实变函数
实变函数与泛函分析
实变函数与泛函分析
实变函数是指在数学中，变量和函数值都是实数的函数。
泛函分析是一门数学分支，主要研究实变函数的性质和分析。
泛函分析的基本概念包括：
1.函数的连续性：指函数在某个区间内，对于任意两个不同的自变量值，函数值之差都可以被任意给定的常数δ所代替，即函数在该区间内是连续的。
2.函数的可导性：指函数在某个区间内，对于任意一个自变量值，都存在一个导数，即函数在该区间内是可导的。
3.函数的可积性：指函数在某个区间内，对于任意两个自变量值，都存在一个积分，即函数在该区间内是可积的。
泛函分析还研究了一些其他概念，如复合函数、反函数、单调函数、奇偶性函数、周期函数、级数等。
泛函分析的研究方法包括函数的几何表示、函数的微积分学表示、函数的数学分析表示等。
泛函分析是一门广泛应用的数学分支，在工程、物理、化学、经济学等领域都有广泛的应用。
实变函数知识点
实变函数知识点实变函数是一种常见的数学函数类型，它在数学分析中有着非常重要的地位。
在这篇文章中，我们将详细探讨实变函数的知识点，包括什么是实变函数、实变函数的定义、实变函数的性质、实变函数的极限和导数、实变函数的应用等内容。
一、什么是实变函数实变函数是指$f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$的函数，即定义域为实数集$\mathbb{R}$的函数，也称为一元实函数。
它以实数为自变量，实数为函数值。
实变函数主要研究实数集上的性质和变化规律。
二、实变函数的定义实变函数的定义有多种方式，常用的有以下几种：1. 函数图像法根据函数的图像来定义实变函数，即$f(x)$的定义域为实数集$\mathbb{R}$，函数值为其图像上对应点的纵坐标。
2. 显式函数法显式函数是通过代数式直接给出函数的定义，如$f(x)=\frac{1}{x^2+1}$。
3. 隐式函数法隐式函数一般是指如下形式的方程：$F(x,y)=0$，其中$x$和$y$都是实数变量。
如果存在实数集上解析的函数$f(x)$，使得$y=f(x)$是$F(x,y)=0$的解，那么就称$y=f(x)$为隐式函数。
4. 参数方程法将$x$表示为参数$t$的函数$x(t)$，将$y$表示为参数$t$的函数$y(t)$，则$f(x)=f(x(t))=f(t)$为参数方程法。
五种定义方式中，显式函数和隐式函数是最常用的方法。
三、实变函数的性质实变函数具有多种性质，下面介绍一些重要的性质：1. 奇偶性若$\forall x\in \mathbb{R},f(-x)=-f(x)$，则称$f(x)$为奇函数；若$\forall x\in \mathbb{R},f(-x)=f(x)$，则称$f(x)$为偶函数；若既不是奇函数也不是偶函数，则称$f(x)$为一般实变函数。
2. 周期性若存在正实数$T$，使得$\forall x\in \mathbb{R},f(x+T)=f(x)$，则称$f(x)$为以$T$为周期的周期函数。
实变函数PPT
第一讲
1. 集合运算的基本性质 定理 1 (1) A A A , A A A (2) A A, A A, A A (3) A B B A, A B B A
(4) A B C A B C , A B C A B C
(5) A B C A B A C (6) A B C A C B C
第一讲
一． 言归正传
第1章 集合
§1.1 集合的运算
一． 集合的定义及其运算
1. 集合运算的定义
m
(1) 并： A B ， An ， An ， A
n 1
n 1
(2) 交： A B ， m ， An An ， A
n 1
n 1
(3) 差： A B
(4) 补：设 A S ，则 Cs A : S A
❖
（1）《微积分》或《数学分析》中讨论的函数都是比较好的函数，即
没有太多的间断点，基本上是连续函数，这些函数都有很好的可微性与可
积性，但在实际应用（理论与工程应用）中的函数一般都没有这样好的性
质。例如著名的Dirichlet函数。
D
x
1, 0,
x是0，1中的有理数 x是0，1中的无理数
在《数学分析》中，这个函数在0，1 的每一点不可微，在0，1
(9’)
S
A
S A
(10’)
S
A
S A
第一讲
一． 集合序列的上、下限集
定义 1.
假设An 是一列集合，称集合
Am
为序列
An
的
n1 mn
上限集，记作
lim
x
An
或
lim
x
sup
An
；称集合
实变函数 讲义
实变函数讲义
摘要：
一、实变函数的定义与背景
1.实变函数的定义
2.实变函数的背景与意义
二、实变函数的基本性质
1.连续性
2.可积性
3.可微性
三、实变函数的重要概念
1.实数集
2.实函数的极限
3.实函数的连续
四、实变函数的应用领域
1.数学分析
2.概率论与数理统计
3.工程与物理学
正文：
实变函数是数学中的一个重要分支，它主要研究实数集上的实函数的性质及其应用。
实变函数的定义是指，将实数集上的每一个实数映射到一个实数，满足某种性质的函数。
它的背景与意义在于，它是数学分析的基础，同时在概
率论、数理统计、工程和物理学等领域中都有着广泛的应用。
实变函数具有许多基本性质，包括连续性、可积性和可微性。
连续性是指，当自变量在某一区间内变化时，函数值的变化是连续的。
可积性是指，当自变量在某一区间内变化时，函数值在区间上的积分是有限的。
可微性是指，当自变量在某一区间内变化时，函数值在区间上的微分是存在的。
实变函数中有一些重要的概念，包括实数集、实函数的极限和连续。
实数集是实变函数的基础，它包括了所有的实数。
实函数的极限是指，当自变量趋近某个值时，函数值的变化趋势。
连续是指，当自变量在某一区间内变化时，函数值的变化是连续的。
实变函数的应用领域非常广泛，包括数学分析、概率论与数理统计、工程和物理学等。
在数学分析中，实变函数是分析的基础，它为微积分提供了理论基础。
在概率论与数理统计中，实变函数为概率分布和统计推断提供了理论基础。
实变函数论
实变函数论实变函数论是数学分析领域中非常重要的一个分支。
它主要研究实数域上的函数，涉及到微积分、拓扑、测度论等多个数学分支，具有广泛的应用和深刻的理论意义。
一、实变函数的连续性和一致连续性实变函数中，连续性和一致连续性是非常基础的概念。
在实变函数论中，我们经常需要用到这两个概念来描述函数的性质。
连续性是指函数在某一点处的极限等于函数在该点处的函数值。
更准确地说，设$f(x)$为定义域上的一函数，$x_0$为定义域上的一点，则$f(x)$在$x_0$处连续等价于满足以下条件：$$\lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)$$而一致连续性则更为强，它指的是函数在整个定义域上均满足某一性质，即在整个定义域上均具有连续性。
形式化地，设$f(x)$为定义域上的一函数，则$f(x)$在定义域上一致连续等价于满足以下条件：$$\forall\epsilon>0,\exists\delta>0,\text{s.t. }|x_1-x_2|<\delta\Rightarrow|f(x_1)-f(x_2)|<\epsilon$$连续性和一致连续性是实数域上函数的最基本的性质，是很多其他性质和定理的前提条件。
二、实变函数的导数和微分微积分中，导数和微分是非常基础的概念。
在实变函数中，我们同样需要研究函数的导数和微分。
导数描述的是函数在某一点处的变化率，它是一个极限。
对于实变函数$f(x)$，在$x_0$处的导数定义为：$$f'(x_0)=\lim_{x\to x_0}\frac {f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$$微分是一个线性近似，用直线去接近曲线。
对于实变函数$f(x)$，在$x_0$处的微分为：$$df(x_0)=f'(x_0)dx$$在实变函数中，导数和微分的性质有很多，比如说链式法则、洛必达法则等，这些性质在高等数学中都会有所涉及。
三、实变函数的积分积分是微积分中非常重要的一个概念，是研究实变函数的重要手段。
实变函数和泛函分析讲义
实变函数和泛函分析讲义实变函数是指以实数作为自变量和函数值的函数。
实变函数是数学分析的一个重要分支，它研究的对象是实数集上的函数。
泛函分析是用数学的工具来研究函数空间及其上的线性算子的学科，它是实变函数分析的推广和拓展。
实变函数分析是数学中非常重要的分支之一，它涉及到实数集、函数极限、连续性、可导性、积分等一系列的基本概念和基本定理。
实变函数与实数集上各种运算和关系有关，可以通过极限、连续性、可微性等概念来刻画函数的性质。
实变函数分析主要研究实值函数的极限、连续性、可微性、积分等性质，通过这些性质进行函数间的比较和函数空间的构造。
泛函分析则是对实变函数分析的拓展，它主要研究的对象是函数空间及其上的线性算子。
函数空间是由实数集或复数集上的函数构成的集合，泛函分析主要研究的是函数空间的结构、性质以及其上的线性算子的性质。
泛函分析的一个重要概念是泛函，泛函是将一个函数映射到一个实数或复数上的映射。
泛函分析研究的是这样一类映射的性质，它们常常是函数空间上的线性连续映射。
实变函数分析和泛函分析在很多领域中有着广泛的应用，例如物理学、工程学和经济学等。
在物理学中，实变函数分析和泛函分析被用于描述和求解物理系统的运动方程和边值问题。
在工程学中，实变函数分析和泛函分析被应用于信号处理、图像处理和控制系统设计等领域。
在经济学中，实变函数分析和泛函分析被用于分析经济现象和决策问题。
总之，实变函数分析和泛函分析是数学中非常重要的分支，它们分别研究的是实数集上的函数和函数空间及其上的线性算子。
实变函数分析和泛函分析在很多领域中都有广泛的应用，是现代数学的重要基础和工具。
对实变函数和泛函分析的深入研究不仅有助于理解和掌握数学分析的基本概念和定理，也为其他学科中的问题建模和解决提供了数学的框架和方法。
数学的实变函数
数学的实变函数实变函数是数学中一个重要的概念，它在分析学、微积分和数学分析等领域具有广泛的应用。
本文将介绍实变函数的基本概念、性质以及与其他数学概念的关系。
一、实变函数的定义实变函数是指定义在实数集上的函数，即其定义域为实数集，值域可以是实数集或实数集的子集。
一般用符号y=f(x)表示，其中x为自变量，y为因变量。
二、实变函数的基本性质1. 连续性：实变函数可以分为连续函数和不连续函数两种情况。
连续函数在其定义域上处处连续，即函数图像没有突变或跳跃的现象；不连续函数在其定义域上存在断点，函数图像存在间断。
2. 导数：对于实变函数，我们可以定义其导数。
导数描述了函数在某一点处的变化率，是刻画函数局部性质的一个重要指标。
导数的存在与函数的连续性密切相关。
3. 积分：实变函数的积分是对函数曲线下某一区间上的面积进行求解。
积分与导数是密切联系的，通过积分我们可以求得导函数，反之亦然。
积分对于实变函数的研究具有重要意义。
4. 极限：实变函数的极限是指函数在某一点处的趋近值。
极限是函数性质研究的基础，通过对极限的探讨，我们可以研究函数在无穷远处的行为以及函数的收敛性。
三、实变函数与其他数学概念的关系1. 实数与实变函数：实数是实变函数的定义域，实变函数的取值是实数。
实数与实变函数密切相关，在数学分析中一个重要的研究方向就是实数与实变函数的关系。
2. 多元函数与实变函数：实变函数是多元函数的一种特殊情况，多元函数是指定义在多元实数空间上的函数。
实变函数可以看作是只有一个自变量的多元函数。
3. 函数的极限与实变函数：实变函数的极限是刻画函数局部行为的重要概念。
函数的极限是不仅限于实变函数，也适用于其他类型的函数。
四、实变函数的应用实变函数的应用广泛，涉及到物理学、工程学、经济学等多个领域。
例如，在物理学中，实变函数可以用来描述物体的运动轨迹；在经济学中，实变函数可以用来分析市场需求与供给的关系。
总结：实变函数作为数学中的一个重要概念，具有广泛的应用价值。
实变函数的积分
实变函数的积分实变函数的积分被许多数学领域广泛应用，例如微积分、偏微分方程和实分析等。
本文将着重介绍实变函数的积分的基本概念和性质，并探讨一些重要应用。
1. 黎曼积分黎曼积分是最基本的实变函数积分。
它的定义是：若$f(x)$在区间$[a,b]$上可积，则积分$\int_a^bf(x)dx$存在。
换句话说，就是存在一个数$I$，使得对于任意$\epsilon >0$，都能找到某种分割，使得分割后的每个小区间上的函数值$f(x_i^*)$与该小区间长度$|\Delta x_i|$的乘积之和的绝对值与$I$的差小于$\epsilon$。
2. 积分的性质积分有许多重要的性质，这些性质能够协助我们更好地分析和计算积分的结果。
以下是积分的主要性质：（1）线性性：若$f(x)$和$g(x)$在区间$[a,b]$上可积，$c$是任意实数，则有$\int_a^b(cf(x)+g(x))dx=c\int_a^bf(x)dx+\int_a^bg(x)dx$。
（2）单调性：如果$f(x)\geq g(x)$在区间$[a,b]$上成立，则$\int_a^bf(x)dx\geq \int_a^bg(x)dx$。
（3）积分中值定理：如果$f(x)$在区间$[a,b]$上连续，则存在$c\in [a,b]$，使得$\int_a^bf(x)dx=f(c)(b-a)$。
（4）积分换元公式：设$g(x)$在$[a,b]$上是连续的单调函数，$f(x)$在$g(a)$到$g(b)$上连续，则$\int_a^bf(g(x))g'(x)dx=\int_{g(a)}^{g(b)}f(u)du$。
3. 应用实变函数积分有许多应用，以下列举了几个典型的例子：（1）计算曲线长度：设$x=\phi(t)$，$y=\psi(t)$是参数$t\in [a,b]$上的可微曲线，曲线长度为$\int_a^b\sqrt{\phi'^2(t)+\psi'^2(t)}dt$。
实变简单函数χ的概念
实变简单函数χ的概念实变函数是指定义在实数集上的函数。
也就是说，该函数的自变量和因变量都是实数。
在数学分析中，我们通常研究实变函数的性质和变化规律。
实变简单函数是指一个有限次非异值变换的实变函数。
也就是说，实变简单函数可以通过有限次的非异值变换由定义在有限区间上的简单函数得到。
简单函数是指一个定义在有限区间上的函数，它的函数值只能在一个有限的值集合中取值。
那么，如何将一个实变函数表示为实变简单函数呢？我们可以通过线性分段和分段常数函数的方式来表示一个实变函数。
线性分段是指将定义在一个区间上的实变函数划分成若干个区间，然后在每个区间上使用线性函数来表示该实变函数。
而分段常数函数则是指将定义在一个区间上的实变函数划分成若干个区间，然后在每个区间上使用常数函数来表示该实变函数。
举个例子来说明，假设我们有一个实变函数f(x)，它在区间[a, b]上定义。
我们可以将区间[a, b]划分成若干个子区间[a, x1]，(x1,x2]，...，(xn-1, b]，其中x1, x2, ..., xn-1是区间[a, b]上的一些实数。
然后，在每个子区间上，我们可以使用线性函数或分段常数函数来表示该实变函数。
最后，将所有子区间上的表示函数拼接在一起，就得到了一个表示原实变函数的实变简单函数。
实变简单函数有很多重要的性质和特点。
首先，实变简单函数有界且可积。
也就是说，实变简单函数在其定义区间上是有界的，并且它的积分存在。
其次，实变简单函数是一致连续的。
也就是说，对于任意给定的正数ε，存在一个正数δ，使得当两个实数x和y的差的绝对值小于δ时，实变简单函数值的差的绝对值小于ε。
此外，实变简单函数还满足线性性质和分段常数性质。
实变简单函数在数学分析中有重要的应用。
它可以作为其他函数的逼近函数。
由于实变简单函数有界且可积，我们可以使用它来逼近不可积的函数。
通过逼近，我们可以研究这些不可积函数的性质和变化规律。
此外，实变简单函数在微积分中也有广泛的应用。
实变函数习题精选讲解
实变函数习题精选讲解实变函数是数学分析中的一个重要概念，涉及到实数域上的函数。
在学习实变函数时，习题练习非常重要。
本文将选取一些代表性的实变函数习题进行讲解，帮助读者加深对实变函数的理解。
一、求极限1. $\lim\limits_{x\to0}\frac{\sin(\pi x)}{x}$解：当$x\to 0$时，$\sin(\pi x)\to 0$，$x\to 0$，所以可以使用洛必达法则。
$\lim\limits_{x\to0}\frac{\sin(\pix)}{x}=\lim\limits_{x\to0}\frac{\pi\cos(\pi x)}{1}= \pi$2. $\lim\limits_{x\to\infty}\left(1+\frac{a}{x}\right)^{bx}$解：将$x=\frac{1}{t}$代入式子，可得：$\lim\limits_{t\to0^{+}}\left(1+\frac{a}{\frac{1}{t}}\right)^{b\frac{1}{t}}=\lim\limits_{t\to0^{+}}\left(1+at\right)^{\frac{b}{t}}$令$y=\frac{1}{t}$，则原式可表示为：$\lim\limits_{y\to\infty}\left(1+\frac{a}{y}\right)^{by}=\lim\limits _{y\to\infty}\left(\left(1+\frac{1}{\frac{y}{a}}\right)^{\frac{y}{a}}\ri ght)^{ab}=e^{ab}$二、求导数1. 求$f(x)=\int_{0}^{\sqrt{x}}\frac{\sin t^2}{\sqrt{t}}dt$的导数。
解：使用莱布尼茨公式求导数。
$f'(x)=\frac{d}{dx}\int_{0}^{\sqrt{x}}\frac{\sint^2}{\sqrt{t}}dt=\frac{\sin \sqrt{x}}{\sqrt{x}}$2. 求$f(x)=\int_{0}^{x}e^{t^2}dt$的导数。
实变函数知识点简要总结
实变函数知识点简要总结一、实变函数的定义实变函数是指自变量和函数值都是实数的函数。
它的定义域和值域都是实数集。
二、实变函数的分类1. 一元实变函数：自变量只有一个，函数的形式为y = f(x)。
例如：y = x²，y = sin(x)等。
2. 多元实变函数：自变量有多个，函数的形式为z = f(x₁, x₂, ..., xₙ)。
例如：z = x₁² + x₂²，z = sin(x₁) + cos(x₂)等。
三、实变函数的性质1. 定义域和值域：实变函数的定义域是指自变量的取值范围，值域是指函数的所有可能的输出值。
2. 连续性：实变函数在定义域内的每个点都有定义，并且在这些点上具有极限。
连续性可以用极限的概念来描述。
3. 导数和微分：实变函数的导数表示了函数曲线在某一点的切线斜率。
微分则是导数的微小变化。
4. 极值和最值：实变函数在某些点上可能达到极大值或极小值，称为极值点，并且有可能在整个定义域上取得最大值或最小值。
5. 函数的图像：实变函数的图像是函数曲线在坐标系中的表示，可以通过画出函数的图像来对函数进行可视化。
6. 函数的变换：对实变函数进行平移、伸缩、翻转等操作，可以得到新的函数，这些操作可以改变函数的图像和性质。
四、实变函数的应用实变函数在数学和物理等领域有广泛的应用，例如：1. 数学分析：实变函数是数学分析的基础，通过研究实变函数的性质和性质，可以推导出许多数学定理和结论。
2. 物理学：实变函数可以用来描述物理量之间的关系，例如速度和时间的关系、力和位移的关系等。
3. 经济学：实变函数可以用来描述经济模型中的供求关系、成本和收益关系等。
4. 工程学：实变函数可以用来描述工程设计中的参数关系、系统响应等。
总结：实变函数是数学中重要的概念，它可以描述自变量和函数值之间的关系。
通过研究实变函数的性质和应用，可以深入理解数学和其他学科中的相关知识。
了解实变函数的定义、分类、性质和应用，有助于提高数学思维能力和问题解决能力。
实变函数与泛函分析
实变函数的定义
实变函数是定义在实 数集上的函数，其值
域也是实数集。
实变函数具有连续性、 可微性、可积性等性
质。
实变函数的定义域可 以是有限区间、无限 区间或者整个实数轴。
实变函数的值域可以 是有限区间、无限区 间或者整个实数轴。
实变函数的性质
实变函数是一类特殊的数学函数，具 有连续性、可微性和可积性等性质。
实变函数的连续性
实变函数的连续性与极限存 在性有关
实变函数在定义域内是连续 的
实变函数的连续性是函数的 一种基本性质
实变函数的连续性与可微性 密切相关
03 实变函数的应用
实变函数在数学物理方程中的应用
实变函数在求解偏微分方程中的应用 在解决波动方程、热传导方程等数学物理方程中的作用 实变函数在数值分析中的重要地位 实变函数在解决物理问题中的应用实例
求解中。
添加标题
05 泛函分析的应用
泛函分析在微分方程中的应用
微分方程的求解：通过泛函分析中的变分法，求解微分方程的近似解。 稳定性分析：利用泛函分析中的算子谱理论，研究微分方程解的稳定性。 近似方法：利用泛函分析中的逼近理论，构造微分方程的近似解。 数值计算：通过泛函分析中的数值分析方法，对微分方程进行数值模拟和计算。
添加标题
随机积分与微分 方程：在概率论 中，随机积分与 微分方程是非常 重要的研究方向， 而泛函分析中的 积分和微分理论 为此提供了重要
的数学基础。
添加标题
泛函分析在量子力学中的应用
描述了量子力学中的波函数和 概率幅
提供了量子力学中算子的表示 和分类方法
揭示了量子力学中的一些重要 定理和原理，如不确定性原理 和量子纠缠
研究对象：实变函数研究的是具体的、有限的、离散的数学对象，而泛函分析则研究 的是抽象的、无限的、连续的数学对象。
实变函数基本概念
实变函数基本概念实变函数是数学中的一个重要概念，在数学分析领域有广泛的应用。
本文将对实变函数的基本概念进行介绍。
一、实变函数的定义实变函数又称为实数变量函数，是自变量和函数值都是实数的函数。
一般形式为y = f(x)，其中x是自变量，y是函数值。
二、实变函数的定义域和值域实变函数的定义域是指自变量x的取值范围，是一个实数集合。
值域是指函数值y的集合，也是一个实数集合。
三、实变函数的性质1. 单调性：实变函数可以具有增减性，即在定义域内随自变量增大或减小而函数值增大或减小。
2. 奇偶性：实变函数可以具有奇偶性，即在定义域内满足f(-x) = -f(x)或f(-x) = f(x)。
3. 周期性：实变函数可以具有周期性，即存在一个正数T，使得f(x+T) = f(x)对于所有的x成立。
4. 有界性：实变函数可以具有有界性，即在定义域内存在一个数M，使得|f(x)| ≤ M对于所有的x成立。
四、实变函数的分类1. 连续函数：在定义域内，函数在每个点处都存在极限，并且函数值和自变量的差别可以任意小。
2. 间断函数：在定义域内，函数在某些点处不存在极限或者极限存在但与函数值之间存在差别。
3. 可导函数：在定义域内，函数在每个点处存在导数。
4. 严格单调函数：在定义域内，函数在每个点处严格增大或者严格减小。
5. 非单调函数：在定义域内，函数既不是严格增大也不是严格减小，存在局部极大值或极小值。
五、实变函数的图像实变函数的图像是函数在平面直角坐标系上的表示，横轴表示自变量，纵轴表示函数值。
图像的形状和特点可以反映出函数的性质。
六、实变函数的应用实变函数在科学研究和工程技术中有广泛的应用，如物理学中的运动学和力学问题、经济学中的市场供需分析、工程学中的信号处理等。
对实变函数的研究和应用有助于深入理解自然界和人类社会中的各种现象和规律。
总结：本文介绍了实变函数的基本概念，包括定义、性质、分类、图像和应用。
实变函数是数学中重要的概念，其研究和应用对各学科的发展起着重要作用。
实变函数
南京理工大学实变函数（报告）前 言如今，实变函数论已成为现代分析不可缺少的理论基础泛函分析的诞生，在一定程度上正是受到了实变函数的推动。
实变函数论的概念、结论与方法，已广泛应用于微分方程与积分方程理论、fourier 分析、逼近论等学科。
现代概率论已经完全建立在测度论与Lebesgue 积分论的基础上。
在这个意义上甚至可以说，概率论是“概率测度空间中的实函数论”。
实变函数论对于现代数学的重要性，于此可见一斑。
所有数学类专业及某些理工科专业将“实变函数”作为一门重要基础课，是理所当然的。
然而不幸的是，这门课程的名声欠佳。
尽管它为分析数学带来如此巨大的简化的理论，但是不少学过实变函数的学生包括我在内除了留下“抽象、晦涩”的印象之外，收获不多。
下面主要对Lebesgue 测度与积分作个人短浅的叙述。
第一部分 测度与可测函数本部分包含两项相关的内容：测度与可测函数，二者构成本书核心内容“积分论”的基础。
引进测度有两个基本目的。
其一是为定义积分做准备，这无疑是主要目的。
正如对局域上的函数定义重积分需要区域的面积（或体积）概念一样，后者正是长度、面积与体积等几何度量概念的推广。
其二是用来精确刻画函数的性质，例如，若A 是函数f 的不可微点之全体，则A 的测度定量地刻画了f 的可微性。
测度论给函数的研究方法带来了革命性的变化，导致一系列深刻的结果。
1.1测度与可测集定义1.1.1设n R E ⊂.若{}k I 是n R 中的可数个开矩体，且有k I 1k E ≥⊂Y ，则称{}k I 为E 的一个L 覆盖.我们称为点集E 的Lebesgue 外侧度或简称外侧度. 定理1.1.2(i) 非负性： （ii ） 单调性：若 （iii ）次可加性： （iv ） 距离可加性：若 ,则（v ）平移不变性：设 推论1.1.3若{}⎭⎬⎫⎩⎨⎧=∑≥1*L E :)(inf )(m k k k I I v E 覆盖的为0;)Ф (,0)(**=≥m E m );()(E E 2*1*21E m E m ≤⊂，则)()(*11*k k k k k E m E E m Y Y ∞=∞=≤)()()(2*1*21*E m E m E E m +=Y 0),(d 21>E E ).()(,*0*0E m x E m R x n =+∈则.0)(*=⊂E m R E n 为可数点集，则定义1.1.4设n R E ⊂.若对任意的点集n R T ⊂.有则称E 为Lebesgue 可测集，简可测集.可测集的全体称为可测集类，简记M.)(*E m 称为E 的Lebesgue 测度，记为m(E).注：对于中任一点集E ，为了证明它是一个可测集，只需证明对任一点集n R T ⊂，有 ，这是因为 总是成立的。
实变函数(全)总结
2、 实数的加法运算+: R×R→R (群,环,域)
3、 集合的特征函数 A : X {0,1}
（集合A与特征函数互相决定）
称
A(x)
1 0
xA xA
为集A的特征函数，
注：模糊集： f : X [0,1]
参见：《模糊集合、语言变量及模糊逻辑》，L.A.Zadeh
2 集合运算关于映射的性质（像集）
设 lim n
fn (x)
f
(x)，则{x :
f
(x) a}
{x
:
fn (x)
a
1 k
}
k 1 N 1n N
若x
{x
:
fn (x)
a
1 k
}，
k 1 N 1n N
则
1 k
1, N
1,n
N, 有fn (x)
a
1 k
两边关于n取极限，则f
(x)
a
1 k
a
a a+1/k f(x)
反之若x {x：f
i 1
3.集合的运算性质
De Morgan公式
( A )c Ac
( A )c Ac
注：通过取余集，使A与Ac，∪与∩互相转换
4.上、下极限集
设A1, A2 ,, An ,是一个集合序列
上极限集
limAn (或lim supAn )
n
n
{x : x属于无限多个集合An}
{x : 存在无限多个An，使x An}
A ~ B
A
fλ
B
Bernstein定理的证明
证明:
根据题设，存在A到B*上的一一映射f ,以及B到A* 上的一一映射g.
实变函数与泛函分析的基本概念与定理
实变函数与泛函分析的基本概念与定理实变函数和泛函分析是数学中重要的分支，它们研究的是函数和函数集合的性质与行为。
本文将介绍实变函数和泛函分析的基本概念以及相关的定理，帮助读者更好地理解这两个领域。
1. 实变函数的基本概念实变函数是最基本的函数类型，也是我们平时学习和应用最为广泛的函数。
实变函数的定义域和值域都是实数集合，它们之间的关系由一个映射关系决定。
实变函数的性质与行为可以通过各种数学工具和方法进行研究。
常用的实变函数包括多项式函数、指数函数、对数函数等。
实变函数的性质可以用极限、连续性、可导性等概念来描述和刻画。
2. 泛函分析的基本概念泛函分析是研究函数集合的性质和行为的数学学科。
在泛函分析中，函数不再是离散的对象，而是连续、光滑的对象。
泛函分析可以看作是实变函数理论的推广和拓展。
泛函是一种将函数映射到实数的数学工具。
泛函分析的基本对象是线性空间和线性算子，通过引入拓扑结构和度量空间的概念，可以更深入地研究函数集合的性质和行为。
3. 实变函数与泛函分析的基本定理在实变函数和泛函分析中，有一些基本的定理被广泛应用于理论和实践中。
下面将介绍几个重要的定理：3.1 极值定理极值定理是实变函数中的一个重要定理，它表明在一定条件下，连续函数在闭区间上一定取得最大值和最小值。
这个定理在实际问题中具有广泛的应用，可以帮助我们确定函数的最优解。
3.2 贝尔纲定理贝尔纲定理是泛函分析中的一个重要定理，它给出了泛函的存在性和唯一性。
贝尔纲定理的证明基于反证法和逼近法，通过构造逼近序列来证明泛函的极限存在。
贝尔纲定理在泛函分析的研究中有着重要的地位。
3.3 泛函的最优性定理最优性定理是泛函分析中的一个基本定理，它给出了泛函的最优解的存在性。
最优性定理在最优化问题的研究中有广泛应用，可以帮助我们确定泛函的最佳取值。
4. 结论实变函数和泛函分析是数学中重要的分支，它们研究的是函数和函数集合的性质与行为。
实变函数和泛函分析的基本概念与定理为我们理解和应用这两个领域提供了坚实的理论基础。
《实变函数》概述
绪 论1.实变函数论的内容顾名思义，实变函数论即讨论以实数为变量的函数，这样的内容早在中学都已学过，中学学的函数概念都是以实数为变量的函数，大学的数学分析，常微分方程都是研究的以实数为变量的函数，那么实函还有哪些可学呢？简单地说：实函只做一件事，那就是恰当的改造《数学分析》中Riemann 积分定义使得更多的函数可积。
何以说明现有《数学分析》中Riemann 积分范围小了呢？因为D(x)＝ 为有理数时，为无理数时x x 1,0这样形式极为简单的函数都不可积， 所以我们认为积分范围狭窄。
如何改造积分定义来达到拓广积分范围的目的呢？让我们先剖析一下造成这一缺陷的根本原因在何处，只有先找准病根，然后才能对症下药。
由数学分析知：对任意分划T ：a ＝b x x x x n =<<<<L 210， 由于任意一个正长度区间内既有有理数又有无理数，所以恒有：S(T,D)－s(T,D)≡1－0=1如果分划不是这样呆板，这样苛刻地要求一定要分成区间的话，还是有可能满足大小和之差任意小的。
比如，只要允许将有理数分在一起，将无理数分在一起，那么大小和之差就等于零了。
这就是问题的着眼点，首先让分化概念更加广泛，更加灵活，从而可将函数值接近的分在一起以保证大小和之差任意小。
即D:E ＝[]U ni i i y f y E 11=−<≤，其中m ≤f<M ，m ＝M y y y m n =<<<=L 10时，要Ｓ(D,f)-s(D,f)=[][][]ε<⋅−≤<≤⋅−−≤≤−=−∑mE y y y f y mE y yi i ni i i n i i i 11111max ，只须[]mE y y i i n i ε<−−≤≤11max ，这里[]i i y f y mE <≤−1相当于集合[]i i y f y E <≤−1的长度。
Lebesgue 正是基于这个思路创立了Lebesgue 积分理论。
有关实变函数论的论文
有关实变函数论的论文摘要实变函数论是数学中的基础理论之一，主要研究实数域上的函数性质及其应用。
本文将简要介绍实变函数论的基本概念和主要定理，以及它在数学和其他领域中的重要应用。
引言实变函数论是数学分析的一个重要分支，通过对实数域上的函数进行研究，可以深入理解函数的性质和行为。
实变函数论在数学分析、微积分、拓扑学等领域中具有广泛应用。
本文将从实变函数的定义开始，逐步介绍实变函数论的基本概念和主要定理，为读者提供一个全面了解实变函数论的概览。
1. 实变函数的定义在实变函数论中，我们首先需要定义什么是实变函数。
给定一个实数集合X，一个函数$f: X \\to \\mathbb{R}$被称为实变函数。
实变函数的定义域为X，值域为实数集合$\\mathbb{R}$。
实变函数可以用符号表达为$f: X \\to\\mathbb{R}$。
2. 实变函数的性质实变函数具有许多重要的性质，其中包括连续性、可导性、单调性等。
下面我们将介绍一些常见的实变函数性质。
2.1 连续性对于实变函数$f: X \\to \\mathbb{R}$，如果对于任意的x都存在一个正实数$\\delta$，使得当$|x-y|<\\delta$时，$|f(x)-f(y)|<\\epsilon$，那么我们称函数f在点x处连续。
如果函数f在定义域X的每一个点上都连续，那么我们称函数f 在X上连续。
2.2 可导性对于实变函数$f: X \\to \\mathbb{R}$，如果函数在点x处的导数存在，那么我们称函数在点x处可导。
可导性是实变函数论中一个重要的性质，它能够帮助我们研究函数的斜率和变化率。
2.3 单调性对于实变函数$f: X \\to \\mathbb{R}$，如果对于任意的x, y满足$x \\leq y$时有$f(x) \\leq f(y)$，那么我们称函数f是单调递增的。
如果对于任意的x, y满足$x \\leq y$时有$f(x)\\geq f(y)$，那么我们称函数f是单调递减的。
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《实变函数》课程教学大纲
课程编号:02021
课程名称：实变函数
英文名称： Functions of Real Variable
课程类型: 必修课（专业基础平台课）
总学时： 72 讲课学时： 62 习题课学时： 10
学分： 4
适用对象: 数学与应用数学专业、信息与计算科学专业本科三年级
先修课程：数学分析、高等代数、解析几何、复变函数、常微分方程
一、课程简介
实变函数论是19世纪末、20世纪初，主要由法国数学家勒贝格(Lebesgue)创立的。
它是普通微积分的继续，其目的是想克服牛顿和莱布尼兹所建立的微积分学存在的缺点，使得微分和积分的运算更加对称、更加完美。
通过数学分析课程系统学习与严格的训练，使学生较为全面地掌握近代微积分学—勒贝格微积分理论；加强与数学分析中的微积分理论的联系与对比，理解勒贝格积分理论的优越性及其对近代数学理论的影响；并能运用集合的基数、测度论等知识指导中学有关内容的教学。
四、教学内容
第一章集合(讲课 8 , 习题课1)
§1．集合及其运算
§2．映射，对等和集合的基数（势）
§3．可数集合
§4．不可数集合
第二章点集(讲课 8 , 习题课1)
§1．n维欧氏空间中的基本概念
§2．内点、聚点、界点
§3．开集、闭集、完备集
§4．直线上开集、闭集及完备集的构造
第三章测度论(讲课 10 , 习题课2)
§1．外测度
§2．可测集
§3．可测集与Borel集
§4．不可测集
第四章可测函数(讲课 10 , 习题课2)
§⒈可测函数及其性质
§2．叶果洛夫定理
§3．可测函数的构造
§4．依测度收敛
第五章积分理论(讲课 16 , 习题课2)
§1．黎曼(Riemann)积分
§2．勒贝格（Lebesgue）积分的定义
§3．勒贝格积分的性质
§4．一般可积函数
§5．积分的极限定理
§6．勒贝格积分的几何意义和Fubini定理
第六章微分与不定积分(讲课 10 , 习题课2)
§1．维它利（Vitali）定理
§2．单调函数的可微性
§3．有界变差函数
§4．不定积分
§4．不定积分
§5．斯蒂尔切斯（Stieltjes）积分
§6．勒贝格－斯蒂尔切斯测度与积分
十、推荐教材
教材：《实变函数与泛函分析基础》（第二版），程其襄等编著，高等教育出版社，3年。
参考书：
１、《实变函数论》，周民强编著，北京出版社，1年。
２、《实变函数与泛函分析》，薛昌兴编著，高等教育出版社，1993年。
大纲制订人：冯淑霞
大纲审定人：许以超`
制订日期：年7月1日。