反比例函数中“k”的意义问题

1

反比例函数中“k ”的意义

知识点:反比例函数x

k

y =

图象上任意一点),(y x P ，恒有k xy =。 一．判断点是否在某一反比例函数的图象上：

例如，点)3,2(-P 在某一反比例函数的图象上，则下列点哪个也在该图象上（ ） A. )4,1(- B. )4,5.1(-- C. )3,2( D. )2,3(-

又比如，下列四点中，哪个点与另外三个不在同一双曲线上（ ） A. )6,1(-- B. )4,5.1(-- C. )3,2( D. )2,3(-

二．图象所处象限与“k ”的关系： k 的符号决定了x 、y 的符号关系。当0>k

时，x 、y 同号，即点),(y x P 处于一、三象限；当0

x 、y 异号，即点),(y x P 处于二、四象限。

1．多选题：若0>mn ，则直线

mx y =与双曲线x

n

y =

在同一坐标系中可能是（ ） A.

B.

C.

D.

2．通过上题发现：当正比例函数与反比例函数的

时，它们的图象无交点；当正比例函数与反比例函数的 时，它们的图象有两个交点，若其中一点为),(b a ，则另一点的坐标必为

。

例如，已知直线kx y =与双曲线x

y 3

=交于点),(11y x A 、),(22y x B ，则0k ，且1221y x y x +的值

为 。 3．一次函数

1-=kx y 与反比例函数x

k

y =

的图象大致是（ ） A. B. C. D.

例如，如图，直线b x k y +=1与双曲线x

k y 2

=

交于点)2,1(A 、)1,(-m B 。求(1)AOB ?的面积；(2)若点),(11y x 、),(22y x 、),(33y x 为双曲线上三点，且3210x x x <<<，请直接比较1y 、2y 、3y 的大小；(3)

观察图象，直接写出方程x k b x k 21=+的解和不等式x

k b x k 2

1>+的解集。

函数)0(1≥=x x y 与)0(9

2>=

x x

y 的图象如图， 则结论：①交点坐标为)3,3(A ；②当3>x 时，则有

12y y >；③当1=x 时，8=BC ；④当x 逐渐增大时， 1y 也逐渐增大，2y 逐渐减小。其中正确的有 。

2

反比例函数图像上三角形面积问题

结论1：如图1所示，设P （a ，b ）是反比例函数y=x k

（k ≠0）图像上的一点，过点P 作PA ⊥x 轴，垂足为A ，三角形PAO

的面积是S

，则

S=1/2|k|

结论2:如图2所示，设P （a ，b ）是反比例函数y=x k

（k ≠0）图像上的一点，过点P 作PB ⊥y 轴，垂足为B ，

三角形PBO 的面积是S ，则S=1/2|k|

结论3:如图3所示,正比例函数y=k 1

x （k 1

＞0）与反比例函数y=x

k

（k ＞0）的图像交于A 、B 两点，过A 点作AC ⊥x 轴，垂足是C ，

三角形ABC 的面积设为S ，则S=|k|，与正比例函数的比例系数k 1无关。

结论4: 如图4所示正比例函数y=k 1

x （k 1

＞0）与反比例函数y=x k

（k ＞0）的图像交于A 、B 两点，过A 点作AC ⊥x 轴，过B 点作BC

⊥y 轴，两线的交点是C ，三角形ABC 的面积设为S ，则S=2|k|，与正比例函数的比例系数k 1无关。

例1：如上图1，若点P 在双曲线x

y 2

-=

上，则AOP ?面积为 ； 如上图2若点P 在双曲线x

k

y =

上，且BOP ?面积为3，则=k 。（注意符号） 例2、两个反比例函数y=x k 和y=x 1在第一象限内的图象，如图6所示，点P 在y=x k 的图象上，PC ⊥x 轴于点C ，交y=x

1

的

图象于点A ，PD ⊥y 轴于点D ，交y=x 1的图象于点B ，当点P 在y=x

k

的图象上运动时，以下结论：①△ODB 与△OCA 的面

积相等；②四边形P AOB 的面积不会发生变化；

③P A 与PB 始终相等；④当点A 是PC 的中点时，点B 一定是PD 的中点． 其中一定正确的是 （08年湖北省咸宁市）

例3、如图8，一次函数

1

22y x =

-的图象分别交x 轴、y

轴于A 、B ，P 为AB 上一点且PC 为△AOB 的中位线，PC 的延长线交反比例函数

(0)k

y k x

=

>的图象于Q ，

3

2OQC S ?=

，则k 的值和Q 点的坐标分别为____________ 练习：1．如图，点A 、B 是双曲线同一支上两点，过 点A 作x AM ⊥轴， x BN ⊥轴，OB 与AM 交于点P ，则有（ ）

A ．BPMN AOP S S 梯形

B ．BPMN AOP S S 梯形=?

x

y

A B

M N

P

o

3

C ．BPMN AOP S S 梯形>?

D ．无法确定

拓展：上图中连接

AB ，点)4,1(A 、),3(m B ，则AOB ?的面积为 。

2．如图，直线AB 与双曲线x y 4-=交于点A 、B 。 如左图过点B 作y BD ⊥轴，连接AD

则四边形ADBC 的面积是 。

如右图y AE ⊥轴，x CD ⊥轴，且BF OB =，则阴影部分面积为 。3．如图，点P 在双曲线（0>x ）上自左至右运动，过 P 作x PQ ⊥轴，则POQ

?的面积如何变化（ ）

A.不变

B.变大

C.变小

D.无法确定

变式：如图，点P 在双曲线（0>x ）上自左至右运动，点Q 在x 轴上不动，连接PQ ，则POQ ?的面积如何变化（ ）

A.不变

B.变大

C.变小

D.无法确定 ☆K 的范围：

4．如图点)1,2(M 、)6,2(N ，双曲线x

k

y =

的与线段MN

相交， 过点P 作y PG ⊥轴，则POG ?的面积S 取值范围是 。

变式：

左图，整数k 是 ；右图，k 的范围 。

5．如图，长方形OABC 顶点)3,4(B ，双曲线x

k

y =交

BC 于D ，交AB 于E ，且1=CD 。 ① 求双曲线的解析式与E 点坐标；判断长方形对角线交点F （即OB 中点）是否在双曲线上？ ② 连接OD 、OE ，求四边形ODBE 的面积。

拓展：如图，双曲线x

k y =

与长方形OABC 的边交于点E 、F 。

① 若长方形OABC 的面积为6，且点E 是AB 中点，则=k ，四边形OEBF 的面积为 ； ② 若长方形OABC 的面积为6，则四边形OEBF 的面积用k ③ 如图，双曲线x k y 11=与x

k y 2

2=上各有一点A 、B ，

且x AB //轴，先比较大小：1k 2k ，用1k 、2k 表示长方形④ 如图，点)3,(1x A 、)3,(2x B ，且221=-x x ，则阴影部分面积为 。

⑤ 如图，双曲线x y 4-=与x y 2

=上各有

一点A 、B ，且x AB //轴，则=?ABC S 。

⑥ 如图，五边形OABCD 的面积为14，点),(11y x B 、

),(22y x C 在双曲线x

k

y =

上， 且412=-x x ，221=-y y ，四边形OEFG 面积为2， 则四边形CDEF 的面积为 ，=k 。

x

y

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