加权算术平均值的标准偏差

2 v2 n i1
i
i 1
i
i 1
n2
n
i2
由 i1
n
代入上式可得：
n
n 2 v2 2 i i 1
n
2
与
相比i1较i ?
n
n
2 n 2 i
i 1
n
v2 i
i1
n 1
（Bessel公式）
5
加权算术平均值的标准差
对同一被测量进行m组不等精度测量，得到m个测量结果
v 可用残余误差 代替误差，而得到标准差的估计值。 i
由 i li 可L得0：
1 l1 x x L0 2 l2 x x L0
…
定义：
n ln x x L0
x
L ，称为算术平均值的误差
0
x
3
1
v1
x
2
v2
x
…
n
vn
x
两边平方后再求和得：
n
n
i
vi
n x
i 1
xm已, 知单位权测得值的标准差 ，则：
xi
ni
i 1,2,...,m;
x1, x2 ,...,
全部( m 个n)测得值的算术平均值 的标准差为：x
x
n1 n2 ... nm
m
ni
i 1
x
xi
ni
m
xi
pi
m
m
ni
pi pi
i 1
i 1
i 1
当各组测量结果的标准差为未知时，必须由各测量结果的残余误差来计算加权算
算术平均值： 取方差：
x l1 l2 ... ln n
D(x)
1 n2
D(l1)
D(l2 )
...
D(ln )
n
2
1i
i
j
j
D(x)
1 n2
D(l1)
D(l2 )
...
D(ln )
因为： D(l1) D(l2 ) ... D(ln ) D(l) 2
定义：
D(x)
术平均值的标准差。
6
不等精度测量的平均值与标准差
加权平均值
m
pi xi
x
i 1 m
pi
i 1
残余误差
vxi xi x
加权平均值的标准差
x
m
pi
v2 xi
i 1
m
(m 1) pi
i 1
7
假设：
pi ni
2 2
xi
pi
加权平均值
x
m
pi xi
i 1 m
pi
i 1
m i 1
xi
2 xi
i 1
n
n
n
i vi i
i1 i1 i1
x
n
n
n
n
n
n
n
2 i
vi2
n 2 x
2 x
vi
vi2
n 2 x
i 1
i 1
i 1
i 1
由于
n
2
i
n
n
2 i
2
i j
2 i1
x n
i 1
n2
1i j
n2
n 当 取适当大时，
n
趋于零i， j可得：
1i j
4
n
n
n
2 i
1 n2
n 2
D(x) x
2 2
xn
x
n
1
1.单次测量的标准差
在等精度测量列中，单次测量的标准误差按下式计算：
n
12
2 2
...
2 n
2 i
i 1
n
n
n 式中： ——测量次数；
——测得值与被测量的真值之差。 i
2
n
12
2 2
...
2 n
2 i
i 1
n
n
当被测量的真值为未知时，不能用上式求得标准差。实际上，在有限次测量情况下，
m 1
i 1
2 xi
残余误差
vxi xi x
1 1 1
m1
...
2
2
2
x
x1
x2
2
i1 xi
Байду номын сангаасx
m
pi
v2 xi
i 1 m
(m 1) pi
i 1
m
i 1
v2 xi
2 xi
m
(m 1)
i 1
1
2 xi
8
感谢下 载
感谢下 载