第二章-z变换与离散时间傅里叶变换
第二章 z变换与离散时间傅里叶变换(DTFT)
2.2 z变换
定义： X ( z ) = ΖT [ x (n) ]
注意符号：时域小写 x 变换域大写 X
＝ ∑ x(n)z − n
n =−∞ ∞
∞
=
n =−∞
∑ x(n)r
− n − jω n
e
复变量： z = re jω ，复平面上的点 r = z 幅度，到原点的距离 ω 数字角频率, 与水平轴之间的夹角
重叠区域。一般缩小，个别扩大
十一、时域乘积定理 x(n) ⋅ h(n) ←⎯ → X ( z) ∗ H ( z) Rx − Rh− < z < Rx + Rh + 1 ⎛ z ⎞ −1 = ⎟ν dν ∫ X (ν )H ⎜ 2π j C ν ⎝ ⎠ 1 ⎛ z ⎞ −1 = ⎟ν dν ∫ H (ν )X ⎜ 2π j C ν ⎝ ⎠
Rx − < z < Rx +
Rx − < z < Rx +
2.4 z变换的基本性质和定理
若
ZT x(n) ←⎯→ X ( z)
Rx − < z < Rx +
五、共轭序列 x *(n) ←⎯ → X * ( z *)
Rx − < z < Rx +
六、翻摺序列
⎛1⎞ → X ⎜ ⎟, x(− n) ←⎯ ⎝z⎠ 1 1 < z < Rx + Rx −
实用公式——根据极点的阶，用相应的公式求留数
若zr 是X ( z )z n -1 的多重极点（l 阶极点），则该点处的留数
n -1 ⎤ X z Res ⎡ ( )z ⎣ ⎦ z = zr
1 d l −1 ⎡ l = ⋅ l −1 ( z − zr ) X ( z )z n -1 ⎤ ⎦ z = zr ( l－1)! dz ⎣
z变换与傅里叶变换关系
z变换与傅里叶变换关系
Z变换和傅里叶变换都是信号处理中常用的数学工具，它们之间
有一定的关系。
具体来说，Z变换可以看作是傅里叶变换在离散时间下的扩展。
我们知道，傅里叶变换是将一个连续时间信号转换到连续频域的过程，而Z变换则是将一个离散时间信号转换到离散频域的过程。
因此，在
一定条件下，可以将一个离散时间信号通过Z变换得到它的频域表达式，然后将其转换为连续频域表达式，即得到该信号的傅里叶变换表
达式。
具体地，假设一个离散时间信号为x[n]，其Z变换为X(z)，则
有以下关系：
X(z)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n]z^{-n}
而其傅里叶变换为X(\omega)，则有以下关系：
X(\omega)=X(e^{j\omega})=\sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n]e^{-
j\omega n}
其中，e^{-j\omega n}是傅里叶变换中的复指数函数，与z^{-n}的形
式类似。
需要注意的是，Z变换和傅里叶变换的应用场景是不同的。
Z变
换主要用于处理离散时间信号，而傅里叶变换主要用于处理连续时间
信号，不能混淆使用。
数字信号处理教程2z变换与离散时间傅里叶变换2
ROC：一般情况下，取二者的重叠部分
即 max(Rx1, Ry1) < z < min(Rx2, Ry2 )
某些线性组合中某些零点与极点相抵消，则收敛域可能扩大。
浙江理工大学 2010
2.4 z变换的基本性质和定理
例1 已知x(n) = cos(ω0n)u(n)，求它的z变换。
解： 由 得
( ) cos
= lim[x(n +1)] = lim x(n)
n→∞
n→∞
浙江理工大学 2010
2.4 z变换的基本性质和定理
九．有限项累加特性
若 x(n)为因果序列，即x(n) = 0, n < 0；X (z) = Z[x(n)]
∑ 则
n
Z[ x(m)] =
z
X (z),
m=0
z −1
z
>
max[
R x
−
,1]
y(n) = anu(n − 1) ↔ Y (z) = a
z−a
z>a z>a
x(n) − y(n) = δ(n) ↔ X (z) − Y (z) = 1
零极点相消，收敛域扩大为整个z平面。
浙江理工大学 2010
2.4 z变换的基本性质和定理
二．序列的移位
原序列不变，只影响在时间轴上的位置。
x(n) 4
⎦
| z |>| e± jω0 | = 1
=
1[ 2 1−
1 e jω0
z −1
+ 1 ] − jω0 −1 1 − e z 浙江理工大学 2010
=
1−
1− z −1 cos ω0 2z −1 cos ω0 +
数字信号处理____第二章 离散时间傅里叶变换(DTFT)
x a (t )e
st
e
jk
2 T
t
dt
用傅里叶级数表示
即：Z变换可看成是x(n)乘以指数序列r-n后的傅里叶变换。 2、单位圆上的Z变换就是序列的傅里叶变换
X a ( s jk s )
k
周期延拓
z re
j
r 1 z e
j
X (z)
ze
sT
X (e
M N
y (n)
m 0
bm x (n m )
k 1
ak y (n k )
23
24
4
§2.3 离散线性移不变（LSI）系统的频域特征
2、变换域中的表述 用系统函数H(z)来表征（指明收敛域）
§2.3 离散线性移不变（LSI）系统的频域特征
用频率响应来H(ejω)表征
H (e
x ( n )e
j ( n )
]
X (e
*
j
)
满足共轭反对称性
X o (e
j
) X o (e
)
19
20
§2.2 离散时间傅里叶变换（DTFT)
4、信号的实部和虚部的傅里叶变换
x ( n ) Re[ x ( n )] j Im[ x ( n )]
§2.2 离散时间傅里叶变换（DTFT)
j
)] X e ( e
j
)
Im[ X ( e
j
)] Im[ X ( e
j
奇函数
j Im[ x ( n )]
1 2
[ x ( n ) x ( n )] 1 2
本科专业认证《数字信号处理》课程教学大纲
《数字信号处理》课程教学大纲（Digital Signal Processing）编写单位：计算机与通信工程学院计算机科学与系（教研室）编写时间：2021 年 7 月《数字信号处理》课程教学大纲一、基本信息课程名称：数字信号处理英文名称：Digital Signal Processing课程类别：专业教育课程课程性质：选修课课程编码：08100J0257学分：2总学时：32学时。
其中，讲授学时20学时，实验学时12，上机学时0适用专业：计算机科学与技术、计算机科学与技术专业卓越工程师先修课程与知识储备：人工智能基础、信号与系统、MATLAB建模与仿真技术二、课程简介：该课程系统介绍了数字信号z域分析技术z变换，数字信号连续w域分析技术DTFT，数字信号离散w域分析技术DFT，以及数字IIR滤波和FIR滤波器的设计方法及实现结构。
通过本课程学习，学生能够掌握数字信号处理的基本原理和技术，为学习后续专业课程和从事数字信号处理算法研究及其工程实现技术打好基础。
三、教学目标1、课程思政教学目标：通过数字信号处理技术在国家民众生产生活中的影响，培养学生的爱国意识和对新技术的研究探索精神。
2、课程教学总目标：使学生掌握数字信号处理的基本分析方法和分析工具，为从事通信、信息或信号处理等方面的研究工作打下基础。
3、课程目标与学生能力和素质培养的关系：课程思政目标将科学研究精神与爱国主义有机融合，有利于培养德才兼备的通信专业人才；课程教学目标使学生掌握数字信号处理的分析和研究方法，培养学生独立分析问题与解决问题的能力，提高科学素质。
四、课程内容及学时分配本课程内容、建议学时以及知识单元如表1所示。
表1 课程内容及学时分配五、教学方法及要求1、教学方法要求要求任课教师具有通信工程专业背景；严格按照教学大纲执行教学计划，教材选择贴合教学大纲，体现教学目标；采用线上+线下混合式教学，课堂教学结合图形动画视频等多媒体资源，调动学生多种学习感官；课后利用微信、QQ、网络教学平台等多种线上资源，扩大学生的学习空间和形式；并通过一定的上机操作提高学生的动手实践能力，进一步加深理论知识；在讲授过程中，淡化公式推导，注重物理意义，去繁求简，抓住主线，由点到线，由线到面。
z变换和离散傅里叶变换的关系
z变换和离散傅里叶变换的关系在信号处理的领域中，z变换和离散傅里叶变换(DFT)是两个非常重要的概念。
这两个概念在数字信号处理中都有着广泛的应用。
虽然它们的定义和使用不同，但是它们之间存在着密切的关系。
我们来了解一下z变换和离散傅里叶变换的定义。
z变换是一种数学变换，它将离散信号在z平面上进行变换，得到一个复变量函数。
z变换的定义式为：X(z) = Σ[n=-∞,∞] x[n]z^-n其中，x[n]是离散时间信号，X(z)是z变换后的结果。
而离散傅里叶变换是一种信号分析方法，它将离散时间信号在频域上进行分析，得到离散频谱。
离散傅里叶变换的定义式为：X[k] = Σ[n=0,N-1] x[n]e^(-j2πnk/N)其中，x[n]是离散时间信号，X[k]是离散频谱的第k个频率分量。
虽然z变换和离散傅里叶变换的定义看起来很不一样，但是它们之间存在着一种紧密的联系。
实际上，离散傅里叶变换可以看作是z 变换在单位圆上的取样结果。
具体来说，我们可以通过z变换和离散傅里叶变换之间的关系来解释这个问题。
首先，我们可以将z变换的复变量z表示为单位圆上的点：z = e^(jω)其中，ω表示单位圆上的角度。
将z代入z变换的定义式中，我们得到：X(e^(jω)) = Σ[n=-∞,∞] x[n]e^(-jωn)这个式子看起来很像离散傅里叶变换，但是它是关于复变量e^(jω)的函数。
如果我们在单位圆上取N个等间距的点，例如：e^(j2πk/N)其中，k=0,1,2,...,N-1。
将这些点代入上面的式子，我们得到：X(e^(j2πk/N)) = Σ[n=0,N-1] x[n]e^(-j2πkn/N)这个式子就是离散傅里叶变换的定义式！因此，我们可以将离散傅里叶变换看作是z变换在单位圆上取样的结果。
离散傅里叶变换的N个频率分量对应着z变换在单位圆上的N个采样点。
需要注意的是，离散傅里叶变换和z变换之间的关系只在单位圆上成立。
数字信号处理-z变换与离散时间傅立叶变换(DTFT)
N a i y i ( n ) T a i xi ( n ) i 1 i 1
N
9
4.移不变系统
——系统的响应与激励施加于系统的时刻无关
x ( n)
移位m
T[ ]
T [ x(n m)]
x ( n)
T[ ]
移位m
y ( n m)
10
5.单位抽样响应与卷积和
序列x(n)的Fourier反变换定义：
a<-1
0<a<1
-1<a<0
a=1
a=-1
7
5.复指数序列 x(n) Ca n
x(n) C a n cos(0 n ) j sin( 0 n )
|a|=1
C C e j a a e j0
|a|>1
|a|<1
8
3.线性系统
——满足叠加原理（可加性、比例性）
15
1.1 z变换的定义
序列x(n)的Z变换定义为：
X ( z) Z x(n) x(n) z
n
n
Z是复变量，所在的平面称为Z平面
16
1.2 z变换的收敛域
对于任意给定的序列x(n)，使其Z变换X(z)收敛的所有z值
的集合称为X(z)的收敛域(Region of convergence,ROC)。
=X (e
jT
ˆ ( j ) ) X a
抽样序列在单位圆上的z变换=其理想抽样信号的傅里叶变换
52
第五节 序列的傅立叶变换（DTFT）
5.1 序列的傅立叶变换定义
序列x(n)的Fourier变换定义：
X (e ) DTFT [ x(n)]
数字信号处理——第2章 离散时间傅里叶变换与Z变换
• 总结：
①序列ZT的收敛域以极点为边界（包含0 和 ②收敛域内不含任何极点，可以包含0 ③相同的零极点可能对应不同的收敛域，即： 不同的序列可能有相同的ZT ④收敛域汇总：右外、左内、双环、有限长z平面
）
常见典型序列z变换
序列 Z变换 收敛域
z a
z b
注意：只有z变换和它的收敛域两者在一起才和序列相对应。 其它序列见P54： 表2-1 几种序列的z变换
2.3
z反变换
Z反变换: 从X(z)中还原出原序列x(n)
X ( z ) ZT [ x ( n)]
n
x (n) z n
实质：求X(z)幂级数展开式
Z反变换的求解方法： 留数定理法
部分分式法
长除法
1. 留数定理法
根据复变函数理论，可以推导出
x ( n)
1 2 j
X ( z ) z n 1dz
1 1 3z 1
n
z 2
2 n u ( n)
z 3
3
n
n
u (n 1)
x n 2 u n 3 u n 1
3. 幂级数法（长除法）
如果序列的ZT能表示成幂级数的形式，则序列x(n) 是幂 级数 说明： ①这种方法只对某些特殊的ZT有效。 ②如果ZT为有理函数，可用长除法将X(z)展开成幂级 数。 若为右边序列（特例：因果序列），将X(z)展开成负幂 级数； 若为左边序列（特例：反因果序列），将X(z)展开成正 幂级数； 中
z z 1 1 X z 1 z 2 z 3 1 2z 1 3 z 1
1 ZT [a u (n)] z a 1 1 az 1 n ZT [a u (n 1)] z a 1 1 az
第2章 序列的傅里叶变换和z变换
X (e j ) X *(e j )d 1
2
X (e j ) d
2
2
❖ 帕斯维尔定理告诉我们，信号时域的总能
量等于频域的总能量。要说明一下，这里频域
总能量是指|X(ejω)|2在一个周期中的积分再乘以
1/(2π)。最后，表2-1综合了FT的性质，这些性
质在分析问题和实际应用中是很重要的。
2020/3/22
k
m
H (e j ) X (e j )
2020/3/22
西安建筑科技大学信息与控制学院
12
❖ 5. 频域卷积定理
❖ 设y(n)=x(n)·h(n)
2-11
证明
Y (e j ) 1 X (e j ) * H (e j ) 1 X (e j )H (e j( ) )d
2
2
Y (e j )
j
2 N
kn
n0
❖ (2.22)式就是利用冲激函数，以及周期序列的离散傅 里叶级数表示周期序列的傅里叶变换的表达式。
2020/3/22
西安建筑科技大学信息与控制学院
23
❖ 例 2-2 设x(n)=R4(n)，将x(n)以N=8为周期进行周期 延拓得到的序列(如图2-4(a)所示)，求序列的FT。
❖ 解： 按照(2-18)有
❖
xe(n)=x*e(-n)
2-23
❖ 则称xe(n)为共轭对称序列。对于实序列来说，这一 条件变成xe(n)＝xe(-n)，即xe(n)为偶对称序列。对于 一般的复序列可表示为
❖
xe(n)=xer(n)+jxei(n)
2-24
❖ 即实部与虚部和的形式。上式中用-n代替n，并取共
轭，得
z变换和离散傅里叶变换的关系
z变换和离散傅里叶变换的关系
摘要：
Z变换和离散傅里叶变换是两种很相似的变换，它们都是针对信号的变换，其中Z变换可以将信号从时域中转换至频域，而离散傅里叶变换则将信号从时域转换至频域，而且这两种变换都可以将信号进行滤波和分解。
本文主要阐述了Z变换和离散傅里叶变换之间的异同，并讨论它们之间的关系。
关键词：Z变换；离散傅里叶变换；关系
Z变换与离散傅里叶变换之间的关系
离散傅立叶变换（DFT）和Z变换是两种常用的信号处理技术。
它们拥有一些共同的类似特性，都可以用于从时域转换到频域，都可以用于进行滤波和分解。
但也有一些显著的差异，Z变换大多只能用于线性时不变的（LTI）系统；而DFT则可以用于线性时不变的和非
线性时不变的系统，比如微分方程、非线性系统等，从而可以满足更复杂的需求。
首先，两者都是基于线性时不变的系统的，只是实现的方式有所不同。
DFT的输入为一组数据，输出为一个复数，而Z变换则以一种矩阵形式表示，它将输入数据转换为一种特定的形式，即Z矩阵，从而将采样序列变换为一种特定的频谱。
其次，在应用上，Z变换和DFT也有所不同：Z变换可用于确定LTI系统的响应，而DFT则可以用于对信号进行分析，比如频率分析和信号压缩等，同时它也可以用于建模非线性系统。
总之，Z变换和DFT都可以用于信号的处理，它们之间的关系是相互补充的，DFT更适用于线性时不变的和非线性系统，而Z变换则更适用于线性时不变的系统，而两者一起应用可以加快系统的处理速度，提高系统对复杂信号的处理能力。
02-第二章 序列的Z变换与傅里叶变换
根据级数理论，式(2.1)收敛 的充分必要条件是满足绝对 可和条件，即
n
| x(n)z
n
|＜
根据罗朗级数性质，收敛域一般是某个环域
收敛半径Rx-可以小到0，Rx+可以大到∞
收敛域以原点为中心，Rx-和Rx+为半径的环域
10
2.2.2 几种序列的Z变换及其收敛域
显然，级数X(z) 收敛。
讨论：级数X(z)中没有负幂项， |z|= 0时级数收敛，因此收敛域 包括0点，即为 0 ≤ |z| ＜ Rx+
18
左边序列（非因果）的收敛域
当n2＞0时，序列为非因果序列
X ( z)
n n | x ( n ) z | n2 n n n | x ( n ) z | | x ( n ) z | n 0 1 n2
例：长除法--X(z) 升幂排列
例2.7 求
3z 1 X ( z) (1 3z 1 )2
，|z|＜ 3的逆Z变换。
解：收敛域是圆内部，对应左边序列。当z=0时，X(z)趋 近于有限值0，说明收敛域包括0点，因此是逆因果序列。 把X(z)的分子分母按z的升幂排列
3z 1 X ( z ) 2 9 z 6 z 1 1
| ＜
14
右边序列（因果）的收敛域
假设：z是圆外任意一点，即|z|＞|z1|
当n1≥0时，序列为因果序列
n X ( z ) | x(n)z n | ＜ | x(n)z1 | ＜ n n1 n n1
显然，级数X(z) 收敛。
第二章 信号的傅里叶变换与分析
式（2.2-5）表明将周期序列分解为N次谐波，第k个谐波的频率为 ~ k (2 / N )k , 幅度为 (1/ N ) X (k ) 。基波分量的频率是 2 / N ，幅度 是 (1/ N ) X (1) 。一个周期序列可以用其DFS表示它的频谱分布规律。
~
~ 周期序列 X x (n) 的一个周期 x(n)作Z变换， (k ) 可看为是对 ~ 然后将其Z变换在Z平面单位圆上按等间隔角频率抽样 再延拓而得到的。例：
3. 时间翻转性
DTFT [ x(n)] X (e j )
（2.1-7）
即按时间翻转的结果是DTFT按频率翻转。
4. 时域卷积定理
若 则
y(n) x(n) * h(n)
Y (e j ) X (e j ) H (e j )
（2.1-8）
5. 频域卷积定理
若
则
y(n) x(n) h(n)
2反转定理若有限长序列的离散傅里叶变换为序列的循环移位设为有限长序列长度为n则的循环移位定义为2313时域循环移位定理设为有限长序列长度为n2314其中将有限长序列的时域循环移位定理与傅氏变换时移性质比较由于傅氏变换区间在因此无论如何位移不会影响变换区间而dft的变换区间为移位时必须考虑到
第一节 离散时间序列傅里叶变换
H (e j ) H ( z ) | j z e
为离散时间系统的频率响应特性。
DTFT成立的充分条件为满足绝对可和：
n
x ( n)
（2.1-2）
注意：若在频域引入冲激函数，则非绝对可和序 列的 DTFT也可能存在。
序列的傅里叶反变换：
x ( n) 1 2
1 X e (e j ) [ X (e j ) X * (e j )] 2
z变换和傅立叶之间的关系
z变换和傅立叶之间的关系1. 什么是z变换和傅立叶变换在数字信号处理中，z变换和傅立叶变换是两个非常重要的概念。
Z变换是离散时间信号的傅立叶变换的推广，它把离散时间序列转换成函数。
傅立叶变换则是对连续时间信号进行变换，并把它们表示为一系列正弦和余弦曲线的加权和，这个过程就是将时域信号转换到频域。
2. 数学表达z变换和傅立叶变换都可以用数学公式表达。
对于离散时间信号$x[n]$，其z变换为：$$ X(z)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x[n]z^{-n} $$对于连续时间信号$x(t)$，其傅立叶变换为:$$X(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty} x(t)e^{-i\omegat}dt$$其中，$z$和$\omega$都是复数，$t$和$n$表示时间或样本点。
3. 相似之处虽然在处理的信号不同，但z变换和傅立叶变换有着很多相似之处。
它们都能把一个信号从一个域(时域或离散域)转换到另一个域(频域或复平面域)，并且可以通过反转变换把信号还原到原来的域中。
4. 不同之处尽管z变换和傅立叶变换有很多相似之处，但它们的应用场景是不同的。
Z变换主要用于分析和描述离散时间信号的特性，比如其稳定性、收敛区域、系统性质等，而傅立叶变换则常常用于分析连续时间信号的频谱、带宽、峰值等特性。
此外，Z变换适用于对离散系统进行频域分析，而傅立叶变换则适用于线性时不变系统的性质分析。
5. 综合应用在实际应用中，z变换和傅立叶变换常常需要互相配合使用。
比如，在数字滤波器设计中，我们需要使用z变换来分析和设计滤波器的性质，但是为了检验滤波器的性能和正确性，我们需要把信号变换到频域，这就需要使用傅立叶变换。
总的来说，z变换和傅立叶变换是数字信号处理中两个重要的数学工具，它们在理论分析、算法设计和实际应用中都扮演着不可替代的角色。
只有深刻理解它们之间的关系以及优缺点，才能更好地进行数字信号处理相关工作。
2.z变换与离散时间傅里叶变换(DTFT)
z 变换与离散时间Fourier 1、z 变换2、离散时间3、序列的z Fourier 变换的关系4、离散系统的系统函数，系统的频率响应信号与系统的分析方法：时域分析方法 变换域分析方法连续时间信号与系统： Fourier Laplace离散时间信号与系统： z 变换离散时间信号与系统的分析方法2.1.1 z 变换的定义2.1 z 变换：z X )(其中成一个复平面，称为ωj e r z ⋅=(x z 反变换：其中，积分路径是在逆时针旋转的闭合围线。
在数字信号处理中，不需要用围线积分来求2.1.2 z 变换的收敛域对任意给定序列的所有z 值的集合称为z 变换公式的级数收敛的充要条件是满足绝对可和，对某一具体的使该不等式成立，这个域，收敛域内不能有极点。
n ∞=−∞∑2.1.3 4 种典型序列的除0 和∞两点是否收敛与n 1和n 2取值情况有关外，整个z 平面均收敛。
1. 有限长序列x (n ) 只在n 1≤n ()()z X z x n 其变换：即要求： ROC 至少为：1()()X z x n z −=0(0)x z +如果n 2 ≤0 n 1<0，n 2≤如果n 1≥0 n 1≥0，n 2> 0如果n 1< 0 <n 1<0，n 2 > 0 1100n n Roc ∴≥<当时， 当时， 因果序列的处收敛在∞处收敛的变换，其序列必为因果序列在工程中，人们感兴趣的主要是因果序列。
1()()n n X z x n ∞==∑2. 右边序列x (n ) 在n ≥n 1时有值，在2200n n Roc ∴≤>当时， 当时，2()()()n n n X z x n x n =−∞=−∞==∑∑3. 左边序列x (n ) 在n ≤n 2 时有值，在x x x x x R R R R z R −+−++∴≥<<<当时， 当时，0()()()nn n X z x n x n z ∞−=−∞==∑ Roc: 0≤前式 Roc: x R −后式4. 双边序列n 为任意值时x 例1：x (n )=δ(变换及收敛域。
第二章 z变换与离散时间傅里叶变换(DTFT)
F(e
jωC
1 ) F(e j 0 ) 2
1
2
1 a 2a cosωC
1 2( 1 a)
ωC 0.006 rad
1
c f f s 15 Hz 2π
F ( e j )
...
1 2 1 a
0
n
2
c
2
三、FT与DTFT的关系
1 j ˆ a ( j) | T X a ( j 2k ) X (e ) X T k T
z e
数字频率表示z平面的辐角，它和模拟角频率的 关系为
f T 2 fs fs
所以说，数字频率是模拟角频率的归一化值，或 是模拟频率对抽样频率的相对比值乘以2
X ( z ) |z e
j
1 2k j X (e ) X a ( j ) T k T
FT
x1 (n) e
jω0 n
DTFT
X 1 (e jω ) 2π
FT
m
(ω ω
0
2mπ )
2） cosω0t π [δ (Ω ω0 ) δ (Ω ω0 )]
x2 (n) cosω0 n
DTFT
π
m
[ (ω ω
1 1 n 1 x ( n) |z|1 X ( z) z dz 2 2j
X (e
j
)e
jwn
dw
• 序列的傅里叶变换是序列的z变换在单位圆 上的值
• 利用ZT和DTFT的关系可以有ZT计算DTFT。
例1、计算门序列的DTFT
2第二章-z变换
调用： num [ p0 , p1 , p2 , , pM ]
den [d 0 , d1 , d 2 , , d N ] H freqz(num, den, )
ˆ X a ( s)
X (z )
思考练习
?
X a (s)
2. Z变换与傅里叶变换
s j 的拉普拉斯变换即为傅里叶变换，
ze e
sT
jT
映射为z平面的单位圆
jT
X ( z ) z e jT X (e
ˆ ) X a ( j)
抽样序列在单位圆上的z变换，等于其理想抽 样信号的傅里叶变换。
c
c
| H (e j ) |2 d
c
Parseval定理
序列的傅立叶变换是从频域对离散时间信号和系
统进行分析。它是用{ 变换用{
jt
e
j n
}作为基函数对序
列进行正交展开，这与连续时间信号中的傅立叶
e
}对模拟信号进行展开相似。
4. 序列傅立叶变换的对称性
• 序列的共轭对称性质
xe (n) xe (n) 若序列 xe (n)满足
则称 xe (n)为共轭对称序列
若序列xo (n)满足 xo (n) x
o
( n)
则称 xo (n)为共轭反对称序列
任何序列 x(n)均可表示成上述两种序列之和，
即x(n) xe (n) xo (n) 1 xe ( n) {x( n) x ( n)} 2 其中 1 xo ( n) {x( n) x ( n)} 2
2 z变换与离散时间傅里叶变换
第2章 z变换与离散时间傅里叶变换
图2-5 双边序列及收敛域
21
第2章 z变换与离散时间傅里叶变换
2.3 z反变换
一、 z反变换的定义
1. 定义:已知函数X(z)及其收敛域，反过来求序列 x(n)的变换称为z反变换，表示为
x(n) Z 1[ X ( z )]
(2-9)
2. z反变换的一般公式 若
c k
(2-18a)
x ( n)
2 j c
X ( z ) z n 1dz Re s[ X ( z ) z n 1 ]z zm
m
k
(2-18b)
其中： Re s[ X ( z ) z n 1 ]z z 表示函数X(z)zn-1在极点z=zk
（c以内极点）上的留数。 s[ X ( z ) z n 1 ]z z 表示函数 Re
x(n), n n2 x ( n) n n2 0,
n
n2
x ( n) z n
n
x ( n) z n x ( n) z n
n 1
0
n2
(2-7)
1）第二项为有限长序列的z变换,其收敛域为0<|z|<∞; 2）第一项为z的 正 幂次级数，由阿贝尔定理可知, 其收敛域为 0≤|z| < Rx+; 两个收敛域的交集即为左边序列的收敛域，即：
jIm[z]
|z|＝Rx＋
c o
|z|＝Rx－
Re[z]
图2-11 围线积分路径
23
第2章 z变换与离散时间傅里叶变换
二．z反变换方法 直接计算围线积分是比较麻烦的，实际上, 求z反变换时，往往可以不必直接计算围线积分。 一般求z反变换的常用方法有三种： 1. 围线积分法（留数法）; 2. 部分分式展开法; 3. 幂级数展开法（长除法）.
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• 如果n1<0<n2，收敛域不包括0 、∞点
n1 0, n2 0时，0 z
2）右边序列
x(n)
x(n)
0
n n1 n n1
当n1
0时，Roc
:
R x
z
当n1 0时，Roc : Rx z
x(n)zn M
n
1）有限长序列
x(n)
x(n) 0
n1 n n2 其它n
n2
其Z变换：X (z) x(n)zn
n n1
Roc至少为： 0 z
j Im[z]
Re[z] 0
• 除0和∞两点是否收敛与n1和n2取值情况 有关外，整个z 平面均收敛。
j Im[z]
Re[z]
0
Rx
n2 0
4）双边序列
n为任意值时皆有值
1
其z变换：X (z) x(n)zn x(n)zn
n
前式Roc: 0 z Rx
后式Roc: Rx z
当R x
Байду номын сангаас
R x
时，Roc
:
n0
j Im[z]
Rx
0
Re[z]
X (z) ZT[x(n)] x(n)zn
n
实质：求X(z)幂级数展开式 z反变换的求解方法：
围线积分法（留数法） 部分分式法 长除法
1、围数积分法求解（留数法）
若函数X(z)zn-1在围数C上连续，在C以内有K
个极点zk，而在C以外有M个极点zm，则有：
左边序列的z变换收敛域一定在模最小 的有限极点所在圆之内
j Im[z]
a
b 0
c
Re[z]
j Im[z]
a
b Re[z]
0
c
j Im[z]
a 0
b Re[z] c
j Im[z]
a
b 0
Re[z] c
§2.2 z反变换
z反变换: 从X(z)中还原出原序列x(n)
x(n) IZT[X (z)]
j Im[z]
•因果序列的z变换必在∞处收敛 •在∞处收敛的z变换，
其序列必为因果序列
Rx
0
Re[z]
n1 0 包括z 处
3）左边序列
0
x(n)
x(n)
n n2 n n2
当n2 0时，Roc : 0 z Rx 当n2 0时，Roc : 0 z Rx
1 1 az1
Roc : z a
a Re[z]
0
零点：z 0 极点：z a
例5：求x(n)=a|n|，a为实数，求ZT及其收敛域
1
解：X(z)= x(n)zn = a n zn = anzn anzn
n
n
n
n0
= an zn an zn
n 1
n0
anzn
az
n 1
1 az
az 1 z 1/ a
an zn
n0
1 1 az1
az1 1 z a
当 a 1时，无公共收敛域，X(z)不存在
当a
1时，X (z)
az 1 az
1
1 az
1
z(1 a2 ) (1 az)(z a)
n
N 1
=
n0
zn
1 zN 1 z1
zN 1 z N 1(z 1)
n2 qn qn1 qn2 1
n n1
1 q
n2 时须满足 q 1
j Im[z]
零点：z
e
j 2 r
N
r 1,..., N 1
Re[z]
极点：z 0 （N 1）阶
Rx
当R x
Rx时，Roc : Rx
z
Rx
例1
[n]ZT 1,0 z
δ [n]zn 1 n
收敛域应是整个z的闭平面
例2：求x(n)=RN(n)的z变换及其收敛域
解：X(z)= x(n)zn = RN (n)zn
n
第二章 z变换和DTFT
本章主要内容：
1、z变换的定义及收敛域 2、z变换的反变换 3、z变换的基本性质和定理 4、离散信号的DTFT 5、z变换与DTFT的关系 6、离散系统的z变换法描述
§2.1 z变换的定义及收敛域
信号和系统的分析方法有两种： ——时域分析方法 ——变换域分析方法
连续时间信号与系统 —— LT FT 离散时间信号与系统 —— ZT FT
X (z) x(n1)zn1 x(n1 1)z(n11) x(1)z1 x(0)z0 x(1)z1 x(n2 1)z(n21) x(n2 )zn2
• 如果n2≤0 ，则收敛域不包括∞点
n1 0, n2 0时，0 z
• 如果n1≥0 ，则收敛域不包括0点
一、ZT的定义
X (z) x(n)z n n
x(n) X (z), z : (1, 2)
z 是复变量，所在的复平面称为z平面
二、ZT的收敛域
对于任意给定序列x(n)，使其z变换X(z)收 敛的所有z值的集合称为X(z)的收敛域。
级数收敛的充要条件是满足绝对可和
a
Re[z]
0
例4：求x(n)=-anu(-n-1)的变换及其收敛域
解：X(z)= x(n)zn = anu(n 1)zn
n
n
= an zn = an zn
n 1
n1
当 a1z 1时 j Im[z]
a 1 z 1 a1z
0
Roc : 0 z
例3：求x(n)=anu(n)的变换及其收敛域
解：X(z)= x(n)zn = anu(n)zn = an zn
n
n
n0
1
1 az
1
当 az1 1时
j Im[z]
Roc : z a 零点：z 0 极点：z a
Roc : a < z 1/ a
j Im[z]
零点：z 0, 极点：z a,a1
a
Re[z]
0
1/ a
给定z变换X(z)不能唯一地确定一个序列， 只有同时给出收敛域才能唯一确定。
X(z)在收敛域内解析，不能有极点，故：
右边序列的z变换收敛域一定在模最大 的有限极点所在圆之外