湖南省长沙市雅礼中学2022届高三下学期月考(七)数学试题
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（2）求 的取值范围.
18.已知正项数列 ，其前 项和为 ．
（1）求数列 的通项公式：
（2）设 ，求数列 的前 项和 ．
19.如图，在多面体 中， 是正方形， ，M为棱 的中点．
（1）求证：平面 平面 ；
（2）若 平面 ， ，求二面角 的余弦值．
20.第24届冬奥会将于2022年2月在中国北京市和张家口巿联合举行．某城市为传播冬奥文化，举行冬奥知识讲解员选技大赛．选手需关注活动平台微信公众号后，进行在线答题，满分为200分．经统计，有40名选手在线答题总分都在 内．将得分区间平均分成5组，得到了如图所示的频率分布折线图．
21.已知椭圆 的焦距为 ，经过点 ．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）设O为坐标原点，在椭圆短轴上有两点M，N满足 ，直线 分别交椭圆于A，B． ，Q为垂足．是否存在定点R，使得 为定值，说明理由．
22 已知函数 ．
（1）判断 的单调性，并比较20202021与20212020的大小；
（2）若函数 ，其中 ，判断 的零点的个数，并说明理由．
A.圆B.椭圆C.抛物线D.双曲线
8.已知函数 是定义域为 的偶函数，且 是奇函数，当 时，有 ，若函数 的零点个数为5，则实数 取值范围是（）
A. B.
C. 或 D. 或
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．
根据这两幅图中的信息，下列哪个统计结论是不正确的（）
A.样本中的女生数量多于男生数量
B.样本中有两理一文意愿的学生数量多于有两文一理意愿的学生数量
C.样本中的男生偏爱两理一文
D.样本中的女生偏爱两文一理
7.下图上半部分为一个油桃园.每年油桃成熟时，园主都需要雇佣人工采摘，并沿两条路径将采摘好的油桃迅速地运送到水果集散地 处销售.路径1：先集中到 处，再沿公路 运送；路径2：先集中到 处，再沿公路 运送.园主在果园中画定了一条界线，使得从该界线上的点出发，按这两种路径运送油桃至 处所走路程一样远.已知 ， ，若这条界线是曲线 的一部分，则曲线 为（）
B. 近三年中档题分值所占比例最高的年份是 年
C. 年的容易题与中档题的分值之和占总分的 以上
D. 近三年难题分值逐年减少
11.如图，已知长方体ABCD−A1B1C1D1中，四边形ABCD为正方形，AB=2，AA1= ，E，F分别为AB，BC的中点．则（）
A.A1E⊥DF
B. 点A1、E、F、C1四点共面
C. 直线C1D与平面BB1C1C所成角的正切值为
D. 三棱锥E−C1DF的体积为
12.若实数 ，则下列不等式中一定成立的是（）
A
B.
C.
D.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13.若 则 _________．
14.在 的展开式中， 的系数是___________.
15.某盒中装有10只乒乓球，其中6只新球，4只旧球，不放回地依次摸出2个球使用，在第一次摸出新球的条件下，第二次也取到新球的概率为_______．
（1）请根据频率分布折线图，画出频率分布直方图，并估计这40名选手 平均分；
（2）根据大赛要求，在线答题总分不低于190分的选手进入线下集训，线下集训结束后，进行两轮考核．第一轮为笔试，考试科目为外语和冰雪运动知识，每科的笔试成绩从高到低依次有 ， ， ， 四个等级．两科均不低于 ，且至少有一科为 ，才能进入第二轮面试，第二轮得到“通过”的选手将获得“冬奥知识讲解员”资格．已知总分高于195分的选手在每科笔试中取得 ， ， ， 的概率分别为 ， ， ， ；总分不超过195分的选手在每科笔试中取得 ， ， ， 的概率分别为 ， ， ， ；若两科笔试成绩均为 ，则无需参加“面试”，直接获得“冬奥知识讲解员”资格；若两科笔试成绩只有一个 ，则要参加面试，总分高于195分的选手面试“通过”的概率为 ，总分不超过195分的选手面试“通过”的概率为 ．若参加线下集训的选手中有2人总分高于195分，求恰有两名选手获得“冬奥知识讲解员”资格的概率．
雅礼中学2022届高三月考试卷（七）
数学
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1 已知集合 ， ，则 （）
A. B. C. D.
2.已知复数 ，则 （）
A. 5B. C. D. 2
3.函数 的图像可能是（）
A. B.
C. D.
4.设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝－11，a4＋a6＝－6，则当Sn取最小值时，n等于()
9.设 分别是双曲线 的左、右焦点，且 ，则下列结论正确的是（）
A.
B.t的取值范围是
C. 到渐近线的距离随着t的增大而减小
D. 当 时，C的实轴长是虚轴长的3倍
10.如图为某省高考数学卷近三年难易程度的对比图（图中数据为分值）．根据对比图，其中正确的为（）
数学近三年难易程度对比
A. 近三年容易题分值逐年增加
A. 6B. 7C源自文库 8D. 9
5.如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E是棱CC1的中点，则平面AD1E与平面ABCD的交线与直线C1D1所成角的正切值为（）
A. B. C. D.2
6.现行普通高中学生在高一时面临着选科 问题，学校抽取了部分男､女学生意愿的一份样本，制作出如下两个等高堆积条形图：
16.如图，酒杯的形状为倒立的圆锥.杯深 ，上口宽 ，水以 的流量倒入杯中，则当水深为 时，时刻 ________ ，水升高的瞬时变化率 _________ .
四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17.在 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足 .
（1）求角A的大小；
18.已知正项数列 ，其前 项和为 ．
（1）求数列 的通项公式：
（2）设 ，求数列 的前 项和 ．
19.如图，在多面体 中， 是正方形， ，M为棱 的中点．
（1）求证：平面 平面 ；
（2）若 平面 ， ，求二面角 的余弦值．
20.第24届冬奥会将于2022年2月在中国北京市和张家口巿联合举行．某城市为传播冬奥文化，举行冬奥知识讲解员选技大赛．选手需关注活动平台微信公众号后，进行在线答题，满分为200分．经统计，有40名选手在线答题总分都在 内．将得分区间平均分成5组，得到了如图所示的频率分布折线图．
21.已知椭圆 的焦距为 ，经过点 ．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）设O为坐标原点，在椭圆短轴上有两点M，N满足 ，直线 分别交椭圆于A，B． ，Q为垂足．是否存在定点R，使得 为定值，说明理由．
22 已知函数 ．
（1）判断 的单调性，并比较20202021与20212020的大小；
（2）若函数 ，其中 ，判断 的零点的个数，并说明理由．
A.圆B.椭圆C.抛物线D.双曲线
8.已知函数 是定义域为 的偶函数，且 是奇函数，当 时，有 ，若函数 的零点个数为5，则实数 取值范围是（）
A. B.
C. 或 D. 或
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．
根据这两幅图中的信息，下列哪个统计结论是不正确的（）
A.样本中的女生数量多于男生数量
B.样本中有两理一文意愿的学生数量多于有两文一理意愿的学生数量
C.样本中的男生偏爱两理一文
D.样本中的女生偏爱两文一理
7.下图上半部分为一个油桃园.每年油桃成熟时，园主都需要雇佣人工采摘，并沿两条路径将采摘好的油桃迅速地运送到水果集散地 处销售.路径1：先集中到 处，再沿公路 运送；路径2：先集中到 处，再沿公路 运送.园主在果园中画定了一条界线，使得从该界线上的点出发，按这两种路径运送油桃至 处所走路程一样远.已知 ， ，若这条界线是曲线 的一部分，则曲线 为（）
B. 近三年中档题分值所占比例最高的年份是 年
C. 年的容易题与中档题的分值之和占总分的 以上
D. 近三年难题分值逐年减少
11.如图，已知长方体ABCD−A1B1C1D1中，四边形ABCD为正方形，AB=2，AA1= ，E，F分别为AB，BC的中点．则（）
A.A1E⊥DF
B. 点A1、E、F、C1四点共面
C. 直线C1D与平面BB1C1C所成角的正切值为
D. 三棱锥E−C1DF的体积为
12.若实数 ，则下列不等式中一定成立的是（）
A
B.
C.
D.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13.若 则 _________．
14.在 的展开式中， 的系数是___________.
15.某盒中装有10只乒乓球，其中6只新球，4只旧球，不放回地依次摸出2个球使用，在第一次摸出新球的条件下，第二次也取到新球的概率为_______．
（1）请根据频率分布折线图，画出频率分布直方图，并估计这40名选手 平均分；
（2）根据大赛要求，在线答题总分不低于190分的选手进入线下集训，线下集训结束后，进行两轮考核．第一轮为笔试，考试科目为外语和冰雪运动知识，每科的笔试成绩从高到低依次有 ， ， ， 四个等级．两科均不低于 ，且至少有一科为 ，才能进入第二轮面试，第二轮得到“通过”的选手将获得“冬奥知识讲解员”资格．已知总分高于195分的选手在每科笔试中取得 ， ， ， 的概率分别为 ， ， ， ；总分不超过195分的选手在每科笔试中取得 ， ， ， 的概率分别为 ， ， ， ；若两科笔试成绩均为 ，则无需参加“面试”，直接获得“冬奥知识讲解员”资格；若两科笔试成绩只有一个 ，则要参加面试，总分高于195分的选手面试“通过”的概率为 ，总分不超过195分的选手面试“通过”的概率为 ．若参加线下集训的选手中有2人总分高于195分，求恰有两名选手获得“冬奥知识讲解员”资格的概率．
雅礼中学2022届高三月考试卷（七）
数学
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1 已知集合 ， ，则 （）
A. B. C. D.
2.已知复数 ，则 （）
A. 5B. C. D. 2
3.函数 的图像可能是（）
A. B.
C. D.
4.设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝－11，a4＋a6＝－6，则当Sn取最小值时，n等于()
9.设 分别是双曲线 的左、右焦点，且 ，则下列结论正确的是（）
A.
B.t的取值范围是
C. 到渐近线的距离随着t的增大而减小
D. 当 时，C的实轴长是虚轴长的3倍
10.如图为某省高考数学卷近三年难易程度的对比图（图中数据为分值）．根据对比图，其中正确的为（）
数学近三年难易程度对比
A. 近三年容易题分值逐年增加
A. 6B. 7C源自文库 8D. 9
5.如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E是棱CC1的中点，则平面AD1E与平面ABCD的交线与直线C1D1所成角的正切值为（）
A. B. C. D.2
6.现行普通高中学生在高一时面临着选科 问题，学校抽取了部分男､女学生意愿的一份样本，制作出如下两个等高堆积条形图：
16.如图，酒杯的形状为倒立的圆锥.杯深 ，上口宽 ，水以 的流量倒入杯中，则当水深为 时，时刻 ________ ，水升高的瞬时变化率 _________ .
四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17.在 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足 .
（1）求角A的大小；