质点系动能定理的微分形式

在理想约束的条件下，质点系的动能定理可写成以下的形式
dT Wi (F) T2 T1 W (F) 16
例3、均质圆轮半径为R、质量为m，圆轮对转轴的转动惯量
为JO。圆轮在重物P带动下绕固定轴O转动，已知重物重量为
W。求：重物下落的加速度 解：取系统为研究对象，设重物下落S时，速度为v，
1、力的功是代数量。
2、单位：焦耳（Ｊ）；1J 1N1m
3、
2
时,正功；
2
时,功为零；
2
时,负功。
3
二．变力的功 质点M在变力 F 作用下沿曲线运动。
可视力为F直在线无，限d小r 位可移视为dr过中点可M视的为切常线力。，在经一过无的限一小小位段移弧中长力ds
作的功称为元功，以 W记之。于是有
W F cos ds
1 2
mv12
W
动能定理的积分形式
15
2．质点系的动能定理
对质点系中的一质点
M
i
：
d
(
1 2
mi
vi
2
)
Wi
对整个质点系，有d (12mivi2)Wi d (12mivi2)Wi
即 dT Wi 质点系动能定理的微分形式
将上式沿路径 M1M 2 积分，可得
T2 T1 W 质点系动能定理的积分形式
W F dsF rd mz (F)d
2
W mz (F )d
1
作用于转动刚体上力的功等于力矩的功。
如果作用力偶 m , 且力偶的作用面垂直转轴，
2
W md
1
若m = 常量,W则： m(2 1) m
8
4．摩擦力的功
(1) 动滑动摩擦力的功：W M1M2 F ds M1M2 fNds
2
4
14
§12-3 动能定理
1．质点的动能定理：
ma F
d dt
( mv
)
F
两边点乘以 dr v dt ，有
d dt
mv
vdt
F
dr
而
d dt
( mv
)v
dt
m 2
d
(v
v
)
d
(wenku.baidu.com
1 2
mv2
)
因此 d ( 1 mv 2 ) W 动能定理的微分形式
2
将上式沿路径M1M
积分，可得
2
1 2
mv22
10
§12-2 质点和质点系的动能
物体的动能是由于物体运动而具有的能量，是机械运动强弱的
又一种度量。
一．质点的动能
T 1 mv 2 2
瞬时量,与速度方向无关的正标量,具有与功相同的量纲,单位也是J。
二．质点系的动能 T 12mivi2
对于任一质点系：（ vi ' 为第i个质点相对质心的速度）
T
1 2
(3) 滚动摩擦阻力偶m的功
若m = 常量则 W m mRs
C
O9
五．质点系内力的功 当质点系内质点间距离可变化时，内力功的总和一般不等于0； 但刚体内力功之和恒为0 。 六．理想约束反力的功
约束反力元功为零或元功之和为零的约束称为理想约束。 约束力的功之和均等于0，如果不是理想时，应考虑摩擦力的 功，此时可将摩擦力当作主动力看待；
（自然形式表达式）
M1
M1
M2
F dr
（矢量式）
M1
M2
Xdx Ydy Zdz （直角坐标表达式）
5
M1
三．合力的功
质点M 受n个力 F1,F2 ,,Fn 作用合力为 R Fi 则合力 R 的功
M2
M2
W R dr (F1 F2 Fn )dr
M1
M1
M2
M2
M2
F1dr F2 dr Fn dr W1 W2 Wn
力在全路程上作的功等于元功之和，即 W
s
F cosds
0
4
元功： W Fcosds
F ds F dr
Xdx Ydy Zdz
(F Xi Yj Zk , dr dxi dyj dzk
F dr Xdx Ydy Zdz)
力 F 在曲线路程 M1M2 中作功为
M2
M2
W F cosds F ds
M1
M1
M1
即 W Wi
在任一路程上，合力的功等于各分力功的代数和。
6
四．常见力的功
1．重力的功
W Wi mi g(zi1 zi2) Mg(zC1 zC2) mgh
质点系重力的功，等于质点系的重量与其在始末位置重心的 高度差的乘积，而与各质点的路径无关。
2．弹性力的功
W
k 2
(12
N=常量时, W= –fN S, 与质点的路径有关。 动摩擦力的功恒为负值，它不仅取决于质点的始末位置， 且与质点的运动路径有关；
(2) 圆轮沿固定面作纯滚动时，滑动摩擦力的功 ＝0
正压力 N ，摩擦力 F 作用于瞬心O处，而瞬心的元位移
dr vOdt 0 W F dr F vOdt 0
2
1 4
mR2 2
13
[例2] 基本量计算 (动量，动量矩，动能)已知m,R,L,v
p
mvC
1 6
mL
LO JO
[ 1 mL2 m( L )2 ]
12
6
1 mL2
9
T
1 2
JO 2
1 mL2 2
18
p mR p mv
LO
3 2
mR
2
LC
1 2
mR
2
T 3 mR2 2
4
T 1 mv2 1 mR2 2
1 2
M
(d
2 2 )
1 2
J C 2
1 2
M
v C2
12
例1
写出下列各刚体的动能表达式。已知：
vC
,
m,
l
,
R,
Ta
1 2
J z 2
1 1 ml2 23
2
2 3
mvC2
Tb
1 2
J C 2
1 2
m vC2
1 2
1 2
mR2
2
1 2
m
v C2
3 4
m
v C2
TC
1 2
J z 2
1 2
1 2
mR2
2 2
)
k—弹簧的刚度系数，表示使弹簧发生单位变形时所需的力；
弹性力的功只与弹簧的起始变形和终了变形有关，而与质点
运动的路径无关。
7
3．定轴转动刚体上作用力的功----力偶的功 设在绕 z 轴转动的刚体上M点作用有力 F ，计算刚体转过
一角度 时力 F 所作的功。M点轨迹已知。
F F Fn Fb
1
第十二章 动能定理
§12–1 力的功 §12–2 质点和质点系的动能 §12–3 动能定理 §12–4 功率 ·功率方程 ·机械效率 §12–5 势力场 ·势能 ·机械能守恒定理 §12–6 动力学普遍定理及综合应用
2
12-1 力的功
力的功是力沿路程累积效应的度量。 一．常力的功
W FS cos F S
MvC2
1 2
mi
vi
'2
柯尼希定理
11
三．刚体的动能
1．平动刚体：T
12
mi
vi
2
12(mi
)v
2
1 2
Mv2
1 2
MvC2
2．定轴转动刚体：T
1 2
mi vi 2
1 2
(
miri2 ) 2
1 2
J z2
3．平面运动刚体：
T
1 2
J P 2
（P为速度瞬心）
J P JC Md 2
1 2
J C 2