5-5 电场强度与电势梯度的关系
电场强度与电势的关系
电场有两个宏观性质
1.对引入其中的电荷有力的作用； 2.对运动电荷做功。
场强 高斯定理 静电场是有通量源场
功与路径无关（环流定理） 静电场是保守场（有势场）
一、等势面 电势相等的空间各点所组成的面
1）沿等势面移动电荷，电场力不作功
A12 qV1 V2 0
2）等势面处处与电场线正交
结论：电场线指向电势降落的方向
二、场强与电势的微分关系
V1 V2 dV E dl Edl cos
E cos dV
dl
E
dl
1
2
V1 V2 V1 du
dV dl
为电势函数沿
dl
方向经单位长度时的变化，即
电势沿 dl 方向的空间变化率。
电场中某点场强沿某一方向的分量等于电势沿此方向的 空间变化率的负值。
4 0 R 2 x 2
利用电场强度与电势梯度的关系
E V
V
Q
4 o R2 x2
dQ
r
R
0
xP
x
Ex
V x
4 0
xQ x2 R2
3 2
有对称性可得： E y Ez 0
E Ex i Ey j Ez k
4 0
xQ x2 R2
3 2
i
2）方法二（场强叠加原理）
dQ
E
4 0
x2 R2
3 2
Q
4 0 R 2 x 2
பைடு நூலகம்
例 设有一均匀带电直线段长度为L，总电荷量为q，求其延
长线上一点P电势和电场强度。
P
a
P’
dE
x’
dx’
r
x
电势电势梯度
静电场的环路定理
当带电体在静电场中移动时，静电场力对带电体要作 功，这说明静电场具有能量。
一、静电场力的功
d A = F . d l = q E .dl b r rb = q E .dl cosφ dl qq φ φ q = q E .dr = 4 r 2d r π ε ra q E q q rb d r qq 1 1 a A= 2 = r r 4π 4 π ra r b ε a ε
§5-5
等势面 电场强度与电势梯度的关系
注：相邻等势面之间的电势差相等。
一.等势面：在静电场中，电势相等的点所组成的面。
等势面的性质： （2）等势面与电场线处处正交 （3）电场线指向电势降低的方向 （4）等势面和电场线密集 处场强量值大，稀疏处场强 量值小
（1）在静电场中，沿等势面移动电荷时，电场力作功为零
=
q 4πε
o
[
x (x + R )
2 2 3 2
]
V dV
B2
n
B3
dn φ
B1
dV E dn
V
dl
II I
E
dV E dn
负号表示E与n的方向相反，正是E的方向
dV E n gradV dn
电场中各点的场强等于各点的电势 梯度矢量的
负值。
任一方向的电场强度的分量：
V dV
B3 II dn φ
B2
n
1. 点电荷的电势 Vp =
p
E .dl =
8
q 4 πε 0 r
2
8
p
d r cos 0
0
q 1 1 4o r r a
电场强度与电势梯度的关系
电场强度与电势梯度的关系
电场与电势是相互关联的，电势是电场的线积分，电场是电势的变化梯度，即电势的求导，电势变化越快的地方电场越强，有一个特殊的地方，电势零点可以任意选取，电场不为零的地方电势可以为零，电势为零的地方电场可以不为零电场线与等势面的关系：电场线越密的地方等差等势面也越密，电场线与通过该处的等势面垂直。
1、电场线与等势面的关系：电场线越密的地方等差等势面也越密，电场线与通过该处的等势面垂直。
2、场强与电势的关系：场强和电势无因果关系。
场强的方向是电势降落最快的方向，场强大小标志着沿电场线方向电势降落的快慢，场强数值和电势数值无因果关系。
3、电场线与等势面的关系：电场线越密的地方等差等势面也越密，电场线与通过该处的等势面垂直。
4．场强与电势的关系：场强和电势无因果关系。
场强的方向是电势降落最快的方向，场强大小标志着沿电场线方向电势降落的快慢，场强数值和电势数值无因果关系。
电场线假设与等势面不垂直，那么沿等势面就有分量，这样电荷在沿等势面移动时电场力就可做功，故假设不正确。
因此，电场线应与等势面垂直。
电场线越密处，电荷所受电场力大，移动相同距离电场力做功多也可能是克服电场力做功多，故在此处沿电场线方向移动相同距离比疏处电势差大。
那么相邻等势面差值一样时，电场线越密处等势面也越密。
8.5电场强度与电势梯度的关系
E
ds
等势面——规定、性质、梯度
gradU
U n
n
三、 q、E、U 三者关系网
1、 q E
E
1
4 0
dq r3
r
sE
ds
1
0
vdv
2、 q U
U
1
4 0
dq r
U LE dl
3 E U
U LE dl
势面2，电场力做功
dA qE dl
qEdl cos
en
1
2
P1
en P2
P3
qEdn
V V+dV
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电场力做功等于电势能的减少量 dA q dU
E dU dn
场强也与等势面垂直，但指向电势降低的方向。
E Een 写成矢量形式
E
第一章 真空中静电场小结
一、理论体系：
出发点
：叠 库加 仑原 定理 律
高斯定理 环路定理
电场为有源场 电场是有势场
二、内容：
1、一个定律 ： 2、两个定理 ：
F
q1q2
4 0
r r3
E
ds
1
dv
s
0 v
l E dl 0
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则 dn dl cos
dU dU cos
dl dn
2
P1
en P2
P3
U U+dU
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定义电势梯度
1.6 电场强度与电势的微分关系
V E n
V E en n
V
V+dV
E与 V 的关系
V E 大小: n 方向：沿V 减小方向
V 大小:
V n
dln
e n
Q
q
dl
P
方向：沿V增大方向
E
V E e n gradV V n
E V
V V lim n n 0 n
U E
两方向微商的关系：
V V cos l n
P n l
Q R
U U
V V V V V lim lim lim cos cos l l 0 l n0 n / cos n0 n n
V Q 4 0 R 2 x 2
小
计算电势的方法
1、点电荷场的电势及叠加原理
结
计算场强的方法
1、点电荷场的场强及叠加原理
V
i
4 0 ri （分立）
qi
E
i
V
dq 4 0 r
Q
（连续）
E
2、可有
r dq （连续） Q 4 r 3 0
qi r 4 0 ri3 （分立）
§1.6 电场强度和电势梯度的关系 1.6.1 等势面
空间电势相等的点连接起来所形成的面称为等势面. 为了 描述空间电势的分布，规定任意两相邻等势面间的电势差相等. (等势面的疏密反映了场的强弱)
点 电 荷 的 等 势 面
V12 V23
V El
dl2 dl1
E2 E1
两平行带电平板的电场线和等势面
三.同一问题中能否选取不同的电势零点 例：均匀外电场 E0 中置入一点电荷 q 求空间任意一点的电势 .p 解：把坐标原点选取在点电荷所
电势梯度和电场强度的关系
电势梯度和电场强度的关系电势梯度与电场强度是电学中两个重要的概念，它们之间存在着密切的联系和相互依赖关系。
本文将从电势梯度和电场强度的定义、计算方法以及它们之间的关系等方面展开阐述。
我们来了解一下电势梯度和电场强度的定义。
电势梯度是指电势在空间中变化的快慢程度，表示为电势的变化率。
电场强度是指单位正电荷所受的力的大小和方向，表示为电场力的大小。
电势梯度的计算方法是通过对电势函数沿着某一方向求偏导数，即电势梯度等于电势函数在某一方向上的偏导数。
电场强度的计算方法是通过库仑定律得到的，即电场强度等于单位正电荷所受力的大小。
接下来，我们来探讨电势梯度和电场强度之间的关系。
根据定义可知，电场强度是电势梯度的负梯度，即电场强度与电势梯度具有相反的方向。
这是因为电势梯度表示电势的变化率，而电场强度表示单位正电荷所受的力的大小和方向，二者之间存在着直接的关系。
进一步地，我们可以通过电势梯度和电场强度的性质来理解它们之间的关系。
首先，电势梯度的方向指向电势变化率最快的方向，而电场强度的方向指向力的作用方向。
由于力的方向是电势下降最快的方向，所以电势梯度的方向与电场强度的方向相反。
电势梯度的大小与电场强度的大小成正比。
根据电势梯度的定义可知，电势梯度的大小等于电势函数在某一方向上的偏导数。
而根据电场强度的定义可知，电场强度的大小等于单位正电荷所受力的大小。
由于电场力与电势梯度具有相反的方向，所以电场强度的大小与电势梯度的大小成正比。
我们可以通过具体的例子来进一步说明电势梯度和电场强度之间的关系。
假设有一个点电荷位于原点，我们要计算该点电荷在距离原点某一点的电场强度。
首先，我们可以通过库仑定律计算出该点电荷在距离原点某一点的电势。
然后，我们可以通过计算电势在该点的梯度得到该点电荷在该点的电场强度。
根据电势梯度和电场强度的关系可知，电场强度的大小与电势梯度的大小成正比，方向与电势梯度的方向相反。
电势梯度和电场强度之间存在着密切的关系。
电场强度与电势的关系
电场强度与电势的关系电场强度与电势是物理学中研究电场性质时常用的两个概念。
它们之间存在着密切的关联与相互依赖。
本文将详细探讨电场强度与电势之间的关系，并对电场强度与电势的定义、计算及其物理意义进行阐述。
一、电场强度的定义与计算电场强度指的是单位正电荷所受到的电力的大小和方向。
它是描述电场中电力作用的物理量，用E表示。
电场强度的计算公式为：E = F/q其中，E表示电场强度，单位是牛顿/库仑；F表示电荷在电场中受到的电力，单位是牛顿；q表示电荷的大小，单位是库仑。
根据电场强度的定义，可以得出下面几个重要的结论：1. 电场强度的性质：电场强度是矢量量，具有大小和方向。
2. 正负电荷的电场强度：正电荷产生的电场强度指向离其远的地方，负电荷产生的电场强度指向离其近的地方。
3. 电场强度的叠加原理：若有多个电荷同时存在，各个电荷产生的电场强度叠加，总的电场强度等于各个电场强度的矢量和。
二、电势的定义与计算电势是描述电场中某一点电能与单位正电荷之比的物理量，用V表示。
电势的计算公式为：V = E * d其中，V表示电势，单位是伏特；E表示电场强度，单位是牛顿/库仑；d表示沿电场线从参考点到所考察点的距离，单位是米。
根据电势的定义，可以得出下面几个重要的结论：1. 电势的性质：电势是标量量，只有大小没有方向。
2. 正负电荷的电势：正电荷所形成的电势是正值，负电荷则是负值。
3. 电势差：两点之间的电势差是指从一个点到另一个点所需要的单位正电荷所具有的电能差，用ΔV表示。
计算公式为：ΔV = V2 - V1其中，ΔV表示电势差，V2和V1分别表示两点的电势值。
三、电场强度与电势之间存在着重要的关系：电场强度是电势的负梯度，电势是电场强度的积分。
具体来说，可以通过下面的公式表示：E = -∇V其中，E表示电场强度，V表示电势，∇表示微分运算符。
通过上述公式可以得出以下几个结论：1. 电场强度的方向与电势降低的方向相反，电场强度越大，电势降低越快。
电势梯度和电场强度的关系
电势梯度和电场强度的关系电势梯度和电场强度是电学中两个非常重要的概念，它们之间存在着密切的关系。
电势梯度是指电势在空间中的变化率，而电场强度则是指单位电荷在电场中所受到的力的大小。
在电学中，电势梯度和电场强度的关系是非常紧密的，它们之间存在着一定的数学关系。
我们来看一下电势梯度的定义。
电势梯度是指电势在空间中的变化率，它的大小可以用下面的公式来表示：∇V = -E其中，∇V表示电势梯度，E表示电场强度。
这个公式告诉我们，电势梯度的大小与电场强度成反比。
也就是说，当电场强度增大时，电势梯度就会减小；反之，当电场强度减小时，电势梯度就会增大。
这个公式的意义是什么呢？我们可以这样理解：电势梯度是电势在空间中的变化率，它描述了电势在空间中的变化情况。
而电场强度则是描述电场中电荷所受到的力的大小。
这个公式告诉我们，电场强度越大，电荷所受到的力就越大，电势梯度就越小；反之，电场强度越小，电荷所受到的力就越小，电势梯度就越大。
这个公式还有一个重要的应用，就是计算电场中电荷的运动轨迹。
我们知道，电场中的电荷会受到电场力的作用，从而产生运动。
而电场力的大小与电场强度成正比，与电荷的电量成正比。
因此，我们可以利用电势梯度和电场强度的关系，来计算电荷在电场中的运动轨迹。
电势梯度和电场强度是电学中两个非常重要的概念，它们之间存在着密切的关系。
电势梯度描述了电势在空间中的变化情况，而电场强度描述了电场中电荷所受到的力的大小。
它们之间的关系可以用公式∇V = -E来表示，这个公式告诉我们，电场强度越大，电势梯度就越小；反之，电场强度越小，电势梯度就越大。
这个公式还可以用来计算电场中电荷的运动轨迹，具有重要的应用价值。
大学物理4第四讲等势面场强与电势的的关系,静电场中的导体-精选文档
d
0
+
d +
表面上: Ued E dl 0
+ l1 + l2 b+
U U U U a b d e
●整个导体连同表面为一个等势体。
15
e
二、导体上的电荷分布
1.实心导体 电荷只分布在导体表面，导体内部电荷为零。 证明：在导体内作任意高斯面
§17-5
等势面、场强与电势梯度的关系
一、等势面（电势分布的图示法）
●电场中电势相等的点所构成的曲面 1.等势面的规定 ●电场中任意相邻的两等势面之 间的电势差相等。
EE
a
b
c
U U U U U U U const c b a c b b a
U 例：点电荷场 P
1
P 2
E d l E n
5
在直角坐标中:
dU El dl
U Ez z
U Ex x
U Ey y
E dl
U U U ˆ ˆ ˆ E ( i j k ) gradU x y z
电势为标量，易于计算，而由关系
E g r a d UU 可更方便地求得 E 。
U const ,E 0 不是指等势面上
7
三、场强与电势梯度关系的应用 q ，求 E 例1：已知点电荷的电势 U 4 0 r 2 2 2 解： r x y z Y q U 2 2 2 + 4 x y z 0
U q x E x 2 2 2 3 / 2 x 4 ( x y z ) 0 U q y E y 2 2 2 3 / 2 y 4 ( x y z ) 0
电场强度和电势梯度
02
安装电荷分布装置，确保电荷分布均匀且稳 定。
04
使用电势计测量电荷分布装置周围的电势 。
使用测量尺测量不同位置之间的距离。
05
06
根据实验数据，计算电势梯度并验证其与 电场强度的关系。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
静电屏蔽在日常生活中也有很多应用，如手机、电视等电 子产品的外壳都采用了静电屏蔽设计，以降低外界电磁干 扰对设备性能的影响。
05
电场强度和电势梯度的 物理意义
电场强度的物理意义
描述电场对电荷的作用力
衡量电场能量密度
电场强度是描述电场对电荷作用力的 物理量，其大小表示单位电荷在电场 中受到的力。
电场强度的大小可以用来衡量电场的 能量密度，即单位体积内的电场能量。
决定电场力的方向
电场强度的方向与正电荷所受电场力 的方向相同，与负电荷所受电场力的 方向相反。
电势梯度的物理意义
描述电场力做功的能力
电势梯度表示电场力做功的能力，即电荷在电场中移动时，电场 力所做的功与电荷移动的距离的比值。
决定电荷移动的方向
在静电场中，电荷受到电场力的作用而移动，其移动的方向与电势 梯度的方向一致。
详细描述
电势梯度表示电场中某一点处电势值的变化趋势，其大小等 于该点处单位距离内电势的变化量。在三维空间中，电势梯 度是一个矢量，其大小等于电场强度在该方向的分量，方向 指向电势增加的方向。
电势梯度的计算
总结词
电势梯度的计算涉及到矢量运算和导数概念。
详细描述
在直角坐标系中，电势梯度可以通过对电势函数求偏导数得到。具体地，假设电势函数为 (V(x, y, z))，则电势梯 度为 (nabla V = frac{partial V}{partial x}i + frac{partial V}{partial y}j + frac{partial V}{partial z}k)，其中 (i, j, k) 分别表示沿 (x, y, z) 轴方向的单位矢量。
电场强度与电势梯度
三 电场强度与电势的关系
1、电势梯度
பைடு நூலகம்
2、电场强度与电势梯度的关系
1)、
2)、
结论
1)不一定
2)不一定(电偶极子中心)
3)不一定(匀强场中),(等势面为曲面)
例2 求一均匀带电细圆环轴线上任一点的电场强度.
解
解
第八章小结
对于电场中任一点，场强的计算大体可以采用以下
三种方法：
（注意具体计算是采用分量积分）
（2）由高斯定理计算。
对于电势计算主要有两种方法：
以点电荷q的电场为例有：
一 等势面（电势图示法）
空间电势相等的点连接起来所形成的面称为等势面. 为了描述空间电势的分布，规定任意两相邻等势面间的电势差相等.
在静电场中，电荷沿等势面移动时，电场力做功
二、性质：
（1）等势面与电场线处处正交。
（2）电场线总是由高电位等势面指向低电位等势面。
大学物理 电场之四(E-U关系和导体)
花法 放拉 电第 的对 屏 蔽 千 实 伏 验 火
800
例
导体 A和B 同心放置
如图
A
已知:壳外表面的带电量 q 球壳B的外半径 R
R
q
B
求:壳B的电势
UB
R
E dl
q 4 0 R
作 业
习题P323-324
7-31,7-35,7-36,7-38,7-39
实心导体：净电荷只分布在导体表面 2) 腔内有带电体：
未 引 入 q1 时
引 入 q1 后
q2
q1 + q1
q 1+q 2
总结
处于静电平衡时的导体
1.电荷只分布在导体的表面, 导体内部无净电荷 2.孤立导体面电荷分布 曲率大的地方，电荷面密度大 曲率小的地方，电荷面密度小 3.导体表面附近的场强 4.空腔导体 • 内部无电荷时,电荷只分布在导体表面
U El l
即电场强度在 l方向的分量值 等于电势在 l方向的方向导数的负值
2. 场强和电势的微分关系
在直角系中
U Ex x U Ey y U Ez z
3. 电势梯度矢量:
E Ex i E y j Ez k
i j k x y z
1 2
2 2 0
P 2 0
1 2 0
1， 2
由电量守恒
1 2
1 1 2
x
导体体内任一点P场强为零
1 2 0 2 0 2 0 2 0
1 2 2
例2 金属球A与金属球壳B同心放置
求:1) 电量分布
B
A
说明 1. 规定: 画等势面时,相邻等势面电势差相等
电场中的电势梯度与电场强度
电场中的电势梯度与电场强度电场是物理学中的一个重要概念，它描述了电荷之间相互作用的力。
而电势则是描述电场中一个点的性质，它是用来度量电场对电荷所做的功。
电场强度和电势梯度是电场的两个重要性质，它们之间有着紧密的联系。
首先，让我们来了解一下电场强度。
电场强度是指单位正电荷在电场中所受到的力。
如果我们把一个正电荷放置在电场中的某一点，它将受到一个由电场引起的力。
这个力的大小和方向就是电场强度的大小和方向。
电场强度用E来表示，它的单位是牛顿每库仑（N/C）。
电场强度是一个向量，它的方向与电场力的方向相同。
在均匀电场中，电场强度的大小是恒定的，并且与电势差的变化率有关。
而在非均匀电场中，电场强度的大小和方向都可能会随着位置的改变而改变。
我们可以使用电场线来表示电场强度的方向和分布情况。
接下来，让我们来了解一下电势梯度。
电势梯度是指电势随着距离的变化率，它的大小和方向描述了电势在空间中的变化情况。
电势梯度用∇V来表示，其中∇是梯度运算符，V是电势。
电势梯度与电场强度之间存在一个重要的关系：电场强度等于电势梯度的相反数。
简单来说，电场强度是电势梯度的反向。
这是因为电势梯度描述了电势在空间中的变化情况，而电势力是电势随着距离变化的导数。
由此可以得出，电场强度指向电势值减小的方向。
这一关系可以用数学公式来表示：E = -∇V。
这意味着，如果我们已知电势的分布情况，就可以通过计算电势梯度来确定电场强度的大小和方向。
同时，如果已知电场强度的分布情况，我们也可以通过积分计算电势的分布情况。
这种关系在解决电场问题时有着广泛的应用。
例如，在求解电场力的问题时，我们可以通过计算电场强度和电荷的乘积来得到力的大小。
而在求解电势分布的问题时，我们可以通过计算电势梯度的积分来得到电势的分布情况。
总之，电场强度和电势梯度是描述电场的两个重要性质。
它们之间有着紧密的联系，电场强度等于电势梯度的相反数。
通过研究电场强度和电势梯度，我们可以更好地理解电场的性质，解决相关的物理问题。
电场强度和电势梯度的关系
电场中任一点的电场强度等于该点电势梯度 的负值
——电场强度与电势的微分关系
电场中某点的场强仅与该点电势的空间变化率 有关，与该点电势值本身无直接关系
电场强度的单位可以用 V/m 来表示 提供一种计算场强的方法
9.5 电场强度和电势梯度的关系
例题 试由电偶极子电场的电势分布 求电偶极子的电场强度
小结
一、等势面
二、等势面与电场线的关系
三、电势与电场强度的关系
积分关系 微分关系
Q
U PQ VP VQ
E dl
P
E V gradV
演示程序：点电荷的等势面 演示程序：均匀带电球面的等势面 演示程序：电偶极子的等势面 演示程序：两个点电荷的等势面
9.5 电场强度和电势梯度的关系
我们的心脏附近 的等电势线（类似于 电偶极子）
9.5 电场强度和电势梯度的关系
身体各部分的电势会随着心脏跳动而发生变化, 记录这个变化（电势差）就得到了心脏跳动的情况
lim V dV l0 l dl
E
A
l
B
V V
V
El
dV dl
El
V l
电场中某一点的电场强度沿任一方向的分量，
等于这一点沿该方向上电势变化率的负值
9.5 电场强度和电势梯度的关系
El
V l
E V ln
V
E
ln
enΒιβλιοθήκη 电势梯度V lnen
E
A
l
B
V V
V
大小等于电势沿等势面法向的空间变化率
E dl
P
E V gradV
9.5 电场强度和电势梯度的关系
概念检测
已知某电场的电场线分布情况如图所示．现观 察到一负电荷从M点移到N点．有人根据这个图作 出下列几点结论，其中哪点是正确的？
电场强度和电势的关系
【讨论题三】Q、R相同的均匀带电球面和非均匀带电球面， 二者球内外的电场强度和电势分布是否相同？球心处的电势是 否相同？（设无限远处的电势为零） 【提示】二者球内外的电场强度和电势分布均不相同,球心处 的电势相同.
【例题一】如图所示，两个均匀带电球面，半径分别为 R1 、R2,带电量分别为Q1、Q2。求此带电系统在空间形成 的电场和电势的分布。
由于电势是个标量，所以很多问题都可以先求电势再求电 场强度。
电势计算方法：
①.对于电荷分布高度对称的带电体（电场强度易 知），用电势的定义式计算
U
p
零点 p
E dl
②.对于电荷分布部分对称或一般的带电体（电场强 度不易知），用电势的叠加式计算
U
p
4
dq
0
, 重点关注其中 r
9-8 电场强度和电势的关系
一、等势面(Equipotential Surface): 类似于用电场线来描述 电场的分布，我们用等势面来形象地描述电势的分布。
定义：电势相等的各点所组成的面。
场强大处，等势面密；
场强小处，等势面疏。
q
q
等势面的性质： 除电场强度为零处外，电力线与等势面正交。 N 证明：因为将单位正电荷从等势面上M点移到N点， d l
解：以圆心 o 为坐标原点， 势分布为 则带电球面在空间的电 Q 4 R 0 U Q 4 0 x 故细棒的电势能为 W
(0 x R ) (x R)
2L L
Q 4 0 x
dx
QL 4
0
ln
R 2L R L
作业 9-29 9-31 9-32 9-33
电场强度和电势之间的关系
电场强度和电势之间的关系1. 引言电场强度和电势是电学中两个重要的概念，它们描述了电荷在电场中的行为和相互作用。
本文将探讨电场强度和电势之间的关系，包括它们的定义、计算方法以及它们之间的数学关系。
2. 电场强度的定义和计算2.1 电场强度的定义电场强度是描述电场中电荷受力情况的物理量，用符号E表示。
在某一点的电场强度表示单位正电荷在该点受到的力的大小和方向。
电场强度的单位是牛顿/库仑。
2.2 电场强度的计算方法电场强度可以通过库仑定律计算得到。
库仑定律表示，两个电荷之间的电场强度与它们之间的距离和电荷量有关。
具体计算公式如下：E = k * |q| / r^2其中，E表示电场强度，k是电场常数，q是电荷量，r是距离。
3. 电势的定义和计算3.1 电势的定义电势是描述电场中某一点电势能大小的物理量，用符号V表示。
在电场中，单位正电荷所具有的电势能就是电势。
电势的单位是伏特。
3.2 电势的计算方法电势可以通过电场强度计算得到。
电场强度与电势之间存在数学关系，即电场强度是电势的负梯度。
具体计算公式如下：E = -dV / dr其中，E表示电场强度，V表示电势，r表示距离。
4. 电场强度和电势的数学关系电场强度和电势之间存在一种重要的数学关系，即电场强度是电势的负梯度。
这意味着电场强度的方向是电势下降最快的方向。
具体数学关系如下：E = -∇V其中，E表示电场强度，V表示电势，∇表示梯度运算符。
5. 电场强度和电势的应用电场强度和电势在电学中有广泛的应用。
它们可以用于计算电荷受力、电场中电荷的运动轨迹等。
此外，电场强度和电势也可以用于电场的建模和分析，为电学问题的解决提供重要的工具。
6. 总结本文探讨了电场强度和电势之间的关系。
电场强度是描述电场中电荷受力情况的物理量，可以通过库仑定律计算得到。
电势是描述电场中某一点电势能大小的物理量，可以通过电场强度计算得到。
电场强度是电势的负梯度，它们之间存在重要的数学关系。
电势梯度和电场强度的关系
电势梯度和电场强度的关系电势梯度和电场强度都是描述电场的物理量，它们之间有着密切的关系。
电场是由电荷引起的力场，其中的电势是描述电场中各点的状态的物理量。
电势梯度描述了电势在空间中的变化率，其值与电场强度有着相应的关系。
首先，定义电势梯度为在某一点上电势随距离的改变率，即：\begin{aligned}\vec{\nabla} \phi(\vec{r}) = \lim_{\Delta l \rightarrow0} \frac{\Delta\phi}{\Delta l}\end{aligned}其中，$\phi(\vec{r})$为电场在点$\vec{r}$处的电势，$\Delta \phi$是在距离为$\Delta l$的两点处的电势差。
$\vec{\nabla}$是梯度算子，它是一个向量算子，表示在空间中的某点上升最快的方向。
电势梯度的方向和大小表示在该点上电势变化最快的方向和速率，是一个三维向量。
电场强度是电场中单位电荷所受的力，可以定义为：其中，$\vec{F}$是单位电荷在该点所受的电场力，$q$是单位电荷的电荷量。
因此，电场强度的单位是牛/库仑（N/C)。
根据库仑定律，电荷之间的相互作用力和作用距离的平方成反比，因此电场强度和距离的平方成反比。
如果电荷Q在空间中产生了一个电场，则当某一点在电荷处更靠近时，电场强度就越大，距离远离电荷时电场强度就越小。
通过对电场强度的定义可以知道，在电场中单位电荷所受的力等于电场强度，而电场中的电势是电场强度在电荷运动时沿伸路径上的积分，即：其中，$a$和$b$是描述伸路径的两个端点，$d\vec{l}$是伸路径上的微小长度元素。
在空间中的任一点，电场中的电势梯度是与电场强度密切相关的。
通过对电势梯度的定义，你可以知道在某一点上，电势沿着梯度的方向呈最大的变化，也就是说，在某一点上，电势梯度的大小就是电场强度的大小。
因此，电场强度可以表示为电势梯度的大小，方向与其相同，即：这个等式称为“电场-电势关系”，它表明在某一点上，如果知道了电势梯度，则可以求得电场强度的大小和方向。
5-5 等势面 电势梯度
本节内容概要
等势面 电场强度与电势梯度
本节教学要求
理解等势面的意义及其与电场线的关系。 理解电势梯度的意义，理解电场强度和
电势的微分关系。
第五章 静电场
3
物物理理学学
5-2 等势面 电势梯度
一 等势面
空间电势相等的点构成的面。
规定：任意两 相邻等势面间的电 势差相等。
E
a
b
c
第五章 静电场
等势面性质（静电场）
dl2 dl1
E2 E1
疏密程度表示
场强大小。dl1dl2来自第五章 静电场9
物物理理学学
5-2 等势面 电势梯度
小结：电场线和等势面关系
1）电场线与等势面处处正交。
（等势面上移动电荷，电场力不做功）
2）电场线指向电势降低的方向。
3）等势面密处电场强度大； 讨论： 等势面疏处电场强度小。 P193 5-16
点 电 荷 的 等 势 面
第五章 静电场
6
物物理理学学
5-2 等势面 电势梯度
一对等量异号点电荷的电场线和等势面
+
第五章 静电场
7
物物理理学学
5-2 等势面 电势梯度
两平行带电平板的电场线和等势面
++++++++++++
第五章 静电场
8
物物理理学学
点 电 荷 的 等 势 面
5-2 等势面 电势梯度
第五章 静电场
10
物物理理学学
5-2 等势面 电势梯度
二 电场强度与电势梯度
V E l
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2
2
P 2 2 4 x y 4 0 ( x 2 y 2 ) 2
P(0,y) y E -q
-L/2
讨论：
1. 在X轴上，y=0，则
Ex P 20 x 3 P 40 y
Ey 0
3
2. 在Y轴上，x=0，则
Ex
+q
O
L/2
P(x,0)
Ey 0
E
x
与用叠加原理得到的结果一致。
1 1
E
en
P2
P1
P3
V
V+dV
例1 试由电偶极子的电势分布求其的电场强度。 解： 在直角坐标系中先写出电势的表达式，
1 q 1 q q r r V 40 r 40 r 40 r r
L cos P cos 2 2 40 r 4 0 r Px 40 ( x 2 y 2 ) 3 / 2 q
P3
V
则 dn dl cos
V+dV
定义电势梯度
dV grad V en dn
单位:V/m
其量值为该点电势增加率的最大值。 方向与等势面垂直，并指向电势升高的方向。 电势梯度与电场强度的关系 2
en
电荷q从等势面1移动到等 势面2，电场力做功
1
en P1
dA qE dl qE dl cos qE den
例2 将半径为R2 的圆盘在盘心处挖去半径为R1的小孔,并 使盘均匀带电.试通过用电势梯度求电场强度的方法,计算这 个中空带电圆盘轴线上任一点P处的电场强度.
解：设圆盘上的电荷 面密度为 轴线上任一点p 到中空圆盘的 距离为x，在圆 盘上取半径为r 宽为dr的圆环 ，环上所带电 z 荷为
R2
y
r
R1
dr
px,0
Ex
x
dq = 2ps dr
dV = dq 4pe0 (r + x
2
该圆环在p点的电势为
2 12
)
=
s r dr 2e 0 ( r + x
2 2 12
)
整个中空圆盘在该点的电势为
V=
ò
R2
R1
dV =
ò
R2
s rdr 2e0 (r 2 + x
2 12
R1
)
2 0
R x
P2
P3
V
V+dV
电场力做功等于电势能的减少量 dA q dV dV E dn 场强也与等势面垂直，但指向电势降低的方向。
r r E = Een
写成矢量形式
en
2 2
r dV r E= en = - gradV dn
在直角坐标系中
r 抖 V r E= - ( i+ 抖 x V r j+ y V r k) z
2
y
P(x,y)
V P(2 x y ) Ex 2 2 5/ 2 4 ( x y ) x 0 3Pxy V Ey 2 2 5/ 2 4 ( x y ) y 0
2
r-q
-L/2
r
O
r+
X
+q
L/2
E E E
2 x
2 y
P(2 x y ) 3Pxy 4 ( x 2 y 2 )5 / 2 4 ( x 2 y 2 )5 / 2 0 0
§5-5 电场强度与电势梯度的关系
电势梯度 在电场中任取两相距很近的等势面1和2， 电势分别为V和V+dV，且dV>0 等势面1上P1点的单位法向矢量为 en 2
与等势面2正交于P2 点。
在等势面2任取一点P3 ，设
1
en P1
P2
p1 p2 dn
p1 p3 dl
dV dV cos dl dn
2 2
2 R12 x 2由于电荷的轴对称分布，
Ey Ez 0
V x x E Ex 2 2 2 0 R12 x 2 x R x 2