信号的采样和复现

8－2信号的采样和复现的数学描述

一、采样过程

所谓理想采样，就是把一个连续信号)(t e ，按一定的时间间隔逐点地取其瞬时值，从而得

到一串脉冲序列信号)(t e *。可见在采样瞬时，)(t e *的脉冲强度等于相应瞬时)(t e 的幅值，即

)0(T e ,)1(T e ,)2(T e ,…)(nT e ，

…如图8－8所示。因此，理想采样过程可以看成是一个幅值调制过程，如图8－9所示。采样器好比是一个幅值调制器，理想脉冲序列)(t T d 作为幅值调制器的载波信号，)(t T d 的数学表达式为

奥==

-n nT)-(t )(d d t T (8－1)

其中=n 0,±1,±2,…)(t e 调幅后得到的信号，即采样信号)(t e *为

å¥-¥=*

-==n T nT t t e t t e t e )()()()()(d d (8－2)

通常在控制系统中，假设当0

L

+-+-+=*)2()2()()()()0()(T t T e T t T e t e t e d d d L

+-+)()(nT t nT e d (8－3)或å¥

=*

-=0)()()(n nT t nT e t e d (8－4)式(8－4)为一无穷项和式，每一项中的)(nT t -d 表示脉冲出现的时刻；而)(nT e 代表这一时刻的脉冲强度。

式(8－2)或(8－4)表示了采样前的连续信号与采样后的离散信号之间的关系。然而，一个值得提出的问题是：采样后的断续信号能否全面而真实地代表原来的连续信号呢?或者说它是否包含了原连续信号的全

部信息呢?因为从采样(离散化)过程来看，“采样”是有可能会损失信息的。下面我们将从频率域着手研究这个问题。

二、采样信号的频谱

假设连续信号)(t e 的富氏变换式为)(w j E ，采样后信号*()e t 的富氏变换式用*()E j w 表示，下面我们来看)(w j E *的具体表达式。

由于理想脉冲序列)(t T d 是一个周期函数，其周期为T ，因此它可以展开成指数形式的富氏级数，即

å¥-¥

==n t jn T s e T t w d 1)(（8－5）其中T s p w 2=为采样角频率。

将式(8－5)的结果代入(8－2)式得å¥

-¥=*==n t

jn T s e t e T t t e t e w d )(1)()()(（8－6）

根据复位移定理；若[()]()F e t E j w =，则

[()]()

at F e t e E j a w ±=m 因此，式(8－6)的富氏变换式为

å¥

-¥=**-==n s jn j E T j E t e F )(1)()]([w w w (8－7)

假定连续信号)(t e 的频谱如图8－10(a )所示，则根据式(8－7)可得采样(离散)信号)(t e *的频谱如图8－10(b )所示。

由图8－10，可得到如下结论：

(1)0=n 的项为)(1w j E T

，通常称为基本频谱。它正比于原连续信号)(t e 的频谱。

(2)同时派生出以s w 为周期的，无限多个高频频谱分量

)(1s jn j E T

w w -，其中=n ±1，±2,…。h 以上表明了连续信号与它所对应的离散信号在频谱上的差别。从富氏变换及其反变换的有关定理可知，在一定条件下，原函数)(t e 与其富氏变换式)(w j E 是一一对应的，亦即由富氏变换式)(w j E 可以唯一地还原成原函数)(t e 。可以设想，如果让采样信号通过一个图8－11所示的理想滤波器，将所有派生出来的高频分量全部滤掉，而同时保留其基本频谱信号。那么经过这样处理后的信号，只要将其幅值放大T 倍，就能完全重现原信号。

由图8－10不难看出，要想完全滤掉高频分量，筛选出基本频谱，从而根据采样信号)(t e *来复现采样前的连续信号)(t e ，采样频率s w 必须大于或等于连续信号)(t e 频谱中最高频率max w 的两倍，即

max

2w w ³s (8－8)这就是有名的香农(Shannon)采样定理。这一定理告诉我们，只要采样频率足够高，我们完全不必担心采样

过程会损失任何信息。由图8－10也可看出，若采样频率不够高，即max 2w w

三、零阶保持器的数学模型

零阶保持器的输入、输出关系如图8－13所示。因此，零阶保持器的作用是在信号传递过程中，把第nT 时刻的采样信号值一直保持到第T n )1(+时刻的前一瞬时，把第T n )1(+时刻的采样值一直保持到T n )2(+时刻，依次类推，从而把一个脉冲序列)(t e *变成一个连续的阶梯信号)(t e h 。因为在每一个采样区间内)(t e h 的值均为常值，亦即其一阶导数为零，故称为零阶保持器，可用“ZOH ”来表示。

如果把阶梯信号)(t e h 的中点连起来，则可以得到与)(t e 形状一致而时间上迟后半个采样周期)2(T 的响应曲线)2

(T t e -

，如图8－13中的虚线所示。由此也可初步估计到零阶保持器对于系统动态性能的影响。

为了求取零阶保持器(ZOH)的数字模型，可以从图8－13中任取一个采样周期来进行分析。零阶保持器的输入是脉冲函数，为了叙述方便，假设脉冲强度为1，即为单位脉冲函数，于是零阶保持器的输出就是单位脉冲过渡函数，该单位脉冲过渡函数的拉氏变换式，即为零阶保持器的传递函数。

零阶保持器的单位脉冲过渡函数的图形是高度为1，宽度为T 的矩形波，如图8－14(a )所示。为了求其拉氏变换式，可以把它分解成两个阶跃函数之和，如图8－14(b )所示。于是，脉冲过渡函数可表示为

)

(1)(1)(T t t t y --=相应的拉氏变换式为

s

e e s s s Y Ts

Ts ---=-=111)(这就是零阶保持器的传递函数，即

s

e s G Ts

h --=1)((8－9)而零阶保持器的频率特性为22

)2sin(1)(T T T T j e j G T j h w w w w w w -Ð=-=-

其频率特性曲线如图8－15所示。与理想滤波器图8－11相比较，可见，两者都能起低通滤波作用。不过