如何由递推公式求通项公式

如何由递推公式求通项

公式

Document number：NOCG-YUNOO-BUYTT-UU986-1986UT

浅谈由递推公式求数列通项公式

数列部分知识是高考必考部分，有许多学生感觉自己等差，等比数列还学的可以但许多时候数列部分题不会求数列通项公式式。而已知数列递推关系求通项公式是高考的热点之一，是一类考查思维能力的题型，要求考生进行严格的逻辑推理。想找到数列的通项公式，重点是递推的思想：从一般到特殊从特殊到一般；化归转换思想，通过适当的变形，转化成等差数列或等比数列，将复杂的转为简单，达到化陌生为熟悉的。那么下面我就已知递推关系求数列通项的基本类型作一简单归纳。

类型一：1()n n a a f n +-= 或 1()n n

a g n a += 分析：我们可用“累加”或“累积”的方法即 112211()()+()n n n n n a a a a a a a a ---=-+-+-+…… 或121121n n n n n a a a a a a a a ---=

…… 例1.(1) 已知数列{}n a 满足11211,2n n a a a n n +==+

+，求数列{}n a 的通项公式。

（2）已知数列{}n a 满足1(1)1,2n n n a a s +==

，求数列{}n a 的通项公式。 解：（1）由题知：121111(1)1n n a a n n n n n n +-=

==-+++ （2）2(1)n n s n a =+ 112(2)n n s na n --∴=≥

两式相减得：12(1)(2)n n n a n a na n -=+-≥ 即：1(2)1

n n a n n a n -=≥- 类型二：1(,(1)0)n n a pa q p q pq p +=+-≠其中为常数，

分析：把原递推公式转为：1(),1n n q a t p a t p

+-=--其中t=

，再利用换元法转化为等比数列求解。 例2.已知数列{}n a 中，11,123n n a a a =+=+，求{}n a 的通项公式。

解：由123n n a a +=+ 可转化为：132(3)n n a a ++=+

令3,n n b a =+11n+1n 则b =a +3=4且b =2b {}n b ∴1是以b =4为首项，公比为q=2的等比数列 11422n n bn -+∴=⋅= 即 123n n a +=- 类型三：1()()()

n n n f n a a g n a h n +=+ 分析：这种类型一般是等式两边取倒数后再换元可转化为类型二。

例3已知数列{}n a 满足：1111,31

n n n a a a a --==

+，求{}n a 的通项公式。 解：原式两边取倒数得：111

13113n n n n a a a a ---+==+ 1(1)332bn n n ∴=+-⋅=- 即132n a n =- 类型四：1(0,0)r

n n n a pa p a +=>> 分析：这种类型一般是等式两边取对数后得：1lg lg lg n n a r a p +=+，再进行求解。

例4.设数列{}n a 中，2111

1,(0)n n a a a a a

+==⋅>，求{}n a 的通项公式。 解：由211

n n a a a +=⋅，两边取对数得: 11lg 2lg lg n n a a a

+=+ 设1lg 2(lg )n n a t a t ++=+展开后与上式对比得：1lg t a

= 112(lg lg )n a a a a ∴=+n+1原式可转化为lg +lg

令1(lg lg )n n b a a =+，则1,1n n b b a

+=且b1=lg 112lg n bn a -∴=⋅，即111lg lg 2lg n n a a a -+=⋅ 也即112n n a a --= 类型五：1()(n n a pa f n +=+其中p 为常数)

分析：在此只研究两种较为简单的情况，即(n)f 是多项式或指数幂的形式。

（1）(n)f 是多项式时转为1(1)()n n a A n B p a An B ++++=++，再利用换元法转为等比数列

（2）(n)f 是指数幂：11(0)n n n a pa rq pqr ++=+≠

若p q =时则转化为11n n n n

a a r q q ++=+，再利用换元法转化为等差数列 若p q ≠时则转化为11(),n n n n qr a tq p a tq t p q +++=+=

-其中 例5.（1）设数列{}n a 中，111,321n n a a a n +==++，求{}n a 的通项公式

（2）设数列{}n a 中，111,32n n n a a a +==+，求{}n a 的通项公式。 解：（1）设1(1)3()n n a A n B a An B ++++=++

用待定系数法得：221211

A A

B A B ==⎧⎧⇒⎨⎨-==⎩⎩ 即1(1)13(1)n n a n a n ++++=++

令1,n n b a n =++n+1n 11则b =3b 且b =a +1+1=3

(2)设 1123(2)n n n n a t a t +++=+

即 13t2n n n a a +=+

用待定系数法得1t = 1123(2)n n n n a a ++∴+=+

令11,12,323n n n n n b a b b a +=+=+=1则且b =

以上是我们常见的由递推关系求数列通项公式，