求函数值域的十种常用方法ppt课件
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高中数学课件-求函数值域
例题2
求下列函数的值域：
1) y 2x 4 1 x； 方法四
换元法
通过换元把求已知函数的值域转化为求关于新元 的函数值域，从而求得原函数值域的方法叫换元法。
——常用于部分根式函数。
2) y x 。 方法五 x2 1
判别式法
把已知函数转化为关于变量的二次方程，再利用方程有 解则判别式非负。从而求得原函数值域的方法叫判别式法。
函数值域的求法
复习
1）什么叫函数的值域？函数的值域应该怎样表示？ 答：由自变量对应的所有函数值构成的集合叫
函数的值域。函数的值域应该用集合的描述法或区 间表示。
2）正比例函数y=kx、一次函数y=ax+b的值域分别 是什么？ 答：都是R。
3）反比例函数y k (k 0)的值域是什么？ x
答：y y R且y 0。
2
2
综上可得所求函数的值
域为
1 2
,
1 2
。
数学小博士
先用判别式法求下列函数的值域，
考考你： 再用其它方法检验：（讨论）
1) y x x 1； 答：1， 。
2) y
x2 3x 2。 x2 x 2
（2）答：y (x 1)(x 2) x 1 (x 1且x 2) (x 1)(x 2) x 1
Байду номын сангаас
3) y 1 2x;
4)y 2x4 x2 2
答：1)1,；2) ,2；3)0,；4) 2,。
题组2：求下列函数的值域：（每组选答一题）
1)y (x 1)2 2(x 0)；
2) y 1 x x 1；
3) y 25 x2 ;
4) y 1 。 2 x2
答： 1)3,
;2)0;3)0,5;4)
求函数的值域课件.ppt
三：换元法
通过代数换元法或者三角函数换元法, 把无理函数化为 代数函数来求函数值域的方法(关注新元的取值范围). 例2 求函数 的值域:
注：换元法是一种非常重工的数学解题方法，它可以使复 y=x+ 1-x 杂问题简单化，但是在解题的过程中一定要注意换元后 新元的取值范围。
求下列函数的值域： （ 1） y = x +
解：设 t =
1 x
y 1
1 x
则x=1－t2且 t≥0 y = 1 － t2 + t
1 2 5 ( t ) 2 4
o x
5 由图知： y 4
故函数的值域为 ( , 5 ]
4
1、求下列函数的值域：
（1）y = 1 －2x R 值域为 ________________ －1, 0, 1 } 值域为 { _________
会生活。
2．清朝黄遵宪曾作诗曰：“钟声一及时，顷刻不少留。虽
有万钧柁，动如绕指柔。”这是在描写 A．电话 C．电报 B．汽车 D．火车 ( )
解析：从“万钧柁”“动如绕指柔”可推断为火车。 答案：D
[典题例析] [例1] 上海世博会曾吸引了大批海内外人士利用各种
交通工具前往参观。然而在19世纪七十年代，江苏沿江 居民到上海，最有可能乘坐的交通工具是 A．江南制造总局的汽车 B．洋人发明的火车 ( )
C．轮船招商局的轮船
D．福州船政局的军舰
[解析]
由材料信息“19世纪七十年代，由江苏沿江居民
到上海”可判断最有可能是轮船招商局的轮船。 [答案] C
[题组冲关] 1．中国近代史上首次打破列强垄断局面的交通行业是 ( )
A．公路运输
函数值域的求法ppt 人教课标版
当2y-1=0即y=1/2时，代入方程左边＝1/2· 3-1≠0,故 ≠1/2.
当2y-1≠0,即y ≠1/2时，因x∈R,必有△=(2y-1)24(2y-1)(3y-1) ≥0得3/10≤y≤1/2,
综上所得，原函数的值域为y∈〔3/10,1/2〕.
例3 求下列函数的值域：
（1） y=5-x+√3x-1；
二、换元法
通过代数换元法或者三角函数换元法, 把无理函数、指数 函数、对数函数等超越函数转化为代数函数来求函数值域的方 法(关注新元范围). 例2 求下列函数的值域: 3 (1) y=x- x-1 ; [ 4 , +∞ ) (2) y=x+ 2-x2 ; [- 2 , 2]
三、判别式法
能转化为 A(y)x2+B(y)x+C(y)=0 的函数常用判别式法求函 数的值域. dx2+ex+f 主要适用于形如 y = 2 (a, d不同时为零)的函数(最 ax +bx+c 好是满足分母恒不为零). x2-x 例5 求函数 y = 2 的值域. [1- 2 33 , 1+ 2 33 ] x +x+1
3 6 5 5 6 t ， y 故 y -, . m i n , 2 1 2 2 1
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
读一本好书，就是和许多高尚的人谈话。 ---歌德 书籍是人类知识的总结。书籍是全世界的营养品。 ---莎士比亚 书籍是巨大的力量。 ---列宁 好的书籍是最贵重的珍宝。 ---别林斯基 任何时候我也不会满足，越是多读书，就越是深刻地感到不满足，越感到自己知识贫乏。 ---马克思 书籍便是这种改造灵魂的工具。人类所需要的，是富有启发性的养料。而阅读，则正是这种养料。 ---雨果 喜欢读书，就等于把生活中寂寞的辰光换成巨大享受的时刻。 ---孟德斯鸠 如果我阅读得和别人一样多，我就知道得和别人一样少。 ---霍伯斯[英国作家] 读书有三种方法：一种是读而不懂，另一种是既读也懂，还有一种是读而懂得书上所没有的东西。 ---克尼雅日宁[俄国剧作家・诗人] 要学会读书，必须首先读的非常慢，直到最后值得你精读的一本书，还是应该很慢地读。 ---法奇(法国科学家) 了解一页书，胜于匆促地阅读一卷书。 ---麦考利[英国作家] 读书而不回想，犹如食物而不消化。 ---伯克[美国想思家] 读书而不能运用，则所读书等于废纸。 ---华盛顿(美国政治家) 书籍使一些人博学多识，但也使一些食而不化的人疯疯颠颠。 ---彼特拉克[意大利诗人] 生活在我们这个世界里，不读书就完全不可能了解人。 ---高尔基 读书越多，越感到腹中空虚。 ---雪莱(英国诗人) 读书是我唯一的娱乐。我不把时间浪费于酒店、赌博或任何一种恶劣的游戏；而我对于事业的勤劳，仍是按照必要，不倦不厌。 ---富兰克林 书读的越多而不加思索，你就会觉得你知道得很多；但当你读书而思考越多的时候，你就会清楚地看到你知道得很少。 ---伏尔泰(法国哲学家、文学家) 读书破万卷，下笔如有神。---杜甫 读万卷书，行万里路。 ---顾炎武 读书之法无他，惟是笃志虚心，反复详玩，为有功耳。 ---朱熹 读书无嗜好，就能尽其多。不先泛览群书，则会无所适从或失之偏好，广然后深，博然后专。 ---鲁迅 读书之法，在循序渐进，熟读而精思。 ---朱煮 读书务在循序渐进；一书已熟，方读一书，勿得卤莽躐等，虽多无益。 ---胡居仁[明] 读书是学习，摘抄是整理，写作是创造。 ---吴晗 看书不能信仰而无思考，要大胆地提出问题，勤于摘录资料，分析资料，找出其中的相互关系，是做学问的一种方法。---顾颉刚 书犹药也，善读之可以医愚。 ---刘向 读书破万卷，胸中无适主，便如暴富儿，颇为用钱苦。 ---郑板桥 知古不知今，谓之落沉。知今不知古，谓之盲瞽。 ---王充 举一纲而万目张，解一卷而众篇明。 ---郑玄
当2y-1≠0,即y ≠1/2时，因x∈R,必有△=(2y-1)24(2y-1)(3y-1) ≥0得3/10≤y≤1/2,
综上所得，原函数的值域为y∈〔3/10,1/2〕.
例3 求下列函数的值域：
（1） y=5-x+√3x-1；
二、换元法
通过代数换元法或者三角函数换元法, 把无理函数、指数 函数、对数函数等超越函数转化为代数函数来求函数值域的方 法(关注新元范围). 例2 求下列函数的值域: 3 (1) y=x- x-1 ; [ 4 , +∞ ) (2) y=x+ 2-x2 ; [- 2 , 2]
三、判别式法
能转化为 A(y)x2+B(y)x+C(y)=0 的函数常用判别式法求函 数的值域. dx2+ex+f 主要适用于形如 y = 2 (a, d不同时为零)的函数(最 ax +bx+c 好是满足分母恒不为零). x2-x 例5 求函数 y = 2 的值域. [1- 2 33 , 1+ 2 33 ] x +x+1
3 6 5 5 6 t ， y 故 y -, . m i n , 2 1 2 2 1
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读一本好书，就是和许多高尚的人谈话。 ---歌德 书籍是人类知识的总结。书籍是全世界的营养品。 ---莎士比亚 书籍是巨大的力量。 ---列宁 好的书籍是最贵重的珍宝。 ---别林斯基 任何时候我也不会满足，越是多读书，就越是深刻地感到不满足，越感到自己知识贫乏。 ---马克思 书籍便是这种改造灵魂的工具。人类所需要的，是富有启发性的养料。而阅读，则正是这种养料。 ---雨果 喜欢读书，就等于把生活中寂寞的辰光换成巨大享受的时刻。 ---孟德斯鸠 如果我阅读得和别人一样多，我就知道得和别人一样少。 ---霍伯斯[英国作家] 读书有三种方法：一种是读而不懂，另一种是既读也懂，还有一种是读而懂得书上所没有的东西。 ---克尼雅日宁[俄国剧作家・诗人] 要学会读书，必须首先读的非常慢，直到最后值得你精读的一本书，还是应该很慢地读。 ---法奇(法国科学家) 了解一页书，胜于匆促地阅读一卷书。 ---麦考利[英国作家] 读书而不回想，犹如食物而不消化。 ---伯克[美国想思家] 读书而不能运用，则所读书等于废纸。 ---华盛顿(美国政治家) 书籍使一些人博学多识，但也使一些食而不化的人疯疯颠颠。 ---彼特拉克[意大利诗人] 生活在我们这个世界里，不读书就完全不可能了解人。 ---高尔基 读书越多，越感到腹中空虚。 ---雪莱(英国诗人) 读书是我唯一的娱乐。我不把时间浪费于酒店、赌博或任何一种恶劣的游戏；而我对于事业的勤劳，仍是按照必要，不倦不厌。 ---富兰克林 书读的越多而不加思索，你就会觉得你知道得很多；但当你读书而思考越多的时候，你就会清楚地看到你知道得很少。 ---伏尔泰(法国哲学家、文学家) 读书破万卷，下笔如有神。---杜甫 读万卷书，行万里路。 ---顾炎武 读书之法无他，惟是笃志虚心，反复详玩，为有功耳。 ---朱熹 读书无嗜好，就能尽其多。不先泛览群书，则会无所适从或失之偏好，广然后深，博然后专。 ---鲁迅 读书之法，在循序渐进，熟读而精思。 ---朱煮 读书务在循序渐进；一书已熟，方读一书，勿得卤莽躐等，虽多无益。 ---胡居仁[明] 读书是学习，摘抄是整理，写作是创造。 ---吴晗 看书不能信仰而无思考，要大胆地提出问题，勤于摘录资料，分析资料，找出其中的相互关系，是做学问的一种方法。---顾颉刚 书犹药也，善读之可以医愚。 ---刘向 读书破万卷，胸中无适主，便如暴富儿，颇为用钱苦。 ---郑板桥 知古不知今，谓之落沉。知今不知古，谓之盲瞽。 ---王充 举一纲而万目张，解一卷而众篇明。 ---郑玄
《求函数值域的方法》教学课件
y)x
y
0
y 1
又
y 1
故值域为 [
0
1
,1)
1 3
y 1
3
6、均值不等式法
例 6求下列函数的值域:
(1)y=
2x x2+1
;
[-1, 1]
(2)y=
x2-2x+5 x-1
(x>1)
.
[4, +∞)
利用基本不等式求出函数的最值进而确定函数的 值域. 要注意满足条件“一正、二定、三等”.
点(cos x,sin x)与点(2,0)的斜率
如图所示：
2
sin x 0
3
(cosx 2)max 3
求例m1与1若n函的数值f.(x)=log3mxx2+2+81x+n 的定义域为 R, 值域为[0, 2],
解: ∵f(x) 的定义域为 R, ∴mx2+8x+n>0 恒成立.
∴△=64-4mn<0 且 m>0.
令 y=
mx2+8x+n x2+1
,
则 1≤y≤9.
问题转化为 x∈R 时,
y=
mx2+8x+n x2+1
的值域为[1, 9].
变形得 (m-y)x2+8x+(n-y)=0,
当 m≠y 时, ∵x∈R, ∴△=64-4(m-y)(n-y)≥0.
整理得 y2-(m+n)y+mn-16≤0.
依题意
m+n＝1+9, mn-16=1×9,
求函数y sin x 的最大值 2+cosx
函数的值域(PPT)3-3
七、利用函数的单调性
主要适用于 (1) y=ax+b+ cx+d (ac>0)形式的函数; (2x
(k>0)的最值(等号不成立)时.
例7 求下列函数的值域: (1)y=
[5,
+∞)
(2)y=x+
4 x
(0<x≤1);
(3)y=
1-2x
-x;
[-
1 2
,
+∞)
x+3 - x . (0, 3 ]
一、配方法
形如 y=af 2(x)+bf(x)+c(a≠0) 的函数常用配方法求函数的值
域, 要注意 f(x) 的取值范围.
例1 (1)求函数 y=x2+2x+3 在下面给定闭区间上的值域:
①[-4, -3]; ②[-4, 1]; ③[-2, 1]; ④[0, 1].
[6, 11]; [2, 11]; [2, 6]; [3, 6].
(4) 若 x2+y2=1, 求 x+y 的取值范围; (5) 若 x+y=1, 求 x2+y2 的取值范围.
[- 2 , 2 ]
[
1 2
,
+∞)
八、数形结合法
当函数的解析式明显具备某种几何意义, 像两点间的距离 公式、直线斜率等时可考虑用数形结合法.
例8 求下列函数的值域: (1)y=|x-1|+|x+4| ; [5, +∞)
(2)y=
sinx-3 2+cosx
;
[-2-
2
3 3
,
-2+
23 3
]
(3)y= 2x2-6x+9 + 2x2-10x+17 ; [2 5 , +∞)
求函数值域的方法 课件
例3.求函数 y x 2x 1 的值域.
练习3：求函数 f (x) x 1 2x的值域.
4.分离常数法：
例4.求函数 y 2x 3 的值域 x 1
练习4：求下列函数的值域
(1) y x 3 (2) y 2x 1
2x 5
x 1
5.反解法：当函数表达式中自变量易于解出时， 反解函数所示方程，进而得到值域.
求函数的值域的方法
例1.求下列函数的值域.
(1) y 4 9x2 , x [0, 2]
(2)
y
3x2 x2
5 1
3
1．不等式法.根据函数表达式特征，从函数自变
量的变化范围出发，充分利用不等式的运算性
质进行运算，直接得出函数值域的一种简单方
法.
练习1： 求函数 y 2 x 4 的值域。
例5.求函数
y
x2 x21 1来自的值域练习5：函数 y | x | 2 的值域 | x | 3
6．判别式法：它是反解法的一种特殊情形.当函 数可化为关于自变量的一元二次方程形式时，不 解出方程，而直接利用判别式来求解值域。
例6：求函数
y
x2 x2
x 1 x 1
的值域.
练习6：求函数 y
x 3
2.图象法：对于简单的函数可以画出函数的图 象，再根据图象观察得出函数的取值范围
例2.求下列函数的值域. (1)y=x2-2x-3 (2) y=x2-2x-3,x∈[-1，4]
(3) y x2 x 2 (4) y | x 1| | x 2 |
练习2：分别由下列条件求y=x2+2x-3的值域 (1)x∈R; (2) x∈[0,+∞); (3)x∈[-2,2] 3.换元法.
练习3：求函数 f (x) x 1 2x的值域.
4.分离常数法：
例4.求函数 y 2x 3 的值域 x 1
练习4：求下列函数的值域
(1) y x 3 (2) y 2x 1
2x 5
x 1
5.反解法：当函数表达式中自变量易于解出时， 反解函数所示方程，进而得到值域.
求函数的值域的方法
例1.求下列函数的值域.
(1) y 4 9x2 , x [0, 2]
(2)
y
3x2 x2
5 1
3
1．不等式法.根据函数表达式特征，从函数自变
量的变化范围出发，充分利用不等式的运算性
质进行运算，直接得出函数值域的一种简单方
法.
练习1： 求函数 y 2 x 4 的值域。
例5.求函数
y
x2 x21 1来自的值域练习5：函数 y | x | 2 的值域 | x | 3
6．判别式法：它是反解法的一种特殊情形.当函 数可化为关于自变量的一元二次方程形式时，不 解出方程，而直接利用判别式来求解值域。
例6：求函数
y
x2 x2
x 1 x 1
的值域.
练习6：求函数 y
x 3
2.图象法：对于简单的函数可以画出函数的图 象，再根据图象观察得出函数的取值范围
例2.求下列函数的值域. (1)y=x2-2x-3 (2) y=x2-2x-3,x∈[-1，4]
(3) y x2 x 2 (4) y | x 1| | x 2 |
练习2：分别由下列条件求y=x2+2x-3的值域 (1)x∈R; (2) x∈[0,+∞); (3)x∈[-2,2] 3.换元法.
函数的值域ppt课件
]
六、均值不等式法
利用基本不等式求出函数的最值进而确定函数的值域. 要 注意满足条件“一正、二定、三等”.
例6 求下列函数的值域:
(1)y=
2x x2+1
;
(2)y=
x2-2x+5 x-1
(x>1)
.
[-1, 1]
[4, +∞)
七、利用函数的单调性
主要适用于 (1) y=ax+b+ cx+d (ac>0)形式的函数; (2)利用
世界上最好的课堂在老人的脚下.
Having a child fall asleep in your arms is one of the most peaceful feeling in the world. 让一个孩子在你的臂弯入睡,你会体会到世间最安宁的感觉.
Being kind is more important than being right. 善良比真理更重要.
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You should never say no to a gift from a child. 永远不要拒绝孩子送给你的礼物.
Sometimes all a person needs is a hand to hold and a heart to understand. 有时候,一个人想要的只是一只可握的手和一颗感知的心.
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励志名言
The best classroom in the world is at the feet of an elderly person.
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求函数的值域课件.ppt
t 13 y 3 t 2
1 2 7 t t 2 2 1 ( t 1) 2 3 2
解：设 t = 2
4 x 13
7
2
o
x
7 7 由图知：y [ , ) 故函数的值域为： 2 2
四、判别式法
能转化为 A(y)x2+B(y)x+C(y)=0 的函数常用判别式法求函 数的值域. dx2+ex+f 主要适用于形如 y = 2 (a, d不同时为零)的函数(最 ax +bx+c 好是满足分母恒不为零).
1 , x 2 x x6
的值域
(2)求函数 y
[3,5] 的值域
历史ⅱ岳麓版第13课交通与通讯 的变化资料
精品课件欢迎使用
[自读教材· 填要点] 一、铁路，更多的铁路 1．地位
铁路是
交通运输 建设的重点，便于国计民生，成为国民经济
发展的动脉。 2．出现 1881年，中国自建的第一条铁路——唐山 路建成通车。 1888年，宫廷专用铁路落成。 至胥各庄铁 开平
解：设 t =
1 x
y 1
1 x
则x=1－t2且 t≥0 y = 1 － t2 + t
1 2 5 ( t ) 2 4
o x
5 由图知： y 4
故函数的值域为 ( , 5 ]
4
1、求下列函数的值域：
（1）y = 1 －2x R 值域为 ________________ －1, 0, 1 } 值域为 { _________
（2）y = | x | －1 x∈{－2, －1, 0, 1, 2 }
（ 3） y =
2 x2
(－∞, 0 )∪(0, + ∞ ) 值域为 ________________________ [0, + ∞ ) 值域为 ____________
1 2 7 t t 2 2 1 ( t 1) 2 3 2
解：设 t = 2
4 x 13
7
2
o
x
7 7 由图知：y [ , ) 故函数的值域为： 2 2
四、判别式法
能转化为 A(y)x2+B(y)x+C(y)=0 的函数常用判别式法求函 数的值域. dx2+ex+f 主要适用于形如 y = 2 (a, d不同时为零)的函数(最 ax +bx+c 好是满足分母恒不为零).
1 , x 2 x x6
的值域
(2)求函数 y
[3,5] 的值域
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[自读教材· 填要点] 一、铁路，更多的铁路 1．地位
铁路是
交通运输 建设的重点，便于国计民生，成为国民经济
发展的动脉。 2．出现 1881年，中国自建的第一条铁路——唐山 路建成通车。 1888年，宫廷专用铁路落成。 至胥各庄铁 开平
解：设 t =
1 x
y 1
1 x
则x=1－t2且 t≥0 y = 1 － t2 + t
1 2 5 ( t ) 2 4
o x
5 由图知： y 4
故函数的值域为 ( , 5 ]
4
1、求下列函数的值域：
（1）y = 1 －2x R 值域为 ________________ －1, 0, 1 } 值域为 { _________
（2）y = | x | －1 x∈{－2, －1, 0, 1, 2 }
（ 3） y =
2 x2
(－∞, 0 )∪(0, + ∞ ) 值域为 ________________________ [0, + ∞ ) 值域为 ____________
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