实数原理

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初中数学实数(原理、规律方法技巧总结)大小的比较

初中数学实数（原理、规律方法技巧总结）大小的比较一、实数的大小比较的原理1）正负数：正数>0>负数，正数大于一切负数；2）数轴：数轴上的两个点所表示的数，右边的总比左边的大；3）绝对值：两个正数，绝对值大的就大；两个负数，绝对值大的反而小。

二、实数大小比较常见方法实数大小比较常见方法有：数轴法、倒数法、作差法、作商法、放缩法、平方法、估算法、分母有理化等.三、实数大小的比较常见方法举例及其规律方法1、数轴法例1、a，b，c三个数在数轴上对应的点如图所示，且|a|＝|b|.(1)比较a，－a，－c的大小；(2)化简：|a＋b|＋|a－b|＋|a＋c|＋|b－c|.打开百度APP看高清图片数轴解：(1)可以依次标出a，－a，－c在数轴上的位置易得－a＜a＜－c；(2)原式＝0＋2a＋[－(a＋c)]＋(b－c)＝2a－a－c＋b－c＝2a－a－a－c－c＝－2c.2、倒数法规律方法：两个无理数的差，被开方数的差相同，因此可取这两个数的倒数，再进行分母有理化，先比较它们倒数的大小，然后再比较它们本身的大小。

3、做差法规律方法：把两数的差与“0”做比较即可，做差法是最常用的比较方法。

4、作商法规律方法：当两个含二次根式的数或式（均为正数）都是分式形式时，常用作商比较它们的大小，将它们的商与1做比较5、放缩法原理：不等式的传递性。

规律方法：即把要比较的两个数适当的放大或缩小，使复杂的问题简单化，进而达到比较两个实数的大小的目的。

6、平方法原理：当a>0,b>0时，若a>b，则a>b；若a=b，则a=b；若a 规律方法:此种方法一般适用于四个无理数两两之和(或差)之间比较大小,且其中两个被开方数的和等于另两个被开方数的和.7、估算法规律方法：当要比较的实数含有平方根容易算出时，可考虑使用估算法，使用这种方法需8、根号内比较法规律方法：对于一些简单的含根号的数字，有时可以直接把数化入到根号里面，然后比较根号内数字的大小即可。

实数归纳总结

实数归纳总结实数归纳法是数学中一种常用的证明方法，用于证明对于所有非负整数的命题成立。

在这篇文章中，我们将总结实数归纳法的基本思想和应用，并给出一些示例来帮助读者更好地理解和运用这一方法。

一、实数归纳法的思想实数归纳法是基于以下原理的：如果一个命题在某个特定整数点成立，并且对于任意大于等于该整数点的整数也成立，那么该命题对于所有非负整数都成立。

换句话说，如果我们能够证明：1. 当n取某个特定整数值时，命题成立；2. 假设当n取k时命题成立，即命题在n=k时成立；3. 则可以推断出当n取k+1时命题也成立。

通过这种递推的方式，我们可以证明命题对于所有非负整数都成立。

二、实数归纳法的应用实数归纳法在数学中有广泛的应用。

在代数、数论、集合论等各个领域，许多重要的结论和定理都可以通过实数归纳法来证明。

下面我们来看几个例子。

例1：证明非负整数的平方和公式。

我们需要证明对于任意非负整数n，都有1²+2²+...+n² =n(n+1)(2n+1)/6成立。

首先，当n=1时，左边等于1，右边等于1，命题成立。

然后，假设当n=k时命题成立，即1²+2²+...+k² = k(k+1)(2k+1)/6成立。

接下来，我们需要证明在n=k+1时命题也成立。

即证明1²+2²+...+k²+(k+1)² = (k+1)(k+2)(2k+3)/6成立。

通过观察我们可以发现，左边的式子可以简化为k(k+1)(2k+1)/6+(k+1)²，而右边的式子可以简化为(k+1)(k+2)(2k+3)/6。

由于我们已经假设当n=k时命题成立，因此左边等于右边，证明了在n=k+1时命题也成立。

根据实数归纳法的原理，我们可以得出结论：对于任意非负整数n，都有1²+2²+...+n² = n(n+1)(2n+1)/6成立。

实数的基本定理

第三章关于实数的基本定理及闭区间上连续函数性质的证明六个基本定理：1实数戴德德公理确界原理2数列的单调有界定理 3区间套定理 4聚点定理致密性定理5数列柯西收敛准则 6有限覆盖定理定理(确界原理) 设S 为非空数集．若S 有上界，则S 必有上确界；若S 有下界，则S 必有下确界．定理单调有界数列必收敛. 证明不妨设{}n a 为有上界的递增数列．由确界原理，数列{}n a 有上确界，记{}n a a sup =．下面证明a 就是{}n a 的极限．事实上，任给0>ε，按上确界的定义，存在数列{}n a 中某一项N a ，使得N a a ε-<．又由{}n a 的递增性，当N n ≥时有n N a a a <<-ε．另一方面，由于a 是{}n a 的一个上界，故对一切n a 都有ε+<≤a a a n ．所以当N n ≥时有εε+<<-a a a n ，即a a n n =∞→lim ．同理可证有下界的递增数列必有极限，且其极限即为它的下确界．（区间套定理）若[]{}n n b a ,是一个区间套，则在实数系中存在唯一的一点ξ，使得ξ∈[]n n b a ,，,2,1=n ，即ξ≤n a n b ≤， .,2,1 =n （2）证由（1）式，{}n a 为递增有界数列，依单调有界定理，{}n a 有极限ξ，且有 .,2,1, =≤n a n ξ （3）同理，递减有界数列{}n b 也有极限，并按区间套的条件（¡¡）有ξ==∞→∞→n n n n a b lim lim ，（4）且 .,2,1, =≥n b n ξ （5）联合（3）、（5）即得（2）式。

最后证明满足（2）的ξ是唯一的。

设数ξ'也满足,,2,1, =≤'≤n b a n n ξ 则由（2）式有≤'-ξξ.,2,1, =-n a b n n 由区间套的条件（¡¡）得≤'-ξξ0)(lim =-∞→n n n a b ，故有ξξ='.由（4）式容易推得如下很有用的区间套性质：推论若[]),2,1(, =∈n b a n n ξ是区间套[]{}n n b a ,所确定的点，则对任给的ε>0，存在N>0，使得当n >N 时有[]n n b a ,⊂()．；εξU致密性定理定义2 设S 为数轴上的点集，ξ为定点(它可以属于S ，也可以不属S)．ξ的任何邻域内都含有S 中无穷多个点，则称ξ为点集S 的一个聚点．等价定义如下：定义2’ 对于点集S ，若点ξ的任何ε邻域内都含有S 中异于ξ的点，即Φ≠S U );(0εξ，则称ξ为S 的一个聚点．定义2” 若存在各项互异的收敛数列{}S x n ⊂，则其极限ξ=∞→n n x lim 称为S 的一个聚点现证定义2’ ⇒定义2”设ξ为S(按定义2’)的聚点，则对任给的0>ε，存在()S U xεξ;∈．令11=ε，则存在()S U x11;εξ∈；令⎪⎭⎫ ⎝⎛-=12,21min x ξε，则存在()S U x22;εξ∈，且显然12x x ≠；令⎪⎭⎫⎝⎛-=-1,1min n n x n ξε，则存在()S U x n n εξ;∈，且11,,-n n x x x 与互异。

《数学分析》第七章实数基本定理

第七章实数基本定理（ 1 8 时）§1 关于实数集完备性的基本定理（ 4 时）一．确界存在定理：回顾确界概念．Th 1 非空有上界数集必有上确界;非空有下界数集必有下确界.二. 单调有界原理: 回顾单调和有界概念 .Th 2 单调有界数列必收敛.三. Cantor 闭区间套定理:1. 区间套: 设} ] , [ {n n b a 是一闭区间序列. 若满足条件ⅰ> 对n ∀, 有 ] , [11++n n b a ⊂] , [n n b a , 即 n n n n b b a a ≤<≤++11, 亦即后一个闭区间包含在前一个闭区间中;ⅱ> ,0→-n n a b )(∞→n . 即当∞→n 时区间长度趋于零.则称该闭区间序列为一个递缩闭区间套, 简称为区间套 .简而言之, 所谓区间套是指一个 “闭、缩、套” 区间列.区间套还可表达为:, 1221b b b a a a n n ≤≤≤≤<≤≤≤≤ ,0→-n n a b )(∞→n . 注:这里涉及两个数列} {n a 和 } {n b , 其中} {n a 递增,} {n b 递减.例如 } ] 1 , 1 [ {n n -和} ] 1 , 0 [ {n 都是区间套.但} ] 21 , ) 1 (1 [ {nn n +-+、} ] 1 , 0 ( {n 和 } ] 11 , 1 [ {nn +-都不是. 2. Cantor 区间套定理:Th 3设} ] , [ {n n b a 是一闭区间套. 则存在唯一的点ξ,使对n ∀有∈ξ] , [n n b a .简言之, 区间套必有唯一公共点.四． Cauchy 收敛准则 —— 数列收敛的充要条件:1. 基本列:回顾基本列概念.基本列的直观意义.基本列亦称为Cauchy 列. Cauchy 列的否定:2. Cauchy 收敛原理:Th 4 数列} {n a 收敛 ⇔ } {n a 是Cauchy 列.五. 致密性定理:数集的聚点(亦称为接触点):定义设E 是无穷点集. 若在点ξ(未必属于E )的任何邻域内有E 的无穷多个点, 则称点ξ为E 的一个聚点.数集E =} 1{n有唯一聚点0, 但E ∉0; 开区间 ) 1 , 0 (的全体聚点之集是闭区间 ] 1 , 0 [; 设Q 是] 1 , 0 [中全体有理数所成之集, 易见Q 的聚点集是闭区间] 1 , 0 [.1. 列紧性: 亦称为Weierstrass 收敛子列定理.Th 5 ( Weierstrass ) 任一有界数列必有收敛子列.2. 聚点原理 : Weierstrass 聚点原理.Th 6 每一个有界无穷点集必有聚点.六. Heine –Borel 有限复盖定理:复盖: 先介绍区间族} , {Λ∈=λλI G .定义 (复盖 )设E 是一个数集,G 是区间族.若对∍Λ∈∃∈∀ , , λE x λI x ∈,则称区间族G 复盖了E , 或称区间族G 是数集E 的一个复盖. 记为. ,Λ∈⊂λλλI E 若每个λI 都是开区间,则称区间族G 是开区间族.开区间族常记为}, , ) , ( { Λ∈<=λβαβαλλλλM . 定义 (开复盖 )数集E 的一个开区间族复盖称为E 的一个开复盖,简称为E 的一个复盖.子复盖、有限复盖、有限子复盖.例1 } ) 1 , 0 ( ), 23 , 2 ( {∈=x x x M 复盖了区间) 1 , 0 (, 但不能复盖] 1 , 0 [; } ) , ( , ) 2 , 2 ( {b a x x b x x b x H ∈-+--=复盖) , [b a , 但不能复盖] , [b a . 1. Heine –Borel 有限复盖定理:Th 7 闭区间的任一开复盖必有有限子复盖.七实数基本定理等价性的证明证明若干个命题等价的一般方法.本节证明七个实数基本定理等价性的路线 : 证明按以下三条路线进行:Ⅰ: 确界原理 ⇒ 单调有界原理 ⇒ 区间套定理 ⇒ Cauchy 收敛准则 ⇒ 确界原理 ;Ⅱ: 区间套定理 ⇒ 致密性定理 ⇒ Cauchy 收敛准则 ;Ⅲ: 区间套定理 ⇒ Heine –Borel 有限复盖定理 ⇒ 区间套定理 .一. “Ⅰ” 的证明: (“确界原理 ⇒ 单调有界原理”已证明过 ).1. 用“确界原理”证明“单调有界原理”:Th 2 单调有界数列必收敛 .证2. 用“单调有界原理”证明“区间套定理”:Th 3 设} ] , [ {n n b a 是一闭区间套. 则存在唯一的点ξ,使对n ∀有∈ξ] , [n n b a . 证推论1 若∈ξ] , [n n b a 是区间套} ] , [ {n n b a 确定的公共点, 则对0>∀ε,,N ∃当N n >时, 总有] , [n n b a ) , (εξ ⊂.推论 2 若∈ξ] , [n n b a 是区间套} ] , [ {n n b a 确定的公共点,则有n a ↗ξ, n b ↘ξ, ) (∞→n .3. 用“区间套定理”证明“Cauchy 收敛准则”:Th 4 数列} {n a 收敛 ⇔ } {n a 是Cauchy 列.引理 Cauchy 列是有界列. ( 证 )Th 4 的证明: ( 只证充分性 ) 教科书P 217—218上的证明留作阅读.现采用[3]P 70—71例2的证明, 即三等分的方法, 该证法比较直观.4．用“Cauchy 收敛准则” 证明“确界原理” ：Th 1 非空有上界数集必有上确界；非空有下界数集必有下确界 .证（只证“非空有上界数集必有上确界”）设E 为非空有上界数集 . 当E 为有限集时 , 显然有上确界 .下设E 为无限集, 取1a 不是E 的上界, 1b 为E 的上界. 对分区间] , [11b a , 取] , [22b a , 使2a 不是E 的上界, 2b 为E 的上界. 依此得闭区间列} ] , [ {n n b a . 验证} {n b 为Cauchy 列, 由Cauchy 收敛准则,} {n b 收敛; 同理} {n a 收敛. 易见n b ↘. 设n b ↘β.有 n a ↗β.下证β=E sup .用反证法验证β的上界性和最小性.二. “Ⅱ” 的证明:1. 用“区间套定理”证明“致密性定理”:Th 5 ( Weierstrass ) 任一有界数列必有收敛子列.证（突出子列抽取技巧）Th 6 每一个有界无穷点集必有聚点.证（用对分法）2．用“致密性定理” 证明“Cauch y 收敛准则” ：Th 4 数列} {n a 收敛 ⇔ } {n a 是Cauchy 列.证 (只证充分性）证明思路：Cauchy 列有界→ 有收敛子列→验证收敛子列的极限即为} {n a 的极限.Ex [1]P 223—224 1—7，11.三. “Ⅲ” 的证明:1. 用“区间套定理”证明“Heine –Borel 有限复盖定理”:证2. 用“Heine –Borel 有限复盖定理” 证明“区间套定理”:证采用[3]P 72例4的证明.Ex [1]P 224 8—12 选做，其中 1 0 必做.§3 闭区间上连续函数性质的证明 ( 4 时 )一. 有界性:命题1 ] , [)(b a C x f ∈, ⇒ 在] , [b a 上)(x f =) 1 (O .证法一 ( 用区间套定理 ). 反证法.证法二 ( 用列紧性 ). 反证法.证法三 ( 用有限复盖定理 ).二. 最值性:命题2 ] , [)(b a C x f ∈⇒)(x f 在] , [b a 上取得最大值和最小值. (只证取得最大值) 证( 用确界原理) 参阅[1]P 170.三. 介值性: 证明与其等价的“零点定理 ”.命题3 (零点定理)证法一(用区间套定理).证法二(用确界原理).不妨设,0)(>a f 0)(<b f .令} ] , [ , 0)( | {b a x x f x E ∈>=, 则E 非空有界, ⇒ E 有上确界. 设E sup =ξ,有∈ξ] , [b a . 现证 0)(=ξf , ( 为此证明)(ξf 0≥且)(ξf 0≤ ).取n x >ξ且n x ) ( ,∞→→n ξ.由)(x f 在点ξ连续和0)(≤n x f ,⇒,0)(lim )(≤=∞→n n x f f ξ,⇒ξE ∉.于是) ( , ∞→→∍∈∃n t E t n n ξ. 由)(x f 在点ξ连续和0)(>n t f ,⇒0)(lim )(≥=∞→n n t f f ξ.因此只能有0)(=ξf . 证法三 (用有限复盖定理).Ex [1]P 232 1，2，5.四. 一致连续性:命题4 ( Cantor 定理 )证法一 (用区间套定理).参阅[1]P 171[ 证法一 ]证法二 (用列紧性).参阅[1]P 171[ 证法二 ]Ex [1]P 232 3，4， 6*；P 236 1，2，4.。

数学分析：实数理论

附录I 实数理论一、建立实数的原则：1、集合F构成一个阿基米德有序域的三个条件：(1)F是域. 在F中定义了加法与乘法两个运算，使得对于F中任意元素a,b,c成立：加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c)；加法交换律：a+b=b+a；乘法结合律：(a·b)·c=a·(b·c)；乘法交换律：a·b=b·a；乘法分配律：a·(b+c)=a·b+a·c.在F中存在零元素和反元素：在F中存在一个元素“0”,使得对F中任一元素a，有a+0=a，则称“0”为零元素；对每一个元素a∈F，有一个元素(-a)∈F，使得a+(-a)=0，则称-a为a的反元素.在F中存在单位元素和逆元素：在F中存在一个元素“e”,使得对F中任一元素a，有a·e=a，则称“e”为单位元素；对每一个非零元素a∈F，有一个元素a-1∈F，使得a·a-1=e，则称a-1为a的逆元素.(2)F是有序域. 在F中定义了关系“<”具有如下(全序)性质：传递性：对F中的元素a,b,c，若a<b, b<c, 则a<c；三歧性：F中任意两个元素a与b之间，关系a<b, a=b, a>b(即b<a)三者必居其一，也只居其一.当序与加法、乘法运算结合起来，则有如下性质：加法保序性：若a<b，则对任何c∈F，有a+c<b+c；乘法保序性：若a<b 且c>0，则ac<bc.(3)F 中元素满足阿基米德性. 对F 中任意两个正元素a,b ，必存在自然数n ，使na>b.有理数系Q 满足上述三个条件，所以它是一个阿基米德有序域。

任务：运用戴德金分划说，构造实数系R.二、分析能使确界原理得以成立的有序域为具有完备性的有序域.引理1：一个有序域如果具有完备性，则必具有阿基米德性. 证：设α,β为域中正元素，若序列{n α}中没有一项大于β，则序列有上界β. 又由完备性假设，存在{n α}的上确界λ,对一切自然数n 有λ≥n α，同时存在某自然数n 0，n 0α>λ-α，从而有 (n 0+2)α≤λ<(n 0+1)α，即α<0，与假设α>0矛盾，∴完备的有序域必有阿基米德性.引理2：一个有序域如果具有阿基米德性，则它的有理元素必在该域中稠密，即对有序域中任意两个不同的元素α,β，在α与β之间必存在一个有理元素(从而存在无穷多个有理元素).证：设α,β为有序域中两个不同的元素，且α<β. 由阿基米德性，存在正整数N ，使得N(β-α)>1，或N 1<β-α. 令d=N1, 它是一个有理数，再任取一个有理数γ0<α, 在等差序列{γ0+nd}中，由阿基米德性，总有某项大于α，设在该序列中第一个大于α的项为γ0+n0d，∵γ0+(n0-1)d≤α，若γ0+n0d≥β，两式相减得：d≥β-α，矛盾，∴α<γ0+n0d<β，即γ0+n0d就是所求的有理数，得证.推论：若存在完备的有序域R，则有理数必在其中稠密。

数学分析(考研必看)

数学分析第一章实数集与函数§1.实数一、实数及其性质1. 实数的定义：实数，是有理数和无理数的总称。

2. 实数的六大性质：①（四则运算封闭性）：实数集R 对加、减、乘、除（除数不为0）四则运算封闭，即任意两个实数的和、差、积、商（除数不为0）仍然是实数。

②（有序性）：实数集是有序的，即任意两个实数a, b 必满足以下三种关系之一：a<b 、a=b 、a>b 。

③（传递性）：实数的大小关系具有传递性，即若a>b, b>c 则a>c 。

④（阿基米德性）：实数具有阿基米德性，即对任何a, b ∈R, 若b>a>0,则存在正整数na>b.⑤(稠密性)：实数集R 具有稠密性，即任意两个不相等的实数之间必有另外一个实数，且既有有理数也有无理数。

⑥实数集R 与数轴上点一一对应。

二、绝对值与不等式1. 实数绝对值的性质： ①0;00a a a a =-≥==当且仅当时有 ②-a a a ≤≤ ③;a h h a h a h h a h <<=>-<<≤<=>-≤≤ ④a b a b a b -≤±≤+三角不等式⑤ab a b = ⑥(0)a a b b b=≠ §2数集·确界原理一、区间与邻域1. 有限区间：开区间：{}x a x b <<记作(),a b ；闭区间：{}x a x b ≤≤记作[],a b ；半开半闭区间：{}x a x b ≤<记作[),a b ，{}x a x b <≤记作(],a b无限区间：(]{},a x a -∞=≤，(){},a x x a -∞=≤，(){},a x x a +∞=>，(){},x x R -∞+∞=-∞<<+∞=2. 邻域：设a R ∈,0>,满足绝对值不等式x a -<的全体实数x 的集合称为点a 的邻域，记作();U a 或写作()U a ，即有(){}();,U a x x a a a =-<=-+。

关于实数完备性的6个基本定理

关于实数完备性的6个基本定理
1. 确界原理； 2. 单调有界定理； 3. 区间套定理； 4. 有限覆盖定理; 5. 聚点定理; 6. 柯西收敛准则；在实数系中这六个命题是相互等价的。
在有理数系中这六个命题不成立。
1. 确界原理在实数系中，任意非空有上（下）界的数集
必有上（下）确界。
反例：S {x | x2 2, x Q},sup S 2, inf S 2, 即S在有理数集没有确界。确界原理在有理数域不成立。
5. 聚点定理实数系中的任意有界无限点集至少有一个聚点。
反例： S {(1 1 )n | n Z }, n
S是有界的无限有理点集，在实数域内的聚点为e,
因而在必含有收敛子列。
反例：
{
xn
}
{(1
1 )n n
}是有理数系中的有界无穷数列,
实数完备性基本定理的等价性
实数基本定理等价性的路线 : 证明按以下三条路线进行:
Ⅰ: 确界原理单调有界原理区间套定理 Cauchy 收敛准则确界原理 ; Ⅱ: 区间套定理致密性定理 Cauchy 收敛准则 ; Ⅲ: 区间套定理 Heine–Borel 有限复盖定理区间套定理 .
任取H的有限个元素，构成集合H *,
H * {( x1 r1, x1 r1 ),( x2 r2 , x2 r2 ) ( xn rn , xn rn )}
由于H *中的开区间都不含 2，且2n个端点都是有理数，设这2n个有理数中与 2最靠近的数为 r, 则在r与 2之间所有有理数都在上述n个区间之外。即H的任意有限覆盖不能盖住[1,2]Q .
则有理数域内构成闭区间套 [an,bn ]Q，其在实数系内唯一的公共点为 2 Q.

实数完备性的六大基本定理的相互证明

1确界原理非空有上(下)界数集，必有上(下)确界。

2单调有界原理任何单调有界数列必有极限。

3区间套定理若{[a n , b n ]}ξ∈[an , bn], n = 1,2,。

是一个区间套, 则存在唯一一点ξ，使得4Heine-Borel 有限覆盖定理设[a,b] 是一个闭区间，H为[a,b] 上的一个开覆盖，则在H 中存在有限个开区间，它构成[a,b]上的一个覆盖。

5Weierstrass 聚点定理（Bolzano 致密性定理有界无穷数列必有收敛子列。

）直线上的有解无限点集至少有一个聚点。

6Cauchy 收敛准则数列{a n }收敛⇔对任给的正数ε，总存在某一个自然数N ，使得∀m, n >N 时，都有| am -an|<ε。

一.确界原理1.确界原理证明单调有界定理证不妨设{ a n}为有上界的递增数列.由确界原理,数列{ a n }有上确界,记a = sup{ a n}.下面证明a 就是{ a n} 的极限. 事实上,任给ε> 0, 按上确界的定义,存在数列{ a n }中某一项a N ,使得a - ε> a N .又由{ a n}的递增性,当n≥ N时有a - ε < a N ≤ a n.另一方面,由于a 是{ a n}的一个上界,故对一切a n 都有a n ≤ a < a + ε.所以当n≥ N 时有a - ε < a n < a + ε,这就证得a n = a.同理可证有下界的递减数列必有极限,且其极限即为它的下确界.2.确界原理证明区间套定理证明：１设［ａｎ，ｂｎ］是一个闭区间套，即满足：１）∀ｎ，［ａｎ＋１，ｂｎ＋１］⊂［ａｎ，ｂｎ］；２）ｂｎ－ａｎ＝我们证明，存在唯一的实数ξ，使得ξ∈［ａｎ，ｂｎ］，（ｎ＝１，２，⋯）存在性：令Ｓ＝｛ａｎ｝，显然，Ｓ非空且有上界（任一ｂｎ都是其上界）.据确界原理，Ｓ有上确界，设supＳ＝ξ．现在，我们证明ζ属于每个闭区间［ａｎ，ｂｎ］，（ｎ＝１，２，⋯）显然ａｎ≤ξ，（ｎ＝１，２，⋯）所以，我们只需证明对一切自然数ｎ，都有ξ≤ｂｎ．事实上，因为对一切自然数ｎ，ｂｎ都是Ｓ的上界，而上确界是上界中最小者，因此必有ξ≤ｂｎ，故我们证明了存在一实数ξ，使得ξ∈［ａｎ，ｂｎ］，（ｎ＝１，２，⋯）唯一性: 假设还有另外一点ξ'∈R 且ξ'∈[a n , b n ] ，则| ξ-ξ'|≤| a n -b n | → 0,即ξ=ξ'。

第6节实数的连续性：上确界下确界存在定理

证明：
x A , y B， x su p A , y su p B，有 xy su p A su p B
因此 sup AB sup A sup B
0, 1, x 0 A , x 0 sup A 0, 1, y 0 B , y 0 sup B
在 [ a N , b N ]中必有 E 中点 x N , 使得
( lim a n )
n
xN aN
sup E
aN
●
xN
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
bN
确界原理注１：
单调有界原理
设证明： a n 单调增，有上界，
则 a n 有上确界 sup a n a 且 an a
2
2
'
x y inf X inf Y
inf( X Y ) inf X inf Y
⑵ 显然有
inf X sup X , inf Y sup Y
inf X sup Y inf( X Y ) inf X inf Y sup X inf Y
3, x Q , E2
,
E1
x 0 x

x
3 x , x Q ， 3，因此有理数

集合 E 1的上界为
3， E 2 集合的下确界为
集合确界定理不存在.
0, a N , 使 a N a
n N时
an a N a an a an a
lim a n a sup a n
n

简述实数的八大基本定理,并指出它们之间的关系

简述实数的八大基本定理,并指出它们之间的关系实数的八大基本定理可是数学里相当重要的内容呢，就像一座大厦的八根坚实柱子。

一、确界原理实数系R内，非空有上（下）界的数集必有上（下）确界。

这就好比一群人在爬山，山有个最高的界限，虽然大家在不同高度，但这个最高界限就在那儿，这个最高界限就类似上确界。

比如说数集｛x | 0 <x < 1｝，它的上确界就是1，就像这群爬山的人最高只能到山顶（这里的山顶就是1）。

二、单调有界定理单调有界数列必有极限。

这就像一个人沿着一条笔直的路一直走，这条路有个方向而且他走得规规矩矩的（单调），并且他不会走到无穷远去（有界），那他肯定能走到一个终点（极限）。

比如说数列｛1 - 1/n｝，n越来越大的时候，这个数列的值越来越大，而且它是有界的，最大不会超过1，最后它就会趋近于1这个极限。

三、区间套定理设一无穷闭区间列｛[aₙ, bₙ]｝满足以下两个条件：1. [aₙ₊₁,bₙ₊₁]⊂[aₙ, bₙ]，n = 1, 2, …；2. lim(bₙ - aₙ)=0，那么存在唯一的实数ξ，使得ξ∈[aₙ, bₙ]，n = 1, 2, …。

这就像俄罗斯套娃一样，一个套一个，最后中间肯定有个确定的东西。

如果把区间想象成一个个盒子，越来越小的盒子套在一起，最后肯定有个非常小的空间里有个确定的点。

四、有限覆盖定理设H为闭区间[a, b]的一个（无限）开覆盖，则从H中可选出有限个开区间来覆盖[a, b]。

这就好比要给一块地铺上毯子，毯子是一块块小的（开区间），虽然毯子有很多很多块（无限个），但是只要是在一定的范围内（闭区间[a, b]），总能找到有限块毯子就把地给铺满了。

五、聚点定理实轴上的任一有界无限点集S至少有一个聚点。

这就像在一个小院子里养了好多好多只小鸡（点集S），小鸡虽然很多而且都在这个院子里（有界），那它们肯定会有聚集的地方，这个聚集的地方就是聚点。

六、致密性定理有界数列必有收敛子列。

实数完备性的六大基本定理的相互证明共个

实数完备性的六大基本定理的相互证明共个实数完备性的六大基本定理是实分析中的重要结果，其中包括单调有界原理、上确界原理、下确界原理、戴德金（Dedekind）分割原理、稳定原理和柯西（Cauchy）收敛准则。

这些定理互相独立，但可以相互推导和证明。

下面我将按照给定的字数要求，大致叙述这些定理之间的证明关系。

1.单调有界原理→上确界原理首先我们证明单调有界原理蕴含上确界原理。

假设存在一个非空有上界的实数集合A，我们可以定义一个从A到R （实数集）的单调递增序列。

考虑一个函数f：N→A，其中N是自然数集合。

我们可以通过以下方法生成这个序列：1.对于每个n∈N，令An={a∈A，a≤f(n)}；2.由于A有上界，所以An也有上界；3.根据单调有界原理，An存在上确界。

令f(n)为An的上确界。

现在我们可以看出，这个序列f(n)是一个单调递增的序列，并且对于任意a∈A，存在一个自然数n使得a≤f(n)。

因此f(n)就是A的上确界。

2.上确界原理→下确界原理接下来我们证明上确界原理蕴含下确界原理。

假设存在一个非空有下界的实数集合B，我们可以定义一个从B到R （实数集）的单调递减序列。

考虑一个函数g：N→B，其中N是自然数集合。

我们可以通过以下方法生成这个序列：1.对于每个n∈N，令Bn={b∈B，g(n)≤b}；2.由于B有下界，所以Bn也有下界；3.根据上确界原理，Bn存在下确界。

令g(n)为Bn的下确界。

现在我们可以看出，这个序列g(n)是一个单调递减的序列，并且对于任意b∈B，存在一个自然数n使得g(n)≤b。

因此g(n)就是B的下确界。

3.戴德金分割原理→单调有界原理接下来我们证明戴德金分割原理蕴含单调有界原理。

假设存在一个非空无上界的实数集合C，我们可以定义一个从C到R （实数集）的单调递增序列。

考虑一个函数h：N→C，其中N是自然数集合。

我们可以通过以下方法生成这个序列：1.对于每个n∈N，令Cn={c∈C，h(n)≤c}；2.C没有上界，因此Cn也没有上界；3.根据戴德金分割原理，Cn的上确界不存在。

实数系的基本定理

a1
an1 an bn bn1
b1 。
显然 an 单调增加而有上界 b1 ， bn 单调减少而有下界 a1 ，由定理 2.4.1， an 与 bn 都收敛。设 lim an ，则
n
lim bn lim bn an an lim bn an lim an 。
实数系的基本定理
确界存在定理
Cauchy收敛原理
单调有界数列收敛定理
Bolzano—Weierstrass 定理闭区间套定理
定理 2.1.1 （确界存在定理——实数系连续性定理）非空有上界的数集必有上确界；非空有下界的数集必有下确界。证：
x R ，都可以表示成 x x x 1。
n, m N ：
xn a
于是

2
， xm a

2
，
xm xn xm a xn a 。
再证明充分性。先证明基本数列必定有界，取 0 1，因为 xn 是基本数列，所以 N 0 ，
n N0 ：
令 M max x1 , x2 ,
由此得到一个闭区间套 an , bn ，满足
an T , bn T ， n 1, 2,3,
。
由闭区间套定理，存在唯一的实数属于所有的闭区间 an , bn ，且
lim bn lim an 。现在说明是集合 T 的最小数，也就是集合 S 的
n n
an bn ， n 1,2,3,
令 n ，由极限的夹逼性得到
，
lim bn lim an ，
n n

实数集与函数

§2数集.确界原理
定义1
设S为R中的数集.若存在数M(L)，使得对一切 x∈S，都有x≤M(x≥L),则称S为有上界(下界)
的数集，数M(L)称为S的一个上界（下界）.
例1 证明数集N+={n|n为正整数}有下界而无上界.
证显然，任何一个不大于1的实数都是N+的下界，故 N+为有下界的数集. 为证N+无上界，按照定义只需证明：对于无论多么大的数M，总存在某个正整数n(∈ N+),使得n>M.事实上，对任何正数M （无论多么大），取n=[M]+1,则n∈ N+,且n>M.这就证明了 N+无上界.
符号函数：
即 x>0,sgnx=1； x=0,sgnx= 0； x<0,sgnx=-1.
狄利克雷函数:
D（x）=1,当x为有理数； D（x）=0,当x为无理数.
黎曼函数：
R(x)=1/q，当x=p/q(p,q都属于正整数， p/q为既约真分数)； R(x)=0，当x=0，1和(0,1)内的无理数.
实数集与函数
第一章
实数集与函数
§1 实数
§2数集确界原理
§3函数概念
§1 实数
一.实数的性质：
• 实数集R对加、减、乘、除（除数不为0）四则运算是封闭的，即任意两个实数的和、差、积、商（除数不为0）仍然是实数. • 实数集是有序的，即任意两实数a，b必满足下述三个关系之一a<b,a=b,a>b.
例：设a,b ∈ R.证明：对任何正数ε有a<b+ε, 则a≤b.
用反证法. 倘若结论不成立，则根据实数集的有序性,有 a>b,令ε=a-b,则ε为正数且a=b+ ε,但这与假设 a<b+ε矛盾.从而必有a≤b. 证

实数集确界原理

证 (i) 对一切 x S, 有 x 1, 1 是S的上界； (ii) 对任何 1, 取 x0 1 S, 则有 x0 1 , 故 sup S 1.
例3 设 S [0,1). 证明: sup S 1.
证 (i) 对一切 x S, 有 x 1, 1 是S的上界；
(ii) 对任何 1. 若 0, 则有任取 x0 S , 有 x0.
事实上，对任何正数M(无论多么大)，取n0 [M ] 1, ([M ] 对 M 取整）则 n0 N , 且 n0 M . 这就证明了 N 无上界．
问题: 设 S [0,1]. (1) S有无上界;
(2) S若有上界,有几个上界; (3) S若有无最小的上界.
S的最小的上界,称作S的上确界.
设 a R, 0. 满足绝对值不等式 | x a | 的全体实数 x 的集合称为点
a 的邻域，记作 U (a; ), 简记作 U (a), 即
U (a; ) {x || x a |} (a , a ),
类似有以下记号：
点 a 的空心邻域： U 0 (a; ) {x | 0 | x a | }, 简记作 U 0 (a). 点 a 的右邻域： U (a; ) [a, a ), 简记为 U (a)
证: 由于 S A B, 显然是非空有界集, 因此S的上、下确界都存在. (i) 对任何 x S 有 x A 或 x B x sup A或x sup B, 故得
x max{sup A,sup B},
从而有 sup S max{sup A,sup B}.
证：()设 sup S S, 则对一切 x S 有 x , 而 S,
故是数集S中最大的数，即 max S.
() 设 max S, 则 S.
下面验证 max S. (i) 对一切 x S,有x ,即是S的上界;

第1章实数

第一章实数集与函数§1 实数一实数及其性质有理数可用分数形式p q（,p q 为整数，0q ≠）表示，也可以用有限十进小数或无限十进循环小数来表示；而无限十进不循环小数则称为无理数.有理数和无理数统称为实数。

规定：对于正有限小数(包括正整数)x ，当012.n x a a a a = 时，其中009,1,2,,0,i n a i n a a ≤≤=≠ 为非负整数，记012.(1)999n x a a a a =- ；而当0x a =为正整数时，则记0(1).999x a =- 。

对于负有限小数(包括负整数)y ，则先将y -表示为无限小数,再将所得无限小数之前加负号。

又规定数0表示为0.000 。

于是，任何实数都可用一个确定的无限小数来表示。

定义1 给定两个非负实数012012.,.n n x a a a a y b bb b == ，其中00,a b 为非负整数，,(1,2,)k k a b k = 为整数，09,09k k a b ≤≤≤≤。

若有(0,1,2,k k a b k == ，则称x 与y 相等，记为x y =；若00a b >或存在非负整数l ，使得(0,1,2,)k k a b k l == 而11l l a b ++>，则称x 大于y ，记为x y >或y x <。

对于负实数x 与y ，当x y -=-时，规定x y =；当x y ->-时，规定x y <（或y x >）。

规定任何非负数实数大于任何负实数。

定义2 设012.,n x a a a a = 为非负实数。

称有理数012().n n x a a a a = 为实数x 的n 位不足近似，而有理数1()()10n n n x x =+称为实数x 的n 位过剩近似，0,1,2,n = 。

对于负实数012.,n x a a a a =- 其n 位不足近似与n 位过剩近似分别规定为0121().10n n nx a a a a =-- 与012().n n x a a a a =- 。

关于实数的基本定理及闭区间上连续函数性质的证明

第三章关于实数的基本定理及闭区间上连续函数性质的证明§1. 关于实数的基本定理前面我们粗略地了解了实数集的确界原理和数列的单调有界定理，给出了数列的柯西收敛准则.这三个命题以不同方式反映了实数集R 的一种特性，通常称为实数的完备性、实数的连续性或实数的稠密性。

有关实数集完备性的基本定理，除上述三个外，还有区间套定理、聚点定理和有限覆盖定理，在本节中将阐述这三个基本定理。

共有六个基本定理：1实数戴德德公理确界原理2数列的单调有界定理 3区间套定理 4聚点定理致密性定理5数列柯西收敛准则 6有限覆盖定理一子列定义设{}n a 为数列，{}k n 为正整数集+N 的无限子集，且<<< 21n n , <k n 则数列,,,,21k n n n a a a称为数列{}n a 的一个子列,简记为}{k n a .注1 保持原来次序自左至右任一选区无限多项，构成新的数列。

注2 由定义可见，{}n a 的子列{}k n a 的各项都选自{}n a ，且保持这些项在{}n a 中的先后次序．{}k n a 中的第k 项是{}n a 中的第k n 项，故总有k n k ≥．实际上{}k n 本身也是正整数列{}n 的子列．例如，子列{}k a 2由数列{}n a 的所有偶数项所组成，而子列{}12-k a 则由{}n a 的所有奇数项所组成．又{}n a 本身也是{}n a 的一个子列，此时k n k =，2,1=k ，.注3 数列{}n a 本身以及{}n a 去掉有限项后得到的子列，称为{}n a 的平凡子列；数列{}n a 与它的任一平凡子列同为收敛或发散，且在收敛时有相同的极限．不是平凡子列的子列，称为{}n a 的非平凡子列．例如{}k a 2和{}12-k a 都是{}n a 的非平凡子列．注4 子列的下标不是,k n k 而是表示在子列的第k 项。

所以子列收敛的定义是针对k 的。

实数的阿基米德原理

实数的阿基米德原理嘿，朋友们！今天咱来聊聊实数的阿基米德原理呀！这可真是个超级有趣的玩意儿呢！你想想看啊，实数就像一群小精灵，在数学的世界里蹦蹦跳跳的。

而阿基米德原理呢，就像是给这些小精灵们制定的一个特别规则。

比如说，你面前有一堆沙子，你想知道这堆沙子到底有多重。

哎呀，直接称不就得了呗！但要是换成实数呢？阿基米德原理就像是一把神奇的尺子，能帮我们去衡量这些看不见摸不着的家伙。

它告诉我们，对于任意两个正实数，总可以找到一个自然数，使得这个自然数乘以一个较小的实数大于另一个较大的实数。

这就好像是在说，不管那两个实数有多调皮，我们总能找到办法把它们给比个高下。

你说神奇不神奇？就好比你和朋友比谁跑得快，总会有个终点线能让你们分出胜负一样。

阿基米德原理就是数学世界里的那个终点线呀！再想想，要是没有这个原理，那数学的世界得乱成啥样呀？就像没有了交通规则的马路，车子横冲直撞的，多吓人呀！而且哦，这个原理在生活中也有很多类似的地方呢。

比如说，你想攒钱买个超级喜欢的东西，你就得一点一点地积累，这不就像是在运用阿基米德原理嘛，每次存一点，总有一天能存够的呀！还有啊，学习知识也是一样，每天学一点，慢慢地你就会发现自己懂得越来越多啦！这不就是在不断地突破那个“界限”嘛。

你看，阿基米德原理虽然是在数学里，但它的影响可远远不止于此呢！它就像一个隐藏在幕后的大导演，指挥着实数们在数学的舞台上精彩演出。

所以啊，可别小瞧了这个看似简单的原理哦！它可是有着大能量呢！它让我们对实数的理解更加深刻，让数学的世界变得更加有序和有趣。

总之，实数的阿基米德原理真的是太重要啦！它就像是一把打开数学奥秘之门的钥匙，让我们能更深入地探索那个神奇的世界。

大家一定要好好理解和掌握它呀，相信我，你会从中获得很多乐趣和惊喜的！。

实数的性质与有关公式

实数的性质与有关公式
实数即为那种有大小关系的数，一般来说它的大小都可以用数字表示，在数学中它就是比有理数更丰富的一类数，它可以是正数、负数、零等，这里讲解实数的性质与有关公式。

实数有两种性质，即相等性质和绝对值性质：
（1）相等性质：当两个实数相等时，称两个实数具有相等性质。

（2）绝对值性质：实数的绝对值表示为a的绝对值表示为|a|，当a≥0时，a的绝对值等于a，当a<0时，则a的绝对值等于-a。

实数的原子公式有三条：
（1）对于任意实数a：a+0=0+a=a
（1）三角函数的和式：sin(A+B) = sinA·cosB + cosA·sinB
对于任意实数a，b：
a+b=b+a
即，实数的加法是满足交换律的
构造原理：a-b=a+(-b)
即，减法实际上就是加法的一种特殊情况。

a/b=a×(1/b)=(1/b) ×a。