直线与平面平行的判定和性质经典练习及详细答案详解

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平行的判定与性质含练习答案

平行的判定与性质知识点一：直线与平面平行的判定及性质直线与平面平行的判断判定文字描述直线和平面在空间平面永无交点，则直线和平面平行（定义）平面外的一条直线一次平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行图形条件a与α无交点结论a∥αb∥α线线平行，则线面平行（线与面的平行问题一定要排除现在直线内的情况）直线与平面平行的性质性质文字描述一条直线与一个平面平行，则这条直线与该平面无交点一条直线和一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面相交，这条直线和交线平行．图形条件a∥αa∥αa⊂βα∩β＝b结论a∩α＝∅a∥b线面平行，则线线平行例1正方形ABCD与正方形ABEF所在平面相交于AB，在AE、BD上各有一点P、Q，且AP＝DQ.求证：PQ∥平面BCE.证明：若一条直线与两个相交平面都平行，则这条直线平行于两个平面的交线．知识点二：平面与平面平行的判定及性质平面与平面平行的判定判定文字描述如果两个平面无公共点，责成这两个平面平行一个平面内有两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行．如果两个平面同时垂直于一条直线，那么这两个平面垂直。

图形条件α∩β＝∅a，b⊂βa∩b＝Pa∥αb∥αl⊥αl⊥β结论α∥βα∥βα∥β平面与平面平行的性质性质文字描述如果两个平行平面同时和第三如果两个平面平行，那么其中一图形条件α∥β β∩γ＝b α∩γ＝aα∥β a ⊂β结论 a ∥b a ∥α例2 如图，在三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，E ，F ，G ，H 分别是AB ，AC ，A 1B 1，A 1C 1的中点，求证：(1)B ，C ，H ，G 四点共面； (2)平面EFA1∥平面BCHG .如图，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，O 为底面ABCD 的中心，P 是DD 1的中点，设Q 是CC 1上的点，问：当点Q 在什么位置时，平面D 1BQ ∥平面PAO?课堂练习：1．直线a ∥平面α，则a 平行于平面α内的( )D．无穷多条平行直线2．若直线a∥直线b，且a∥平面α，则b与α的位置关系是( )A．一定平行 B．不平行C．平行或相交 D．平行或在平面内3．下列说法正确的是( )A．若直线l平行于平面α内的无数条直线，则l∥αB．若直线l在平面α外，则l∥αC．若直线a∥b，b⊂平面α，则a∥αD．若直线a∥b，b⊂平面α，那么a平行于平面α内的无数条直线4．b是平面α外的一条直线，可以推出b∥α的条件是( )A．b与α内的一条直线不相交B．b与α内的两条直线不相交C．b与α内的无数条直线不相交D．b与α内的任何一条直线都不相交能力提升5．如果三个平面将空间分成6个互不重叠的部分，则这三个平面的位置关系是( )A．两两相交于三条交线B．两个平面互相平行，另一平面与它们相交C．两两相交于同一条直线D．B中情况或C中情况都可能发生6．[2011·威海质检] 已知直线l、m，平面α，且m⊂α，则“l∥m”是“l∥α”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件7．[2011·泰安模拟] 设m，n表示不同直线，α，β表示不同平面，则下列结论中正确的是( )A．若m∥α，m∥n，则n∥αB．若m⊂α，n⊂β，m∥β，n∥α，则α∥βC．若α∥β，m∥α，m∥n，则n∥βD．若α∥β，m∥α，n∥m，n⊄β，则n∥β8．已知平面α∥平面β，P是α、β外一点，过点P的直线m与α、β分别交于点A、C，过点P的直线n与α、β分别交于点B、D，且PA＝6，AC＝9，PD＝8，则BD的长为( )9．[2010·福建卷] 如图K39－1，若Ω是长方体ABCD－A1B1C1D1被平面EFGH截去几何体EFGHB1C1后得到的几何体，其中E为线段A1B1上异于B1的点，F为线段BB1上异于B1的点，且EH∥A1D1，则下列结论中不正确的是( ) A．EH∥FGB．四边形EFGH是矩形C．Ω是棱柱D．Ω是棱台10(10分)如图K39－3，已知P是平行四边形ABCD所在平面外一点，M、N分别是AB、PC的中点．求证：MN∥平面PAD；图K39－3 11(13分)[2011·九江七校联考] 如图K39－4所示，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD＝AB＝2，E，F，G分别为PC、PD、BC的中点．求证：PA∥平面EFG；图K39－4课后练习：1、下列命题中正确的是（）（A）平行于同一个平面的两条直线平行（B）垂直于同一条直线的两条直线平行（C）若直线a与平面α内的无数条直线平行，则a∥α（D）若一条直线平行两个平面的交线，则这条直线至少平行两个平面中的一个2．平面α∩平面β＝a，平面β∩平面γ＝b，平面γ∩平面α＝c，若a∥b，则c与a，b的位置关系是（A）c与a，b都异面（B）c与a，b都相交（C）c至少与a，b中的一条相交（D）c与a，b都平行3．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，与平面AB1C平行的直线是（）（A）DD1（B）A1D1（C）C1D1（D）A1D4．下列四个命题：（1）存在与两条异面直线都平行的平面；（2）过空间一点，一定能作一个平面与两条异面直线都平行；（3）过平面外一点可作无数条直线与平面平行；（4）过直线外一点可作无数个平面与直线平行；其中正确的命题是（）（A）（1），（3）（B）（2），（4）（C）（1），（3），（4）（D）（2），（3），（4）5．若直线a与平面α内的无数条直线平行，则a与α的关系为。

(完整版)高中数学必修二2.2直线、平面平行的判定及其性质课堂练习及答案

2.2. 直线、平面平行的判断及其性质直线与平面平行的判断知识梳理1、直线与平面平行的判判定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。

简记为：线线平行，则线面平行。

符号表示：aαbβ=> a∥ αa∥ b知能训练一．选择题1．已知 m，n 是两条不同样直线，α，β，γ是三个不同样平面，以下命题中正确的选项是（）A ．若 m∥ α， n ∥ α，则 m∥ n B ．若α⊥ γ，β⊥ γ，则α∥ βC．若 m ∥ α， m ∥ β，则α∥ β D ．若 m ⊥ α， n⊥ α，则 m ∥ n 2．若直线l 不平行于平面α，且l?α，则（）A ．α内存在直线与 l 异面B ．α内存在与 l 平行的直线C．α内存在唯一的直线与 l 平行D ．α内的直线与 l 都相交3．如图， M 是正方体 ABCD-A 1B 1C1D 1的棱 DD 1的中点，给出以下命题①过 M 点有且只有一条直线与直线AB 、 B 1C1都订交；②过 M 点有且只有一条直线与直线AB 、 B 1C1都垂直；③过 M 点有且只有一个平面与直线AB 、 B 1C1都订交；④过 M 点有且只有一个平面与直线AB 、 B 1C1都平行．其中真命题是（）A ．② ③ ④B ．① ③ ④C ．① ② ④D ．① ② ③4．正方体 ABCD-A 1B 1C1D 1中 M ，N ，Q 分别是棱 D 1C1， A 1D 1，BC 的中点． P在对角线 BD 1上，且BP＝BD1，给出下面四个命题：（1）MN ∥面 APC；（2）C1 Q∥面 APC；（3）A ，P， M 三点共线；（4）面 MNQ ∥面 APC．正确的序号为（）A ．（ 1 ）（ 2 ）B ．（ 1 ）（ 4 ）C．（ 2）（ 3 ） D ．（ 3 ）（ 4）5．在正方体ABCD-A 1B 1C1D 1的各个极点与各棱中点共20 个点中，任取两点连成直线，所连的直线中与A 1BC 1平行的直线共有（）A ． 12 条B ． 18 条C ． 21 条D ． 24 条6．直线 a∥平面α，P∈ α，那么过 P 且平行于 a 的直线（）A ．只有一条，不在平面α内B ．有无数条，不一定在平面α内C．只有一条，且在平面α内D ．有无数条，一定在平面α内7．若是直线a∥平面α，那么直线 a 与平面α内的（）A ．一条直线不相交B ．两条直线不相交C ．无数条直线不相交D ．任意一条直线不相交8．如图在正方体ABCD-A 1B 1C1D 1中，与平面AB 1C 平行的直线是（）A ．DD 1B ．A 1 D 1C ．C 1D 1 D ．A 1 D9．如图，在三棱柱 ABC-A 1B1C1中，点 D 为 AC 的中点，点 D1是 A 1C1上的一点，若 BC 1∥平面 AB 1D 1，则等于（）A ． 1/2B ． 1C． 2 D ． 310．下面四个正方体图形中， A 、B 为正方体的两个极点，M、N 、 P 分别为其所在棱的中点，能得出AB ∥平面 MNP 的图形是（）A ．①②B ．①④C．②③ D ．③④11．如图，正方体的棱长为1，线段 B′ D上′有两个动点 E ，F，EF= ，则以下结论中错误的选项是（）A ． AC ⊥ BEB ． EF ∥平面 ABCDC．三棱锥 A-BEF的体积为定值D ．异面直线 AE ， BF 所成的角为定值二．填空题12．如图，在正方体ABCD-A1B 1C1D 1 中，E，F，G，H，M分别是棱AD ，DD 1，D1A 1，A 1A ，AB的中点，点 N在四边形EFGH的四边及其内部运动，则当N 只需满足条件时，就有MN ⊥ A1C1；当N 只需满足条件时，就有MN ∥平面 B 1D 1C．13．如图，正方体ABCD-A1B 1C1D 1 中，AB=2，点E 为 AD的中点，点 F 在 CD上，若EF ∥平面AB 1C，则线段EF的长度等于．三．解答题14．如图，在三棱柱 ABC-A 1B 1 C1中，侧棱 AA 1⊥底面 ABC ，AB ⊥ BC，D 为 AC的中点， AA 1=AB=2 ．（1）求证： AB 1∥平面 BC1D ；（2）若 BC=3 ，求三棱锥 D-BC 1C 的体积．平面与平面平行的判断知识梳理1、两个平面平行的判判定理：一个平面内的两条交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。

直线与平面平行经典题目

9.2 直线与平面平行●知识梳理1.直线与平面的位置关系有且只有三种，即直线与平面平行、直线与平面相交、直线在平面内.2.直线与平面平行的判定：如果平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，那么这条直线与这个平面平行.3.直线与平面平行的性质：如果一条直线与一个平面平行，经过这条直线的平面与已知平面相交，那么这条直线与交线平行.●点击双基1.设有平面α、β和直线m 、n ，则m ∥α的一个充分条件是 A.α⊥β且m ⊥β B.α∩β=n 且m ∥n C.m ∥n 且n ∥α D.α∥β且m β 答案：D2.设m 、n 是两条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面.给出下列四个命题，其中正确命题的序号是①若m ⊥α，n ∥α，则m ⊥n ②若α∥β，β∥γ，m ⊥α，则m ⊥γ ③若m ∥α，n ∥α，则m ∥n ④若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β A.①② B.②③ C.③④ D.①④解析：①②显然正确.③中m 与n 可能相交或异面.④考虑长方体的顶点，α与β可以相交. 答案：A3.一条直线若同时平行于两个相交平面，那么这条直线与这两个平面的交线的位置关系是 A.异面 B.相交 C.平行 D.不能确定解析：设α∩β=l ，a ∥α，a ∥β，过直线a 作与α、β都相交的平面γ，记α∩γ=b ，β∩γ=c ，则a ∥b 且a ∥c ， ∴b ∥c .又b ⊂α，α∩β=l ，∴b ∥l .∴a ∥l .答案：C4.(06重庆卷)对于任意的直线l 与平同a ,在平面a 内必有直线m ,使m 与l A.平行 B.相交 C.垂直 D.互为异面直线解析：对于任意的直线l 与平面α，若l 在平面α内，则存在直线m ⊥l ；若l 不在平面α内，且l ⊥α，则平面α内任意一条直线都垂直于l ，若l 不在平面α内，且l 于α不垂直，则它的射影在平面α内为一条直线，在平面α内必有直线m 垂直于它的射影，则m 与l 垂直，综上所述，选C.5.已知平面βα,和直线，给出条件：①α//m ；②α⊥m ；③α⊂m ；④βα⊥；⑤βα//. （i ）当满足条件 ③⑤ 时，有β//m ；（ii ）当满足条件 ②⑤ 时，有β⊥m .（填所选条件的序号）●典例剖析【例1】如下图，两个全等的正方形ABCD 和ABEF 所在平面相交于AB ，M ∈AC ，N ∈FB 且AM =FN ，求证：MN ∥平面BCE .QB CDMP FE N证法一：过M 作MP ⊥BC ，NQ ⊥BE ，P 、Q 为垂足（如上图），连结PQ . ∵MP ∥AB ，NQ ∥AB ，∴MP ∥NQ .又NQ =22 BN =22CM =MP ，∴MPQN 是平行四边形. ∴MN ∥PQ ，PQ ⊂平面BCE .而MN ⊄平面BCE ，∴MN ∥平面BCE . 证法二：过M 作MG ∥BC ，交AB 于点G （如下图），连结NG .GBCDM FE N∵MG ∥BC ，BC ⊂平面BCE ，MG ⊄平面BCE ，∴MG ∥平面BCE .又GA BG =MA CM =NFBN，∴GN ∥AF ∥BE ，同样可证明GN ∥平面BCE . 又面MG ∩NG =G ，∴平面MNG ∥平面BCE .又MN ⊂平面MNG .∴MN ∥平面BCE . 特别提示证明直线和平面的平行通常采用如下两种方法：①利用直线和平面平行的判定定理，通过“线线”平行，证得“线面”平行；②利用两平面平行的性质定理，通过“面面”平行，证得“线面”平行.【例2】已知正四棱锥P —ABCD 的底面边长及侧棱长均为13，M 、N 分别是PA 、BD 上的点，且PM ∶MA =BN ∶ND =5∶8.BD E OMNP（1）求证：直线MN ∥平面PBC ；（2）求直线MN 与平面ABCD 所成的角. （1）证明：∵P —ABCD 是正四棱锥，∴ABCD 是正方形.连结AN 并延长交BC 于点E ，连结PE . ∵AD ∥BC ，∴EN ∶AN =BN ∶ND . 又∵BN ∶ND =PM ∶MA ，∴EN ∶AN =PM ∶MA . ∴MN ∥PE .又∵PE 在平面PBC 内，∴MN ∥平面PBC .（2）解：由（1）知MN ∥PE ，∴MN 与平面ABCD 所成的角就是PE 与平面ABCD 所成的角. 设点P 在底面ABCD 上的射影为O ，连结OE ，则∠PEO 为PE 与平面ABCD 所成的角. 由正棱锥的性质知PO =22OB PB -=2213. 由（1）知，BE ∶AD =BN ∶ND =5∶8， ∴BE =865. 在△PEB 中，∠PBE =60°，PB =13，BE =865，根据余弦定理，得PE =891. 在Rt △POE 中，PO =2213，PE =891，∴sin ∠PEO =PEPO =724.故MN 与平面ABCD 所成的角为arcsin 724.【例3】如图, 在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AC ＝3，BC ＝4，AA 1＝4，点D 是AB 的中点，（I ）求证：AC ⊥BC 1；（II ）求证：AC 1//平面CDB 1；（III ）求异面直线 AC 1与 B 1C 所成角的余弦值．解析：（I ）直三棱柱ABC －A 1B 1C 1，底面三边长AC=3，BC=4,AB=5，∴ AC ⊥BC ，且BC 1在平面ABC 内的射影为BC ，∴ AC ⊥BC 1；（II ）设CB 1与C 1B 的交点为E ，连结DE ，∵ D 是AB 的中点， E 是BC 1的中点，∴ DE//AC 1， ∵ DE ⊂平面CDB 1，AC 1⊄平面CDB 1， ∴ AC 1//平面CDB 1；（III ）∵ DE//AC 1，∴ ∠CED 为AC 1与B 1C 所成的角，在△CED 中， ED=21AC 1=25，CD=21AB=25，CE=21CB 1=22， ∴ 8cos 5522CED∠==⋅， ∴ 异面直线AC 1与 B 1C 所成角的余弦值5. ●闯关训练夯实基础1. （07福建理）已知m 、n 为两条不同的直线，为两个不同的平面，则下列命题中正确的是A. m n m ,,α⊂α⊂∥β，n ∥β⇒ α∥βB. α∥β，α⊂α⊂n m ,，⇒m ∥nC. m ⊥α，m ⊥n ⇒n ∥α D . n ∥m,n ⊥α⇒m ⊥α解析：A 中m 、n 少相交条件，不正确；B 中分别在两个平行平面的两条直线不一定平行，不正确；C 中n 可以在α内，不正确，选D2.（06福建卷）对于平面α和共面的直线m 、n ，下列命题中真命题是 A.若m ⊥α，m ⊥n ，则n ∥α B.若m ∥α，n ∥α，则m ∥nC.若m ⊂α，n ∥α，则m ∥nD.若m 、n 与α所成的角相等，则n ∥m 解：对于平面α和共面的直线m 、,n 真命题是“若,m n αα⊂∥,则m ∥n ”，选C. 3.（06湖南卷）过平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1任意两条棱的中点作直线,其中与平面DBB 1D 1平行的直线共有 ( ) A. 4条 B.6条 C.8条 D.12条解：如图，过平行六面体1111D C B A ABCD -任意两条棱的中点作直线, 其中与平面11D DBB 平行的直线共有12条，选D.4.(06重庆卷)若P 是平面α外一点，则下列命题正确的是A.过P 只能作一条直线与平面α相交B.过P 可作无数条直线与平面α垂直C.过P 只能作一条直线与平面α平行D.过P 可作无数条直线与平面α平行解析：过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行，且这个平面内的任一条直线都与已知平面平行。

直线与平面平行的判定及其性质测试题(答案)

直线与平面平行的判定和性质年级__________ 班级_________ 学号_________ 姓名__________ 分数____一、选择题(共26题，题分合计130分)1.直线a //平面M ,直线b ⊂/M ,那么a //b 是b //M 的条件. A.充分而不必要 B.必要而不充分 C.充要 D.不充分也不必要2.已知l 、m 、n 为两两垂直且异面的三条直线，过l 作平面α与m 垂直，则直线n 与平面α的关系是A.n //αB.n //α或n ⊂αC.n ⊂α或n 不平行于αD.n ⊂α3.能保证直线a 与平面α平行的条件是A.b a b a //，，αα⊂⊄B.b a b //，α⊂C.c a b a c b //////，，，αα⊂D.b D b C a B a A b ∈∈∈∈⊂，，，，α且BD AC =4.如果直线a 平行于平面α,则A.平面α内有且只有一直线与a 平行B.平面α内无数条直线与a 平行C.平面α内不存在与a 平行的直线D.平面α内的任意直线与直线a 都平行5.如果两直线a ∥b ,且a ∥平面α,则b 与α的位置关系A.相交B.α//bC.α⊂bD.α//b 或α⊂b6.下列命题正确的个数是（1）若直线l 上有无数个点不在平面α内,则l ∥α（2）若直线l 与平面α平行,则l 与平面α内的任意一直线平行（3）两条平行线中的一条直线与一个平面平行,那么另一条也与这个平面平行（4）若一直线a 和平面α内一直线b 平行,则a ∥α A.0个 B.1个 C.2个 D.3个7.若直线a ⊥b ,且a ∥平面α,则直线b 与平面α的位置关系是A.b ⊂αB.b ∥αC.b ⊂α或b ∥αD.b 与α相交或b ∥α或b ⊂α都有可能8.已知α､β是两个不同的平面,在下列条件中,可判断平面α与平面β平行的是A.α､β都垂直于平面γB.a ､b 是α内两条直线,且a ∥β,b ∥βC.α内不共线的三个点到β的距离相等D.a ､b 为异面直线,且a ∥α,b ∥α,a ∥β,b ∥β9.下列命题正确的个数是①若直线l 上有无数个点不在平面α内，则l ∥α②若直线l 与平面α平行，则l 与平面α内的任意一条直线都平行③如果两条平行直线中的一条直线与一个平面平行，那么另一条直线也与这个平面平行 ④若直线l 与平面α平行，则l 与平面α内的任意一条直线都没有公共点 A.0个 B.1个 C.2个 D.3个10.b 是平面α外的一条直线，下列条件中可得出b ∥α是A.b 与α内的一条直线不相交B.b 与α内的两条直线不相交C.b 与α内的无数条直线不相交D.b 与α内的所有直线不相交11.已知直线l 1、l 2，平面α，l 1∥l 2,l 1∥α，则l 2与α的位置关系是A.l 2∥αB.l 2⊂αC.l 2∥α或l 2⊂αD.l 2与α相交12.已知两条相交直线a 、b ，a ∥平面α，则b 与α的位置关系A.b ∥αB.b 与α相交C.b ⊂αD.b ∥α或b 与α相交13.下列命题中正确的是①过一点，一定存在和两条异面直线都平行的平面②垂直于同一条直线的一条直线和一个平面平行③若两条直线没有公共点，则过其中一条直线一定有一个平面与另一条直线平行 A.① B.③ C.①③ D.①②③14.a、b为平面M外的两条直线，在a∥M的前提下，a∥b是b∥M的A.充要条件B.充分条件C.必要条件D.以上情况都不15.α和β是两个不重合的平面,在下列条件中可判定平面α与β平行的是A.α､β都垂直于平面γB.α内不共线的三点到β的距离相等C.l,m是α平面内的直线,且l∥β,m∥βD.l､m是两条异面直线且l∥α,m∥α,m∥β,l∥β16.在空间中，下述命题正确的A.若直线a∥平面M，直线b⊥直线a，则直线b⊥平面MB.若平面M∥平面N，则平面M内任意一条直线a∥平面NC.若平面M与平面N的交线为a，平面M内的直线b⊥直线a，则直线b⊥平面ND.若平面N内的两条直线都平行于平面M，则平面N∥平面M17.设直线a在平面M内，则直线M平行于平面N是直线a平行于平面N的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件18.设a、b是平面α外的任意两条直线，则"a、b长相等"是"a、b在平面α内的射影长相等"的A.既不充分也不必要条件B.充分必要条件C.必要但不充分条件D.充分但不必要条件19.如果平面α和直线l满足l和α内两条平行直线垂直,则A.l αB.l∥αC.l与α相交D.以上都不对20.如果一条直线和一个平面平行，为了使夹在它们之间的两条线段的长相等，以下结论正确的是A.其充分条件是这两条线段平行B.其必要条件是这两条线段平行C.其充要条件是这两条线段平行D.其必要条件是这两条线段平行21.直线a∥平面α,平面α内有n条直线交于一点,那么这几条直线中与直线a平行的A.至少有一条B.至多有一条C.有且只有一条D.不可能有22.若直线m平面α,则“平面α∥平面β”是“直线m∥平面β”的A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分也非必要条件23.平行于同一个平面的两条直线的位置关系是A.平行B.相交C.异面D.平行或相交或异面24.下列四个命题中假命题的个数是①两条直线都和同一个平面平行，则这两条直线平行②两条直线没有公共点，则这两条直线平行③两条直线都和第三条直线垂直，则这两条直线平行④一条直线和一个平面内无数条直线没有公共点，则这条直线和这个平面平行A.4B.3C.2D.125.如果一条直线和一个平面平行,为了使夹在它们之间的两条线段的长相等,以下结论正确的是A.其充分条件是这两条线段平行B.其必要条件是这两条线段平行C.其充要条件是这两条线段平行D.其必要条件是这两条线段平行26.直线与平面平行的充要条件是这条直线与平面内的A.一条直线不相交B.两条直线不相交C.任意一条直线都不相交D.无数条直线不相交二、填空题(共6题，题分合计25分)1.如图，空间四边形ABCD 中，E 、H 分别是AB 、AD 的中点，F 、G 分别是CB 、CD 上的点.且32==CD CG CB CF ,若BD =6 cm ，梯形EFGH 的面积为28 cm 2，则平行线EH 与FG 间的距离为_______.2.一条直线与平面α相交于点A ，在平面α内不过A 点的直线与这条直线所成角的最大值为_________.3.正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 为DD 1的中点，则BD 1与过点A 、E 、C 的平面的位置关系是__________.4.几何体ABCD -A 1B 1C 1D 1是棱长为A 的正方体，M 、N 分别是下底面的棱A 1B 1、B 1C 1的中点，P 是上底面的棱AD 上的一点，AP ＝31a ，过P 、M 、N 的平面交上底面于PQ ，Q 在CD 上，则PQ ＝___________.5.如果两条直线a 与b 互相平行，且a ∥平面α，那么b 与α的位置关系是．6.直线a ∥平面α，直线b 、c 都在α 内且a ∥b ∥c ，若a 到b ， c 的距离分别为d 1、d 2，且d 1＞d 2，则直线a 到α 的距离d 的取值范围是___________.三、解答题(共12题，题分合计112分)1.求证:若直线l与平面α有一个公共点,且l平行于α内的一条直线,则l α..2.如图，P是△ABC所在平面外一点，M∈PB，试过AM作一平面平行于BC，并说明画法的理论依据Array3.设AB、CD为夹在两个平行平面α、β之间线段,且直线AB、CD为异面直线,М、P分别为AB、CD的中点,求证:MP ∥α.4.ABCD-A1B1C1D1是棱长为a的正方体，(1)画出过A、C、B1的平面与下底面的交线l；(2)求l与直线AC的距离.5.正方体ABCD-A1B1C1D1中，侧面对角线AB1、BC1分别有E、F，且B1E=C1F，求证：EF∥平面ABCD.6.平面外的两条平行直线中的一条平行于这个平面，那么另一条直线也平行于这个平面.7.设a、b是异面直线，自AB的中点O作平面α与a、ｂ分别平行，M、N分别是a、b上的任意两点，MN与α交于点P，求证：P是MN的中点.8.求证：如果一条直线和两个相交的平面都平行，那么这条直线和它们的交线平行.9.α∩β=c,α∩γ=b,β∩γ=a,若直线a∥直线b,你能得到什么结论?10.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，E在AB1上，F在BD上，且B1E＝BF.求证：EF∥平面BB1C1C.11.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点N在BD上，点M在B1C上，并且CM=DN.求证:MN∥平面AA1B1B.12.如图，平面EFGH分别平行于CD、AB，E、F、G、H分别在BD、BC、AC、AD上，且CD＝a，AB＝b，CD⊥AB.(1)求证：EFGH是矩形.(2)点E在什么位置时，EFGH的面积最大.直线与平面平行的判定和性质答案一、选择题(共26题，合计130分)1.答案：A2.答案：A3.答案：A4.答案：B5.答案：D6.答案：A7.答案：D8.答案：B9.答案：B10.答案：D11.答案：C12.答案：D13.答案：B14.答案：B15.答案：D16.答案：B17.答案：A18.答案：A19.答案：D20.答案：A21.答案：B22.答案：A23.答案：D24.答案：A25.答案：A26.答案：C二、填空题(共6题，合计25分)1.答案：8 cm2.答案：90°3.答案：BD1∥平面AEC4.答案：a2 325.答案：b∥α或b α6.答案：) ,0(2 d三、解答题(共12题，合计112分)1.答案：见注释2.答案：见注释3.答案：见注释4.答案：. 26 a5.答案：见注释6.答案：见注释7.答案：见注释8.答案：见注释9.答案：见注释10.答案：见注释11.答案：见注释12.答案：（1）见注释（2）E为BD的中点时。

高中数学直线与平面平行的判定练习题含答案

高中数学学科
高中数学直线与平面平行的判定练习题含答案
一、基础过关
1．直线 m∥平面α，直线 n∥m，则
()
A．n∥α C．n⊂α
B．n 与α相交 D．n∥α或 n⊂α
2．棱台的一条侧棱所在的直线与不含这条侧棱的侧面所在的平面的位置关系是 ( )
A．平行
B．相交
C．平行或相交
D．不相交
3．已知 a，b 是两条相交直线，a∥α，则 b 与α的位置关系是
AB⊄平面 DCF OF⊂ 平面 DCF ⇒AB∥平面 DCF. AB∥OF 9．A 10．D 11．12 12．证明取 A′D 的中点 G，连接 GF，GE，
由条件易知 FG∥CD，FG＝1CD，BE∥CD，BE＝1CD，
2
2
所以 FG∥BE，FG＝BE，故四边形 BEGF 为平行四边形，所以 BF∥EG.因为 EG⊂平面 A′DE，
∴PQ∥平面 BCE.
BF⊄平面 A′DE，
所以 BF∥平面 A′DE.
13．证明如图所示，连接 AQ 并延长交 BC 于 K，连接 EK. ∵KB∥AD，∴DQ＝AQ. BQ QK
∵AP＝DQ，AE＝BD，
∴BQ＝PE. ∴DQ＝AP.∴AQ＝AP.∴PQ∥EK.
BQ PE QK PE
又 PQ⊄平面 BCE，EK⊂平面 BCE，
C．能作出无数个
D．以上都有可能
11．过平行六面体 ABCD－A1B1C1D1 任意两条棱的中点作直线，其中与平面 DBB1D1 平行的
直线共有________条．
12．如图，在平行四边形 ABCD 中，E 为线段 AB 的中点，将△ADE 沿直线 DE 翻折成△A′DE，
F 为线段 A′C 的中点．求证：BF∥平面 A′DE.

直线与平面平行的性质经典例题

2.2.3直线与平面平行的性质2.2.4平面与平面平行的性质一、基础达标1．a∥α，b∥β，α∥β，则a与b位置关系是() A．平行B．异面C．相交D．平行或异面或相交答案 D解析如图(1)，(2)，(3)所示，a与b的关系分别是平行、异面或相交．2．(2014·郑州高一检测)已知直线l∥平面α，P∈α，那么过点P且平行于l的直线() A．只有一条，不在平面α内B．只有一条，在平面α内C．有两条，不一定都在平面α内D．有无数条，不一定都在平面α内答案 B解析如图所示，∵l∥平面α，P∈α，∴直线l与点P确定一个平面β，α∩β＝m，∴P∈m，∴l∥m且m是唯一的．3．三棱锥S－ABC中，E、F分别是SB、SC上的点，且EF∥平面ABC，则() A．EF与BC相交B．EF与BC平行C．EF与BC异面D．以上均有可能答案 B解析由线面平行的性质定理可知EF∥BC.4．(2014·呼和浩特高一检测)如图，四棱锥P－ABCD中，M，N分别为AC，PC 上的点，且MN∥平面P AD，则()A．MN∥PDB．MN∥P AC．MN∥ADD．以上均有可能答案 B解析∵MN∥平面P AD，MN⊂平面P AC，平面P AD∩平面P AC＝P A，∴MN∥P A.5．下列说法正确的是() A．平行于同一条直线的两个平面平行B．平行于同一个平面的两个平面平行C．一个平面内有三个不共线的点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行D．若三直线a，b，c两两平行，则在过直线a的平面中，有且只有一个平面与b，c均平行答案 B解析平行于同一条直线的两个平面可以平行也可以相交，所以A错；B正确；C中没有指明这三个点在平面的同侧还是异侧，不正确；D不正确，因为过直线a的平面中，只要b，c不在其平面内，则与b，c均平行．6．过正方体ABCD－A1B1C1D1的三个顶点A1、C1、B的平面与底面ABCD所在平面的交线为l，则l与A1C1的位置关系是________．答案平行解析由面面平行的性质可知第三平面与两平行平面的交线是平行的．7.如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，过A1，B，C1的平面与平面ABC的交线为l，试判断l与直线A1C1的位置关系，并给以证明．解l∥A1C1证明在三棱柱ABC－A1B1C1中，A1C1∥AC，A1C1⊄平面ABC，AC⊂平面ABC，∴A1C1∥平面ABC.又∵A1C1⊂平面A1BC1，且平面A1BC1∩平面ABC＝l，∴A1C1∥l.二、能力提升8．过平面α外的直线l，作一组平面与α相交，如果所得的交线为a，b，c，…，则这些交线的位置关系为()A．都平行B．都相交且一定交于同一点C．都相交但不一定交于同一点D．都平行或交于同一点答案 D解析∵l⊄α，∴l∥α或l与α相交．(1)若l ∥α，则由线面平行的性质可知l ∥a ，l ∥b ，l ∥c ，… ∴a ，b ，c ，…这些交线都平行．(2)若l 与α相交，不妨设l ∩α＝A ，则A ∈l ，又由题意可知A ∈a ，A ∈b ，A ∈c ，…，∴这些交线交于同一点A .综上可知D 正确．9.如图所示，直线a ∥平面α，A ∉α，并且a 和A 位于平面α两侧，点B ，C ∈a ，AB 、AC 分别交平面α于点E 、F ，若BC ＝4，CF ＝5，AF ＝3，则EF ＝________.答案 32解析 EF 可看成为直线a 与点A 确定的平面与平面α的交线，∵a ∥α，由线面平行的性质定理知，BC ∥EF ，由条件知AC ＝AF ＋CF ＝3＋5＝8. 又EF BC ＝AFAC ，∴EF ＝AF ×BC AC ＝3×48＝32.10.如图，P 是△ABC 所在平面外一点，平面α∥平面ABC ，α分别交线段P A 、PB 、PC 于A ′、B ′、C ′，若P A ′∶AA ′＝2∶3，则S △A ′B ′C ′S △ABC＝________.答案 425解析由平面α∥平面ABC ，得AB ∥A ′B ′，BC ∥B ′C ′，AC ∥A ′C ′，由等角定理得∠ABC ＝∠A ′B ′C ′，∠BCA ＝∠B ′C ′A ′，∠CAB ＝∠C ′A ′B ′，从而△ABC ∽△A ′B ′C ′，△P AB ∽△P A ′B ′， S △A ′B ′C ′S △ABC＝⎝⎛⎭⎪⎫A ′B ′AB 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫P A ′P A 2＝425. 11.如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，M 是A 1C 1的中点，平面AB 1M ∥平面BC 1N ，AC ∩平面BC 1N ＝N .求证：N 为AC 的中点．证明 ∵平面AB 1M ∥平面BC 1N ，平面ACC 1A 1∩平面AB 1M ＝AM ，平面BC 1N ∩平面ACC 1A 1＝C 1N ， ∴C 1N ∥AM ，又AC ∥A 1C 1， ∴四边形ANC 1M 为平行四边形， ∴AN ＝C 1M ＝12A 1C 1＝12AC ， ∴N 为AC 的中点．三、探究与创新12.如图所示，在棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，A 1B 1的中点是P ，过点A 1作与截面PBC 1平行的截面，能否确定截面的形状？如果能，求出截面的面积．解能．取AB，C1D1的中点M，N，连接A1M，MC，CN，NA1，∵A1N∥PC1且A1N＝PC1，PC1∥MC，PC1＝MC.∴四边形A1MCN是平行四边形，又∵A1N∥PC1，A1M∥BP，A1N∩A1M＝A1，C1P∩PB＝P，∴平面A1MCN∥平面PBC1，因此，过点A1与截面PBC1平行的截面是平行四边形．连接MN，作A1H⊥MN于点H，∵A1M＝A1N＝5，MN＝22，∴A1H＝ 3.∴S△A1MN＝12×22×3＝ 6.故S▱A1MCN＝2S△A1MN＝2 6.13．如图所示，已知P是▱ABCD所在平面外一点，M、N分别是AB、PC的中点，平面P AD∩平面PBC＝l.(1)求证：l∥BC；(2)MN与平面P AD是否平行？试证明你的结论．解法一(1)证明：因为BC∥AD，BC⊄平面P AD，AD⊂平面P AD，所以BC∥平面P AD.又因为平面PBC∩平面P AD＝l，所以BC∥l.(2)平行．取PD的中点E，连接AE，NE，可以证得NE∥AM且NE＝AM. 可知四边形AMNE为平行四边形．所以MN∥AE，又因为MN⊄平面APD，AE⊂平面APD，所以MN∥平面APD. 法二(1)证明：由AD∥BC，AD⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，所以AD∥平面PBC.又因为平面PBC∩平面P AD＝l，所以l∥AD，l∥BC.(2)设Q是CD的中点，连接NQ，MQ，则MQ∥AD，NQ∥PD，而MQ∩NQ＝Q，所以平面MNQ∥平面P AD.MN⊂平面MNQ，所以MN∥平面P AD.。

必修二直线_平面平行的判定及其性质含答案

必修二直线、平面平行的判定及其性质学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________1. 已知平面α // 平面β，直线m⊂平面α，那么直线m与平面β的关系是（）A.直线m在平面β内B.直线m与平面β相交但不垂直C.直线m与平面β垂直D.直线m与平面β平行2. 已知α // β，A、C∈α，B、D∈β，直线AB、CD相交于S，且AS=8，BS=9，CD=34，则CS的长度为（）A.16B.20C.272D.16或2723. 已知两个不同平面α，β和两条不同直线m，n，则使α // β成立的一个充分条件是（）A.m // α，n // β，m // nB.m // α，m // βC.n⊥α，n⊥βD.m⊥α，n⊥β4. 已知a，b是空间中两不同直线，α，β是空间中两不同平面，下列命题中正确的是()A.若直线a // b，b⊂α，则a // αB.若平面α⊥β，a⊥α，则a // βC.若平面α // β，a⊂α，b⊂β，则a // bD.若a⊥α，b⊥β，a // b，则α // β5. 若点E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点．则空间四边形的四条边与两条对角线中与平面EFGH平行的条数为( )A.0B.1C.2D.36. 如图，在直四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，底面ABCD为菱形，AA1=2AB=4，∠BAD=60∘，点M为棱AA1的中点，若N为菱形A1B1C1D1内一点（不包含边界），且满足MN//平面BDC1．设直线MN与直线CC1所成角为α，则tanα的最小值为( )A.√194B.√32C.√34D.127. 如图，在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AD=DD1=1，AB=√3，E, F, G分别为AB, BC, C1D1的中点.点P在平面ABCD内，若直线D1P//平面EFG，则线段D1P长度的最小值是()A.√72B.√62C.√52D.2√238. 如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD=60∘，Q为AD的中点，点M在线段PC上，PM=tMC，若PA//平面MQB，则t等于（）A.1B.12C.13D.149. 下列说法中正确的是（）A.平行于同一直线的两个平面平行B.垂直于同一直线的两个平面平行C.平行于同一平面的两条直线平行D.垂直于同一平面的两个平面平行10. 四棱锥P −ABCD 中，底面ABCD 是平行四边形，E ∈PC ，F ∈PB ，PE →=3EC →，PF →=λFB →，若AF // 平面BDE ，则λ的值为（）A.1B.3C.2D.411. 如图，在长方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，AD =DD 1=1，AB =√3，E, F, G 分别为AB, BC, C 1D 1的中点.点P 在平面ABCD 内，若直线D 1P//平面EFG ，则线段D 1P 长度的最小值是________.12. （1）证明线面平行的向量方法：证明直线的________ 与平面的法向量________； 12.（2）直线与平面平行的判定定理：文字语言：________符号语言：________．13. 如图2，正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的棱长为1，点E ，F 分别为棱B 1C 1, C 1D 1的中点，动点M 在正方体内部或正方体的面上，且满足A 1M//平面 CEF ，则A 到动点M 的轨迹形成的平面的距离为________14. 设u →，v →分别是平面α，β的法向量，u →=(1, 2, −2)，v →=(−2, −4, m)．若α // β，则实数m ＝________．15. 已知平面α // 平面β，P 是α、β外一点，过P 点的两条直线PAC 、PBD 分别交α于A 、B ，交β于C 、D ，且PA =6，AC =9，AB =8，则CD 的长为________．16.如图，正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，AB =2，点E 为AD 的中点，点F 在CD 上，若EF // 平面AB 1C ，则线段EF 的长度等于________．17. 如图，三棱锥D −ABC 中，E 、F 、G 分别是AB 、BC 、CD 的中点，共有________对线面平行．18. P 为△ABC 所在平面外一点，平面α // 平面ABC ，α分别交线段PA 、PB 、PC 于A 1、B 1、C 1，若PA 1:A 1A =2:3，则S △A 1B 1C 1：S △ABC =________．19. 下列条件中，能判定平面α与平面β平行的条件可以是________．（写出所有正确条件的序号）①α内有无穷多条直线都与β平行； ②α内的任何一条直线都与β平行；③直线a ⊂α，直线b ⊂β，且a // β，b // α； ④a ⊥α，b ⊥β，a // b ．20. 如图，四棱锥P −ABCD 的底面是边长为1的正方形，点E 是棱PD 上一点， PE =3ED ．若PF →=λPC →且满足BF//平面ACE ，则λ=________.21. 已知：空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA的中点．求证：E、F、G、H四点共面（如图所示）22. 如图，已知点P是平行四边形ABCD所在平面外的一点，E，F分别是PA，BD上的点且PE:EA=BF:FD，延长AF交BC于点M．过M作GM // BD，且GN交CD于G，求证：平面DEF // 平而PGM．23. 求证：如果一条直线和两个相交的平面都平行，那么这条直线和它们的交线平行，已知：如图，α∩β=l，a // α，a // β，求证：a // l．24. 证明：如果在一个平面内有两条相交直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行．25. 如图，平面α // 平面β // 平面γ，两条直线l，m分别与平面α，β，γ相交于点A，B，C和点D，E，F．已知AC=15cm，DE=5cm，AB:BC=1:3，求AB，BC，EF的长．26. 如图所示，四边形ABCD是矩形，P∉平面ABCD，过BC作平面BCFE交AP于E，交DP于F．求证：四边形BCFE是梯形．27. 如图，在四棱锥P−ABCD中，四边形ABCD为正方形．已知PA⊥平面ABCD．M、N分别是AB、PC的中点，求证：（1）MN//平面PAD；（2）平面PCD⊥平面PAD．28. 在四棱锥E−ABCD中，底面ABCD是正方形，AC与BD交于点O，EC⊥底面ABCD，F为BE的中点．（1）求证：DE//平面ACF；（2）求证：平面BDE⊥平面AEC．29. 如图，四边形ABCD是矩形，P∉平面ABCD，过BC作平面BCFE交AP于E，交DP于点F．求证：四边形BCFE是梯形．30. 在空间四边形ABCD中，E、F、O、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，且AC= BD，求证：EO与FH互相垂直平分．31. 如图，已知F，H分别是正方体ABCD−A1B1C1D1的棱CC1，AA1的中点，求证：平面BDF // 平面B1D1H．32. 如图，四棱锥P−ABCD中，四边形ABCD为平行四边形，E，F分别为所在边中点，证明：EF // 平面PBC．33. 如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，M，N，P分别是C1C，B1C1，C1D的中点，求证：平面MNP // 平面A1BD．34. 如图，四棱锥P−ABCD中，PA⊥面ABCD，E、F分别为BD、PD的中点，EA=EB．（1）证明：PB // 面AEF；（2）证明：AD⊥PB．35. 已知a⊄α，b⊄α，a // b，a // a．求证：b // α．36. 己知斜三棱柱ABC−A1B1C1的底面是边长为2的正三角形，侧面A1ACC1为菱形，∠A1AC=60∘，平面A1ACC1⊥平面ABC，M、N是AB，CC1的中点．（1）求证：CM // 平面A1BN．（2）求证：A1C⊥BN．37. 如图所示，四边形EFGH为四面体ABCD的一个截面，若四边形EFGH为平行四边形．（1）求证：AB // 平面EFGH；（2）若AB=4，CD=6，求四边形EFGH周长的取值范围．38. 已知正方体ABCD−A1B1C1D1中，P、Q分别为对角线BD、CD1上的点，且CQQD1=BP PD =23．（1）求证PQ // 平面A1D1DA；（2）若R是AB上的点，当ARAB的值为多少时，能使平面PQR // 平面A1D1DA？请给出证明．39. 如图，ABCD与ADEF均为平行四边形，M，N，G分别是AB，AD，EF的中点．求证：（1）平面BDE // 平面MNG．（2）BE // 平面DMF；40. 如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，PD⊥平面ABCD，M是PC的中点，且PD=2.求证：AP // 平面MBD；参考答案与试题解析必修二直线、平面平行的判定及其性质一、选择题（本题共计 10 小题，每题 3 分，共计30分）1.【答案】D【考点】直线与平面平行的判定【解析】根据线面平行的性质得到直线m与平面β没有公共点，由线面平行的定义可得．【解答】解；因为平面α // 平面β，直线m⊂平面α，所以直线m与平面β没有公共点，所以直线m // 平面β；故选D．2.【答案】D【考点】平面与平面平行的性质【解析】因为平面α // 平面β，且A、C∈α，B、D∈β，直线AB与CD交于点S，所以根据平面与平面平行的性质定理可得：两条交线应该平行，连接AC、BD，即AC // BD，所以△SAC∽△SBD，又根据相似比的概念及AS=8，BS=9，CD=34，则：①SC=16，②SC=272．【解答】解：∵平面α // 平面β，A、C∈α，B、D∈β，直线AB与CD交于点S，∴根据平面与平面平行的性质定理可得：AC // BD，∴△SAC∽△SBD，①∴SC，且SC+SD=CD=34，则：SC=16；SD，且SD−SC=CD=34，则：SC=272．②∴SCSD故选：D3.【答案】C【考点】平面与平面平行的判定【解析】结合选项，以及反例，逐一判定正确选项．【解答】解：对于A可能出现两个不同平面α，β相交情况，A错误．B：也可能有两个不同平面α，β相交情况，B错误．如在正方体的两侧与平面之间存在．C：正确，因为垂直同一直线的两个平面平行．D：会出现出现两个不同平面α，β相交情况，D错误．故选C．4.【答案】D【考点】直线与平面平行的判定平面与平面平行的判定直线与平面平行的性质【解析】由条件利用直线和平面平行的判定定理、性质定理，直线和平面垂直的判定定理、性质定理，逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论．【解答】解：若直线a // b，b⊂α，则a // α或a⊂α，故A不对；若平面α⊥β，a⊥α，则a // β或a⊂β，故B不对；若平面α // β，a⊂α，b⊂β，则a // b或a，b是异面直线，故C不对；根据垂直于同一条直线的两个平面平行，可得D正确，故选D．5.【答案】C【考点】直线与平面平行的性质【解析】利用中位线的性质，判断四边形EFGH为平行四边形，然后利用线面平行的条件进行判断即可．【解答】解：如图：因为E，F，G，H分别是四面体ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，所以EH，FG分别是各三角形的中位线，所以EH // BD，FG // BD，所以EH // FG．同理EF // HG，即四边形EFGH为平行四边形．所以和四边形EFGH平行的棱有AC和BD．故选C．6.【答案】C【考点】平面与平面平行的判定【解析】由题意，根据直棱柱的性质以及线面平行的判定和面面平行的判定求出面面平行，得到平面角，进而求解即可.【解答】解：取线段AD1，A1B1中点为Q，P，连结MQ，MP，PQ，如图所示：由于AB1//DC1，AB1//MP，所以MP//DC1 .因为MP⊂平面BDC1，DC1⊂平面BDC，所以MP//平面BDC1，同理可得MQ//平面BDC1，又MP∩MQ=M，故平面MPQ//平面BDC1，则点N在线段PQ上.因为AA1//CC1，所以∠A1MN=α，故tanα=A1NA1M =12A1N，当A 1N ⊥PQ 时，A 1N 取得最小值√32，所以tan α的最小值为√34.故选C .7.【答案】A【考点】平面与平面平行的性质直线与平面平行的性质平面与平面平行的判定【解析】此题暂无解析【解答】解：如图，连接D 1A ，AC ，D 1C ，∵ E, F, G 分别是AB, BC, C 1D 1的中点，∴ AC//EF ，EF ⊄平面ACD 1，则EF//平面ACD 1.∵ EG//AD 1，∴ 同理得：EG//平面ACD 1.又EF ∩EG 于E ，∴ 平面ACD 1//平面EFG .∵ 直线D 1P//平面EFG ，∴ 点P 在直线AC 上.在△ACD 1中，AD 1=√2，AC =2，CD 1=2， ∴ S △AD 1C =12×√2×√22−(√22)2=√72， ∴ 当D 1P ⊥AC 时，线段D 1P 的长度最小，最小值为√7212×2=√72. 故选A .8.【答案】B【考点】直线与平面平行的性质利用线面平行的性质，三角形的重心定理得解.【解答】解：由题设得△ABD为等边三角形，Q为AD的中点，连接AC，BD，交点为O，则O为BD中点，故BQ，AO的交点N为△ABD的重心，如图，得ANAO =23，则ANAC=13，ANNC=12，若PA//面MQB，因为PA⊂面PAC，面PAC∩面MQB=MN，所以PA//MN，所以PMMC =ANNC=12，即PM=12MC.故选B.9.【答案】B【考点】直线与平面平行的判定直线与平面平行的性质【解析】平行于同一直线的两个平面相交或平行；由平面平行的判定定理知B正确；平行于同一平面的两条直线平行、相交或异面；垂直于同一平面的两个平面平行或相交．【解答】解：平行于同一直线的两个平面相交或平行，故A不正确；由平面平行的判定定理知垂直于同一直线的两个平面平行，故B正确；平行于同一平面的两条直线平行、相交或异面，故C不正确；垂直于同一平面的两个平面平行或相交，故D不正确．故选B．10.【答案】C【考点】平面与平面平行的判定平面与平面平行的性质通过证明面面平行，能求出λ的值．【解答】解：∵AF // 平面BDE，∴过点A作AH // 平面BDE，交PC于H，连结FH，则得到平面AFH // 平面BDE，∴FH // BE，∵E∈PC，F∈PB，PE→=3EC→，PF→=λFB→，∴OCOA =ECHE=12，∴EC=EH，又PE=3EC，∴PH=2HE，又∵PFFB =PHHE=2，∴λ=2．故选：C．二、填空题（本题共计 10 小题，每题 3 分，共计30分）11.【答案】√72【考点】平面与平面平行的判定直线与平面平行的判定【解析】此题暂无解析【解答】解：如图，连接D1A，AC，D1C，∵E, F, G分别是AB, BC, C1D1的中点，∴AC//EF，EF⊄平面ACD1，则EF//平面ACD1.∵EG//AD1，∴ 同理得：EG//平面ACD 1.又EF ∩EG 于E ，∴ 平面ACD 1//平面EFG .∵ 直线D 1P//平面EFG ，∴ 点P 在直线AC 上.在△ACD 1中，AD 1=√2，AC =2，CD 1=2，∴ S △AD 1C =12×√2×(√22)=√72， ∴ 当D 1P ⊥AC 时，线段D 1P 的长度最小，最小值为√7212×2=√72. 故答案为：√72.12. 【答案】方向向量,垂直平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行．,已知：a ⊊α，b ⊂α，a // b ，所以a // α【考点】直线与平面平行的判定【解析】（1）证明线面平行的向量方法：证明直线的方向向量与平面的法向量垂直，（2）直线与平面平行的判定定理：需要三个条件，面内一线，面外一线，线线平行，可得线面平行．【解答】解：（1）证明线面平行的向量方法：证明直线的方向向量与平面的法向量垂直，（2）直线与平面平行的判定定理：文字语言：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行．符号语言：已知：a ⊊α，b ⊂α，a // b ，所以a // α；13.【答案】13【考点】直线与平面平行的性质【解析】利用线面平行的性质定理，求出M 的轨迹，利用三角形等面积法求出距离．【解答】解：连接AC ，A 1C 1，A 1C 1∩EF =N∵ EF 为中点，∴ EF =//12BO 1∴ C 1N =14C 1A 1∵ 面A 1ACC 1∩面CEF =CN又∵ A 1M // 平面CEF∴ CN//A 1M∴ AM =14AC 因为棱长为1，∴ AM =√24，A 1M =√1+216=3√24 ∵ A 1A 、AM =A 1M ·d∴ √24=3√24·d ∴ d =13∴ A 到A 1M 的距离为13 故答案为13．14.【答案】4【考点】平面与平面平行的性质平面与平面平行的判定【解析】根据α // β时，它们的法向量共线，列出方程求出m 的值．【解答】u →，v →分别是平面α，β的法向量，u →=(1, 2, −2)，v →=(−2, −4, m)，当α // β时，λ(1, 2, −2)＝(−2, −4, m)，且λ∈R ；解得λ＝−2，m ＝（4）15.【答案】20或4【考点】平面与平面平行的性质【解析】有面面平行，可得线线平行，AB // CD，在利用相似三角形的相似比可得CD的长【解答】解：如图所示，因为平面α // 平面β，所以AB // CD，∴△PAB∼△PCD，∴PAPC =ABCD∴CD=8×156=20．当P在平面α与平面β之间时，∴PAPC =ABCD∴CD=8×36=4．故答案为：20或4．16.【答案】√2【考点】直线与平面平行的性质【解析】根据已知EF // 平面AB1C和线面平行的性质定理，证明EF // AC，又点E为AD的中点，点F在CD上，以及三角形中位线定理可知点F是CD的中点，从而求得线段EF的长度．【解答】解：∵EF // 平面AB1C，EF⊆平面AC，平面AB1C∩平面AC=AC，∴EF // AC，又点E为AD的中点，点F在CD上，∴点F是CD的中点，∴EF=12AC=√2．故答案为：√2．17.【答案】2【考点】直线与平面平行的判定【解析】由三棱锥D−ABC中，E、F、G分别是AB、BC、CD的中点，得GF // BD，FE // AC，GE // AD，由此能求出共在3对线面平行．【解答】解：∵三棱锥D−ABC中，E、F、G分别是AB、BC、CD的中点，∴GF // BD，FE // AC，又GF不包含于平面ABD，BD⊂平面ABD，∴GF // 平面ABD，EF不包含于平面ADC，AC⊂平面ABD，∴EF // 平面ADC，∴共在2对线面平行．故答案为：2．18.【答案】425【考点】平面与平面平行的性质【解析】作出图形，由面面平行得到△A1B1C1∽△ABC，再由相似三角形得到面积比为相似比的平方，即可得到面积比．【解答】解：由图知，∵平面α // 平面ABC，∴AB // 平面α，又由平面α∩平面PAB=A1B1，则A1B1 // AB，∵PA1:A1A=2:3，即PA1:PA=2:5∴A1B1:AB=2:5同理得到B1C1:BC=2:5，A1C1:AC=2:5由于相似三角形得到面积比为相似比的平方，所以S△A1B1C1：S△ABC=(25)2=425故答案为425 19.【答案】②④【考点】平面与平面平行的判定【解析】利用面面平行的定义和判定定理，逐一分析各个选项的正确性，从中选出正确的选项．【解答】解：当α内有无穷多条直线都与β平行，平面α与平面β可能平行，也可能相交，故①不正确．当α内的任何一条直线都与β平行时，则平面α内必有2条相交直线和平面β平行，据面面平行的判定定理，平面α与平面β平行，故②正确．当直线a⊂α，直线b⊂β，且a // β，b // α时，平面α与平面β可能平行，也可能相交，故③不正确．当a⊥α，b⊥β，a // b时，可证a⊥β，这样，平面α与平面β都和直线a垂直，故平面α与平面β平行，故④正确．综上，②④正确，①③错误，故答案为②④．20.【答案】23【考点】直线与平面平行的判定平面与平面平行的判定直线与平面平行的性质【解析】利用线线平行得面面平行，再利用平行线成比例得解.【解答】解：连接BD交AC于O，连接OE，在PE上取一点G，使GE=ED，在PC上取一点F，使PC=3FC，连接FG，BG，如图，∵O，E分别是BD，DG的中点，∴OE//BG，∵CFPC =GEPE=DEPE=13，∴GF//CE，∵BG∩GF=G，OE∩CE=E，∴平面BGF//平面ACE，又BF⊂平面BGF，∴BF//平面ACE，故PC=3FC时满足要求.∴PF→=23PC →，∴λ=23.故答案为：23.三、解答题（本题共计 20 小题，每题 10 分，共计200分）21.【答案】证明：∵空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA的中点，∴EH // BD，FG // BD，∴EH // GF，∴E、F、G、H四点共面．【考点】直线与平面平行的性质【解析】由三角形中位线定理得EH // BD，FG // BD，由此能证明E、F、G、H四点共面．【解答】证明：∵空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA的中点，∴EH // BD，FG // BD，∴EH // GF，∴E、F、G、H四点共面．22.【答案】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴BM // AD，∴BFDF =MFAF，∵E，F分别是PA，BD上的点且PE:EA=BF:FD，延长AF交BC于点M，∴PEEA =MFAF，∴EF // PM，∵GM // BD，∴FD // MG，∵EF∩FD=F，PM∩MG=M，EF⊂平面DEF，FD⊂平面DEF，PM⊂平面PGM，MG⊂平面PGM，∴平面DEF // 平而PGM．【考点】平面与平面平行的判定【解析】由已知条件推导出EF // PM，FD // MG，由此能证明平面DEF // 平而PGM．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴BM // AD，∴BFDF =MFAF，∵E，F分别是PA，BD上的点且PE:EA=BF:FD，延长AF交BC于点M，∴PEEA =MFAF，∴EF // PM，∵GM // BD，∴FD // MG，∵EF∩FD=F，PM∩MG=M，EF⊂平面DEF，FD⊂平面DEF，PM⊂平面PGM，MG⊂平面PGM，∴平面DEF // 平而PGM．23.【答案】证明：过a作平面γ交平面α于b，∵a // α，∴a // b．同样，过a作平面ξ交平面β于C．∵a // β，∴a // C．∴b // C．又∵b⊄β且C⊂β，∴b // β．又平面α经过b交β于l．∴b // l，且a // b．∴a // l．【考点】直线与平面平行的性质【解析】过a作平面γ交平面α于b，过a作平面ξ交平面β于C．从而b // C，b // β．进南昌b // l，且a // b．由此能证明a // l．【解答】证明：过a作平面γ交平面α于b，∵a // α，∴a // b．同样，过a作平面ξ交平面β于C．∵a // β，∴a // C．∴b // C．又∵b⊄β且C⊂β，∴b // β．又平面α经过b交β于l．∴b // l，且a // b．∴a // l．24.【答案】证明：如图所示，假设α∩β=c，因为a // β，a⊂α，α∩β=c，同理可证b // c于是a // b，与a、b相交矛盾，所以假设不成立．所以如果在一个平面内有两条相交直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行．【考点】平面与平面平行的判定【解析】利用反证法证明即可．【解答】证明：如图所示，假设α∩β=c，因为a // β，a⊂α，α∩β=c，所以a // c同理可证b // c于是a // b，与a、b相交矛盾，所以假设不成立．所以如果在一个平面内有两条相交直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行．25.【答案】解：如图，连接AF，交β于点G，则点A，B，C，G共面.∵平面α // 平面β // 平面γ，平面ACF∩平面β=BG，平面ACF∩平面γ=CF，∴BG // CF，∴△ABG∼△ACF，∴ABBC =AGGF，同理，可得AD // GE，AGGF =DEEF，∴ABBC =DEEF.∵AB:BC=1:3，∴AB=14AC=154cm，BC=34AC=454cm，∴EF=3DE=3×5=15(cm)．【考点】平行线分线段成比例定理平面与平面平行的性质【解析】根据题意，连接AF，交β于点G，根据面面平行，得出线线平行，证明ABBC =AGGF=DEEF，再结合题目中的数据，求出AB、BC与EF的大小．【解答】解：如图，连接AF，交β于点G，则点A，B，C，G共面.∵平面α // 平面β // 平面γ，平面ACF∩平面β=BG，平面ACF∩平面γ=CF，∴BG // CF，∴△ABG∼△ACF，∴ABBC =AGGF，同理，可得AD // GE，AGGF =DEEF，∴ABBC =DEEF.∵AB:BC=1:3，∴AB=14AC=154cm，BC=34AC=454cm，∴EF=3DE=3×5=15(cm)．26.【答案】证明：∵四边形ABCD为矩形，∴BC // AD，∵AD⊂平面PAD，BC⊄平面PAD，∴BC // 平面PAD．∵平面BCFE∩平面PAD=EF，∴BC // EF．∵AD=BC，AD≠EF，∴BC≠EF，∴四边形BCFE是梯形．【考点】直线与平面平行的性质直线与平面平行的判定【解析】证明BC // 平面PAD，可得BC // EF，再证明BC≠EF，即可得出结论．【解答】证明：∵四边形ABCD为矩形，∴BC // AD，∵AD⊂平面PAD，BC⊄平面PAD，∴BC // 平面PAD．∵平面BCFE∩平面PAD=EF，∴BC // EF．∵AD=BC，AD≠EF，∴BC≠EF，∴四边形BCFE是梯形．27.【答案】【考点】直线与平面平行的判定【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答28.【答案】【考点】直线与平面平行的判定【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答29.【答案】证明：∵四边形ABCD为矩形，∴BC // AD.∵AD⊂平面PAD，BC⊄平面PAD，∴BC // 平面PAD．∵平面BCFE∩平面PAD=EF，∴BC // EF．∵AD=BC，AD≠EF，∴BC≠EF，∴四边形BCFE是梯形．【考点】直线与平面平行的性质直线与平面平行的判定【解析】证明BC // 平面PAD，可得BC // EF，再证明BC≠EF，即可得出结论．【解答】证明：∵四边形ABCD为矩形，∴BC // AD.∵AD⊂平面PAD，BC⊄平面PAD，∴BC // 平面PAD．∵平面BCFE∩平面PAD=EF，∴BC // EF．∵AD=BC，AD≠EF，∴BC≠EF，∴四边形BCFE是梯形．30.【答案】证明：∵在空间四边形ABCD中，E、F、O、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，∴EH // BD，且EH=12BD，FG // BD，且FG=12BD，∴EH= // FG，同理，EF // AC，且EF=12AC，HG // AC，且HG=12AC，∴EF= // HG，∵AC=BD，∴四边形EFGH是菱形，∴EO与FH互相垂直平分．【考点】平面与平面平行的性质【解析】由已知推导出EH= // FG，EF= // HG，由AC=BD，得四边形EFGH是菱形，由此能证明EO与FH互相垂直平分．【解答】证明：∵在空间四边形ABCD中，E、F、O、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，∴EH // BD，且EH=12BD，FG // BD，且FG=12BD，∴EH= // FG，同理，EF // AC，且EF=12AC，HG // AC，且HG=12AC，∴EF= // HG，∵AC=BD，∴四边形EFGH是菱形，∴EO与FH互相垂直平分．31.【答案】证明：如图，取DD1的中点E，连接AE，EF，∵E，F分别为DD1，CC1的中点，∴ EF=//CD=//BA，∴四边形EFBA为平行四边形，∴AE//BF.∵E，H分别为D1D，A1A的中点，∴D1E=//HA，∴四边形HAED1为平行四边形，∴HD1//AE,∴HD1//BF.∵HD1⊄平面BDF, BF⊂平面BDF，∴HD1//平面BDF.由正方体的性质易知B1D1//BD，∵B1D1⊄平面BDF，BD⊂平面BDF,∴B1D1//平面BDF，又∵B1D1∩HD1=D1，∴平面BDF//平面B1D1H .【考点】平面与平面平行的判定【解析】根据面面平行的判定定理即可得到结论．【解答】证明：如图，取 DD 1 的中点E ，连接AE ，EF ，∵ E ，F 分别为DD 1，CC 1的中点，∴ EF =//CD =//BA ，∴ 四边形EFBA 为平行四边形，∴ AE//BF .∵ E ，H 分别为 D 1D ， A 1A 的中点，∴ D 1E =//HA ，∴ 四边形 HAED 1 为平行四边形，∴ HD 1//AE ,∴ HD 1//BF .∵ HD 1⊄ 平面BDF , BF ⊂ 平面 BDF ，∴ HD 1// 平面BDF.由正方体的性质易知 B 1D 1//BD ，∵ B 1D 1⊄ 平面BDF ，BD ⊂平面BDF ,∴ B 1D 1// 平面BDF ，又∵ B 1D 1∩HD 1=D 1，∴ 平面 BDF// 平面 B 1D 1H .32.【答案】证明：取DC 中点O ，连结EO 、FO ，∵ 四棱锥P −ABCD 中，四边形ABCD 为平行四边形，E ，F 分别为所在边中点， ∴ EO // PC ，FO // BC ，∵ EO ∩FO =O ，PC ∩BC =C ，∴ 面EOF // 面PCB ，∵ EF ⊂平面EFO ，∴EF // 平面PBC．【考点】直线与平面平行的判定【解析】取DC中点O，连结EO、FO，由已知推导出面EOF // 面PCB，由此能证明EF // 平面PBC．【解答】证明：取DC中点O，连结EO、FO，∵四棱锥P−ABCD中，四边形ABCD为平行四边形，E，F分别为所在边中点，∴EO // PC，FO // BC，∵EO∩FO=O，PC∩BC=C，∴面EOF // 面PCB，∵EF⊂平面EFO，∴EF // 平面PBC．33.【答案】解：在正方体ABCD−A1B1C1D1中，M，N，P分别是C1C，B1C1，C1D的中点，连接B1D1，B1C，∵PN // B1D1，BD // B1D1，∴PN // BD．而BD⊂面A1BD，PN⊄面A1DB，∴PN // 面A1DB．同理可证MN // 面A1DB．再由PN和MN是平面MNP内的两条相交直线可得平面MNP // 平面A1BD．【考点】平面与平面平行的判定【解析】利用三角形的中位线性质及公理4，证明PN // BD，证得PN // 面A1DB．同理可证MN // 面A1DB，再由PN和MN是平面MNP内的两条相交直线，利用平面和平面平行的判定定理证得结论成立．【解答】解：在正方体ABCD−A1B1C1D1中，M，N，P分别是C1C，B1C1，C1D的中点，连接B1D1，B1C，∵PN // B1D1，BD // B1D1，∴PN // BD．而BD⊂面A1BD，PN⊄面A1DB，∴PN // 面A1DB．同理可证MN // 面A1DB．再由PN和MN是平面MNP内的两条相交直线可得平面MNP // 平面A1BD．34.【答案】（1）证明：因为E、F分别为BD、PD的中点，所以EF // PB…因为EF⊂面AEF，PB⊄面AEF所以PB // 面AEF…（2）证明：因为PA⊥面ABCD，所以PA⊥AD…因为EA=EB，所以∠ABE=∠BAE，又因为E为BD的中点，所以∠ADE=∠DAE，所以2(∠BAE+∠DAE)=180∘，得∠BAE+∠DAE=90∘，即BA⊥AD，…因为PA∩AB=A，所以AD⊥面PAB，所以AD⊥PB．…【考点】直线与平面平行的判定【解析】（1）由已知条件得知一角形中位线定理推导出EF // PB，由此能证明PB // 面AEF．（2）由PA⊥面ABCD，PA⊥AD，由EA=EB，E为BD的中点，推导出AD⊥面PAB，由此能证明AD⊥PB．【解答】（1）证明：因为E、F分别为BD、PD的中点，所以EF // PB…因为EF⊂面AEF，PB⊄面AEF所以PB // 面AEF…（2）证明：因为PA⊥面ABCD，所以PA⊥AD…因为EA=EB，所以∠ABE=∠BAE，又因为E为BD的中点，所以∠ADE=∠DAE，所以2(∠BAE+∠DAE)=180∘，得∠BAE+∠DAE=90∘，即BA⊥AD，…因为PA∩AB=A，所以AD⊥面PAB，所以AD⊥PB．…35.【答案】证明：过a作平面β，使它与α相交，交线为c．因为a // α，a⊂β，α∩β=c，所以a // c．因为a // b，所以b // c，因为b⊄α，c⊂α，所以b // α．【考点】直线与平面平行的判定直线与平面平行的性质【解析】先利用线面平行的性质，得到线线平行，再利用线面平行的判定，可得线面平行．【解答】证明：过a作平面β，使它与α相交，交线为c．因为a // α，a⊂β，α∩β=c，所以a // c．因为a // b，所以b // c，因为b⊄α，c⊂α，所以b // α．36.【答案】证明：（1）取A1B的中点P，连接PM，PN．因为M，P分别是AB，A1B的中点，∴PM // AA1，PM=1AA1，2又∵AA1 // CC1，∴PM // CN且PM=CN∴四边形PMCN为平行四边形，∴PN // CM．又∵CM⊄平面A1BN，PN⊂平面A1BN，∴CM // 平面A1BN．（2）取AC的中点O，连结BO，ON．由题意知BO⊥AC，又∵平面A1ACC1⊥平面ABC，∴BO⊥平面A1ACC1．∵A1C⊂平面A1ACC1∴所以BO⊥A1C∴四边形A1ACC1为菱形，∴A1C⊥AC1又∵ON // AC1，所以A1C⊥ON∴A1C⊥平面BON，又BN⊂平面BON∴A1C⊥BN．【考点】直线与平面平行的判定【解析】（1）取A1B的中点P，连接PM，PN．根据M，P分别是AB，A1B的中点，推断AA1，根据AA1 // CC1，推断出PM // CN且PM=CN可知四边u PM // AA1，PM=12形PMCN为平行四边形，推断出PN // CM．最后利用线面平行的判定定理推断出CM // 平面A1BN．（2）取AC的中点O，连结BO，ON．根据已知BO⊥AC，进而根据平面A1ACC1⊥平面ABC，推断出BO⊥平面A1ACC1．由于A1C⊂平面A1ACC1利用线面垂直性质知BO⊥A1C，利用四边形A1ACC1为菱形，推断A1C⊥AC1，又因为ON // AC1，推断出A1C⊥ON进而推断出A1C⊥平面BON，又BN⊂平面BON，最后根据线面垂直的判定定理推断出A1C⊥BN．【解答】证明：（1）取A1B的中点P，连接PM，PN．因为M，P分别是AB，A1B的中点，∴PM // AA1，PM=12AA1，又∵AA1 // CC1，∴PM // CN且PM=CN∴四边形PMCN为平行四边形，∴PN // CM．又∵CM⊄平面A1BN，PN⊂平面A1BN，∴CM // 平面A1BN．（2）取AC的中点O，连结BO，ON．由题意知BO⊥AC，又∵平面A1ACC1⊥平面ABC，∴BO⊥平面A1ACC1．∵A1C⊂平面A1ACC1∴所以BO⊥A1C∴四边形A1ACC1为菱形，∴A1C⊥AC1又∵ON // AC1，所以A1C⊥ON∴A1C⊥平面BON，又BN⊂平面BON∴A1C⊥BN．37.【答案】解：（1）证明：∵四边形EFGH为平行四边形，∴EH // FG；∵EH⊄平面ABD，FG⊂平面ABD，∴EH // 平面ABD；又∵EH⊂平面ABC，平面ABC∩平面ABD=AB，∴EH // AB；又∵EH⊂平面EFGH，AB⊄平面EFGH，∴AB // 平面EFGH；（2）设EH=x，EF=y，∵EH // AB，EF // CD，∴EHAB =CECA，EFCD=AEAC，∴EHAB +EFCD=CECA+AEAC=ACAC=1；又∵AB=4，CD=6，∴x4+y6=1，∴y=6(1−x4)，且0<x<4；∴四边形EFGH的周长为l=2(x+y)=2[x+6(1−x 4 )]=12−x，∴8<12−x<12；∴四边形EFGH周长的取值范围是(8, 12)．【考点】直线与平面平行的判定直线与平面平行的性质【解析】（1）通过证明EH // 平面ABD，得出EH // AB，从而证明AB // 平面EFGH；（2）设EH=x，EF=y，由EH // AB，EF // CD，求出x、y的关系式，再求四边形EFGH的周长l的取值范围即可．【解答】解：（1）证明：∵四边形EFGH为平行四边形，∴EH // FG；∵EH⊄平面ABD，FG⊂平面ABD，∴EH // 平面ABD；又∵EH⊂平面ABC，平面ABC∩平面ABD=AB，∴EH // AB；又∵EH⊂平面EFGH，AB⊄平面EFGH，∴AB // 平面EFGH；（2）设EH=x，EF=y，∵EH // AB，EF // CD，∴EHAB =CECA，EFCD=AEAC，∴EHAB +EFCD=CECA+AEAC=ACAC=1；又∵AB=4，CD=6，∴x4+y6=1，∴y=6(1−x4)，且0<x<4；∴四边形EFGH的周长为l=2(x+y)=2[x+6(1−x 4 )]=12−x，∴8<12−x<12；∴四边形EFGH周长的取值范围是(8, 12)．38.【答案】（1）证明：连结CP并延长与DA的延长线交于M点，因为四边形ABCD为正方形，所以BC // AD，故△PBC∽△PDM，所以CPPM =BPPD=23，又因为CQQD1=BPPD=23，所以CQQD1=CPPM=23，所以PQ // MD1．又MD1⊂平面A1D1DA，PQ⊄平面A1D1DA，故PQ // 平面A1D1DA．…（2）当ARAB 的值为35时，能使平面PQR // 平面A1D1DA．证明：因为ARAB =35，即有BRRA=23，故BRRA=BPPD，所以PR // DA．又DA⊂平面A1D1DA，PR⊄平面A1D1DA，所以PR // 平面A1D1DA，又PQ∩PR=P，PQ // 平面A1D1DA．所以平面PQR // 平面A1D1DA．…【考点】直线与平面平行的判定平面与平面平行的判定【解析】（1）连结CP并延长与DA的延长线交于M点，证明BC // AD，PQ // MD1，又MD1⊂平面A1D1DA，PQ⊄平面A1D1DA，证明PQ // 平面A1D1DA；（2）R是AB上的点，当ARAB 的值为35时，能使平面PQR // 平面A1D1DA，通过证明PR // 平面A1D1DA，又PQ∩PR=P，PQ // 平面A1D1DA．然后证明即可．【解答】（1）证明：连结CP并延长与DA的延长线交于M点，因为四边形ABCD为正方形，所以BC // AD，故△PBC∽△PDM，所以CPPM =BPPD=23，又因为CQQD1=BPPD=23，所以CQQD1=CPPM=23，所以PQ // MD1．又MD1⊂平面A1D1DA，PQ⊄平面A1D1DA，故PQ // 平面A1D1DA．…（2）当ARAB 的值为35时，能使平面PQR // 平面A1D1DA．证明：因为ARAB =35，即有BRRA=23，故BRRA=BPPD，所以PR // DA．又DA⊂平面A1D1DA，PR⊄平面A1D1DA，所以PR // 平面A1D1DA，又PQ∩PR=P，PQ // 平面A1D1DA．所以平面PQR // 平面A1D1DA．…39.【答案】证明：（1）∵MN // BD，GN // DE，且MN、GN交于N点，DE、DB交于D点，∴平面BDE // 平面MNG．（2）如图所示：作DC的中点P，连接PE、PB，∵ ABCD与ADEF均为平行四边形，M，N，G分别是AB，AD，EF的中点．∴PB // DM，FM // PE，且FM，MD交于M点，PB，PE交于P点，故平面DFM // 平面BPE，∴BE // 平面DMF.【考点】平面与平面平行的判定直线与平面平行的判定【解析】（2）由线线平行推出面面平行即可．（1）由面面平行推出线面平行即可；【解答】证明：（1）∵MN // BD，GN // DE，且MN、GN交于N点，DE、DB交于D点，∴平面BDE // 平面MNG．（2）如图所示：作DC的中点P，连接PE、PB，∵ ABCD与ADEF均为平行四边形，M，N，G分别是AB，AD，EF的中点．∴PB // DM，FM // PE，且FM，MD交于M点，PB，PE交于P点，故平面DFM // 平面BPE，∴BE // 平面DMF.40.【答案】证明：连接AC交BD于O，连接OM，则OM是△PAC的中位线，则OM // PA，∵OM⊂平面MBD，PA⊄平面MBD，∴AP // 平面MBD.【考点】直线与平面平行的判定【解析】（1）根据线面平行的判定定理证明OM // PA即可．【解答】证明：连接AC交BD于O，连接OM，则OM是△PAC的中位线，则OM // PA，∵OM⊂平面MBD，PA⊄平面MBD，∴AP // 平面MBD.。

直线、平面平行的判定及性质及详细答案

直线、平面平行的判定及性质1．直线和平面平行的判定定理2．直线和平面平行的性质定理3．两个平面平行的判定定理4．两个平面平行的性质定理5．与垂直相关的平行的判定定理例1如图所示，直三棱柱ABC－A′B′C′，∠BAC＝90°，AB＝AC＝λAA′，点M，N分别为A′B和B′C′的中点．证明：MN∥平面A′ACC′.例2.正方形ABCD与正方形ABEF所在平面相交于AB，在AE、BD上各有一点P、Q，且AP＝DQ.求证：PQ∥平面BCE.如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E为AC上一点，若AB1∥平面C1EB，求：AE∶EC.例3如图所示，正方体ABCD—A1B1C1D1中，M、N、E、F分别是棱A1B1，A1D1，B1C1，C1D1的中点．求证：平面AMN∥平面EFDB.例4如图所示，平面α∥平面β，点A∈α，C∈α，点B∈β，D∈β，点E、F分别在线段AB，CD上，且AE∶EB＝CF∶FD.求证：EF∥β.练习题：1．(课本习题改编)给出下列四个命题：①若一条直线与一个平面内的一条直线平行，则这条直线与这个平面平行；②若一条直线与一个平面内的两条直线平行，则这条直线与这个平面平行；③若平面外的一条直线和这个平面内的一条直线平行，则这条直线和这个平面平行；④若两条平行直线中的一条与一个平面平行，则另一条也与这个平面平行．其中正确命题的个数是________个．1．下列命题中正确的是________．①若直线a不在α内，则a∥α；②若直线l上有无数个点不在平面α内，则l∥α；③若直线l与平面α平行，则l与α内的任意一条直线都平行；④如果两条平行线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行；⑤若l与平面α平行，则l与α内任何一条直线都没有公共点；⑥平行于同一平面的两直线可以相交．2．(2014·合肥一检)给出下列关于互不相同的直线l、m、n和平面α、β、γ的三个命题：①若l与m为异面直线，l⊂α，m⊂β，则α∥β；②若α∥β，l⊂α，m⊂β，则l∥m；③若α∩β＝l，β∩γ＝m，γ∩α＝n，l∥γ，则m∥n.1．已知两条不同直线l1和l2及平面α，则直线l1∥l2的一个充分条件是() A．l1∥α且l2∥αB．l1⊥α且l2⊥αC．l1∥α且l2⊄αD．l1∥α且l2⊂α答案 B解析l1⊥α且l2⊥α⇒l1∥l2.2．(2012·四川)下列命题正确的是()A．若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行B．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行C．若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行D．若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行答案 C解析若两条直线和同一平面所成的角相等，则这两条直线可平行、可异面、可相交，A项不正确；如果到一个平面距离相等的三个点在同一条直线上或在这个平面的两侧，那么经过这三个点的平面与这个平面相交，B项不正确．3．(2013·浙江)设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面() A．若m∥α，n∥α，则m∥nB．若m∥α，m∥β，则α∥βC．若m∥n，m⊥α，则n⊥αD．若m∥α，α⊥β，则m⊥β答案 C解析A项中，直线m，n可能平行，也可能相交或异面，直线m，n的关系是任意的；B项中，α与β也可能相交，此时直线m平行于α，β的交线；D 项中，m也可能平行于β.故选C项．4．设α，β表示平面，m，n表示直线，则m∥α的一个充分不必要条件是()A ．α⊥β且m ⊥βB ．α∩β＝n 且m ∥nC ．m ∥n 且n ∥αD ．α∥β且m ⊂β答案 D解析若两个平面平行，其中一个面内的任一直线均平行于另一个平面，故选D.5．若空间四边形ABCD 的两条对角线AC 、BD 的长分别是8、12，过AB 的中点E 且平行于BD 、AC 的截面四边形的周长为( )A ．10B ．20C ．8D ．4答案 B解析设截面四边形为EFGH ，F 、G 、H 分别是BC 、CD 、DA 的中点，∴EF ＝GH ＝4，FG ＝HE ＝6.∴周长为2×(4＋6)＝20.6．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，棱长为a ，M 、N 分别为A 1B 和AC 上的点，A 1M ＝AN ＝2a3，则MN 与平面BB 1C 1C 的位置关系是( )A ．相交B ．平行C ．垂直D ．不能确定答案 B解析连接CD 1，在CD 1上取点P ，使D 1P ＝2a3，∴MP ∥BC ，PN ∥AD 1. ∴MP ∥面BB 1C 1C ，PN ∥面AA 1D 1D . ∴面MNP ∥面BB 1C 1C ，∴MN ∥面BB 1C 1C .7．如图所示，四个正方体图形中，A 、B 为正方体的两个顶点，M 、N 、P 分别为其所在棱的中点，能得出AB ∥面MNP 的图形的序号是________(写出所有符合要求的图形序号)．答案①③8. 棱锥P－ABCD的底面是一直角梯形，AB∥CD，BA⊥AD，CD＝2AB，P A⊥底面ABCD，E为PC的中点，则BE与平面P AD的位置关系为________．答案平行解析取PD的中点F，连接EF.在△PCD中，EF綊12CD.又∵AB∥CD且CD＝2AB，∴EF＝12CD且CD＝2AB.∴EF綊AB，∴四边形ABEF是平行四边形，∴EB∥AF.又∵EB⊄平面P AD，AF⊂平面P AD，∴BE∥平面P AD.9. 如图所示，ABCD－A1B1C1D1是棱长为a的正方体，M、N分别是下底面的棱A1B1、B1C1的中点，P是上底面的棱AD上的一点，AP＝a3，过P，M，N的平面交上底面于PQ，Q在CD上，则PQ＝________.答案22 3a解析如图所示，连接AC ，易知MN ∥平面ABCD .∴MN ∥PQ .又∵MN ∥AC ，∴PQ ∥AC . 又∵AP ＝a 3，∴PD AD ＝DQ CD ＝PQ AC ＝23. ∴PQ ＝23AC ＝232a ＝223a .10．考查下列三个命题，在“________”处都缺少同一个条件，补上这个条件使其构成真命题(其中l 、m 为直线，α、β为平面)，则此条件为________．①⎭⎬⎫m ⊂αl ∥m⇒l ∥α；②⎭⎬⎫l ∥m m ∥α⇒l ∥α；③⎭⎬⎫l ⊥βα⊥β⇒l ∥α. 答案 l ⊄α解析 ①体现的是线面平行的判定定理，缺的条件是“l 为平面α外的直线”，即“l ⊄α”，它也同样适合②③，故填l ⊄α.11．在四面体ABCD 中，M 、N 分别是面△ACD 、△BCD 的重心，则四面体的四个面中与MN 平行的是________．答案平面ABC 和平面ABD解析连接AM 并延长交CD 于E ，连接BN 并延长交CD 于F .由重心的性质可知，E 、F 重合为一点，且该点为CD 的中点E .由EM MA ＝EN NB ＝12，得MN ∥AB .因此MN ∥平面ABC 且MN ∥平面ABD .12．过三棱柱ABC —A 1B 1C 1的任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB 1A 1平行的直线共有________条．答案 6解析过三棱柱ABC —A 1B 1C 1的任意两条棱的中点作直线，记AC ，BC ，A 1C 1，B 1C 1的中点分别为E ，F ，E 1，F 1，则直线EF ，EF 1，EE 1，FF 1，E 1F ，E 1F 1均与平面ABB1A 1平行，故符合题意的直线共6条．13. 如图所示，已知ABCD－A1B1C1D1是棱长为3的正方体，点E在AA1上，点F在CC1上，G在BB1上，且AE＝FC1＝B1G＝1，H是B1C1的中点．(1)求证：E、B、F、D1四点共面；(2)求证：平面A1GH∥平面BED1F.答案(1)略(2)略解析(1)连接FG.∵AE＝B1G＝1，∴BG＝A1E＝2.∴BG綊A1E，∴A1G∥BE.又∵C1F綊B1G，∴四边形C1FGB1是平行四边形．∴FG綊C1B1綊D1A1.∴四边形A1GFD1是平行四边形．∴A1G綊D1F，∴D1F綊EB.故E、B、F、D1四点共面．(2)∵H是B1C1的中点，∴B1H＝32.又B1G＝1，∴B1GB1H＝23.又FCBC＝23，且∠FCB＝∠GB1H＝90°，∴△B1HG∽△CBF.∴∠B1GH＝∠CFB＝∠FBG，∴HG∥FB.又由(1)知，A1G∥BE，且HG∩A1G＝G，FB∩BE＝B，∴平面A1GH∥平面BED1F.14. 如图所示，四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD＝AB＝2，E，F，G分别为PC、PD、BC的中点．(1)求证：P A∥平面EFG；(2)求三棱锥P—EFG的体积．答案(1)略(2)1 6解析(1)如图所示，取AD的中点H，连接GH，FH.∵E，F分别为PC，PD的中点，∴EF∥CD.∵G，H分别是BC，AD的中点，∴GH∥CD.∴EF∥GH，∴E，F，H，G四点共面．∵F，H分别为DP，DA的中点，∴P A∥FH.∵P A⊄平面EFG，FH⊂平面EFG，∴P A∥平面EFG.(2)∵PD⊥平面ABCD，CG⊂平面ABCD，∴PD⊥CG.又∵CG⊥CD，CD∩PD＝D，∴GC⊥平面PCD.∵PF ＝12PD ＝1，EF ＝12CD ＝1， ∴S △PEF ＝12EF ·PF ＝12. 又GC ＝12BC ＝1，∴V P —EFG ＝V G —PEF ＝13×12×1＝16.15．一个多面体的直观图和三视图如图所示(其中M ，N 分别是AF ，BC 中点)．(1)求证：MN ∥平面CDEF ； (2)求多面体A —CDEF 的体积．答案 (1)略 (2)83解析 (1)证明由三视图知，该多面体是底面为直角三角形的直三棱柱，且AB ＝BC ＝BF ＝2，DE ＝CF ＝22，∴∠CBF ＝90°.取BF 中点G ，连接MG ，NG ，由M ，N 分别是AF ，BC 中点，可知：NG ∥CF ，MG ∥EF .又MG ∩NG ＝G ，CF ∩EF ＝F ，∴平面MNG ∥平面CDEF ，∴MN ∥平面CDEF .(2)作AH ⊥DE 于H ，由于三棱柱ADE —BCF 为直三棱柱，∴AH ⊥平面CDEF ，且AH ＝ 2.∴V A －CDEF ＝13S 四边形CDEF ·AH ＝13×2×22×2＝83.16. 如图所示，三棱柱ABC －A 1B 1C 1，底面为正三角形，侧棱A 1A ⊥底面ABC ，点E 、F 分别是棱CC 1、BB 1上的点，点M 是线段AC 上的动点，EC ＝2FB .当点M 在何位置时，BM ∥平面AEF?答案当M为AC中点时，BM∥平面AEF.解析方法一：如图所示，取AE的中点O，连接OF，过点O作OM⊥AC 于点M.∵侧棱A1A⊥底面ABC，∴侧面A1ACC1⊥底面ABC.∴OM⊥底面ABC.又∵EC＝2FB，∴OM∥FB綊12EC.∴四边形OMBF为矩形．∴BM∥OF.又∵OF⊂面AEF，BM⊄面AEF，故BM∥平面AEF，此时点M为AC的中点．方法二：如图所示，取EC的中点P，AC的中点Q，连接PQ、PB、BQ. ∴PQ∥AE.∵EC＝2FB，∴PE綊BF，PB∥EF.∴PQ∥平面AEF，PB∥平面AEF.又PQ∩PB＝P，∴平面PBQ ∥平面AEF .又∵BQ ⊂面PQB ，∴BQ ∥平面AEF .故点Q 即为所求的点M ，此时点M 为AC 的中点．17. (2013·福建)如图所示，在四棱锥P －ABCD 中，PD ⊥平面ABCD ，AB ∥DC ，AB ⊥AD ，BC ＝5，DC ＝3，AD ＝4，∠P AD ＝60°.(1)当正视方向与向量AD →的方向相同时，画出四棱锥P －ABCD 的正视图(要求标出尺寸，并写出演算过程)；(2)若M 为P A 的中点，求证：DM ∥平面PBC ；(3)求三棱锥D －PBC 的体积．答案 (1)略 (2)略 (3)8 3解析方法一：(1)在梯形ABCD 中，过点C 作CE ⊥AB ，垂足为E ，由已知得，四边形ADCE 为矩形，AE ＝CD ＝3，在Rt △BEC 中，由BC ＝5，CE ＝4，依勾股定理，得BE ＝3，从而AB ＝6.又由PD ⊥平面ABCD ，得PD ⊥AD .从而在Rt △PDA 中，由AD ＝4，∠P AD ＝60°，得PD ＝4 3.正视图如图所示．(2) 取PB 中点N ，连接MN ，CN .在△P AB 中，∵M 是P A 中点，∴MN ∥AB ，MN ＝12AB ＝3.又CD ∥AB ，CD ＝3，∴MN ∥CD ，MN ＝CD .∴四边形MNCD 为平行四边形．∴DM ∥CN .又DM ⊄平面PBC ，CN ⊂平面PBC ，∴DM ∥平面PBC .(3)V D －PBC ＝V P －DBC ＝13S △DBC ·PD ，又S △DBC ＝6，PD ＝43，所以V D －PBC ＝8 3.方法二：(1)同方法一．(2) 取AB 的中点E ，连接ME ，DE .在梯形ABCD 中，BE ∥CD ，且BE ＝CD ，∴四边形BCDE 为平行四边形．∴DE ∥BC .又DE ⊄平面PBC ，BC ⊂平面PBC ，∴DE∥平面PBC.又在△P AB中，ME∥PB，ME⊄平面PBC，PB⊂平面PBC，∴ME∥平面PBC.又DE∩ME＝E，∴平面DME∥平面PBC.又DM⊂平面DME，∴DM∥平面PBC.(3)同方法一．。

直线与平面平行的判定和性质经典练习及详细答案

平面平行的判定及其性质羄直线、1.2.薂下列命题中，正确命题的是④.；肇①若直线I上有无数个点不在平面：.内，则I // ：•芆②若直线I与平面「平行，则I与平面「内的任意一条直线都平行；莁③如果两条平行直线中的一条直线与一个平面平行，那么另一条直线也与这个平面平行；④若直线I与平面「平行，则I与平面:.内的任意一条直线都没有公共点3.4. 芀下列条件中，不能判断两个平面平行的是____________ （填序号）肇①一个平面内的一条直线平行于另一个平面蚆②一个平面内的两条直线平行于另一个平面膃③一个平面内有无数条直线平行于另一个平面聿④一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面答案①②③5.5. 腿对于平面和共面的直线m n,下列命题中假命题是________________ （填序号）肇①若mL用,m丄n,贝V n / 、丄薁②若mil :- , n // :•，贝V m// n膂③若m二：z , n// :•，贝U m// n芇④若m n与：•所成的角相等，则m// n 答案①②④7.6. 膄已知直线a, b,平面「，则以下三个命题：芃①若a // b, b二：乂，则a //⑶袁②若a // b, a //芒,贝U b //芒;莆③若 a // ：•, b // :-,则 a // b.薅其中真命题的个数是答案09.7. 羅直线a//平面M直线b M那么a// b是b〃M的条件.蚀A.充分而不必要 B.必要而不充分 C.充要 D.不充分也不必要11.12.蒆能保证直线a与平面〉平行的条件是， a// b p bu a， a//b肆A. a 広a, b u a， c//a，a//b，a//c蒃C. b u a£a，C^b， D e b 且AC=BD葿D. b u 口，A^a，B13.14. 薆如果直线a平行于平面?,则 _________a平行 B.平面〉内无数条直线与a平行蒇A.平面?内有且只有一直线与a平行的直线 D.平面〉内的任意直线与直线a都平行膅C.平面〉内不存在与15.15. 蒂如果两直线a// b,且a//平面〉,则b与〉的位置关系__________蚆A.相交B. b〃° c.匕匚口D.b〃°或b u°17.16. 薄下列命题正确的个数是______19.17. 蚃（1）若直线I上有无数个点不在平面a内,则I // al与平面a平行,则l与平面a内的任意一直线平行芁（2）若直线，那么另一条也与这个平面平行蚆（3）两条平行线中的一条直线与一个平面平行a和平面a内一直线b平行，则a // a羅（4 ）若一直线莄A.0个 B.1个 C.2个 D.3个21.22. 罿b是平面a外的一条直线，下列条件中可得出b/ a是肀A. b与a内的一条直线不相交 B. b与a内的两条直线不相交莅C.b与a内的无数条直线不相交 D.b与a内的所有直线不相交23.23. 螂已知两条相交直线a、b, a//平面a ,则b与a的位置关系肂A. b / a B.b与a相交 C.b」a D.b/ a或b与a相交25.24. 膀如图所示，已知S是正三角形ABC所在平面外的一点，且SA=SB=SC, SGSAB上的高，D E、F分别是AC BC SC的中点，试判断SG与平面DEF的位置关系，并给予证明.螆解SG//平面DEF证明如下：薄方法一：三角形中位线连接CG交螁••• DE是厶ABC的中位线，芀••• DE// AB.腿在△ ACG中, D是AC的中点，羂且DH// AG薀• H为CG的中点.艿• FH是厶SCG的中位线，芄• FH// SG蚄又SG亿平面DEF FHU平面DEF,荿••• SG//平面DEF荿方法二：平面平行的性质蚅••• EF为厶SBC的中位线，• EF/ SB膂••• EF伉平面SAB SBu平面SAB莂• EF//平面SAB葿同理可证，DF//平面SAB EF A DF=F ,肆.••平面SAB/平面DEF,又SG二平面SAB • SG//平面DEF27.25. 袄如图所示，在正方体ABC—ABC1D1中，E、F、G H分别是BC CG、賺CD、A1A的中点.求证：蕿（1）BF/ HD;蒇（2）EG//平面BBDD;莁（3）平面BDF/平面BDH袀证明平行四边形的性质，平行线的传递性虿（1 ）如图所示，取BB的中点M易证四边形蚄又••• MC/ BF,「. BF/ HD.肃（2）取BD的中点0,连接E0, D0,贝U OE^蚈又DG& I DC• OE^ DG2蝿.••四边形OEGD是平行四边形，• GE// DO.肄又D 0-平面BB D D, • EG/平面BBD D.蒁（3）由（1）知DH// BF,又BD// BD, BD、HD =平面HBD, BF、BH 平面BDF,且BD A HD=D, DBA BF=B,「.平面BDF// 平面B D H.29.26. 螁如图所示，在三棱柱ABC-A i B C中，M N分别是BC和A i B i的中点. 衿求证：MN//平面AACC.蒅证明方法一：平行四边形的性质膃设AC中点为F,连接NF, FC,蒀••• N为A i B i中点,衿••• NF// BQ,且NF=^B C i,2祎又由棱柱性质知B i C i庄BC蚁又M是BC的中点，艿• NF MC羈.••四边形NFCM^平行四边形.芇• MIN/ CF,又CF 平面AA C i, MN二平面AA C ,• MIN/平面AAC C. 莃方法二：三角形中位线的性质节连接AM交C C于点P,连接A i P, 肇T M是BC的中点，且MC/ B i C i,莄• M是B i P的中点,肅又••• N为A B中点,肁• MN// A P,又 A PU 平面AA C , MW 平面AAC,：MIN/平面AACC.膈方法三：平面平行的性质螅设BiG 中点为Q 连接NQ MQ ,薃•••M Q 是BG BG 的中点，袀•••MQ CG ,又 CGu 平面 AAGC, MQ 伉平面 AAGC, 芈•••MQ/平面 AA C i C.膆•••N 、Q 是A B i 、B i C 的中点,芅• NQ 二 AQ ,又 A i C 二平面 AAC C, NQ 二平面 AAC C, 蕿• NQ//平面 AA C i C.莈又••• MQ P NQB ,「.平面 MNQ 平面 AAC C, 薇又MN 二平面MNQ. MIN/平面AA C C.3 i .32.螂如图所示，正方体 ABC — A B i C D 中，侧面对角线 AB , BC 上分别有两点 E , F ,且B E=C F. 蚁求证： EF //平面 ABCD 蒈方法一：平行四边形的性质螃过E 作ES// BB 交AB 于S,过F 作FT // BB 交BC 于 T ,蒄连接ST ,则-AE 更，且AB i B i B BC i C i C莀T B i E=C F , B A=CB,. AE=BF蒈•••旦,••• ES=FTB i B CC i膄又••• ES// B B// FT ,.四边形 EFTS 为平行四边形Bl ______ G袂•••EF// ST ,又 ST=平面 ABCD EFC ：平面 ABCD ： EF//平面 ABCD腿方法二：相似三角形的性质薈连接BF 交BC 于点Q 连接AQ薅••• BQ // BC, • B 1L =圧BQ C 1B膂• EF // AQ 又 AQ=平面 ABCD EF 二平面 ABCD •- EF//平面 ABCD 蚇方法三：平面平行的性质羆过E 作EG/ AB 交BB 于G,肂连接GF,则B 11史£ ,B 1A B 1B羁 TB i E=C i F , BA=CB ,螇••• C i E =B i G , • FG // B l C i // BC C 1B B i B 莇又 EG A FG P G , AB A BC=B ,螄.••平面 EFG/平面 ABCD 而EF 二平面EFG螀• EF//平面ABCD33.34.袇如图所示，在正方体 ABC — A B i C D 中，O 为底面ABCD 的中心,P 是DD 的中点，设薄T B i E=C i F , BiA=GB,B L E B ,FB 1D B i QQ是CC上的点，问：当点Q在什么位置时，平面DBQ// 平面PAO蒄解面面平行的判定节当Q为CC的中点时，A B葿平面 DBQ//平面PAO羇••• Q 为CG 的中点，P 为DD 的中点，••• QB// PA袅：P 、O 为 DD 、DB 的中点，• DB// PO羄又 PO P PA=P , DB A QB=B , 薂DB //平面PAO QB//平面 PAO 肇.••平面 DBQ//平面PAO芆直线与平面平行的性质定理35.EFGH 为空间四边形ABCD 勺一个截面，若截面为平行四边形芀(1)求证：AB//平面 EFGH CD//平面 EFGH肇(2)若AB=4, CD=6,求四边形EFGH 周长的取值范围蚆(1)证明•••四边形EFGH 为平行四边形，• EF// HG膃•••HX 平面 ABD • EF//平面 ABD 聿•••EF 平面 ABC 平面 ABD A 平面 ABCAB腿• EF// AB. • AB//平面 EFGH 肇同理可证，CD//平面EFGH薁⑵ 解设EF=x (O v x v 4)，由于四边形 EFGH 为平行四边形,膂•••CF=x 则 FG = B F = B C -C F =1- x .从而 F G=6- 1 2 3x . •••四边形 EFGH 的周长 CB 4 6 BC BC 4 21 =2(x+6-5)=12- x.又0v x v 4,则有8v l v 12, •四边形 EFGH 周长的取值范围是(8,212) 37.36.莁如图所示，四边形 AC38.芇如图所示，平面：• //平面［，点A € :. , C €「，点B € 1 , D € ［，点E , F 分别在线段 AB CD 上，且 AE ： EB=CF ： FD薆••• AC// DH, •••四边形 ACDH 是平行四边形, 蒇在AH 上取一点 G,使AG ： GH=CF ： FD,膅又••• AE ： EB=CF ： FD, • GF// HD EG// BH 蒂又EG A GFG, •平面 EFG//平面-蚆•••EF 平面 EFG •- EF / l 综上,EF// I薄（2）解三角形中位线膄（1）求证：EF / -; :. / :,:.门平面 ACDHAC,蚃如图所示，连接 AD,取AD 的中点 M 连接 ME MF.芁••• E , F 分别为AB, CD 的中点，蚆••• ME// BD, MF// AC,羅且 M ^Z BGB , MF=LAC=2,2 2莄•••/ EMF 为AC 与BD 所成的角（或其补角），罿EMF=60。

高考专题练习：直线、平面平行的判定与性质

1．直线与平面平行的判定定理和性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理平面外一条直线与这个平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行(线线平行⇒线面平行)因为l∥a，a⊂α，l⊄α，所以l∥α性质定理一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行(简记为“线面平行⇒线线平行”)因为l∥α，l⊂β，α∩β＝b，所以l∥b2．平面与平面平行的判定定理和性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行(简记为“线面平行⇒面面平行”)因为a∥β，b∥β，a∩b＝P，a⊂α，b⊂α，所以α∥β性质定理如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行因为α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b，所以a∥b常用结论1．三种平行关系的转化线线平行、线面平行、面面平行的相互转化是解决与平行有关的证明题的指导思想．2．平行关系中的三个重要结论(1)垂直于同一条直线的两个平面平行，即若a⊥α，a⊥β，则α∥β.(2)垂直于同一个平面的两条直线平行，即若a⊥α，b⊥α，则a∥b.(3)平行于同一个平面的两个平面平行，即若α∥β，β∥γ，则α∥γ.一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)直线l平行于平面α内的无数条直线，则l∥α.()(2)若直线l在平面α外，则l∥α.()(3)若直线l∥b，直线b⊂α，则l∥α.()(4)若直线l∥b，直线b⊂α，那么直线l平行于平面α内的无数条直线．()答案：(1)×(2)×(3)×(4)√二、易错纠偏常见误区|(1)对空间平行关系的相互转化条件理解不够；(2)忽略线面平行、面面平行的条件．1．如果直线a∥平面α，那么直线a与平面α内的()A．一条直线不相交B．两条直线不相交C．无数条直线不相交D．任意一条直线都不相交解析：选D．因为a∥平面α，直线a与平面α无公共点，因此a和平面α内的任意一条直线都不相交，故选D．2．如图是长方体被一平面所截得的几何体，四边形EFGH为截面，则四边形EFGH的形状为________．解析：因为平面ABFE∥平面DCGH，又平面EFGH∩平面ABFE＝EF，平面EFGH∩平面DCGH＝HG，所以EF∥HG.同理EH∥FG，所以四边形EFGH 是平行四边形．答案：平行四边形与线、面平行相关命题的判定(师生共研)(1)设m，n表示不同直线，α，β表示不同平面，则下列结论中正确的是()A．若m∥α，m∥n，则n∥αB．若m⊂α，n⊂β，m∥β，n∥α，则α∥βC．若α∥β，m∥α，m∥n，则n∥βD．若α∥β，m∥α，n∥m，n⊄β，则n∥β(2)(2020·沈阳市教学质量监测(一))已知a，b为两条不同的直线，α，β，γ为三个不同的平面，则下列说法中正确的是()①若a∥α，α∥β，则a∥β；②若α∥β，β∥γ，则α∥γ；③若a⊥α，b⊥α，则a∥b；④若α⊥γ，β⊥γ，则α⊥β.A．①③B．②③C．①②③D．②③④【解析】(1)A错误，n有可能在平面α内；B错误，平面α可能与平面β相交；C错误，n也有可能在平面β内；D正确，易知m∥β或m⊂β，若m⊂β，又n∥m，n⊄β，所以n∥β，若m∥β，过m作平面γ交平面β于直线l，则m∥l，又n∥m，所以n∥l，又n⊄β，l⊂β，所以n∥β.(2)若a∥α，α∥β，则a可能平行于β，也可能在β内，故①不正确；若α∥β，β∥γ，则由面面平行的性质知α∥γ，故②正确；若a⊥α，b⊥α，则由线面垂直的性质知a∥b，故③正确；若α⊥γ，β⊥γ，则α与β可能平行也可能相交，故④不正确．综上所述，②③正确，故选B．【答案】(1)D(2)B解决线、面平行关系应注意的问题(1)注意判定定理与性质定理中易忽视的条件，如线面平行的条件中线在面外易被忽视．(2)结合题意构造或绘制图形，结合图形作出判断．(3)会举反例或用反证法推断命题是否正确．1．下列命题中正确的是()A．若a，b是两条直线，且a∥b，那么a平行于经过b的任何平面B．若直线a和平面α满足a∥α，那么a与α内的任何直线平行C．平行于同一条直线的两个平面平行D．若直线a，b和平面α满足a∥b，a∥α，b⊄α，则b∥α解析：选D．A错误，a可能在经过b的平面内；B错误，a与α内的直线平行或异面；C错误，两个平面可能相交；D正确，由a∥α，可得a平行于经过直线a的平面与α的交线c，即a∥c，又a∥b，所以b∥c，b⊄α，c⊂α，所以b∥α.2．设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是()A．α内有无数条直线与β平行B．α内有两条相交直线与β平行C．α，β平行于同一条直线D．α，β垂直于同一平面解析：选B．对于A，C，D选项，α均有可能与β相交，故排除A，C，D 选项，选B．线面平行的判定与性质(多维探究)角度一线面平行的证明在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G，H分别是BC，CC1，C1D1，A1A的中点．求证：(1)BF∥HD1；(2)EG∥平面BB1D1D.【证明】(1)如图所示，取BB1的中点M，连接MH，MC1，易证四边形HMC 1D 1是平行四边形，所以HD 1∥MC 1.又因为在平面BCC 1B 1中，BM ∥＝FC 1，所以四边形BMC 1F 为平行四边形，所以MC 1∥BF ，所以BF ∥HD 1. (2)取BD 的中点O ，连接EO ，D 1O ，则OE ∥DC 且OE ＝12DC ，又D 1G ∥DC 且D 1G ＝12DC ，所以OE ∥＝D 1G ，所以四边形OEGD 1是平行四边形，所以GE ∥D 1O . 又D 1O ⊂平面BB 1D 1D ，GE ⊄平面BB 1D 1D ，所以EG ∥平面BB 1D 1D .证明直线与平面平行的常用方法(1)利用线面平行的定义．(2)利用线面平行的判定定理：关键是找到平面内与已知直线平行的直线，可先直观判断题中是否存在这样的直线，若不存在，则需作出直线，常考虑利用三角形的中位线、平行四边形的对边平行或过已知直线作一平面，找其交线进行证明．角度二线面平行性质定理的应用如图，在五面体ABCDFE 中，底面ABCD 为矩形，EF ∥AB ，过BC的平面交棱FD 于点P ，交棱F A 于点Q .证明：PQ ∥平面ABCD .【证明】因为底面ABCD 为矩形，所以AD ∥BC ，⎭⎪⎬⎪⎫AD ∥BCAD ⊂平面ADF BC ⊄平面ADF ⇒BC ∥平面ADF ，⎭⎪⎬⎪⎫BC ∥平面ADFBC ⊂平面BCPQ 平面BCPQ ∩平面ADF ＝PQ ⇒BC ∥PQ ，⎭⎪⎬⎪⎫PQ ∥BCPQ ⊄平面ABCD BC ⊂平面ABCD ⇒PQ ∥平面ABCD .应用线面平行的性质定理的关键是确定交线的位置，有时需要经过已知直线作辅助平面来确定交线．该定理的作用是由线面平行转化为线线平行．1．(一题多解)(2021·河南中原名校联考)如图，已知点P 是平行四边形ABCD 所在平面外的一点，E ，F 分别是P A ，BD 上的点且PE ∶EA ＝BF ∶FD ，求证：EF ∥平面PBC .证明：方法一：如图，连接AF ，并延长交BC 于点G ，连接PG ，因为BC ∥AD ，所以FG F A ＝FBFD ，又因为PE EA ＝BFFD ，所以PE EA ＝GFF A ，所以EF ∥PG .又因为PG ⊂平面PBC ，EF ⊄平面PBC ，所以EF ∥平面PBC .方法二：如图，过点F 作FM ∥AD ，交AB 于点M ，连接EM ，因为FM ∥AD ，AD ∥BC ，所以FM ∥BC ，又因为FM ⊄平面PBC ，BC ⊂平面PBC ，所以FM ∥平面PBC . 由FM ∥AD 得BM MA ＝BFFD ，又因为PE EA ＝BF FD ，所以PE EA ＝BMMA ，所以EM ∥PB . 因为PB ⊂平面PBC ，EM ⊄平面PBC ，所以EM ∥平面PBC ，因为EM ∩FM ＝M ，EM ，FM ⊂平面EFM ，所以平面EFM∥平面PBC，因为EF⊂平面EFM，所以EF∥平面PBC.2.如图，几何体E-ABCD是四棱锥，△ABD为正三角形，CB＝CD，EC⊥BD.(1)求证：BE＝DE；(2)若∠BCD＝120°，M为线段AE的中点，求证：DM∥平面BEC.证明：(1)取BD的中点O，连接CO，EO.由于CB＝CD，所以CO⊥BD.又EC⊥BD，EC∩CO＝C，又因为CO，EC⊂平面EOC，所以BD⊥平面EOC，因此BD⊥EO，又O为BD的中点，所以BE＝DE.(2)取AB的中点N，连接DN，MN，因为M是AE的中点，N是AB的中点，所以MN∥BE.又MN⊄平面BEC，BE⊂平面BEC，所以MN∥平面BEC.因为△ABD为正三角形，所以∠BDN＝30°，又CB＝CD，∠BCD＝120°，因此∠CBD＝30°，所以DN∥BC.又DN⊄平面BEC，BC⊂平面BEC，所以DN∥平面BEC.又MN∩DN＝N，故平面DMN∥平面BEC，又DM⊂平面DMN，所以DM∥平面BEC.面面平行的判定与性质(典例迁移)如图所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证：(1)B，C，H，G四点共面；(2)平面EF A1∥平面BCHG.【证明】(1)因为G，H分别是A1B1，A1C1的中点，所以GH∥B1C1，又B1C1∥BC，所以GH∥BC，所以B，C，H，G四点共面．(2)在△ABC中，E，F分别为AB，AC的中点，所以EF∥BC，因为EF⊄平面BCHG，BC⊂平面BCHG，所以EF∥平面BCHG.又因为G，E分别为A1B1，AB的中点，所以A1G∥＝EB，所以四边形A1EBG是平行四边形，所以A1E∥GB.因为A1E⊄平面BCHG，GB⊂平面BCHG，所以A1E∥平面BCHG.又因为A1E∩EF＝E，所以平面EF A1∥平面BCHG.【迁移探究1】(变条件)在本例条件下，若D为BC1的中点，求证：HD∥平面A1B1BA.证明：如图所示，连接HD，A1B，因为D为BC1的中点，H为A1C1的中点，所以HD∥A1B，又HD⊄平面A1B1BA，A1B⊂平面A1B1BA，所以HD∥平面A1B1BA.【迁移探究2】(变条件)在本例条件下，若D1，D分别为B1C1，BC的中点，求证：平面A1BD1∥平面AC1D.证明：如图所示，连接A1C交AC1于点M，因为四边形A1ACC1是平行四边形，所以M是A1C的中点，连接MD，因为D为BC的中点，所以A1B∥DM.因为A1B⊂平面A1BD1，DM⊄平面A1BD1，所以DM∥平面A1BD1.又由三棱柱的性质知，D1C1∥＝BD，所以四边形BDC1D1为平行四边形，所以DC1∥BD1.又DC1⊄平面A1BD1，BD1⊂平面A1BD1，所以DC1∥平面A1BD1，又因为DC1∩DM＝D，DC1，DM⊂平面AC1D，所以平面A1BD1∥平面AC1D.1.如图，AB∥平面α∥平面β，过点A，B的直线m，n分别交α，β于点C，E和点D，F，若AC＝2，CE＝3，BF＝4，则BD的长为()A．65B．75C．85D．95解析：选C．由AB∥α∥β，易证ACCE＝BDDF.即AC AE ＝BDBF，所以BD＝AC·BFAE＝2×45＝85.2．(一题多解)如图，四边形ABCD是正方形，ED⊥平面ABCD，AF⊥平面ABCD.证明：平面ABF∥平面DCE.证明：方法一：因为DE⊥平面ABCD，AF⊥平面ABCD，所以DE∥AF.因为AF⊄平面DCE，DE⊂平面DCE，所以AF∥平面DCE.因为四边形ABCD是正方形，所以AB∥CD.因为AB⊄平面DCE，CD⊂平面DCE，所以AB∥平面DCE.因为AB∩AF＝A，AB⊂平面ABF，AF⊂平面ABF，所以平面ABF∥平面DCE.方法二：因为DE⊥平面ABCD，AF⊥平面ABCD，所以DE∥AF.因为四边形ABCD为正方形，所以AB∥CD.又AF∩AB＝A，DE∩DC＝D，所以平面ABF∥平面DCE.方法三：因为DE⊥平面ABCD，所以DE⊥AD，在正方形ABCD中，AD⊥DC.又DE∩DC＝D，所以AD⊥平面DEC.同理AD⊥平面ABF.所以平面ABF∥平面DCE.[A级基础练]1．已知α，β表示两个不同的平面，直线m是α内一条直线，则“α∥β”是“m∥β”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A．由α∥β，m⊂α，可得m∥β；反过来，由m∥β，m⊂α，不能推出α∥β.综上，“α∥β”是“m∥β”的充分不必要条件．2．已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是()A．若α，β垂直于同一平面，则α与β平行B．若m，n平行于同一平面，则m与n平行C．若α，β不平行，则在α内不存在与β平行的直线D．若m，n不平行，则m与n不可能垂直于同一平面解析：选D．A项，α，β可能相交，故错误；B项，直线m，n的位置关系不确定，可能相交、平行或异面，故错误；C项，若m⊂α，α∩β＝n，m∥n，则m∥β，故错误；D项，假设m，n垂直于同一平面，则必有m∥n，所以原命题正确，故D项正确．3．(2021·合肥模拟)已知a，b，c为三条不同的直线，α，β，γ为三个不同的平面，则下列说法正确的是()A．若a∥b，b⊂α，则a∥αB．若a⊂α，b⊂β，a∥b，则α∥βC．若α∥β，a∥α，则a∥βD．若α∩β＝a，β∩γ＝b，α∩γ＝c，a∥b，则b∥c解析：选D．若a∥b，b⊂α，则a∥α或a⊂α，故A不正确；若a⊂α，b ⊂β，a∥b，则α∥β或α与β相交，故B不正确；若α∥β，a∥α，则a∥β或a⊂β，故C不正确；如图，由a∥b可得b∥α，又b⊂γ，α∩γ＝c，所以b∥c，故D正确．4．如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是()解析：选A．对于选项B，如图所示，连接CD，因为AB∥CD，M，Q分别是所在棱的中点，所以MQ∥CD，所以AB∥MQ，又AB⊄平面MNQ，MQ⊂平面MNQ，所以AB∥平面MNQ.同理可证选项C，D中均有AB∥平面MNQ.故选A．5.如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，过A1B1的平面与平面ABC交于DE，则DE与AB的位置关系是()A．异面B．平行C．相交D．以上均有可能解析：选B．在三棱柱ABC-A1B1C1中，AB∥A1B1.因为AB⊂平面ABC，A1B1⊄平面ABC，所以A1B1∥平面ABC.因为过A1B1的平面与平面ABC交于DE，所以DE∥A1B1，所以DE∥AB.6.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝2，点E为AD的中点，点F在CD上．若EF∥平面AB1C，则线段EF的长度为________．解析：因为EF∥平面AB1C，EF⊂平面ABCD，平面ABCD∩平面AB1C＝AC，所以EF∥AC，所以点F为DC的中点．故EF＝12AC＝ 2.答案： 27．在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M是棱AA1的中点，过C，M，D1作正方体的截面，则截面的面积是________．解析：由面面平行的性质知截面与平面AB1的交线MN是△AA1B的中位线，所以截面是梯形CD1MN，其面积为12×(2＋22)×（5）2－⎝⎛⎭⎪⎫222＝92.答案：9 28.如图所示，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G，H分别是棱CC1，C1D1，D1D，DC的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M只需满足条件________时，就有MN∥平面B1BDD1.(注：请填上你认为正确的一个条件即可，不必考虑全部可能情况)解析：连接HN，FH，FN，则FH∥DD1，HN∥BD，FH∩HN＝H，DD1∩BD ＝D，所以平面FHN∥平面B1BDD1，只需M∈FH，则MN⊂平面FHN，所以MN∥平面B1BDD1.答案：点M在线段FH上(或点M与点H重合)9．如图，在四棱锥P-ABCD中，∠ABC＝∠ACD＝90°，∠BAC＝∠CAD＝60°，P A⊥平面ABCD，P A＝2，AB＝1.设M，N分别为PD，AD的中点．(1)求证：平面CMN∥平面P AB；(2)求三棱锥P-ABM的体积．解：(1)证明：因为M，N分别为PD，AD的中点，所以MN∥P A，又MN⊄平面P AB，P A⊂平面P AB，所以MN∥平面P AB.在Rt△ACD中，∠CAD＝60°，CN＝AN，所以∠ACN＝60°.又∠BAC＝60°，所以CN∥AB.因为CN⊄平面P AB，AB⊂平面P AB，所以CN∥平面P AB.又CN∩MN＝N，所以平面CMN∥平面P AB.(2)由(1)知，平面CMN∥平面P AB，所以点M到平面P AB的距离等于点C到平面P AB的距离．因为AB＝1，∠ABC＝90°，∠BAC＝60°，所以BC＝3，所以三棱锥P-ABM的体积V＝V MP AB＝V CP AB＝V PABC＝13×12×1×3×2＝33.10.如图所示，已知四边形ABCD是正方形，四边形ACEF是矩形，AB＝2，AF＝1，M是线段EF的中点．(1)求证：AM∥平面BDE；(2)若平面ADM∩平面BDE＝l，平面ABM∩平面BDE＝m，试分析l与m 的位置关系，并证明你的结论．解：(1)证明：如图，记AC与BD的交点为O，连接OE.因为O，M分别是AC，EF的中点，四边形ACEF是矩形，所以四边形AOEM是平行四边形，所以AM∥OE.又因为OE⊂平面BDE，AM⊄平面BDE，所以AM∥平面BDE.(2)l∥m，证明如下：由(1)知AM∥平面BDE，又AM⊂平面ADM，平面ADM∩平面BDE＝l，所以l∥AM，同理，AM∥平面BDE，又AM⊂平面ABM，平面ABM∩平面BDE＝m，所以m ∥AM ，所以l ∥m .[B 级综合练]11．如图，在四面体ABCD 中，若截面PQMN 是正方形，则在下列说法中，错误的为( )A ．AC ⊥BDB ．AC ＝BD C ．AC ∥截面PQMND ．异面直线PM 与BD 所成的角为45° 解析：选B ．因为截面PQMN 是正方形，所以PQ ∥MN ，QM ∥PN ，则PQ ∥平面ACD ，QM ∥平面BDA ，所以PQ ∥AC ，QM ∥BD ，由PQ ⊥QM 可得AC ⊥BD ，故A 正确；由PQ ∥AC 可得AC ∥截面PQMN ，故C 正确；由BD ∥PN ，所以∠MPN 是异面直线PM 与BD 所成的角，且为45°，D 正确；由上面可知：BD ∥PN ，MN ∥AC . 所以PN BD ＝AN AD ，MN AC ＝DN AD ，而AN 与DN 关系不确定，PN ＝MN ，所以BD 与AC 关系不确定．B 错误．故选B ．12．在正四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中，O 为底面ABCD 的中心，P 是DD 1的中点，设Q 是CC 1上的点，则点Q 满足条件________时，有平面D 1BQ ∥平面P AO .解析：如图所示，设Q 为CC 1的中点，因为P 为DD 1的中点，所以QB ∥P A .连接DB ，因为P ，O 分别是DD 1，DB 的中点，所以D 1B ∥PO ，又D 1B ⊄平面P AO ，QB ⊄平面P AO ，PO ⊂平面P AO ，P A ⊂平面P AO ，所以D 1B ∥平面P AO ，QB ∥平面P AO ，又D 1B ∩QB ＝B ，所以平面D 1BQ ∥平面P AO .故Q 为CC 1的中点时，有平面D 1BQ ∥平面P AO .答案：Q 为CC 1的中点13．(2021·烟台模拟)如图，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AD ＝2，AA 1＝1.一平面截该长方体，所得截面为OPQRST ，其中O ，P 分别为AD ，CD 的中点，B 1S ＝12，则AT ＝________．解析：设AT ＝x ，则A 1T ＝1－x ，由面面平行的性质得，PO ∥SR ，TO ∥QR ，TS ∥PQ ，所以△DOP ∽△B 1RS .因为DP ＝OD ＝1，所以B 1S ＝B 1R ＝12，所以A 1S ＝C 1R ＝32.由△ATO ∽△C 1QR ，可得AO AT ＝C 1RC 1Q ，即1x ＝32C 1Q ，故C 1Q ＝3x2.由△A 1TS ∽△CQP ，可得CQ CP ＝A 1TA 1S ，即1－3x 21＝1－x 32，解得x ＝25.答案：2514．(2020·高考全国卷Ⅱ)如图，已知三棱柱ABC －A 1B 1C 1的底面是正三角形，侧面BB 1C 1C 是矩形，M ，N 分别为BC ，B 1C 1的中点，P 为AM 上一点．过B 1C 1和P 的平面交AB 于E ，交AC 于F .(1)证明：AA 1//MN ，且平面A 1AMN ⊥平面EB 1C 1F ；(2)设O 为△A 1B 1C 1的中心．若AO ＝AB ＝6，AO //平面EB 1C 1F ，且∠MPN ＝π3，求四棱锥B -EB 1C 1F 的体积．解：(1)证明：因为M ，N 分别为BC ，B 1C 1的中点，所以MN ∥CC 1.又由已知得AA 1∥CC 1，故AA 1∥MN .因为△A 1B 1C 1是正三角形，所以B 1C 1⊥A 1N .又B 1C 1⊥MN ，故B 1C 1⊥平面A 1AMN .又因为B 1C 1⊂平面EB 1C 1F ，所以平面A 1AMN ⊥平面EB 1C 1F .(2)AO ∥平面EB 1C 1F ，AO ⊂平面A 1AMN ，平面A 1AMN ∩平面EB 1C 1F ＝PN ，故AO ∥PN .又AP ∥ON ，故四边形APNO 是平行四边形，所以PN ＝AO ＝6，AP＝ON ＝13AM ＝3，PM ＝23AM ＝23，EF ＝13BC ＝2.因为BC ∥平面EB 1C 1F ，所以四棱锥B -EB 1C 1F 的顶点B 到底面EB 1C 1F 的距离等于点M 到底面EB 1C 1F 的距离．如图，作MT ⊥PN ，垂足为T ，则由(1)知，MT ⊥平面EB 1C 1F ，故MT ＝PM sin ∠MPN ＝3.底面EB 1C 1F 的面积为12×(B 1C 1＋EF )·PN ＝12×(6＋2)×6＝24.所以四棱锥B -EB 1C 1F 的体积为13×24×3＝24.[C 级提升练]15．如图，四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是直角梯形，AB ∥CD ，AB ⊥AD ，AB ＝2CD ＝2AD ＝4，侧面P AB 是等腰直角三角形，P A ＝PB ，平面P AB ⊥平面ABCD ，点E ，F 分别是棱AB ，PB 上的点，平面CEF ∥平面P AD .(1)确定点E ，F 的位置，并说明理由；(2)求三棱锥F -DCE 的体积．解：(1)因为平面CEF ∥平面P AD ，平面CEF ∩平面ABCD ＝CE ，平面P AD ∩平面ABCD ＝AD ，所以CE ∥AD ，又AB ∥DC ，所以四边形AECD 是平行四边形，所以DC ＝AE ＝12AB ，即点E 是AB 的中点．因为平面CEF ∥平面P AD ，平面CEF ∩平面P AB ＝EF ，平面P AD ∩平面P AB ＝P A ，所以EF ∥P A ，又点E 是AB 的中点，所以点F 是PB 的中点．综上，E ，F 分别是AB ，PB 的中点．(2)连接PE ，由题意及(1)知P A ＝PB ，AE ＝EB ，所以PE ⊥AB ，又平面P AB ⊥平面ABCD ，平面P AB ∩平面ABCD ＝AB ，所以PE ⊥平面ABCD .又AB ∥CD ，AB ⊥AD ，所以V F DEC ＝12V P DEC ＝16S △DEC ×PE ＝16×12×2×2×2＝23.。

04线面平行与面面平行判定与性质(经典题型+答案)

线面平行、面面平行的判定及性质一、直线与平面平行文字语言图形语言符号语言判定定理平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则直线与此平面平行.性质定理如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行.二、平面与平面平行文字语言图形语言符号语言判定定理一个平面内有两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行性质定理如果两个平行平面时与第三个平面相交，那么它们的交线平行A．一个平面内的一条直线平行于另一个平面B．一个平面内的两条直线平行于另一个平面C．一个平面内有无数条直线平行于另一个平面D．一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面解：由面面平行的定义可知选D.例2：若直线a平行于平面α，则下列结论错误的是()A．a平行于α内的所有直线B．α内有无数条直线与a平行C．直线a上的点到平面α的距离相等D．α内存在无数条直线与a垂直解：A错误，a与α内的直线平行或异面．例3：已知不重合的直线a，b和平面α，①若a∥α，b⊂α，则a∥b；②若a∥α，b∥α，则a∥b；③若a∥b，b⊂α，则a∥α；④若a∥b，a∥α，则b∥α或b⊂α，上面命题中正确的是________(填序号)。

解：①中a与b可能异面；②中a与b可能相交、平行或异面；③中a可能在平面α内，④正确。

例4：已知α、β是平面，m 、n 是直线，给出下列命题：①若m ⊥α，m ⊂β，则α⊥β.②若m ⊂α，n ⊂α，m ∥β，n ∥β，则α∥β.③如果m ⊂α，n ⊄α，m 、n 是异面直线，那么n 与α相交．④若α∩β＝m ，n ∥m ，且n ⊄α，n ⊄β，则n ∥α且n ∥β其中正确命题的个数是 ( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4解：对于①，由定理“如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面垂直”得知，①正确；对于②，注意到直线m ，n 可能是两条平行直线，此时平面α，β可能是相交平面，因此②不正确；对于③，满足条件的直线n 可能平行于平面α，因此③不正确；对于④，由定理“如果平面外一条直线平行于平面内一条直线，那么这条直线平行于这个平面”得知，④正确．综上所述，其中正确的命题是①④，选B.例5：已知m ，n 表示两条不同直线，α，β，γ表示不同平面，给出下列三个命题：(1)⎩⎪⎨⎪⎧ m ⊥αn ⊥α⇒m ∥n ；(2)⎩⎪⎨⎪⎧ m ⊥αm ⊥n ⇒n ∥α (3)⎩⎪⎨⎪⎧m ⊥αn ∥α⇒m ⊥n 其中真命题的个数为 ( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 解：若⎩⎪⎨⎪⎧ m ⊥α，n ⊥α，则m ∥n ，即命题(1)正确；若⎩⎪⎨⎪⎧ m ⊥α，m ⊥n ，则n ∥α或n ⊂α，即命题(2)不正确；若⎩⎪⎨⎪⎧m ⊥αn ∥α，则m ⊥n ，即命题(3)正确；综上可得，真命题共有2个．选C例6：已知m 、n 、l 1、l 2表示直线，α、β表示平面．若m ⊂α，n ⊂α，l 1⊂β，l 2⊂β，l 1∩l 2＝M ，则以下条件中，能推出α∥β的是 ( )A ．m ∥β且l 1∥αB ．m ∥β且n ∥βC ．m ∥β且n ∥l 2D ．m ∥l 1且n ∥l 2解：由定理“如果一个平面内有两条相交直线分别与另一个平面平行，那么这两个平面平行”可得，由选项D 可推知α∥β.例7：在下列条件中，可判断平面α与β平行的是（）.A. α、β都平行于直线lB. α内存在不共线的三点到β的距离相等C. l 、m 是α内两条直线，且l ∥β，m ∥βD. l 、m 是两条异面直线，且l ∥α，m ∥α，l ∥β，m ∥β 解：排除法，Ａ中α、β可以是相交平面；Ｂ中三点可面平面两侧；Ｃ中两直线可以不相交．故选Ｄ，也可直接证明．例8：经过平面外的两点作该平面的平行平面可以作（）.A. 0个B. 1个C. 0个或1个D. 1个或2个解：这两点可以是在平面同侧或两侧．选C 。

高一数学直线平面平行的判定及其性质试题答案及解析

高一数学直线平面平行的判定及其性质试题答案及解析1. a∥，则a平行于内的(D)A．一条确定的直线B．任意一条直线C．所有直线D．无数多条平行线【答案】D【解析】略2.m、n是平面外的两条直线，在m∥的前提下，m∥n是n∥的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】，则存在有。

而由可得，从而有。

反之则不一定成立，可能相交，平行或异面。

所以是的充分不必要条件，故选A3.直线a∥平面?，平面?内有n条直线相交于一点，那么这n条直线中与直线a平行的() A．至少有一条B．至多有一条C．有且只有一条D．不可能有【答案】B【解析】，则直线与平面的直线可能平行或异面。

则直线可能平面这n条互相相交的直线中的一条平行，与其余n-1条直线都异面，或与这n条互相相交的直线都异面。

故选B4. a和b是两条异面直线，下列结论正确的是()A．过不在a、b上的任意一点，可作一个平面与a、b都平行B．过不在a、b上的任意一点，可作一条直线与a、b都相交C．过不在a、b上的任意一点，可作一条直线与a、b都平行D．过a可以并且只可以作一个平面与b平行【答案】D【解析】经过空间任意一点不都可作唯一一个平面与两条已知异面直线都平行，有时会出现其中一条直线在所做的平面上，A不正确；在a任取一点M，在b上任取一点N，直线MN上的点才可作一条直线与a、b都相交。

其它的点不行，B不正确；若过不在a，b上的任意一点，有直线l∥a，l∥b，则a∥b，与a，b异面矛盾，C不正确；在a上任取一点M，则过点M且与直线b平行的直线唯一，则该直线与直线a所在平面与直线b 平行。

而两相交直线所确定的平面唯一，该平面唯一。

D正确，故选D5. a∥（判断对错） ( )【答案】错【解析】错误；6.三个平面两两相交不共线，求证三条直线交于一点或两两平行。

【答案】见解析【解析】证：设，，∴、（1）若（2）若∴、、交于一点7.、异面直线，为空间任一点，过作直线与、均相交，这样的直线可以作多少条。

直线、平面平行判定及性质。答案

答案：1.答案：证明：连接BD ，因为AE EB =，AF FD =，所以EF BD ∥（三角形中位线的性质）．因为EF BCD ⊄平面，BD BCD ⊂平面，由直线与平面平行的判定定理得EF BCD 平面∥．2.答案：D3.答案：Ａ．4.答案：Ｃ．5.答案：平行或相交．6.答案：异面或相交．7.答案：证明：（１）因为E ，F ，G 是各边中点，所以有FG BD BD BD EFG ⎫⇒⎬⊄⎭平面∥∥平面EFG ；（２）同样可证AC ∥平面EFG ．8.答案：过a 上任一点P 作直线b '，使b b ∥'．a 与b '两相交直线确定的平面为α．9.答案：连结CD ，AB AB CD AC BD AC BD α⇒⎫⇒=⎬⎭∥∥∥ 10.答案：容易证明：AB A B ''∥，AC A C ''∥，进而可证平面ABC ∥平面A B C '''．11.答案：过平面VAC 内一点P 作直线DE AC ∥，交VA 于D ，交VC 于E ；过平面VBA 内一点D 作直线DF VB ∥，交AB 于F ，则DE ，DF 所确定的截面为所求．理论依据是直线与平面平行的判定定理．12.答案：证明：设P 为b 上任意一点，则a 与P 确定一平面γ．c βγ= ，c a ∥，所以c α∥．又c 与b 有公共点P ，且c 与b 不重合（否则a b ∥，与已知矛盾），即c 与b 相交．由b α∥，可证αβ∥．13.答案：连结AF ，交β于G ，连结BG ，EG ，则由βγ∥得AB AG BC GF=．由αβ∥得AG DE GF EF =，AB DE BC EF=． 14.答案：a α∥或a α⊂． 15.答案：证明：如图所示过b 作平面γ与α相交于c ．因为b α∥，所以b c ∥．又因为a b ，是不共面的直线，所以a c ，一定相交．因为b c b c ββ⊂⊄∥，，，所以c β∥．又a β∥，a c ，相交，且a c αα⊂⊂，，所以αβ∥．16.答案：Ａ．17.答案：相似．18.答案：Ｄ．19.答案：Ｄ．20.答案：20 21. 22.答案：Ｂ．23.答案：相等 24.答案：M ∈线段FH 25.答案：Ｄ． 26.(1)答案：由AD BC //，AD ⊄平面PBC 得AD //平面PBC ，又面PAD 平面 PBC l =，l AD BC ∴////．(2)MN //平面PAD ．简证如下：设Q 为CD 中点，连结MQ ，QN ，则M Q A D//，QN PD //．而M Q Q N Q = ， ∴平面MNQ //平面PAD ．∴MN //平面PAD ．a α∵//，a β⊂．∴a c //．同理有bc //．由公理4知a b //，这与a b P = 相矛盾．∴βα//．27.答案：Ｄ．。

直线与平面平行典型例题

A
.M
B
.N
C
E
D
3. 如图，P是平行四边形ABCD外一点，Q为PA的中点， P
求证：PC∥BDQ
Q D A E
B
C
4. 如下图，在正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，AA1=AB，点E、M分别为A1B、C1C的中点。求证：EM∥平面A1B1C1D1；
A1 A
E D C A B D1 C1 F
的判定定理，往往需要作辅助线（面）.
证明线面平行是高考中常见的问题，常用的方法就是证 3. 明这条线与平面内的某条直线平行.
二. 概念落实
一. 判断对错
1、如果一条直线在平面外，那么直线和平面平行.
2、如果一条直线和平面内的一条直线平行，那么直线和平面平行. 3、如果直线和平面平行，那么直线和平面内的无数条直线平行. 4、如果直线和平面平行，那么直线和平面内的所有直线平行.
B1
7. 如图，三棱柱ABC－ A1B1C1中，M、 N分别是BC和 A1B1的中点，求证:MN∥平面 AA1C1C A
E
B
M
C
A1
N B1
D
C1
大图
8. 如图，已知在三棱柱ABC——A1B1C1 中，D是AC的中点。
求证：AB1//平面DBCA1 1
B1
C1
P
D A C
B
9. 如图, 在直三棱柱ABC－A1B1C1中，点D是AB的中点. 求证：AC1//平面CDB1；
C E F
B
D
2. 已知正四棱锥P—ABCD，M、N分别是PA、BD上的点，
且PM∶MA=BN∶ND.
求证：直线MN∥平面PBC；
P 知道比例式，提示我们用平行线分比例定理 M 辅助线方法：连接AN并延长交BC与点E D

直线平面平行的判定及其性质练习题含答案

1直线、平面平行的判定及其性质练习题第1题. 已知a αβ=，m βγ=，b γα=，且m α//，求证：a b //．．第2题. 已知：b αβ=，a α//，a β//，则a 与b 的位置关系是（）Ａ．a b // Ｂ．a b ⊥Ｃ．a ，b 相交但不垂直Ｄ．a ，b 异面第3题. 如图，已知点P 是平行四边形ABCD 所在平面外的一点，E ，F 分别是PA ，BD 上的点且PE EA BF FD =∶∶，求证：EF //平面PBC ．第4题. 如图，长方体1111ABCD A B C D -中，11E F 是平面11A C 上的线段，求证：11E F //平面AC ．第6题. 如图，正方形ABCD 的边长为13，平面ABCD 外一点P 到正方形各顶点的距离都是13，M ，N 分别是PA ，DB 上的点，且58PM MA BN ND ==∶∶∶．（１）求证：直线MN //平面PBC ；（２）求线段MN 的长．bamα βγP E ACB D F AB CD 1A 1D 1B 1C1F 1E ABCEND MP2第7题. 如图，已知P 为平行四边形ABCD 所在平面外一点，M 为PB 的中点，求证：PD //平面MAC ．第8题. 如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别是棱BC ，11C D 的中点，求证：EF //平面11BB D D ．第9题. 如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，试作出过AC 且与直线1D B 平行的截面，并说明理由．第10题. 设a ，b 是异面直线，a ⊂平面α，则过b 与α平行的平面（）Ａ．不存在Ｂ．有1个Ｃ．可能不存在也可能有1个Ｄ．有2个以上第11题. 如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，求证：平面1A BD //平面11CD B ．CDABMP1A1B1D 1CFEABCD1A 1D 1B1C A BCD 1D1A1C 1BABDC3第12题. 如图，M 、N 、P 分别为空间四边形ABCD 的边AB ，BC ，CD 上的点，且AM MB CN NB CP PD ==∶∶∶．求证：（１）AC //平面MNP ，BD //平面MNP ；（２）平面MNP 与平面ACD 的交线AC //．第13题. 如图，线段AB ，CD 所在直线是异面直线，E ，F ，G ，H 分别是线段AC ，CB ，BD ，DA 的中点．（１）求证：EFGH 共面且AB ∥面EFGH ，CD ∥面EFGH ；（２）设P ，Q 分别是AB 和CD 上任意一点，求证：PQ 被平面EFGH 平分．第14题. 过平面α外的直线l ，作一组平面与α相交，如果所得的交线为a ，b ，c ，…，则这些交线的位置关系为（）Ａ．都平行Ｂ．都相交且一定交于同一点Ｃ．都相交但不一定交于同一点Ｄ．都平行或都交于同一点第15题. a ，b 是两条异面直线，A 是不在a ，b 上的点，则下列结论成立的是（）Ａ．过A 且平行于a 和b 的平面可能不存在Ｂ．过A 有且只有一个平面平行于a 和b Ｃ．过A 至少有一个平面平行于a 和b Ｄ．过A 有无数个平面平行于a 和b第16题. 若空间四边形ABCD 的两条对角线AC ，BD 的长分别是8，12，过AB 的中点E 且平行于BD 、AC 的截面四边形的周长为．第17题. 在空间四边形ABCD 中，E ，F ，G ，H 分别为AB ，BC ，CD ，DA 上的一点，且EFGH 为菱形，若AC //平面EFGH ，BD //平面EFGH ，AC m =，BD n =，则AE BE =：．第18题. 如图，空间四边形ABCD 的对棱AD 、BC 成60的角，且AD BC a ==，平行于AD 与BC 的截面分别交AB 、AC 、CD 、BD 于E 、F 、G 、H ．（１）求证：四边形EGFH 为平行四边形；（２）E 在AB 的何处时截面EGFH 的面积最大？最大面积是多少？A MB N CPED AE H CFBGDMPQNB4第19题. P 为ABC △所在平面外一点，平面α//平面ABC ，α交线段PA ，PB ，PC 于ABC '''，23PA AA =∶∶''，则AB C ABC S S =△△∶''' ．第20题. 如图，在四棱锥P ABCD -中，ABCD 是平行四边形，M ，N 分别是AB ，PC 的中点．求证：MN //平面PAD ．第22题. 已知a αβ=，m βγ=，b γα=，且m α//，求证：a b //．第23题. 三棱锥A BCD -中，AB CD a ==，截面MNPQ 与AB 、CD 都平行，则截面MNPQ 的周长是（）．Ａ．4a Ｂ．2a Ｃ．32aＤ．周长与截面的位置有关第27题. 已知正方体1111ABCD A B C D -，求证：平面11AB D //平面1C BD ．第28题. 已知平面外的两条平行直线中的一条平行于这个平面，求证：另一条也平行于这个平面．如图，已知直线a ，b 平面α，且a b //，a α//，a ，b 都在α外．求证：b α//．APDMNBCbamα βγAB CD1A1B 1C1Dαcbaβ5第29题. 如图，直线AA '，BB '，CC '相交于O ，AO AO ='，BO B O ='，CO C O ='．求证：ABC //平面ABC '''．第30题. 直线a 与平面α平行的充要条件是（）Ａ．直线a 与平面α内的一条直线平行Ｂ．直线a 与平面α内两条直线不相交Ｃ．直线a 与平面α内的任一条直线都不相交Ｄ．直线a 与平面α内的无数条直线平行直线、平面平行的判定及其性质答案第1题.答案：证明：m m m a a b a m b βγααβ=⎫⎫⎪⎪⇒⇒⎬⎬⎪⎪=⇒⎭⎭同理////////．第2题.答案：Ａ．第3题答案：证明：连结AF 并延长交BC 于M ．连结PM ，AD BC ∵//，BF MF FD FA =∴，又由已知PE BF EA FD =，PE MFEA FA=∴．由平面几何知识可得EF //PM ，又EF PBC ⊄，PM ⊂平面PBC ， ∴EF //平面PBC ．第4题. 答案：证明：如图，分别在AB 和CD 上截取11AE A E =，11DF D F =，连接1EE ，1FF ，EF ．∵长方体1AC 的各个面为矩形，11A E ∴平行且等于AE ，11D F 平行且等于DF ，故四边形11AEE A ，11DFF D 为平行四边形．1EE ∴平行且等于1AA ，1FF 平行且等于1DD ．1AA ∵平行且等于1DD ，1EE ∴平行且等于1FF ，四边形11EFF E 为平行四边形，11E F EF //．EF ⊂∵平面ABCD ，11E F ⊄平面ABCD ，∴11E F //平面ABCD ．第6题. 答案：证明：连接AN 并延长交BC 于E ，连接PE ，则由AD BC //，得BN NEND AN=． BN PM ND MA =∵，NE PM AN MA=∴． MN PE ∴//，又PE ⊂平面PBC ，MN ⊄平面PBC ，OABCA 'B 'C 'ABCD 1A1D 1B1C 1F1EEF6∴MN //平面PBC ．（１）解：由13PB BC PC ===，得60PBC ∠=；由58BE BN AD ND ==，知5651388BE =⨯=，由余弦定理可得918PE =，8713MN PE ==∴．第7题.答案：证明：连接AC 、BD 交点为O ，连接MO ，则MO 为BDP △的中位线，∴PD MO //． PD ⊄∵平面MAC ，MO ⊂平面MAC ，∴PD //平面MAC ．第8题. 答案：证明：如图，取11D B 的中点O ，连接OF ，OB ，OF ∵ 平行且等于1112B C ，BE 平行且等于1112B C ，OF ∴ 平行且等于BE ，则OFEB 为平行四边形， EF ∴//BO ．EF ⊄∵平面11BB D D ，BO ⊂平面11BB D D ，∴EF //平面11BB D D ．第9题. 答案：解：如图，连接DB 交AC 于点O ，取1D D 的中点M ，连接MA ，MC ，则截面MAC 即为所求作的截面．MO ∵为1D DB △的中位线，1D B MO ∴//．1D B ⊄∵平面MAC ，MO ⊂平面MAC ，1D B ∴//平面MAC ，则截面MAC 为过AC 且与直线1D B 平行的截面．第10题. 答案：Ｃ．第11题. 答案：证明：111111B B A A B B D D A A D D ⎧⎪⇒⎨⎪⎩ ∥ ∥ ∥ ⇒ 四边形11BB D D 是平行四边形⇒ 111111D B DBDB A BD D B A BD⎧⎪⊂⎨⎪⊄⎩平面平面//⇒111111111D B A BDB C A BD D B B C B⎧⎪⎨⎪=⎩平面同理平面//// ⇒111B CD A BD 平面平面//．第12题.答案：证明：（１）AM CN MN AC MB NBAC MNP AC MNP MN MNP⎫=⇒⎪⎪⊄⇒⎬⎪⊂⎪⎭//平面//平面平面．CN CP PN BD NB PDBD MNP BD MNP PN MNP⎫=⇒⎪⎪⊄⎬⎪⊂⎪⎭//平面//平面平面．（２）MNP ACD PE AC ACD PE AC AC MNP =⎫⎪⊂⇒⎬⎪⎭设平面平面平面//，//平面 CDABMPO7MNP ACD AC 即平面与平面的交线//．第13题. 答案：证明：（１）∵E ，F ，G ，H 分别是AC ，CB ，BD ，DA 的中点．， EH CD ∴//，FG CD //，EH FG ∴//．因此，E ，F ，G ，H 共面． CD EH ∵//，CD ⊄平面EFGH ，EH ⊂平面EFGH ， CD ∴//平面EFGH ．同理AB //平面EFGH ．（２）设PQ平面EFGH ＝N ，连接PC ，设PCEF M =．PCQ △所在平面平面EFGH ＝MN ，CQ ∵//平面EFGH ，CQ ⊂平面PCQ ，CQ MN ∴//．EF ∵ 是ABC △是的中位线，M ∴是PC 的中点，则N 是PQ 的中点，即PQ 被平面EFGH 平分．第14题. 答案：Ｄ．第15题. 答案：Ａ．第16题. 答案：20．第17题.答案：m n ∶．第18题. 答案：（１）证明：BC ∵//平面EFGH ，BC ⊂平面ABC ，平面ABC 平面EFGH EF =，BC EF ∴//．同理BC GH //， EF GH ∴//，同理EH FG //， ∴四边形EGFH 为平行四边形．（２）解：∵AD 与BC 成60角，∴60HGF ∠=或120，设:AE AB x =，∵EF AEx BC AB==， BC a =，∴EF ax =，由1EH BEx AD AB==-，得(1)EH a x =-．∴sin 60EFGH S EF EH =⨯⨯四边形3(1)2ax a x =⨯-⨯223()x x =-+22311()224a x ⎡⎤=--+⎢⎥⎣⎦．当12x =时，238S =最大值，即当E 为AB 23．第19题. 答案：425∶第20题.答案：证明：如图，取CD 的中点E ，连接NE ，ME ∵M ，N 分别是AB ，PC 的中点， NE PD ∴//，ME AD //，可证明NE //平面PAD ，ME //平面PAD ．又NE ME E =，∴平面MNE //平面PAD ，又MN ⊂平面MNE ，∴MN //平面PAD ．第22题.答案：证明：m m m a a b a m b βαααβ=⎫⎫⎪⎪⇒⇒⎬⎬⎪⎪=⇒⎭⎭同理////////．第23题.答案：Ｂ．第27题.答案：证明：因为1111ABCD A B C D -为正方体，所以1111D C A B //，1111D C A B =．又11AB A B //，11AB A B =，bamα βγABCD1A1B1C1D8所以11D C AB //，11D C AB =，所以11D C BA 为平行四边形．所以11D A C B //．由直线与平面平行的判定定理得1D A //平面1C BD ．同理11D B //平面1C BD ，又1111D A D B D =，所以，平面11AB D //平面1C BD ．第28题. 答案：证明：过a 作平面β，使它与平面α相交，交线为c ．因为a α//，a β⊂，c αβ=，所以a c //．因为a b //，所以b c //．又因为c α⊂，b α⊄，所以b α//．第29题.答案：提示：容易证明AB AB //''，AC AC //''．进而可证平面ABC //平面ABC '''．第30题.答案：Ｃ．。

直线与平面平行的判定与性质试题及答案

直线与平面平行的判定与性质一、选择题1．已知直线a ∥平面α，直线b α，则a 与b 的关系为（）A ．相交B ．平行C ．异面D ．平行或异面2．平面α∩平面β＝a ，平面β∩平面γ＝b ，平面γ∩平面a ＝c ，若a ∥b ，则c 与a ，b 的位置关系是（）A ．c 与a ，b 都异面B ．c 与a ，b 都相交C ．c 至少与a ，b 中的一条相交D ．c 与a ，b 都平行3．给出下列四个命题：①如果a ，b 是两条直线，且a ∥b ，那么a 平行于经过b 的任何平面；②如果直线a 和平面α满足a ∥α，那么a 与平面α内的直线不是平行就是异面， ③如果直线a ∥α，b ∥α，则a ∥b④如果平面α∩平面β＝a ，若b ∥α，b ∥β，则a ∥b其中为真命题有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个4．A 、B 是不在直线l 上的两点，则过点A 、B 且与直线l 平行的平面的个数是（）A ．0个B ．1个C ．无数个D ．以上三种情况均有可能二、填空题5．在△ABC 中，AB ＝5，AC ＝7，∠A ＝60°，G 是重心，过G 的平面α与BC 平行，AB ∩α＝M ，AC ∩α＝N ，则MN ___________6．P 是边长为8的正方形ABCD 所在平面外的一点，且P A ＝PB ＝PC ＝PD ＝8，M 、N分别在P A 、BD 上，且53＝＝ND BN MA PM ，则MN ＝_________．7．三个平面两两相交，有三条交线，则这三条交线的位置关系为__________．三、解答题8．如图，两个全等正方形ABCD 与ABEF 所在平面相交于AB ，ME ∈AC ，NE ∈FB ，且AM ＝FN ，求证：MN ∥平面BCE ．9．求证：如果两个相交平面分别经过两条平行线中的一条，那么它们的交线和这两条平行线互相平行．10．已知E ，F ，G ，M 分别是四面体的棱AD ，CD ，BD ，BC 的中点，求证：AM ∥平面EFG ．11．在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是棱BC ，C 1D 1的中点，求证；EF ∥平面BB 1D 1D ．12．空间四边形ABCD 的对棱AD ，BC 成60°的角，且AD ＝BC ＝a ，平行于AD 与BC 的截面分别交AB ，AC ，CD ，BD 于E 、F 、G 、H ．（1）求证：四边形EFGH 为平行四边形；（2）E 在AB 的何处时截面EFGH 的面积最大?最大面积是多少?参考答案一、选择题1．D 2．D 3．B 4．D二、填空题 5．3392；6．19；7．两两平行或相交于一点．三、解答题8．证明：过M 在平面AC 内作直线AB 的平行线交于BC 于G ，过N 在平面AE 内作直线AB 的平行线交BE 于H ，连GH ，只要证明GH ∥MN 即可，事实上，∵MG ∥AB ，NH ∥AB ，∴MG ∥NH ．又∵AB MG ＝AC MC ，FE NH ＝BF BN，且ABCD 和ABEF 是两个全等的正方形，AM ＝FN ，∴AC ＝BF ，MC ＝BN ，从而有AB MG ＝FE NH，∴MG ＝NH ，∴四边形MGHN 为平行四边形．∴MN ∥GH ．又∵GH ⊂平面BCE ，MN ⊄平面BCE ，∴MN ∥平面BCE ．9．证明：∵a ∥b ，b ⊂β，∴a ∥β．又∵a ⊂α，α∩β＝l ，∴a ∥l ．又∵a ∥b ，b ∥l ，∴a ∥b ∥l ．10．证明：连MD 交GF 于N ，连EN ．∵GF 为△BCD 的中位线，∴N 为MD 的中点．∵E 为AD 的中点，∴EN 为△AMD 的中位线，∴EN ∥AM ．∵AM ⊄平面EFG ，EN ⊂平面EFG ，∴AM ∥平面EFG ．11．证明：取D 1B 1的中点O ，连OF ，OB ．∵OF ∥＝21B 1C 1，BE ∥＝21B 1C 1， ∵OF ∥＝BE ，则OFEB 为平行四边形． ∴EF ∥BO ．∵EF ⊄平面BB 1D 1D ，BO ⊂平面BB 1D 1D ，∴EF ∥平面BB 1D 1D ．12．证明：（1）∵BC ∥平面EFGH ，BC ⊂平面ABC ，平面ABC ∩平面EFGH ＝EF ， ∴BC ∥EF ，同理BC ∥HC ，∴EF ∥HG ．同理可证EH ∥FG ，∴四边形EFGH 为平行四边形．解：（2）∵AD 与BC 成角为60°，∴∠HEF ＝60°（或120°），设AB AE＝x ， ∵BC EF ＝AB AE＝x ，BC ＝a ，∴EF ＝ax ，由AD EH ＝BA BE ＝11x－，得EH ＝（1－x ）a ．∴S 四边形EFGH ＝EF ·EH ·sin60°＝ax ·a （1－x ）·23＝223a ·x （1－x ）≤223a ·221）－＋（x x ＝283a ．当且仅当x ＝1－x ，即x ＝21时等号成立，即E 为AB 的中点时，截面EFGH 的面积最大为283a ．。

直线、平面平行的判定及其性质习题(含答案)

20．如图，在四棱锥中， ⊥底面，，，，，点为棱的中点．
(1)（理科生做）证明：；
（文科生做）证明：；
(2)（理科生做）若为棱上一点，满足，求二面角的余弦值．
（文科生做）求点到平面的距离.
21．如图所示的几何体中，四边形是菱形，是矩形，平面平面，点为的中点，点为的中点.
直线、平面平行的判定及其性质习题（含答案）
一、单选题
1．已知直线和不同的平面，下列命题中正确的是
A． B．
C． D．
2．已知直线与关于直线对称，与垂直，则（）
A． B． C．-2D．2
3．已知，是两个不同的平面，，是异面直线且，则下列条件能推出的是（）
A．， B．， C．， D．，
B．经过一条直线和一个点确定一个平面
C．经过三点确定一个平面
D．两两相交且不共点的三条直线确定一个平面
7．四棱锥中，平面，底面是边长为2的正方形，，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（）
A． B． C． D．
8．直三棱柱中，，，则直线与所成角的大小为
A．30°B．60°C．90°D．120°
设．易得，
三角形AOH是正三角形，异面直线所成角为60°．
故选：B．
【点睛】
本题考查异面直线所成角的求法，考查计算能力．
9．B
【解析】
【分析】
由题意可知，当平面α经过BCNM时取得的截面面积最大，此时截面是等腰梯形；根据正四棱台的高及MN中点在底面的投影求得等腰梯形的高，进而求得等腰梯形的面积。
5．C
【解析】
【分析】
在棱长为2的正方体中，的中点是，过点作与截面平行的截面，则该截面是一个对角线分别为正方体体对角线和面对角线的菱形，进而得到答案

(完整版)直线与平面平行的判定和性质经典练习及详细答案

直线、平面平行的判定及其性质1. 下列命题中，正确命题的是 ④ 。

①若直线l 上有无数个点不在平面α内，则l ∥α；②若直线l 与平面α平行，则l 与平面α内的任意一条直线都平行； ③如果两条平行直线中的一条直线与一个平面平行，那么另一条直线也与这个平面平行;④若直线l 与平面α平行,则l 与平面α内的任意一条直线都没有公共点。

2. 下列条件中，不能判断两个平面平行的是（填序号）。

①一个平面内的一条直线平行于另一个平面 ②一个平面内的两条直线平行于另一个平面 ③一个平面内有无数条直线平行于另一个平面④一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面答案 ①②③3. 对于平面α和共面的直线m 、n,下列命题中假命题是 (填序号). ①若m ⊥α，m ⊥n,则n ∥α ②若m ∥α，n ∥α，则m ∥n ③若m ⊂α，n ∥α,则m ∥n④若m 、n 与α所成的角相等，则m ∥n 答案 ①②④ 4. 已知直线a ，b,平面α,则以下三个命题： ①若a ∥b,b ⊂α,则a ∥α； ②若a ∥b ，a ∥α,则b ∥α; ③若a ∥α，b ∥α,则a ∥b 。

其中真命题的个数是 . 答案 05. 直线a //平面M ，直线b ⊂/M ,那么a //b 是b //M 的条件。

A.充分而不必要 B.必要而不充分 C 。

充要 D 。

不充分也不必要6. 能保证直线a 与平面α平行的条件是 A 。

b a b a //，，αα⊂⊄ B 。

b a b //，α⊂ C.c a b a c b //////，，，αα⊂D 。

b D b C a B a A b ∈∈∈∈⊂，，，，α且BD AC =7. 如果直线a 平行于平面α,则A.平面α内有且只有一直线与a 平行B.平面α内无数条直线与a 平行C.平面α内不存在与a 平行的直线D.平面α内的任意直线与直线a 都平行8. 如果两直线a ∥b ,且a ∥平面α，则b 与α的位置关系A 。

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直线、平面平行的判定及其性质1.下列命题中，正确命题的是④ .①若直线l上有无数个点不在平面α内，则l∥α;②若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线都平行；③如果两条平行直线中的一条直线与一个平面平行，那么另一条直线也与这个平面平行；④若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线都没有公共点.2.下列条件中，不能判断两个平面平行的是（填序号）.①一个平面内的一条直线平行于另一个平面②一个平面内的两条直线平行于另一个平面③一个平面内有无数条直线平行于另一个平面④一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面答案①②③3.对于平面α和共面的直线m、n，下列命题中假命题是（填序号）.①若m⊥α，m⊥n，则n∥α②若m∥α，n∥α，则m∥n③若m⊂α，n∥α，则m∥n④若m、n与α所成的角相等，则m∥n 答案①②④4.已知直线a,b,平面α，则以下三个命题：①若a∥b,b⊂α,则a∥α;②若a∥b,a∥α,则b∥α;③若a ∥α,b ∥α,则a ∥b.其中真命题的个数是 . 答案 05. 直线a //平面M ,直线b ⊂/M ,那么a //b 是b //M 的条件. A .充分而不必要 B.必要而不充分 C.充要 D.不充分也不必要6. 能保证直线a 与平面α平行的条件是A.b a b a //，，αα⊂⊄B.b a b //，α⊂C.c a b a c b //////，，，αα⊂D.b D b C a B a A b ∈∈∈∈⊂，，，，α且BD AC =7. 如果直线a 平行于平面α,则A.平面α内有且只有一直线与a 平行B.平面α内无数条直线与a 平行C.平面α内不存在与a 平行的直线D.平面α内的任意直线与直线a 都平行8. 如果两直线a ∥b ,且a ∥平面α,则b 与α的位置关系A.相交B.α//bC.α⊂b D .α//b 或α⊂b9. 下列命题正确的个数是10. （1）若直线l 上有无数个点不在平面α内,则l ∥α（2）若直线l 与平面α平行,则l 与平面α内的任意一直线平行（3）两条平行线中的一条直线与一个平面平行,那么另一条也与这个平面平行（4）若一直线a 和平面α内一直线b 平行,则a ∥αA .0个 B.1个 C.2个 D.3个11.b是平面α外的一条直线，下列条件中可得出b∥α是A.b与α内的一条直线不相交B.b与α内的两条直线不相交C.b与α内的无数条直线不相交D.b与α内的所有直线不相交12.已知两条相交直线a、b，a∥平面α，则b与α的位置关系A.b∥αB.b与α相交C.b⊂αD.b∥α或b与α相交13.如图所示，已知S是正三角形ABC所在平面外的一点，且SA=SB=SC，SG为△SAB上的高，D、E、F分别是AC、BC、SC的中点，试判断SG与平面DEF的位置关系，并给予证明.解SG∥平面DEF，证明如下：方法一：三角形中位线连接CG交DE于点H，如图所示.∵DE是△ABC的中位线，∴DE∥AB.在△ACG中，D是AC的中点，且DH∥AG.∴H为CG的中点.∴FH是△SCG的中位线，∴FH∥SG.又SG⊄平面DEF，FH⊂平面DEF，∴SG∥平面DEF.方法二：平面平行的性质∵EF 为△SBC 的中位线，∴EF ∥SB.∵EF ⊄平面SAB ，SB ⊂平面SAB ，∴EF ∥平面SAB.同理可证，DF ∥平面SAB ，EF ∩DF=F ，∴平面SAB ∥平面DEF ，又SG ⊂平面SAB ，∴SG ∥平面DEF.14. 如图所示，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 、G 、H 分别是BC 、CC 1、 C 1D 1、A 1A 的中点.求证：（1）BF ∥HD 1；（2）EG ∥平面BB 1D 1D ；（3）平面BDF ∥平面B 1D 1H.证明平行四边形的性质，平行线的传递性（1）如图所示，取BB 1的中点M ，易证四边形HMC 1D 1是平行四边形，∴HD 1∥MC 1. 又∵MC 1∥BF ，∴BF ∥HD 1.（2）取BD 的中点O ，连接EO ，D 1O ，则OE21DC ，又D 1G 21DC ，∴OE D 1G ，∴四边形OEGD 1是平行四边形，∴GE ∥D 1O.又D 1O ⊂平面BB 1D 1D ，∴EG ∥平面BB 1D 1D.（3）由（1）知D 1H ∥BF ，又BD ∥B 1D 1，B 1D 1、HD 1⊂平面HB 1D 1，BF 、BD ⊂平面BDF ，且B 1D 1∩HD 1=D 1，DB ∩BF=B ，∴平面BDF ∥平面B 1D 1H.15. 如图所示，在三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，M 、N 分别是BC 和A 1B 1的中点. 求证：MN ∥平面AA 1C 1C.证明方法一：平行四边形的性质设A 1C 1中点为F ，连接NF ，FC ，∵N 为A 1B 1中点，∴NF ∥B 1C 1，且NF=21B 1C 1，又由棱柱性质知B 1C 1BC ，又M 是BC 的中点，∴NF MC ， ∴四边形NFCM 为平行四边形.∴MN ∥CF ，又CF ⊂平面AA 1C 1，MN ⊄平面AA 1C 1，∴MN ∥平面AA 1C 1C.方法二：三角形中位线的性质连接AM 交C 1C 于点P ，连接A 1P ，∵M 是BC 的中点，且MC ∥B 1C 1，∴M 是B 1P 的中点，又∵N 为A 1B 1中点，∴MN ∥A 1P ，又A 1P ⊂平面AA 1C 1，MN ⊄平面AA 1C 1，∴MN ∥平面AA 1C 1C.方法三：平面平行的性质设B 1C 1中点为Q ，连接NQ ，MQ ，∵M 、Q 是BC 、B 1C 1的中点，∴MQ CC 1，又CC 1⊂平面AA 1C 1C ， MQ ⊄平面AA 1C 1C ，∴MQ ∥平面AA 1C 1C .∵N 、Q 是A 1B 1、B 1C 1的中点，∴NQ A 1C 1，又A 1C 1⊂平面AA 1C 1C ，NQ ⊄平面AA 1C 1C ，∴NQ ∥平面AA 1C 1C .又∵MQ ∩NQ=B ，∴平面MNQ ∥平面AA 1C 1C ，又MN ⊂平面MNQ ∴MN ∥平面AA 1C 1C.16. 如图所示，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，侧面对角线AB 1，BC 1上分别有两点E ，F ，且B 1E=C 1F.求证：EF ∥平面ABCD.方法一：平行四边形的性质过E 作ES ∥BB 1交AB 于S ，过F 作FT ∥BB 1交BC 于T ，连接ST ，则11AE ES AB B B =，且11BF FT BC C C= ∵B 1E=C 1F ，B 1A=C 1B ，∴AE=BF∴11ES FT B B CC =，∴ES=FT 又∵ES ∥B 1B ∥FT ，∴四边形EFTS 为平行四边形.∴EF ∥ST ，又ST ⊂平面ABCD ，EF ⊄平面ABCD ，∴EF ∥平面ABCD.方法二：相似三角形的性质连接B 1F 交BC 于点Q ，连接AQ ，∵B 1C 1∥BC ，∴1111B F C F B Q C B= ∵B 1E=C 1F ，B 1A=C 1B ，∴1111B E B F B D B Q= ∴EF ∥AQ ，又AQ ⊂平面ABCD ，EF ⊄平面ABCD ，∴EF ∥平面ABCD.方法三：平面平行的性质过E 作EG ∥AB 交BB 1于G ，连接GF ，则BB G B A B E B 1111=， ∵B 1E=C 1F ，B 1A=C 1B ，∴BB G B BC E C 1111=，∴FG ∥B 1C 1∥BC ，又EG ∩FG=G ，AB ∩BC=B ，∴平面EFG ∥平面ABCD ，而EF ⊂平面EFG ，∴EF ∥平面ABCD.17. 如图所示，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，O 为底面ABCD的中心，P 是DD 1的中点，设Q 是CC 1上的点，问：当点Q 在什么位置时，平面D 1BQ ∥平面PAO ？解面面平行的判定当Q 为CC 1的中点时，平面D 1BQ ∥平面PAO.∵Q 为CC 1的中点，P 为DD 1的中点，∴QB ∥PA.∵P 、O 为DD 1、DB 的中点，∴D 1B ∥PO.又PO ∩PA=P ，D 1B ∩QB=B ，D 1B ∥平面PAO ，QB ∥平面PAO ，∴平面D 1BQ ∥平面PAO.直线与平面平行的性质定理18. 如图所示，四边形EFGH 为空间四边形ABCD 的一个截面，若截面为平行四边形.（1）求证：AB ∥平面EFGH ，CD ∥平面EFGH.（2）若AB=4，CD=6，求四边形EFGH 周长的取值范围.（1）证明 ∵四边形EFGH 为平行四边形，∴EF ∥HG.∵HG ⊂平面ABD ，∴EF ∥平面ABD.∵EF ⊂平面ABC ，平面ABD ∩平面ABC=AB ，∴EF ∥AB.∴AB ∥平面EFGH.同理可证，CD ∥平面EFGH.(2)解设EF=x （0＜x ＜4），由于四边形EFGH 为平行四边形，∴4x CB CF =.则6FG =BC BF =BC CF BC -=1-4x .从而FG=6-x 23.∴四边形EFGH 的周长3)=12-x.又0＜x＜4,则有8＜l＜12,∴四边形EFGH周长的取值范围是（8，l=2(x+6-x212）.19.如图所示，平面α∥平面β，点A∈α，C∈α，点B∈β，D∈β,点E，F分别在线段AB，CD上，且AE∶EB=CF∶FD.（1）求证：EF∥β;（2）若E，F分别是AB，CD的中点，AC=4，BD=6，且AC，BD所成的角为60°，求EF的长.（1）证明两个平行平面同时与第三个平面相交，则交线平行；平行线分线段成比例方法①当AB，CD在同一平面内时，由α∥β，平面α∩平面ABDC=AC，平面β∩平面ABDC=BD，∴AC∥BD，∵AE∶EB=CF∶FD，∴EF∥BD，又EF⊄β,BD⊂β,∴EF∥β.方法②当AB与CD异面时，设平面ACD∩β=DH，且DH=AC.∵α∥β，α∩平面ACDH=AC，∴AC∥DH，∴四边形ACDH是平行四边形，在AH上取一点G，使AG∶GH=CF∶FD，又∵AE ∶EB=CF ∶FD ，∴GF ∥HD ，EG ∥BH ，又EG ∩GF=G ，∴平面EFG ∥平面β.∵EF ⊂平面EFG ，∴EF ∥β.综上，EF ∥β.（2）解三角形中位线如图所示，连接AD ，取AD 的中点M ，连接ME ，MF.∵E ，F 分别为AB ，CD 的中点，∴ME ∥BD ，MF ∥AC ，且ME=21BD=3，MF=21AC=2，∴∠EMF 为AC 与BD 所成的角（或其补角），∴∠EMF=60°或120°，∴在△EFM 中由余弦定理得，EF=EMF MF ME MF ME ∠••-+cos 222=212322322⨯⨯⨯±+=613±，即EF=7或EF=19.20. 正方形ABCD 与正方形ABEF 所在平面相交于AB ，在AE 、BD 上各有一点P 、Q ，且AP=DQ.求证：PQ ∥平面BCE.证明方法一：平行四边形的性质如图所示，作PM ∥AB 交BE 于M ，作QN ∥AB 交BC 于N ，连接MN.∵正方形ABCD 和正方形ABEF 有公共边AB ，∴AE=BD.又∵AP=DQ ，∴PE=QB ，又∵PM ∥AB ∥QN ，∴AE PE AB PM=，BD BQ DC QN =，DC QNAB PM =，∴PM QN ，∴四边形PMNQ 为平行四边形，∴PQ ∥MN.又MN ⊂平面BCE ，PQ ⊄平面BCE ，∴PQ ∥平面BCE.方法二：相似三角形的性质如图所示，连接AQ ，并延长交BC 于K ，连接EK ，∵AE=BD ，AP=DQ ，∴PE=BQ ，∴PE AP=BQ DQ ①又∵AD ∥BK ，∴BQ DQ=QK AQ ②由①②得PE AP=QK AQ ，∴PQ ∥EK.又PQ ⊄平面BCE ，EK ⊂平面BCE ，∴PQ ∥平面BCE.方法三：平面平行的性质如图所示，在平面ABEF 内，过点P 作PM ∥BE ，交AB 于点M ，连接QM.∵PM ∥BE ，PM ⊄平面BCE ，即PM ∥平面BCE ， ∴PE AP =MBAM ① 又∵AP=DQ ，∴PE=BQ ，∴PE AP =BQ DQ②由①②得MB AM=BQ DQ ，∴MQ ∥AD ，∴MQ ∥BC ，又∵MQ ⊄平面BCE ，∴MQ ∥平面BCE.又∵PM ∩MQ=M ，∴平面PMQ ∥平面BCE ，PQ ⊂平面PMQ ，∴PQ ∥平面BCE.21. 如图所示，正四棱锥P —ABCD 的各棱长均为13，M ，N 分别为PA ，BD 上的点，且PM ∶MA=BN ∶ND=5∶8.（1）求证：直线MN ∥平面PBC ；（2）求线段MN 的长.（1）证明：方法一：相似三角形的性质连接AN 并延长交BC 于Q ，连接PQ ，如图所示.∵AD ∥BQ ，∴△AND ∽△QNB ，∴NQ AN=NB DN =BQ AD =58，又∵MA PM=ND BN =85，∴MP AM =NQ AN =58，∴MN ∥PQ ，又∵PQ ⊂平面PBC ，MN ⊄平面PBC ，∴MN ∥平面PBC.方法二：平行四边形的性质如图所示，作MQ ∥AB 交PB 于Q ，作NR ∥AB 交BC 于R ，连接QR.∵MQ ∥AB ∥NR ，∴PM MQ PA AB =，NR BN DC BD=，又∵PM BN MA ND=，∴MQ NR ， ∴四边形MNRQ 为平行四边形，∴MN ∥QR.又QR ⊂平面PBC ，MN ⊄平面PBC ，∴MN ∥平面PBC.方法三：平面平行的性质如图所示，在平面ABP 内，过点M 作MN ∥PB ，交AB 于点O ，连接ON.∵MO ∥PB ，MO ⊄平面PBC ，PB ⊂平面PBC即MO ∥平面PBC ，∴AM AP =AO AB又∵MAPM =ND BN =85，∴AO AB =DN DB ,∴NO ∥AD ，∴NO ∥BC ，又∵NO ⊄平面PBC ，BC ⊂平面PBC ∴NO ∥平面PBC. 又∵MO ∩NO=O ，∴平面MNO ∥平面PBC ， MN ⊂平面MNO ，∴MN ∥平面PBC.（2）解在等边△PBC 中，∠PBC=60°，在△PBQ 中由余弦定理知 PQ 2=PB 2+BQ 2-2PB ·BQcos ∠PBQ=132+2865⎪⎭⎫ ⎝⎛-2×13×865×21=642818，∴PQ=891， ∵MN ∥PQ ，MN ∶PQ=8∶13，∴MN=891×138=7.。