集合之间的关系
第二讲 集合之间的基本关系及其运算
第二讲 集合之间的基本关系及其运算一．知识盘点知识点一：集合间的基本关系注意：1.A B A B B AA B A B A B A B =⇔⊆⊆⎧⊆⎨⊂⇔⊆≠⎩且且2.涉及集合间关系时，不要忘记空集和集合本身的可能性。
3.集合间基本关系必须熟记的3个结论（1）空集是任意一个集合的子集；是任意一个非空集合的真子集，即,().A B B Φ⊆Φ⊂≠Φ(2)任何一个集合是它自身的子集，空集只有一个子集即本身 （3）含有n 个元素的集合的子集的个数是2n 个，非空子集的个数是21n - ；真子集个数是21n - ，非空真子集个数是22n -。
知识点二：集合的基本运算运算 符号语言 Venn 图 运算性质交集{}|A B x x A =∈∈且x B()(),AB A A B B ⊆⊆ (),AA A AB B A ==A B A A B =⇔⊆ A Φ=Φ并集{}|A B x x A x B =∈∈或()(),A A B B A B ⊆⊆ (),A A A A B B A ==,A B B A B A A =⇔⊆Φ=补集{}|U C A x x U x A =∈∉且,U U C U C U =ΦΦ=()(),U U U C C A A A C A U ==()U AC A =Φ()()()U U U C A B C A C B = ()()()U U U C A B C A C B =二．例题精讲Ep1.下列说法正确的是A. 高一（1）班个子比较高的同学可以组成一个集合B. 集合{}2|,x N x x ∈= 则用列举法表示是{}01，UAC. 如果{}264,2,m m ∈++2， 则实数m 组成的集合是{}-22，D. {}{}(){}222||,|x y xy y x x y y x =====解析：A.与集合的确定性不符；B.对；C.与集合的互异性不符；D 。
{}2|x y x R == ,{}{}2||0y y x y y ==≥ ，(){}2,|x y y x = 是二次函数2y x = 的点集Ep2.已知集合A={}2|1log ,kx N x ∈<< 集合A 中至少有三个元素，则A.K>8B.K ≥ 8C.K>16D.K ≥ 16解析：由题设,集A 至少含有2，3，4三个元素，所以2log 4k> ，所以k>16.Ep3.已知集合M={}{}2|,|,x y x R N x x m m M =∈==∈ ,则集合M 、N 的关系是A.M N ⊂B.N M ⊂C.R M C N ⊆D.R N C M ⊆ 解析：[]1,1M =- ，{}|01N x x =≤≤ ，故选B.Ep4.已知集合M={}0,1 ,则满足M N M = 的集合N 的个数是 A.1 B.2 C.3 D.4 解析：M N M =，故N M ⊆ ,故选D.Ep5已知集合{}{}2|1,|1M x x N x ax ==== ,如果N M ⊆ ,则实数a 的取值集合是{}.1A {}.1,1B - {}.0,1C {}.1,0,1D -解析：{}1,1M =- , N M ⊆,故N 的可能：{}{}{},1,1,1,1Φ-- ，故a 的取值集合{}1,0,1-Ep6.已知集合{}{}2|20180,|lg(3)A x x x B x N y x =-+≥=∈=- ，则集合A B 的子集的个数是解析：{}|02018A x x =≤≤ ，{}{}|3-x>00,1,2B x N =∈= ，故{}0,1,2A B = 故子集个数328=A.4B.7C.8D.16Ep7.已知集合{}{}2|2,|M x x x N x x a =<+=> ，如果M N ⊆ ,则实数a 的取值范围是.(,1]A -∞- .(,2]B -∞ .[2,)C +∞ .[1,)D -+∞解析：{}|12M x x =-<< ，M N ⊆，故1a ≥-Ep8.已知集合{}2|30A x N x x *=∈-< 则满足B A ⊆ 的集合B 的个数是 A.2 B.3 C.4 D.8 解析：{}{}|03=12A x N x *=∈<<， ，故选CEp9.已知集合{}{}|12,|13,M x x N x x M N =-<<=≤≤=则.(1,3]A - B.(1,2]- .[1,2)C D.(2,3]解析：选CEp10.如果集合{}{}(1)2|10,|log 0,x A x x B x -=-≤≤=≤则A B={}.|11A x x -≤< {}.|11B x x -<≤ {}.0C {}.|11D x x -≤≤ 解析：{}10||0111x B x x x x ⎧->⎫⎧==≤<⎨⎨⎬-≤⎩⎩⎭，故选D.Ep11.设集合 {}{}2|11,|,,()R A x x B y y x x A A C B =-<<==∈=则{}.|01A x x ≤< {}.|10.B x x -<< {}|01C x x =<< {}.|11D x x -<<解析：{}|01B y y =≤<，则{}|01R C B y y =<≥或y，(){}{}{}|11|01|10R AC B x x y y y x x =-<<<≥=-<<或 选B.Ep12.已知集合{}{}2|11,|20,A x x B x x x =-<<=--<则 )R C A B =（.(1,0]A - .[1,2)B - .[1,2)C .(1,2]D解析：{}|12B x x =-<< ，{}|11R C A x x x =≤-≥或 (){}|12R C A B x x =≤< ，选C.三．总结提高1.题型归类（1）2个集合之间的关系判断（2）已知2个集合之间的关系，求参数问题 （3）求子集或真子集的个数问题 （4）2个有限集之间的运算（5）1个有限集和1个无限集之间的运算 （6）2个无限集之间的运算（7）已知集合的运算结果，求参数问题 2.方法总结（1）判断集合间关系的方法a.化简集合，从表达式中寻找两个集合之间的关系b.用列举法表示集合，从元素中寻找关系c.利用数轴，在数轴上表示出两个集合（集合为数集），比较端点之间的大小关系，从而确定两个集合之间的关系。
集合的四种基本关系
集合的四种基本关系在数学中，集合是由一些特定对象组成的整体。
集合之间存在着各种关系，而一些基本的关系可以被分类为四种：包含关系、相等关系、交集关系和并集关系。
本文将对这四种基本关系进行全面详细、完整且深入的描述。
1. 包含关系包含关系是集合之间最基本的关系之一。
如果一个集合的所有元素都属于另一个集合，那么我们说前一个集合包含在后一个集合中。
数学上用符号“⊆”表示包含关系。
例如，我们有两个集合A和B，其中A={1, 2, 3}，B={1, 2, 3, 4}。
由于集合B中的所有元素（1、2和3）也都属于集合A，所以可以说集合A包含在集合B中。
用符号表示为A ⊆ B。
包含关系还可以进一步细分为真包含关系和假包含关系。
如果一个集合A包含于另一个集合B，并且它们不相等，我们称A在B之内并且A真包含B。
用符号表示为A ⊂ B。
如果A和B相等，我们称A在B之内但A不真包含B。
用符号表示为A ⊆B。
2. 相等关系相等关系是两个集合拥有完全相同元素的关系。
如果集合A和集合B的所有元素都相同，那么A等于B。
数学上用符号“=”表示相等关系。
例如，我们有两个集合C和D，其中C={1, 2, 3}，D={3, 2, 1}。
尽管它们的元素排列顺序不同，但它们的元素完全相同，所以可以说集合C等于集合D。
用符号表示为C = D。
相等关系是一种非常严格的关系，要求两个集合的元素完全相同，没有任何差异。
3. 交集关系交集关系是指两个集合共有的元素构成的集合。
数学上用符号“∩”表示交集关系。
例如，我们有两个集合E和F，其中E={1, 2, 3, 4}，F={3, 4, 5, 6}。
这两个集合的交集是{3, 4}，因为它们共有的元素是3和4。
用符号表示为E ∩ F = {3, 4}。
交集关系是一种取共有部分的操作，可以用于找到两个集合中共同存在的元素。
4. 并集关系并集关系是指两个集合中所有元素的总和构成的集合。
数学上用符号“∪”表示并集关系。
集合之间的关系
集合间的基本关系⒈子集：对于两个集合A ，B ，如果集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素，我们说这两个集合有包含关系，称集合A 是集合B 的子集。
记作：()A B B A ⊆⊇或 读作：A 包含于B ，或B 包含A 当集合A 不包含于集合B 时，记作A ⊈B(或B ⊉A) 用Venn 图表示两个集合间的“包含”关系： ⒉集合相等定义：如果A 是集合B 的子集，且集合B 是集合A 的子集，则集合A 与集合B 中的元素是一样的，因此集合A 与集合B 相等，即若A B B A ⊆⊆且，则A B =。
⒊真子集定义：若集合A B ⊆，但存在元素,x B x A ∈∉且，则称集合A 是集合B 的真子集。
记作：A B （或B A ） 读作：A 真包含于B （或B 真包含A ）4.空集定义：不含有任何元素的集合称为空集。
记作：φ几个重要的结论：⑴空集是任何集合的子集；对于任意一个集合A 都有φ⊆A 。
⑵空集是任何非空集合的真子集；⑶任何一个集合是它本身的子集；⑷对于集合A ，B ，C ，如果A B ⊆，且B C ⊆，那么A C ⊆。
例1：已知集合A ＝{x|x 2－3x ＋2＝0}，B ＝{1,2}，C ＝{x|x<8,x ∈N}，则A B ； A C ； {2} C ； 2 C说明：⑴注意集合与元素是“属于”“不属于”的关系，集合与集合是“包含于”“不包含于”的关系；⑵在分析有关集合问题时，要注意空集的地位。
⑶结论：一般地，一个集合元素若为n 个，则其子集数为2n 个，其真子集数为2n -1个，非空子集为2n -1，非空真子集2n -2 特别地，空集的子集个数为1，真子集个数为0。
例2：已知集合{}{}25,121A x x B x m x m =-<≤=-+≤≤-且A B ⊆，求实数m 的取值范围。
（3m ≥）练习：1、有三个元素的集合A ，B ，已知A={2，x ，y}，B={2x ，2，2y}，且A=B ，求x ，y 的值。
集合与集合的4种关系
集合与集合的4种关系在集合论中，集合之间可以有不同类型的关系。
这些关系可以用来描述集合的交集、并集、补集以及包含关系。
下面将依次介绍这4种关系。
1. 交集（Intersection）两个集合的交集表示它们所共有的元素集合。
用符号表示为A∩B。
例如，A={1,2,3}，B={2,3,4}，则A∩B={2,3}。
2. 并集（Union）两个集合的并集表示它们所有的元素集合。
用符号表示为A∪B。
例如，A={1,2,3}，B={2,3,4}，则A∪B={1,2,3,4}。
3. 补集（Complement）对于一个给定的全集U和一个集合A，A在U中的补集表示U中所有不属于A的元素的集合。
用符号表示为Ac。
例如，如果全集为U={1,2,3,4,5}，A={2,3}，则A的补集为Ac={1,4,5}。
4. 包含关系（Inclusion）集合A包含于集合B表示A中的所有元素都属于B。
用符号表示为AB。
例如，A={1,2}，B={1,2,3}，则AB。
另外，还有两个有关集合的关系：相等关系和真包含关系。
相等关系（Equality）两个集合A和B相等，当且仅当它们有相同的元素。
用符号表示为A=B。
例如，A={1,2,3}，B={3,2,1}，则A=B。
真包含关系（Proper Inclusion）集合A真包含于集合B，当且仅当A包含于B并且A不等于B。
用符号表示为AB。
例如，A={1,2}，B={1,2,3}，则AB。
注意，这里的“”符号不同于“”，它表示的是真包含关系。
在实际应用中，理解和使用集合及其关系是很重要的。
例如，在数据库中，可以使用集合的关系来描述表间的关联；在数据分析中，可以使用交集和并集等集合运算来计算数据的交叉和联合等等。
集合的基本关系知识点
集合的基本关系知识点集合是数学中的一个基础概念，它由元素组成，是一个无序、互不相同的集合。
在集合中，元素的存在与否只与它是否属于该集合有关，不与其在集合中的位置有关。
集合的基本关系包括包含、相等、交、并、差等，下面将逐一介绍。
一、包含关系包含关系是集合关系中最基本的一种关系，即一个集合是否包含另一个集合。
我们用符号“⊆”表示包含关系，例如A⊆B表示集合A是集合B的子集。
一般地，如果一个元素集合A的每一个元素都属于另一个元素集合B，则称A是B的一个子集，即A⊆B；如果集合A不是集合B的子集，可以表示为A⊈B。
包含关系还有一些重要的性质：1.自反性：一个集合总是包含它自身，即A⊆A。
2.传递性：如果C是B的子集，B是A的子集，则C也是A的子集，即如果A⊆B且B⊆C，那么就有A⊆C。
3.反对称性：如果A⊆B且B⊆A，则A=B。
二、相等关系相等关系是指两个集合的元素完全一样，称为相等关系。
我们用符号“=”表示相等关系，例如A=B表示集合A与集合B相等。
需要注意的是，即使两个集合里的元素相同，它们的顺序不同也不影响它们是相等的。
三、交集和并集交集和并集是两个集合最常见的组合关系。
假设A和B是两个集合，它们的交集表示为A∩B，即由同时属于A和B的所有元素构成一个新集合；而并集表示为A∪B，即由A中所有元素和B 中所有元素所构成的一个新集合。
交集和并集还有一些重要的性质：1.交换律：A∩B=B∩A ；A∪B=B∪A。
2.结合律：(A∩B)∩C=A∩(B∩C) ；(A∪B)∪C=A∪(B∪C)。
3.分配律：A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C) ；A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)。
4.对偶律：(A∩B)′=A′∪B′ ；(A∪B)′=A′∩B′。
四、差集差集是指一个集合中去掉另一个集合后剩余的部分。
假设A和B是两个集合，则它们的差集表示为A-B，即由属于A但不属于B的所有元素所构成的一个新集合。
五、补集补集是指一个集合与另一个全集合之间的差集。
集合间的关系
集合间的关系什么是集合间的关系？集合间的关系指的是两个或多个集合之间的关系。
在数学中，集合间的关系是一种可以描述不同集合之间联系的方式。
它可以用来表示集合间的相互影响，或者说集合间的特征性质的抽象概念。
一般来说，集合间的关系可以有四种：包含关系、相等关系、并集关系和交集关系。
1、包含关系(Containment Relationship)是指一个集合A包含另一个集合B时就形成了包含关系，即A⊂B。
如果A=B，则称两个集合相等。
此外，如果A⊂B，而B⊂A，则A=B。
2、相等关系(Equality Relationship)，当两个集合的元素完全相同时，则这两个集合就成为相等关系。
即A=B。
3、并集关系(Union Relationship)，当两个集合中的元素都可以找到时，则称两个集合形成并集关系，即A∪B。
4、交集关系(Intersection Relationship)，当两个集合中的元素都具有相同的特征时，则称两个集合形成交集关系，即A∩B。
上述四种关系是集合间关系的基本形式，但实际上，集合间的关系可以根据不同情况而发生变化。
例如，可以把集合A看作是集合B的子集，此时A⊆B，也就是A的元素都可以在B中找到。
也可以把集合A看作是集合B的超集，此时A⊇B，也就是B的元素都可以在A中找到。
此外，集合间的关系还可以根据不同的集合进行划分，例如有序集合、无序集合、离散集合、连续集合等。
最后，除了上述四种基本关系外，还有一些更复杂的关系，如偏序关系、拓扑关系、伴随关系、概率关系等。
它们可以用来描述两个或多个集合之间的更复杂的关系。
综上所述，集合间的关系可以用来描述不同集合之间的相互影响，或者说集合间的特征性质的抽象概念。
它可以有四种基本关系：包含关系、相等关系、并集关系和交集关系。
此外，还有一些更复杂的关系，如偏序关系、拓扑关系、伴随关系、概率关系等。
集合间的基本关系ppt课件
变式训练1 (1)若{1,2,3}⫋A⊆{1,2,3,4,5},则满足条件的集合A的个数为
( B )
A.2
B.3
C.4D.5解析 满足 Nhomakorabea件的集合A有{1,2,3,4},{1,2,3,5}和{1,2,3,4,5},共3个.
(2)已知集合A⫋{1,2,3},且A中至少含有一个奇数,则满足条件的集合A的个
别为{1},{2}.
思考辨析
1.{0},⌀之间有什么区别与联系?
提示 {0}是含有一个元素0的集合,⌀是不含任何元素的集合,因此⌀⊆{0}.
2.若一个集合只有一个子集,则这个集合有什么特征?
提示 一个集合只有一个子集,则这个集合是空集.
自主诊断
1.下列集合中为空集的是( C )
A.{0}
B.{⌀}
(3)集合A的非空子集的个数为2n-1;
(4)集合A的非空真子集的个数为2n-2.
例如,集合{1,2}的元素个数为2,其子集个数为22=4,子集分别为⌀,{1},{2},
{1,2};真子集个数为22-1=3,真子集分别为⌀,{1},{2};非空子集个数为22-1=
3,非空子集分别为{1},{2},{1,2};非空真子集个数为22-2=2,非空真子集分
【例1】 (1)[2024河南统考模拟预测]已知集合A={x∈N|-2<x<3},则集合A
的所有非空真子集的个数是( D )
A.6
B.7
C.14
D.15
解析 因为A={x∈N|-2<x<3}={0,1,2},所以集合A中的元素个数为3,因此集
合A的所有非空真子集的个数是23-2=6.故选A.
(2)已知集合M满足{2,3}⊆M⊆{1,2,3,4,5},那么这样的集合M的个数为( C )
3、集合之间的关系
集合间的基本关系1.子集： 对于两个集合,A B ，如果集合A 中的任意一个元素都是集合B 的元素，我们就说集合A 为 集合B 的子集，记作A B ⊆（或B A ⊇），读作 “A 包含于B ”（或“B 包含A ”）.规定：∅是任意集合的子集.A ⊇B 或B ⊆A ．B 可能有三种情况，B= Ø，A =B ，B ≠⊂A ．不可漏掉空集和自身！如果：A ⊇B ，B ⊇C ，有：A ⊇C ．集合具有包含传递性．2.真子集：如果集合A B ⊆，但存在元素x B ∈，但x A ∉，我们称集合A 是集合B 的真子集，记作AB （或B A ）.∅是任意非空集合的真子集. 3.相等：如果集合A 是集合B 的子集（A B ⊆），且集合B 是集合A 的子集（B A ⊇），此时，集合A与集合中的元素是一样的，我们说集合A 与集合B 相等，记作A =B .4.Venn 图：在数学上，我们经常用平面上封闭的曲线的内部表示集合，这种图称为Veen 图。
5.空集：Ø．注意，空集是集合，不是元素，不能和0元素混淆．空集是任何非空集合的真子集．所以有些集合，在无解或无意义时，满足空集的条件！6.记住以下结论：①有n 个元素的集合有n2个子集． ②有n 个元素的集合有n 2-1个真子集． 知识要点集合之间的关系③有n 个元素的集合有n2-1个非空子集． ④ 有n 个元素的集合有n 2-2个非空真子集． 集合的基本运算1. 并集：一般地，由所有属于集合A 或属于集合B 的元素组成的集合，称为集合A 与B 的并集， 记作A B （读作“A 并B ”），即{|,A B x x A =∈ 或}x B ∈．（1）包含全部A 、B 的元素，但不能重复．（2）部分元素属于A ，部分元素属于B ，也有同属于A 、B 的．（3）并集运算：A ∪B=B ∪A ；A ∪A=A ；A ∪Ø =A；若A ⊇B ，A ∪B=A ；若A ∪B=A ，A ⊇B ；A ∪B ⊇A ．2. 交集：一般地，由属于集合A 且属于集合B 的所有元素组成的集合，称为A 与B 的交集，记作A B （读作“A 交B ”），即{|,A B x x A =∈ 且}x B ∈．如果没有元素满足条件，则A ∩B= Ø．3. 全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作U ．4.补集：对于一个集合A ，由全集U 中不属于集合A 的所有元素组成的集合称为集合A 相对于全集U 的补集，记作A 。
集合间的关系
已知集合 A＝{m，m＋d，m＋2d}，B＝{m，mq，mq2}，其中 m≠0，且 A＝ B，求 q 的值．
小试牛刀
练习5：
已知集合 A＝{m，m＋d，m＋2d}，B＝{m，mq，mq2}，其中 m≠0，且 A＝
B，求 q 的值．
[解] 由 A＝B 可知，
m＋d＝mq，
m＋d＝mq2，
(1)
已知集合 A＝{x|x2＋(a＋2)x＋1＝0，x∈R}，B＝{x|x>0，x∈R}，若 A∩B＝Ø， 则 a 的取值范围是__________．
典例探究
例5：已知集合 A＝{x|x2＋(a＋2)x＋1＝0，x∈R}，B＝{x|x>0，x∈R}，若 A∩B＝Ø，
则 a 的取值范围是__________．
[答案] (－∞，－2]
典例探究
例4：
已知集合 A＝{t2＋s2|t，s∈Z}，且 x∈A，y∈A，则下列结论正确的是( )
A．x＋y∈A
B．x－y∈A
C．xy∈A
x D． ∈A
y
典例探究
例4：
已知集合 A＝{t2＋s2|t，s∈Z}，且 x∈A，y∈A，则下列结论正确的是( )
A．x＋y∈A
B．x－y∈A
x
又 ∉ A，故 D“ ∈A”不成立．故选 C.
2
y
[答案] C
小试牛刀
练习4：
已知集合 A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若 B⊆A，则实数 m 的 取值范围是________．
小试牛刀
练习4：已知集合 A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若 B⊆A，则实数 m 的
此时集合 A 中有重复元素 3，
集合间基本关系
集合间基本关系集合间基本关系是数学中的重要概念，它描述了集合之间的相互关系，包括包含关系、相等关系、交集、并集和补集等。
本文将逐一介绍这些基本关系，并给出相关的例子，帮助读者更好地理解这些概念。
一、包含关系包含关系是指一个集合是否包含另一个集合的所有元素。
如果集合A包含集合B的所有元素，则称集合A包含集合B，记作A⊇B。
例如，假设集合A为自然数集合{1, 2, 3, 4, ...}，集合B为偶数集合{2, 4, 6, ...}，则可以说集合A包含集合B，即A⊇B。
二、相等关系相等关系是指两个集合具有相同的元素。
如果集合A包含集合B的所有元素，并且集合B包含集合A的所有元素，则称集合A和集合B相等，记作A=B。
例如，集合A为正整数集合{1, 2, 3, 4, ...}，集合B为自然数集合{1, 2, 3, 4, ...}，则可以说集合A和集合B相等，即A=B。
三、交集交集是指两个集合中共同的元素组成的集合。
如果集合A和集合B 的交集为集合C，则称集合C是集合A和集合B的交集，记作C=A∩B。
例如，集合A为偶数集合{2, 4, 6, ...}，集合B为整数集合{1, 2, 3, 4, ...}，则可以说集合A和集合B的交集为集合{2, 4, 6, ...}，即A∩B={2, 4, 6, ...}。
四、并集并集是指两个集合中所有元素的集合。
如果集合A和集合B的并集为集合C，则称集合C是集合A和集合B的并集，记作C=A∪B。
例如，集合A为奇数集合{1, 3, 5, ...}，集合B为整数集合{1, 2, 3, 4, ...}，则可以说集合A和集合B的并集为整数集合{1, 2, 3, 4, ...}，即A∪B={1, 2, 3, 4, ...}。
五、补集补集是指某个集合中不属于另一个集合的元素组成的集合。
如果集合A是集合B的补集，则称集合A是集合B的补集，记作A=B'或A=Bc。
例如，集合A为负整数集合{..., -3, -2, -1}，集合B为自然数集合{1, 2, 3, 4, ...}，则可以说集合A是集合B的补集，即A=B'或A=Bc。
高中数学集合的基本关系
高中数学集合的基本关系
高中数学中，我们学习了集合的基本关系，它们是描述集合之间相互关系的重要工具。
以下是一些常见的基本关系：
1. 子集关系：如果一个集合A的所有元素都是另一个集合B的元素，则称A是B的子集，记作A⊆B。
如果A不等于B，则称A是B的真子集，记作A⊂B。
2. 空集关系：对于任意集合A来说，空集∅是任意集合的一个子集。
3. 相等关系：如果两个集合A和B的元素完全相同，即A⊆B且B⊆A，则称A和B相等，记作A=B。
4. 交集关系：对于给定的两个集合A和B，它们的交集是一个新的集合，包含同属于
A和B的所有元素，记作A∩B。
5. 并集关系：对于给定的两个集合A和B，它们的并集是一个新的集合，包含所有属于A或者属于B的元素，记作A∪B。
6. 互补关系：对于给定的两个集合A和B，如果A∩B=∅，即A和B没有共同元素，则称A和B互补。
这些基本关系在高中数学中经常用到，它们帮助我们描述和操作不同集合之间的关系。
注意，这些关系的具体性质和定理可以在相应的教科书和课堂讲义中找到。
集合的四种基本关系
集合的四种基本关系集合的四种基本关系集合是数学中的一个重要概念，它可以用来描述一组具有某种特定属性的对象。
在集合论中，有四种基本关系，分别是包含关系、相等关系、交集和并集。
下面将对这四种关系进行详细介绍。
一、包含关系包含关系是指一个集合包含另一个集合的所有元素。
如果A和B是两个集合，且A中的每个元素都同时属于B，则称A是B的子集，或者说B是A的超集。
用符号表示为：A⊆B或者B⊇A。
例如，假设有两个集合A={1,2,3}和B={1,2,3,4}，则可以得出：- A⊆B- B⊇A二、相等关系相等关系是指两个集合具有完全相同的元素。
如果两个集合A和B互相包含，则它们就相等。
用符号表示为：A=B。
例如，假设有两个集合C={a,b,c}和D={c,b,a}，则可以得出：- C=D三、交集交集是指两个或多个集合共同拥有的元素构成的新的一个集合。
用符号表示为：A∩B或者AB。
例如，假设有两个集合E={1,2,3,4}和F={3,4,5,6}，则可以得出：- E∩F={3,4}四、并集并集是指两个或多个集合中所有元素的总和构成的一个新的集合。
用符号表示为：A∪B或者A+B。
例如，假设有两个集合G={1,2,3}和H={4,5,6}，则可以得出：- G∪H={1,2,3,4,5,6}总结以上就是集合的四种基本关系。
包含关系是指一个集合包含另一个集合的所有元素；相等关系是指两个集合具有完全相同的元素；交集是指两个或多个集合共同拥有的元素构成的新的一个集合；并集是指两个或多个集合中所有元素的总和构成的一个新的集合。
在实际应用中，这些基本关系经常被用来描述数据之间的联系。
1.1.2 集合间的基本关系
1．1.2 集合间的基本关系一、子集1、定义：一般地，对于两个集合A ，B ，如果集合A 中任意一个元素都是集合B 中的元素，我们就说这两个集合有包含包含关系，称集合A 为集合B 的子集2、记法与读法：记作B A ⊆(或A B ⊇)，读作“A 含于B ”(或“B 包含A ”)3、结论(1)任何一个集合是它本身的子集，即A A ⊆.(2)对于集合A ，B ，C ，若A ⊆B ，且B ⊆C ，则C A ⊆4、对子集概念的理解(1)集合A 是集合B 的子集的含义是：集合A 中的任何一个元素都是集合B 中的元素，即由x ∈A 能推出x ∈B .例如{0,1}⊆{－1,0,1}，则0∈{0,1},0∈{－1,0,1}．(2)如果集合A 中存在着不是集合B 的元素，那么集合A 不包含于B ，或B 不包含A .此时记作A B 或B ⊉A .(3)注意符号“∈”与“⊆”的区别：“⊆”只用于集合与集合之间，如{0}⊆N.而不能写成{0}∈N ，“∈”只能用于元素与集合之间．如0∈N ，而不能写成0⊆N.二、集合相等1、集合相等的概念如果集合A 是集合B 的子集(A ⊆B )，且集合B 是集合A 的子集(B ⊆A )，此时，集合A 与集合B 中的元素是一样的，因此，集合A 与集合B 相等，记作B A =.2、对两集合相等的认识(1)若A ⊆B ，又B ⊆A ，则A ＝B ；反之，如果A ＝B ，则A ⊆B ，且B ⊆A .这就给出了证明两个集合相等的方法，即欲证A ＝B ，只需证A ⊆B 与B ⊆A 同时成立即可．(2)若两集合相等，则两集合所含元素完全相同，与元素排列顺序无关.三、真子集1、定义：如果集合A ⊆B ，但存在元素A x ∈，且B x ∈，我们称集合A 是集合B 的真子集2、记法与表示：3、对真子集概念的理解(1)在真子集的定义中，A B 首先要满足A ⊆B ，其次至少有一个x ∈B ，但x ∉A .(2)若A 不是B 的子集，则A 一定不是B 的真子集.四、空集1、定义：我们把不含任何元素的集合，叫做空集2、记法：∅3、规定：空集是任何集合的子集，即∅⊆A4、特性：(1)空集只有一个子集，即它的本身，∅⊆∅(2)A ≠∅，则∅真包含A5、∅与{0}的区别(1)∅是不含任何元素的集合；(2){0}是含有一个元素的集合，∅{0}．题型一、集合间关系的判断例1、(1)下列各式中，正确的个数是( B )①{0}∈{0,1,2}；②{0,1,2}⊆{2,1,0}；③∅⊆{0,1,2}；④∅＝{0}；⑤{0,1}＝{(0,1)}；⑥0＝{0} A．1B．2 C．3 D．4题型二、有限集合子集的确定例2(1)集合M＝{1,2,3}的真子集个数是()A．6 B．7 C．8 D．9(2)满足{1,2}M⊆{1,2,3,4,5}的集合M有________个．[解析](1)集合M的真子集所含有的元素的个数可以有0个，1个或2个，含有0个为∅，含有1个有3个真子集{1}，{2}，{3}，含有2个元素有3个真子集{1,2}{1,3}和{2,3}，共有7个真子集，故选B.(2)由题意可得{1,2}M⊆{1,2,3,4,5}，可以确定集合M必含有元素1,2，且含有元素3,4,5中的至少一个，因此依据集合M的元素个数分类如下：含有三个元素：{1,2,3}{1,2,4}{1,2,5}；含有四个元素：{1,2,3,4}{1,2,3,5}{1,2,4,5}；含有五个元素：{1,2,3,4,5}．故满足题意的集合M共有7个．公式法求有限集合的子集个数(1)含n个元素的集合有2n个子集．(2)含n个元素的集合有(2n－1)个真子集．(3)含n个元素的集合有(2n－1)个非空子集．(4)含有n个元素的集合有(2n－2)个非空真子集．(5)若集合A有n(n≥1)个元素，集合C有m(m≥1)个元素，且A⊆B⊆C，则符合条件的集合B有2m－n个．[活学活用]非空集合S⊆{1,2,3,4,5}且满足“若a∈S，则6－a∈S”，则这样的集合S共有________个．解析：由“若a∈S，则6－a∈S”知和为6的两个数都是集合S中的元素，则()集合S中含有1个元素：{3}；集合S中含有2个元素：{2,4}，{1,5}；集合S中含有3个元素：{2,3,4}，{1,3,5}；集合S中含有4个元素：{1,2,4,5}；集合S中含有5个元素：{1,2,3,4,5}．故满足题意的集合S共有7个．题型三、集合间关系的应用例3、已知集合A＝{x|x<－1或x>4}，B＝{x|2a≤x≤a＋3}，若B⊆A，求实数a的取值范围．[解]当B＝∅时，只需2a>a＋3，即a>3；当B ≠∅时，根据题意作出如图所示的数轴，可得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋3≥2a ，a ＋3<－1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＋3≥2a ，2a >4，解得a <－4或2<a ≤3.综上可得，实数a 的取值范围为a <－4或a >2.[活学活用]1、已知集合A ＝{x |1<ax <2}，B ＝{x |－1<x <1}，求满足A ⊆B 的实数a 的取值范围． 解：(1)当a ＝0时，A ＝∅，满足A ⊆B .(2)当a >0时，A ＝{x |1a <x <2a}．又∵B ＝{x |－1<x <1}且A ⊆B ， 如图作出满足题意的数轴：∴⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，1a≥－1，2a ≤1，∴a ≥2. (3)当a <0时，A ＝{x |2a <x <1a } ∵A ⊆B ，如图所示， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ a <0，2a≥－1，1a ≤1，∴a ≤－2.综上所述，a 的取值范围是{a |a ＝0或a ≥2或a ≤－2}．2、已知集合A ＝{x |x 2＋4x ＝0}，B ＝{x |x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0，a ∈R}，若B ⊆A ，求实数a 的取值范围．解：A ＝{x |x 2＋4x ＝0}＝{0，－4}，∵B ⊆A ，∴B ＝∅或B ＝{0}或B ＝{－4}或B ＝{0，－4}．(1)当B ＝∅时，方程x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0无实根，则Δ<0，即4(a ＋1)2－4(a 2－1)<0.∴a <－1.(2)当B ＝{0}时，有⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝0，a 2－1＝0，∴a ＝－1.(3)当B ＝{－4}时，有⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝0，a 2－8a ＋7＝0，无解． (4)当B ＝{0，－4}时，由韦达定理得a ＝1.综上所述，a ＝1或a ≤－1.课堂练习1．给出下列四个判断：①∅＝{0}；②空集没有子集；③任何一个集合必有两个或两个以上的子集；④空集是任何一个集合的子集．其中，正确的有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个解析：由空集的性质可知，只有④正确，①②③均不正确．答案：B2．已知A ＝{x |x 是菱形}，B ＝{x |x 是正方形}，C ＝{x |x 是平行四边形}，那么A ，B ，C 之间的关系是 ( B )A ．A ⊆B ⊆C B ．B ⊆A ⊆C C ．A B ⊆CD ．A ＝B ⊆C3．已知集合A ＝{－1,3，m}，B ＝{3,4}，若B ⊆A ，则实数m ＝________.解析 ：∵B ⊆A ，B ＝{3,4}，A ＝{－1,3，m}∴m ∈A ，∴m ＝4.答案：44．集合A ＝{x|0≤x<3且x ∈N}的真子集的个数为________．解析：由题意得A ＝{0,1,2}，故集合A 有7个真子集．答案：75．已知集合A ＝{x|1≤x ≤2}，B ＝{x|1≤x ≤a}．(1)若A 是B 的真子集，求a 的取值范围；(2)若B 是A 的子集，求a 的取值范围；(3)若A ＝B ，求a 的取值范围．解：(1)若A 是B 的真子集，即A B ，故a>2.(2)若B 是A 的子集，即B ⊆A ，则a ≤2.(3)若A ＝B ，则必有a ＝2.课时跟踪检测(三) 集合间的基本关系一、选择题1．已知集合A ＝{x |x ＝3k ，k ∈Z }，B ＝{x |x ＝6k ，k ∈Z }，则A 与B 之间最适合的关系是( )A ．A ⊆BB ．A ⊇BC ．A BD ．A B2．已知集合M ＝{x |－5<x <3，x ∈Z }，则下列集合是集合M 的子集的为( )A．P＝{－3,0,1}B．Q＝{－1,0,1,2}C．R＝{y|－π<y<－1，y∈Z}D．S＝{x||x|≤3，x∈N}3．已知集合P＝{x|x2＝1}，Q＝{x|ax＝1}，若Q⊆P，则a的值是( ) A．1 B．－1C．1或－1 D．0,1或－14．已知集合A⊆{0,1,2}，且集合A中至少含有一个偶数，则这样的集合A的个数为( ) A．6 B．5C．4 D．35．已知集合M＝{(x，y)|x＋y<0，xy>0}和P＝{(x，y)|x<0，y<0}，那么( ) A．P M B．M PC．M＝P D．M P二、填空题6．已知M＝{y|y＝x2－2x－1，x∈R}，N＝{x|－2≤x≤4}，则集合M与N之间的关系是________．7．图中反映的是“文学作品”“散文”“小说”“叙事散文”这四个文学概念之间的关系，请作适当的选择填入下面的空格：A为________；B为________；C为________；D为________．8．已知集合A＝{x|ax2＋2x＋a＝0，a∈R}，若集合A有且仅有2个子集，则a的取值构成的集合为________．三、解答题9．已知A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|ax－2＝0}，且B⊆A，求实数a组成的集合C.10．设集合A＝{x|－1≤x＋1≤6}，B＝{x|m－1<x<2m＋1}．(1)当x∈Z时，求A的非空真子集的个数；(2)若A⊇B，求m的取值范围．答 案课时跟踪检测(三)1．选D 显然B 是A 的真子集，因为A 中元素是3的整数倍，而B 的元素是3的偶数倍．2．选D 先用列举法表示集合，再观察元素与集合的关系．集合M ＝{－2，－1,0,1}，集合R ＝{－3，－2}，集合S ＝{0,1}，不难发现集合P 中的元素－3∉M ，集合Q 中的元素2∉M ，集合R 中的元素－3∉M ，而集合S ＝{0,1}中的任意一个元素都在集合M 中，所以S ⊆M ，且S M .故选D.3．选D 由题意，当Q 为空集时，a ＝0；当Q 不是空集时，由Q ⊆P ，a ＝1或a ＝－1.4．选A 集合{0,1,2}的子集为：∅，{0}，{1}，{2}，{0,1}，{0,2}，{1,2}，{0,1,2}，其中含有偶数的集合有6个．故选A.5．选C ∵⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y <0，xy >0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x <0，y <0. ∴M ＝P .6．解析：∵y ＝(x －1)2－2≥－2，∴M ＝{y |y ≥－2}．∴N M .答案：N M7．解析：由Venn 图可得AB ，CD B ，A 与D 之间无包含关系，A 与C 之间无包含关系．由“文学作品”“散文”“小说”“叙事散文”四个文学概念之间的关系，可得A 为小说，B 为文学作品，C 为叙事散文，D 为散文．答案：小说 文学作品 叙事散文 散文8．解析：因为集合A 有且仅有2个子集，所以A 仅有一个元素，即方程ax 2＋2x ＋a ＝0(a ∈R )仅有一个根．当a ＝0时，方程化为2x ＝0，∴x ＝0，此时A ＝{0}，符合题意．当a ≠0时，Δ＝22－4·a ·a ＝0，即a 2＝1，∴a ＝±1.此时A ＝{－1}，或A ＝{1}，符合题意．∴a ＝0或a ＝±1.答案：{0,1，－1}9．解：由x 2－3x ＋2＝0，得x ＝1，或x ＝2.∴A ＝{1,2}．∵B ⊆A ，∴对B 分类讨论如下：(1)若B ＝∅，即方程ax －2＝0无解，此时a ＝0.(2)若B ≠∅，则B ＝{1}或B ＝{2}．当B ＝{1}时，有a －2＝0，即a ＝2；当B ＝{2}时，有2a －2＝0，即a ＝1.综上可知，符合题意的实数a 所组成的集合C ＝{0,1,2}．10．解：化简集合A 得A ＝{x |－2≤x ≤5}．(1)∵x ∈Z ，∴A ＝{－2，－1,0,1,2,3,4,5}，即A 中含有8个元素，∴A 的非空真子集数为28－2＝254(个)．(2)①当m ≤－2时，B ＝∅⊆A ；②当m >－2时，B ＝{x |m －1<x <2m ＋1}，因此，要B ⊆A ，则只要⎩⎪⎨⎪⎧ m －1≥－22m ＋1≤5⇒－1≤m ≤2.综上所述，知m 的取值范围是：{m |－1≤m ≤2或m ≤－2}．。
描述集合间关系的符号
描述集合间关系的符号
在数学中，我们常常需要描述集合间的关系。
为了方便表示，我们使用一些符号来表示这些关系。
下面是一些常用的符号及其含义：
1. “∈”表示属于，例如a∈A表示a是集合A中的一个元素。
2. “”表示不属于，例如bA表示b不是集合A中的一个元素。
3. “”表示包含或子集，例如BA表示集合B是集合A的一个子集，即B中的所有元素都属于A。
4. “”表示真包含或真子集，例如BA表示集合B是集合A的一个真子集，即B中的所有元素都属于A，但A中还有其他元素。
5. “∪”表示并集，例如A∪B表示集合A和集合B的并集，即包含A和B中所有元素的集合。
6. “∩”表示交集，例如A∩B表示集合A和集合B的交集，即包含A和B中公共元素的集合。
7. “”表示减去，例如AB表示从集合A中减去所有属于B的元素后得到的集合。
8. “|”表示“使得”，例如{x | x是自然数且x<5}表示使得x 是自然数且小于5的集合。
上述符号是描述集合间关系的基本符号，掌握它们对于学习和应用数学都非常重要。
- 1 -。
第二节 集合之间的关系及基本运算
第二节 集合之间的关系及基本运算【考纲要求】1 理解符号,,⊆⊇ ， ，,,U A B A B C A 的含义，并能用这些符号表示集合与集合间的关系。
2 掌握集合的交、并、补集的运算。
【考点解析】1 Venn 图：用平面上封闭曲线的内部来表示一个集合。
注：（1）Venn 图可以形象直观地表示集合间的关系。
（2）封闭曲线可以是椭圆、圆、矩形、正方形等。
2 集合之间的关系（1）子集：若集合A 的任意一个元素都是集合B 的元素，则集合A 交集合B 的子集，记作：A B ⊆或B A ⊇，读作：“A 包含于B ”或“B 包含于A ”。
（如图所示）注：①任何一个集合A 都是它本身的子集，即A A ⊆② 当集合A 不是集合B 的子集时，记作：A B ⊆或B A ⊇ 读作：“A 不包含于B ”或“B 不包含于A ”③ 空集是任何集合的子集.（2）真子集：若集合A 是集合B 的子集，并且集合B 中至少有一个元素不属于集合A ，则集合A 是集合B 的子集，记作：A B 或B A ，读作：“A 真包含于B ”或“B 真包含于A ”。
（如图所示）B AA B注：空集是任何非空集合的真子集（3）集合相等：两个集合的元素完全相同，记作：A=B （如图所示）（4）集合之间关系的性质① 对于集合A 、B 、C ，若,A B B C ⊆⊆,则A C ⊆②对于集合A 、B 、C ，A B ，B C ，则A C③ 若,,A B B A ⊆⊆则A=B ；反之，若A=B ，则,,A B B A ⊆⊆ 3 集合的运算（1）交集：给定两个集合A 、B ，由属于A 且属于B 的所有元素构成的集合，记作：A B ，即{|}A B x x A x B =∈∈ 且（若图所示）交集的性质： ① A B B A = ②A A A = ③ A ∅=∅ ④ 若A B ⊆，则A B A = ⑤ 若A B A = ，则A B ⊆（2）并集：给定两个集合A,B,由属于集合A 或属于集合B 的所有元素构成的集合，记作：A B ，即{|}A B x x A x B =∈∈ 或（如图所示）注：（1）并集定义中的“或”有三层含义：① 元素x 属于A 但不属 B （A ）于B ②元素x 属于B 但不属于A ③元素x 属于A 且属于B（2）在求集合的并集时，同时属于和的公共元素，在并集中只列举一次。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
集合间的基本关系
教材分析：类比实数的大小关系引入集合的包含与相等关系
了解空集的含义
课 型：新授课
教学目的：（1）了解集合之间的包含、相等关系的含义；
（2）理解子集、真子集的概念；
（3）能利用Venn 图表达集合间的关系；
（4）了解与空集的含义。
教学重点：子集与空集的概念；用Venn 图表达集合间的关系。
教学难点：弄清元素与子集 、属于与包含之间的区别；
教学过程：
一、 引入课题
1、 复习元素与集合的关系——属于与不属于的关系，填以下空白：
（1）0 N ；（2）
；（3）-1.5 R
2、 类比实数的大小关系，如5<7，2≤2，试想集合间是否有类似的“大小”关系呢？（宣布课题）
二、 新课教学
（一） 集合与集合之间的“包含”关系；
A={1，2，3}，B={1，2，3，4}
集合A 是集合B 的部分元素构成的集合，我们说集合B 包含集合A ； 如果集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素，我们说这两个集合有包含关系，称集合A 是集合B 的子集（subset ）。
记作：)(A B B A ⊇⊆或
读作：A 包含于（is contained in ）B ，或B 包含（contains ）A 当集合A 不包含于集合B 时，记作A B
用Venn 图表示两个集合间的“包含”关系
)(A B B A ⊇⊆或
⊆
（二） 集合与集合之间的 “相等”关系；
A B B A ⊆⊆且，则B A =中的元素是一样的，因此B A =
即 ⎩
⎨⎧⊆⊆⇔=A B B A B A 练习
结论：
任何一个集合是它本身的子集
（三） 真子集的概念
若集合B A ⊆，存在元素A x B x ∉∈且，则称集合A 是集合B 的真子集（proper subset ）。
记作： A B （或B A ）
读作：A 真包含于B （或B 真包含A ）
举例（由学生举例，共同辨析）
（四） 空集的概念
（实例引入空集概念）
不含有任何元素的集合称为空集（empty set ），记作：∅
规定： 空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。
（五） 结论：
○1A A ⊆ ○2B A ⊆，且C B ⊆，则C A ⊆ （六） 例题
（1）写出集合{a ，b}的所有的子集，并指出其中哪些是它的真子集。
（2）化简集合A={x|x-3>2},B={x|x ≥5}，并表示A 、B 的关系；
（七） 课堂练习
（八） 归纳小结，强化思想
两个集合之间的基本关系只有“包含”与“相等”两种，可类比两个实数间的大小关系，同时还要注意区别“属于”与“包含”两种关系及其表示方法；。