理论力学：质点系的动能
动能定理
只要A、B两点间距离保持不变,内力的元功和就等于零。
刚体所有内力作功的和等于零。
4．理想约束的约束力
约束力元功为零或元功之和为零的约束称为理想约束。
将作用在质点系的外力分为主动力和约束力，则 动能定理为
T2 T1 W i Wi
解：车床稳定运转时，
例8 均质细杆长为l，质量为m1，上端B靠在光滑的墙上，下 端A以铰链和圆柱体的中心相连。圆柱体质量为m2，半径为R， 放在粗糙的地面上，自图示位置由静止开始作纯滚动。如果初 瞬时杆与水平线的夹角为θ=45°，求初瞬时A点的加速度。
解题分析：
本题所求的是初始瞬时的加速度，可采用以下求得 结果。 1、刚体平面运动微分方程，将圆柱和杆分别取为研 究对象，建立求解；
N=常量时, W= –f´N S, 与质点的路径有关。 (2) 圆轮沿固定面作纯滚动时，滑动摩擦力的功
dr vC dt0
W F dr F vC dt0
(3) 滚动摩擦阻力偶m的功 若m = 常量则
W m m
s R
§9-3
动能定理
质点系动能定理的微分形式
dT Wi
I P I C Md 2
例2 已知小圆环B的质量为m，OA=r，直角弯杆OAB的角 速度为ω，试求小圆环B的动能。
例2 已知小圆环B的质量为m，OA=r，直角弯杆OAB的角 速度为ω，试求小圆环B的动能。 解:
r 2r ve OB cos30 3
2 v v tan 30 r 3
线为水平线, 盘A上作用矩为M(常量)的一力偶；重物D重Q。问
下落距离h时重物的速度与加速度。(绳重不计，绳不可伸长，
第八章 动能定理
第八章动能定理引言应用动力学基本方程是解决运动变化与力之间的关系的基本方法，但在许多实际问题中，特别是研究运动过程较复杂的质点系问题时，要列出每一个质点的运动方程十分困难。
动能定理建立了物体动能变化与受力所作的功之间的关系，应用动能定理解决动力学问题，淡化了具体的运动过程，使计算得到简化。
在物理中，质点的动能定理已作为重点内容进行了研究。
在理论力学中，动能定理的基本意义与物理所讲的完全相同。
为了避免重复，在本章，重点对动能定理的应用范围进行拓宽。
基本要求1、加深对功和动能概念的理种功和动能的求法，2、加深对动能定理的理解，理的应用。
3、了解功率和效率的概念第一节力的功一、功的概念物体受力的作用后，其运动状态将发生改变，这种改变不仅与力的大小和方向有关，还与物体在力的作用下所走过的路程有关。
功就是描述力在一段路程中对物体的积累效应，我们将（不变的）力Ｆ在物体运动方向上的投影F cos 与物体所走过的路程S的乘积，称为力Ｆ在路程S中对物体所作的功。
即：W F S =cos α在上式中，α表示力F 与运动方向的夹角，α<90°时，力作正功；反之力做负功。
可见，功是一个只有大小、正负而没有方向的量，是一个代数量。
功的单位由力和路程的单位来确定，在国际单位制中，功的单位是焦耳（J ），即：焦耳＝牛顿⨯米（1J 1N m =⋅）若在变力Ｆ作用下物体沿曲线运动，则可将路程S 分成为无限多个小微段dS，并将dS 视为直线，将该微段内的力Ｆ视为常力。
力在此微段上所作的功称为元功，用dW 表示。
即dW F dS =⋅cos α若求变力Ｆ在一段路程S 上所作的功，可对元功积分。
即：W dW F dSSS ==⎰⎰cos α二、几种常见力的功 1、重力的功重力的功等于物体的重力与物体重心始末位置的高度差的乘积，即W G h =±可见，重力的功只与物体的始末位置有关，而与物体运动的具体路径无关。
功能原理完整版
0 引 言在物理学中，如何选择适当的参照系是非常重要的，在力学中通常选用惯性系，但有时也可选用非惯性系。
功能原理在惯性系中成立，在非惯性系中作适当处理后也成立，有时用它解题很方便。
本文就给出这样的例题。
关于非惯性系参照系中，在《理论力学》中只是研究动力学方程，缺少的是非惯性系中的功能原理。
本文经过推导得出质点系非惯性系的功能原理。
1 功能原理的研究1.1 质点系的动能定理质点系也是实际物体的一种理想模型，它可以当作有限个质点组成的一个系统。
设一个质点系有N 个质点组成，其中第i 个质点的质量为m i ，第j 个质点作用在m i 上的力（内力）为f ij ，这N 个质点以外的其他物体作用在m i 上的合力（外力）为f i ，则由牛顿运动定律()11Ni i i ij ij j dv m f f dt ==+-∑δ （1-1）式中i v 是i m 的速度，而10ij i ji j=⎧=⎨≠⎩， 当， 当δ （1-2）当i m 的位移为i dr 时，以i dr 点乘上式便得()()21211Ni i ij ij i i i j f dr f dr dm v =+-=∑ δ （1-3）将上式对所有的N 个质点求和，便得()21211111N N NN i i ij ij i i i i i j i f dr f dr d m v ====⎛⎫+-= ⎪⎝⎭∑∑∑∑ δ （1-4） 令1Niii dA f dr ==∑ 外， （1-5）()111N Nij ij i i j dA f dr ===-∑∑ 内δ， （1-6）分别代表外力和内力作的功，则（1-4）可写作：2121N i i i dA dA d m v =⎛⎫+= ⎪⎝⎭∑外内。
（1-7）这就是质点系的动能定理。
1.2质点系统的功能原理质点系的内力可以分为保守内力和非保守内力。
例如，质点系内各质点的万有引力是保守内力；质点间的摩擦力是非保守内力。
理论力学复习题(武汉理工大学)
p y - 0 y = ∑I (e ) y
( pz - p0 z = ∑I ze )
（2）质点系的动量守恒定理
若 ∑Fi 若 ∑Fi
(e ) (e )
= 0, 则 p = p0 = 恒矢量 = 0, 则 p = p0 = 恒矢量
4
（3）质心运动定理
dvC (e ) ∑ i m = F dt
maC = ∑ i F
应用时，前一式取其投影式。
e maCy Fy e J C M C ( F ) maCx Fx
e
n e maC Fn e J C M C ( F ) ma Ft
t C
7
e
四 动能定理 （1）质点系的动能定理 （2）功率方程 （3）机械能守恒定律
mg
a
B
mg
14
（1）： M 0
P
2 FEH m( 4a 3g ) 0
K
C E 1 2mR 2 FEH 2 R 3maR 3mgR 0 2 FEH m( 4a g ) 0 （2）： M 0 A H D 1 2mR 2 2 FEHR m( g 2a ) R 0 2 2 FCy B 1 R a FCx 2mR 2 C 2 1 1 得： a g aA 2a g 2mg FEH 6 12 2a A FEH 2ma F 4 FEH mg mg 1 2mR 3 2 D P 2ma 2mg ma a B mg 15
M IO M IZ J z
(1) (2)
0
FIR
M IO
简化为一主失
FIR maC
惯性力系简化为一主矩 则
理论力学第12章动能定理
合力之功定理
合力所作的元功等于各分力的元功的代数和；合力在质点
任一段路程中所作的功，等于各分力在同一路段中所作的功的 代数和。
W
M2 M1
FR
dr
M2 M1
Fi
dr
Wi
5
四、几种常见力的功
1、重力的功
Fx Fy 0
W12
z2 z1
mgdz
mg(z1
z2 )
Fz mg
W 12 mgh
即: dT Wi 质点系动能定理的微分形式
T2 T1
W 12
质点系动能定理的积分形式
质点系动能的改变量，等于作用于质点系上的所有力在同一运 动过程中所作的功的代数和。——质点系积分形式动能定理
16
关于功的讨论
1．质点系内力的功
W
F drA F'drB
F drA F drB
vi vC vir
于是有：
T
1 2
mvC2
12mivi2r
质点系的动能等于质点系随同质心C的平动的动能与质点系相对于 质心C运动的动能之和。——柯尼希定理。
13
三．刚体的动能
1．平动刚体
T
1 2
mi
vi
2
1M 2
vC 2
2．定轴转动刚体
T
1 2
mi vi 2
1 2
(
miri2 ) 2
V k 2 δ 为质点在位置M时的弹簧的变形量。
2
三. 机械能守恒定律
T1 V1 T2 V2 机械能守恒.T+V称为机械能
质点系在仅有势力作用下运动时，其机械能保持不变。
质点系在非有势力作用下运动，机械能不守恒。在质点系的 运动过程中，机械能和其他形式的能量之和仍保持不变，这 就是能量守恒定律。
理论力学第六章
由 动能定理 FS
由 动 2 mv c 能 4 对t求导，得 C 3 mvC a定 Fv C 理 2 故 Fr J C α
3
v
m
r
C
F
C
F
Cv
S
Cv
即动量矩定理
6-2 质点系动能定理
d LC dt
v
MC
v
6-2-1 动能定理的三种形式 问题 3 图(a)系统由静平衡位置转动 角， 此时，系统势能以静平衡为“0”，
V 1 2 k( l 2
k
) 2 对吗?为什么?
l 2
l 2
对！弹簧静平衡力与重力在转动时仍平衡， 其功之和为零，可同时不考虑。
k
a
又如图(b)所示:
V 1 2
6-2 质点系动能定理
O
m
k
2
b
6-2-2 动能定理的应用 1. 应用特点 (1)与位形变化有关 (突出空间过程) 已知运动求力，由 T W F
FT
WG GS sin
WF 0 ,
N
S
C
WF 0 ,
T
G
C
FS
FN
WF 2 FS S
S
6-1 功与动能
6-1-1 力的功
2.内力的功
一对内力, FA -FB
d W FA drA FB drB
FA drA drB FA drAB
Cv
求 ,v 问题 2均质轮在OA杆上滚动，已知 m,r,l,ω1求Cr 轮 T 。
T 1 2 m vC
2
1 2
JC
2
理论力学 动能定理
第11章动能定理即质点系的动能等于其随质心平BCθABθCPA2rOr C力的功2rOr CAP2rOr CAP2rOr CAPs汽车驱动问题能量角度：汽缸内气体爆炸力是内力，不改变汽车的动量，但使汽车的动能增加。
动量角度：地面对后轮的摩擦力是驱动力，使汽车的动量增加，但不做功，不改变汽车的动能。
内力不能改变质点系的动量和动量矩，但可以改变能量；外力能改变质点系的动量和动量矩，但不一定能改变能量。
例题11-8水平悬臂梁AB，B端铰接滑轮B，匀质滑轮质量m1，半径r；绳一端接滚，轮C，半径r，质量m2视为质量集中在边缘；绳另端接重物D，质量m3。
求重物加速度。
CωDv BωCv 解：末位置是一般位置hconst 01==T T =2T 2321D v m 221B B J ω+221CP J ω+运动学关系rr v v B C C D ωω===2121rm J B =2222222rm r m r m J P=+=2321222121Dv m m m T ⎟⎠⎞⎜⎝⎛++=gh m W 312=CωDv BωCv h1212W T T =−gh m T v m m m D 30232122121=−⎟⎠⎞⎜⎝⎛++对t 求导h g m vv m m m D D &&33210)221(=−++Dv h =&D D a v=&gm m m m a D 3213221++=例11-9匀质圆盘和滑块的质量均为m。
圆盘的半径为r。
杆平行于斜面，其质量不计。
斜面的倾斜角为θ。
圆盘、滑块与斜面的摩擦因数均为μ。
圆盘在斜面上作纯滚动。
试求滑块下滑加速度。
1212W T T =−01=T 2222212121mvJ mv T A ++=ω解()sF F mgs mgs W B A +−+=θθsin sin 12θμcos mg F F B A ==取导221,mrJ v r A ==ω2245mvT =()θμθcos sin 2452−=gs v a v v s==&&,()θμθcos sin 54−=g a F A 是静摩擦力，理想约束，不作功。
第十二章 动能定理
2. 受力分析 只有重力做功。
3. 建立动力学方程 用动能定理。
v C
A
c
θ
R
★理论力学电子教案
vC (R r) vC / r (R r)/ r
第12章 动能定理
T1 0
T2
1 2
m vC2
1 2
JC2
3 4
m(R
r )22
W12 mg (R r)(1 cos )
力功之和可以不为零。如引力。
2. 刚体间的理想约束做功之和为零。
为什么？
★理论力学电子教案
第12章 动能定理
12
五、功率
单位时间内力（或力偶）所做的功。
P
W
F
dr
F
v
dt dt
力做功之功率
或P W M d M 力偶(力矩)做功之功率
dt
dt
功率的单位：瓦(W)
1.重力功
F FW k
W12
M 2 F
dr
z2
FW
dz FW
z1 z2
M1
z1
2.弹F性力k功r l0 r0
其中r0为r方向的单位矢量，l0为原长
W
F
dr
kr
l0 r0 dr
kr l0 r dr kr l0 dr r
1W 1N 1m / s
★理论力学电子教案
第12章 动能定理
13
例题 鼓轮内半径为r，外半径为R，在常力F作用下作 纯滚动。试求F在s上所作的功。
动能定理
X=0,Y=0,Z=-P
2
理论力学讲义
由求功的解析表达式有：
W = − ∫ Pdz = P( z1 − z 2 )
z1 z2
可见重力的功等于质点的重量与起始位置的高度差的乘机， 与质点运动的路 径无关。当质点位置降低时，功为正值；反之，功为 负值。
2 弹性力的功：
设质点与长为 l 0 的弹簧相连沿轨迹 A1 A2 ，由 A1 移 至 A2 。设 A 点矢径为 r ，单位矢径为 r0 ，则
式中 v 是 F 作用点的速度 在 N 一定的情况下， Fτ 与 v 成反比。如汽车上坡时，由于需要较大的牵引 力，故一般选用低速挡。 作用在定轴转动刚体上力的功率 dϕ δW N= = Mz = M zω dt dt 功率的量纲：
[N ] = [W ] [T ]
在国际单位制中，功率单位为： 瓦特（w） 瓦特=J / s （kw）
x=
∴v =
mg ， k
m ⋅g k
§13-3 质点系的动能定理
1. 质点系的动能： 质点系的动能等于质点系中各质点动能之和。即：
n 1 2 T = ∑ mi v i i =1 2
下面将给出刚体动能的计算公式： （1） 平动刚体的动能：
n 1 1 2 1 2 T = ∑ mi vi = vc ⋅ ∑ mi = Mvc2 2 2 i =1 2
[W]=[F][L]
在 SI 中，功的单位为：J（焦耳） 。1J=1Nm 在工程单位制中，功的单位为：kg f m. 下面介绍几种常见力的功的计算方法： 三．常见力的功：
1 重力的功：
设质点重 P，由 M 1 ( x1 , y1 , z1 ) 处沿曲线移 至 M 2 ( x 2 , y 2 , z 2 ) 。重力的投影为：
理论力学课件：动能定理
动能定理
【例12-8】 C618车床的主轴转速n=42r/min时,其切削力
P=14.3kN,若工件直径d=115mm,电动机到主轴的机械效率
η=0.76。求此时电动机的功率为多少?
解 由式(12-12)得切削力P 的功率:
动能定理
12.5 势力场 势能及机械能守恒定理
动能定理
动能定理
12.4 功率 功率方程
1.功率
在单位时间内力所做的功称为功率。它是衡量机器工作
能力的一个重要指标。
δW 是dt时间内力的元功,则功率为
动能定理
由于元功为δW =Ft·ds,因此
即,力的功率等于切向力与力作用点速度的乘积
力矩的元功为δW =M·dφ,则
即,力矩的功率等于力矩与物体转动角速度的乘积。
动能定理
动能定理
12.1 力的功
12.2 质点 质点系的动能
12.3 质点与质点系的动能定理
12.4 功率 功率方程
12.5 势力场 势能及机械能守恒定理
12.6 动力学普遍定理及综合应用
思考题
动能定理
12.1 力 的 功
工程实际中,一物体受力的作用所引起运动状态的变化,
不仅取决于力的大小和方向,而且与物体在力的作用下经过
的功。
动能定理
图12-15
动能定理பைடு நூலகம்
【例12-4】 在图12-16中,为测定摩擦系数f,把矿车置于
斜坡上的A 点处,让其无初速下滑。当它达到B 点时,靠惯性
又往前滑行一段路程,在C 点处停止。求摩擦系数f0,已知S1、
S2 和h。
图12-16
动能定理
质点系的动能定理
第八章 动能定理
第八章 动能定理
第八章引言 §8-1 力 的 功 §8-2 质点和质点系的动能 § 8-3 动能定理 §8-4 功率.功率方程.机械效率
动能定理例题
功率方程例题
机械能守恒定律例题 综合应用例题
§8-5 势力场.势能.机械能守恒定律
§8-6 普遍定理的综合应用举例
第八章 动能定理
能量转换与功之间的关系是自然界中各种运动形式的普遍 规律，在机械运动中则表现为动能定理。 不同于动量定理和动量矩定理;
动能定理: 从能量的角度来分析质点和质点系的动力学问题， 有时是更为方便和有效的。同时，它可以建立机械运动与其 他运动形式之间的联系。 本章将讨论力的功、动能和势能等重要概念;
推导动能定理和机械能守恒定律; 将综合运用动量定理、动量矩定理和动能定理分析较复杂 的动力学问题。
2. 弹性力的功
设物体受弹性力; 作用点 A 的轨迹为曲 线A1 A2。 在弹性范围内， 弹性力的大小满足：
F
dr
A0
A dr
A2
r
r2
1
A1
r1
O
r0
2
F k
l0
力的方向指向自然位臵（弹簧未变形时端点的位臵A0） 以点O为原点，设点A的矢径为r，其长度为r。 令沿矢径方向的单位矢量为r0，弹簧的自然长度为l0。 F k (r l0 )r0 则弹性力
k 2 W12 ( 1 22 ) 2
F
A0
A dr
轨迹A1 A2是空间任意曲线。 弹性力作功只与弹簧始末 的变形量有关； 与力作用点A轨迹形状无关 1 δ1＞δ 2时，弹性力作用正功； δ1＜δ 2时，弹性力作负功。
理论力学答案完整版(清华大学出版社)10
子 C 沿水平轨道滚动而不滑动，试求重物 A 的加速度。
解： 取整个系统为研究对象，自由度为 1。设重物速度为 vA ，则轮
题 10-9 图
的角速度 ω = vA ，轮心速度为 R−r
vO
=
R
r −
r
vA 。系统的动能为
( ) T
拉格朗日方程的普遍形式
d dt
∂L ∂q& j
− ∂L ∂q j
= Q′j
( j = 1,2,..., m)
式中 Q′j 为非有势力对应的广义力。
矢量方法
动量法：动量定理
动量矩定理 质心运动定理 定轴转动微分方程 平面运动微分方程
质点系统动力学
动静法
动能定理
能量方法
拉格朗日方程
3 保守系统拉格朗日方程的初积分
10-3 质量为 m1 的匀质杆，长为 l，一端放在水平面上， 另一端与质量为 m2、半径为 r 的匀质圆盘在圆盘中心 O 点 铰接。圆盘在地面上作纯滚动，圆心速度为 v。求系统在此
题 10-3 图
位置的动能。
解：杆作平移，动能为
T1
=
1 2
m1v2
；
圆盘作纯滚动，动能为
T2
=
1 2
m2v2
+
1 2
mivi
⋅ vi
，
其中 n 为系统中的质点数目，可以是有限或无穷，mi 和 vi 分别为各质点的质量和速度。 平
移刚体的动能 T = 1 mv2 ， 2
其中 m 为平移刚体的质量。
定轴转动刚体的动能
T
=
1 2
理论力学动能定理
的等效力（其力矢为力系的主矢）在质心的位移上所作
的功。
③ 作用在定轴转动刚体上的力的功
作用在定轴转动刚体上的力系的元功为
dW dWi ω M z (Fi )dt M z (Fi )d M z d
作用在定轴转动刚体上的力系的功等于力系向转轴 简化的等效力偶（其力偶矩为力系对转轴的主矩）在刚 体的角位移上所作的功。
drAB
B
drAB // FB
y
drAB可以分解为平行于FB与垂直于FB的两部分，即
drAB drAB // drAB
内力元功之和
dW i FB drAB FB (drAB// drAB ) FBdrAB //
当A、B的距离变化时，内力的元功之和不等于零。
工程中常用的弹簧力的功就是内力的功。设弹簧的
② 作用在平移刚体上的力的功
设力F在质点系上的作用点的速度为v，则在时间dt
内，力F的元功为
dW F dr F vdt
刚体平移时，在任一瞬时刚体上的各点的速度相同， 则作用在刚体上的力系的元功为
dW Fi dri Fi vdt Fi drC FR drC
例如质点系在重力场中各质点的z坐标为 时为零势能点位置，则各质点z坐标为 时的势能为
z10 , z20 ,, zn0
z1 , z2 , , zn
V mi g ( zi zi 0 )
质点系的重力势能可写为
V mg ( zC zC 0 )
(4) 有势力的功
设某个有势力的作用点在质点系的运动过程中，从 点M1到点M2，该力所作的功为W12。若取M0为零势能点， 则从M1到M0和从M2到M0有势力所作的功分别为M1和M2 位置的势能V1和V2。因有势力的功与轨迹形状无关，而 由M1经过M2到达M0时，有势力的功为
动能定理
解：设系统从初始到任意位置，重
物上升s。画出所有主动力和相关运
动量，如图。
s
OB
设初始动能：T0 = 0 任意位置动能：
A C
Q va
T TP TB TA
1 P v2 1 1 Q r 2 2
2g 22g
vC aC
Q
P
s
1 2
Q g
vC2
1 2
8/27
五、约束力的功 ①柔性体约束
F
提问：约束力作功吗？
绳索始终紧绷，从B点到切点（记为C） 可视为刚体，做平面一般运动 , 依基点法速度公式
vB vC vBC
由速度投影定理
vC vB cos
若限定柔性体约束 为质点系内部约束
不可伸长的绳索， 其约束力元功之和 为零
drC drB cos
WN 0
在一定意义下，约束力不作功，这给
理想约束
我们分析解决问题带来很大方便。
10/27
§9-3 质系和刚体的动能
动能：描述物体（整体）机械运动强度的量。
一、质点 T 1 mv2
2
二、质点系
T
1 2
mi vi 2
三、平动刚体
T 1 Mv2 2
四、定轴转动刚体
T
1 2
I z 2
11/27
五、柯尼希定理——“动能的合成”
注：力偶作用的刚体可作任意运动。
力矩：
W
2 1
mO
(
F
)d
注：仅限于定轴转动刚体。
v
a
7/27
三、力系的功 功是标量，故
( A)
Rr
M
W Wi s W Wi
F' F
理论力学课件 第十二章 动能定理
FRO
r1 r2 O
mg
解：取整体为研究对象，受力分析如图所示。 v1
A
v2
B
系统对O点的动量矩为
m1 g
m2 g
LO m1v1r1 m2v2r2 J0 (m1r12 m2r22 JO )
系统所受全部外力对O点的动量矩为
MO (F e ) m1gr1 m2gr2
质点系的动量矩定理为 dLO dt
WFN 0
WF F s fmgs cos 30 8.5 J
WF
1 2
k
(12
2 2
)
100 (0 0.52) 2
12.5 J
W Wi 24.5 0 8.512.5 3.5 J
12.2 质点和质点系的动能
12.2.1 质点的动能
设质量为m的质点，某瞬时的速度为v，则质点质量与其速度平方乘积的
路径无关。若质点下降，重力的功为正；若质点上升，重力的功为负。
对于质点系，重力的功等于各质点的重力功的和，即
上式也可写为
W12 mi g(zi1 zi2) W12 mg(zC1 zC2 )
2．弹力的功
设有一根刚度系数为k，自由长为l0的弹 簧, 一端固定于点O, 另一端与物体相连接，
如图所示。求物体由M1移动到M2过程中，弹 力F所做的功。
W12
M2 M1
(Fx
d
x
Fy
d
y
Fz
d
z)
12.1.3 常见力的功
1．重力的功
z M1 M
mg
设质点M的重力为mg，沿曲线由M1运动到
M2
M2，如图所示。因为重力在三个坐标轴上的
投影分别为Fx=Fy=0,Fz=-mg，故重力的功为
质心与质点系的机械能守恒
质心与质点系的机械能守恒在物理学中，质心与质点系的机械能守恒是一个重要的概念。
质心是一个系统中所有质点的平均位置，而质点系则是由多个质点组成的系统。
在理论力学中，质心与质点系的机械能守恒定律指出，一个质点系的机械能在没有外力做功的情况下保持不变。
首先，我们来了解一下质心与质点系的概念。
质心是一个系统中所有质点的质量加权平均位置。
对于一个由N个质点组成的质点系，其质心的位置可以通过下列公式计算得出：X_cm = (m₁x₁ + m₂x₂ + … + mₙxₙ) / (m₁ + m₂ + … + mₙ)其中，X_cm是质心的位置，m₁、m₂等表示各个质点的质量，x₁、x₂等表示各个质点的位置。
质心的概念对于分析系统的整体运动非常有用。
当我们研究质点系的机械能守恒时，可以将系统的运动简化为质心的运动和质点系相对质心的运动。
接下来，我们来探讨质心与质点系的机械能守恒。
根据力学的基本原理，质点系的机械能守恒要求系统中的外力做功为零。
这意味着质心和质点系相对质心的动能和势能的总和保持不变。
质心的动能可以通过下列公式计算得出：K_cm = 1/2 M V_cm²其中，M表示质点系的总质量，V_cm表示质心的速度。
质点系相对质心的动能可以通过下列公式计算得出：K_r = 1/2 Σ(mᵢ vᵢ)²其中，mᵢ、vᵢ分别表示质点系中各个质点的质量和速度。
系统中的势能可以表示为：U = ΣUᵢ其中，Uᵢ表示各个质点的势能。
根据机械能守恒定律，当系统中没有外力做功时，质心和质点系相对质心的动能和势能的总和保持不变：K_cm + K_r + U = 常数这意味着当质心的动能增加或减少时，质点系相对质心的动能和势能将发生相应的变化，以保证机械能守恒。
值得注意的是，机械能守恒定律只适用于没有外力做功的情况。
如果有外力对系统做功，机械能将不再守恒。
质心与质点系的机械能守恒定律在实际生活中有着广泛的应用。
例如，当一个体育器材运动员从旋转状态中脱离时，他们通常会利用质心和质点系相对质心的机械能守恒来实现动作的平稳转变。
质点和质点系的动能定理
由动能定理，有
M
m2 g
sin
r
m2 g
cos
r
1 4
m1
2m2
r 22
得
2 M m2gr(sin f cos )
r
m1 2m2
将上式两边对时间t求导，并注意d/dt=ω，得鼓轮的角加速度为
2[M m2gr(sin f cos )]
r 2 (m1 2m2 )
目录
动能定理\质点和质点系的动能定理 【例8.6】 物块A质量为m1，挂在不可伸长的绳索上,绳索跨过定
T1=0
设物块下滑s=2m时的速度为v，其动能为
T2
1 2
mv2
51v2
在物块由静止到下滑2m 的过程中，
作用于物块上的重力的功为
W1 mg sin s 1000 N
2 2 m 1414 J 2
摩擦力的功为
W2 mg cos f s 1000 N
2 0.1 2 m -141.4 J 2
目录
动能定理\质点和质点系的动能定理
【解】 取鼓轮和重物组成的
质点系为研究对象，其上作用的 外力有：重物的重力m2g，斜面 的法向反力FN，摩擦力Ff，鼓轮 上的力矩M，以及鼓轮的重力和 轴承处的约束反力（图中未画 出）。
开始时，系统处于静止，其动能为
T1=0
设当鼓轮转过角时的角速度为，则重物的速度为 v=r
目录
动能定理\质点和质点系的动能定理 【例8.5】 一不变的力矩M作用在铰车的鼓轮上，轮的半径为r，
质量为m1。缠绕在鼓轮上的绳子系一质量为m2的重物，使其沿倾角
为的斜面上升（如图）。已知重物与斜面间的动摩擦因数为f，绳
子质量不计，鼓轮可视为均质圆柱。在开始时，此系统处于静止。
理论力学第13章-动能定理
k C
G
W1 G h 9.8 5 49N c m （a）
（b）
弹性力的功：1 0, 2 AC BC AB 2 202 52 40 1.23c m
W2
k 2
2 1
2 2
40 2
0 1.232
30.3N c m
所有力的功 W W1 W2 49 30.3 18.7N c m 0.187J
13 动能定理
13.1 力的功、功率 13.1.1 功的表达式 力的功( Work )是力在一段路程上对物体作用的累
积效果，其结果将导致物体能量的变化。
设质量为 m 的质点 M，受力 F 作用，质点在惯
性参考系中运动的元位移为 d r。
力的元功 ：力F 在元位移上 累积效果
dW F dr
（13-1）
与其角速度平方的乘积之半。
根据平行轴定理
JP JC M d2
M 为刚体的质量，d = P C ，J C 为对于质心的转动惯量。
T 1 2
JC M d2
2
1 2
JC
2
1 2
M
d
2
因为 d vC
T
1 2
M
v
2 C
1 2
JC
2
（13-21）
即作平面运动的刚体的动能，等于随质心平动的动能与
绕质心转动的动能的和。
P
M
z
dj
dt
M
z
（13-15）
即力矩的功率，等于力矩与刚体转动角速度的乘积。
功率计量单位为焦耳/秒 ( J / s )，瓦 ( W )：
1W 1J/s 1N m/s
（2）机械效率。P输入、P输出、P损耗 分别表示输入功
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理论力学
动力学普遍定理的综合应用
解：取整体为研究对象受力分析, 系统对AB轴的动量矩守恒
FAy
FAx
R
z
FBy x
FBx
A
mg By FBz
J mR2 sin 2 J0
J0mR2sin 2 [J mR2 sin 2 ]2
J
J0 mR2 sin 2
vr 应用动能定理的积分形式
T1
T
2(1 2
JO2 )
1 2
mvA2
5 mL22
6
V 2mgL(1 cos )
5 mL22 2mgL(1 cos ) C
6
B 5 mL2 2mgLsin 0
3
aA
L
6g
sin 0
5
12
理论力学
动力学普遍定理的综合应用
动量（矩）定理——建立了质点系的广义坐标、广义速 度和广义加速度与外力间的关系。
2、哪个瓶滚动得最快？哪个瓶滚动得最慢？为什么？
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3
理论力学
O
A
问题的引出
问题：三个质量均为m，长 为L的均质杆铰接，可在铅 D 垂平面内运动且OA//BD。初 始时，OA杆与铅垂线的夹
角为θ0 ，系统无初速释放。
B 如何求初始时AB杆的质心加 速度。
maC FR(e)
dLO
dt
Fi(i)
dri
微分形式 dT Fi(e) dri Fi(i) dri
动能定理建立 了作功的力与质点
积分形式 T2 T1
W (e) 12
W (i) 12
系位置和速度（或
三、机械能守恒定理
加速度）间的关系
条件：惯性参考系；做功的力为有势力 T V E
2020/12/9
9
理论力学
2020/12/9
5
理论力学
质点系的动能
1、质点系的动能
n
T
1 2
mivi2
i 1
2、 平移刚体和定 轴转动刚体的动能
平移
T
1 2
mv
2
定轴转动
T
1 2
J 2
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§6-1 质点系的动能
6
理论力学
§6-1 质点系的动能
3、柯尼希定理
设动参考系Cx’y’z’平移
n
n
T
1 2
mi vi2a
dp
dt
n i1
Fi(e)
FR(e)
maC FR(e)
dLO
dt
n i1
MO (Fi(e) )
dLrA
dt
n i1
M A (Fi(e) ) rAC
(maA)
动能定理——建立了质点系的广义坐标、广义速度和 广义加速度与作功的力之间的关系
T2 T1 W12
dT Fi dri Fi vidt
1 2
mi via
via
i1
i1
n
1 2
mi (vC
vir ) (vC
Hale Waihona Puke vir )i1n
1 2
mi (vC2
vi2r
2vC
vir )
i1
1 2
n
mvC2
i1
1 2
mi
vi2r
vC
n i1
mi vir
=0
n
T
1 2
mvC2
1 2
mi
vi2r
i1
z
mi
O
x
y
z'
vri y'
x' C vC
n i1
MO (Fi(e) )
未知约束力：8个 系统自由度：1个 求解方法： 繁琐
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理论力学
问题的引出
质点系动量定理积分形式
mvC2 mvC1
t2 t1
(
Fi(e
)
Fi(i) )dt
t2 t1
Fi(e)dt
质点系动量矩定理的积分形式
LOt 2 LOt1
理论力学
• 动能定理 • 动力学普遍定理综合应用
2020/12/9
1
理论力学
问题的引出
问题：若质点系的动量守恒，对任意一点的动量矩也 守恒，系统的动能是否守恒？
2020/12/9
2
理论力学
满
半满
瓶 石 子
瓶 石 子
瓶 洗 涤
液
问题的引出
半
满
半
瓶
瓶
瓶
洗
葡
葡
涤
萄
萄
液
酒
酒
问题：
1、瓶无初速放在斜面上，会出现什么现象？
5m
11
理论力学
§6-3 动能定理
例题：两个质量各为 m，长为L的均质杆（OA//BD）和一个质 量为 m 的非均质杆AB铰接，可在铅垂平面内运动。初始时，
杆OA与铅垂线的夹角为θ0 ，系统无初速释放。求初始时非均
质杆AB的质心加速度。
O
D
a A
A
6g sin
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5L
解：系统的机械能守恒: T+V=C
§6-3 动能定理
例：系统如图所示，m1 m, m2 2m, R 2r, JO 2mr 2 , k ，初
始时静止，弹簧为原长 l0。求弹簧伸长s时，杆的速度和加速度。
l0 k
s
F
m1
o
R
r
JO
v R v
解：1、求杆的速度 T1 0
T2
1 2
J
O
2
1 2
m2v
2
5mr 2 2
W12
1 m4m2 gg2s s12ksks2
2
2
T2 T1 W12
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m2 g
5mr22 4mgs 1 ks2
2
10
理论力学
l0 k
s
F
m1
o
R
r
JO
v
m2 g
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§6-3 动能定理
2、求杆的加速度
5mr2 2 4mgs 1 ks2
2
10mr2 4mgs kss r s 10mr 4mg ks R a a R 4mg ks
T
1 2
mvC2
1 2
JC
2
1 2
mvC2
1 4
mR2 2
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8
理论力学
§6-3 动能定理
二、质点系的动能定理
质点系中的每个质点有 midvi Fi(e)dt Fi(i)dt
mivi dvi Fi(e) vidt Fi(i) vidt
d(1 2
mivi2 )
Fi(e)
dri
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理论力学
A
vr0
R
B
忽略所有摩擦
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动力学普遍定理的综合应用
例：已知：J , R, m, 求均质圆环的角速
度和角加速度（表示成 的函数）。 初始时： 0,vr vr0, 0,
1、受力分析和运动分析 2、有多少未知量 3、求哪些未知量 4、用什么方法求未知量
t2 n t1
i1
MO (Fi(e) ) MO (Fi(i) ) dt
t2 n t1
i1
MO (Fi(e) ) dt
作用在质点系上的力对位移的积分
r2 r1
(Fi(e)
Fi(i) ) dri
r2 r1
(Fi(e) ) dri
r2 r1
(
Fi
(i
)
)
dri
问题：该积分式与质点系的什么物理量的变化有关？
via vC vri
n
mi m,
i1
n
mivir mvcr 0
i1
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理论力学
§6-3 动能定理
例：半径为R，质量为m的均质圆盘，在地面上滚动，其质心的
速度为 vC ，角速度为 。求圆盘的动能。
y'
y
c
vC x'
R
x
o
n
T
1 2
mvC2
1 2
mivi2r
i1
解：取平移动系Cx’y’