(完整版)反比例函数中k的几何意义(提高有难度)
反比例函数中比例系数k的几何意义
反思小结
在反比例函数 y 10 的图象上,有一系列点A1，A2， x A3…..An，An+1，若A1横坐标为2,且以后每点的 横坐标与它前一个点的横坐标的差都为2. 现分别 过点A1，A2，A3…..An，An+1作X轴与Y轴的垂线 段，构成若干个矩形如图10所示，将图中阴影部 分的面积从左到右依次记为S1、S2、S3、…Sn， 5 5 15 2 5 2 (5 _____, ) 则S1=________, S +S +S =____ S1+S2 2 1 2 3 4 2 5 10 n 2 (5 ) +S3+….+Sn=________________.( 用n的代数式表 n 1 n 1 A 示)
C
S SOAD SABD SBCD SOCD 4 1 4
达标测试
已知几何图形的面积S，求比例系数k
5、如图，已知双曲线 （k>0） 经过矩形OABC边AB的中点F，交BC于点E， 且四边形OEBF的面积为2，则k的值为（ B ）。
y
y
k x
A 1
所以
B 2
C 4
S OAB 4
O
y
已知几何图形的面积S，求比例系数k k y 变式、如图，已知双曲线 x ( k＞0 )经
B
D
C E A
x
而
SOAB SOBC SOAC
即
S ODE 1 S OAB 1 4 k 3 2
1 k 2
相似三角形的面积比 等于相似比的平方 k 4;
k 0 k 4
k 0 k 4
4 y x
达标测试
4、如图，在平面直角坐标系中， 点O为原点，菱形OABC的对角线 OB在x轴上，顶点A在反比例函数 2 的图像上，求菱形的面积。 y B
专题01 用几何意义探究反比例函数中k值问题的多种解法(解析版)
专题01 用几何意义探究反比例函数中k 值问题的多种解法如图，反比例函数k y x =（k >0），A 、C 是第一象限上两点，S △OAB =S △OCD =2k ；S △OAC =S 梯形ABDC 在已知面积或比例线段解答反比例函数的问题中，善于利用k 与面积的关系，往往可以事半功倍．典例1．知面积比值，求k 值（2022•山东聊城中考真题）如图，直线与反比例函数在第一象限内的图象交于点，与y 轴交于点B ，过双曲线上的一点C 作x 轴的垂线，垂足为点D ，交直线于点E ，且．()30y px p =+¹()0k y k x=>()2,A q 3y px =+:3:4AOB COD S S =△△(1)求k ，p 的值；(2)若OE 将四边形BOCE 分成两个面积相等的三角形，求点C 的坐标．【答案】(1)，；(2)点C 的坐标为(4，2)【解析】【方法一】坐标法（1）解：∵直线与y 轴交点为B ，∴，即．∵点A 的横坐标为2，∴．∵，∴△COD 的面积为4，设，∴，解得．∵点在双曲线上，∴，把点代入，得，∴，；8k =12p =3y px =+()0,3B 3OB =13232AOB S =´´=V :3:4AOB COD S S =△△,k C m m æöç÷èø142k m m×=8k =()2,A q 8y x=4q =()2,4A 3y px =+12p =8k =12p =（2）解：由（1）得8,C m m æöç÷èø，∴．∵OE 将四边形BOCE 分成两个面积相等的三角形，∴，∵32BOE S m =△，，∴，解得或（不符合题意，舍去），∴点的坐标为（4，2）．【方法二】k 的几何意义法解：（1）由题意知，△ABO 的面积为3，又，得：△OCD 的面积为4，故k =2S △OCD =8，所以，A （2,4），把点代入，得（2）如图，过A ，E 作y 轴垂线，垂足为M ，N则四边形ODEN 为矩形，所以，S △OEN =S △OED ，又S △OBE =S △OCE ，所以S △BEN =S △OCD =4，1,32E m m æö+ç÷èøBOE COE S S =△△13422COE m S m æö=+-ç÷èø△3134222m m m æö=+-ç÷èø4m =4m =-C :3:4AOB COD S S =△△()2,4A 3y px =+12p =所以S △ABM =1，∵AM ∥NE ，∴△ABM ∽△EBN ，其面积比为1:4，∴AM ：NE =1:2，即NE =4，∴C 点坐标为（4,2）典例2．知比例线段，求k 值（2022•贵州铜仁中考真题）如图，点A 、B 在反比例函数k y x=的图象上，AC y ^轴，垂足为D ，BC AC ^．若四边形AOBC 的面积为6，12AD AC =，则k 的值为_______．【答案】3．【解析】【方法一】坐标法设点,k A a a æöç÷èø，∵AC y ^轴，∴AD a =，k OD a =，∵12AD AC =，∴AC 2a =，∴CD =3a ，∵BC AC ^．AC y ^轴，∴BC ∥y 轴，∴点B 3,3æöç÷èøk a a ，∴233k k k BC a a a=-=，∵AOD AOBC OBCD S S S =+V 四边形梯形，四边形AOBC 间面积为6，∴12136232k k a k a a æö+´=+ç÷èø，解得：3k =．【方法二】k 的几何意义法如图，连接OC ，延长CB 交x 轴于E ，则S △AOD =S △BOE =12k ，因为AD ：AC =1:2，所以S △AOC =2S △AOD =k ，S △BOC =6-k ，又四边形DOEC 为矩形，OC 为对角线，所以，S △COD =S △COE ，所以12k +k =6-k +12k ，解得：k =3．典例3．知面积值，求k 值（2022•内蒙古呼伦贝尔中考真题）如图，在平面直角坐标系中，Rt OAB △的直角顶点B 在x 轴的正半轴上，点O 与原点重合，点A 在第一象限，反比例函数k y x=（0x >）的图象经过OA 的中点C ，交AB 于点D ，连接CD ．若ACD △的面积是1，则k 的值是_________．【答案】43．【解析】【方法一】坐标法解：设C （m ，k m），因为C 为OA 中点，所以A （2m ，2k m），则D （2m ，2k m ），又△ACD 的面积为1，所以12122k k m m m æö×-=ç÷èø，解得：k =43【方法二】k 的几何意义法解：连接OD ，过C 作CE AB ∥，交x 轴于E ，∵∠ABO ＝90°，反比例函数k y x =（x ＞0）的图象经过OA 的中点C ，1ACD S =V ，∴12COE BOD S S k ==△△，1ACD OCD S S ==V V ，2OC =OA ，∵CE AB ∥，∴△OCE ∽△OAB ，∴221124OCE S OC S OA æöæö===ç÷ç÷èøèø△△O A B ，∴4OCE OAB ACD OCD OBD S S S S S ==++V V V V V ，∴1141122k k ´=++，∴k ＝43，故答案为：43．1.（2022•辽宁锦州中考真题）如图，在平面直角坐标系中，△AOB 的边OB 在y 轴上，边AB 与x 轴交于点D ，且BD =AD ，反比例函数y =k x(x >0)的图像经过点A ，若S △OAB =1，则k 的值为___________．【答案】2．【解析】【方法一】坐标法解：设A(a，b) ，如图，作A过x轴的垂线与x轴交于C，则：AC=b，OC=a，AC∥OB，∴∠ACD=∠BOD=90°，∠ADC=∠BDO，∴△ADC≌△BDO，∴S△ADC=S△BDO，∴S△OAC=S△AOD+ S△ADC=S△AOD+ S△BDO= S△OAB=1，∴12×OC×AC=12ab=1，∴ab=2，∵A(a，b) 在y=kx上，∴k=ab=2 ．【方法二】k的几何意义法由上知，S△AOC=1，所以，k=2S△AOC=2故答案为：2．2.（2022•辽宁鞍山中考真题）如图，在平面直角坐标系中，O 是坐标原点．在Rt OAB V 中，90OAB Ð=°，边OA 在y 轴上，点D 是边OB 上一点，且:1:2OD DB =，反比例函数()0ky x x=>的图象经过点D 交AB 于点C ，连接OC ．若4OBC S =△，则k 的值为_________．【答案】1．【解析】【方法一】坐标法解：∵反比例函数()0k y x x=>的图象经过点D ，∠OAB ＝90°，∴D （m ，k m ），∵OD ：DB ＝1：2，∴B （3m ，3k m），∴AB ＝3m ，OA ＝3k m ，∴反比例函数()0k y x x =>的图象经过点D 交AB 于点C ，∠OAB ＝90°，∴12AOC S k =△，∵4OBC S △＝，∴4AOB AOC S S -△△＝，即1313422k m k m ´×-=，解得k ＝1【方法二】k 的几何意义法如图，过D 作DE ⊥x 轴，则DE ∥AB ，因为OD ：BD =1:2，所以DE ：AB =1:3，所以S △ODE ：S △OAB =1：9，又S △ODE =S △OAC =12k ，所以12k +4=92k ，解得：k =13.（2022•江苏南通中考真题）平面直角坐标系中，已知点是函数图象上的三点．若，则k 的值为___________．【答案】【解析】【方法一】坐标法解：∵点是函数图象上的三点，∴，，∴m ＝n ，∴，，∴点B 、C 关于原点对称，∴设直线BC 的解析式为，代入得：，解得：，∴直线BC 的解析式为，xOy (,6),(3,2),(3,2)--A m m B m n C m n (0)k y k x=¹2ABC S =△34(,6),(3,2),(3,2)--A m m B m n C m n (0)k y k x =¹260k m =>6k mn =(3,2)B m m (3,2)C m m --()0y kx k =¹(3,2)B m m 23m mk =23k =23y x =不妨设m ＞0，如图，过点A 作x 轴的垂线交BC 于D ，把x ＝m 代入得：，∴D （m ，），∴AD ＝，∴，∴，∴，而当m ＜0时，可得，故答案为：．【方法二】由题意知，S △OAB =12632m n m m ×-×，O 为BC 中点，因为所以，S △OAB =12632m n m m ×-×=1，即291mn m -=①，又632m m m n k ×=×=②，23y x =23y m =23m 216633m m m -=()11633223ABC S m m m =´×+=V 218m =2136684k m ==´=34k =342ABC S =△由①②可得：4.（2022•湖北十堰中考真题）如图，正方形ABCD 的顶点分别在反比例函数()110k y k x=>和()220k y k x =>的图象上．若BD y ∥轴，点D 的横坐标为3，则12k k +=（ ）A ．36B ．18C ．12D ．9【答案】B ．【解析】【方法一】解：连接AC ，与BD 相交于点P ，设PA =PB =PC =PD =t （t ≠0）．∴点D 的坐标为（3，23k ），∴点C 的坐标为（3-t ，23k +t ）．∵点C 在反比例函数y =2k x 的图象上，34k=∴（3-t ）（23k +t ）=k 2，化简得：t =3-23k ，∴点B 的纵坐标为23k +2t =23k +2（3-23k ）=6-23k ，∴点B 的坐标为（3，6-23k ），∴3×（6-23k ）=1k ，整理，得：1k +2k =18．【方法二】先利用D 点坐标，表示出A 和C 点坐标，再根据四边形ABCD 为正方形，BD 与y 轴平行，知AC 平行于x 轴，那么，A 和C 点的纵坐标相等，进而求解23,3k D æöç÷èø，13,3k B æöç÷èø，122123,636k k k C k k æöç÷--ç÷-ç÷-èø，121123,636k k k A k k æöç÷-+ç÷-ç÷+èø所以2112123366k k k k k k =---+，整理得：()212212180k k k k ---=即()()1212108k k k k -+=-因为()120k k -¹所以()12018k k +-=，即1218k k +=5.（2022•黑龙江龙东中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，平行四边形OBAD 的顶点B 在反比例函数3y x =的图象上，顶点A 在反比例函数k y x=的图象上，顶点D 在x 轴的负半轴上．若平行四边形OBAD 的面积是5，则k 的值是（ ）A ．2B ．1C ．1-D ．2-【答案】D ．【解析】解：设B点坐标为3,mmæöç÷èø，则A3,3kmmæöç÷èø，因为平行四边形OBAD的面积是5，所以353kmmmæö-×=ç÷èø，解得k=-2【方法二】解：如图，连接OA，设AB交y轴于点C，∵四边形OBAD是平行四边形，平行四边形OBAD的面积是5，∴1522AOB OBADS S==V Y，AB∥OD，∴AB⊥y轴，∵点B在反比例函数3yx=的图象上，顶点A在反比例函数kyx=的图象上，∴3,22 COB COAkS S==-V V，∴35222 AOB COB COAkS S S=+=-=V V V，解得：2k=-．故选：D．6.（2022•湖北黄石中考真题）如图，反比例函数kyx=的图象经过矩形ABCD对角线的交点E和点A，点B、C在x轴上，OCE△的面积为6，则k=______________．【答案】8．【解析】设C （m ，0），由题意知E 为AC 中点，因为△OCE 面积为6，所以E 点纵坐标为12m，所以E 12,12km m æöç÷èø，A 24,6km m m æö-ç÷èø，又A 在反比例函数图像上所以246km m k mæö-×=ç÷èø解得k =8【方法二】解：如图作EF ⊥BC ，则12EF AB =，设E 点坐标为（a ，b ），则A 点的纵坐标为2b ，则可设A 点坐标为（c ，2b ），∵点A ，E 在反比例函数k y x=上，∴ab =k =2bc ，解得：a =2c ，故BF =FC =2c -c =c ，∴OC =3c ，故113622OEC S OC EF c b =´´=´´=V ，解得：bc =4，∴k =2bc =8，故答案为：8．7.（2022•贵州六盘水中考真题）如图，正比例函数与反比例函数的图象交于，两点．y x =4y x=A B(1)求，两点的坐标；(2)将直线向下平移个单位长度，与反比例函数在第一象限的图象交于点，与轴交于点，与轴交于点，若，求的值．【答案】(1)；(2)【解析】（1）解：联立与，解得，；（2）【方法一】解：如图，过点作轴于点，A B y x =a C x D y E 13CD DE =a ()()2,2,2,2A B --3a =y x =4y x=121222,22x x y y ==-ììíí==-îî()()2,2,2,2A B \--C CF y ^F，，，直线向下平移个单位长度得到，根据图象可知,令，得，令，得，，，，，与反比例函数在第一象限的图象交于点，，将代入，得，解得或（舍去）．【方法二】CF OD \∥Q 13CD DE =13OF CD OE DE \==Q y x =a y x a =-0a >0x =y a =-0y =x a =()0,E a \-(),0D a 10,3F a æö\ç÷èø13c y a \=Q y x a =-4y x=C 41213c x aa \==121,3C a a æöç÷èøy x a =-1123a a a=-3a =3a =-如图，连接OC ，过C 作CE ⊥x 轴，因为CD ：DE =1:3，CE ∥OE则△CDE ∽△EDO ，相似比为1:3，面积比为1:9，易知△ODE 面积为212a ，△OCE 的面积为12k =2，所以△OCD 的面积为2-2118a ，又△OCD 与△ODE 的面积比为1:3，所以2-2118a =21132a ´，解得：a =3或a =-3（舍）8.（2022•安徽中考真题）如图，平行四边形OABC 的顶点O 是坐标原点，A 在x 轴的正半轴上，B ，C 在第一象限，反比例函数1y x =的图象经过点C ，()0k y k x=¹的图象经过点B ．若OC AC =，则k =________．【答案】3．【解析】【方法一】设C 1,m m æöç÷èø，因为OC =AC所以A ()2,0m ，又OABC 为平行四边形所以B 13,m m æöç÷èø因为B 点在k y x =上，所以k =133m m ×=【方法二】解：过点C 作CD ⊥OA 于D ，过点B 作BE ⊥x 轴于E ，∴CD ∥BE ，∵四边形ABCO 为平行四边形，∴CB OA ∥ ，即CB DE ∥，OC =AB ，∴四边形CDEB 为平行四边形，∵CD ⊥OA ，∴四边形CDEB 为矩形，∴CD =BE ，∴在Rt △COD 和Rt △BAE 中，OC AB CD EB =ìí=î，∴Rt △COD ≌Rt △BAE （HL ），∴S △OCD =S △ABE ，∵OC =AC ，CD ⊥OA ，∴OD =AD ，∵反比例函数1yx=的图象经过点C，∴S△OCD=S△CAD=12，∴S平行四边形OCBA=4S△OCD=2，∴S△OBA=11 2OCBAS=平行四边形，∴S△OBE=S△OBA+S△ABE=13122+=，∴3232k=´=．故答案为3．。
(完整版)应用反比例函数中k的几何意义解题举例
反比例图像上的点与坐标轴围成图形的面积一般地，如图1，过双曲线上任一点A 作x 轴、y 轴的垂线AM 、AN ，，所得矩形AMON 的面积为：S=AM×AN=|x|×|y|=|xy|. 又∵y=xk，∴xy=k. ∴AMON S 矩形=|k|.∴||21k S AOM=∆. 这就是说，过双曲线上任一点，做X 轴、Y 轴的垂线，所得矩形的面积为|k|,这是系数k 的几何意义，明确了k 的几何意义会给解题带来许多方便，请思考下列问题： 1、求函数的解析式例1如图2所示，在平面直角坐标系中，一次函数1y kx =+的图象与反比例函数9y x=的图象在第一象限相交于点A ．过点A 分别作x 轴、y 轴的垂线，垂足为点B 、C ．如果四边形OBAC 是正方形，求一次函数的关系式．解析 四边形OBAC 是正方形及反比例函数9y x=的图象在第一象限相交于点A ，则正方形OBAC 的面积为：S ＝xy ＝9，所以正方形的边长为3，即点A 的坐标（3，3，）。
将点A （3，3，）代入直线得y=32x+1。
2.特殊点组成图形的面积例2如图3，点A 、B 是双曲线3y x=上的点，分别经过A 、B 两点向x 轴、y 轴作垂线段，若1S =阴影，则12S S += ．解析 由A,B 分别向两坐标轴作垂线围成图形的面积相等， ∴S 1+S 阴影＝S 2+S 阴影＝xy ＝3. ∵1S =阴影，∴12S S +=2＋2＝4。
例3如图4，A 、B 是函数2y x=的图象上关于原点对称的任意 AN MXY O ACOBx图2xyABO1S 2S 图3两点，BC ∥x 轴，AC ∥y 轴，△ABC 的面积记为S ，则（ ） A ．2S = B ．4S = C ．24S << D ．4S >解析 ∵A 、B 是函数2y x=的图象上关于原点对称的任意两点， ∴△ABC 的面积记为S ＝4S △AOD =4×21xy=4.3、求字母的值例4如图5，直线y=mx 与双曲线y=xk交于A 、B 两点，过点A 作AM ⊥x 轴，垂足为M ，连结BM,若ABM S ∆=2，则k 的值是（ ） A ．2 B 、m-2 C 、m D 、4 解析 ∵直线y=mx 与双曲线y=xk交于A 、B 两点，已知A,B 两点关于原点O 对称，所以ABM S ∆=2S △AOM =2×21xy=xy=2 ∴k=2。
反比例函数中k的几何意义
【主干必备】 反比例函数中比例系数k的几何意义 设点P(m,n)是双曲线y= k (k≠0)上任意一点
x
(1)过点P作x轴或y轴的垂线,垂足为点A,则
S△OAP=
1 2
·OA·AP=
1 |m|·|n|=
2
1 |mn|=
2
1 2
|k|.
(2)过点P分别作x轴、y轴的垂线,垂足为A,B,
值为 世纪金榜导学号( D )
A.5
B.-5
C.10
D.-10
3.(2019·哈尔滨木兰期末)已知P是反比例函数y= k
x
(k≠0)图象上一点,PA⊥x轴于A,若S△AOP=4,则这个反
比例函数的解析式是 ( C )
A.y= 8
x
C.y= 8 =- 8
x
D.y= 4 或y=- 4
则S矩形OAPB=OA·AP=|m|·|n|=|mn|=|k|.
【微点警示】 因为反比例函数y= k (k是常数,k≠0)中的k有正、负之
x
分,所以在利用解析式求矩形或三角形的面积时,都应 加上绝对值符号;已知矩形或三角形的面积求反比例函 数的解析式或k的值时,要根据函数的图象所在的象限 确定k的正负.
x
x轴于点B交反比例函数y= 2 的图象于点C,连接OA,OC,
x
则△OAC的面积为 ( B )
A.2
B.3
C.6
D.8
2.(2019·达州达川区期末)如图所示,点A是反比例函
数y= k 的图象上的一点,过点A作AB⊥x轴,垂足为B,点
x
C为y轴上的一点,连接AC,BC.若△ABC的面积为5,则k的
【核心突破】
反比例函数的k值的几何意义
P = 220 R
2
解
从①式可以看出,电阻越大则功率越小. 式可以看出,电阻越大则功率越小. 把电阻的最大值R=220 把电阻的最大值R=220 代入① 代入①式,则得到输出功 率的最小值
把电阻的最小值R=110 把电阻的最小值R=110 代入① 代入①式,得到输出功率 最大值: 最大值:
220 = 440 P=
解:P = 220 R Nhomakorabea2
即输出功率P是电阻R的反比例函数. 即输出功率P是电阻R的反比例函数.
例2:一个用电器的电阻是可调节的,其范围为 一个用电器的电阻是可调节的, 110～220欧姆 已知电压为220伏 110～220欧姆.已知电压为220伏,这个用电器的电路 欧姆. 图如图所示. 图如图所示. (1)输出功率P与电阻R有怎样的函数关系? (1)输出功率 与电阻R有怎样的函数关系? 输出功率P (2)用电器输出功率的范围多大? (2)用电器输出功率的范围多大 用电器输出功率的范围多大?
10 (2)把S=500代入 解: (2)把S=500代入 S =
d
500 = 10 d
解得: d 解得:
4
4
,得 :
= 20
施工时 m ,,施工时
2
答:如果把储存室的底面积定为500 如果把储存室的底面积定为500 应向地下掘进20m深 应向地下掘进20m深.
(3)当施工队按(2)中的计划掘进到地下15m时,碰上 (3)当施工队按 中的计划掘进到地下 当施工队按(2)中的计划掘进到地下15m时 了坚硬的岩石.为了节约建设资金, 了坚硬的岩石.为了节约建设资金,储存室的底面积 应改为多少才能满足需要(保留两位小数)? 应改为多少才能满足需要(保留两位小数)?
中考数学总复习 反比例函数的图像与性质(1)——反比例函数中k的几何意义
中，k的几何意义
S矩形ABOD=AB·OB=
k
x ·x = k
k （x , x ）A
D
AA（（Ax（xA, ,x（kxkxA,x）（kx）, ）xkx,）kx ）
O
B
点A在其他象限， 表示线段长必须 要加上绝对值符 号，这可不能忘
S△ABO=
1 2
AB·OB=
1 2
x ·k
x
1
=2
k
重点讲解
简单的基本图形——k的几何意义的运用。
y AB
x O DC
SRt△PQO=3，则k= -6 .
1 2
|k|=3
y
y
6 x
，OE=EF，则S△OEF=
6.
S△OEF=
1 2
OG·GE·2
G
=6
AB
O DC
x
点A在
y
1上，B在 x
y
3 x
上，AB//x轴，则S矩形ABCD=
2
.
y
A、B为反比例函数 y 3 的点，点A横坐标为-1，点B纵坐标为1，
A
求S△AOB.
通过设参，运用k的几何意义建立方程解决问题。
如图，已知双曲线
y
k x
(k＞0)
经过Rt
△OAB斜边OB的中点D，与直角边
AB相交于点C，若△OBC的面积为6，求k的值。
y D
OE
有边的关系，D是OB中点，D又在 函数上只要我们想办法将D点表示 出来，题目就通了！
求k的值，需要知道点的坐标，可 是题目并没有给我们，怎么办？
总结在反比例函数中，k的几何意义的运用方法： 1.熟悉基础图形； 2.灵活运用参数。
反比例函数K的几何意义
【山东·全国考题回访】
1.(2014·济南中考)如图,△OAC和△BAD都是等
如图，过y轴正半轴上的任意一点P，作x轴 的平行线，分别与反比例函数y=-4/x和 y=2/x交于点A和点B，若点C是x轴上任意一 点，连接AC、BC，则△ABC的面积为
点B，D在反比例函数y=b/x（b＜0）的图象上，
AB∥CD∥x轴，AB，CD在x轴的两侧，AB=3，CD=2，
AB与CD的距离为5，则a-b的值是
则S△OBC=
1·(-x)·22y=6.解得k=xy=-6. 2
答案:-6
如图，直线l⊥x轴于点P，且与反比例函数 y1=k1/x(x>0)及y2=k2/x(x>0)的图像分别交于点A， B，连接OA，OB，已知△OAB的面积为3，则k1-k2 的值等于（ ）
如图△P1OA1，△P2A1A2是等腰直角三角形，点P1， P2在函数y=4/x（x＞0）的图象上，斜边OA1，A1A2 都在x轴上，则点A2的坐标是______．
答案:6
（1）直接写出B、C、D三点的坐标；
（2）若将矩形向下平移，矩形的两个顶点恰好同 时落在反比例函数的图象上，猜想是哪两个点， 并求矩形的平移距离和反比例函数的解析式．
（1）∵四边形ABCD是矩形，平行于x轴，且AB=2，AD=4， 点A的坐标为（2，6）． ∴AB=CD=2，AD=BC=4， ∴B（2，4），C（6，4），D（6，6）；
腰直角三角形，∠ACO=∠ADB=90°,反比例函数 y= k 在第一象限的图象经过点B，若OA2-AB2=12， 则kx的值为_______.
专题12 反比例函数比例系数k的几何意义(解析版)
1专题12 反比例函数比例系数k 的几何意义知识对接考点一、反比例函数比例系数k 的几何意义（1）意义：从反比例函数y ＝(k≠0)图象上任意一点向x 轴和y 轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为|k|,以该点、一个垂足和原点为顶点的三角形的面积为1/2|k|. （2）常见的面积类型：失分点警示已知相关面积，求反比例函数的表达式，注意若函数图象在第二、四象限，则k ＜0. 例：已知反比例函数图象上任一点作坐标轴的垂线所围成矩形为3，则该反比例函数解析式为：3y x =或3y x =-专项训练一、单选题1．如图，已知反比例函数2y x=-的图像上有一点P ，过点P 作PA x ⊥轴，垂足为点A ，则POA的面积是（ ）A ．2B ．1C ．1-D ．12【答案】B 【分析】设(),P x y ，则POA 的面积是1122x y xy ••=，再结合2y x=-即可求解．【详解】解：设(),P x y ，则POA 的面积是1122x y xy ••=，∵2y x=-∵22xy =-=∵POA 的面积是1212⨯=．故选：B ． 【点睛】本题考查了反比例函数与图形的面积计算，解题的关键是熟练运用数形结合的思想． 2．如图，在平面直角坐标系中，A ，B 是反比例函数ky x=在第一象限的图象上的两点，且其横坐标分别为1，4，若AOB 的面积为54，则k 的值为（）A ．23B ．1C ．2D ．154【答案】A 【分析】过点A 作AC y ⊥轴，过点B 作BD x ⊥轴，反向延长AC BD 、交于点E ，利用割补法表示出AOB 的面积，即可求解． 【详解】解：过点A 作AC y ⊥轴，过点B 作BD x ⊥轴，反向延长AC BD 、交于点E ，如下图：则四边形ODEC 为矩形3点AB 、的横坐标分别为1，4， 则(1,)(4,)4kA kB 、，(0,)(4,0)(4,)C kDE k 、、11154143224244AOBAOCOBDABEODEC k k SS SSSk k k ⎛⎫=---=-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯-= ⎪⎝⎭矩形解得23k = 故选A【点睛】此题考查了反比例函数的有关性质，涉及了割补法求解三角形面积，熟练掌握反比例函数的有关性质是解题的关键．3．若图中反比例函数的表达式均为4y x=，则阴影面积为4的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B 【分析】根据反比例函数比例系数k 的几何意义，反比例函数的性质以及三角形的面积公式，分别求出四个图形中阴影部分的面积，即可求解． 【详解】解：图1中，阴影面积为xy ＝4； 图2中，阴影面积为12xy ＝12×4＝2； 图3中，阴影面积为2×12xy ＝2×12×4＝4； 图4中，阴影面积为4×12xy ＝4×12×4＝8； 则阴影面积为4的有2个． 故选：B ． 【点睛】本题考查了反比例函数ky x=中k 的几何意义，即过双曲线上任意一点引x 轴、y 轴垂线，所得矩形面积为|k |，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k 的几何意义．也考查了反比例函数的对称性，三角形的面积．4．如图，点A 是反比例函数4y x=-图象上的一个动点，过点A 作AB ∵x 轴，AC ∵y 轴，垂足分别为B ，C ，则矩形ABOC 的面积为（ ）A ．-4B ．2C ．4D ．8【答案】C 【分析】根据反比函数的几何意义，可得矩形ABOC 的面积等于比例系数的绝对值，即可求解． 【详解】解：∵点A 是反比例函数4y x=-图象上的一个动点，过点A 作AB ∵x 轴，AC ∵y 轴，∵矩形ABOC 的面积44-= ． 故选：C ． 【点睛】本题主要考查了反比函数的几何意义，熟练掌握本题主要考查了反比例函数()0ky k x=≠ 中k 的几何意义，即过双曲线上任意一点引x 轴、y 轴垂线，所得矩形面积等于k 是解题的关键．5．如图，等腰ABC 中，5AB AC ==，8BC =，点B 在y 轴上，//BC x 轴，反比例函数ky x=（0k >，0x >）的图象经过点A ，交BC 于点D ．若AB BD =，则k 的值为（ ）5A ．60B ．48C ．36D ．20【答案】A 【分析】过A 作AE ∵BC 于E 交x 轴于F ，则AF ∵y 轴，根据矩形的性质得到EF =OB ，根据勾股定理得到3AE =，设OB =a ，则A (4,3),(5,)a D a +，即可得到4(3)5k a a =+=，解方程求得a 的值，即可得到D 的坐标，进而求得k 的值． 【详解】解：过A 作AE ∵BC 于E 交x 轴于F ， ∵5AB AC ==，8BC =， ∵142BE BC ==，∵3AE ==， 设OB =a ， ∵BD =AB =5， ∵A (4,3),(5,)a D a +， ∵反比例函数ky x=（0k >，0x >）的图象经过点A ，交BC 于点D ． ∵4(3)5k a a =+=， 解得：a =12， ∵51260k =⨯=， 故选择：A ．【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，等腰三角形的性质，勾股定理，表示出点的坐标是解题的关键．6．在平面直角从标系中，30°的直角三角尺直角顶点与坐标原点重合，双曲线11ky x =（x ＞0），经过点B ，双曲线22k y x=（x ＜0），经过点C ，则12k k ＝（ ）A ．﹣3B ．3 C．D【答案】A 【分析】作AM ∵x 轴于M ，BN ∵x 轴于N ，由反比例函数系数k 的几何意义得到k 1＝2S ∵AOM ，k 2＝﹣2S ∵BON，解直角三角形求得o tan 30OB OA =∵AOM ∵∵OBN ，得到2=3AOM BOMSOA SOB ⎛⎫= ⎪⎝⎭进而得到123k k =-． 【详解】作AM ∵x 轴于M ，BN ∵x 轴于N ， ∵S ∵AOM ＝12|k 1|，S ∵BON ＝12|k 2|，∵k 1＞0，k 2＜0，∵k 1＝2S ∵AOM ，k 2＝﹣2S∵BON ， 在Rt ∵AOB 中，∵BAO ＝30°，7∵o tan 30OB OA = ∵∵AOM +∵BON ＝90°＝∵AOM +∵OAM ， ∵∵OAM ＝∵BON ， ∵∵AMO ＝∵ONB ＝90°， ∵∵AOM ∵∵OBN ，∵2=3AOM BOMS OA S OB ⎛⎫= ⎪⎝⎭， ∵12232AOMBOMk S k S ==--, 故选A ．【点睛】本题主要考查了反比例函数比例系数k 的几何意义，相似三角形的性质与判定，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． 7．如图，A 、B 是双曲线y ＝kx图象上的两点，过A 点作AC ∵x 轴于点C ，交OB 于点D ，BD ＝2OD ，且ADO 的面积为8，则DCO 的面积为（ ）A ．12B ．1C ．32D ．2【答案】B 【分析】过点B 作BH x ⊥轴于点H ，根据反比例函数比例系数k 的几何意义，即可得到ADO △的面积与梯形CDBH 的面积相等，再根据DCO BOH △∽△，即可求得DCO 的面积．【详解】解：过点B作BH∵x轴于点H，∵AC∵x轴于点C，∵AOC的面积与BOH的面积相等，∵ADO的面积与梯形CDBH的面积相等，∵ADO的面积为8，∵梯形CDBH的面积为8，∵DC//BH，∵DOC∵BOH，∵BD＝2OD，∵DOC与BOH的相似比为1：3，∵DOC与BOH的面积比为1：9，设DCO的面积比为x，则x：（x+8）＝1：9，解得：x＝1，故选：B．【点睛】本题考查了反比例函数比例系数k的几何意义，三角形的相似及相似的性质，得到ADO△的面积与梯形CDBH的面积相等和DOC BOH∽是解决本题的关键．8．如图，平行于y轴的直线l分别与反比例函数kyx=（x＞0）和1yx=-（x＞0）的图象交于M、N两点，点P是y轴上一动点，若∵PMN的面积为2，则k的值为（）A．2B．3C．4D．5【答案】B9【分析】由题意易得点M 到y 轴的距离即为∵PMN 以MN 为底的高，点M 、N 的横坐标相等，设点1,,,k M a N a a a ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则有11k k MN a a a +⎛⎫=--= ⎪⎝⎭，进而根据三角形面积公式可求解．【详解】解：由平行于y 轴的直线l 分别与反比例函数k y x =（x ＞0）和1y x=-（x ＞0）的图象交于M 、N 两点，可得：点M 到y 轴的距离即为∵PMN 以MN 为底的高，点M 、N 的横坐标相等，设点1,,,k M a N a a a ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∵11k k MN a a a+⎛⎫=--= ⎪⎝⎭， ∵∵PMN 的面积为2， ∵111222PMNk SMN a a a+=⋅=⨯⨯=， 解得：3k =； 故选B ． 【点睛】本题主要考查反比例函数与几何的综合，熟练掌握反比例函数与几何的综合是解题的关键． 9．如图，过x 轴正半轴上的任意一点P ，作y 轴的平行线，分别与反比例函数y 3=x（x ＞0）和y 6=x-（x ＞0）的图象交于B 、A 两点．若点C 是y 轴上任意一点，则∵ABC 的面积为（ ）A ．3B ．6C ．9D ．92【答案】D 【分析】设P （a ，0），由直线APB 与y 轴平行，得到A 和B 的横坐标都为a ，将x ＝a 代入反比例函数y 6x-＝和y 3x ＝中，分别表示出A 和B 的纵坐标，进而由AP ＋BP 表示出AB ，三角形ABC的面积12⨯＝AB×P的横坐标，求出即可．【详解】解：设P（a，0），a＞0，则A和B的横坐标都为a，将x＝a代入反比例函数y6x=-中得：y6a=-，故A（a，6a-）；将x＝a代入反比例函数y3x＝中得：y3a=，故B（a，3a），∵AB＝AP＋BP639a a a+＝＝，则S∵ABC12=AB•x P19922aa=⨯⨯=，故选D．【点睛】本题主要考查反比例函数图象k的几何意义，解决本题的关键是要熟练掌握反比例函数k的几何意义.10．如图．在平面直角坐标系中，∵AOB的面积为278，BA垂直x轴于点A，OB与双曲线y＝kx相交于点C，且BC∵OC＝1∵2，则k的值为（）A．﹣3B．﹣94C．3D．92【答案】A【分析】过C作CD∵x轴于D，可得∵DOC∵∵AOB，根据相似三角形的性质求出S∵DOC，由反比例11函数系数k 的几何意义即可求得k ． 【详解】解：过C 作CD ∵x 轴于D ，∵BC OC＝12， ∵OCOB ＝23， ∵BA ∵x 轴， ∵CD ∵AB ， ∵∵DOC ∵∵AOB ， ∵DOC AOB S S ∆∆＝（OC OB ）2＝（23）2＝49， ∵S ∵AOB ＝278， ∵S ∵DOC ＝49S ∵AOB ＝49×278＝32，∵双曲线y ＝kx在第二象限，∵k ＝﹣2×32＝﹣3，故选：A ． 【点睛】本题主要考查了反比例函数系数k 的几何意义，相似三角形的性质和判定，根据相似三角形的性质和判定求出S ∵DOC 是解决问题的关键． 二、填空题11．如图，平面直角坐标系中，O 是坐标原点，点A 是反比例函数()0ky k x=≠图象上的一点，过点A 分别作AM x ⊥轴于点M ，AN y ⊥轴于点N ．若四边形AMON 的面积为12，则k 的值是__________．【答案】-12【分析】根据反比例函数的比例系数k的几何意义得到12k=，然后根据反比例函数的性质确定k的值．【详解】解：四边形AMON的面积为12，12k∴=，反比例函数图象在二四象限，k∴<，12k∴=-，故答案为：12-．【点睛】本题考查了反比例函数函数k的几何意义：在反比例函数kyx=图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值||k．12．如图，在反比例函数3yx=的图象上有一动点A，连接AO并延长交图象的另一支于点B，在第二象限内有一点C，满足AC=BC，当点A运动时，点C始终在函数kyx=的图象上运动，tan∵CAB=2，则k的值为_____【答案】﹣12【分析】连接OC，过点A作AE∵x轴于点E，过点C作CF∵y轴于点F，通过角的计算找出∵AOE=∵COF，结合“∵AEO=90°，∵CFO=90°”可得出∵AOE∵∵COF，根据相似三角形的性质得出比例式，再由tan∵CAB=2，可得出CF•OF的值，进而得到k的值．【详解】如图，连接OC，过点A作AE∵x轴于点E，过点C作CF∵y轴于点F．∵由直线AB与反比例函数3yx=的对称性可知A、B点关于O点对称，∵AO=BO．又∵AC=BC，∵CO∵AB．∵∵AOE+∵AOF=90°，∵AOF+∵COF=90°，∵∵AOE=∵COF．又∵∵AEO=90°，∵CFO=90°，∵∵AOE∵∵COF，∵AE OE AO CF OF CO==，∵tan∵CABOCOA==2，∵CF=2AE，OF=2OE．又∵AE•OE=3，CF•OF=|k|，∵|k|=CF•OF=2AE×2OE=4AE×OE=12，∵k=±12．∵点C在第二象限，∵k=﹣12．故答案为：﹣12．13【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数的性质以及相似三角形的判定及性质，锐角三角函数，解答本题的关键是求出CF•OF=12．解答该题型题目时，巧妙的利用了相似三角形的性质找出对应边的比例，再结合反比例函数图象上点的坐标特征找出结论．13．如图，点P在反比例函数4yx=-的图像上，过点P作PA x⊥轴于点A，则POA的面积是_______．【答案】2【分析】设出点P的坐标，∵OAP的面积等于点P的横纵坐标的积的一半，把相关数值代入即可．【详解】解：设点P的坐标为（x，y）．∵P（x，y）在反比例函数4yx=-的图象上，∵4 xy=-，∵122POAS xy==，故答案为：2．【点睛】题考查了反比例函数比例系数k的几何意义：在反比例函数ky=x图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．14．如图所示，反比例函数kyx=（0k≠，0x>）的图像经过矩形OABC的对角线AC的中15点D ．若矩形OABC 的面积为8，则k 的值为________．【答案】2 【分析】过点D 作DE ∵OA 于点E ，由矩形的性质可知：S ∵AOC =12S 矩形OABC =4，从而可求出∵ODE 的面积，利用反比例函数中k 的几何意义即可求出k 的值． 【详解】如图，过点D 作DE OA ⊥于点E ，设,k D m m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则OE m =，k DE m=， ∵点D 是矩形OABC 的对角线AC 的中点， ∵2OA m =，2k OC m=， ∵矩形OABC 的面积为8， ∵228kOA OC m m⋅=⋅=， ∵2k =， 故答案为：k =2．【点睛】本题考查了反比例函数系数k 的几何意义，解题的关键是求出矩形的面积． 15．如图，点A 与点B 分别在函数11(0)k y k x=>与220)k y k x =<（的图象上，线段AB 的中点M 在y 轴上．若∵AOB 的面积为3，则12k k -的值是___．【答案】6【分析】设A（a，b），B（-a，d），代入双曲线得到k1=ab，k2=-ad，根据三角形的面积公式求出ab+ad=6，即可得出答案．【详解】解：作AC∵x轴于C，BD∵x轴于D，∵AC∵BD∵y轴，∵M是AB的中点，∵OC=OD，设A（a，b），B（-a，d），代入得：k1=ab，k2=-ad，∵S∵AOB=3，∵111()23 222b d a ab ad+--=，∵ab+ad=6，∵k1-k2=6，故答案为：6．【点睛】本题主要考查对反比例函数系数的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，三角形的面积等知识点的理解和掌握，能求出ab+ad=6是解此题的关键．三、解答题16．如图，一次函数122y x=-的图象分别交x轴、y轴于A、B，P为AB上一点且PC为17AOB 的中位线，PC 的延长线交反比例函数ky x=（0k >）的图象于点Q ，32OQCS =．（1）求A 点和B 点的坐标； （2）求k 的值和Q 点的坐标．【答案】（1）A （4，0），B （0，-2）；（2）3k =，Q 的坐标为(2 ，32)．【分析】（1）因为一次函数y =12x -2的图象分别交x 轴，y 轴于A ，B ，所以当y =0时，可求出A 的横坐标，当x =0时可求出B 的纵坐标，从而可得解．（2）因为三角形OQC 的面积是Q 点的横纵坐标乘积的一半，且等于32，所以可求出k 的值，PC 为中位线，可求出C 的横坐标，也是Q 的横坐标，代入反比例函数可求出纵坐标． 【详解】解：（1）设A 点的坐标为（a ，0），B 点坐标为（0，b ）， 分别代入y =12x -2，解方程得a =4，b =-2， ∵A （4，0），B （0，-2）； （2）∵PC 是∵AOB 的中位线， ∵PC ∵x 轴，即QC ∵OC ， 又Q 在反比例函数ky x=的图象上， ∵2S ∵OQC =k ，∵k =2×32=3，∵PC 是∵AOB 的中位线， ∵C （2，0）， 可设Q （2，q ）∵Q 在反比例函数ky x=的图象上， ∵q =32，∵点Q 的坐标为(2 ，32)．【点睛】本题考查反比例函数的综合运用，熟练掌握并应用反比例函数ky x=（0k >）中k 的几何意义是解题的关键．17．点O 为平面直角坐标系的原点，点A 、C 在反比例函数ay x=的图象上，点B 、D 在反比例函数by x=的图象上，且0a b >>．（1）若点A 的坐标为()6,4，点B 恰好为OA 的中点，过点A 作AN x ⊥轴于点N ，交b y x=的图象于点P ． ∵请求出a 、b 的值； ∵试求OBP 的面积．（2）若////AB CD x 轴，32CD AB ==，AB 与CD 间的距离为6，试说明-a b 的值是否为某一固定值？如果是定值，试求出这个定值；若不是定值，请说明理由．【答案】（1）∵a =24，b =6∵92；（2）是定值为92．【分析】（1）∵把A ()6,4代入反比例函数ay x=即可求出a ，根据点B 为OA 的中点，求出B 点坐标，代入by x=即可求出b ；∵根据k 的几何意义求出∵AOP 的面积，再连接BP ，根据中线的性质即可求解；19（2）先分析,A C 分别位于a y x =的两个分支,,B D 分别位于 by x=的两个分支；再利用反比例函数系数k 的几何意义，表示S ∵AOB 和S ∵COD ，再根据三角形的面积公式，AB 与CD 之间的距离为6，即求出答案． 【详解】（1）∵把A ()6,4代入反比例函数ay x=，得a =6×4=24 ∵点B 为OA 的中点， ∵B （3，2）把B （3，2）代入反比例函数by x=，得b =3×2=6 ∵∵S ∵AOP = S ∵AON -S ∵NOP = 1122a b -=9 ∵B 点是OA 的中点， ∵BP 是∵AOP 的中线∵OBP 的面积=12×9=92；（2）如图，当,A C 在a y x =的第一象限的图像上时，,B D 在by x=的第一象限的图像上时////AB CD x 轴，32CD AB ==，∴AOBS=1122AOM BOM S S a b -=-△△， COD S =△1122CON DON S S a b -=-△△∴COD S =△AOBS1=2AOB S AB OM ⨯△，12COD S CD ON =⨯△OM ON ∴=则点A 与点C 重合，点B 与点D 重合 即AB 与CD 间的距离为0，,A C ∴分别位于a y x =的两个分支,,B D 分别位于 by x=的两个分支； 如图，延长AB 、CD 交y 轴于点E 、F ，∵点A 、C 在反比例函数a y x =的图象上，点B 、D 在反比例函数by x=的图象上，a ＞b ＞0，////AB CD x 轴，∵AB 与CD 间的距离为6， ∵OE +OF =6 ∵S ∵AOE ＝12a ＝12a ＝S ∵COF ，S ∵BOE ＝12b ＝12b ＝S ∵DOF ，∵S ∵AOB ＝S ∵AOE −S ∵BOE ＝12a −12b ＝12AB •OE ＝34OE ，S ∵COD ＝S ∵COF −S ∵DOF ＝12a −12b ＝12CD •OF ＝34OF ，∵S ∵AOB ＋S ∵COD ＝a −b ＝34OE ＋34OF ＝34（OE ＋OF ）=92．92a b ∴-=． 【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征以及反比例函数系数k 的几何意义，理解反比例函数系数k 的几何意义是正确解答的关键．18．如图，点C 在反比例函数y 1=x 的图象上，CA ∵y 轴，交反比例函数y 3=x 的图象于点A ，CB ∵x 轴，交反比例函数y 3=x的图象于点B ，连结AB 、OA 和OB ，已知CA ＝2，则∵ABO的面积为__．【答案】4【分析】设A（a，3a），则C（a，1a），根据题意求得a＝1，从而求得A（1，3），C（1，1），进一步求得B（3，1），然后作BE∵x轴于E，延长AC交x轴于D，根据S∵ABO＝S∵AOD＋S梯形ABED ﹣S∵BOE和反比例函数系数k的几何意义得出S∵ABO＝S梯形ABED，即可求得结果．【详解】解：设A（a，3a），则C（a，1a），∵CA＝2，∵31a a-＝2，解得a＝1，∵A（1，3），C（1，1），∵B（3，1），作BE∵x轴于E，延长AC交x轴于D，∵S∵ABO＝S∵AOD＋S梯形ABED﹣S∵BOE，S∵AOD＝S∵BOE32 =，∵S∵ABO＝S梯形ABED12=（1＋3）（3﹣1）＝4；故答案为：4.【点睛】本题考查了反比例函数系数k的几何意义和三角形的面积，得出S∵ABO=S梯形ABED是解题的关键．19．如图是反比例函数2yx=与反比例函数在第一象限中的图象，点P是4yx=图象上一动21点， P A ∵X 轴于点A ，交函数2y x =图象于点C ，PB ∵Y 轴于点B ，交函数 2y x=图象于点D ，点D 的横坐标为a ．（1）用字母a 表示点P 的坐标； （2）求四边形ODPC 的面积；（3）连接DC 交X 轴于点E ，连接DA 、PE ，求证：四边形DAEP 是平行四边形． 【答案】（1）P （2a ，2a）；（2）2；（3）见解析【分析】（1）先求出点D 的纵坐标得到点P 的纵坐标，代入解析式即可得到点P 的横坐标； （2）利用矩形的面积计算公式及反比例函数k 值的几何意义，利用OBD OAC OAPB S S S ∆∆--四边形，即可求出答案；（3）证明∵DPC ∵∵EAC ，即可得到结论． 【详解】解：（1）∵点D 的横坐标为a ，且点D 在函数2y x=图象上， ∵点D 的纵坐标2y a=， 又PB ∵y 轴，且点P 在4y x=图象上， ∵点P 的纵坐标2y a=， ∵点P 的横坐标为x ＝2a ， ∵P （2a ，2a）；23（2）∵224OAPB S a a =⨯=四边形，ΔΔ1212OBD OAC S S a a==⨯⨯=， ∵D C 422O P S =-=四边形；（3）∵P A ∵x 轴于点A ，交函数2y x=图象于点C ， ∵点C 的坐标为（2a ，1a）， 又P （2a ，2a），∵PC ＝CA ＝1a， ∵DP ∵AE ，∵∵PDE ＝∵DEA ，∵DP A ＝∵P AE ， ∵∵DPC ∵∵EAC ， ∵DP ＝AE ，∵四边形DAEP 是平行四边形． 【点睛】此题考查反比例函数的性质，反比例函数图象与几何图形，平行四边形的判定定理，反比例函数k 值的几何意义，熟练掌握反比例函数的性质及计算方法是解题的关键．20．如图，点A （﹣2，y 1）、B （﹣6，y 2）在反比例函数y ＝kx（k ＜0）的图象上，AC ∵x轴，BD ∵y 轴，垂足分别为C 、D ，AC 与BD 相交于点E ．（1）根据图象直接写出y 1、y 2的大小关系，并通过计算加以验证；（2）结合以上信息，从∵四边形OCED 的面积为2，∵BE ＝2AE 这两个条件中任选一个作为补充条件，求k 的值．你选择的条件是 （只填序号）． 【答案】（1）12y y >，见解析；（2）见解析，∵（也可以选择∵） 【分析】（1）观察函数的图象即可作出判断，再根据A 、B 两点在反比例函数图象上，把两点的坐标代入后作差比较即可；（2）若选择条件∵，由面积的值及OC 的长度，可得OD 的长度，从而可得点B 的坐标，把此点坐标代入函数解析式中，即可求得k ；若选择条件∵，由DB =6及OC =2，可得BE 的长度，从而可得AE 长度，此长度即为A 、B 两点纵坐标的差，（1）所求得的差即可求得k ． 【详解】（1）由于图象从左往右是上升的，即自变量增大，函数值也随之增大，故12y y >； 当x =-6时，26ky =-；当x =-2时，12k y =- ∵12263k k ky y -=-+=-，k ＜0∵120y y -> 即12y y > （2）选择条件∵∵AC ∵x 轴，BD ∵y 轴，OC ∵OD ∵四边形OCED 是矩形 ∵OD ∙OC =2 ∵OC =2 ∵OD =1 即21y =∵点B 的坐标为(-6,1)把点B 的坐标代入y ＝kx中，得k =-6若选择条件∵，即BE =2AE ∵AC ∵x 轴，BD ∵y 轴，OC ∵OD ∵四边形OCED 是矩形 ∵DE =OC ，CE =OD ∵OC =2，DB =6 ∵BE =DB -DE =DB -OC =4 ∵122AE BE == ∵AE =AC -CE =AC -OD =12y y - 即122y y -=由（1）知：1223ky y -=-= ∵k =-6 【点睛】本题考查了反比例函数的图象和性质、矩形的判定与性质、大小比较，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解决本题的关键．2521．如图，一次函数()20y kx k k =-≠的图象与反比例函数1(10)m y m x-=-≠的图象交于点C ，与x 轴交于点A ，过点C 作CB y ⊥轴，垂足为B ，若3ABC S =△．（1）求点A 的坐标及m 的值；（2）若AB = 【答案】（1）（2，0），m =-5；（2）2455y x -=+【分析】（1）在直线y ＝kx ＋k 中令y ＝0可求得A 点坐标；连接CO ，得OBCABCS S==3，根据反比例函数比例系数的几何意义，即可求解；（2）利用勾股定理求出OB =2，设C (b ，2)，代入反比例函数，求出C 点坐标，再利用待定系数法，即可求解． 【详解】解：（1）在()20y kx k k =-≠中，令y ＝0可得02kx k =-，解得x ＝2， ∵A 点坐标为（2，0）；连接CO ， ∵CB ∵y 轴， ∵CB ∵x 轴，∵OBCABCSS==3，∵点C 在反比例函数1(10)m y m x-=-≠的图象上， ∵126BOCm S-==，∵反比例函数1(10)m y m x-=-≠的图象在二、四象限， ∵16m -=-，即：m =-5； （2）∵点A (2，0)， ∵OA =2，又∵AB =∵在Rt AOB 中，OB 2=，∵CB ∵y 轴， ∵设C (b ，2)， ∵62b-=，即b =-3，即C (-3，2)， 把C (-3，2)代入2y kx k =-，得：232k k =--，解得：k =25-，∵一次函数的解析式为：2455y x -=+．【点睛】本题主要考查待定系数法求函数解析式及函数图象的交点坐标，掌握两函数图象的交点坐标满足两函数解析式是解题的关键，注意反比例函数y ＝kx中k 的几何意义的应用． 22．如图，过C 点的直线y ＝﹣12x ﹣2与x 轴，y 轴分别交于点A ，B 两点，且BC ＝AB ，过点C 作CH ∵x 轴，垂足为点H ，交反比例函数y ＝kx（x ＞0）的图象于点D ，连接OD ，∵ODH 的面积为627（1）求k 值和点D 的坐标；（2）如图，连接BD ，OC ，点E 在直线y ＝﹣12x ﹣2上，且位于第二象限内，若∵BDE 的面积是∵OCD 面积的2倍，求点E 的坐标．【答案】（1）12k =，点 D 坐标为（4，3）；（2）点E 的坐标为（－8，2） 【分析】（1）结合反比例函数k 的几何意义即可求解k 值；由⊥CH x 轴可知//CH y 轴，利用平行线分线段成比例即可求解D 点坐标；（2）//CH y 可知OCD ∆和BCD ∆的面积相等，由函数图像可知BDE ∆、BCD ∆、CED ∆的面积关系，再结合题意2BDE OCD S S ∆∆=，即可求CD 边上高的关系，故作EF CD ⊥，垂足为F ，即可求解E 点横坐标，最后由E 点在直线AB 上即可求解． 【详解】解∵（1）设点 D 坐标为（m ，n ）， 由题意得116,1222OH DH mn mn ⋅==∴=．∵点 D 在ky x=的图象上，12k mn ∴==． ∵直线122y x =--的图象与x 轴交于点A ，∵点A 的坐标为（－4，0）． ∵CH ⊥x 轴，CH //y 轴． 1.4AO ABOH AO OH BC∴==∴==． ∴点D 在反比例函数12y x=的图象上， ∴点 D 坐标为（4，3）（2）由（1）知CDy 轴，BCD OCD S S ∴=△△．2,3BDE OCD EDC BCD S S S S =∴=△△△△．过点E 作EF ⊥CD ，垂足为点 F ，交y 轴于点M ， 1111,,32222EDCBCDSCD EF S CD OH CD EF CD OH =⋅=⋅∴⋅=⨯⋅．312.8EF OH EM ∴==∴=．∵点 E 的横坐标为－8.∵点E 在直线122y x =--上，∵点E 的坐标为（－8，2）．【点睛】本题考查一次函数与反比例函数的综合运用、三角形面积问题、k 的几何意义，属于中档难度的综合题型．解题的关键是掌握一次函数与反比例函数的相关性质和数形结合思想． 23．如图，直线l 分别交x 轴，y 轴于A 、B 两点，交反比例函数(0)ky k x=≠的图象于P 、Q 两点．若2AB BP =，且AOB 的面积为4（1）求k 的值；（2）当点P 的横坐标为1-时，求POQ △的面积． 【答案】（1）-6；（2）8 【分析】（1）过P 作PE 垂直于x 轴，垂足为E ，证明ABO APE ∽．根据相似三角形的性质可得2AO OE =，49ABO APESS=，由此可得9APES =，3PEOS=．再由反比例函数比例系数k 的几何意义即可求得k 值．（2）先求得(1,6)P -，(0,4)B ，再利用待定系数法求得直线PB 的解析式为24y x=-+．与反29比例函数的解析式联立方程组，解方程组求得(3,2)Q -．再根据PO POQO BQ BS SS=+即可求解． 【详解】（1）过P 作PE 垂直于x 轴，垂足为E ，∵PE//BO ， ∵ABO APE ∽． ∵2AB BP =，4AOB S =△，∵2AO OE =，22439ABO APESS ⎛⎫== ⎪⎝⎭， ∵9APES=，3PEDS=．∵1||32k =⨯，||6k =，即6k =-． （2）由（1）知6y x-=，∵(1,6)P -． ∵2AB PB =，∵2PBOS=，∵||4BO =，(0,4)B ．设直线PB 的解析式为y kx b =+，将点(1,6)P -、(0,4)B 代入y kx b =+，得64k bb =-+⎧⎨=⎩．解得24k b =-⎧⎨=⎩．∵直线PB 的解析式为24y x =-+．联立方程组624y x y x -⎧=⎪⎨⎪=-+⎩，解得13x =，21x =-， ∵(3,2)Q -．∵()1||2POQQOBPOB Q P SSSOB x x =+=⨯-14482=⨯⨯=．【点睛】本题是一次函数与反比例函数的综合题，熟练运用反比例函数比例系数k 的几何意义是解决问题的关键．。
反比例函数中k的几何意义
过 P 点作 x 轴的垂线，过 B 点作 y 轴的垂线，两直线相交于 C，则 S△PBC =2∣k∣
容易看出，此变式是基本型的综合情况，△PBC 可以分解成两个小的三角形（△PAO 与 △P’BO）和一个矩形 OABC。
x
垂足为 B，A 是 x 轴上任意一点，则 S△APB = 1 ∣k∣
2
图（Ⅴ）
图（Ⅵ）
相关练习
6.如图，点 A 是反比例函数 y= k （k≠0）的图象上的一点，
x
过点 A 作 AB⊥x 轴，垂足为 B.点 C 为 y 轴上的一点，连接 AC，
BC.若△ABC 的面积为 4，则 k 的值是
.
7.如图，A 是反比例函数图象上一点，过点 A 作 AB⊥y 轴于点 B，
x
k 的值为（ ）
A.32 B.20 C.24 D.12
13.如图，两个反比例函数 y= 2 和 y= 4 在第一象限内的图像分别是 C1 和 C2，设点
x
x
P 在 C1 上，PA⊥x 轴于点 A，交 C2 于点 B，则△POB 的面积为
．
（第 5 题）
（第 6 题）
（第 7 题）
14.如图，直线 l⊥x 轴于点 P，且与反比例函数 y1= k1 （x＞0）及 y2= k2 （x＞0）
三、变式二
1.如图（Ⅴ），设 P（m、n）是双曲线 y= k （k≠0）上任意一点，过 P 点分别作 x 轴的垂线， x
垂足为 A，B 是 y 轴上任意一点，则 S△APB = 1 ∣k∣
2 2..如图（Ⅵ），设 P（m、n）是双曲线 y= k （k≠0）上任意一点，过 P 点分别作 y 轴的垂线，
(完整版)反比例函数的K的几何意义教学设计
教学目标： （一）知识与技能1．理解和掌握反比例函数 （k ≠0）中k 的几何意义2．能灵活运用函数图象和性质解决一些较综合的问题 （二）过程与方法1.让学生自己尝试在 的图象上任取一点P(x 、y)，过P 点分别向X 轴、Y 轴作垂线，从而探究求出两垂线与坐标轴形成的矩形的面积及三角形的面积，从而探究所形成的矩形与三角形的面积与k 的关系。
2．深刻领会函数解析式与函数图象之间的联系，体会数形结合及转化的思想方法。
（三）情感态度与价值观培养学生自主探究，合作交流的精神。
学情分析：知识基础：本节课学习前，学生已经具有了函数概念的知识积累，在上一节课的学习中，学生已经掌握了反比例函数的概念。
学习方法：学生已经积累的学习函数的方法有：画图象，观察图像归纳函数性质，了解函数变化规律和函数的变换趋势等。
学生喜欢用探究式的学习方式，通过自己的分析来体验知识间的内在联系。
能力水平：处在这个年龄段的学生多数可以熟练的进行抽象逻辑思维，但其辩证逻辑思维的能力水平还较低。
另外，学生参与活动的积极性高，但仍然缺乏合作交流等方面的能力。
教学重点、难点：1．重点：理解并掌握反比例函数 （k ≠0）中k 的几何意义；并能利用它们解决一些综合问题2．难点：学会从图象上分析、解决问题 教学过程：（一）创设情境、导入新课1、反比例函数的解析式是什么？如何确定比例系数K 的值？2、反比例函数的比例系数K 能决定什么？反比例函数的比例系数K 除了能确定图像位置和增减性外还能确定什么呢？xy 6=xk y xky =1.如图,点P 是反比例函数图象上的一点,过点P 分别向x 轴、y 轴作垂线,若阴影部分面积为3,则这个反比例函数的关系式是.xyoMNp3-=∴k .3||k |,|k S 矩形P m O n =∴=,,四象限图像在二又 .3xy -=∴解析式为由题意得：本节课我们来探究反比例函数的比例系数K 的几何意义。
（二）新课探究 活动1：议一议如图，已知点P 是反比例函数 的图象上任意一点，过P 点分别向X 轴、Y 轴作垂线，垂足分别为M 、N ，那么四边形OMPN 的面积是多 少？△OMP 的面积是多少？1、学生讨论时出现的问题是OM 应如何表示，教师给予及时点拔，使问题得以解决。
备战中考数学二轮专题归纳提升真题反比例函数中k的几何意义(解析版)
专题02 反比例函数中k的几何意义【知识点梳理】1．反比例函数图象中有关图形的面积2．涉及三角形的面积型当一次函数与反比例函数结合时，可通过面积作和或作差的形式来求解．（1）正比例函数与一次函数所围成的三角形面积.如图①，S△ABC=2S△ACO=|k|；（2）如图②，已知一次函数与反比例函数y=kx交于A、B两点，且一次函数与x轴交于点C，则S△AOB=S△AOC+S△BOC=12OC⋅|y A|+12OC⋅|y B|=12OC⋅(|y A|+|y B|)；（3）如图③，已知反比例函数y=kx的图象上的两点，其坐标分别为(x A，y A)，(x B，y B)，C为AB延长线与x轴的交点，则S△AOB=S△AOC–S△BOC=12OC⋅|y A|–12OC⋅|y B|=12OC⋅(|y A|−|y B|)．【典例分析】题型1：一点在反比例函数图象上【例1】如图，反比例函数y=kx (k≠0)的图象上有一点A，AB平行于x轴交y轴于点B，△ABO的面积是3，则反比例函数的解析式是()A. y=32x B. y=3xC. y=6xD. y=34x【答案】C【解析】解：如图，过点A作AC⊥x轴于点C.则四边形ABOC是矩形，∴S△ABO=S△AOC=3，∴|k|=S矩形ABCO=S△ABO+S△AOC=6，∴k=6或k=−6．又∵函数图象位于第一象限，∴k>0，∴k=6.则反比函数解析式为y=6x．故答案为：C.【练1】如图，P是反比例函数图象在第二象限上的一点，矩形PEOF的面积为5，则反比例函数的表达式是________．【答案】y=−5x【解析】解：设反比例函数的表达式是y=kx(k≠0)，由题意知，S矩形PEOF=|k|=5，所以k=±5，又反比例函数图象在第二象限上，k<0，所以k=−5，即反比例函数的表达式是y=−5x．【练2】如图，点A在反比例函数y=kx（x＞0）的图象上，过点A作AD⊥y轴于点D，延长AD至点C，使AD＝DC，过点A作AB⊥x轴于点B，连接BC交y轴于点E．若△ABC 的面积为6，则k的值为．【答案】6【解析】解：连接BD，如图，∵AD＝DC，∴S△ADB＝S△BDC=12S△BAC=12×6＝3，∵AD⊥y轴于点D，AB⊥x轴，∴四边形OBAD为矩形，∴S矩形OBAD＝2S△ADB＝2×3＝6，∴k＝6．故答案为：6．【练3】如图，在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y=−8x 在第二象限的图象上有一点A，过点A作AB⊥x轴于点B，则S△AOB＝．【答案】4【解析】解：设点A的坐标为（a，−8a），∵反比例函数y=−4x在第二象限的图象上有一点A，过点A作AB⊥x轴于点B，∴S△AOB=−a⋅(−8 a )2=4，故答案为：4．题型2：两点在反比例函数图象上【例2】如图，双曲线y=kx 与△OAB交于点A，C，已知A，B，C三点横坐标的比为5：5：2，且S△OAB＝21，则k＝．【答案】8【解析】解：如图，过点A作AE⊥x轴于点E，过点C作CD⊥x轴于点D，∵A，B，C三点横坐标的比为5：5：2，∴设A、B的横坐标为5a，则C点的横坐标为2a，∵S △OAB ＝21， ∴12AB ⋅5a =21，∴AB =425a， ∵双曲线y =kx 与△OAB 交于点A ，C ， ∴CD =k 2a ，AE =k5a ，OD ＝2a ，OE ＝5a ， ∴BE =k+425a， ∵CD ∥BE ， ∴△OCD ∽△OBE ， ∴CD BE=OD OE，即k 2a k+425a=2a 5a，解得，k ＝8， 故答案为：8．【练1】如图，矩形ABCD 的顶点A 和对称中心在反比例函数y =kx （k ≠0，x ＞0）的图象上，若矩形ABCD 的面积为12，则k 的值为（ ）A ．6B ．3√3C ．4√2D ．12【答案】A【解析】设 A （ m ，km ），∴AB =km，∵矩形的面积为12， ∴BC =12km=12m k，∴矩形对称中心的坐标为：（m +12×12m k，12×k m ），即（m +6m k，k2m ）∵对称中心在 y =kx 的图象上， ∴k2m =k m+6mk，∴mk ﹣6m ＝0，∴m（k﹣6）＝0，∴m＝0（不符合题意，舍去）或k＝6，故选：A．【练2】如图，点A、B在反比例函数y=kx的图象上，过点A、B作x轴的垂线，垂足分别是M、N，射线AB交x轴于点C，若OM＝MN＝NC，四边形AMNB的面积是3，则k 的值为（）A．-2B．-4C．2D．4【答案】B【解析】解：∵点A、B在反比例函数y的图象上，∴S△AOM=12|k|，∵OM＝MN＝NC，∴AM＝2BN，∴S△AOM=13S△AOC，S△ACM＝4S△BCN，S△ACM＝2S△AOM，∵四边形AMNB的面积是3，∴S△BCN＝1，∴S△AOM＝2，∴|k|＝4，∵反比例函数y=kx的图象在第二四象限，∴k＝﹣4，故答案为：B．【练3】如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCO的两边OA，OC落在坐标轴上，反比例函数y=kx 的图象分别交BC，OB于点D，点E，且BDCD=54，若S△AOE＝24，则k的值为．【答案】-16【解析】解：设点B 的坐标为（a ，b ），则点D 的坐标为（kb，b ），点A 的坐标为（a ，0），∴BD =k b −a ，BC ＝﹣a ，CD =−kb ，AB ＝b ， ∵BD CD=54，∴4×（k b−a ）＝5×（−k b）， ∴ab =94k ，设点E 坐标为（m ，n ）， ∵S △AOE ＝12，即−12an ＝12， ∴n =−24a ，∵点E 在反比例函数y =kx 上， ∴E （−ak24，−24a ），∵S △AOE ＝S 矩形OABC ﹣S △OBC ﹣S △ABE ＝﹣ab −12（﹣ab ）−12b （−ak24−a ）＝12， ∴abk ＝576，把abk ＝576代入ab =94k 得，94k 2＝576，即k 2＝162， 解得k ＝±16， 由图象可知，k ＜0， ∴k ＝﹣16． 故答案为：-16【练4※】如图，过原点的直线与反比例函数y =kx (k >0)的图象交于A ，B 两点，点A 在第一象限点C 在x 轴正半轴上，连结AC 交反比例函数图象于点D .AE 为∠BAC 的平分线，过点B 作AE 的垂线，垂足为E ，连结DE .若AC =3DC ，ΔADE 的面积为8，则k 的值为________.【答案】6【解析】解：连接OE ，CE ，过点A 作AF ⊥x 轴，过点D 作DH ⊥x 轴，过点D 作DG ⊥AF ，∵过原点的直线与反比例函数y=kx（k＞0）的图象交于A，B两点，∴A与B关于原点对称，∴O是AB的中点，∵BE⊥AE，∴OE=OA，∴∠OAE=∠AEO，∵AE为∠BAC的平分线，∴∠DAE=∠AEO，∴AD∥OE，∴S△ACE=S△AOC，∵AC=3DC，△ADE的面积为8，∴S△ACE=S△AOC=12，设点A（m，km），∵AC=3DC，DH∥AF，∴3DH=AF，∴D（3m，k3m），∵CH∥GD，AG∥DH，∴△DHC∽△AGD，∴S△HDC=14S△ADG，∵S△AOC=S△AOF+S梯形AFHD+S△HDC=1 2k+12×(DH+AF)×FH+SΔHDC=1 2k+12×4k3m×2m+12×14×2k3m×2m=1 2k+4k3+k6=12，∴2k=12，∴k=6；故答案为：6.【例4】如图，在平面直角坐标系中，△OAB的顶点A在x轴正半轴上，OC是△OAB的中线，点B、C在反比例函数y=2x（x＞0）的图象上，则△OAB的面积等于．【答案】3【解答】解：如图，过点B、点C作x轴的垂线，垂足为D，E，则BD∥CE，∴CEBD =AEAD=ACAB，∵OC是△OAB的中线，∴CEBD =AEAD=ACAB=12，设CE＝m，则BD＝2m，∴C的横坐标为2m ，B的横坐标为1m，∴OD=1m ，OE=2m，∴DE＝OE﹣OD=1m，∴AE＝DE=1m，∴OA＝OE+AE=3m，∴S△OAB=12OA•BD=12×3m×2m＝3．故答案为：3．【练1】如图，Rt△AOB的一条直角边OB在x轴上，双曲线y=kx(x＞0)经过斜边OA的中点C，与另一直角边交于点D．若S△OCD＝9，则S△OBD的值为．【答案】6【解析】解：如图，过C点作CE⊥x轴，垂足为E．∵Rt△OAB中，∠OBA＝90°，∴CE∥AB，∵C为Rt△OAB斜边OA的中点C，∴CE为Rt△OAB的中位线，∵△OEC∽△OBA，∴OCOA =12．∵双曲线的解析式是y=kx，即xy k∴S△BOD＝S△COE=12|k|，∴S△AOB＝4S△COE＝2|k|，由S△AOB﹣S△BOD＝S△AOD＝2S△DOC＝18，得2k−12k＝18，k＝12，S△BOD＝S△COE=12k＝6，故答案为：6．【练2】在平面直角坐标系中，对于不在坐标轴上的任意一点A(x,y)，我们把点B(1x ,1y)称为点A的“倒数点”．如图，矩形OCDE的顶点C为(3,0)，顶点E在y轴上，函数y=2x(x>0)的图象与DE交于点A．若点B是点A的“倒数点”，且点B在矩形OCDE的一边上，则△OBC的面积为_________．【答案】14或32【解析】解：根据题意，∵点B (1x ,1y )称为点A (x,y )的“倒数点”， ∴x ≠0，y ≠0，∴点B 不可能在坐标轴上；∵点A 在函数y =2x (x >0)的图像上， 设点A 为(x,2x )，则点B 为(1x ,x2)， ∵点C 为(3,0)， ∴OC =3，①当点B 在边DE 上时； 点A 与点B 都在边DE 上， ∴点A 与点B 的纵坐标相同， 即2x =x2，解得：x=2，经检验，x=2是原分式方程的解；∴点B 为（12，1），∴△OBC 的面积为：S =12×3×1=32； ②当点B 在边CD 上时； 点B 与点C 的横坐标相同， ∴1x =3，解得：x =13，经检验，x =13是原分式方程的解； ∴点B 为(3,16)，∴△OBC 的面积为：S =12×3×16=14； 故答案为：14或32．题型3：两个反比例函数综合问题【例5※】如图，经过原点O 的直线与反比例函数y ＝ax （a ＞0）的图象交于A ，D 两点（点A 在第一象限），点B ，C ，E 在反比例函数y ＝bx （b ＜0）的图象上，AB ∥y 轴，AE ∥CD∥x 轴，五边形ABCDE 的面积为56，四边形ABCD 的面积为32，则a ﹣b 的值为__，b a 的值为__．【答案】24；﹣13【解析】解：如图，连接AC ，OE ，OC ，OB ，延长AB 交DC 的延长线于T ，设AB 交x 轴于K ．由题意A ，D 关于原点对称，∴A ，D 的纵坐标的绝对值相等，∵AE ∥CD ，∴E ，C 的纵坐标的绝对值相等，∵E ，C 在反比例函数y ＝b x 的图象上，∴E ，C 关于原点对称，∴E ，O ，C 共线，∵OE ＝OC ，OA ＝OD ，∴四边形ACDE 是平行四边形，∴S △ADE ＝S △ADC ＝S 五边形ABCDE ﹣S 四边形ABCD ＝56﹣32＝24，∴S △AOE ＝S △DEO ＝12，∴12a ﹣12b ＝12，∴a ﹣b ＝24，∵S △AOC ＝S △AOB ＝12，∴BC ∥AD ，∴BC AD ＝TB TA ，∵S △ACB ＝32﹣24＝8，∴S △ADC ：S △ABC ＝24：8＝1：3，∴BC ：AD ＝1：3，∴TB ：TA ＝1：3，设BT ＝a ，则AT ＝3a ，AK ＝TK ＝1.5k ，BK ＝0.5k ， ∴AK ：BK ＝3：1，∴S △AOK S △BKO ＝1212a b ＝13， ∴a b ＝﹣13．故答案为24，﹣13．【练1】如图，直线l ⊥x 轴于点P ，且与反比例函数y 1=k 1x （x ＞0）及y 2=k 2x （x ＞0）的图象分别交于点A ，B ，连接OA ，OB ，已知△OAB 的面积为3，则k 1﹣k 2＝ ．【答案】6【解析】解：∵反比例函数y 1=k 1x （x ＞0）及y 2=k 2x （x ＞0）的图象均在第一象限内，∴k 1＞0，k 2＞0．∵AP ⊥x 轴，∴S △OAP =12k 1，S △OBP =12k 2． ∴S △OAB ＝S △OAP ﹣S △OBP =12（k 1﹣k 2）＝3， 解得：k 1﹣k 2＝6．故答案为：6【练2】双曲线C 1：y =k 1x 和C 2：y =k 2x 如图所示，点A 是C 1上一点，分别过点A 作AB ⊥x轴，AC ⊥y 轴，垂足分别为点B 、点C ，AB ，AC 与C 2分别交于点D 、点E ，若四边形ADOE 的面积为4，则k 1﹣k 2＝ ．【答案】-4【解析】解：∵D ，E 在反比例函数y =k 2x 的图象上，且图象在第二象限， ∴S △OBD =12OB •BD =−12k 2，S △OCE =12OC •CE =−12k 2，∵A 在反比例函数y =k 1x 的图象上，且图象在第二象限，∴S 矩形ABOC ＝OB •OC ＝﹣k 1∴k 1﹣k 2＝﹣[﹣k 1﹣（﹣k 2）]＝﹣（S 矩形ABOC ﹣S △OBD ﹣S △OCE ）＝﹣S 四边形ADOE ＝﹣4， 故答案为：﹣4．【练3】如图，点A 是第一象限内双曲线y =m x （m ＞0）上一点，过点A 作AB ∥x 轴，交双曲线y =n x （n ＜0）于点B ，作AC ∥y 轴，交双曲线y =n x （n ＜0）于点C ，连接BC ．若△ABC 的面积为92，则m ，n 的值不可能是（ ）A ．m =19，n =−109B ．m =14，n =−54C ．m ＝1，n ＝﹣2D ．m ＝4，n ＝﹣2【答案】A【解析】解：设点A 的坐标为（a ，m a ）， ∵AB ∥x 轴，AC ∥y 轴，∴点B 的纵坐标为m a ，点C 的横坐标为a ， 将y =m a 代入反比例函数y =n x 得，x =an m ， ∴B （an m ，m a ），∴AB ＝a −an m ，将x ＝a 代入反比例函数y =n x 得，y =n a ，∴C （a ，n a ）， ∴AC =m−n a， ∵S △ABC =12AB •AC =12（a −an m ）×m−n a =(m−n)22m =92， 即（m ﹣n ）2＝9m ，当m =19，n =−109时，不满足（m ﹣n ）2＝9m ， 因此选项A 符合题意；当m =14，n =−54时，当m ＝1，n ＝﹣2时，当m ＝4，n ＝﹣2时，均满足（m ﹣n ）2＝9m ， 因此选项B 、C 、D 均不符合题意； 故选：A ．。
反比例函数k 的几何意义
反比例函数k 的几何意义全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：反比例函数是一种常见的函数形式，它在数学中起着重要的作用。
在数学中，反比例函数通常表示为y = k/x，其中k是一个常数。
在本文中，我们将探讨反比例函数k的几何意义，以便更好地理解它在数学中的应用。
让我们来看看反比例函数y = k/x的图像是什么样子的。
当k大于0时，函数图像呈现出一种特殊的形状，即一条从第一象限经过原点的曲线。
这种曲线被称为双曲线。
双曲线在数学中有着广泛的应用，例如在物理学和工程学中，它往往用来描述两个量之间呈反比例关系的情况。
在几何意义上，反比例函数k的值可以理解为曲线在坐标系中的形态和性质。
当k越大时，曲线越扁平，即曲线的曲率越小。
反之，当k 越小时，曲线越尖锐，曲率越大。
反比例函数k的值可以用来描述曲线的形状和性质。
反比例函数k的几何意义还可以从另一个角度来理解。
在数学中，函数y = k/x表示了两个变量之间的反比例关系。
当x增大时，y的值会减小。
这表明两个变量之间存在一种相反变化的关系。
在几何上，这种反比例关系可以理解为一种“交换”的关系，即当一个变量增大时，另一个变量会减小，反之亦然。
反比例函数k在数学中具有重要的几何意义。
它不仅可以描述曲线的形状和性质，还可以揭示两个变量之间的反比例关系。
通过深入研究反比例函数k的几何意义，我们可以更好地理解它在数学中的应用，并丰富我们对数学的认识和理解。
【文章字数不足，如有需要可继续添加内容】。
第二篇示例：反比例函数是数学中常见的一类函数，其数学表达式为y = k/x，其中k为一个常数且k≠0。
反比例函数在数学中有很多重要的应用，尤其是在几何中具有重要的意义。
我们来看反比例函数在几何中的基本性质。
对于反比例函数y =k/x，我们可以通过绘制其图像来直观地理解其性质。
当x取正值时，y 的值随着x的增大而减小；当x取负值时，y的值随着x的增大而增加。
这说明反比例函数是一个非对称的函数，它在坐标系中的图像呈现出一种特殊的形态。
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如图，点A是反比例函数图象上一点，过点A作AB⊥y 轴于点B，点C、D在x轴上，且BC∥AD，四边形ABCD的面 积为3，则这个反比例函数的解析式为___________
y3 x
如图，A、B两点在双曲线y= 上，分别经过A、
B两点向坐标轴作垂线段，已知阴影面积为1，则
DA
B yx
0D
0
yx
C
CB
Sk
yy
0
yx
yy
yy S 2 k
0
0 yx
yx
yy S k 0 yx
yy S 2 k 0 yx
B 在反比例函数
y4 x
的图象中，
阴影部分的面积不等于4的是（ ）
A．
B．
C．
D．
如图，点A，点B分别在两条不同的双曲线上，且
AB∥x轴，点C和点D在x轴上，若四边形ABCD为矩形，
思考：如果点P是靠近点A的三等分点?如何解决以上问题
y
y数y 缺形时少yy 直觉，形y少数时难y入y 微
0 yx
0
几个图0形面 yx y 积之yx间的联 0 x
系
0 yx
化 归
反比例函数解析 式
k的几何意义 Sk
解决反比例函 数中有关面积
的问题
y k (k 0) x
K的几何意义
yy
yy
yPB
P xP , yP
yPP B
yx 0 yPA
yPA 0
yx
S AP • BP xP • yP xP • yP k
y k (k 0) x
yy
yy
yPB
0
Q
xQ , yQ
P xP , yP
yx yPA
yPM
S1 k 2
0 yx
yPN
双曲线
y
k x
(k
0)
在第一象限的图像过了矩形OAQB边AQ
上的中点P,与边BQ交于点C，已知四边形OCQP面积为2,
yy M B CQ
P
1.求双曲线的函数解析式
2.求过点Q的反比例函数解析式 3.点C是否为线段BQ的中点?
0 A Nyx 4.过点C，P作直线交坐标轴于点
M,N，线段MC与线段PN是否相等？
6 S1+S2=___________
如图，点P是反比例函数的图象上的任意一点，过 点P分别作两坐标轴的垂线，与坐标轴构成矩形OAPB， 点D是矩形OAPB内任意一点，连接DA、DB、DP、DO，
3 则图中阴影部分的面积是___________
如图所示，两条曲线分别代表
y 2,y 5 xx
在第一象限的图象.
反比例函数 y k (k 0) 的图象特征和性质
x
函数
k>0
yk x
k<0
大致 图象
图象 位置
y
一、三象限
0x
y
二、四象限
0
x
函数性质 （增减性）
函数性质 （对称性）
当x>0(或x<0)时， y随x增大而减小
1.双曲线关于 直线y=x和y=-x
成轴对称
2.双曲线关于 当x>0(或x<0)时， 点（0，0）成 y随x增大而增大 中心对称
yy
1.求三角形OPQ的面积
BC Q
SOPQ SOAQ SOAP
P
2.5 1 1.5
0 A yx 2.求四边形OCQP的面积
SOCQP SOAQB SOCB SOPA
511 3
如图，点A是双曲线y=﹣ 在第二象限分支上的一个动点， 连接AO并延长交另一分支于点B，以AB为底作等腰△ABC，且 ∠ACB=120°，点C在第一象限，随着点A的运动，点C的位置 也不断变化，但点C始终在双曲线y= 上运动，则k的值为 _______
y k (k 0) x
yy x0 , y0
P
1.∆PMQ的面积？
S
1 2
MP•
MQ
1 2
2 y0
•
2x0
2x0
y0
2k
0A
Q
B
M (x0 , y0 )
x0 , y0
2.连接AQ，∆PAQ的面积？
S k
S 2k
yy M
P
0 Q
S k
Байду номын сангаасyy
MA
P
yx
Q
yy
S ABCD 2k yy
A