齿轮啮合原理考题

1.解释齿轮的瞬心线？

如图示，假设O 1和O 2是平面啮合时用来传递运动的两平行轴，从1O 轴向2O 轴传递回转运动，在垂直于轴线1

O 和2O 的平面内，构件1和2的相对运动可以归结为两条共轭曲线的相互滚动，这两条相互滚动的共轭曲线就是瞬心线。

2．解释Willis 定理？

Willis 定理也称为啮合基本定理，起表述如下：按给定角速比变化规律传递平行轴之间的回转运动的两个齿廓，其接触点处的公法线应当通过瞬时啮合节点。Willis 定理确定了按给定传动比规律传递运动的一对齿廓共轭的几何条件。不论对定传动比的平面啮合，还是对变传动比的平面啮合都是正确的。 2.解释齿轮的瞬时回转轴？

答：两齿轮在空间任意点M 处的相对运动速度v

12

为v v r w r w v 2

10221112-+⨯-⨯=可以证明，空间上任意一点处的

v

12

是和这个点绕某个定轴作一定的螺旋运动时形成的线速度相同的。该定轴称为瞬时回转轴，简称瞬时轴。在平

行轴或相交轴的齿轮副中，即为两齿轮作相对的瞬时回转运动的轴线，在交错轴齿轮副中，即为两齿轮作相对的瞬

时螺旋运动的轴线。 3.解释齿轮的瞬轴面？

答：让瞬时回转轴k 绕两个齿轮的轴线回转，可以得到两个双曲回转面P1及P2，它们称为两齿轮的瞬轴面。则P1和P2在k 轴处是相切的，当它们在切线处的相对运动速度

v

12

=0，两瞬轴面作纯滚动。反之，它们会产生相对的

的滑动。

4． 解释平面曲线的曲率

曲线上有两个相邻的点M 和N ，它们之间的弧长为s ∆，两点处的切线之间的夹角为α∆。当两点趋于重合时，比值

s

α

∆∆的极限称为曲线在点M 处的曲率（标记为K ），即0lim s K s α∆→∆=∆。曲线的曲率就是针对曲线上某个点的切线方

向角对弧长的转动率，通过微分来定义，表明曲线偏离直线的程度。数学上表明曲线在某一点的弯曲程度的数值。

曲率越大，表示曲线的弯曲程度越大。曲率的倒数就是曲率半径 4.解释共轭齿形？

答：齿轮传动过程中，两瞬心线作相对的纯滚动，两齿形则应时时保持相切接触（有相对滑动），它们常称为互相共轭的齿形或者共轭齿形,并且共轭齿形的公法线一定通过该瞬时的瞬心点P 。 5.解释啮合面？

答：配对曲面∑1和∑2在每一瞬时彼此沿一条线相接触，该线称作瞬时接触线。齿轮齿面上瞬时接触线的位置决定于运动参数φ，啮合面是表示在与机架刚性固接的固定坐标系f S 中的瞬时接触

线族。啮合面用下列方程表示：

()

(),,,,0f

f

u f u r r θφθφ==。式中：

11f

f M r

r =，这里4×4矩阵

1

f M 描述从1S 到f S 的坐标变换。

5. 写出Eulor-Savary 的方程式？

212111sin 11r r a x x +=⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛±+ρρ

在两瞬心线内切的情况下，方程式中凹形瞬心线的曲率半径应取负值。类似

的，在凸齿和凹齿共轭的情况下，凹齿齿廓的半径也应取负值。

这个公式表明了平面啮合中共轭齿廓在接触点处的曲率半径1ρ、2ρ与两齿轮节圆半径1r 、2r 以及接触点位置（由a '、x 确定）之间的关系。在已知1r 、2r 、a '和x 的情况下，可通过一个齿廓的曲率半径1ρ求得另一个齿廓的曲率半径

2ρ。

6.解释齿廓渐屈线？

答：曲线的渐近线是该曲线的曲率中心的轨迹，也是该齿廓曲线密切圆圆心的轨迹，齿廓曲线每一点的法线都和其渐屈线相切，因此齿廓渐屈线也是齿廓法线族的包络。如图示，图中原曲线为渐开线，1M 、2M 、3M 为渐开线上的点，1N 、2N 、3N 分别为1M 、2M 、3M 对应的曲率中心，则由无数个曲率中心组成的曲线就是渐曲线。 7.写出Euler 的方程式？

答：Euler 方程建立了曲面的法曲率和主曲率之间的关系，Euler 方程表达式为：22I II cos sin n

K K q K q =+

式中q 是由矢量MN 和单位矢量I e 构成的夹角。矢量MN 表示在曲面的切面上选取的方向，而n K 是曲面在这个方向上的法曲率。单位矢量I e 和II e 沿着两个主方向，而I K 和II K 是主曲率。 三、推导方程（每题10分, 共计20分） 1. 坐标系和 刚性固接到齿轮1和齿轮2，两齿轮传递平行轴之间的回转运动（图1）。齿轮的两回转角

和

用方程:

联系着，式中和

是两瞬线的半径。E 是两转动轴线之间的最短距离。固定

坐标系 刚性固接到齿轮箱体上。 是辅助坐标系，它也刚性固接到齿轮箱体上。推导：

1) 从S 2到S 1的坐标变换方程。

2) 从S 1到S 2的坐标变换方程。

解: 1) 从2S 到1S 的坐标变换基于矩阵方程

112122f fp p r M M M M r == （1）

式中1f M 和2p M 是转动矩阵，而fp M 是移动矩阵。这里

22221x y r z ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦

222

2

2cos sin 00sin cos 00001000

01p M φφφφ⎡⎤

⎢⎥-⎢

⎥=⎢⎥

⎢⎥⎣⎦

11

111x y r z ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥

⎣⎦

11111cos sin 00sin cos 0000

100001f M φφφφ

⎡⎤⎢⎥-⎢

⎥=⎢⎥

⎢⎥⎣⎦

（2