学而思第4讲盈亏问题教师版

第4讲盈亏问题

教学目标

本讲主要学习三种类型的盈亏问题：

1.理解掌握条件转型盈亏问题：

2.理解掌握关系互换性盈亏问题;

3.理解掌握其他类型的盈亏问题，

本节课要求老师首先上学生理解盈亏问题其本公式的含义，在通过例题让学生掌握解答应困问题的其本技巧，培养学生的思维分析能力。经典精讲

盈亏问题，故名思意有剩下就叫盈，不够分就叫亏，不同的方法分配物品时，经常会产程这种盈亏现象。盈亏问题的关键是专注两次分配时盈亏总量的变化。我们把盈亏问题分为三类：“一盈一亏”、“两盈”“两亏”。

1.“盈亏”型

例如：学而思学校四年级基础班的同学分糖果，如果每人分4粒就多9粒，如果每人分5粒则少6粒，问：有多少位同学分多少粒糖果？【分析】由题目条件知道，同学的人数与糖果的粒数不变，比较两种分配方案，第一种没人分4粒就多9粒，，第二种每人分5粒则少6粒，两种不同方案一多一少差9+6=15（粒），相差原理在于两种方案分配数不同，两次分配数之差为15115

÷=（位），糖果的粒数为：415969

⨯+=（粒）。

2.“盈盈”型

例如：老猴子给小猴子分桃，每只小猴10个桃，就多出9个桃，每只小猴分11个桃则多出2个桃，那么一共有多少只小猴子？老猴子一共有多少个桃子？

分析：老猴子的第一种方案盈9个桃子，第二种方案盈2个，所以盈亏综合是9-2=7（个），两次分配之差是11-10-1（个）有盈亏问题公式得，有小猴子：717

⨯+=（个）桃子。

÷=（只），老猴子有710979

3.“亏亏”型

例如：学而思学校新近一批书，将它们分给几位老师，如果每人发10本，还差9本，每人发9本，还差9本，第二次就只差2本了呢？因为两次分配数量不一样，第一次分配时每人少发一本，也就是共有717

⨯-=（本）。

÷=（人）书有710961

根据以上具体题目的分析，可以得出盈亏问题的基本关系式：

(盈+亏) ÷两次分得之差=人数或单位数

（盈-盈）÷两次分得之差=人数或单位数

（亏-亏）÷两次分得之差=人数或单位数条件转化型的盈亏问题

这种类型的题目不能直接计算，要将其中的一个条件转化，使之成为普通盈亏问题。

【例1】军队分配宿舍，如果每间住3人，则多出20人；如果每间住6人，余下2人可以每人住一个房间，现在每间住10人，

可以空出多少个房间？

【分析】每间住6人，余下2人可以每人各住一个房间，说明多出两个房间，同时多出两个人，也就是第二次分配少62210

⨯-=（人），那么两次分配方案人数相差20+10=30（人），即可以空出10-50105

÷=（间）房间。

【铺垫】学校给一批新入学分配宿舍。如果每个房间住12人，则34人没有位置；如果每个房间住14人，则空出4个房间。求学生宿舍有多少间，住宿学生有多少人？

【分析】把“每个房间住14人，则空出4个房间”转化为“每间住14人，则少14456

⨯=（人）”这样两种方案就可以比较了。

第一种方案多出34人，第二种方案少56人，90245

÷=（间），学生数为：124534574

⨯+=（人）

[例2]妈妈买来一篮橘子分给全家人，如果其中两人分4个，其余人每人分2个，则多出4个；如果其中一人分6人，其余人每人分4个，则缺少12个，妈妈买来橘子多少个？全加共有多少人？

【分析】由“其中两人分4个，其余每人分2个，则多出4个，”转化为全家每人都分2个，这分4个的两人每人都拿出2个，共拿出4个，结果就多了4+4=8个：由“一人分6个，其余每人分4个，则缺少12个”转化为全家每人都分4个，分6个的人拿出2个。结果就少了12-2=10个，转变成了盈亏问题的一半类型,则：

全家的人数：[422(122)](42)1829

+⨯+-÷-=÷=（人）

橘子的个数：29826

⨯+=（个）

【铺垫】实验小学的少先队员去植树。如果每人种5棵还有3棵每人种；如果其中2人各种4棵。其余的人各种6棵，这些树苗正好种完，问有多少少先队员参加植树，一共iozhong多少课树苗？

【分析】这是一道较难的盈亏问题，主要难在对第二个已知条件的理解上：如果其中2人各种4棵，其余的人各种6棵，就恰好种完，这组条件中包含着两种种树的情况——2人各种4棵，其余的人各种6棵。如果我们把他们统一成一种情况，让每人种六棵，那么，就可以多种树（6-4）24

⨯=（棵）。因此，原问题就转化为：如果每人各种5棵树苗，还有3棵没人种;如果每人种6棵数树苗，还缺4棵。问有多少少先队员，一共种多少树苗？

人数：[3+(6-4) 2⨯](65)7

÷-=(人)，

棵树：57338

⨯-=（棵）

⨯+=（棵）或67438

【小结】盈亏问题必须是将一定数量的物体平均分给固定对象，而本题中两次分橘子均不是每人分别的橘子数相同。碰到此类似情况时，不需将其调整成两次都是平均分，然后解答。

【例2】学校规定上午8时到校，小明去上学，如果每分钟走60米，可提早10分钟到校；如果每分钟走50米，可提早8分钟到

校，求小明几时几分离家刚好8时到校？由家到学校的路程

是多少？

【分析】小明每分钟走60米，可提早10分钟到校，即到校后还可多走6010600

⨯=米，如果每分钟走50米，可提早8分钟到校，即到校后还可多走50⨯8=400（米），第一种情况比第二种情况

每分钟多走60-50=10（米），就可以夺走600-400=200（米），

从而可以求出小明由家道校所需时间。

（1）10分钟走多少米？6010600

⨯=（米），

（2）8分钟走多少米？508400

⨯=（米）

（3）需要时间：（600-400）(6050)20

÷-=（分钟），所以小明7时40分离家刚好8时到校。

（4）由家到校的路程：60(2010)600

⨯-=（米）.

⨯-=（米）或50(208)600

【铺垫】童童从家到学校，如果每分钟走50 米，上课就要迟到3分钟；如果每分钟60米，就可以比上课时间提前2分钟夺走

60-50=10（米），就可以夺走150+120=270（米），童童从家到

学校所用时间是：2701027

÷=（分钟），加到学校的距离是：50(273)50301500

⨯+=⨯=（米）。

【例4】（第二届“华杯赛”试题）有一个半同学去划船。他们计算以下，如果增加一条船，正好每条船作6人；跑如果减少一条

船，正好每条船坐6人。如果减少一条船，正好每条船坐9人。

问：这个班共有多少学生

【分析】先增加一条船，那么正好每条船坐6人。然后去掉两条船，就会余下6212

⨯=（名）同学。改为每条船9人，也就是说，每条船增加9-6=3（人），正好可以把余下的12名同学全部安

排上去，所以现在还有1234

÷=（条）船，而全班同学的人数是9436

⨯=（人）。