高中数学“函数的连续性”教案

课 题：函数的连续性

教学目的：

1.理解掌握函数在一点连续须满足的三个条件的基础上，会判断函数在一点是否连续.

2.要会说明函数在一点不连续的理由.

3.要了解并掌握函数在开区间或闭区间连续的定义.

4.要了解闭区间上连续函数的性质，即最大值最小值定理

教学重点：函数在一点连续必须满足三个条件．

教学难点： 借助几何图象得出最大值最小值定理．

授课类型：新授课

课时安排：1课时

教 具：多媒体、实物投影仪

内容分析： 点连续概念，函数在开区间和闭区间连续的定义，函数在闭区间上有最大、最小值的定义，最大最小值定理 函数的连续性是建立在极限概念基础上的，又为以后微积分的学习做铺垫，它是承上启下的.函数在一点连续必须满足三个条件，这是要学生重点掌握的内容.函数在区间连续的定义也是建立在一点连续的基础上的.借助函数的几何图象得到闭区间上连续函数的一个性质，即最大值最小值定理. 函数在一点连续必须满足三个条件，缺一不可.如何得出这三个条件，可以借助函数图象，让学生观察、总结出来.同样借助几何图象得出最大值最小值定理.

在学生已掌握极限概念的基础上，并通过分析函数图象，让学生主动地总结出函数在一点连续的三个条件及概念.以及通过区间是由点组成的，进行概念的顺应，得出函数在区间上连续的概念.让学生主动地学习.

教学过程：

一、复习引入：

1.000

lim ()lim ()lim ()x x x x x x f x a f x f x a -+→→→=⇔== 其中0lim ()x x f x a -→=表示当x 从左侧趋近于0x 时的左极限，0

lim ()x x f x a +→=表示当x 从右侧趋近于0x 时的右极限

2. 我们前面学习了数列极限和函数极限、数列可以看成是一种特殊的函数，不同的是函数的定义域往往是连续的.而数列的定义域是自然数集，是一个一个离散的点.而在我们日常生活中，也会碰到这种情况.比如温度计的水银柱高度会随着温度的改变而连续地上升或下降，这是一种连续变化的情况；再比如邮寄信件的邮费，随邮件质量的增加而作阶梯式的增加(打个比方：20克以内是

8毛钱邮票，21克~30克是1元，31克~40克是1.2元)等等.这就要求我们去研究函数的连续与不连续问题

二、讲解新课：

1.观察图像 如果我们给出一个函数的图象，从直观上看，一个函数在一点x =x 0处连续，就是说图象在点x =x 0处是不中断的.下面我们一起来看一下几张函数图象，并观察一下，它们在x =x 0处的连续情况，以及极限情况.

分析图，第一，看函数在x 0是否连续.第二，在x 0是否有极限，若有与f (x 0)的值关系如何：

图(1)，函数在x 0连续，在x 0处有极限，并且极限就等于f (x 0).

图(2)，函数在x 0不连续，在x 0处有极限，但极限不等于f (x 0)，因为函数在x 0处没有定义.

图(3)，函数在x 0不连续，在x 0处没有极限.

图(4)，函数在x 0处不连续，在x 0处有极限，但极限不等于f (x 0)的值.

函数在点x =x 0处要有定义，是根据图(2)得到的，根据图(3)，函数在x =x 0处要有极限，根据图(4)，函数在x =x 0处的极限要等于函数在x =x 0处的函数值即f (x 0). 函数在一点连续必须满足刚才的三个条件.

.函数f (x )在点x =x 0处连续必须满足下面三个条件.

(1)函数f (x )在点x =x 0处有定义；

(2)0

lim x x →f (x )存在； (3)0

lim x x →f (x )=f (x 0)，即函数f (x )在点x 0处的极限值等于这一点的函数值. 如果上述三个条件中有一个条件不满足，就说函数f (x )在点x 0处不连续.那根据这三个条件，我们就可以给出函数在一点连续的定义．

2. 函数在一点连续的定义: 如果函数f (x )在点x =x 0处有定义，0

lim x x →f (x )存在，且0

lim x x →f (x )=f (x 0)，那么函数f (x )在点x =x 0处连续. 由第三个条件，0lim x x →f (x )=f (x 0)就可以知道0

lim x x →f (x )是存在的，所以我们下定义时可以再简洁一点. 函数f (x )在点x 0处连续的定义.

如果函数y =f (x )在点x =x 0处及其附近有定义，并且0

lim x x →f (x )=f (x 0)，就说函数f (x )在点x 0处连续.

那怎么根据在一点连续的定义来定义在一个开区间(a ，b )内连续的定义． 区间是由点构成的，只要函数f (x )在开区间内的每一个点都连续，那么它在开区间内也就连续了.

3.函数f (x )在(a ，b )内连续的定义：

如果函数f (x )在某一开区间(a ，b )内每一点处连续，就说函数f (x )在开区间(a ，b )内连续，或f (x )是开区间(a ，b )内的连续函数.

f (x )在开区间(a ，b )内的每一点以及在a 、b 两点都连续，现在函数f (x )的定义域是［a ，b ］，若在a 点连续，则f (x )在a 点的极限存在并且等于f (a )，即在a 点的左、右极限都存在，且都等于f (a )， f (x )在(a ，b )内的每一点处连续，在a 点处右极限存在等于f (a )，在b 点处左极限存在等于f (b ).

4.函数f (x )在［a ，b ］上连续的定义：

如果f (x )在开区间(a ，b )内连续，在左端点x =a 处有+→a

x lim f (x )=f (a )，在右端点x =b 处有-→b

x lim f (x )=f (b ),就说函数f (x )在闭区间［a ，b ］上连续,或f (x )是闭区间［a ，b ］上的连续函数.

如果函数f (x )在闭区间［a ，b ］上是连续函数，那它的图象肯定是一条连续曲线.

我们来看这张图，它是连续的，在a 、b 两点的值都是取到，所以它一定有一个最高点和一个最低点，假设在x 1这点最高；那么它的函数值最大，就是说［a ，b ］区间上的各个点的值都不大于x 1处的值，用数学语言表示就是f (x 1)≥f (x )，x ∈［a ，b ］，同理，设x 2是最低点，f (x 2)≤f (x )，x ∈［a ，b ］.

5.最大值

f (x )是闭区间［a ，b ］上的连续函数，如果对于任意x ∈［a ，b ］，

f (x 1)≥f (x )，那么f (x )在点x 1处有最大值f (x 1).

6.最小值

f (x )是闭区间［a ，b ］上的连续函数，如果对于任意x ∈［a ，b ］，f (x 2)≤f (x )，那么f (x )在点x 2处有最小值f (x 2).

由图我们可以知道，函数f (x )在［a ，b

］上连续，则一定有最大最小值，这