南开大学本科数学课程教学大纲

922幂级数的基本性质幂级数的定义幂级数收敛区域的特点收敛半径和收敛区间比值判别法和根式判别法确定收敛半径幂级数的一致收敛性幂级数可逐项求导和求积分定923函数的幂级数展开泰勒级数麦克劳林级数函数可以泰勒展开的充分条件常见初等函数的泰勒展开
南开大学 本科课程教学大纲
课程名称： 英文名称： 课
高等数学 （物理类） Advanced Mathematics
第二节 矢量代数（讲授参考课时：4 课时；习题课参考课时：3 课时） §5.2.1 矢量的基本运算 矢量的定义，零矢量，负矢量，矢量的模，单位矢量，矢量的投影，矢量的加 和减，矢量的数乘，基本单位矢量，矢量的分解和矢量的坐标，方向余弦，方向 数。 §5.2.2 两矢量的数量积 数量积的定义，数量积的计算，数量积的基本性质，两矢量的夹角的计算，两 矢量垂直的充要条件。 §5.2.3 两矢量的矢量积 矢量积的定义，矢量积的计算，矢量积的基本性质，两矢量的夹角的计算，两 矢量平行的充要条件。 §5.2.4 三矢量的混合积 二、三阶行列式的简介，混合积的定义，混合积的计算，混合积的基本性质，
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第二节 积分法（讲授参考课时：8 课时；习题课参考课时：4 课时） §3.2.1 换元法 第一换元法，第二换元法，三角变换。 §3.2.2 分部积分法 分部积分法及其常见类型。 §3.2.3 常见类型的积分法 有理函数的积分，三角函数有理式的积分，简单无理函数的积分。
第四章 定积分 了解定积分的几何背景， 它与微分的联系， 熟练计算定积分。 （讲授参考课时： 10 课时；习题课参考课时：5 课时）
第一节 多元函数（讲授参考课时：8 课时；习题课参考课时：4 课时） §6.1.1 二元函数的概念 邻域，开集，闭集，开区域，闭区域，二元函数的定义，二元函数的定义域， 二元函数的值域 §6.1.2 二元函数的极限 二元函数的ε -δ 极限，二元函数的二重极限，二元函数的二次极限，两者的 关系，二元函数极限的四则运算法则，相关例子。 §6.1.3 二元函数的连续 二元函数连续的ε -δ 定义，二元函数的间断点，相关例子。二元函数连续性 在复合函数的作用下的不变性，有界闭区域上连续二元函数的有界性、最值性、
第二节 微分（讲授参考课时：6 课时；习题课参考课时：3 课时） §2.2.1 微分的概念 微分的定义，可微与可导的关系，相关例子，微分的几何含义。 §2.2.2 微分公式和运算法则
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常见初等函数的微分公式，微分的四则运算，复合函数的微分，微分的形式不 变性，相关例子。 §2.2.3 高阶微分 高阶微分的定义及其例子，高阶微分不具有形式不变性。 §2.2.4*选讲内容：微分在近似计算中的应用 函数的近似计算，误差估计。
第三节 中值定理和导数的应用（讲授参考课时：6 课时；习题课参考课时：3 课 时） §2.3.1 中值定理 费尔马定理，罗尔定理，拉格朗日中值定理及其应用实例，柯西中值定理。 §2.3.2 洛必达法则 无穷小比无穷小型的洛必达法则，无穷大比无穷大型的洛必达法则，其它不定 型的洛必达法则，相关例子。 §2.3.3 泰勒公式 泰勒公式和麦克劳林公式，在求极限中的应用。 §2.3.4 导数的应用 函数的单调性和导函数的关系，函数的凸凹性和二阶导函数的关系，函数的极 值和导数的关系，第一判别法，第二判别法，求函数的最值，函数的渐进线，相 关例子。*选讲内容：函数作图，曲线的曲率和曲率半径，导数在电路计算中的应 用，方程的近似解。
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三矢量共面的充要条件。
第三节 空间中的平面和直线（讲授参考课时：3 课时；习题课参考课时：2 课时） §5.3.1 空间中的平面 平面的法矢量，平面的一般方程，平面的截距式方程，平面的法式方程，点到 平面的距离，两平面的关系，相关例子。 §5.3.2 空间中的直线 直线的方向矢量，直线的参数方程，直线的标准方程，直线的联立方程，两直 线的关系，两直线的夹角，点到直线的距离，直线与平面的关系，相关例子。
第四节 二次曲面（讲授参考课时：3 课时；习题课参考课时：2 课时） §5.4.1 常见的二次曲面 球面，柱面，锥面，旋转面，椭球面，单叶双曲面，双叶双曲面，相应例子。 §5.4.2*选讲内容：坐标变换 坐标轴的平移，坐标轴的旋转，二次曲面化简实例。
第六章 多元函数微分学 了解多元函数的概念，理解多元函数的极限、连续、可微性及相互关系。熟练 掌握偏导数和极值的计算。（讲授参考课时：16 课时；习题课参考课时：8 课时）
第三章 不定积分 熟练运用基本公式和基本法则计算各种不定积分。（讲授参考课时：12 课时； 习题课参考课时：6 课时）
第一节 不定积分的概念和基本性质（讲授参考课时：4 课时；习题课参考课时：2 课时） §3.1.1 不定积分的概念和基本性质 原函数，被积函数，不定积分，基本积分公式，不定积分的基本法则及其例子。
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课程内容及学时分配：
第一学期 总学时：68 学时；习题课时：34 课时
第一章 函数与极限 从笛卡儿直角坐标系和集合两个方面去理解函数的概念， 从理论和形象上认识 现实世界中变量之间的依存关系。掌握极限的概念，熟练运用极限的性质和判别 准则由基本极限计算初等函数的一般极限。 （讲授参考课时：16 课时；习题课参考 课时：8 课时） 第一节 函数（讲授参考课时：4 课时；习题课参考课时：2 课时） §1.1.1 函数的基本概念 函数的概念，函数的定义域，函数的值域，函数的表示法。 §1.1.2 函数的基本特性 函数的单调性，函数的有界性，函数的奇偶性，函数的周期性，最小周期。 §1.1.3 复合函数和反函数 函数的复合，反函数。 §1.1.4 初等函数 基本初等函数及其大概图形，初等函数。 第二节 极限（讲授参考课时：6 课时；习题课参考课时：3 课时） §1.2.1 数列的极限 数列极限的ε -N 定义，基本极限的ε -N 定义的证明。 §1.2.2 数列的极限的性质 数列极限的唯一性、有界性、保序性，数列极限的四则运算法则及其例子。 §1.2.3 数列的收敛判别法 两边夹定理，单调有界收敛定理，柯西收敛准则，相关例子。*选讲内容：有 界必有确界定理，闭区间套定理，紧致性定理及其与柯西收敛准则的等价性。 §1.2.4 函数的极限 自变量趋于无穷大时的函数的ε -M 极限，自变量趋于一点时的函数的ε -δ 极 限，函数的单侧极限，函数极限与单侧极限的关系，相关例子。 §1.2.5 函数极限的性质 函数极限的唯一性、有界性、保序性，函数极限的四则运算法则，相关例子。 *选讲内容：海涅定理。 §1.2.6 函数极限存在的判别准则 两边夹定理，两个基本极限，柯西收敛准则，相关例子。 §1.2.6 无穷小量和无穷大量 无穷小量，无穷大量，无穷小量和无穷大量的关系，函数极限的无穷小量的表 示，无穷小量关于加、减和乘的性质，无穷小量的同阶和无穷小量的等价，相关 例子。
第一节 定积分的基本概念和计算（讲授参考课时：6 课时；习题课参考课时：3 课时） §4.1.1 定积分的应用背景 定积分与曲边梯形的面积的关系， 定积分与路程的关系， 定积分与电量的关系。 §4.1.2 定积分的定义和可积准则 定积分的定义，上和与下和，振幅，两个可积准则，三类可积函数（以上证明 均为选讲内容）。 §4.1.3 定积分的性质 定积分的线性性，定积分的可积区间的可加性，定积分的保序性，积分中值定 理，积分平均值，相关例子。 §4.1.4 定积分与不定积分的关系 原函数存在定理，牛顿-莱布尼兹公式，相关例子。 §4.1.5 定积分的计算 定积分的换元法，定积分的分部积分法。*选讲内容：定积分的近似计算。
第二节 定积分的应用（讲授参考课时：4 课时；习题课参考课时：2 课时） §4.2.1 定积分的几何应用
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直角坐标系下平面图形的面积，极坐标下平面图形的面积，已知截面面积的立 体的体积，旋转体的体积，平面曲线的弧长，旋转曲面的面积。 §4.2.2 定积分在物理上的应用（选讲内容） 重心的球法，变力做功，转动惯量，交流电的平均功率，交流电流的有效值， 交流电压的有效值。
第二学期 总学时：68 学解析几何和矢量代数 了解空间直角坐标系的基本概念，理解矢量的定义，熟练掌握矢量的三种基本 运算。了解曲面与方程的关系，熟练运用直线和平面方程计算相互距离和夹角， 了解简单二次曲面的形状。 （讲授参考课时：12 课时；习题课参考课时：8 课时） 第一节 空间直角坐标系（讲授参考课时：2 课时；习题课参考课时：1 课时） §5.1.1 空间直角坐标系 坐标面，卦限，点的坐标，两点间距离，相关例子。
号：1010510051 1010510052 1010510053 数学科学学院 2006 年 3 月 30 日
所 属 院： 日 期：
第一学期 6 学时 总 第一学期 5 280 周学时 第二学期 6 学时 学 学分 第二学期 5 第三学期 4 学时 时 第三学期 4 教学类 主讲：第一学期 4 学时 习题课：第一学期 2 学时 型及学 第二学期 4 学时 第二学期 2 学时 时数 第三学期 4 学时 教学对象（本课程适合的专业和年级） ： 适用于物理学院各专业大学本科一、二年级学生。 预备知识： 初等数学的基础知识，包括初等几何，函数，三角函数，直角坐 标系等。 课程在教学计划中的地位作用： 本课程是物理系的基础课程，为一年级必修课程。 课程的教学目的和要求（注明考核方式和考核要求） ： 物理电子类的高等数学是属于二类高等数学课程。要求学生通过 三个学期的学习，理解极限与连续、导数与微分、偏导数与全微分、 不定积分、定积分、二重积分、三重积分、曲线积分与曲面积分等重 要概念。学会并掌握极限、导数与微分、偏导数与全微分、不定积分、 定积分、二重积分、三重积分、曲线积分与曲面积分等的计算方法与 技巧。学会解一阶与二阶常微分方程。能够熟练地运用微分（导数） 理论与积分理论、常微分方程理论等解决一些实际问题。初步掌握线 性代数知识，包括矩阵、行列式、线性方程组、线性空间与内积空间、 二次型等。掌握级数理论和广义积分，参变量积分理论。进一步提高 数学的运算能力，培养良好的数学理解能力和分析问题解决问题的能 力，养成良好的思维习惯与品质，为以后的进一步学习打下坚实的基 础。 考核方式为平时+期末考试。 该课程为全校统考课程，第一年实行考教分离。第三学期为任课 教师集体命题。 三个学期阅卷工作为统一标准集体流水阅卷。