解直角三角形(仰角与俯角)
解直角三角形的应用ppt课件
（参考数据：sin63°≈0.9，cos63°≈0.5，
tan63°≈2.0， ≈1.73）
26.4 解直角三角形的应用
解：（1）∵MC=AB=10 cm，∠ACM=63°，
重 ∴AM=MC·tan∠ACM=MC·tan63°≈10×2.0=20（cm）.
难
题 答：AM 的长为 20 cm；
直接测量的物体高度或长度
26.4 解直角三角形的应用
归纳总结
考
点
（1）仰角和俯角是视线相对于水平视线而言的，可巧记
清
单 为“上仰下俯”；（2）实际问题中遇到仰角或俯角时，要
解
读 放在直角三角形或转化到直角三角形中运用，注意确定水平
视线；（3）在解有关俯角、仰角的问题中，常作水平线或
铅垂线来构造直角三角形.
，
∴tan30°=
=
−
+
=
，解得
x=60 +90，经检验
x=60 +90 是原方程的解且符合题意，∴AB=（60 +90） m
，
26.4 解直角三角形的应用
变式衍生 3 某中学依山而建，校门 A 处有一坡角
重
难
题 α=30°的斜坡 AB，长度为 30 m，在坡顶 B 处测得教学
26.4 解直角三角形的应用
（2）如答案图，过点 D 作 DH⊥AB，垂足为点 H，则
重
难
题 DG=BH=30 m，DH=BG.设 BC=x m，
型
在 Rt△ABC 中，∠ACB=45°，
突
破
∴AB=BC·tan45°=x m，
∴AH=AB-BH=（x-30） m，
知识卡片-解直角三角形的应用-仰角俯角问题
解直角三角形的应用-仰角俯角问题能量储备仰角、俯角：如图2446(1)所示，在进行测量时，从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角；从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角。
通关宝典★ 基础方法点方法点：解直角三角形在实际问题中的应用中正确选取直角三角形的边角关系是求解的关键。
例1：如图24410所示，某电视塔高AB 为610米，远处有一栋大楼，某人在楼底C 处测得塔顶B 的仰角为45°，在楼顶D 处测得塔顶B 的仰角为39°。
(1)求大楼与电视塔之间的距离AC ；(2)求大楼的高度CD (精确到1米)。
解：(1)在△ABC 中，∵ ∠ACB ＝45°，∠A ＝90°，∴ AC ＝AB ＝610米。
答：大楼与电视塔之间的距离AC 为610米。
(2)由矩形的性质可知DE ＝AC ＝610米。
在Rt △BDE 中，由tan ∠BDE ＝BE DE，得BE ＝DE·tan 39°。
又∵CD ＝AE ，∴CD ＝AB －DE·tan 39°＝610－610×tan 39°≈116(米)。
答：大楼的高度CD 约为116米。
例2：如图24428所示，为了测得电视塔的高度AB ，在D 处用高为1.2米的测角仪CD ，测得电视塔顶端A 的仰角为42°，再向电视塔方向前进120米，又测得电视塔顶端A 的仰角为61°.求这个电视塔的高度AB .(精确到1米)解：如图24429所示，设AE 为x 米，则塔的高度为(x ＋1.2)米．∵ tan 61°＝AE EF ＝x EF ，∴ EF ＝x tan 61°. 又∵ tan 42°＝AE CE ，∴ CE ＝x tan 42°. ∵ CE ＝120＋x tan 61°， ∴ x tan 42°＝120＋x tan 61°， 解得x ≈215.7，∴ x ＋1.2≈217(米)．∴ 这个电视塔的高度AB 约为217米。
解直角三角形--仰角俯角.仰角俯角问题---解直角三角形
观察下图，判断哪些是仰视哪些是俯视； 哪个是俯角，哪个是仰角．
从A看B的仰角是:
∠BAC
从B看A的俯角是： ∠FBA 从B看D的俯角是： ∠FBD 从D看B的仰角是： ∠BDE 注意：从哪个点看就从哪个点作水平线，俯角就 是水平线与向下看视线的夹角，仰角就是水平线 与向上看视线的夹角。
例1： 如图一学生要测量校园内一棵水杉树高度， 他站在距水杉树8米的E处，测得树顶的仰角 ∠ACD=30°，已知测角仪的架高CE=1.6米， 求树高AB(精确到0.1米) A
问题探究
• 1、仰角、俯角 • 阅读教材：当我们进行测量时，在视线与水平 线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角， 在水平线下方的角叫做俯角． • 学生仰视日光灯或俯视桌面 • （以体会仰角与俯角的意义．）
归纳、总结
• 如图，在进行测量时，从下向上看，视线与水平 线的夹角叫做仰角；从上往下看，视线与水平线 的夹角叫做俯角
把问题转化为解直角三角形的问题；
(3)根据直角三角形元素(边、角)之间的关系解有关的直角三角形．
A
D1 D
30 °
C1 50
C
45°
B1 B
2、（2011安徽中考）如图，某高速公路建设中 需要确定隧道AB的长度.已知在离地面1500m高 度C处的飞机，测量人员测得正前方A、B两点处 的俯角分别为60°和45°，求隧道AB的长.
甲、乙两楼相距78米，从乙楼底 望甲楼顶的仰角为45º ，从甲楼顶 望乙楼顶的俯角为30º ，则甲楼和 A 乙楼高为？ 30º
D
甲 B
？
45º
？乙
78 C
7.（2006，哈尔滨市）如图，在电线杆上的C处 引位线CE、CF固定电线杆，拉线CE和地面成 60°角，在离电线杆6米的B处安置测角仪，在A 处测得电线杆C处的仰角为30°，已知测角仪AB 高为1.5米，求拉线CE的长．（结果保留根号）
26.4 解直角三角形的应用 - 第1课时仰角、俯角、方位角问题课件(共23张PPT)
例1 如图，小明在距旗杆4.5 m的点D处，仰视旗杆顶端A，仰角（∠AOC）为50°；俯视旗杆底部B，俯角（∠BOC）为18°.求旗杆的高.(结果精确到0.1 m)
例题示范
知识点2 方向角方位角：由正南或正北方向线与目标方向线构成的锐角叫做方位角．如下图中的目标方向OA,OB,OC,OD的方向角分别表示________60°，________45°(或__________)，_________80°及_________30°.
拓展提升
1.热气球的探测器显示，从热气球看一栋楼顶部的仰角为30°，看这栋楼底部的俯角为60°，热气球与楼的水平距离为120 m，这栋楼有多高(结果取整数)？
分析：如图，α=30°，β=60°.在Rt△ABD中，α =30°，AD＝120，所以利用解直角三角形的知识求出BD；类似地可以求出CD，进而求出BC．
第二十六章 解直角三角形
26.4 解直角三角形的应用
第1课时 仰角、俯角、方位角问题
学习目标
学习重难点
重点
难点
1.巩固解直角三角形有关知识，了解仰角、俯角、方向角的概念.2.运用解直角三角形知识解决与仰角、俯角和方位角有关的实际问题.
运用解直角三角形知识解决与仰角、俯角和方位角有关的实际问题.
将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形中元素之间的关系，从而解决问题.
回顾复习
利用俯角和仰角解直角三角形课件
P
45° 37° B 400米 A
解：作PO⊥AB交AB的延长线于O.
设PO=x米， 在Rt△POB中，∠PBO=45°，P
OB=PO= x米.
A. 800sinα米
B. 800tanα米
α
C．s8in00a 米
D．t8a0n0a 米
解直角三角形及其应用
利用俯角和仰角解直角三角形
（一）俯角、仰角问题 在测量中，我们把在视线与水平线所成的角中，视线在 水平线上方的叫做仰角，视线在水平线下方的叫做俯角.
视线
巧记“上仰下俯”
铅 仰角 直 线 俯角
水平线
视线
（二）一个观测点构造两个直角三角形解答实际问题
例1 热气球的探测器显示，从热气球 看一栋楼顶部的仰角为30°，看这栋楼底 部的俯角为60°，热气球与楼的水平距离
1. 如图，在电线杆上离地面高度5m的C点处引两根拉线固定
电线杆，一根拉线AC和地面成60°角，另一根拉线BC和地
面成45°角．则两根拉线的总长度为
10 3
3
5
2 m(结果用
带根号的数的形式表示).
（三）两个观测点构造两个直角三角形解答实际问题 例2 如图，直升飞机在长400米的跨江大桥AB的上方P点
答案：点B到AD的距离为20m.
E
(2) 求塔高CD（结果用根号表示）．
解：在Rt△ABE中， ∵∠A=30°，∴∠ABE=60°， ∵∠DBC=75°，∴∠EBD=180°－60°－75°=45°， ∴DE=EB=20m，
24.4.3 解直角三角形的应用—仰角、俯角(课件)九年级数学上册(华东师大版)
即该建筑物 CD 的高度约为 42 m.
第24章 解直角三角形
知识回顾
仰角、俯角问题： 1.在进行测量时，从下向上看，视线与水平线 的夹角叫做仰角；从上往下看，视线与水平 线的夹角叫做俯角.
2.梯形通常分解成矩形和直角三角形来处理.
3.实际问题转化为几何问题.把四边形问题转化为特殊四边形与三角形来 解决.
DC
tan54o 40 1.3840 55.2m，
∴AB = AC－BC ≈ 55.2－40 = 15.2 (m).
第24章 解直角三角形
第24章 解直角三角形
仰角、俯角问题
| 24.4 解直角三角形 第3课时 |
华师版(2012)九年级上册数学
知识回顾
在解直角三角形的过程中，重要关系式： (1)三边之间的关系 a2 + b2 = c（2 勾股定理） (2)两锐角之间的关系 ∠A＋∠B＝90° (3)边角之间的关系
第24章 解直角三角形
第24章 解直角三角形
解：如题图，延长 AE 交 CD 于点 G.设 CG＝x m．
在 Rt△ECG 中，∠CEG＝45°，则 EG＝CG＝x m．
在 Rt△ACG 中，
∵∠CAG＝30°，tan∠CAG＝CAGG，
∴AG＝ tan
C∠GCAG＝
3x m．
∵AG－EG＝AE，∴ 3x－x＝30，
解得 x＝15( 3＋1)．故 CD＝15( 3＋1)＋1.5≈42(m)．
2
部分的面积为 2 cm2（根号保留）．
图3
图4
第24章 解直角三角形
5.建筑物 BC 上有一旗杆 AB，由距 BC 40 m 的 D 处观察旗杆顶部 A 的仰 角为 54°，观察底部 B 的仰角为 45°，求旗杆的高度（精确到 0.1 m）. 解：在等腰 Rt△BCD 中，∠ACD = 90°， BC = DC = 40 m， ∴AC tan ADC DC. 在 Rt△ACD 中 tan ADC AC ，
解直角三角形的应用(仰角和俯角问题)
计算角度证结果：检 查计算结果是 否满足三角形 内角和为180
度的条件
添加标题
确定已知条件：已知三角形的边长和角度
添加标题
利用正弦定理：sin/ = sinB/b = sinC/c
添加标题
利用余弦定理：cos = (b^2 + c^2 - ^2) / (2bc)
正弦定理：在直角三角形中 任意一边的长度等于其对角 的正弦值乘以斜边的长度
余弦定理：在直角三角形中 任意两边长度的平方和等于 斜边的平方
正切定理：在直角三角形中 任意一边的长度等于其对角 的正切值乘以斜边的长度
余切定理：在直角三角形中 任意两边长度的平方差等于 斜边的平方
正割定理：在直角三角形中 任意一边的长度等于其对角 的正割值乘以斜边的长度
确保测量工具的 准确性和稳定性
避免在危险区域 进行测量如高空、
高压电等
遵守操作规程确 保人身安全
做好防护措施如 佩戴安全帽、手
套等
及时清理现场避 免杂物影响测量
结果
遇到突发情况及 时停止操作并寻
求帮助
仰角和俯角为0度：此时三角形退化为直线无法求解
仰角和俯角为90度：此时三角形退化为直角三角形可以直接求解
全站仪等
测量误差：注 意测量误差对 仰角和俯角测 量结果的影响
测量环境：注 意测量环境的 影响如温度、 湿度、风速等
测量方法：注 意测量方法的 选择如直接测 量、间接测量
等
测量误差：测量工具的精度、测量人员的操作水平等
计算误差：计算过程中的舍入误差、公式使用错误等
环境误差：温度、湿度、光照等环境因素对测量结果的影响
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01.
02.
25.3解直角三角形2-仰角与俯角
1 图25.3.3图25.3.425.3解直角三角形2----仰角与俯角课时学习目标1．通过自学掌握仰角与俯角概念, 能利用解直角三角形解决有关仰角与俯角实际问题。
2．由实际问题转化为几何问题时,学会自己画图,建立模型.学习重点难点重点: 灵活应用解直角三角形知识解决实际问题。
难点:由实际问题转化为几何问题(建模)。
课前预习导学1、如图25．3．3，在进行测量时，从下向上看，视线与水平线的夹角叫做___________；从上往下看，视线与水平线的夹角叫做___________．2、如图，某飞机于空中A 处探测到目标C ，此时飞行高度AC ＝1200米，从飞机上看地面控制点B 的俯角α＝30°，求飞机A 到控制点B 的距离．（精确到1米）已知:sin20°＝ , cos20°＝ ， tg20°＝课堂学习研讨例1 如图25．3．4，为了测量电线杆的高度AB ，在离电线杆22米的D 处，用高1．5米的测角仪CD 测得电线杆顶端B 的仰角α＝30°，求电线杆AB 的高．（精确到0．1米）例2 两座建筑AB 与CD ，其地面距离AC 为50米，从AB 的顶点B 测得CD 的顶部D 的仰角β＝30°，测得其底部C 的俯角α＝45°，求两座建筑物AB 与CD 的高．（精确到0．1米）2 （第4题）课堂达标检测1. 在△ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝13，BC ＝12，则sinB 的值为 。
2. 若30α= ∠，则α∠的余角是 °，cos α= ．3.小明在地面一点A 处测得对面大楼楼顶点C 处的仰角为52 , 则小明从楼楼顶点C 处看地面点A 的俯角为 °.4.如图，飞机A 在目标B 的正上方1000米处，飞行员测得地面目标C 的俯角为30°，求地面目标B 、Ｃ之间的距离．（结果保留根号）1.两幢大楼相距110米，从甲楼顶部看乙楼顶部的仰角为26°，如果甲楼高35米，那么乙楼的高为多少米？（精确到1米）2.如图，一个古代棺木被探明位于点A 地下24米处．由于点A 地面下有煤气管道，考古人员不能垂直向下挖掘，他们被允许从距点A 8米的点B 挖掘．考古人员应以与地平面形成多大的角度进行挖掘才能沿最短路线挖到棺木？他们需要挖多长的距离？（角度精确到1′，距离精确到0．1米）课堂小结：这节课我的收获是 。
课题：24.4解直角三角形(第2课时仰角俯角问题)
探究发现
在进行测量时，从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角； 从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角.
视线 铅 直 线
仰角
俯角
水平线
视线
学以致用
例 1 放风筝是大家喜爱的一种运动。星期天的上午小丽在东门广场上放
风筝。如图她在A处时不小心让风筝挂在了一棵树的树梢上 ,风筝固定在 了D处。此时风筝线AD与水平线的夹角为30°．小丽距离树干的距离AC 长100米，小丽拿风筝线的手离地面的高度AE为1.5米，求风筝此时离地 面的高度DF（结果保留根号）。
D
A
30°
45°
B
E F
C
【拓展】假如小丽固定不动,小明在树的另一侧观测发现他所处位置得到 的仰角为45 ° ，且小丽和小明相距100米，求树高。
学以致用
例 3 放风筝是大家喜爱的一种运动。星期天的上午小丽在东门广场上放
风筝。如图她在A处时不小心让风筝挂在了一棵树的树梢上 ,风筝固定在 了D处。此时风筝线AD与水平线的夹角为30°.此时在树的另侧点B的小 明观察到此时仰角为45°.已知点A、B、C在冋一条直线上,∠ACD=90°. 请你求出此时风筝此时离地面的高度是多少米？（本题中风筝线均视为 线段）
B α
D
β
C
A
选做题
3.某人在A处测得大厦的仰角∠BAC为30°,沿AC方向行20米至D处,测 得仰角∠BDC为45°,求此大厦的高度BC.
B
30°
45°
A
D
C
一个人一天也不能没有理想，凭侥幸、
怕吃苦、没有真才实学，再好的理想也
不能实现不了。
情境激疑
如图，某飞机于空中A处探测到目标C，此时飞行高度AC=1200米，从飞 机上看地平面控制点B的俯角α=30°，求飞机A到控制点B的距离。
解直角三角形的仰角俯角问题
解直角三角形的仰角俯角问题
仰角和俯角是解直角三角形问题中常见的概念。
在直角三角形中，仰角是锐角的补角，而俯角是锐角的余角。
1.仰角：在直角三角形中，与直角的锐角相邻的角叫做仰角。
仰角是锐角的
补角，即仰角= 90° - 锐角。
2.俯角：与直角的锐角相对的角叫做俯角。
俯角是锐角的余角，即俯角= 锐
角。
解这类问题时，通常需要利用三角函数的性质和关系，如正切、正弦、余弦等，以及直角三角形的边和角的关系，如勾股定理等。
以下是一个简单的例子：
题目：一个塔的高度是30米，从塔顶测得某建筑物顶部的仰角为24°，从地面测得该建筑物顶部的俯角为66°，求这个建筑物的高度。
解：设建筑物的高度为h 米。
根据三角函数的性质和关系，我们有：
塔顶到建筑物顶部的距离= 塔的高度× 正切(仰角) = 30 × tan(24°)。
建筑物顶部到底部的距离= 建筑物的高度× 正切(俯角) = h × tan(66°)。
由于直角三角形中的勾股定理，我们有：
塔顶到建筑物顶部的距离^2 + 建筑物顶部到底部的距离^2 = 塔高度的^2。
代入已知数值，我们可以得到一个关于h 的方程，并解出h 的值。
解直角三角形(2)仰角与俯角、方位角、坡角(比)问题(知识讲解)2022-2023学年九年级数学下册
专题1.11解直角三角形（2）——仰角与俯角、方位角、坡角（比）问题（知识讲解）【学习目标】1.理解用三角函数解决实际问题的有关概念；2.理解并解决实际问题中转化为三角函数模型解决实际问题。
【要点梳理】解直角三角形的知识应用很广泛，关键是把实际问题转化为数学模型，善于将某些实际问题中的数量关系化归为直角三角形中的边角关系是解决实际应用问题的关键.解这类问题的一般过程是：(1)弄清题中名词、术语的意义，如仰角、俯角、坡度、坡角、方向角等概念，然后根据题意画出几何图形，建立数学模型.(2)将已知条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形的问题.(3)根据直角三角形(或通过作垂线构造直角三角形)元素(边、角)之间的关系解有关的直角三角形.(4)得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，得出实际问题的解.拓展：在用直角三角形知识解决实际问题时，经常会用到以下概念：(1)坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用字母表示.坡度(坡比)：坡面的铅直高度h和水平距离的比叫做坡度，用字母表示，则，如图，坡度通常写成=∶的形式.(2)仰角、俯角：视线与水平线所成的角中，视线中水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角，如图.(3)方位角：从某点的指北方向线按顺时针转到目标方向的水平角叫做方位角，如图①中，目标方向PA，PB，PC的方位角分别为是40°，135°，245°.(4)方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方向角，如图②中的目标方向线OA，OB，OC，OD 的方向角分别表示北偏东30°，南偏东45°，南偏西80°，北偏西60°.特别如：东南方向指的是南偏东45°，东北方向指的是北偏东45°，西南方向指的是南偏西45°，西北方向指的是北偏西45°.特别说明：1．解直角三角形实际是用三角知识，通过数值计算，去求出图形中的某些边的长或角的大小，最好画出它的示意图.2．非直接解直角三角形的问题，要观察图形特点，恰当引辅助线，使其转化为直角三角形或矩形来解.3．解直角三角形的应用题时，首先弄清题意(关键弄清其中名词术语的意义)，然后正确画出示意图，进而根据条件选择合适的方法求解.【典型例题】类型一、解直角三角形的应用——仰角和俯角问题1．在一次综合实践活动中，某小组对一建筑物进行测量．如图，在山坡坡脚C处测得该建筑物顶端B 的仰角为60°，沿山坡向上走20m 到达D 处，测得建筑物顶端B 的仰角为30°．已知山坡坡度3:4i =，即3tan 4θ=，请你帮助该小组计算建筑物的高度AB ．（结果精确到0.1m 1.732≈）在Rt CDE △中，90E ∠=︒∴222DE CE CD +=∴222(3)(4)20x x +=∴4x =（负值舍去）∴12DE =，16CE =举一反三：【变式1】如图，小文在数学综合实践活动中，利用所学的数学知识测量居民楼的高度AB ，在居民楼前方有一斜坡，坡长15m CD =，斜坡的倾斜角为α，4cos 5α=．小文在C 点处测得楼顶端A 的仰角为60︒，在D 点处测得楼顶端A 的仰角为30°（点A ，B ，C ，D 在同一平面内）．(1)求C ，D 两点的高度差；(2)求居民楼的高度AB ．（结果精确到1m 1.7≈）AFDF 4三角函数的定义是解答本题的关键．【变式2】如图，希望中学的教学楼AB和综合楼CD之间生长着一棵高度为12.88米的白杨树EF，且其底端B，D，F在同一直线上，BF＝FD＝40米．在综合实践活动课上，小明打算借助这棵树的高度测算出综合楼的高度，他在教学楼顶A处测得点C的仰角为9°，点E的俯角为16°．问小明能否运用以上数据，得到综合楼的高度？若能，请求出其高度（结果精确到0.01米）；若不能，说明理由．（解答过程中可直接使用表格中的数据哟！）【答案】能，综合楼的高度约是37.00米．【分析】在Rt△AEG中，利用正切函数求得AG的长，在Rt△ACH中，利用正切函数求得CH的长，据此求解即可得到综合楼的高度．解：小明能运用以上数据，得到综合楼的高度，理由如下：作EG⊥AB，垂足为G，作AH⊥CD，垂足为H，如图：·类型二、解直角三角形的应用——方位角问题2．小明学了《解直角三角形》内容后，对一条东西走向的隧道AB进行实地测量．如图所示，他在地面上点C处测得隧道一端点A在他的北偏东15︒方向上，他沿西北方向前进D，此时测得点A在他的东北方向上，端点B在他的北偏西60︒方向上，（点A、B、C、D在同一平面内）(1)求点D与点A的距离；(2)求隧道AB的长度．（结果保留根号）举一反三：【变式1】如图，我国某海域有A，B，C三个港口，B港口在C港口正西方向33.2nmile （nmile是单位“海里”的符号）处，A港口在B港口北偏西50°方向且距离B港口40nmile 处，在A港口北偏东53°方向且位于C港口正北方向的点D处有一艘货船，求货船与A港口之间的距离．（参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19，sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33．）由题意得：EF=BC=33.2海里，【变式2】如图，AB 为东西走向的滨海大道，小宇沿滨海大道参加“低碳生活·绿色出行”健步走公益活动．小宇在点A 处时，某艘海上观光船位于小宇北偏东68︒的点C 处，观光船到滨海大道的距离CB 为200米．当小宇沿滨海大道向东步行200米到达点E 时，观光船沿北偏西40︒的方向航行至点D 处，此时，观光船恰好在小宇的正北方向，求观光船从C处航行到D 处的距离．（参考数据：sin 400.64︒≈，cos 400.77︒≈，tan 400.84︒≈，sin 680.93︒≈，cos680.37︒≈，tan 68 2.48︒≈）类型三、解直角三角形的应用——坡度坡比问题来的37°减至30°，已知原电梯坡面AB的长为8米，更换后的电梯坡面为AD，点B延伸至点D，求BD的长．（结果精确到0.1米．参考数据：︒︒︒）≈≈≈≈sin370.60,cos370.80,tan37 1.73【答案】约为1.9米【分析】根据正弦的定义求出AC，根据余弦的定义求出BC，根据正切的定义求出CD，结合图形计算，得到答案．举一反三：【变式1】如图是某水库大坝的横截面，坝高20m CD =，背水坡BC 的坡度为11:1i =．为了对水库大坝进行升级加固，降低背水坡的倾斜程度，设计人员准备把背水坡的坡度改为2i =求背水坡新起点A 与原起点B 之间的距离． 1.41≈ 1.73≈．结果精确到0.1m）【变式2】宜宾东楼始建于唐代，重建于宜宾建城2200周年之际的2018年，新建成的东楼（如图1）成为长江首城会客厅、旅游休闲目的地、文化地标打卡地．某数学小组为测量东楼的高度，在梯步A处（如图2）测得楼顶D的仰角为45°，沿坡比为7：24的斜坡AB前行25米到达平台B处，测得楼顶D的仰角为60°，求东楼的高度DE．（结果精确到1≈）1.7≈ 1.4【点拨】本题考查了解直角三角形的实际应用，掌握三角形中的边角关系是解题的关键．类型四、解直角三角形的应用——其他问题4．2022年6月5日，“神舟十四号”载人航天飞船搭载“明星”机械臂成功发射．如图是处于工作状态的某型号手臂机器人示意图，OA 是垂直于工作台的移动基座，AB 、BC 为机械臂，1OA =m ，5AB =m ，2BC =m ，143ABC ∠=︒．机械臂端点C 到工作台的距离6CD =m ．(1)求A 、C 两点之间的距离；(2)求OD 长．（结果精确到0.1m ，参考数据：sin 370.60︒≈，cos370.80︒≈，tan 370.75︒≈ 2.24≈）【答案】(1)6.7m(2)4.5m【分析】（1）连接AC ，过点A 作AH BC ⊥，交CB 的延长线于H ，根据锐角三角函数定义和勾股定理即可解决问题．（2）过点A 作AG DC ⊥，垂足为G ，根据锐角三角函数定义和勾股定理即可解决问题．．∴==m．OD AG4.5答：OD的长为4.5m．【点拨】求角的三角画数值或者求线段的长时，我们经常通过观察图形将所求的角成者线段转化到直角三角形中（如果没有直角三角形，设法构造直角三角形），再利用锐角三角画数求解【变式1】某型号飞机的机翼形状如图所示，根据图中数据计算AB的长度（结果保留≈）.1.7∠=︒FDB45,∴=，DF FB【变式2】小强在物理课上学过平面镜成像知识后，在老师的带领下到某厂房做验证实验.如图，老师在该厂房顶部安装一平面镜MN ，MN 与墙面AB 所成的角∠MNB =118°，厂房高AB =8m ，房顶AM 与水平地面平行，小强在点M 的正下方C 处从平面镜观察，能看到的水平地面上最远处D 到他的距离CD 是多少?（结果精确到0.1m ，参考数据：sin34°≈0.56，tan34°≈0.68，tan56°≈1.48）【答案】11.8m【分析】过M 点作ME ⊥MN 交CD 于E 点，证明四边形ABCM 为矩形得到CM=AB =8，∠NMC =180°-∠BNM=62°，利用物理学入射光线与反射光线之间的关系得到∠EMD =∠EMC ，且∠CME =90°-∠CMN =28°，进而求出∠CMD =56°，最后在Rt △CMD 中由tan ∠CMD 即可求解．解：过M 点作ME ⊥MN 交CD 于E 点，如下图所示：∵C点在M点正下方，∴CM⊥CD，即∠MCD=90°，∵房顶AM与水平地面平行，∴四边形AMCB为矩形，【点拨】本题借助平面镜入射光线与反射光线相关的物理学知识考查了解直角三角形，解题的关键是读懂题意，利用数形结合的思想解答．。
《解直角三角形：仰角与俯角》ppt课件
在进行测量时，从下向上看，视线与水平线 的夹角叫做仰角； 从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角.
视线
铅 仰角 直 线 俯角
水平线
视线
1、如图，为了测量电线杆的高度AB，在离 电线杆米的C处，用高米的测角仪CD测得电 线杆顶端B的仰角a＝22°，求电线杆AB的 高．（精确到米）
=220 1.20
海中有一个小岛A，它的周围8海里范围内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在B点测得小岛A在北偏东60°方向上，航行12海里到
C E x B 达D点，这时测得小岛A在北偏东30°方向上，如果渔船不改变航线继续向东航行，有没有触礁的危险？
2、在山脚C处测得山顶A的仰角为450。
3、在山顶上处D有一铁塔，在塔顶B处测得地面上一 点A的俯角α=60o，在塔底D测得点A的俯角β=45o，已 知塔高BD=30米，求山高CD。
B α
D
β
C
A
例4.海中有一个小岛A，它的周围8海里范围内有暗礁， 渔船跟踪鱼群由西向东航行，在B点测得小岛A在北偏 1）沿着水平地面向前300米到达D点，在D点测得山顶A的仰角为600 , 求山高AB。 东60°方向上，航行12海里到达D点，这时测得小岛A 变式： 沿着坡角为30 °的斜坡前进300米到达D点，在D点测得山顶A的仰角为600 ,求山高AB。
图22.179.4.4
2、在山脚C处测得山顶A的仰角为45°。问 题如下： 1）沿着水平地面向前300米到达D点，在D点 测得山顶A的仰角为600 , 求山高AB。
A
3x
28.2.2解直角三角形的应用之仰角俯角教案2021-2022学年人教版九年级数学下册
总的来说，今天的课程达到了预期的教学目标，但我也清楚地看到了改进的空间。我将在接下来的教学中，针对学生的具体情况，调整教学策略，提供更多的辅导和支持，确保每个学生都能真正理解和掌握解直角三角形的应用之仰角与俯角这一章节的内容。
2.解直角三角形在仰角与俯角中的应用：利用锐角三角函数，解决实际生活中与仰角和俯角相关的问题。具体内容包括：
-利用正切函数求解仰角和俯角；
-通过实际案例，让学生学会如何建立直角三角形模型，进而求解仰角和俯角；
-结合图形，让学生直观地理解仰角和俯角与直角三角形各边的关系。
二、核心素养目标
本节课的核心素养目标主要包括以下三个方面：
28.2.2解直角三角形的应用之仰角俯角教案2021-2022学年人教版九年级数学下册
一、教学内容
本节课选自人教版九年级数学下册第28章第2节，主题为“解直角三角形的应用之仰角与俯角”。教学内容主要包括以下两个方面：
1.仰角与俯角的概念：通过实际情境引入仰角与俯角的概念，让学生理解仰角和俯角是如何形成的，以及它们在实际生活中的应用。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“仰角与俯角在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
解直角三角形(仰角、俯角)
解直角三角形（2）学习目标：1、知道仰角、俯角的概念，能根据直角三角形的知识解决实际问题．2、逐步培养学生分析问题、解决问题的能力．3、渗透数学来源于实践又反过来作用于实践的观点，培养学生用数学的意识学习重点：能根据直角三角形的知识解决实际问题．学习难点：实际问题转化成数学模型学习过程：一、复习引入：1．解直角三角形指什么？2．解直角三角形主要依据什么？二、新课学习：仰角、俯角当我们进行测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角，在水平线下方的角叫做俯角．三、尝试运用：例3 2003年10月15日“神舟”5号载人航天飞船发射成功.当飞船完成变轨后，就在离地球表面350km的圆形轨道上运行.如图,当飞船运行到地球表面上P点的正上方时，从飞船上最远能直接看到的地球上的点在什么位置?这样的最远点与P点的距离是多少?(地球半径约为6 400 km，结果精确到0. 1 km)B A DC例4热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为30o ，看这栋离楼底部的俯角为60o ，热气球与高楼的水平距离为120 m.这栋高楼有多高(结果精确到0.1m)?对应练习：课本89页 练习 第1 、2题四、达标练习：1、如图，两建筑物的水平距离是36米，从A 点测得D 点的俯角α＝30°,C 点的俯角β为45°，求两个建筑物的高AB 和CD 。
2、如图,在离铁塔150米的A处,用测角仪测得塔顶的仰角为30度,已知测角仪高AD=1.5米,求铁塔高BE.五、课堂小结：本节课我的收获: 。
六、作业布置：课本第92页习题28．2复习巩固第3、4题。
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cos
A
A的邻边 斜边
仰角：在视线与水平线所形成的角中，视线在水平线上方的角.
视线
铅
仰角
水平线
垂 俯角
线
视线
俯角：在视线与水平线所形成的角中，视线在水平线下方的角.
例3： 2003年10月15日“神舟”5号载人航天飞船发射成功．当飞船完成变 轨后，就在离地球表面350km的圆形轨道上运行．如图，当飞船运行到地 球表面上P点的正上方时，从飞船上最远能直接看到地球上的点在什么位置？ 这样的最远点与P点的距离是多少？（地球半径约为6 400km，结果精确到 0.1km）
∵
OQ COS a = =
6400
≈ 0.948
OF 6400+350
a 18
∴ PQ的长为
F
P Q
α O·
18 6400 3.14 640 2009.6
180
当飞船在P点正上方时，从飞船观测地球时的最远点距离P点约 2009.6km
例2:热气球的探测器 显示,从热气球看一栋 高楼顶部的仰角为 30°,看这栋高楼底部 的俯角为60°,热气球 与高楼的水平距离为 120m,这栋高楼有多 高? （结果保留小数 点后一位）
1.什么叫解直角三角形？
在直角三角形中，由已 知元素求未知元素的过程， 叫做解直角三角形.
2.直角三角形（除直角外）五元素的 关系是什么？
（1）三边之间的关系: a2 + b2 = c2 （勾股定理）
（2）锐角之间的关系: ∠A + ∠B = 90°
（3）边角之间的关系
sin
A
A的对边 斜边
tan
分析：从飞船上能最远直接 看到的地球上的点，应是视 线与地球相切时的切点．
如图，⊙O表示地球，点F是飞船的位置， FQ是⊙O的切线，切点Q是从飞船观测 地球时的最远点．PQ 的长就是地面 上P、Q两点间的距离，为计算PQ 的 长需先求出∠POQ（即a）
F
P Q
α O·
解：在图中，FQ是⊙O的切线，△FOQ是直角三角形．
B
α=30°
A 120 D
β=60°
C
如图,有两建筑物,在甲建筑物上从A到E点挂 一长为30米的宣传条幅,在乙建筑物的顶部D点测 得条幅顶端A点的仰角为45°,条幅底端E点的俯 角为30°.求甲、乙两建筑物之间的水平距离BC
A
D E
B
C
小结：
1.有关概念：仰角、俯角 2.用解直角三角形知识解决此类问题的一般步骤： （1）通过读题把实物图转化为数学图形; （2）找出直角三角形和已知、未知元素; （3）选合适的锐角函数关系求未知数; （4）解题.