运输运输问题的表上作业法
4-02运输问题表上作业法
用最小元素法确定例3-2初始调运方案
调 销地
运 量
B1
B2
B3
产量
产地
100 90
70 100 100 200 100
A1
X11
X12
X13
80 150 65 100 75 250 100
A2
X21
X22
X23
100
150
200
销量
100 450
得到初始调运方案为： x11=100，x13=100，x22=150，x23=100
量为该闭回路的顶点；其中 i1 , i2 ,, is 互不
相同, j1 , j2 ,, js 互不相同。
例 设m=3，n=4，决策变量xij表示从产地Ai 到销地Bj的调运量，列表如下，给出闭回路
{x11, x13 , x33 , x34 , x24 , x21} 在表中的表示法——
用折线连接起来的顶点变量。
最小元素法实施步骤口诀
《运价表》上找最小，《平衡表》上定产销； 满足销量划去“列”，修改“行产”要记
牢； （满足产量划去“行”，修改“列销”要记 牢） 划去列(行)对《运价》， 修改“行产(列销)”在《产销》； 余表再来找最小，方案很快就找到。
用西北角法确定例3-2初始调运方案
调 销地
运 量
B1
（3-6）
位势法计算非基变量xij检验数的公式
σij=cij-（ui+vj）
（3-8）
思考：试解释位势变量的含义（提示：写出运输问 题的对偶问题）
四、方案调整
当至少有一个非基变量的检验数是负值时， 说明作业表上当前的调运方案不是最优的，应 进行调整。
若检验数σij小于零，则首先在作业表上以xij 为起始变量作出闭回路，并求出调整量ε：
表上作业法的计算步骤
表上作业法的计算步骤
表上作业法是一种用于解决运输问题的有效方法。
下面详细阐述了表上作业法的计算步骤：
1. 找出初始基本可行解（初始调运方案，一般m+n-1个数字格）
初始基本可行解的寻找是表上作业法的第一步。
通常，我们可以使用西北角法或最小元素法来确定初始调运方案。
2. 西北角法
从西北角（左上角）格开始，在格内的右下角标上允许取得的最大数。
然后，按照箭头方向向下或向右移动，标出每个格的下一个数字，直到填满整个表格。
3. 按行（列）标下一格的数
在填满表格后，我们需要按照行（或列）的顺序，从左到右（或从上到下）依次标出下一个数字。
当某行（或列）的产量（或销量）已满足时，我们将该行（或列）的其他格划去，不再参与后续的计算。
4. 重复步骤2和3
重复步骤2和3，直到所有数字格都已填满，且不存在可标下一格的数字。
此时，我们得到的就是一个基本的可行解。
以上就是表上作业法的计算步骤。
需要注意的是，在实际操作中，可能需要结合具体问题的实际情况进行灵活调整。
运输问题的求解方法
产销平衡表与单位运价表
表上作业法
产销不平衡的运输问题的求解方法
一、产销平衡表与单位运价表
运输问题还可用产销平衡表与单位运价表 进行描述。 假设某种物资有m个生产地点Ai（i=1， 2，…，m），其产量（供应量）分别为ai（i=1， 2，…，m），有n个销地Bj（j=1，2，…，n）， 其销量（需求量）分别为bj（j=1，2，…，n）。 从Ai到Bj运输单位物资的运价（单价）为Cij。将 这些数据汇总可以得到产销平衡表和单位运价 表5.3.1。
P ,P ,P ,P ,P B ik lk ls us uj
而这些向量构成了闭回路见图
位势法
一种较为简便的求检验数的方法。
设 u1, , u2 ,, um ; v1 , v2 ,, vn 是对应运输问题的m+n 个约束条件的对偶变量。B是含有一个人工变量Xa的初始 基矩阵。 Xa在目标函数中的系数Ca ，由线性规划的对 偶理论可知
（1）确定初始调运方案，即找出初始 基可行解,在产销平衡表上给出 m+n-1个数 字格。
（2）求非基变量的检验数，即在表上计算 空格的检验数，判别是否达到最优解：是否存 在负的检验数？如果存在负的检验数，则初始 调运方案不是最优方案；如果所有检验数都非 负，则初始调运方案已经是最优方案了。如果 已经得到最优调运方案，则停止计算，否则转 入下一步。
考虑多余的物资在哪一个产地就地储存的问题。 xi ,n1 设 是产地Ai的储存量，于是有
n n 1 xij xi,n1 xij ai (i 1,2,, m) j 1 m j 1 xij b j ( j 1,2, n) m i 1 m n x i ,n 1 ai b j bn 1 i 1 j 1 i 1
管理运筹学 第七章 运输问题之表上作业法
最优解的判断与调整
最优解的判断
比较目标函数值，如果当前基础可行解 的目标函数值最优，则该解为最优解。
VS
最优解的调整
如果当前基础可行解不是最优解，需要对 其进行调整。通过比较不同运输路线的运 输费用，对运输量进行优化分配，以降低 总运输费用。
最优解的验证与
要点一
最优解的验证
对求得的最优解进行检验，确保其满足所有约束条件且目 标函数值最优。
01
将智能优化算法（如遗传算法、模拟退火算法等）与表上作业
法相结合，以提高求解效率和精度。
发展混合算法
02
结合多种算法的优势，发展混合算法以处理更复杂的运输问题。
拓展应用范围
03
在保持简单易行的基础上，拓展表上作业法的应用范围，使其
能够处理更多类型的运筹问题。
THANKS FOR WATCHING
果达到最优解，则确定最优解；如果未达到最优解，则确定次优解。
表上作业法的应用范围
总结词
表上作业法适用于解决供销平衡的运输问题，即供应量和需求量相等的情况。
详细描述
表上作业法适用于解决供销平衡的运输问题，即供应量和需求量相等的情况。在这种情况下，可以通过在运输表 格上填入数字来求解最小运输成本。此外，表上作业法还可以用于解决其他类型的线性规划问题，如资源分配问 题、生产计划问题等。
03 表上作业法的求解过程
初始基础可行解的求解
确定初始基础可行解
根据已知的发货地和收货地的供需关系，以及运输能力限制，通 过试算和调整，求得初始的基础可行解。
初始解的检验
检查初始解是否满足非负约束条件，即所有出发地到收货地的运输 量不能为负数。
初始解的调整
如果初始解不满足非负约束条件，需要对运输量进行调整，直到满 足所有约束条件。
第二节运输问题求解表上作业法-精品文档
应用西北角法、最小元素法和 Vogel法，每次填完数，都只划去一 行或一列，只有最后一个元例外（同 时划去一行和一列）。当填上一个数 后行、列同时饱和时，也应任意划去 一行（列），在保留的列（行）中没 被划去的格内标一个0。
11
[例 3-2] 某食品公司下属的 A1、A2、 A3 ，3 个厂生产方便食品，要运输到 B1、 B2、B3、B4 ，4 个销售点，数据如下： 表1 B1 B2 A1 3 11 A2 1 9 A3 7 4 销量 bj 3 6 求最优运输方案。 B3 3 2 10 5 B4 产量 ai 10 7 8 4 5 9 6 20（产销平衡）
（1）西 北 角 法 B3 B4 10
产量 ai 7
8 2 5 3 6 6
4
9
销量 bj
3
6
5
20
14
（ 2） 最 小 元 素 法 B1 B2 A1 3 11
B3 3 4 10
B4
产 量 ai 7 3
A2
1 3
9
2 1
8
4
A3
7
4 6
10
5 3 5 6
9
销 量 bj
3
6
2015
（ 2） 最 小 元 素 法 B1 B2 A1 3 11
(4)若运输平衡表中所有的行与列均被 划去，则得到了一个初始基本可行解。否 则在剩下的运输平衡表中选下一个变量， 转(4)。
4
上述计算过程可用流程图描述如下
取未划去的单元格xij ,令 xij = min { ai , bj }
ai’ = ai - xij bj’ = bj - xij
否
ai’ = 0?
第二节 运输问题求解 —表上作业法
第二节运输问题求解表上作业法
即从 Ai 向 Bj 运最大量(使行或列在 允许的范围内尽量饱和，即使一个约 束方程得以满足),填入 xij 的相应位 置； (2) 从 ai 或 bj 中分别减去 xij 的值，即调整 Ai 的拥有量及 Bj 的需 求量；
3
(3) 若 ai = 0 ，则划去对应的行（把 拥有的量全部运走），若 bj = 0 则划去 对应的列（把需要的量全部运来），且每 次只划去一行或一列（即每次要去掉且只 去掉一个约束）；
—表上作业法
我们已经介绍过，可以通过增加虚 设产地或销地（加、减松弛变量）把问 题转换成产销平衡问题。
1.产量大于销量的情况
考虑 si > dj 的运输问题，得到的数学模 型为
i=1 j=1
39
m
n
2.运输问题求解
—表上作业法
Min f =
n m i=1 j=1
n
cij xij
s.t. xij si i = 1,2,…,m
10
应用西北角法、最小元素法和 Vogel法，每次填完数，都只划去一 行或一列，只有最后一个元例外（同 时划去一行和一列）。当填上一个数 后行、列同时饱和时，也应任意划去 一行（列），在保留的列（行）中没 被划去的格内标一个0。
11
表1
12
13
14
15
16
二、基本可行解的最优性检验
最优性检验就是检查所得到的方 案是不是最优方案。 检查的方法----计算检验数 由于目标要求极小，因此，当所 有的检验数都大于或等于零时该调运 方案就是最优方案；否则就不是最优， 需要进行调整。
第二节 运输问题求解 —表上作业法
运输问题的方法 —— 表上作业法： 1、确定一个初始基本可行解； 2 、根据最优性判别准则来检查这 个基本可行解是不是最优的。如果 是则计算结束；如果不是，则至3 3、换基，直至求出最优解为止。
管理运筹学第七章运输问题之表上作业法
5 3
9
销量
3
6
5
6
20
最小检验数原则，确定进基变量
最小偶点原则，确定出基变量和调整量
+1
-1
+1
-1
四、方案调整
B1
B2
B3
B4
产量ai
A1
3
11
3 5
10 2
7
A2
1 3
9
2
8 1
01
最优值：
01
f* =3×5+10×2+1×3+8×1+4×6+5×3 = 85
01
四、方案调整
闭回路调整法步骤：
01
入基变量的确定：选负检验数中最小者 rk，那么 xrk 作为进基变量；（使总运费尽快减少）
02
出基变量的确定：在进基变量xrk 的闭回路上，选取偶数顶点上调运量最小的值，将其对应的运量作为出基变量。（刚好有一个基变量出基，其它基变量都为正）
三、最优性检验
三、最优性检验
若让x11＝1，则总运费变化：3–3+2–1＝1 。
B1
B2
B3
B4
产量
A1
3
11
3 4
10 3
7
A2
1 3
9
2 1
8
4
A3
7
4 6
10
5 3
9
9
2
8 1
4
A3
7
4 6
10
5 3
9
销量bj
3
6
5
6
20
如上例中的最优方案就不唯一：
（0）
第三讲运输运输问题的表上作业法1.表上作业法的基本思想
第三讲运输运输问题的表上作业法 1.表上作业法的基本思想第三讲运输运输问题的表上作业法经济管理学院王垚经济管理学院王垚1.表上作业法的基本思想经济管理学院王垚经济管理学院王垚先设法给出一个初始方案,然后根据确定的判别准则对初始方案进行检查、调整、改进，直至求出最优方案，表上作业法和单纯形法的求解思想完全一致，但是具体作法更加简捷。
经济管理学院王垚经济管理学院王垚确定初始方案( 初始基本可行解)改进调整（换基迭代）否判定是否最优？是结束图运输问题求解思路图经济管理学院王垚经济管理学院王垚2.初始方案的确定经济管理学院王垚经济管理学院王垚（1）作业表（产销平衡表）经济管理学院王垚经济管理学院王垚作业表（产销平衡表）初始方案就是初始基本可行解。
将运输问题的有关信息表和决策变量——调运量结合在一起构成“作业表”（产销平衡表）。
经济管理学院王垚经济管理学院王垚调销地运量产地B1B2产量9><>A1 c11 X11c12 X12c13 X13<>a1<>A2c21 X21c22 X22c23 X23<>a2销量b1b2b3运输问题作业表（产销平衡表）经济管理学院王垚经济管理学院王垚其中：xij是决策变量，表示待确定的从第i个产地到第j个销地的调运量cij为从第i个产地到第j个销地的单位运价或运距。
经济管理学院王垚经济管理学院王垚确定初始方案的步骤：Step1：选择一个xij，令xij= min{ai，bj}=将具体数值填入xij在表中的位置；经济管理学院王垚经济管理学院王垚Step2：调整产销剩余数量从ai和bj中分别减去xij的值：若ai-xij=0，则划去产地Ai所在的行，即该产地产量已全部运出无剩余，而销地Bj尚有需求缺口bj-ai若bj-xij =0，则划去销地Bj所在的列，说明该销地需求已得到满足，而产地Ai尚有存余量ai-bj；经济管理学院王垚经济管理学院王垚Step3：当作业表中所有的行或列均被划去说明所有的产量均已运到各个销地，需求全部满足，xij的取值构成初始方案。
如何检验运输问题表上作业法的初始解
文章标题：如何检验运输问题表上作业法的初始解一、引言在运输管理中，表上作业法是一种常见的解决运输问题的方法。
它通过建立运输问题的表格，将各种运输需求与供给进行对应，并根据一定的规则进行调度，以便达到最佳的运输方案。
然而，如何检验表上作业法得到的初步解决方案是否符合实际情况，是一个值得探讨的问题。
本文将从深度和广度的角度，探讨如何检验运输问题表上作业法的初始解。
二、表上作业法的基本原理表上作业法是一种基于表格匹配的运输调度方法。
其基本原理是通过建立需求方与供给方的表格，并填入相应的运输成本或需求量，然后根据一定的规则进行调度，最终得到一个初步的运输方案。
这种方法是比较直观和简单的，但其初步解决方案是否符合实际情况，需要进行合理的检验。
三、如何检验表上作业法的初步解决方案1. 数据准确性检验需要对表上作业法得到的初步解决方案中所使用的数据进行准确性检验。
包括需求量、供给量、运输成本等数据的来源、准确性和可信度。
只有数据的准确性得到保证，才能保证初步解决方案的有效性。
2. 实际调度效果检验需要对初步解决方案进行实际调度效果的检验。
即将初步解决方案中的调度方案在实际情况中进行调度，观察其具体效果。
如果初步解决方案在实际调度中得到符合预期的效果，说明表上作业法的初步解决方案是有效的。
3. 效率和成本检验需要对初步解决方案进行效率和成本的检验。
即通过比较初步解决方案的运输效率和成本与实际情况进行对比，来验证其是否是一个优化的运输方案。
如果初步解决方案的效率和成本较实际情况有较大偏差，就需要重新调整表上作业法中的参数或规则。
四、总结与展望通过对表上作业法的初步解决方案进行数据准确性检验、实际调度效果检验和效率成本检验，可以得出一个较为准确和符合实际情况的结论。
表上作业法作为一种简单直观的调度方法，在应用时需要慎重考虑其初步解决方案的有效性，以保证其可行性和有效性。
个人观点和理解：表上作业法作为一种常见的运输问题解决方法，其初步解决方案的准确性和有效性对于整个运输调度过程至关重要。
运输问题的表上作业法
表八
B1
B2
B3
B4
行差额
A1
3
1
3
10
0
A2
1
9
2
8
1
A3
7
4
10
5
1
列差额 2
5
1
3
（2）在行差额和列差额中选出最大者，并选择其所对应的行或列中的最小元素来 安排调运方案。本例中，差额最大为“5”，是列差，该列中最小运价为“4”，即 A3首先供应B2，观察产销平衡表，A3仓库储存9吨，零售店B2需求6吨，则运往6吨， B2的需求全部被满足，在单位运价表中划去B2列，如表十一所示。
产地 销地 A1 A2 A3 销量
产地 销地 A1 A2 A3
表三 产销平衡表
B1
B2
B3
B4
3
1
3
6
5
6
表四 单位运价表
B1
B2
B3
3
11
3
1
9
2
7
4
10
产量 7 4 9
B4 10 8 5
（3）在单位运价表中未划去的元素中找到最小运价“3”（A1到B3的运价），A1存储 量为7吨，B3还缺少4吨，故从A1配送给B34吨，B3的需求全部被满足，A1剩余7-4=3吨， 在单位运价表中划去B3所在列。结果如表五和表六所示。
表五 产销平衡表
产地
B1
销地
A1
A2
3
A3
销量
3
B2
B3
B4
4 1
6
5
6
表六 单位运价表
产量
7 4 9
产地
B1
B2
管理运筹学运输问题之表上作业法课件
扩展适用范围
进一步扩展表上作业法的适用范 围，使其能够处理更多类型的运 输问题，包括带有特殊约束条件 的运输问题。
引入现代信息技术
利用现代信息技术，如大数据和 云计算等，提高表上作业法的计 算效率和精度，以满足实际应用 的需求。
THANKS
感谢您的观看
的优化配置。
应用实例二：农产品运输问题
总结词
多约束优化问题
详细描述
农产品运输问题需要考虑时间、保鲜度、运 输量等多种约束条件，要求在满足需求的前 提下，实现运输成本和损耗的最小化。表上 作业法可以通过多目标优化算法，综合考虑 各种约束条件，制定最优的农产品运输方案
。
应用实例三：城市物流配送问题
要点一
在迭代过程中，需要有一个判断准则来确定何时停止迭代并输出最优解。常用的判断准则包括最大最 小准则和最小最大准则。
迭代求解
根据判断准则，通过不断调整运输方案，使目标函数（通常是总运输费用最小）逐渐逼近最优解。在 每次迭代中，需要检查运输方案的可行性，并更新基可行解。
终止阶段：确定最优解并输出结果
确定最优解
03
表上作业法原理
表上作业法的定义与步骤
在此添加您的文本17字
定义：表上作业法是一种求解运输问题的线性规划方法， 通过在运输表上逐行计算和调整，最终找到最优解。
在此添加您的文本16字
步骤
在此添加您的文本16字
1. 建立初始运输方案；
在此添加您的文本16字
2. 检查运输方案的可行性；
在此添加您的文本16字
确定单位运输成本
根据运输距离、运输方式等因素确定单位运输成本。
建立数学模型
根据供求关系、运输能力限制等因素建立线性规划模型。
经济管理决策分析方法第六章2-运输问题-表上作业法
A B C
销量（bj）
3
6
5
6
第三步：在表4-5中再找出最小运价“3”， 这样一步步地进行下去，直到单位运价表上 的所有元素均被划去为止。
表4-6 A B C 销量（bj） 表4-7 甲 乙 甲 3 1 7 3 乙 11 9 4 6 丙 3 2 10 5 丙 4 1 6 6 3 5 6 丁 10 8 5 6 丁 3 产量（ai） 7 4 9
表上作业法
第一步 确定初始基可行解
与一般的线性规划不同，产销平衡的运输问
题一定具有可行解（同时也一定存在最优 解）。 最小元素法(the least cost rule)。
最小元素法
最小元素法的基本思想是就近供应，即从单位 运价表中最小的运价开始确定产销关系，依此 类推，一直到给出基本方案为止.
450
非基变量X12的检验数：
12 =（c12+c23）-（c13+c22）
=70+75-（100+65）=-20， 非基变量X21的检验数：
21 =（c +c ）-（c +c ） 21 13 11 23
=80+100-（90+75）=15。 经济含义：在保持产销平衡的条件下，该非 基变量增加一个单位运量而成为基变量时目 标函数值的变化量。
表4-30 A B
甲 11 = 1 3
31 = 10 3 销量（bj） C
乙 12 = 2 22 = 1 6 6
丙 4 1 33 = 12 5
丁 3
24 = -1 3 6
产量（ai） 7 4 9
表4-33 乙 12 = 2 22 = 1 6 31 = 10 3 6 销量（bj） A B C 表4-34 甲 乙 丙 4 1 丁 3
运输问题表上作业法公开课获奖课件省赛课一等奖课件
位势法计算非基变量xij检验数旳公式 σij=cij-（ui+vj）
思索：试解释位势变量旳含义（提醒：写出运送问 题旳对偶问题）
四、解旳改善
如检验出初始解不是最优解，即某非基 变量检验数为负，阐明将这个非基变量 变为基变量时运费会下降。根据表上作 业法旳第三步，需对初始方案进行改善。
闭回路：在给出旳调运方案旳运送表上， 从一种空格（非基变量）出发，沿水平或 垂直方向迈进，只有遇到代表基变量旳数 字格才干向左或向右转90°继续迈进，直 至最终回到初始空格而形成旳一条回路。
从每一空格出发，一定能够找到一条且只 存在唯一一条闭回路 。
以xij空格为第一种奇数顶点，沿闭回路旳顺 （或逆）时针方向迈进，对闭回路上旳每个 折点依次编号；
拟定初始方案 (初始
基本可行解)
鉴定是否 最 优？
否
是 结束
改善调整 （换基迭代）
最优方案
图 1运送问题求解思绪图
二、初始基本可行解旳拟定
例2：甲、乙两个煤矿供给A、B、C 三个城市用煤，各煤矿产量及各城 市需煤量、各煤矿到各城市旳运送 单价见表所示，求使总运送费用至 少旳调运方案。
例题有关信息表
经济含义：在保持产销平衡旳条件下，该非 基变量增长一种单位运量而成为基变量时目 旳函数值旳变化量。
2、对偶变量法（位势法）
检验数公式：
ij cij ui v j
ui (i 1,2,m) 分别表达前m个约束等式相应旳对偶变量；
v j ( j 1,2,n) 分别表达后n个约束等式相应旳对偶变量。
x22
x23
250
日产量约束
s.t.
x11 x12
运筹学运输问题表上作业法资料
3
3
10
7
1
9
2
3
1
84
7
4
6
10
5
3
9
36
56
34
31 Z
cij xij 3 4 10 3 1 3 21 4 6 5 3 86
i1 j1
最小元素法的优劣？
也很简单哦
最优解可望，但还 是有一定距离的
32
伏格尔法
A1 A2 A3 销量
B1 B2 B3 B4 产量
3
11
3
10 7
D
M
0
M 0M 0
根据表上作业法计算，可以求得这个问题的最优方案
需 求 地 区 Ⅰ Ⅰ’ Ⅱ Ⅲ Ⅳ Ⅳ’
利润
产地
Ⅰ
10 5 6 7 250
Ⅱ
8 2 7 6 250
Ⅲ
9 3 4 8 500
销量 150 200 300 350
“总利润最大”而不是“运费最小”，“最小元素”怎么找？
38
闭回路 法
最优性 检验
位势法
39
最优性检验——闭回路法
表示什么？
每个空格都能找到闭回路 吗？有的话，是否唯一？
运筹学
李细霞 2013物流工程1班 2014~2015学年第二学期
课程主要内容
绪论
线性规划及 单纯形法
对偶理论与 灵敏度分析
目标规划
整数规划
运输问题
动态规划
图与网络
第三章 运输问题
Transportation problem
3
学习目标
什么是运 输问题？
复杂运输 问题
如何解决运 输问题？