高等数学复旦大学出版第三版下册课后答案解析知识题全

习题七

1. 在空间直角坐标系中，定出下列各点的位置：

A(1,2,3); B(-2,3,4); C(2,-3,-4);

D(3,4,0); E(0,4,3); F(3,0,0).

解：点A在第Ⅰ卦限；点B在第Ⅱ卦限；点C在第Ⅷ卦限；

点D在xOy面上；点E在yOz面上；点F在x轴上.

2. xOy坐标面上的点的坐标有什么特点？yOz面上的呢？zOx面上的呢？

答: 在xOy面上的点，z=0;

在yOz面上的点，x=0;

在zOx面上的点，y=0.

3. x轴上的点的坐标有什么特点？y轴上的点呢？z轴上的点呢？

答：x轴上的点，y=z=0;

y轴上的点，x=z=0;

z轴上的点，x=y=0.

4. 求下列各对点之间的距离：

（1）（0，0，0），（2，3，4）；（2）（0，0，0），（2，-3，-4）；（3）（-2，3，-4），（1，0，3）；（4）（4，-2，3），（-2，1，3）.

解：（1）s=

(2) s==

(3) s==

(4) s==

5. 求点（4，-3，5）到坐标原点和各坐标轴间的距离.

解：点(4，-3，5)到x 轴，y 轴，z 轴的垂足分别为（4，0，0），（0，-3，0），（0，0，5）. 故 22204(3)552s =

+-+=

222(44)(30)(50)34x s =-+--+-= 2224(33)541y s =+-++=

2224(3)(55)5z s =+-+-=.

6. 在z 轴上，求与两点A （-4，1，7）和B （3，5，-2）等距离的点. 解：设此点为M （0，0，z ），则

222222(4)1(7)35(2)z z -++-=++--

解得 14

9

z =

即所求点为M （0，0，

149

）. 7. 试证：以三点A （4，1，9），B （10，-1，6），C （2，4，3）为顶点的三角形是等腰直角三角形.

证明：因为|AB |=|AC |=7.且有 |AC |2+|AB |2=49+49=98=|BC |2. 故△ABC 为等腰直角三角形. 8. 验证：()()++=++a b c a b c . 证明：利用三角形法则得证.见图7-1

图7-1

9. 设2, 3.=-+=-+-u a b c v a b c 试用a , b , c 表示23.-u v 解：

232(2)3(3)

2243935117-=-+--+-=-++-+=-+u v a b c a b c a b c a b c a b c

10. 把△ABC 的BC 边分成五等份，设分点依次为D 1，D 2，D 3，D 4，再把各分点与A 连接，

试以AB =u u u r c ，BC =u u u r a 表示向量1D A u u u u r ,2D A u u u u r ,3D A u u u u r 和4D A u u u u r .

解：1115

D A BA BD =-=--u u u u r u u u r u u u u r c a

2225

D A BA BD =-=--u u u u r u u u r u u u u r c a

3335

D A BA BD =-=--u u u u r u u u r u u u u r c a

444.5

D A BA BD =-=--u u u u r u u u r u u u u r c a

11. 设向量OM u u u u r

的模是4，它与投影轴的夹角是60°，求这向量在该轴上的投影.

解：设M 的投影为M '，则

1

Pr j cos604 2.2

u OM OM =︒=⨯=u u u u r u u u u r

12. 一向量的终点为点B （2，-1，7），它在三坐标轴上的投影依次是4，-4和7，求这向量的起点A 的坐标.

解：设此向量的起点A 的坐标A (x , y , z )，则

{4,4,7}{2,1,7}AB x y z =-=----u u u r

解得x =-2, y =3, z =0 故A 的坐标为A (-2, 3, 0).

13. 一向量的起点是P 1（4，0，5），终点是P 2（7，1，3），试求：

（1） 12PP u u u u r 在各坐标轴上的投影； （2） 12PP u u u u r 的模；

（3） 12PP u u u u r 的方向余弦； （4） 12PP u u u u r 方向的单位向量. 解：（1）12Pr j 3,x x a PP ==u u u u r 12Pr j 1

,y y a PP ==u u u u r

12Pr j 2.z z a PP ==-u u u u r

(2) 12PP =

=u u u u r

(3) 12cos x

a

PP α==

u u u u r

12

cos y

a PP β==

u u u u r

12

cos z a

PP γ==

u u u u r

(4) 12

012

PP PP ===+e j u u u u r u u u u r . 14. 三个力F 1=(1,2,3), F 2=(-2,3,-4), F 3=(3,-4,5)同时作用于一点. 求合力R 的大小和方向余弦.

解：R =（1-2+3，2+3-4，3-4+5）=（2，1，4）

||==R

cos cos cos αβγ=

== 15. 求出向量a = i +j +k , b =2i -3j +5k 和c =-2i -j +2k 的模，并分别用单位向量,,a b c e e e 来表达向量a , b , c .

解：||==a

||==b

||3==c

, , 3. a b c ===a b c e

16. 设m =3i +5j +8k , n =2i -4j -7k , p =5i +j -4k ,求向量a =4m +3n -p 在x 轴上的投影及在y 轴上的分向量.

解：a =4(3i +5j +8k )+3(2i -4j -7k )-(5i +j -4k )=13i +7j +15k