质点的动能定理

1 2 1 2
N=常量时, W= –f´N S, 与质点的路径有关。 ⑵ 圆轮沿固定面作纯滚动时，滑动摩擦力的功
正压力 N ，摩擦力 F 作用于瞬心C处，而瞬心的元位移
dr vC dt 0
W F dr F vC dt 0
s W m m R
10
⑶ 滚动摩擦阻力偶m的功 若m = 常量则
下落距离h时重物的速度与加速度。(绳重不计，绳不可伸长，
盘B作纯滚动，初始时系统静止) 解：① 取系统为研究对象； ② 计算主动力的功；
W
(F )
m Qh ( h / R)
③ 运动分析计算动能；
T1 0
22
1 1Q 2 1 2 2 T2 I O A v I C B 2 2g 2 1 P 2 2 1Q 2 1 3P 2 2 R A v R B 2 2g 2g 2 2g v2 (8Q 7 P) 16 g
W k ( r l0 )dr
r 1 r2 r2 r 1
k d ( r l0 ) 2 2
k [( r1 l0 ) 2 ( r2 l0 ) 2 ] 令 1 r1 l0 , 2 r2 l0 2 k 即 W ( 1 2 2 2 ) 弹性力的功只与弹簧的起始变形和终了 2 变形有关，而与质点运动的路径无关。
1 2 T mi vi 2
14
⒈ 柯尼希定理
对于任一质点系：（ vi ' 为第i个质点相对质心的速度） 1 1 2 T M vC mi vi '2 — 柯尼希定理 2 2 质点系的动能等于随同质心平动的动能与相对于质心运 动的动能之和。 ⒉ 刚体的动能 ⑴ 平动刚体的动能
⑵ 定轴转动刚体的动能
d mv v dt F dr dt d m 1 2 而 (mv )v dt d (v v ) d ( mv ) dt 2 2 因此 d ( 1 mv2 ) W —微分形式的质点动能定理
2
质点动能的微分等于作用于质点上的力的元功。
17
⒉ 质点动能定理的积分形式
1 2 M2 将上式沿路径M1M 2积分， 有 d ( mv ) W 2 v1 M1
五．质点系内力的功
W F drA F 'drB
⒈ 可变质点系
F drA F drB F d ( rA rB ) F d ( BA)
d ( BA) 0 ∴ 内力元功之和不等于零
⒉ 不变质点系 ⑴ 刚体平动 BA 常矢量 d ( BA) 0 ∴ 内力元功之和等于零 ⑵ 刚体作一般运动（含平面运动）
d ( BA) BA 即 F， W F d ( BA) 0
∴ 内力元功之和等于零
11
只要A、B两点间距离保持不变,内力的元功和就等于零。 不变质点系的内力功之和等于零。刚体的内力功之和等于
零。不可伸长的绳索内力功之和等于零。
六．理想约束反力的功 约束反力元功为零或元功之和为零的约束称为理想约束。
8
3．万有引力的功
W Gmm0 ( 1 1 ) r2 r1
万有引力所作的功只与质点的始末位置有关，与路径无关。
4．作用于转动刚体上的力的功，力偶的功 设在绕 z 轴转动的刚体上M点作用有力 F ，计算刚体转过 一角度 时力F 所作的功。M点轨迹已知。 F F Fn Fb
W F ds F rd mz ( F )d 2 ( 2 1 ) W mz ( F )d
v v A , B R 2R
④ 根据动能定理求解：
由 T2 T1 W
(F )
v2 M ( M / R Q)hg (8Q 7 P) 0 ( Q)h v 4 16 g R 8Q 7 P 8Q 7 P dv M dh dh dv 2v ( Q) (v ,a ) 上式求导得： 16 g dt R dt dt dt
1 1 2 T I C M (d 2 2 ) 2 2 1 1 2 M vC I C 2 2 2
平面运动刚体的动能等于随同质心平动的动能与绕质心的 转动动能之和。
16
§13-3
一、质点的动能定理
动能定理
⒈ 质点动能定理的微分形式 ma F d (mv ) F dt
两边点乘以 dr v dt ，有
Xdx Ydy Zdz
( F Xi Yj Zk , dr dxi dyj dzk
F dr Xdx Ydy Zdz)
⒉ 力 F 在曲线路程 M1M 2 中作功
W F cosds F ds （自然形式表达式）
M1 M1
5
M2
M2
F dr
388.4(J ) ③ 运动分析计算动能；
1 1 2 2 2 T1 30 2.4 0 28.8 0 , 2 3
T2 0
④ 根据动能定理求解： 由 T2 T1 W ( F ) ,
2 0 28.80 388.4 , 0 3.67rad/s
[例2] 图示系统中,均质圆盘A、B各重P，半径均为R, 两盘中心 线为水平线, 盘A上作用矩为M(常量)的一力偶；重物D重Q。问
19
⒊ 理想约束条件下质点系的动能定理 在理想约束的条件下，质点系的动能定理可写成以下的 形式
dT W
(F )
— 微分形式
在理想约束的条件下，质点系动能的微分，等于作用于
质点系上所有主动力的元功之和。
T2 T1 W ( F )
— 积分形式
在理想约束的条件下，质点系在某一段路程中始末位置 动能的改变量等于作用于质点系上所有的主动力在相应路程
v2
得：
1 mv 2 1 mv 2 W 2 2 2 1
— 积分形式的质点动能定理
在任一路程中，质点动能的变化，等于作用于质点上的力 在该路程上所作的功。
二、质点系的动能定理 ⒈ 质点系动能定理的微分形式
1 2 对质点系中的一质点 M i： d ( mi vi ) Wi 2
18
对整个质点系，有 d ( 1mi vi 2 ) Wi d ( 1mi vi 2 ) Wi 2 2
1．光滑固定面约束
W ( N ) N dr 0 ( Ndr )
2．活动铰支座、固定铰支座和向心轴承
12
3．刚体沿固定面作纯滚动 4．联接刚体的光滑铰链（中间铰）
W
N dr N 'dr N dr N dr 0 5．柔索约束（不可伸长的绳索）
(N)
作用于转动刚体上力的功等于力矩的功。 如果作用力偶，m , 且力 W md 偶的作用面垂直转轴 1 若m = 常量, 则 W m( 2 1 ) 注意：功的符号的确定。
9
1
2
5．摩擦力的功
⑴ 动滑动摩擦力的功 W M M F ds M M f ' Nds
拉紧时，内部拉力的元功之和恒等于零。
13
§13-2
弱的又一种度量。 一．质点的动能
动能
物体的动能是由于物体运动而具有的能量，是机械运动强
T 1 mv2 2
瞬时量,与速度方向无关的正标量,具有与功相同的量纲,单位 也是J。
二．质点系的动能
质点系内所有质点在某瞬时动能的算术和称为该瞬时质点 系的动能。即：
7
2．弹性力的功 弹簧原长 l 0 ，在弹性极限内 F k ( r l0 )r0 k—弹簧的刚度系数，表示使弹簧发生单位 变形时所需的力。N/m , N/cm。。 r0 r /r
W F dr k ( r l0 )r0 dr
M1 M1 M2 m2
r 1 1 r0 dr dr d ( r r ) d ( r 2 ) dr r 2r 2r
1
本章重点、难点
⒈重点
力的功和物体动能的计算。 力的功和物体动能的计算。 质点系的动能定理和机械能守恒定律的应用。 质点系的动能定理和机械能守恒定律的应用。
⒉难点
动力学普遍定理的综合应用。 动力学普遍定理的综合应用。
2
第十三章
§13–1 §13–2 §13–3 §13–4 力的功 动能 动能定理
即
dT Wi
— 微分形式的质点系动能定理
质点系动能的微分，等于作用于质点系上所有力的元功 之和。 ⒉ 质点系动能定理的积分形式 将上式沿路径 M1M 2 积分，可得
T2 T1 W — 积分形式的质点系动能定理
质点系在某一段路程中始末位置动能的改变量等于作用于
质点系上所有的力在相应路程中所作功的和。
M1 M1 M1
6
M2
M2
M2
即 四．常见力的功 1．重力的功
W Wi
在任一路程上，合力的功等于各分力功的代数和。
质点：重力在三轴上的投影：
X 0, Y 0, Z mg
z2
W mgdz mg ( z1 z2 )
z1
质点系： W Wi mi g ( zi1 zi 2 ) Mg ( zC1 zC 2 ) 质点系重力的功，等于质点系的重量与其在始末位置重 心的高度差的乘积，而与各质点的路径无关。
1 1 1 1 2 2 2 2 T mi vi ( mi )v Mv MvC 2 2 2 2
1 1 1 2 2 2 T mi vi ( mi ri ) I z 2 2 2 2
15
⑶ 平面运动刚体的动能
1 T I P 2 （P为速度瞬心） 2 I P I C Md 2
13-1
力的功
力的功是力沿路程累积效应的度量。 一．常力的功
W FS cos F S
时,负功。 时,正功； 时,功为零； 力的功是代数量。
单位：焦耳（Ｊ）；
2
1J 1N1m
2
2
4
二．变力的功 ⒈ 力的元功
W F cosds
F ds F dr
M1
M2
（矢量式）
（直角坐标表达式）

M2
M1
Xdx Ydy Zdz
三．合力的功 质点M 受n个力 F1 ,F2 ,,Fn 作用合力为 R Fi 则合力 R 的功
W R dr ( F1 F2 Fn )dr
M1 M1
M2
M2
F1 dr F2 dr Fn dr W1 W2 Wn
wk.baidu.com
动能定理
功率 ·功率方程
§13–5
§13–6
势力场 ·势能 ·机械能守恒定理
动力学普遍定理的综合应用
3
与动量定理和动量矩定理用矢量法研究不同，动能定理用 能量法研究动力学问题。能量法不仅在机械运动的研究中有重 要的应用，而且是沟通机械运动和其它形式运动的桥梁。动能 定理建立了与运动有关的物理量—动能和作用力的物理量—功 之间的联系，这是一种能量传递的规律。
中所作功的和。
20
[例1] 图示的均质杆OA的质量为30kg，杆在铅垂位置时弹簧处 于自然状态。设弹簧常数k =3kN/m，为使杆能由铅直位置OA 转到水平位置OA'，在铅直位置时的角速度至少应为多大？
解：① 研究OA杆； ② 计算主动力的功；
1 1 2 2 W ( F ) P1.2 k ( 1 2 ) 309.81.2 3000[0 2 (2.4 1.2 2 ) 2 ] 2 2
8( M / R Q) g a 8Q 7 P
23