三角形全等之类比探究(讲义及答案)

三角形全等之类比探究（讲义）

➢知识点睛

1.类比探究是一类共性条件与特殊条件相结合，由特殊情形到一般情形（或由

简单情形到复杂情形）逐步深入，解决思想方法一脉相承的综合性题目，常以几何综合题为主．

2.解决类比探究问题的一般方法：

（1）根据题干条件，结合_______________先解决第一问；

（2）用解决_______的方法类比解决下一问，整体框架照搬．

整体框架照搬包括_________________，________________，

_________________．

3.常见几何特征及做法：

见中点，___________________________．

➢精讲精练

1.在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，AD⊥

MN于D，BE⊥MN于E．

（1）当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，

求证：①△ADC≌△CEB；②DE=AD+BE．

（2）当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，求证：DE=AD BE．

（3）当直线MN绕点C旋转到图3的位置时，请直接写出DE，AD，BE之间的数量关系．

2.如图1，四边形ABCD是正方形，AB=BC，∠B=∠BCD=90°，

点E是边BC的中点，∠AEF=90°，EF交正方形外角∠DCG的

图1

B

N

E

C

D

M

A

图2

A

C

D

E

M

N

B

图3

A B

C

D

E

M

N

平分线CF于点F．

（1）求证：AE=EF（提示：在AB上截取BH=BE，连接HE，构造全等三角形，经过推理使问题得到解决）．

（2）如图2，如果把“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC 上（除B，C外）的任意一点”，其他条件不变，那么结论

“AE=EF”仍然成立吗？说明理由．

（3）如图3，点E是BC的延长线上（除C点外）的任意一点，其他条件不变，结论“AE=EF”是否成立？说明理由．

3.以△ABC的边AB，AC为直角边向外作等腰直角三角形ABE

和等腰直角三角形ACD，∠BAE=∠CAD=90°，AB=AE，

AC=AD，M是BC中点，连接AM，DE．

（1）如图1，在△ABC中，当∠BAC=90°时，求AM与DE的数

G

A

B C

D

F

E

图1

图1

M

A

D B C

E

E

F

D

C

B

A

G

图2

E

F

D

B

A

图3

量关系和位置关系．

（2）如图2，当△ABC 为一般三角形时，（1）中的结论是否成立，并说明理由．

（3）如图3，若以△ABC 的边AB ，AC 为直角边向内作等腰直角三角形ABE 和等腰直角三角形ACD ，其他条件不变，（1）中的结论是否成立，并说明理由．

4. （1）如图1，已知∠MAN =120°，AC 平分∠MAN ，∠ABC =

∠ADC =90°，则能得到如下两个结论： ①DC =BC ；②AD +AB =AC ．请你证明结论②．

（2）如图2，把（1）中的条件“∠ABC =∠ADC =90°”改为“∠ABC +∠ADC =180°”，其他条件不变，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．

E

D

A

M 图2

B M

C

E

A D

图3

（3）如图3，如果D 在AM 的反向延长线上，把（1）中的条件“∠ABC =∠ADC =90°”改为“∠ABC =∠ADC ”，其他条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请直接回答；若不成立，请直接写出你的结论．

【参考答案】

➢ 知识点睛：

解决类比探究问题的一般方法：

（1）根据题干条件，结合分支条件先解决第一问；

（2）用解决第（1）问的方法类比解决下一问，整体框架照搬． 整体框架照搬包括照搬字母，照搬辅助线， 照搬思路 ． 常见几何特征及做法： 见中点， 考虑倍长中线 ． ➢ 精讲精练

A B C D

M N

图3

图1N M D C B A A B C D

M N 图2

1. 证明：（1）如图，

32

1

A

M D

C E N

B

∵∠ACB =90° ∴∠1+∠2=90°

∵AD ⊥MN ，BE ⊥MN ∴∠ADC =∠CEB =90° ∴∠3+∠2=90° ∴∠1=∠3

在△ADC 和△CEB 中

13

ADC CEB AC CB ∠=∠⎧⎪

∠=∠⎨⎪=⎩

∴△ADC ≌△CEB (AAS) ∴AD =CE ，DC =EB ∴DE =CE +DC

=AD +BE （2）如图，

2

1B

N

M E

D

C A

∵∠ACB =90°

∴∠1+∠2=90° ∵AD ⊥MN ，BE ⊥MN ∴∠ADC =∠CEB =90° ∴∠CBE +∠2=90° ∴∠1=∠CBE 在△ADC 和△CEB 中

1ADC CEB CBE

AC CB ∠=∠⎧⎪

∠=∠⎨⎪=⎩