算法思想之8网络流与匹配

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网络的物品流等等实际问题。
定义2
输油管道
给定一个网络 G=(V,E)，如果一个实值函数 f：V×V→R满足下列三个性质：
容量约束性质，即任取u,v∈V，
均有 f(u,v) ≤c(u,v)；
反对称性质，即任取 u,v ∈V，
均有 f(u,v)= -f(v,u)； 有向图
流守恒性质，即任取u ∈V-{s,t}， 均有 f (u, v) 0。
f ( S , T ) f (u, v)
uS ,vT
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c(S,T) = c(v1,v3) + c(v2,v4) = 12 + 14 = 26 f(S,T) = f(v1,v3) + f(v2,v4) + f(v2,v3) = 12 + 11 + (-0) = 23
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给定一个网络 G=(V,E)，令f为G的流，Gf为G 中关于流f的剩余网络，p为Gf中从s到t的一 条增广路径。定义函数fp：V×V→R如下：
cf(p)=4 |p|=3
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c ( p) f (u , v) c ( p ) 0
f p f
(u,v)是p上的边
(v,u)是p上的边 否则
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G
cf(u,v)=c(u,v)-f(u,v)
Gf 特点：剩余网络中的边： 原边 逆边 每条边的容量均大于 0。
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相关概念 — 增广路径
定义4
证明引理1
证明思路：证明f+f’满足流的三个性质。 (1)容量约束性质： (f+f’)(u,v)=f(u,v)+f’(u,v) ≤f(u,v)+cf(u,v) =f(u,v)+(c(u,v)-f(u,v)) =c(u,v)
寻找最大匹配的基本过程
M=0； repeat 寻找增广路径 p，
定理：给定一个无向图G=(V,E)，图G 的一个匹配M是最大匹配的充要条件 是G不包含关于M的增广路径。
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M=M
p；
until G中不存在增广路径； return M；
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二分图匹配
假设图G=(V,E)的顶点能够被划分为两个顶点 集合L和R，即V=L∪R，且L的顶点没有边相连， R的顶点也没有边相连。E的边都跨越集合L和
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u
u
抵消
8/10 3/4
5/10
0/4
v
v
8
8.1.1 FordFulkerson方法
FordFulkerson方法是求解最大流问题 的一个经典方法，它的基本思想是从任 何一个可行流开始，沿增广路径对流进
算法框架
初始化一条可行的路径 while (存在增广路径）{ 对路径实施增广；
行增广，然后不断重复此过程，直到网
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定义10 给定一个无向图G=(V,E)，设M是图 G的一个匹配，如果G的每一个顶点都被M匹 配，则称M是完全匹配。

定义11 给定一个无向图G=(V,E)，设M 是图G的一个匹配，则称 G中由匹配边与 未匹配边交错出现的一条简单路径为一 条关于M的交错路径。如果交错路径p的 起点和终点重合，则该路径称为交错回 路。如果交错路径p的起点和终点都不 是匹配起点，则该路径称为关于M的一 条增广路径。
络中不存在增广路径为止。
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}
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相关概念 — 剩余网络
定义3 给定一个网络G，其流为f， 容量函数为c。关于流f的剩余容量函 数cf定义如下：对任意一对u,v∈V, cf(u,v)=c(u,v)-f(u,v)。 流f的剩余网络是一个有向图Gf=(V,E)， 其容量函数由cf定义，边集由 Ef={(u,v):cf(u,v)>0}确定。
8.2 匹配问题
匹配问题在资源规划、机器调度以及人员分 配等领域有许多实际的应用价值。 定义9 给定一个无向图G=(V,E)，一个匹配 是一个边的集合 M（E的子集），使得对所有 顶点v∈V，M中至多有一条边与 v相连。如果 M中某条边与顶点 v相连，则说顶点 v被M匹 配；否则说v未匹配，称M中的边为匹配边。 |M|为边的条数。
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主要内容
第 8章
8.1 最大流问题 8.2 匹配问题
网络流与匹配
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8.1 最大流问题
最大流问题可以用来解决流经管道的 液体流、装配线上的零件流、流过电 路的电流、互联网上的信息流、运输
定义1
给定有向图G=(V,E)，对于图G的每一 条边(u,v) ∈E，都有一个非负的容 量c(u,v) ≥0，如果(u,v)E，则 c(u,v)=0，并且图中有两个特殊的顶 点s，t，其中顶点s只有出边，t只有 入边，并且图G中至少存在一条从 s到 t的路径，称此有向图为网络，顶点s 为源点，顶点t为汇点。
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将二分图变换成网络
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利用匈牙利树寻找二分图最大匹配


定理：给定二分图G=(V,E)，其顶点划 分为 V=L∪R。设G’=(V’,E’)是构造的 网络。如果M是G的匹配，则G’中存 在一整数流f，且|f|=|M|；反过来，如 果 f是 G’的整数流，则G中有一匹配M 满足 |M|=|f|。 结论：二分图G的最大匹配就是网络流 G’的最大流。
交错路径：v1,v2,v7,v8,v4 交错回路：v1,v2,v7,v6,v1 增广路径：v5,v6, v1,v2,v7,v8,v4,v3
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M p {(v , v ), (v , v )(v , v ), (v , v )}
1 2 6 5 Baidu Nhomakorabea 8 3 4
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引理4：
给定一个无向图G (V, E)，设M是图G的一个 匹配，p是关于M的一条增广路径，则M p 是图G的一个匹配，且有 | M p || M | 1。
R，V的每个顶点至少有一条边与之相连。
二分图的最大匹配问题就是找|M|最大的一个 匹配集合M。
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利用最大流算法寻找二分图最大匹配
首先，将二分图变换成网络图。 具体方法如下： 设G是二分图，G’是构造的网络。 添加两个新结点：源点 s与汇点t， V’=V∪{s,t}。如果 G的顶点划分为 V=L∪R， G’的有向边由下式给出： E’= {(s,u):u∈L} ∪{(u,v):u∈L,v∈R且(u,v) ∈E} ∪{(v,t):t∈R}
引理3
给定一个网络 G=(V,E)，f为G的流。对于 G的 任意一个割(S,T) ，有f(S,T)=|f|。
=================================================
定理（最大流最小割定理）
给定一个网络 G=(V,E)，f为G的流，则下列 三个结论相互等价： （1）f是G的最大流； （2）剩余网络Gf不存在增广路径； （3）存在一个割(S,T) ，使得 |f|=c(S,T)。
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(2)反对称性质：
（3）流守恒性质：
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根据定义可知
增广路径
定义5 给定一个网络 G,令f为G的流， 则称剩余网络Gf中从s到t的一条有向路 径p为增广路径。
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引理2
定义 6 给定剩余网络Gf中从 s到 t
的一条增广路径p，将 p上的最小剩 余容量cf(p)称为瓶颈容量，其中 cf(p)= min{cf(u,v):(u,v) ∈p}， 并记 |p|为路径 p包含的边数。 瓶颈容量给出了增广路径上可以增 加的最大流量。
vV
则称f为网络G的流，其中 f(u,v)表示从顶 点u到顶点v的流量。
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| f | f ( s, v)
vV
|f|表示从源点s流出的流量大小。
流为f的网络称为流网络。 f(u,v)=c(u,v)称边(u,v)为饱和边。 f(u,v) / c(u,v) 所谓最大流问题： 对于给定的G=(V,E)， 寻找从源点到汇点的 的流f，且|f|最大。
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定义12 给定两个边的集 合M1和M2，定义：
M M ( M M 2) ( M M )
1 2 1 1 2
匹配： M={ (v1,v6),(v2,v7),(v4,v8) } 增广路径： p = { (v5,v6),(v6,v1),(v1,v2), (v2,v7),(v7,v8),(v8,v4),(v4,v3) }
则fp是Gf的流，且|fp|=cf(p)>0。
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推论1
给定一个网络G=(V,E)，f为G的流，Gf 为G中关于流f的剩余网络，p为Gf中从s 到t的一条增广路径。fp定义如引理2， 则f+fp为G的流，且 |f+fp|=|f|+|fp|>|f| ================================= 结论：如果能够找到一条增广路径，就 可以在f的基础上增加fp，从而得到流 量更大的网络G。
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给定一个网络G，f1,f2是G的流， 令(f1+f2)(u,v)=f1(u,v)+f2(u,v)，
则称f1+f2为流f1,f2的和。
引理1 给定一个网络G=(V,E)，令 f为G的
流，Gf为G关于流f的剩余网络，令f’为Gf 的流，则流和f+f’仍然是G的流，且有 |f+f’|=|f|+|f’|。
① 只要 GL中有从 s到 t的路径 p，就用 fp对当前的流 f进行增广，即 f+fp，从 GL和 Gf中移去饱和边， 并相应地更新 GL和 Gf。 ② 根据剩余网络 Gf计算层次图 GL。
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GL
利用广度优先搜索 思想寻找层次图。
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时间复杂性O(|v||E|2)
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原网络
剩余网络
增广后网络
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相关概念 — 网络的割
定义7：给定一个网络G=(V,E) ，网络的一 个割(S,T)是把网络G的顶点集 V分成两个子 集S和T=V-S且s∈S,t∈T，其中割 (S,T)的 容量记为c(S,T)，定义为
c( S , T ) c(u, v)
uS ,vT
流过割(S,T) 的流量记为 f(S,T)，定义为
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void FordFulkerson(G,s,t,c) { for each edge(u,v) ∈E do // 初始化初始路径 f(u,v) = 0; while （存在增广路径p） { cf(p) ←min{ cf(u,v): (u,v)是 p 上的边 } for each edge(u,v) 在 p上 do f(u,v) ←f(u,v) + cf(p); 更新剩余网络； 算法时间复杂性： } O(|E||f*|) } f*是算法找到的最大流
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8.1.2 最短路径增广算法
定义8 给定一个网络G=(V,E)，定义层 次图GL=(V,E′)，其中
E′={(u,v):(u,v)∈E，且d[v]=d[u]+1}
d[v]称为顶点v 的层次，是从源点s到v 的路径中最短路径的边数。
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如此增广 20000 次
G
确定增广路径的算法思想
1. 首先将流初始化为0，并将网络的剩余网络 Gf初始化为原图G； 2. 计算层次图； 3. 重复执行下列操作，直到t不在GL中：
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思路：寻找一棵交错路径树。 如果一条交错路径以未匹配顶点结
束，则该交错路径是一条增广路径。
如果交错路径树的叶子顶点都是匹
配顶点，则称为匈牙利树。
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求出最大二分匹配的匈牙利算法
从任意匹配M开始; while 存在不匹配的顶点 { r为L 中不匹配的顶点； 利用深度优先搜索的思想， 以r为根扩展 T树中的交替路径； if (T是匈牙利树 ) G=G-T; else { 寻找T中的一条增广路径 M M p； }