邻接矩阵-南京大学
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v1 v2
v4
v3
0 0 A(G) 1 1
1 0 0 0 1 1 1 0 1 0 0 0
可推广到简单无向图
举例（邻接矩阵）
v1 v2
v4
v3
0 1 A(G) 1 1
1 0 1 0
1 1 0 1
1 0 1 0
简单无向图的邻接矩阵是对称矩阵
邻接矩阵(adjacency matrix)
简单有向图G = (V, E, ) ，设V＝v1，…，vn，E＝ e1，…，em。
A(G)＝aij称为G的邻接矩阵(n×n 阶矩阵)，其中
1 如果v i邻接到v j a ij 0 否则
eE. (e)=(vi, vj)
举例（邻接矩阵）
邻接矩阵的运算
逆图（转置矩阵）
设Ｇ的邻接矩阵为 A ，则 G 的逆图的邻接矩阵是 A 的转 置矩阵，用AT表示。
０１００ ００１１ A １１０１ １０００
００１１ １０１０ T A ０１００ ０１１０
邻接矩阵的运算
邻接矩阵的运算
顶点的度
行中1的个数就是行中相应结点的出度
列中1的个数就是列中相应结点的入度
v1
v2
v4
v3
Hale Waihona Puke 0 0 A 1 11 0 0 0 1 1 1 0 1 0 0 0
Deg+(1)=1,Deg-(1)=2
Deg+(2)=2,Deg-(2)=2
Deg+(3)=3,Deg-(3)=1 Deg+(4)=1,Deg-(4)=2
邻接表
是单射
若图G = (V, E, ) 没有多重边，列出这个图的所有 边。对每个顶点，列出与其邻接的顶点。
b
a
c
e
d
顶点 a b c d e
相邻顶点 b, c, e a a, d, e c, e a, c, d
邻接表（有向图）
是单射
若图G = (V, E, ) 没有多重边，列出这个图的所有 边。对每个顶点，列出与其邻接的顶点。
顶点 a b c d e 相邻顶点 b, c, d, e b, d a, c, e
b, c, d
b a c
e
d
关于邻接矩阵
通常，邻接矩阵中的元素为0和1，称为布尔矩阵。
邻接矩阵也可表示包含多重边的图，此时的矩阵不 是布尔矩阵。 v1
v2
v4
v3
0 3 A 0 2
3 0 2 0 1 1 1 1 2 1 2 0
从v2→v1，有二条长度为2的通路；有一条长度为3的通路
邻接矩阵的运算
v1 v2
0 0 A 1 1 1 0 0 0 1 1 1 0 1 0 0 0
v4
v3
３４２３ ５５４６ B4 A1 A2 A3 A4 ７７４７ ３２１２
k 1 n
Cij表示同时有边指向结点i和结点j的那些结点的个数； 若i＝j，则Cii表示结点i的入度。
邻接矩阵的运算
v1 v2
0 0 A 1 1 1 0 0 0 1 1 1 0 1 0 0 0
v4
v3
１０１０ ０２１０ T A A １１３１ ００１１
1 如果e j关联v i m ij 0 否则
vi(ej)
无向图G可以是伪图（含自环或多重边）。
举例（关联矩阵）
v1
e1
v2
e4
e5
e2
v4
e3
v3
1 1 M(G) 0 0
0 0 1 1 1 0 0 0 1 1 0 1 0 1 1 0
关联矩阵表示法不适合于有向图
２１０１ １２０１ AT A ００１１ １１１２
邻接矩阵的运算
A A A2 D [d ij ] d ij aik akj ai1 a1 j ain anj
k 1 n
若aik×akj＝1，则表示有i→k→j长度为2的有向边； dij表示i和j之间具有长度为2的通路个数。
邻接矩阵的运算
v1 v2
0 0 A 1 1 1 0 0 0 1 1 1 0 1 0 0 0
v4
００１１ ２１０１ A2 A A １１１１ ０１００
v3
２１０１ １２１１ A3 A2 A ２２１２ ００１１
长度不大于k的通路个数
图的同构
图同构的定义
设G1=(V1, E1, 1)和G2=(V2, E2, 2)是两个简单无向图。
关于邻接矩阵
当有向图中的有向边表示关系时，邻接矩阵就是 关系矩阵。无向图的邻接矩阵是对称的。
图 G 的邻接矩阵中的元素的次序是无关紧要的， 行与行、列与列进行相应交换，则可得到相同的 矩阵。
若有二个简单有向图，则可得到二个对应的邻接矩阵， 若对某一矩阵行与行、列与列之间的相应交换后得到 和另一矩阵相同的矩阵，则此二图同构。
图的表示与图同构
离散数学─图论初步
南京大学计算机科学与技术系
内容提要
图的表示 邻接矩阵的运算 图的同构
图的表示
关联矩阵 邻接矩阵 邻接表
关联矩阵(incidence matrix)
无向图G = (V, E, ) ，不妨设V＝v1，…，vn，E＝ e1，…，em。 M(G) ＝mij称为G的关联矩阵(n×m 阶矩阵), 其中
A AT B [bij ] bij aik a jk ai1 a j1 ai 2 a j 2 ain a jn
k 1 n
bij表示结点i和结点j均有边指向的那些结点的个数； 若i＝j，则bii表示结点i的出度。
邻接矩阵的运算
AT A C [Cij ] Cij aki akj a1i a1 j a2 i a2 j ani anj
v4
v3
0 0 A(G) 1 1
1 0 0 0 1 1 1 0 1 0 0 0
可推广到简单无向图
举例（邻接矩阵）
v1 v2
v4
v3
0 1 A(G) 1 1
1 0 1 0
1 1 0 1
1 0 1 0
简单无向图的邻接矩阵是对称矩阵
邻接矩阵(adjacency matrix)
简单有向图G = (V, E, ) ，设V＝v1，…，vn，E＝ e1，…，em。
A(G)＝aij称为G的邻接矩阵(n×n 阶矩阵)，其中
1 如果v i邻接到v j a ij 0 否则
eE. (e)=(vi, vj)
举例（邻接矩阵）
邻接矩阵的运算
逆图（转置矩阵）
设Ｇ的邻接矩阵为 A ，则 G 的逆图的邻接矩阵是 A 的转 置矩阵，用AT表示。
０１００ ００１１ A １１０１ １０００
００１１ １０１０ T A ０１００ ０１１０
邻接矩阵的运算
邻接矩阵的运算
顶点的度
行中1的个数就是行中相应结点的出度
列中1的个数就是列中相应结点的入度
v1
v2
v4
v3
Hale Waihona Puke 0 0 A 1 11 0 0 0 1 1 1 0 1 0 0 0
Deg+(1)=1,Deg-(1)=2
Deg+(2)=2,Deg-(2)=2
Deg+(3)=3,Deg-(3)=1 Deg+(4)=1,Deg-(4)=2
邻接表
是单射
若图G = (V, E, ) 没有多重边，列出这个图的所有 边。对每个顶点，列出与其邻接的顶点。
b
a
c
e
d
顶点 a b c d e
相邻顶点 b, c, e a a, d, e c, e a, c, d
邻接表（有向图）
是单射
若图G = (V, E, ) 没有多重边，列出这个图的所有 边。对每个顶点，列出与其邻接的顶点。
顶点 a b c d e 相邻顶点 b, c, d, e b, d a, c, e
b, c, d
b a c
e
d
关于邻接矩阵
通常，邻接矩阵中的元素为0和1，称为布尔矩阵。
邻接矩阵也可表示包含多重边的图，此时的矩阵不 是布尔矩阵。 v1
v2
v4
v3
0 3 A 0 2
3 0 2 0 1 1 1 1 2 1 2 0
从v2→v1，有二条长度为2的通路；有一条长度为3的通路
邻接矩阵的运算
v1 v2
0 0 A 1 1 1 0 0 0 1 1 1 0 1 0 0 0
v4
v3
３４２３ ５５４６ B4 A1 A2 A3 A4 ７７４７ ３２１２
k 1 n
Cij表示同时有边指向结点i和结点j的那些结点的个数； 若i＝j，则Cii表示结点i的入度。
邻接矩阵的运算
v1 v2
0 0 A 1 1 1 0 0 0 1 1 1 0 1 0 0 0
v4
v3
１０１０ ０２１０ T A A １１３１ ００１１
1 如果e j关联v i m ij 0 否则
vi(ej)
无向图G可以是伪图（含自环或多重边）。
举例（关联矩阵）
v1
e1
v2
e4
e5
e2
v4
e3
v3
1 1 M(G) 0 0
0 0 1 1 1 0 0 0 1 1 0 1 0 1 1 0
关联矩阵表示法不适合于有向图
２１０１ １２０１ AT A ００１１ １１１２
邻接矩阵的运算
A A A2 D [d ij ] d ij aik akj ai1 a1 j ain anj
k 1 n
若aik×akj＝1，则表示有i→k→j长度为2的有向边； dij表示i和j之间具有长度为2的通路个数。
邻接矩阵的运算
v1 v2
0 0 A 1 1 1 0 0 0 1 1 1 0 1 0 0 0
v4
００１１ ２１０１ A2 A A １１１１ ０１００
v3
２１０１ １２１１ A3 A2 A ２２１２ ００１１
长度不大于k的通路个数
图的同构
图同构的定义
设G1=(V1, E1, 1)和G2=(V2, E2, 2)是两个简单无向图。
关于邻接矩阵
当有向图中的有向边表示关系时，邻接矩阵就是 关系矩阵。无向图的邻接矩阵是对称的。
图 G 的邻接矩阵中的元素的次序是无关紧要的， 行与行、列与列进行相应交换，则可得到相同的 矩阵。
若有二个简单有向图，则可得到二个对应的邻接矩阵， 若对某一矩阵行与行、列与列之间的相应交换后得到 和另一矩阵相同的矩阵，则此二图同构。
图的表示与图同构
离散数学─图论初步
南京大学计算机科学与技术系
内容提要
图的表示 邻接矩阵的运算 图的同构
图的表示
关联矩阵 邻接矩阵 邻接表
关联矩阵(incidence matrix)
无向图G = (V, E, ) ，不妨设V＝v1，…，vn，E＝ e1，…，em。 M(G) ＝mij称为G的关联矩阵(n×m 阶矩阵), 其中
A AT B [bij ] bij aik a jk ai1 a j1 ai 2 a j 2 ain a jn
k 1 n
bij表示结点i和结点j均有边指向的那些结点的个数； 若i＝j，则bii表示结点i的出度。
邻接矩阵的运算
AT A C [Cij ] Cij aki akj a1i a1 j a2 i a2 j ani anj