质点系动能定理
3-1质点动能定理要点
当 f12 dr12 时， dA 0
三、两质点的相互作用势能 四、质点系的势能
16
五、有关势能的几点说明
1）势能属于以保守力相互作用着的物体系，不属于 某一物体所有。重力势能属于重物和地球组成的系统； 弹性势能属于弹簧和质点组成的系统；引力势能属于 相互吸引的两质点所组成的系统。质点在保守力场中 的势能值也就是质点和场源相互作用的势能值。
11
§3-3 质点的 势能 一、保守力做功的特点—与路径无关
重力的功 A (m gh m gh 0) Mm Mm 引力的功 A (G0 ) (G0 ) r r0 1 1 2 弹力的功 A ( kx2 kx0 ) 2 2
二、势能函数的定义
保守力的功，均由系统 始末位形函数的差决定 ， 我们把这些由位形决定 的函数，叫做势能函数 。
如果质点从a点运动到b点又回到a点 则 f dr 0
弹簧的弹性力为保守力
7
3、万有引力的功
在静止质点M的引力场中，质点m沿任一路径从a点移 至b点
A
b a
b
G dr
Mm G0 2 dr a r 1 1 G0 Mm( ) rb ra
ra
M
a
f12 2与f21是一对作用力反作用力
m1
r21
f12 f 21
dr1
dr2
m2
一对作用作用力的功，等于其中一个质点受的力 点乘其相对另一个质点的相对位移。由于一对力 的功只取决于两质点间的相对位移，因而与参照 系的选择无关。
x
19
F
正解1：
x
0
理论力学经典课件-第六章 质点系动能定理
θ
ω AB
y
G1
R
δ W = G1δ yC
(b)
A vA ω A
G2
Cv1 dT dT δ W 由dT = δ W,有 ,将式(b)代入,有 (b) = dt dt l d( cosθ ) 3 G2 1 G1 2 G1 l 2 l 2 vA aA + [ l + ]ω ABα AB = G1 = G1 sin θω AB 2 g 12 g g 4 dt 2
T T0 = ∑W
(包括内,外力功)
6-2-1 动能定理的三种形式 6-2-2 动能定理的应用
第六章 质点系动能定理
6-2-1 动能定理的三种形式 1 .微分式
dT = δW
所有力的元功之和
2 .积分式 外主动功 T2 T1 = W1 2 约束功 内 功 对于理想约束,约束力功为零(如光滑铰,光滑面…)
b
图(b)示瞬时,C为BC杆瞬心
θ0
mg mg
(a)
θ0
C
vC = 0 ,ωC = 0
由 T T0 = ∑W 而 T0 = 0,
A
r
m1
(a)
A
B
C
ω AB
(b)
1 1 2 2 T = mb ω AB × 2 2 3
6-2 质点系动能定理
6-2-2 动能定理的应用 代入式(a)得
1 2 2 mb ω AB = Fb sin θ 0 + mgb sin θ 0 3
k
l 2
l 2
(a)
对!弹簧静力与重力在转动时仍平衡,其功之和 为零,可同时不考虑.又如图(b)
k
1 2 V = kδ 2
6-2 质点系动能定理
第11章 质点系动能定理——【理论力学课件】
⋅
(
mvr )
T
=
1 2
MvC 2
+ TC r
——柯尼希定理
注意：这一结论仅以质心为基点时正确。 12
质点系动能定理
三、刚体的动能
1. 平移刚体
∑ T =
1 2
mv2
=
1 2
MvC2
2. 定轴转动刚体
∑ ∑ T =
1 mv2 = 2
1 m(ωr)2
2
=
1 2
J
zω
2
3. 平面运动刚体T=Fra bibliotek1 2
MvC 2 +
(Fx
d
x
+
Fy
d
y
+
Fz
d z（) 直角坐标形式）
——解析表达式 4
质点系动能定理
三、几种常见力作的功
1. 重力的功 质点
W12 = mg ( z1 − z2 )
质点系
∑ W12 = mg(z1 − z2 )
Fx = 0, Fy = 0, Fz = −mg
= Mg (zC1 − zC 2 )
二、质点系的动能
z
z′
？ ∑ T =
1mv 2 2
=
1 2
Mv
2 C
C y′
rC x′ r′
v m
r
v2 = v ⋅ v = vC2 + vr2 + 2vC ⋅ vr x
O
y
∑ T =
1 2
m(vC2
+
vr2
+
2vC
⋅vr )
v = vC + vr
∑ ∑ =
质点和质点系的动能定理
W f1 dr12 f2 dr21
4 – 3 质点和质点系的动能定理
例如： A板相对B板滑动
A板对B板旳摩擦力为 f
B板对A板旳摩擦力为 f
求：当B板从一端移到另 一端时，摩擦力所作功 .
解：
b
f B A
a
v f
摩擦力是一对力，据对力作功旳一般体现式，应有：
A f (a b)
a b 是相对位移量
4 – 3 质点和质点系的动能定理
二 . 成对力旳功
dA f1 dr1 f2 dr2
B1
dr1
f1
B2
f2 r
dr2
21
A1
A2
f2 d (r2 r1) f2 dr21
f1 d (r1 r2 ) f1 dr12
一对内力（internal force）
做旳功与参照系选择无关 ， 只决定于两质点旳相互作用力 及其相对位移.
例：炸弹爆炸过程，内力和为零，但内力所做 旳功转化为弹片旳动能。
4 – 3 质点和质点系的动能定理
例：摩擦力做功 从地面看摩擦力对物体作功
W f s
在物体参照系（也是惯性系），物
体没有移动，
v
摩擦力对物体作功 W ? W 0
摩擦力是一对力，成对摩擦力作旳功： f
W物,地 f S
一对摩擦力所做旳功与参照系旳选择无关 = 运动中放出热能
4.3.4 ， 4.3.7.
2
dA F dr 称为元功， 描述了力旳空间累积效应。
物理上，称
Ek
1 mv2 P2
2
2m
为质点旳动能.
于是有：
dEk
d(1 2
mv2 )
F
dr
质点系动能定理
动能
一、质点的动能 设质点的质量为m，速度为 v 二、质点系的动能
由速度合成定理：
vi vO viO 2 2 2 vi vi vi (vO viO ) (vO viO ) vO 2 v v v O iO iO
1 n 2 T mi vi 2 i 1
1 2 T mv 2
vO mi viO vO mvCO 若令点O'与质心C重合, 则 1 2 1 2 T mv C mi viC 得： 2 2
1 1 1 2 2 T mi vi mi vO mi vi2 m v O i O viO 2 2 2 1 1 2 2 mv O mi viO vO mi viO 2 2
vB
I AB
C
B
vC
1 2 1 2 mvC J C 2 2 1 l 2 1 ml 2 2 1 2 2 m( ) ml 2 2 2 12 6
1 2 1 2 2 1 2 2 mvB m( ) ml 2 2 2 4
2 2 A 1 A A
vC mvCC 0
柯尼希定理：
质点系的动能等于随同其质心平动的动能 与相对其质心运动的动能之和。
Байду номын сангаас
三、刚体的动能 1.平移刚体的动能：
1 1 1 T mi vi2 mi v 2 mv 2 2 2 2 2.定轴转动刚体的动能：
1 1 1 2 T mi vi2 (mi i ) 2 J z 2 2 2 2
功质点动能定理
变力作功 变力作功 质点沿曲线从a移到b过程中力F作的功 取微元过程，力近似恒力
第 第二 二章 章
G F
G G G dA = F ⋅ dr = F cos θ dr = F cos θ dl = Ft dl
总功 a
元功
θ
dl
Ft G rb
G dr
b
G (b ) (b ) G A = ∫( a ) F ⋅ dr = ∫( a ) F cos θ d l
4
质点动能定理 设质点m受合力F作用，沿 曲线由a移到b，微元过程作功 G G dA = F ⋅ dr = Ft dl
G F
dl θ G dr
G r G ra
Ft
第 第二 二章 章
b
G rb
dv a 切向力 Ft = mat = m dt o dv (b ) v d A = 功 d A = m d l = mv d v ∫( a ) ∫v0 mv d v dt v0和v为质点在a点和b点时的速率
14
2．重力势能 重力势能是引力势能的特例 Mm +C 利用引力势能 E p = −G r Mm 地球表面为势能零点 C =G R r = R时，Ep= 0，得 在离地面h高处，r = R+h，重力势能为
mM mM mM +G =G E p = −G h ( R + h) R R+h R GM Ep ≈ m 2 h h<<R时，R+h ≈ R R M Epp= =mgh mgh 由 g =G 2 E R
o F12 F21
G G F12 = − F21
相对位矢 G G G G G G G G G G dA = F12 ⋅ dr1 + F21 ⋅ dr2 = F21 ⋅ (dr2 − dr1 ) = F21 ⋅ d (r2 − r1 ) 在m1上建立参照系
第十二章 第三节 动能定理
例(P263例12-4) 绞车，已知力偶M、重物质量m；主动轴I和从 动轴II的转动惯量J1和J2，传动比i12=w1/w2；鼓轮半径R。。绞 车初始时静止，试求当重物上升距离h时的速度v及加速度a。 M 解 (1)整个质点系 I (2)运动分析 Ek1=0
1 1 m 2 2 2 Ek 2 J1w1 J 2w2 v 2 2 2 w1 iw 2 iv / R w2 v / R
将作用力分成外力和内力 注意：内力作功的和一般不等于零。
A rA
O FA BA rB FB
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
B
FA的元功FA · A； dr FB的元功FB · B。 dr 元功之和 d'W = FA · A + FB · B dr dr = FA · A - FA · B dr dr = FA · A-rB) d(r = FA · d(BA) = - FA d(BA)
第三节 动能定理
一、质点的动能定理 M1
M
a
F
M2
质点动能定理的微分形式：质点动能的微分，等于作用在质 点上的力的元功。
ma=F mat=Ft mdv/dt=Ft (mdv/dt) ds=Ftds mvdv=Ftds d(mv2/2) = d'W dEk = d'W
dEk = M Ftds
v2 v1
当质点系内质点间的距离发生变化时，内力功的总和一般不等 于零。 可变质点系： BA可变化，内力功之和不等于零 刚 体： BA不可变(刚体上任意两点的距离保持不变) 内力功之和等于零
内力作功举例： (1)汽车发动机的气缸内气体压力 (膨胀气体对活塞、气缸的作用力) ——内力功使汽车的动能增加 (2)机器中轴与轴承间的摩擦力，它们作负功，总和为负。 (3)人体活动 三、理想约束 理想约束：约束反力作功等于零的约束。 光滑接触面、光滑铰支座、固定端、一端固定的绳索、光滑铰 链、二力杆、不可伸长的细绳等 滑动摩擦力：摩擦力作负功，不是理想约束，但可将摩擦力作 为主动力，仍能应用动能定理 纯滚动：接触点为瞬心，滑动摩擦力作用点位移为零，滑动摩 擦力不作功。 ——纯滚动的接触点是理想约束。 在理想约束条件下应用动能定理求解速度、加速度非常方便。
大学物理之质点系的动能定理.ppt
注意
内力可以改变质点系的动能
第三章 动量守恒定律和能量守恒定律
3 – 5 保守力与非保守力 势能
物理学教程 （第二版）
二 质点系的功能原理
质点系动能定理 W ex W in Ek Ek0
W in Wiin Wcin Wnicn
i
非保守 力的功
Wcin ( Epi Epi0 ) Ep Ep0
物理学教程 （第二版）
的相互碰作撞用两. 物体互F相ex接触 时F 间in 极短而互p作i 用C力 较大
i
完全弹性碰撞 两物体碰撞之后， 它们的动能之
和不变 .
Ek Ek1 Ek2 C
非弹性碰撞 由于非保守力的作用 ，两物体碰撞
后，使机械能转换为热能、声能，化学能等其他形式
的能量 .
完全非弹性碰撞 两物体碰撞后,以同一速度运动 .
向相同. 若碰撞是完全弹性的, 求碰撞后的速度 v1和v2.
解 取速度方向为正向，由动
量守恒定律得
m1v10 m2v20 m1v1 m2v2
m1(v10 v1) m2 (v2 v20 )
由机械能守恒定律得
1 2
m1v120
1 2
m2 v220
1 2
m1v12
1 2
m2 v22
碰前
m1
v10
质点系的动量定理：系统所受合外力的冲量等
于系统动量的t增2 F量e
。
xdt
t1
n i 1
mi vi
n mi vi0
i 1
第三章 动量守恒定律和能量守恒定律
3 – 5 保守力与非保守力 势能
物理学教程 （第二版）
二. 质点系动量守恒定律
质点系所受合外力为零，系统总动量守恒。即
质点组动能定理
1.1 动能定理的推导
1.质点的动能定理
由牛顿方程可知，力的瞬时效应是使物体的运动出现加速度。除了瞬
时效应，力还有持续作用的效应。力对时间的积分将积累为冲量，对空间
距离的积分将成为功。动量定理表明，质点(组）动量的增量等于外力对
质点(组)的冲量。与此类似，动能的增量与力的功也有相应的数量关系。
函数，则在这区域的每一点上，都有确定的力。我们把这个空间区域称为力 场。若力不是时间t的显函数，则力场称为稳定场；反之，称为不稳定场。
如果一个力场的功只依赖于质点的始末位置，而与质点的轨道无关，则这 个力场称为保守场。否则称为涡旋场。物理学中的万有引力、弹性力和库仑 力都是保守力。摩擦力是非保守的，由于它的功总是消耗物体的能量，所以 也常称为耗散力。
对单一质点，由牛顿方程得
m dv F dt
质点组动能定理
用矢量 dr 标乘上式,则得
m dv dr F dr mdv dr F dr mv dv F dr
dt
dt
因为 dv2 dv v 2v dv ，所以上式变为
d
1 2
mv 2
F
dr
这个关系式被称为质点的动能定理。其物理意义是： 质点动能的元增量等于外力对质点做的元功。
的定义是:
V (x, y, z) U (x, y, z)
质点组动能定理
由此我们可以按 A
r
F dr
r0
M
M0 Fxdx Fydy Fzdz
算出
保守场所做的功 :
A
M
M0
F
dr
U
M
U
M0
V
M0
V
M
此式说明：保守力对质点所作的功等于其势函数的增量， 或等于势能的减量。
动能定理质点动能与力的关系
动能定理质点动能与力的关系动能定理是力学中的基本定律之一，它描述了质点的动能与所受外力之间的关系。
根据动能定理，质点的动能的变化等于作用在质点上的合外力所做的功。
这一定理为我们理解物体的运动提供了深入的观察。
1. 动能与力的定义首先，我们先来了解一下动能和力的定义。
动能是物体由于运动而具有的能量，通常用符号K来表示。
根据经典力学，质点的动能可以用以下公式表示：K = 1/2mv^2，其中m为质点的质量，v为质点的速度。
而力是物体之间相互作用的效果，是引起物体运动状态发生改变的原因。
力的大小通常用符号F表示。
2. 动能定理的表达形式动能定理可以用数学的形式来表示，即∆K = W，其中∆K表示动能的变化，W表示外力所做的功。
动能的变化可以用K₂- K₁来表示，即∆K = K₂ - K₁，其中K₂表示物体在某一时刻的动能，K₁则表示物体在另一时刻的动能。
功则是力在质点运动方向上的分量乘以质点在该方向上的位移，即W = F·d。
3. 动能定理的推导为了推导动能定理，我们先考虑单位时间内对质点做功的关系。
单位时间内力对质点做的功可以用∆W来表示，而质点在单位时间内速度的变化可以用∆v表示。
根据牛顿第二定律F = ma，可以将∆W表达为∆W = F∆r，其中a为质点的加速度，∆r为质点在单位时间内的位移。
将质点的速度记为v，则∆v可以表示为∆v = v₂ - v₁。
将力表示为F = ma，并将F和∆r进行合并得到∆W = m(v₂ - v₁)∆r。
将质点的质量m乘到括号里面得到∆W = mv₂∆r - mv₁∆r。
由于质点在各个时刻的位置与时间无关，因此∆r可以用∆t来表示。
代入恒定时间的定义，∆W = mv₂∆r - mv₁∆r可以简化为∆W = mv₂∆r - mv₁∆t。
将∆W表示为单位时间的功率P，即P = ∆W/∆t，则P = mv₂∆r/∆t - mv₁∆r/∆t。
因为v₂∆r/∆t等于v₂，v₁∆r/∆t等于v₁，所以P = mv₂ - mv₁。
65质点系的动能定理和机械能守恒定律
§6.5质点系的动能定理和机械能守恒定律一、质点系的动能1. 质点系动能的定义.质点系的总动能T 定义为质点系内每个质点动能之和, 即21121i i ni n i i v m T T ∑∑==== 2. 柯尼希定理.212t 2121i i n i c c v m v m T T T ′+=′+=∑= 式中c T 为位于质心的假想质点的动能, T ′为质点系在质心系中的动能.证明: 由i c i r r r ′+= 可知i c i v v v ′+= , 所以)()(2121121i c i c i n i i i ni v v v v m v m T ′+⋅′+==∑∑== 211212121i i n i i n i c i c i n i v m v v m v m ′+′⋅+=∑∑∑=== 由于0=′⋅=′⋅=′⋅∑∑c t c i i c i c i v m v v m v v v m , 则 212t 2121i i n i c v m v m T ′+=∑= 例题7 质量为m 、 半径为R 的匀质圆盘, 在Oxy 平面沿x 轴做无滑滚动, 盘心速度为0v , 如图所示, 求圆盘动能.解 盘心即为圆盘质心, 建立质心系y x C ′′如图. 则222121ωI mv T c += 220220212121Rv mR mv ⋅⋅+= 2043mv =二、质点系在惯性系中的动能定理和机械能守恒定律1. 质点系的动能定理.质点系的动能定理表述为: 在惯性系中, 质点系动能的微分等于质点系所受所有外力和内力的元功之和, 即∑∑==+=+=ni i i n i e ii e W W W W T 1)(1)()()(δδδδd i n i i i i ni e i r F r F d d 1)(1)(⋅+⋅=∑∑== 证明: 质点系内第i 个质点的动能定理为i i i i e i i r F r F T d d d )()(⋅+⋅=对n 个质点求和, 则)()(1)(1)(δδd d d i e i n i i i i n i e i W W r F r F T +=⋅+⋅=∑∑== 质点系动能的微分与内力元功有关.由于刚体内力做功之和为零, 即0δ)(=i W , 所以刚体动能的微分与内力元功无关.2. 内势能.从严格意义上讲动能与势能的转化, 要用一对保守力做功之和来度量.由于一对内力所做元功之和, 已归结为其中一个力在其受力质点相对另一质点的相对位移中所做元功, 即ij ij ij ij j ji i ij r F r F r F r F d d d d ±=⋅=⋅+⋅因此, 一对内力为保守力, 自然可以使用在§3-5中给出的等价定义中的任意一种来定义. 比如实际中涉及的内力均)(ij ij ij r F F =,若)(d d d )(ij i ij j ji i ij r V r F r F −=⋅+⋅ 则这一对内力为保守内力.为与质点力学中讨论的外势能)(e V区分, 一对内保守力的势能记为)(i V , 称为内势能.物理本质——内势能.外势能是对势能的一种理解方式, 是简化功能关系的一种方法.外势能的概念又必须存在, 否则完整的质点动力学就不能建立.3. 质点系的机械能定理和机械能守恒定律.对于第i 个质点所受保守外力)(e ic F , 可引入外势能)(e i V)()(d d e i i e ic V r F −=⋅则质点系总外势能∑==n i e ie V V 1)()( 对于第i 个质点与第j 个质点间的一对保守内力, 可引入内势能)(i ij V)(d d )(ij i ij ij ij r V r F −=⋅则质点系总内势能∑≠==n j i j i i ij i V V ,1,)()(21并把第i 个质点所受非保守外力所做元功记为)(nc δe i W ，把第i 个质点与第j 个质点间的一对非保守内力所做元功记为)(nc δi ij W ，则由质点系的动能定理,可导出∑∑≠==+=++n j i j i i ij ni e i i e W W V V T ,1,)(nc 1)(nc )()(δ21δ)(d 定义质点系总势能)()(i e V V V +=, 总机械能)()(i e V V T V T E ++=+=, 则上式称为质点系的机械能定理.作为其推论, 质点系的机械能守恒定律表述为:若在某一过程中, 质点系所受非保守外力均恒不做功, n i W e i ,,2,1,0δ)(nc ⋅⋅⋅=≡; 每一对内非保守力做功之和均恒为零, n j i W i ij ,,2,1,,0)(nc ⋅⋅⋅=≡δ且j i ≠,则在该过程中质点系的总机械能守恒,=++=+=)()(i e V V T V T E 常量质点系机械能守恒说明, 在运动过程中质点系的动能与势能可以相互转化, 但没有机械运动与其他形式的运动之间的能量转化.三、质点系在质心系中的动能定理质点系在质心系中的动能定理为i n i i i i n i e i i i ni r F r F v m T ′⋅+′⋅=′=′∑∑∑=== d d 21d d 1)(1)(21 亦与惯性系中的动能定理形式相同, 与内力元功有关.证明: 在作为非惯性系的质心系中讨论质点系运动时, 需考虑惯性力, 且视惯性力为外力. 由于各质点所受惯性力在质心系内做功之和0)(d d =′⋅−=′⋅−∑∑i i c i c i r m a r a m , 所以惯性力不在方程中出现, 定理形式与惯性系内定理形式相同.四、小结牛顿力学基本理论框架.一般情况下, 质点系力学的三个定理只能对质点系的运动进行整体描述, 而不能确定其中每个质点的运动细节.内力. 质心和质心系．从整体上研究质点系运动的基本思想是把其整体运动分解为以质心为代表的“平动”和相对质心系的运动.在质点系力学中三个基本定理有相对的独立性, 因此如何选取适当的定理去解决问题, 往往是成败的关键.例题8 绞车安装在水平梁上, 梁的两端搁在支座A 和B 上, 质量为1m 的重物向下做加速运动, 并通过不可伸长的轻绳带动滑轮转动. 滑轮质量为2m , 半径为R , 可视为匀质圆盘. 梁及支架总质量为3m , 其质心C 在AB 的垂直平分线上. 滑轮轴承光滑, l AB 2=, d AD =, 如图所示, 设初时各物体均为静止、 绳与滑轮间滑动.试求: (1) 重物1m 的加速度; (2)A 处支座对梁的作用力.解 先分析各物体运动情况……在重物下落过程中梁固定不动.(1)以重物、 绳和滑轮构成系统, 受外力g m W 11=, g m W 22=, NO F (NO F 沿竖直方向). 建立坐标系Oxyz 如图, 由对z 轴的角动量定理g Rm Rx R m x Rm t 1221)21(d d =+ 所以21122m m g m x +=(2) 以重物、 绳、 滑轮及梁构成了系统, 受外力g m W 11=, g m W 22=, g m W 33=, NA F , NB F , 建立BZ 轴与z 轴同向, 由对BZ 轴的角动量定理+−R x R m x m d l t 22121)2(d dNA lF g lm g m R d l g m d l 2)2()2(321−+−−+−=利用)2(2211m m g m x +=, 可求得 g lm g Rm g m m d l lF NA 3221))(2{(21+−+−= ]})2(2[)2(21211R m m d l m m g m +−+− 讨论:(1) 可以根据动能定理求x. 以)(21m m ++绳为系统, 由于在运动中只有保守力g m W 11=做功, 所以系统机械能守恒, 以o 为重力势能零点, 则0112221)(212121gx m gx m Rx R m x m −=−⋅+ 0x 为重物初始位置.(2) 当我们用角动量定理求x时, 系统选取要适当.(3) 用动量定理无法求出x. (4) 求出x后,用动量定理NO F g m g m x m −+=211 求出NO F , 再以3m 为系统求出NA F .选取系统、 定理和参考点(轴)的原则是: 尽量减少在方程中出现的未知量个数……(1) 选用动量和角动量定理时, 内力不在方程中出现;(2) 选用角动量定理时, 对参考点(轴)力矩为零的外力不在方程中出现;(3) 应用动能定理时, 不做功的外力及内力均不在方程中出现.优先选用守恒定律解决问题.例题9 一水平匀质细管长为L , 质量为0m , 能绕过管一端并与其固连的竖直轴转动. 轴质量可忽略, 轴承处光滑. 管内放有一质量为m 的小球, 如图所示. 初始时, 管的角速度为0ω, 小球位于管的中点, 小球相对管的速度为零. 设小球与管壁间无摩擦, 试求小球出口时的速率.解 以小球、 管和轴构成系统, 建立柱坐标系如图所示, 极轴沿管的初始位置. 系统受外力g m W 01=, g m W =2, NA F 和NB F 对z 轴力矩均为零,所以系统对z 轴角动量守恒. 设小球出口时管的角速度为ω , 小球速度为v , 则02020220)2(3131ωωωωL m L m mL L m +=+ 所以000)3(434ωωm m m m ++=由于系统所受所有外力、 内力均不做功, 所以系统机械能守恒2020202220)2(213121213121ωωωL m L m mv L m +⋅=+⋅ 故202000366928)3(4mm m m m m L v +++=ω请读者思考: 若小球与管壁间有摩擦, 对小球出口速度v 及径向速度r v有何影响?。
功能原理 机械能 质点系的动能定理功能原理
质点末动能 之和
N个质点初动能 之和
能点作 定系用 理的于 动质 能点 增系 量的 。力 这所 也作 叫的 做功 质， 点等 系于 的该 动质
质点系的动能定理
外力对质点所做 的功
质点系内一切内力所作 的功
质点系的动能的增量等于作用于质点系的一切外力做的 功与一切内力作的功之和。
质点系的功能原理
质点系内各保 守力做功之和
3-6 功能原理 机械能守恒定律质系的动能定理 质点系的功能原理
弹簧和物体（质点）构成系统.。 动 能 功 能
质点系的动能定理
W1=Ek1-Ek10； W2=Ek2-Ek20； W3=Ek3-Ek30； …………
作用力F所做 的功w
Eki Eki0 系统内 n个质 点
N个质点上的 力所作的功之 和
质点系内各非保 守力做功之和
势能增量
质点系的功能原理
初机械能
末机械能
质点系的机械能的增量等于外力与非保守力内力作 功之和，这就是质点系的功能原理
质点和质点系的动能定理
由动能定理，有
M
m2 g
sin
r
m2 g
cos
r
1 4
m1
2m2
r 22
得
2 M m2gr(sin f cos )
r
m1 2m2
将上式两边对时间t求导，并注意d/dt=ω，得鼓轮的角加速度为
2[M m2gr(sin f cos )]
r 2 (m1 2m2 )
目录
动能定理\质点和质点系的动能定理 【例8.6】 物块A质量为m1，挂在不可伸长的绳索上,绳索跨过定
T1=0
设物块下滑s=2m时的速度为v，其动能为
T2
1 2
mv2
51v2
在物块由静止到下滑2m 的过程中，
作用于物块上的重力的功为
W1 mg sin s 1000 N
2 2 m 1414 J 2
摩擦力的功为
W2 mg cos f s 1000 N
2 0.1 2 m -141.4 J 2
目录
动能定理\质点和质点系的动能定理
【解】 取鼓轮和重物组成的
质点系为研究对象，其上作用的 外力有：重物的重力m2g，斜面 的法向反力FN，摩擦力Ff，鼓轮 上的力矩M，以及鼓轮的重力和 轴承处的约束反力（图中未画 出）。
开始时，系统处于静止，其动能为
T1=0
设当鼓轮转过角时的角速度为，则重物的速度为 v=r
目录
动能定理\质点和质点系的动能定理 【例8.5】 一不变的力矩M作用在铰车的鼓轮上，轮的半径为r，
质量为m1。缠绕在鼓轮上的绳子系一质量为m2的重物，使其沿倾角
为的斜面上升（如图）。已知重物与斜面间的动摩擦因数为f，绳
子质量不计，鼓轮可视为均质圆柱。在开始时，此系统处于静止。
第13章质点系动能定理
1k 2
(12
22
)
初变形 1 未变形2
转动刚体上作用力的功
WM
2
mz (F )d
mz(F) C
W mz (F )(2 1)
1
力偶的功 WM M(2 1)
摩檫力的功 •两物有相对滑动, 摩擦力 作负功
vO O
P Fs
纯滚动时, 作用在速度瞬心P点 的摩擦力F 所作元功为
1
T ( 2i
mi )vC2
i
1 2
mi
vi2r
Te
Tr
质点系的动能(绝对运动动能)，等于系统跟 随质心平移的动能(牵连运动动能)与相对于质 心平移系运动的动能(相对运动动能)之和。
结论与讨论
正确计算刚体 平面运动时的动能
x
vA xA
OA
x
B
均质杆AB长度为l、质量为m , A端与小圆滚轮铰接，小圆滚轮
dt
dt
力(偶)矩的功率: P W M d M
质点系动能定理 dt
dt
质点： m dv F m dv v F v
d( 1 mv 2 ) 2
P
dt
质点系：d(
1
2 dt
mv
2
)
dt
P
dT dt
dt
P — 功率方程
dT Pdt dT W －微分形式
W
O
Ax
为求物块A下降至 任意位置(x)时的加速 度，可以采用哪一个
动力学定理？
W x
结论与讨论
关于动能定理 与
3.3质点系的动能定理
3.3.2 一对内力的功 系统内任意二质点1 系统内任意二质点1、2
r int r int 位移d 一对内力 F21 F12 位移dr1
z
dr1
1 •
• • •
dr2
O x
Fint Fint dr2 12
*例3.3-2滑块A置于光滑的水平面上，物体B 3.3- 滑块A置于光滑的水平面上，物体B 放在滑块A 假设滑块A足够长． 放在滑块A上，假设滑块A足够长．现用外力 F拉动A由静止开始运动，则B在A上滑动，A、 拉动A由静止开始运动， 上滑动， 间的滑动摩擦因数为µ． B间的滑动摩擦因数为 ．若B在A上向后相对 滑动的距离为． 的质量分别为m 滑动的距离为．设A、B的质量分别为 A、 mB．求在此过程中A、B间的一对摩擦力所做 求在此过程中A 的功之和为多少？ 的功之和为多少
S-l l F
解：以地面为参考系 设A滑动的距离为S
B A f
3.2 3.3质点系的动能定理和机械能守恒 质点系的动能定理和机械能守恒 质点系的动能定理和机械能守恒
r r A1 = f ⋅ S = fS cos π = − fS
S-l B A
l F
B滑块对地 移动S-l 摩擦力f´做功
f r r (f '= −f) r r r A2 = f ′ ⋅ ( S − l ) = f ( S − l ) cos 0 = f ( S − l )
21 •
2
r1 r2
一对内力的功
r int r r int r r int r r F21 ⋅ d r2 + F12 ⋅ d r1 = F21 ⋅ d(r2 − r1 )
§4.2质点和质点系动能定理
dA F dr
F
s1
Ft ds mat ds O dr dset dv t s0 m ds mvt dvt dt 1 d ( mv t 2 ) d ( 1 mv 2 ) 2 2 1 E k mv 2 称为质点的动能 2
dA Nm drmM 0
Nm
drmM
m M
fr
在无相对位移或相对位移与一对力垂直的情况 下，一对力的功必为零。
三、质点系动能定理
质点系：n个质点组成
第i个质点
Ai外 Ai内 Eki Eki 0
所有质点
i 1
Ai外 Ai内 Eki Eki
3、分析动能改变
5、求解方程
例2
已知： m、M， μ1、μ2， v 解：（一）质点系动能定理 质点系：卡车、木箱 由质点系动能定理，得：
v
L
f2
求： l 、L
f1
l
m
f1'
2 2(m M ) gL 1mgl 0 1 ( M m ) v 2
再以木箱m为质点，应用质点动能定理：
解得：
Mv2 L 2 g[ 2(m M ) 1m]
l
v2 2 1 g
L
2 1mg( L l ) 0 1 mv 2
（二）质点动能定理
以木箱m为质点，应用质点动能定理：
1mg( L l ) 0 mv
1 2 2
f1
v
L f2
l
m
对卡车M应用质点动能定理：
f1'
2 1mgL 2(m M ) gL 0 1 Mv 2
质点系的动能定理
WF
k 2
(12
2 2
)
100 (0 0.52 ) 2
12.5 J
合力的功为 W Wi 24.5 0 8.5 12.5 3.5 J
§13-2 质点和质点系的动能
物体的动能是由于物体运动而具有的能量, 是机械运动强 弱的又一种度量。
一. 质点的动能
T 1 mv 2 2
动能是一个瞬时的、与速度方向无关的正标量, 具有与功相同
(12
l0 )2
2 2
)
]
故弹性力的功只与弹簧在初始和终了位置的变形有关, 而与力
作用点的路径无关。
3. 定轴转动刚体上作用力的功 设刚体绕 z 轴转动, 在其上M点作用有力F, 则
δW F d r F Rd cos Ft Rd M z d
其中Ft 为力F 在作用点M处的轨迹切线上的投影。
v12
1 2
Pr2 2g
12
v1 l , 1 v1 / r l / r
T2
Ql 2 6g
2
P 2g
(l)2
Pr2 4g
l r
2
2Q 9P 12g
l 22
W M
根据动能定理, 得
2Q 9P l22 0 M
①
12g
2 l
3gM
2Q 9P
将①式对t 求导数, 得
6gM (2Q 9P)l 2
, 已知端点B的瞬时速度为vB , 如图所示。求杆AB的动能。
解: 滑杆作平面运动，其速度
瞬心为P ，角速度w为
vB 2vB
l/2 l
质心速度为
vC
l
2
vB
则杆的动能为
T
1 2
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1 n 2 T mi vi 2 i 1
1 2 T mv 2
vO mi viO vO mvCO 若令点O'与质心C重合, 则 1 2 1 2 T mv C mi viC 得： 2 2
1 1 1 2 2 T mi vi mi vO mi vi2 m v O i O viO 2 2 2 1 1 2 2 mv O mi viO vO mi viO 2 2
动能
一、质点的动能 设质点的质量为m，速度为 v 二、质点系的动能
由速度合成定理：
vi vO viO 2 2 2 vi vi vi (vO viO ) (vO viO ) vO 2 v v v O iO iO
vC mvCC 0
柯尼希定理：
质点系的动能等于随同其质心平动的动能 与相对其质心运动的动能之和。
三、刚体的动能 1.平移刚体的动能：
1 1 1 T mi vi2 mi v 2 mv 2 2 2 2 2.定轴转动刚体的动能：
1 1 1 2 T mi vi2 (mi i ) 2 J z 2 2 2 2
1 1 2 T mC J C 2 2 2
例：匀质杆AB长l，质量为m，滑块B的 质量为m，作纯滚的圆柱A的质量为 半径为R。在运动过程中θ =θ (t)，试写 出在θ =45°瞬时的系统动能。
解： v A
T AB
2 l 2 l , v C , vB l 2 2 2
3.刚体作平面运动 设刚体上任一质点到速度瞬心的垂直距离为 i，则该 点的速度为 i i 1 2 1 1 2 2 2 T J T mii ( mi i ) P 2 2 2
2 J P J C mC
1 2 T ( J C m C ) 2 2
A
vA
TB
1 1 T mv J 2 2
A
3 2 2 1 2 1 1 v m ( l ) ( m R )( ) m1l 2 2 2 2 R 8
2 2 A 2 1 1
5 3 T T T T ml m l 12 8
2 2 2 AB B A 1
2
vB
I AB
C
B
vC
1 2 1 2 mvC J C 2 2 1 l 2 1 ml 2 2 1 2 2 m( ) ml 2 2 2 12 6
1 2 1 2 2 1 2 2 mvB m( ) ml 2 2 2 4
2 2 A 1 A A