带宽度的部分光子可以激发电 子从价带跃迁到导带，产生自由电子 和空穴，从而改变半导体的导电性。
电子能带理论
• 描述能带结构的模型 — 布里渊区理论：
格矢量： E[n]Te[n]Ee[ne]Ee[np]TpEppE0
定 义： E[n]Te[n]Ee[ne]Ee[np]TpEppE0
倒格矢： E [n]T e[n]E e[n e]E e[n p ]T pE p pE 0
晶格的周期性
1 晶格周期性的描述 —— 原胞和基矢
注* ：我们把以原点为中心的第一能带所处的 k 值 范围称为第一布里渊区;第二、第三能带所处的 k值范围称为第二、第三布里渊区，并以此类推。
E[n]Te[n]Ee[ne]Ee[np]TpEppE0
布里渊区：
• 布里渊区边界描述了晶体周期性边界（势场）对电子作用。
• 电子先填充低能级，对应等能面离布里渊区边界远，不受周期场 的影响，是球面；
因此，布洛赫函数是比自由电子波函数 更接近实际情况的波函数。
• 在一定波长和角度时幅度为零（对应能隙）
• 其它位置原子能级被调幅（有增有减）成为能带。
问题：a、能带理论 b、能带模型
E[n]Te[n]Ee[ne]Ee[np]TpEppE0
c、能隙的宽度可用来区分
（4）能带理论解释导体、半导体、绝缘体形成
4
2
(Eg3~6eV)
E
第二章复习要点
1.近自由电子近似的基本方法
2.能带形成及其解释
3.布里渊区理论
作业：1.什么是费米能？试解释温度升高 为什么费米能降低？ 2. 自由电子理论与近自由电子理论的主要结论 有哪些不同?
第三章 现代电子理论
一、密度泛函理论 材料科学基本物理原理：材料的性质取决于结构。
空带
禁带
No Image
满带
No Image
格矢量： E[n]Te[n]Ee[ne]Ee[np]TpEppE0
定 义： E[n]Te[n]Ee[ne]Ee[np]TpEppE0
倒格矢： E [n]T e[n]E e[n e]E e[n p ]T pE p pE 0
晶格的周期性
1 晶格周期性的描述 —— 原胞和基矢
注* ：我们把以原点为中心的第一能带所处的 k 值 范围称为第一布里渊区;第二、第三能带所处的 k值范围称为第二、第三布里渊区，并以此类推。
E[n]Te[n]Ee[ne]Ee[np]TpEppE0
布里渊区：
• 布里渊区边界描述了晶体周期性边界（势场）对电子作用。
• 电子先填充低能级，对应等能面离布里渊区边界远，不受周期场 的影响，是球面；
因此，布洛赫函数是比自由电子波函数 更接近实际情况的波函数。
• 在一定波长和角度时幅度为零（对应能隙）
• 其它位置原子能级被调幅（有增有减）成为能带。
问题：a、能带理论 b、能带模型
E[n]Te[n]Ee[ne]Ee[np]TpEppE0
c、能隙的宽度可用来区分
（4）能带理论解释导体、半导体、绝缘体形成
4
2
(Eg3~6eV)
E
第二章复习要点
1.近自由电子近似的基本方法
2.能带形成及其解释
3.布里渊区理论
作业：1.什么是费米能？试解释温度升高 为什么费米能降低？ 2. 自由电子理论与近自由电子理论的主要结论 有哪些不同?
第三章 现代电子理论
一、密度泛函理论 材料科学基本物理原理：材料的性质取决于结构。
空带
禁带
No Image
满带
No Image
能带理论 PPT课件
电阻率为 10-8Ω•m 以下的物体为导体 电阻率为108Ω•m以上的物体为绝缘体 电阻率介乎上面两者之间的为半导体
引子： ★孤立的原子，其轨道电子的能量由一系列分立 的能级所表征； ★原子结合成固体时，这些原子的能级变扩展而 形成能带； ∴★因一为个在固原体子是内否层导能电级取上决充于满同电价子电，子所能以级相相应对的应的 能内带层能→带价是带满是带否→被电不子参填与满导电；
由于N 很大，新能级中相邻两能级的能量差仅 为 10-22eV，几乎可以看成是连续的，N 个新能 级具有一定的能量范围，通常称为能带。 即：使本来处于同一能量状态的电子产生微小的 能量差异，与此相对应的能级扩展为能带。
通常采用与原子能级相同的符号来表示能带，如1s 带，2p 带等！
三、能带结构
1、能带
★通常情况下，价带为能量最高的 能带；
★价带可能被电子填满，成为满带； ★也可能未被电子填满，形成不满
带或半满带。
空带
带隙
价带
在绝缘体中，价电子刚好填满 最低的一系列能带，最上边的 满带 —— 价带
绝缘体
再高的各能带全部都是空的 —— 空带
导体中，一部分价电子存在于不满带中，这种能 带称为导带
导带
（1）导体：能带结构有三种形式
形式1：价带中只填充了部分电子，在外加电场作用 下，这些电子很容易在该能带中从低能级跃迁到较 高能级 —— 从而形成电流
导带中电子的转移
例如： 金属Li 电子排布1s22s1 每个原子只有一个价电子，整个晶体中的价电子只 能添满半个价带 —— 实际参与导电的是不满带中 的电子 —— 电子导电型导体
这些允许的范围称为能带 不能处于两个能带之间的区域，此区域称为禁带
关于能带的形成，还可以从晶体中各个原子的能级的 相互影响来说明： 能 级：
引子： ★孤立的原子，其轨道电子的能量由一系列分立 的能级所表征； ★原子结合成固体时，这些原子的能级变扩展而 形成能带； ∴★因一为个在固原体子是内否层导能电级取上决充于满同电价子电，子所能以级相相应对的应的 能内带层能→带价是带满是带否→被电不子参填与满导电；
由于N 很大，新能级中相邻两能级的能量差仅 为 10-22eV，几乎可以看成是连续的，N 个新能 级具有一定的能量范围，通常称为能带。 即：使本来处于同一能量状态的电子产生微小的 能量差异，与此相对应的能级扩展为能带。
通常采用与原子能级相同的符号来表示能带，如1s 带，2p 带等！
三、能带结构
1、能带
★通常情况下，价带为能量最高的 能带；
★价带可能被电子填满，成为满带； ★也可能未被电子填满，形成不满
带或半满带。
空带
带隙
价带
在绝缘体中，价电子刚好填满 最低的一系列能带，最上边的 满带 —— 价带
绝缘体
再高的各能带全部都是空的 —— 空带
导体中，一部分价电子存在于不满带中，这种能 带称为导带
导带
（1）导体：能带结构有三种形式
形式1：价带中只填充了部分电子，在外加电场作用 下，这些电子很容易在该能带中从低能级跃迁到较 高能级 —— 从而形成电流
导带中电子的转移
例如： 金属Li 电子排布1s22s1 每个原子只有一个价电子，整个晶体中的价电子只 能添满半个价带 —— 实际参与导电的是不满带中 的电子 —— 电子导电型导体
这些允许的范围称为能带 不能处于两个能带之间的区域，此区域称为禁带
关于能带的形成，还可以从晶体中各个原子的能级的 相互影响来说明： 能 级：
能带理论及其应用ppt课件
分布向电场反方向移动。因为有
dk
e
dt
•
（a）布洛赫振荡：刚有外场时，由于
v(k )
是
k
的周
期函数，故电子速度发生周期性振荡，电子在实空
间位置也发生振荡，此效应称为布洛赫振荡。
• （b）当电子运动时，受到晶格振动、杂质和缺陷 的散射，达到一个稳定的不对称分布，不再振荡。 此时，沿电场正反方向电子数不相等，总的电流不
(1)研究离子运动时，认为电子能跟上离子位置变化，不考 虑其影响——即晶格振动问题，描述原子或离子围绕平衡
位置的小振动问题。
(2)研究电子运动时，假定离子实静止在平衡位置上，晶格 具有严格周期性，而晶格振动对电子影响当作微扰来处
理——即能带理论，研究固体中的电子状态。
单电子近似：含有大量电子的体系中，每个电子受到其
•
出,
l1,
k
l2,l3 为整数），
相邻取值相差很小。
最新版整理ppt
12
•
2． 能带： 对于同一个n的
En(k)
由不同的
k
组成许多靠得很
近的能级组，称为能带。
• 3． 能带结构 对于不同的n，En(k) 形成单电子能谱。En(k) 的总体 称为晶体的能带结构。
1．
所以单电子能谱是由许多能带组成（每个n对应 一个能带）。 • 对值一，个靠能得带很中近的为准En(k连)是续）k 相的邻准能连带续E函n(k)数和（分立 En1(k) 之间可以相接，重叠或分开。
23
紧束缚近似的晶格势场
A
rRm
注：
V(rR m)
r
Rm
Rm 处格点对A处
电子的作用；
a
V
研究生课件-能带理论
设孤立原子的一个能级 Enl ，它最多能容 纳 2 (2 l +1)个电子。
这一能级分裂成由 N条能级组成的能带后， 能带最多能容纳 2N(2l +1)个电子。
6
2N(2l+1)
例如，1ｓ、2ｓ能带，最多容纳 2N个电子。 2ｐ、3ｐ能带，最多容纳 6N个电子。
电子排布时，应从最低的能级排起。
有关能带被占据情况的几个名词：
计算表明： U0b 的数值越大所得到的能带越窄。 由于原子的内层电子受到原子核的束缚较大， 与外层电子相比，它们的势垒强度较大。
所以，内层电子的能带较窄。 外层电子的能带较宽。
26
从 E ~ k 曲线还可以
E
看出： k 值越大，
相应的能带越宽。
E7
k n 2 n 2
Na L (n 0,1,2,)
maU 2
0b
sin
a
a
cos
(
a)
cos(ka)
(4)
式中
2mE
而 k 2 是电子波的角波数*。
（4）式就是电子的能量 E 应满足的方程,也是电子
能量 E与角波数 k 之间的关系式。
注*：有兴趣的读者可参阅〈固体物理基础〉
蔡伯熏编（1990）P 268。
21
maU 2
0b
s
in
a
由周期性边界条件可以推出:布洛赫波函数 的
波数 k 只能取一些特定的分立值。
13
证明如下:
由周期性边界条件 k ( x) k ( x Na)
(3)
按照布洛赫定理：
左边为 右边为
k ( x) ei k xuk ( x)
k
(
x
Na )
这一能级分裂成由 N条能级组成的能带后， 能带最多能容纳 2N(2l +1)个电子。
6
2N(2l+1)
例如，1ｓ、2ｓ能带，最多容纳 2N个电子。 2ｐ、3ｐ能带，最多容纳 6N个电子。
电子排布时，应从最低的能级排起。
有关能带被占据情况的几个名词：
计算表明： U0b 的数值越大所得到的能带越窄。 由于原子的内层电子受到原子核的束缚较大， 与外层电子相比，它们的势垒强度较大。
所以，内层电子的能带较窄。 外层电子的能带较宽。
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从 E ~ k 曲线还可以
E
看出： k 值越大，
相应的能带越宽。
E7
k n 2 n 2
Na L (n 0,1,2,)
maU 2
0b
sin
a
a
cos
(
a)
cos(ka)
(4)
式中
2mE
而 k 2 是电子波的角波数*。
（4）式就是电子的能量 E 应满足的方程,也是电子
能量 E与角波数 k 之间的关系式。
注*：有兴趣的读者可参阅〈固体物理基础〉
蔡伯熏编（1990）P 268。
21
maU 2
0b
s
in
a
由周期性边界条件可以推出:布洛赫波函数 的
波数 k 只能取一些特定的分立值。
13
证明如下:
由周期性边界条件 k ( x) k ( x Na)
(3)
按照布洛赫定理：
左边为 右边为
k ( x) ei k xuk ( x)
k
(
x
Na )
第二章能带理论ppt课件
能级
能带 E
能隙，禁带
N条
一般规律：
越是外层电子，能带越宽，E越大。
点阵间距越小，能带越宽，E越大。 两个能带有可能重叠。
在整堂课的教学中，刘教师总是让学 生带着 问题来 学习， 而问题 的设置 具有一 定的梯 度，由 浅入深 ，所提 出的问 题也很 明确
能带重叠示意图
金刚石的能带
钠的能带
在整堂课的教学中，刘教师总是让学 生带着 问题来 学习， 而问题 的设置 具有一 定的梯 度，由 浅入深 ，所提 出的问 题也很 明确
原子的外层电子(高能级)， 势垒穿透概率 较大， 电子可以在整个固体中运动,称为 共有化电子。
原子的内层电子与原子核结合较紧,一般 不是 共有化电子。
在整堂课的教学中，刘教师总是让学 生带着 问题来 学习， 而问题 的设置 具有一 定的梯 度，由 浅入深 ，所提 出的问 题也很 明确
解定态薛定谔方程， 可以得出两点重要结论： [ 2 2 V (r)] E 2m
在整堂课的教学中，刘教师总是让学 生带着 问题来 学习， 而问题 的设置 具有一 定的梯 度，由 浅入深 ，所提 出的问 题也很 明确
阿诺德·索末菲（1868～1951） 德国物理学家，量子力学与原子物理学的开 山鼻祖人物。 1868年12月5日生于东普鲁士的柯尼斯堡。 1951年4月26日卒于巴伐亚的慕尼黑。 他对原子结构及原子光谱理论有巨大贡献。 对陀螺的运动、电磁波的传播峙别在衍射力 一而）以及金属的电子论也有一定成就。
➢电子的能量是量子化的 ➢电子的运动有隧道效应
# 原子的外层电子（在高能级） 势垒穿透概率较大， 电子可以在整个固体中运动，称为共有化电子。原子 的内层电子与原子核结合较紧，一般不是共有化电子， 称为离子实。
第二章能带理论 ppt课件
ppt课件
14
晶体中电子的平均自由程为什么远大于原子的间距?
第二章 半导体能带理论
ppt课件
1
● 回顾
能源光催化
环境光催化
将低密度的太阳能转化为 高密度的化学能（氢能）
H2O
- 导带
H2, O2
价带 +
CO2, CH4
Fundamental Research
光催化合成
ppt课件
通过光催化反应分解各种 污染物和杀灭细菌与病毒
Organics
（甲醛、苯、PCB、二恶英、 染料、农药…）
能带理论 —— 研究固体中电子运动的主要理论基础 能带理论 —— 定性阐明了晶体中电子运动的普遍性的特点
—— 说明了导体、非导体的区别
—— 晶体中电子的平均自由程为什么远大于原子的间距
在一定的条件下，一个分子在连续两次碰撞之间可能通过的各段自由程的平 均值，微粒的平均自由程是指微粒与其他微粒碰撞所通过的平均距离。
11
研究固体中电子运动的主要理论基础20世纪初 定性地阐明了晶体中电子运动的普遍性的特点
说明了导体、半导体及绝缘体的区别
晶体中电子的平均自由程为什么远大于原子的间距
提供了分析半导体理论问题的基础，推动了半导体
技术的发展
随着计算机技术的发展20世纪六十年代，能带理论的研究从 定性的普遍性规律发展到对具体材料复杂能带结构的计
ppt课件
5
阿诺德·索末菲（1868～1951） 德国物理学家，量子力学与原子物理学的开 山鼻祖人物。 1868年12月5日生于东普鲁士的柯尼斯堡。 1951年4月26日卒于巴伐亚的慕尼黑。 他对原子结构及原子光谱理论有巨大贡献。 对陀螺的运动、电磁波的传播峙别在衍射力 一而）以及金属的电子论也有一定成就。
济南大学固体物理(黄昆)课件能带理论.ppt
i 2 l 1
N1 = 1
cos 2 l1
l1 是任意整数
ix i 2l1
又e cosx cos2l1
2 il 1
又 e cos x i sin xe
ix
e cos 2 l 1 N 1
e 1
1 e
l1 2i N1
2 e
l2 2i N2
3 e
l3 2i N3
其中 l1 , l2 , l3 为整数 如果引入矢量:
l l l 3 2 k 1 b b b 1 2 3 N N N 1 2 3
T r a f r a a T T f r
T T T T
2 m 2 2 2 m 22 2 2 2 2 h rr h r 证明：T r ff f r Hf r TT T VV r TT Hf r r r Hf r V r r 2 2 2 2 m 2 2 m 2 m h h r a r a 2 2 h V r a f 2 2 2 2 V r a 2 h 2 r a h r r a f a rr aa a V r 2 m r r VV a f r a a 2 m a f r 2 m 2 m 2 m 2 2 2 2 2 22 2 2 2 2 2 h h r r r h h rr f r T rr f VV r TT r V r f r V r T f r 2m m 2 V r T f 2 m 2 m 2 m HT HT f f r r HT r f f r HT TT H H HT HT T Hf
能带理论
反的斜率，因此k和-k态具有相反的速度
➢ 在一个完全为电子充满的能带中，尽管就每一个电
子来讲，都荷带一定的电流-qv
➢ 但是k和-k态的电子电流正好相抵消，所以总的电流
等于0。
E
k 0 k1 k2k3 k4 k5
§3.2.1 原子能级及能带理论
3. 导体、绝缘体和半导体的能带论解释 对于被电子部分占满的能带，在外电场作用下，电子可
带，中间隔一禁带。
➢ 但是，两个能带并不相对应与s能级和p能级，而是上下
两个能带中都包含2N个状态，各可容纳4N个电子。
➢ 根据能量最小原理和泡利不相容原理，先占满低能量的
能带，然后再占据更高能量的能带。
➢ 4N个价电子正好填满下面低能量的能带，而上面高能
量的能带是空的，没有电子。
§3.2.1 原子能级及能带理论
价电子的共有化运动形成一个能带，使其处于价级分裂 后的能级上，叫做价带
价带的宽度约为几个电子伏特（eV）。 如果能带中（包括价带）所有的能级都按泡里不相容原
理填满了电子，则称为满带。
对于满带，其中的能级已为电子所占满，在外电场作用 下，满带中的电子并不能形成电流。
§3.2.2 晶体中电子的状态
满带中激发而成的空的量子状态形成的导电作用等效于 带正电荷的准粒子的导电，这些空的量子状态称为空穴
§3.2.1 原子能级及能带理论
3. 导体、绝缘体和半导体的能带论解释
半导体的禁带宽度一般比较窄，Eg约为0.1 ～2eV
➢ 半导体锗（Ge）的禁带宽度Eg为0.67eV ➢ 半导体硅（Si）的禁带宽度Eg为1.12eV ➢ 其他纯净的半导体的禁带宽度也都在1eV左右
§3.3 半导体的特性
1. 理想半导体的能带模型
➢ 在一个完全为电子充满的能带中，尽管就每一个电
子来讲，都荷带一定的电流-qv
➢ 但是k和-k态的电子电流正好相抵消，所以总的电流
等于0。
E
k 0 k1 k2k3 k4 k5
§3.2.1 原子能级及能带理论
3. 导体、绝缘体和半导体的能带论解释 对于被电子部分占满的能带，在外电场作用下，电子可
带，中间隔一禁带。
➢ 但是，两个能带并不相对应与s能级和p能级，而是上下
两个能带中都包含2N个状态，各可容纳4N个电子。
➢ 根据能量最小原理和泡利不相容原理，先占满低能量的
能带，然后再占据更高能量的能带。
➢ 4N个价电子正好填满下面低能量的能带，而上面高能
量的能带是空的，没有电子。
§3.2.1 原子能级及能带理论
价电子的共有化运动形成一个能带，使其处于价级分裂 后的能级上，叫做价带
价带的宽度约为几个电子伏特（eV）。 如果能带中（包括价带）所有的能级都按泡里不相容原
理填满了电子，则称为满带。
对于满带，其中的能级已为电子所占满，在外电场作用 下，满带中的电子并不能形成电流。
§3.2.2 晶体中电子的状态
满带中激发而成的空的量子状态形成的导电作用等效于 带正电荷的准粒子的导电，这些空的量子状态称为空穴
§3.2.1 原子能级及能带理论
3. 导体、绝缘体和半导体的能带论解释
半导体的禁带宽度一般比较窄，Eg约为0.1 ～2eV
➢ 半导体锗（Ge）的禁带宽度Eg为0.67eV ➢ 半导体硅（Si）的禁带宽度Eg为1.12eV ➢ 其他纯净的半导体的禁带宽度也都在1eV左右
§3.3 半导体的特性
1. 理想半导体的能带模型
《电子能带理论》课件
材料设计
基于电子能带理论，通过计算和模拟，预测 新型材料的性能，并指导实验合成，实现材 料的高效设计与开发。
量子计算与能带理论
量子计算
利用量子力学原理进行计算的新型计算模式 ，能够模拟和预测复杂系统的行为。
能带理论
在量子计算中，能带理论用于描述电子在固 体材料中的行为，是理解和设计新型电子器
件的基础。
1911年
提出金属的自由电子气模型，初步建立了能带 理论框架。
1930年代
量子力学的发展为能带理论提供了更精确的数 学描述。
02
电子能带结构
金属的电子能带结构
金属的电子能带结构由许多能级组成，其中有些能级是填满电子的，有些是空的。 在金属中，价电子从原子核的束缚中获得自由，形成导带。 导带中存在大量自由电子，这些电子可以导电。
太阳能电池原理
总结词
太阳能电池的工作原理与能带理论密 切相关。
详细描述
太阳能电池利用半导体材料的光生伏 特效应将光能转化为电能，能带理论 为理解这一过程提供了理论基础。
热电效应原理
总结词
热电效应的原理可以通过能带理论进行解释。
详细描述
热电效应是指由于温度差异导致材料两端出现电压的现象，能带理论可以解释这一现象的微观机制。
波函数的性质
波函数具有归一化性质，即其平方表示电子在某一状态下的概率密度。波函数 还具有周期性、对称性等性质，这些性质决定了电子的能量和动量等属性。
电子的能量与动量
能量与动量的关系
在量子力学中，电子的能量和动量满足一定的关系，即 E=pc^2，其中E为能量，p为动量，c为光速。这个公式是量 子力学的基本原理之一。
04
导带
最低未填满电子的
适合初学者看的能带理论
03
分子能带理论
分子能级与电子排布
分子能级
分子中的原子在相互振动时，会形成 不同的能级，这些能级决定了分子的 稳定性和化学反应能力。
电子排布
分子中的电子按照能量高低在不同轨 道上排布，形成不同的电子构型，对 分子的化学性质产生影响。
分子光谱与电子跃迁
分子光谱
通过分析分子吸收或发射的光谱，可以了解分子内部能级结 构和电子排布。
量子计算与量子通信的能带理论基础
量子计算
量子计算利用量子力学的特性进行信息处理，能带理论在理解量子比特和量子门操作等 方面发挥了重要作用。
量子通信
量子通信利用量子态的传输进行信息传递，能带理论在量子密钥分发和量子隐形传态等 方面提供了理论基础。
能带理论与其他物理理论的交叉研究
凝聚态物理
能带理论与凝聚态物理密切相关，通过研究 不同材料的能带结构和物理性质，可以深入 理解物质的微观结构和宏观性质。
光子禁带
在光子晶体的能带结构中，某些频率的光不能在其中传播，这种现象被称为光子禁带。光子禁带的存在可以用来 控制光的传播和光与物质的相互作用。
光子在介质中的传播与散射
传播
当光子在介质中传播时，会受到介质的折射和反射。折射和反射的性质取决于光子的波长和介质的性 质。
散射
当光子与介质中的原子或分子相互作用时，可能会发生散射。散射会导致光的方向改变和能量的损失 。散射的性质取决于介质的微观结构和光子的波长。
太阳能电池原理与应用
01
02
03
光吸收与能带结构
太阳能电池利用半导体材 料的能带结构，通过光吸 收产生光生载流子，从而 实现光电转换。
光电转换效率
能带理论有助于理解光电 转换效率的限制因素，为 提高太阳能电池效率提供 理论指导。
02能带结构及基本效应1
EF = EC − K BT ln
NC ND
(非简并半导体)
EF =
N 1 1 ( EC + EV ) − kBT ln C 2 2 NV
其中NC为导带的有效态密度，ND为施主掺杂浓度。
本征半导体中电子按能量的分布 N型硅晶体的平面示意图及其能带
费米能级的物理意义及计算方法
P型半导体 —— 偏向于价带边的一侧。
二．纳米粒子的能带结构
1）金属纳米粒子的能带结构 2）半导体纳米粒子的能带结构
4
金属纳米粒子的能带结构
1 2m 2 1 2 N (E) = E 2π 2 h 2
3
金属纳米粒子的能带结构
从原子的离散能级到块体材料的准连续能带
块 体 Au
宏观尺 度的 金属 材料在 高温 条件 下 ，其能带 可以 看作是连续的。
金属纳米粒子的能带结构
等能级间隔模型的缺点 等 能级近 似 模型 可以 推 导 出 低温下单 个 金属 纳米 颗 粒的 比 热 公 式， 但 实际上 无 法 用实验验证 ， 因为 我 们 只 能对纳米 颗 粒的 集 合 体进行实验。而 在 此集 合体中 又必 须考虑（因粒径尺寸等因素造成的）能级间隔δ 的统计分 布性质。久保的贡献主要体现在这方面。 δ EF
δ
EF
δ C (T ) = k B exp − k BT
δ～kBT
自由电子气能量示意图
高温简化为与1/T成线性关系
金属纳米粒子的能带结构
纳米粒子能带的离散性
金属纳米粒子的能带结构
纳米 金属 粒子的能带 离散性 使 其 热 力 学 性质 ， 诸 如比热、磁化率等显著不同于块体性质。 实际 上 ， 低温 条件 下 ，只有费米能级 附 近的 几 个 能级对物理性质起重要作用。
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电子受到周期性势场的作用。
a
解定态薛定格方程(略）， 可以得出两个重要结论：
１.电子的能量是量子化的; ２.电子的运动有隧道效应。
原子的外层电子(高能级)， 势垒穿透概率 较大， 电子可以在整个固体中运动,称为 共有化电子。
原子的内层电子与原子核结合较紧,一般 不是 共有化电子。
解定态薛定谔方程， 可以得出两点重要结论： [ 2 2 V (r)] E 2m
若N数量级为1023，则能带中两相邻能级的间距约
10-23eV。
能级
能带 E
能隙，禁带
N条
一般规律：
越是外层电子，能带越宽，E越大。
点阵间距越小，能带越宽，E越大。 两个能带有可能重叠。
能带重叠示意图
金刚石的能带
钠的能带
电子共有化
固体是具有大量分子、原子或离子有规则 排列的点阵结构。
能带论的基本出发点:
❖ 固体中的电子可以在整个固体中运动
❖ 电子在运动过程中要受晶格原子势场的作用
能带论是单电子近似的理论。用这种方法求 出的电子能量状态将不再是分立的能级，而是由 能量的允带和禁带相间组成的能带，故称为能带 论。
能带论是用量子力学研究固体中电子的运动 规律。
能带理论 —— 研究固体中电子运动的主要理论基础 能带理论 —— 定性阐明了晶体中电子运动的普遍性的特点
2p、3p能带，最多容纳 6Ｎ个电子。
3p
3s
每个能带最多容
纳 6Ｎ个电子
2p
每个能带最多容
2s
纳 2Ｎ个电子
1s
Mg原子
晶体Mg（N个原子）
பைடு நூலகம்
电子排布时， 应从最低的能 级排起。
能带被占据情况的几个概念：
E
满带：填满电子的能带 电子占据了一个能带中所有的状态 不满带：未填满电子的能带 空带：没有电子占据（填充）的能带
—— 说明了导体、非导体的区别 —— 晶体中电子的平均自由程为什么远大于原子的间距
在一定的条件下，一个分子在连续两次碰撞之间可能通过的各段自由程的平 均值，微粒的平均自由程是指微粒与其他微粒碰撞所通过的平均距离。
晶体中电子的平均自由程为什么远大于原子的间距?
在完整晶体中,电子运动可以不被格点散射地传播 （所以该模型又称为近自由电子近似）,金属晶体就 是这样的晶体.所以电子在金属晶体内可不被散射的 传播,也就是可以自由移动.所以自由程远大于金属原 子间距.
某些二价金属， 如:Be, Ca, Mg,
Zn, Ba …
空带
导带
如:Na, K, Cu, Al, Ag…
导体 导带
Eg 价带（不满）
导体 导带 价带（满）
导体 导带 价带（满）
导带 绝缘体 Eg 价带（满）
半导体
导带 Eg
价带（满）
三、导体，绝缘体和半导体
能带理论解释固体的导电本质：满带不导电，不满带才导电
（2） 服从能量最小原理
对孤立原子的一个能级 Enl ，它最多能 容纳 2 (2l +1)个电子。
这一能级分裂成由 N个能级组成的能带， 一个能带最多能容纳 2 (2l+1) N 个电子。
初态为s态(能级Enl,l=0),终态为p态(能级En'l',l'=1)
例如，1s、2s能带，最多容纳 2Ｎ个电子。
导体
104 107 m
108 m
半导体
绝缘体
它们的导电性能不同， 108 m 是因为它们的能带结构不同。
一般填充规律：
孤立原子的内层电子能级一般都是填满的， 在形成固体时，其相应的能带也填满了电子。
孤立原子的最外层电子能级可能填满了电子也可 能未填满电子。若原来填满电子的， 在形成固体时，其相应的能带也填满电子。
第二章 半导体能带理论
● 回顾
能源光催化
环境光催化
将低密度的太阳能转化为 高密度的化学能（氢能）
H2O
- 导带
H2, O2
价带 +
CO2, CH4
Fundamental Research
光催化合成
通过光催化反应分解各种 污染物和杀灭细菌与病毒
Organics
（甲醛、苯、PCB、二恶英、 染料、农药…）
若原来未填满电子的， 在形成固体时，其相应的能带也未填满电子。
若孤立原子中较高的电子能级上没有电子， 在形成固体时，其相应的能带上也没有电子。
导体、半导体和绝缘体的能带理论解释
问题的提出
—— 所有固体都包含大量的电子，但电子的导电性却 相差非常大
导体的电阻率 半导体的电阻率
~ 106 cm ~ 102 109 cm
根据泡利不相容原理，原来的 能级已填满不能再填充电子— 2s
分裂为两条
1s
空带 价带
各原子间的相互作用 原来孤立原子的能级发生分裂
若有N个原子组成一体，由于各原子间的相互作用，对 于原来孤立原子的一个能级，就分裂成N条靠得很近的能
级，称为能带（energy band）。
能带的宽度记作 E，E ～eV 的量级
空带
禁带 不满带
导带 价带
禁带：不能填充电子的能区 两个能带之间，不允许存在的能级宽度， 也称为带隙
满带
价带：在0k时能被电子占满的最高能带，对半导体价带通常 是满带
导带以下的第一个满带，或最上面的一个满带
导带：半导体最外面（能量最高）的一个能带。 一个能带中所有的状态并没有都被电子占满即不满带，或说最 下面的一个空带
能带对电导的贡献 满带
…
电子交换能态并不改变 能量状态，所以满带不 导电。
导带： 不满带或满带以上最低的空带 为什么把空带或不满带称为导带？
因为只有这种能带中的电子才能导电。
§2.2 导体、半导体和绝缘体 (conductor, semiconductor, insulator）
固体按导电性能的高低可以分为
导体 —— 在一系列能带中除了电子填充满的能带以外，还 有部分被电子填充的能带（不满带），后者起着导电作用 --------- 起导电作用的不满带称为导带
绝缘体 —— 原子中的电子是满壳层分布的，价电子刚好 填满了许可的能带，形成满带，满带和空带之间之间存在 一个很宽的禁带，在一般情况下，空带中没有电子 半导体 —— 能带结构与绝缘体类似，但是禁带宽度比较 小（3eV以下）。满带中的部分电子会被热激发到空带。 电子和近满带中留下的空状态都参与导电
核磁共振方法不仅在核物理研究中起着重要作用，而且在科学技术上也有 着广泛的应用。例如，核磁共振分析可以用来探测物质的微观结构和各种 相互作用；核磁共振人体成像有望成为诊断疾病的有力工具。
自由电子气 真实晶体中的电子
能带理论的基本假设
能带理论的基本出发点: ❖ 固体中的电子不是完全被束缚在某个原子周围，
CO2， H2O
有用化学品
Practical Applications
引言
固体中电子的运动状态对其力学、热学、电磁学、光学等物理性质具有非常重 要的影响，因此，研究固体电子运动规律的理论（固体电子理论）是固体物理学的 一个重要内容。
固体电子理论包括经典自由电子理论、量子自由电子理论和能带理论。特鲁 德(P. Drude)在1900年提出的经典自由电子气体模型。它将在当时已非常成功的 气体分子运动理论运用于金属，用以解释金属电导和热导的行为。1928年索末菲 (A. Sommerfeld)又进一步将费米-狄拉克统计理论用于自由电子气体，在经典自 由电子气体模型的基础上建立了量子的自由电子气模型，解决了经典自由电子气 模型在金属电子热容、磁化率等问题上遇到的困难。
研究固体中电子运动的主要理论基础20世纪初 定性地阐明了晶体中电子运动的普遍性的特点 说明了导体、半导体及绝缘体的区别 晶体中电子的平均自由程为什么远大于原子的间距 提供了分析半导体理论问题的基础，推动了半导体
技术的发展 随着计算机技术的发展20世纪六十年代，能带理论的研究从 定性的普遍性规律发展到对具体材料复杂能带结构的计 算
量子自由电子理论
金属中的正离子形成的电场是均匀的，价电子不被原子所束缚，可以在整个金属中 自由地运动。自由电子的能量必须符合量子化的不连续性。
能带理论
能带理论（Energy band theory ）是讨论晶体（包括金属、绝缘体和半导体的 晶体）中电子的状态及其运动的一种重要的近似理论。
阿诺德·索末菲（1868～1951） 德国物理学家，量子力学与原子物理学的开 山鼻祖人物。 1868年12月5日生于东普鲁士的柯尼斯堡。 1951年4月26日卒于巴伐亚的慕尼黑。 他对原子结构及原子光谱理论有巨大贡献。 对陀螺的运动、电磁波的传播峙别在衍射力 一而）以及金属的电子论也有一定成就。
导体 在外电场的作用下，大量共有化电子很 易获得能量，集体定向流动形成电流。 E
从能级图上来看，是因为其共有化电子 很易从低能级跃迁到高能级上去。
绝缘体的能带结构
E
绝缘体在外电场的作用下，
空带 空带 共有化电子很难接受外电场的能量，
他也是一位杰出的老师，教导和培养了很多优秀的理论物理学家。索末菲是 目前为止教导过最多诺贝尔物理学奖得主的人。
但是：索末菲量子的自由电子气理论仍有对不少物理性质无法解释。 如：有些金属霍尔系数为正；
固体分为导体、半导体和绝缘体的物理本质等。
回顾自由电子模型的假设，再对照上述与自由电子模型不相符合的试验现象， 自由电子模型的主要问题出在对于固定离子与电子的相互作用的处理上。特鲁德的 模型假设电子除碰撞瞬间外，与离子晶格无关，也即假定晶体中的势能为零，因而 在其中运动的电子不受束缚而是自由的(自由电子假设)；碰撞后的状态与碰撞前无 关(碰撞自由时间假设)。这是一个大的简化，进一步固体理论的发展就从这里入手。
a
解定态薛定格方程(略）， 可以得出两个重要结论：
１.电子的能量是量子化的; ２.电子的运动有隧道效应。
原子的外层电子(高能级)， 势垒穿透概率 较大， 电子可以在整个固体中运动,称为 共有化电子。
原子的内层电子与原子核结合较紧,一般 不是 共有化电子。
解定态薛定谔方程， 可以得出两点重要结论： [ 2 2 V (r)] E 2m
若N数量级为1023，则能带中两相邻能级的间距约
10-23eV。
能级
能带 E
能隙，禁带
N条
一般规律：
越是外层电子，能带越宽，E越大。
点阵间距越小，能带越宽，E越大。 两个能带有可能重叠。
能带重叠示意图
金刚石的能带
钠的能带
电子共有化
固体是具有大量分子、原子或离子有规则 排列的点阵结构。
能带论的基本出发点:
❖ 固体中的电子可以在整个固体中运动
❖ 电子在运动过程中要受晶格原子势场的作用
能带论是单电子近似的理论。用这种方法求 出的电子能量状态将不再是分立的能级，而是由 能量的允带和禁带相间组成的能带，故称为能带 论。
能带论是用量子力学研究固体中电子的运动 规律。
能带理论 —— 研究固体中电子运动的主要理论基础 能带理论 —— 定性阐明了晶体中电子运动的普遍性的特点
2p、3p能带，最多容纳 6Ｎ个电子。
3p
3s
每个能带最多容
纳 6Ｎ个电子
2p
每个能带最多容
2s
纳 2Ｎ个电子
1s
Mg原子
晶体Mg（N个原子）
பைடு நூலகம்
电子排布时， 应从最低的能 级排起。
能带被占据情况的几个概念：
E
满带：填满电子的能带 电子占据了一个能带中所有的状态 不满带：未填满电子的能带 空带：没有电子占据（填充）的能带
—— 说明了导体、非导体的区别 —— 晶体中电子的平均自由程为什么远大于原子的间距
在一定的条件下，一个分子在连续两次碰撞之间可能通过的各段自由程的平 均值，微粒的平均自由程是指微粒与其他微粒碰撞所通过的平均距离。
晶体中电子的平均自由程为什么远大于原子的间距?
在完整晶体中,电子运动可以不被格点散射地传播 （所以该模型又称为近自由电子近似）,金属晶体就 是这样的晶体.所以电子在金属晶体内可不被散射的 传播,也就是可以自由移动.所以自由程远大于金属原 子间距.
某些二价金属， 如:Be, Ca, Mg,
Zn, Ba …
空带
导带
如:Na, K, Cu, Al, Ag…
导体 导带
Eg 价带（不满）
导体 导带 价带（满）
导体 导带 价带（满）
导带 绝缘体 Eg 价带（满）
半导体
导带 Eg
价带（满）
三、导体，绝缘体和半导体
能带理论解释固体的导电本质：满带不导电，不满带才导电
（2） 服从能量最小原理
对孤立原子的一个能级 Enl ，它最多能 容纳 2 (2l +1)个电子。
这一能级分裂成由 N个能级组成的能带， 一个能带最多能容纳 2 (2l+1) N 个电子。
初态为s态(能级Enl,l=0),终态为p态(能级En'l',l'=1)
例如，1s、2s能带，最多容纳 2Ｎ个电子。
导体
104 107 m
108 m
半导体
绝缘体
它们的导电性能不同， 108 m 是因为它们的能带结构不同。
一般填充规律：
孤立原子的内层电子能级一般都是填满的， 在形成固体时，其相应的能带也填满了电子。
孤立原子的最外层电子能级可能填满了电子也可 能未填满电子。若原来填满电子的， 在形成固体时，其相应的能带也填满电子。
第二章 半导体能带理论
● 回顾
能源光催化
环境光催化
将低密度的太阳能转化为 高密度的化学能（氢能）
H2O
- 导带
H2, O2
价带 +
CO2, CH4
Fundamental Research
光催化合成
通过光催化反应分解各种 污染物和杀灭细菌与病毒
Organics
（甲醛、苯、PCB、二恶英、 染料、农药…）
若原来未填满电子的， 在形成固体时，其相应的能带也未填满电子。
若孤立原子中较高的电子能级上没有电子， 在形成固体时，其相应的能带上也没有电子。
导体、半导体和绝缘体的能带理论解释
问题的提出
—— 所有固体都包含大量的电子，但电子的导电性却 相差非常大
导体的电阻率 半导体的电阻率
~ 106 cm ~ 102 109 cm
根据泡利不相容原理，原来的 能级已填满不能再填充电子— 2s
分裂为两条
1s
空带 价带
各原子间的相互作用 原来孤立原子的能级发生分裂
若有N个原子组成一体，由于各原子间的相互作用，对 于原来孤立原子的一个能级，就分裂成N条靠得很近的能
级，称为能带（energy band）。
能带的宽度记作 E，E ～eV 的量级
空带
禁带 不满带
导带 价带
禁带：不能填充电子的能区 两个能带之间，不允许存在的能级宽度， 也称为带隙
满带
价带：在0k时能被电子占满的最高能带，对半导体价带通常 是满带
导带以下的第一个满带，或最上面的一个满带
导带：半导体最外面（能量最高）的一个能带。 一个能带中所有的状态并没有都被电子占满即不满带，或说最 下面的一个空带
能带对电导的贡献 满带
…
电子交换能态并不改变 能量状态，所以满带不 导电。
导带： 不满带或满带以上最低的空带 为什么把空带或不满带称为导带？
因为只有这种能带中的电子才能导电。
§2.2 导体、半导体和绝缘体 (conductor, semiconductor, insulator）
固体按导电性能的高低可以分为
导体 —— 在一系列能带中除了电子填充满的能带以外，还 有部分被电子填充的能带（不满带），后者起着导电作用 --------- 起导电作用的不满带称为导带
绝缘体 —— 原子中的电子是满壳层分布的，价电子刚好 填满了许可的能带，形成满带，满带和空带之间之间存在 一个很宽的禁带，在一般情况下，空带中没有电子 半导体 —— 能带结构与绝缘体类似，但是禁带宽度比较 小（3eV以下）。满带中的部分电子会被热激发到空带。 电子和近满带中留下的空状态都参与导电
核磁共振方法不仅在核物理研究中起着重要作用，而且在科学技术上也有 着广泛的应用。例如，核磁共振分析可以用来探测物质的微观结构和各种 相互作用；核磁共振人体成像有望成为诊断疾病的有力工具。
自由电子气 真实晶体中的电子
能带理论的基本假设
能带理论的基本出发点: ❖ 固体中的电子不是完全被束缚在某个原子周围，
CO2， H2O
有用化学品
Practical Applications
引言
固体中电子的运动状态对其力学、热学、电磁学、光学等物理性质具有非常重 要的影响，因此，研究固体电子运动规律的理论（固体电子理论）是固体物理学的 一个重要内容。
固体电子理论包括经典自由电子理论、量子自由电子理论和能带理论。特鲁 德(P. Drude)在1900年提出的经典自由电子气体模型。它将在当时已非常成功的 气体分子运动理论运用于金属，用以解释金属电导和热导的行为。1928年索末菲 (A. Sommerfeld)又进一步将费米-狄拉克统计理论用于自由电子气体，在经典自 由电子气体模型的基础上建立了量子的自由电子气模型，解决了经典自由电子气 模型在金属电子热容、磁化率等问题上遇到的困难。
研究固体中电子运动的主要理论基础20世纪初 定性地阐明了晶体中电子运动的普遍性的特点 说明了导体、半导体及绝缘体的区别 晶体中电子的平均自由程为什么远大于原子的间距 提供了分析半导体理论问题的基础，推动了半导体
技术的发展 随着计算机技术的发展20世纪六十年代，能带理论的研究从 定性的普遍性规律发展到对具体材料复杂能带结构的计 算
量子自由电子理论
金属中的正离子形成的电场是均匀的，价电子不被原子所束缚，可以在整个金属中 自由地运动。自由电子的能量必须符合量子化的不连续性。
能带理论
能带理论（Energy band theory ）是讨论晶体（包括金属、绝缘体和半导体的 晶体）中电子的状态及其运动的一种重要的近似理论。
阿诺德·索末菲（1868～1951） 德国物理学家，量子力学与原子物理学的开 山鼻祖人物。 1868年12月5日生于东普鲁士的柯尼斯堡。 1951年4月26日卒于巴伐亚的慕尼黑。 他对原子结构及原子光谱理论有巨大贡献。 对陀螺的运动、电磁波的传播峙别在衍射力 一而）以及金属的电子论也有一定成就。
导体 在外电场的作用下，大量共有化电子很 易获得能量，集体定向流动形成电流。 E
从能级图上来看，是因为其共有化电子 很易从低能级跃迁到高能级上去。
绝缘体的能带结构
E
绝缘体在外电场的作用下，
空带 空带 共有化电子很难接受外电场的能量，
他也是一位杰出的老师，教导和培养了很多优秀的理论物理学家。索末菲是 目前为止教导过最多诺贝尔物理学奖得主的人。
但是：索末菲量子的自由电子气理论仍有对不少物理性质无法解释。 如：有些金属霍尔系数为正；
固体分为导体、半导体和绝缘体的物理本质等。
回顾自由电子模型的假设，再对照上述与自由电子模型不相符合的试验现象， 自由电子模型的主要问题出在对于固定离子与电子的相互作用的处理上。特鲁德的 模型假设电子除碰撞瞬间外，与离子晶格无关，也即假定晶体中的势能为零，因而 在其中运动的电子不受束缚而是自由的(自由电子假设)；碰撞后的状态与碰撞前无 关(碰撞自由时间假设)。这是一个大的简化，进一步固体理论的发展就从这里入手。