离散型随机变量取值的确定讲解

元，所以乙、丙两人得到的奖金之和为X＝(a－ξ)万元．
由题意，可知ξ的可能取值为0，a3，a2，a.
其与X的取值关系如表所示：
ξ
0
a 3
a 2
a
X＝a－ξ
a
2 3a
a 2
0
1 故P(X＝a)＝P(ξ＝0)＝3
1－14×51 59
＝1599；
60
P(X＝23a)＝P(ξ＝a3)＝23×5439×45＝5294； 60
万元．设乙、丙两人得到的奖金数之和为X，求X的分布
列和数学期望．
【分析】 第(1)问中该事件的概率可以转化为其对立事件——这个 技术难题三人都没有攻克来求解；第(2)问是求在这一技术难题被 攻克的前提下离散型随机变量的分布列，设甲得到的奖金为ξ万元， 则乙、丙两人得到的奖金之和为X＝a－ξ万元，进而根据三人攻克 难题的情况确定其取值的可能性及对应的事件，利用条件概率求
其对应的概率，列出分布列，最后代入数学期望的计算公式求解 即可．
【解】 (1)记“这一技术难题被攻克”为事件A，则其对立事件 A
为：“三人都没有攻克”．
故P＝1－P( A )＝1－(1－23)(1－34)(1－45)＝1－13×14×15＝5690；
(2)设甲得到的奖金为ξ万元，由题意，可知攻克难题的奖金为a万
客采用3期付款与只有1位采用3期付款，故先根据题意把频率换成 概率，然后代入公式求解即可；(3)顾客选择付款的期数只能是 1,2,3,4,5，根据题意得到付款期数与利润的关系，然后合并利润相 同的事件，确定汽车利润η的取值，然后求出其对应的概率值，代 入期望公式求解即可．
【解】 (1)求10a0＝0.2，得a＝20，
付款方式 分1期 分2期 分3期 分4期 分5期
(1)求上表中频的数a，b值4；0
20
a
10
b
(2)若以频率作为概率，求事件A：“购买该品牌汽车的3位顾客中，
至多有1位采用3期付款”的概率P(A)；
(3)求η的分布列及数学期望Eη.
【分析】 (1)根据统计数据和频率的计算公式可直接求出a，b的 值；(2)事件A是一个独立重复试验，包含两个互斥事件——没有顾
例3 (2011年四川卷)本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的
人越来越多，某自行车租车点的收费标准是每车每次租车时间不超过
两小时免费，超过两小时的部分每小时收费2元(不足1小时的部分按1小
时计算)．有甲、乙两人相互独立地来该租车点租车骑游(各租一车一
次)．设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为
1 4
η
1
1.5
2
故η的数学P 期望0.E4η＝1×0.04.4＋10..52×0.4＋2×0.2＝1.4(万元)．
该题中顾客购车时其付款的期数是一个变量，但目标随机变量是 从经销商的角度来设计的，显然这两者是从两个不同的角度来反 映汽车销售方面的问题的，在计算汽车销售利润时，要注意购买 者采用不同付款期数，销售商可能获得相同的利润，根据分布列 的性质，随机变量取任意两个值时所对应的两个事件都是彼此互 斥的，所以要把利润相同的情况各并在一起，而不能根据其期数 分开．
强化闯关
1．某商场“十一”期间举行有奖促销活动，顾客只要在商店购物 满800元就能得到一次摸奖机会．摸奖规则是：在盒子内预先放有 5个相同的球，其中一个球标号是0，两个球标号都是40，还有两 个球没有标号，顾客依次从盒子里摸球，每次摸一个球(不放回)， 若累计摸到两个没有标号的球就停止摸球，否则将盒子内球摸完 才停止．奖金数为摸出球的标号之和(单位：元)，已知某顾客得到 一次摸奖机会．
又因为40＋20＋a＋10＋b＝100，所以b＝10.
(2)记分期付款的期数为ξ，依题意，得
P(ξ＝1)＝
40 100
＝0.4，P(ξ＝2)＝
20 100
＝0.2，P(ξ＝3)＝0.2，P(ξ＝4)＝
11000＝0.1，P(ξ＝5)＝11000＝0.1.
则“购买该品牌汽车的3位顾客中至多有1位采用3期付款”的概率
四、推理型
对于离散型随机变量的取值不能根据题意直接获得的问题，需要 我们根据事件中所涉及的对象以及相关变量的取值情况，经过简 单的推理确定其取值的可能性．准确把握事件中几类对象之间的 密切关系是解决此类问题的关键，常可转化为其对立事件的问题 来解决．
例4 甲、乙、丙三人独立地对某一技术难题进行攻关．甲能攻克
的概率为23，乙能攻克的概率为34，丙能攻克的概率为45.
(1)求这一技术难题被攻克的概率；
(2)现假定这一技术难题已被攻克，上级决定奖励a万元．奖励规则
如下：若只有1人攻克，则此人获得全部奖金a万元；若只有2人攻克，
则奖金奖给此二人，每人各得
a 2
万元；若三人均攻克，则奖金奖给此三
人，每人各得
a 3
总之，准确确定离散型随机变量的取值是求解其分布列和数学期 望的前提，解决此类问题一定要理清题中涉及的变量种类及其相 互之间的关系，主要利用分类讨论和化归与转化的数学思想，先 确定各个变量取每个值时所对应的事件，然后根据题意确定目标 随机变量的取值，最后合并取值相同的情况，从而确定目标随机 变量的可能取值，进而确定其对应的事件以及概率类型，代入公 式求出其概率值．
(1)求X的分布列；
(2)求此员工月工资的期望．
【分析】 (1)由题意X表示此人选对A饮料的杯数，而A饮料一共4 杯，所以X只能取0,1,2,3,4，该概型是一个几何概型，所以直接代 入几何概型的求解公式即可求得其分布列；(2)此员工月工资的取 值与X的取值密切相关，找出其对应概率然后代入数学期望公式即 可．
一、独立型
离散型随机变量的取值多以某类事件发生的次数作为随机变量或 事件中某个变量，如一次抽检产品中次品的数量，n次独立重复试 验中事件发生的次数等，此类问题中离散型随机变量取值的标准 比较明显，可直接根据题意确定．
例1 (2011年江西卷)某饮料公司招聘了一名员工，现对其进行一项 测试，以便确定工资级别，公司准备了两种不同的饮料共8杯，其 颜色完全相同，并且其中4杯为A饮料，另外4杯为B饮料，公司要 求此员工一一品尝后，从8杯饮料中选出4杯A饮料，若4杯都选对， 则月工资定为3500元；若4杯选对3杯，则月工资定为2800元；否 则月工资定为2100元，令X表示此人选对A饮料的杯数，假设此人 对A和B两种饮料没有鉴别能力．
故ξ的分布列如表所示：
ξ0 2 4 6 8
P
1 8
5 16
5 16
3 16
1 16
所以E(ξ)＝0×18＋2×156＋4×146＋6×136＋8×116＝72(元)．
该题第(2)问中，目标随机变量的取值是两人付费之和，所以在求 解过程中要先写出甲、乙两人付费的所有可能，依次确定相应的 取值，然后合并取值相同的情况，从而确定目标变量的取值．同 样，如果求解两人付费之差的绝对值的分布列时，也要一一写出 所有的情况，由此确定离散型随机变量的取值，在求解过程中应 该注意把取值相同的情况合并在一起，这样在求解时就可以把取 该值时的概率转化为几个彼此互斥的事件的概率的和，这也是处 理此类取值问题最基本的方法．
【解】 (1)由题意，得甲、乙在三小时以上且不超过四小时还车
的概率分别为14，14.
记甲、乙两人所付的租车费用相同为事件A，则
wenku.baidu.com
P(A)＝14×12＋12×14＋14×14＝156.
(2)设甲、乙所付费用分别为x，y则ξ＝x＋y.ξ与x，y的取值情况如
表所示：
x
ξ
024
y
0
024
2
246
4
468
ξ可能取的值有0,2,4,6,8. P(ξ＝0)＝P(x＝0，y＝0)＝14×12＝18； P(ξ＝2)＝P(x＝0，y＝2)＋P(x＝2，y＝0)＝14×14＋12×12＝156； P(ξ＝4)＝P(x＝y＝2)＋P(x＝0，y＝4)＋P(x＝4，y＝0)＝12×14＋14× 12＋14×14＝156； P(ξ＝6)＝P(x＝2，y＝4)＋P(x＝4，y＝2)＝12×14＋14×14＝136； P(ξ＝8)＝P(x＝y＝4)＝14×14＝116.
为
P(A)＝0.83＋C31×0.2×(1－0.2)2＝0.896.
(3)由题意，可知ξ只能取1,2,3,4,5.而ξ＝1时，η＝1；ξ＝2时，η＝ 1.5；ξ＝3时，η＝1.5；ξ＝4时，η＝2；ξ＝5时，η＝2. 所以η的可能取值为：1,1.5,2，其中 P(η＝1)＝P(ξ＝1)＝0.4，P(η＝1.5)＝P(ξ＝2)＋P(ξ＝3)＝0.4， P(η＝2)＝P(ξ＝4)＋P(ξ＝5)＝0.1＋0.1＝0.2， 所以η的分布列如表所示：
2 P(X＝a2)＝P(ξ＝a2)＝3
34×51＋14×45 59
＝1549；
60
P(X＝0)＝P(ξ＝a)＝23×5149×15＝529. 60
故X的分布列如表所示：
Xa
2a 3
a 2
0
P
19 59
24 59
14 59
2 59
E(ξ)＝α×1599＋23a×2549＋a2×1549＋0×529＝4529a(万元)．
三、组合型
当某个事件中涉及多个变量的时候，往往要采用多个变量的组合 形式作为离散型随机变量的取值，此时离散型随机变量的每个取 值往往对应着几类不同的事件，在求解时应该先确定每个事件所 对应的每个变量的取值情况，并求出每个事件中离散型随机变量 的取值，然后合并取值相同的事件确定离散型随机变量的取值， 并求出其对应的概率值．
该题如果分别求解乙、丙所获奖金的分布列，或者直接求解乙、 丙两人的奖金之和的分布列，问题就很复杂了．本题中把握住 “技术难题被攻克，则三个人的奖金总和是一个定值a”这个关键， 那么乙、丙两人的奖金总和问题就可以用甲的奖金来表示，则该 问题就可以转化为甲获得的奖金的一个分布列问题，问题自然就 得到解决．
，
1 2
；两小时以上且不
超过三小时还车的概率分别为
1 2
，
1 4
；两人租车时间都不会超过四小
时．
(1)求甲、乙两人所付的租车费用相同的概率；
(2)设甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量ξ，求ξ的分布列
及数学期望E(ξ)．
【分析】 (1)先根据甲、乙两人租车时间确定他们付费的情况， 从而确定付费相同所对应的情况，将其分解为几个互斥事件的概 率求解；(2)设甲、乙两人付费分别为x，y，先根据题意确定x，y 的取值情况，而ξ＝x＋y，从而求出ξ的所有取值，并确定每个取值 所对应的事件，求出其概率列出分布列，然后代入数学期望公式 求值即可．
P(Y＝2800)＝P(X＝3)＝385， P(Y＝2100)＝P(X≤2)＝7503， E(Y)＝3500×710＋2800×385＋2100×5730＝2280(元)， 所以此员工月工资的期望为2280元．
对于相互独立的离散型随机变量，其取值一般就是相关事件中的 某个变量的取值，所以可以直接确定其取值，该题中只有A、B两 种饮料各4杯，且这名员工只能选4次，所以选对A种饮料的杯数只 能取0,1,2,3,4，直接代入公式即可求得其概率分布列．如果要求这 名员工工资的分布列，则需要把A种饮料的杯数与对应工资数关联 起来．
(对应学生用书P206)
离散型随机变量取值的确定
离散型随机变量的分布列及其期望值的计算是历年高考命题的热 点，解决此类问题的关键是根据题意准确求出离散型随机变量的 所有取值，这样才能明确每个取值所对应事件的性质，然后根据 事件发生过程求解其概率．常见离散型随机变量主要有以下四类： 独立型、关联型、组合型与推理型．
二、关联型
在概率分布列的求解问题中，我们经常遇到奖金、积分等问题， 此类离散型随机变量的取值是由一系列事件中的变量取值所确定 的，在解决此类问题时，首先列出所有的事件，明确每个事件所 对应的变量，然后根据规定的法则计算出每个事件中目标离散型 随机变量的取值，从而确定其所有取值的可能．
例2 某品牌的汽车4S店，对最近100位采用分期付款的购车者进行 统计，统计结果如表所示．已知分3期付款的频率为0.2,4S店经销 一辆该品牌的汽车，顾客分1期付款，其利润为1万元；分2期或3 期付款其利润为1.5万元；分4期或5期付款，其利润为2万元．用η 表示经销一辆汽车的利润.
【解】 (1)X的所有可能取值为0,1,2,3,4，
P(X＝i)＝C4CiC8444－i(i＝0,1,2,3,4)，则X的分布列如表所示： X0 1 2 3 4
P
1 70
16 70
36 70
16 70
1 70
(2)令Y表示此员工的月工资，则Y的所有可能取值为 2100,2800,3500，则P(Y＝3500)＝P(X＝4)＝710，