实数的连续性公理证明确界存在定理
实数的连续性公理证明确界存在定理
实数的连续性公理证明确界存在定理定理一实数基本定理（戴德金实数连续性定理）实数系R按戴德金连续性准这是连续的，即对R的任意分划A|B，都存在唯一的实数r，它大于或等于下类A的每一实数。
小于或等于上类B中的每一个实数。
定理二单调有界有极限单调上升（下降）有上（下）界的数列必有极限存在。
定理三确界定理在实数系R内，非空的有上（下）界的数集必有上（下）确界存在。
定理四区间套定理设是一个区间套，则必有唯一的实数r，使得r包含在所有的区间套里，即。
定理五 Borel有限覆盖定理实数闭区间的任一个覆盖E，必存在有限的子覆盖。
定理六 Bolzano-Weierstrass紧致性定理有界数列必有收敛子数列。
定理七 Cauchy收敛原理在实数系中，数列有极限存在的充分必要条件是：任给>0，存在N，当n>N，m>N时，有。
定理一—三是对实数连续性的描述，定理四—定理六是对实数闭区间的紧致性的描述，定理七是对实数完备性的描述。
上述七个定理都描述了实数的连续性（或称完备性），它们都是等价的。
下面给出其等价性的证明：定理一定理二：设数列单调上升有上界。
令B是全体上界组成的集合，即B= ，而A=R\B,则A|B是实数的一个分划。
事实上，由有上界知B不空。
又单调上升，故，即A不空。
由A=R\B知A、B不漏。
又，则，使，即A、B不乱。
故A|B是实数的一个分划。
根据实数基本定理，存在唯一的使得对任意，任意，有。
下证。
事实上，对，由于，知，使得。
又单调上升。
故当n>N时，有。
注意到，便有。
故当n>N时有，于是。
这就证明了。
若单调下降有下界，则令，则就单调上升有上界，从而有极限。
设极限为r，则。
定理二证完。
定理二定理三：只需证明在实数系R内，非空的有上界的数集必有上确界存在。
设数集X非空，且有上界。
则，使得对，有。
又R是全序集，对，与有且只有一个成立。
故,有与有且只有一个成立。
故r是X的上界与r不是X的上界有且只有一个成立。
实数的连续性
+
ξ − ε < xn < ξ + ε
lim xn = ξ .
n →∞
数学分析选讲
多媒体教学课件
是单调递增(减 数列 如果{x 无上界 数列,如果 注1：设{xn }是单调递增 减)数列 如果 n }无上界 ： 是单调递增 (下界 则 下界)则 下界
lim xn = +∞( −∞ ).
n →∞
是单调递增(减 数列 数列,且有界 注2：设{xn }是单调递增 减)数列 且有界 ： 是单调递增
数学分析选讲
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二、单调有界原理 定义3 是任意数列,若对每个自然数 定义 设{xn }是任意数列 若对每个自然数 有 是任意数列 若对每个自然数n,有 xn≤xn+1则称 n }是单调递增数列； 则称{x 是单调递增数列 是单调递增数列； 若对每个自然数n,有xn≥xn+1,则称 n }是单调递增数列 则称{x 是单调递增数列 是单调递增数列. 若对每个自然数 有 则称
S = { xn | n ∈ N }
是有界无限点集,从而至少有一个聚点ξ 由定理 是有界无限点集 从而至少有一个聚点ξ,由定理 中有一 从而至少有一个聚点 由定理6,S中有一 个点列收敛于ξ 即 有一个子列收敛于ξ 个点列收敛于ξ,即{xn}有一个子列收敛于ξ. 有一个子列收敛于
任意ε 首先对任意正整数 首先对任意正整数n,有 ≤ξ<ξ ε 另一方面存在 任意ε>0,首先对任意正整数 有xn≤ξ ξ+ε.另一方面存在 正整数N,使 单调递增， 正整数 使xN>ξ-ε.又{xn }单调递增，因此对任意 ξ ε又 单调递增 因此对任意n>N,有 有 xn ≥xN>ξ-ε.从而对任意 从而对任意n>N, ξ ε 从而对任意 即|xn-ξ|<ε,故 ξ ε故
实数完备性六个定理的互相证明
0 ， x S ，使得 x ，
记为 xn a ( n ) 。如果不存在实数 a，使 xn 收敛于 a，则称数列 xn 发散。
lim xn a 0 ， N N ， n N ，有 xn a 。
二、一些基本概念
1.有界集： 设 S 是一个非空数集，如果 M R ，使得 x S ，有 x M ，则称 M 是 S 的
一个上界；如果 m R ，使得 x S ，有 x m ，则称 m 是 S 的一个下界。当数集 S 既有上界，又有下界时，称 S 为有界集。
a1 b1 a b a b , b1 S ，则记 a2 , b2 = 1 1 , b1 否则记 a2 , b2 = a1 , 1 1 ；...；对 2 2 2 an 1 bn 1 an 1 bn 1 a b an1 , bn1 二等分为 , bn 1 ，若 n 1 n 1 , bn 1 S ， an 1 , 、 2 2 2
则记 a2 , b2 =
a1 b1 a b , b1 否则记 a2 , b2 = a1 , 1 1 ；...；对 an 1 , bn 1 二等分为 2 2
an 1 bn 1 an 1 bn 1 a b , bn 1 ，若 n 1 n 1 非 s 的上界，则记 、 an 1 , 2 2 2 an 1 bn 1 a b an , bn = , bn 1 否则记 an , bn = an 1 , n 1 n 1 ；...，得到一列闭区间 2 2
上界，则记 a2 , b2 =
确界存在定理的证明
确界存在定理的证明1 引言在数学中，对于一些基本的关于实数的性质是已知并可以被证明的，例如实数是有序的，实数的加、减、乘、除运算满足消去律等。
然而，还有一些更深刻的关于实数的性质是需要进一步证明的，例如确界存在定理。
2 定义在开始证明确界存在定理之前，我们先来回顾一下确界的概念。
在实数集合S中，如果存在一个实数M，使得S中所有的元素都不大于M，且对于任意的实数L，如果S中所有的元素都不大于L，则M不小于L。
那么我们称M为集合S的上确界（upper bound），记作M=sup(S)。
同样地，如果存在一个实数m，使得S中所有的元素都不小于m，且对于任意的实数l，如果S中所有的元素都不小于l，则m不大于l。
那么我们称m为集合S的下确界（lower bound)，记作m=inf(S)。
3 确界存在定理有了确界的概念，我们可以正式地陈述确界存在定理：任意一个非空的、有上界的实数集合S必定有上确界。
同样地，任意一个非空的、有下界的实数集合S必定有下确界。
4 证明我们先来证明任意一个非空的、有上界的实数集合S必定有上确界。
考虑将S中所有的上界取一个集合U，那么U中的每个元素都大于等于S中的所有元素。
因此，U中必然存在最小的元素，我们将其记作M。
我们接下来需要证明，M是集合S的上确界。
首先，由于U中的每个元素都大于等于S中的所有元素，因此S的上确界必须大于等于M。
其次，对于任意的实数L，如果S中所有的元素都不大于L，那么L是S的一个上界，而根据上界的定义，L必须大于等于U中的每个元素，因此，L必须大于等于M。
综上所述，M是集合S的上确界。
类似地，我们可以证明任意一个非空的、有下界的实数集合S必定有下确界，证明过程与上面的证明过程类似，在此处略去。
5 总结确界存在定理是实数的一个基本性质，它告诉我们在实数集合中，每个非空的、有上（下）界的集合必定有上（下）确界。
这个定理在实际问题中有着广泛的应用，例如在优化、最大化最小化等问题中都可以被使用。
确界原理的证明
确界原理的证明在现代数学中，确界原理是一条基本的原理，也被称为实数完备性原理或连续性公理。
该原理指出，非空有上界的实数集合必定存在上确界，以及非空有下界的实数集合必定存在下确界。
为了证明确界原理，我们需要引入实数的基本性质和定义。
首先，我们需要了解实数的有序性质。
实数集合R中的任意两个不相等的元素a和b，必然满足以下三种情况之一：a<b，a=b，或者a>b。
这个性质被称为实数的全序性。
接下来，我们定义了实数集合中的上界和下界。
对于一个实数集合S，如果存在一个实数M，使得对于集合中的任意元素s，都有s≤M，则M被称为S的上界。
类似地，如果存在一个实数m，使得对于集合中的任意元素s，都有s≥m，则m被称为S的下界。
有了上界和下界的概念，我们可以开始证明确界原理。
首先，我们考虑有上界的实数集合S。
假设S是一个非空的实数集合，且存在一个实数M，使得对于集合中的任意元素s，都有s≤M。
我们需要证明存在一个实数M'，满足M'是S的上确界。
我们分两步进行证明：第一步，我们需要证明存在一个实数M'，使得M'是S的一个上界。
根据S的定义，我们知道存在一个实数M，使得对于集合中的任意元素s，都有s≤M。
所以M是S的一个上界。
换句话说，M是一个满足S的上界定义的实数。
第二步，我们需要证明若M'是一个比M更小的上界，则M'不能是S的上确界。
假设存在一个实数M'，满足M'<M，且M'也是S的一个上界。
根据实数的全序性，我们可以找到一个介于M'和M之间的实数M"，使得M'<M"<M。
由于M"介于M'和M之间，所以对于集合中的任意元素s，都有s≤M"。
然而，这与M是S的上界的定义相矛盾。
所以假设不成立，即不存在一个比M更小的上界。
综上所述，我们证明了有上界的实数集合必定存在上确界。
实数系的连续性
设数集 S 有上界，记U为 S 的上界全体所组成的集合，则显 然U不可能有最大数，下面将证明：U一定有最小数。 设U的最小数为 β ，就称 β 为数集 S 的上确界，即最小上界, 记为 β = sup S 。 上确界 β 满足下述两个性质： 1. β 是数集 S 的上界： ∀ x ∈ S ，有 x ≤ β ； 2.任何小于 β 的数不是数集 S 的上界： ∀ε > 0 ， ∃ x ∈ S ,使得 x > β −ε 。
若数集 S 有下界，记L为 S 的下界全体所组成的集合，则显 然L不可能有最小数，同样可以证明：L一定有最大数。 设L的最大数为 α ，就称 α 为数集 S 的下确界，即最大下界, 记为
α = inf S 。
下确界 α 满足下述两个性质： 1. α 是数集 S 的下界： ∀ x ∈ S ，有 x ≥ α ； 2. 任何大于 α 的数不是数集 S 的下界： ∀ε > 0 ， ∃ x ∈ S ，使 得x <α +ε 。
1+ β ∈ [ 0, 1 ) 。但是 β ′ > β ，这就与 β 是集合 B 的最大数发生矛 2 盾。所以集合 B 没有最大数。
β′ =
上确界与下确界 设 S 是一个非空数集，如果 ∃M ∈ R ，使得 ∀ x ∈ S ，有 x ≤ M ， 则称 M 是 S 的一个上界；如果 ∃m ∈ R ，使得 ∀ x ∈ S ，有 x ≥ m ,则 称 m 是 S 的一个下界。
关于数集的上（下）确界有下述的唯一性定理： 定理2.1.2 非空有界数集的上（下）确界是唯一的。
确界存在定理反映了实数系连续性这一基本性质：假若实数 全体不能布满整条数轴而是留有“空隙”，则“空隙”左边的数 集就没有上确界，“空隙”右边的数集就没有下确界。 “空隙” ， 它就不具备实数集合 R 所 有理数集合 Q 在数轴上有 具有的“确界存在定理”，也就是说：Q 内有上（下）界的集合 T 未必在 Q 内有它的上（下）确界。
实数的连续性.ppt
2）. 在具有性质 P 的区间中确定一个长度不超过该区间 长度 1的也具有性质 P 的子区间（通常采用二等分法），
2 然后继续使用上述步骤，可得具有性质 P的区间套. 实 现将具有性质 P 的这个数“套”出来.
二、确界定理
将闭区间 a1，b1 二等分，所得两个闭区间为a1，a12b1与a1
2
b1
，b1
，其中必有一个具有性
质 P，将其记为 a2，b2 .
同样方法，将闭区间 a2，b2 二等分，必有 一个闭区间具有性质 P，将其记为 a3，b3 .二等
用分法无限进行下去，可得区间套 an，bn ，
线段),后者被包含在前者之中,并且这些闭线段的 长构成的数列以0为极限.则这一闭线段存在唯一 一个公共点.
注: 一般来说,将闭区间列换成开区间列,区间套 定理不一定成立.
a1 a2
a3
an l bn
b3 b2
b1 x
证： 由条件 1），数列 an 单调增加有上界 b1， 数列 bn 单调减少有下界 a1，即
定理 2. 确界定理 设 E R，若 E 有上
(下)界则数集 E 必存在唯一的上(下)确界.
证 因为 E R，所以 b1 E，又 E 有
下界，设 a1 是 E 的下界，则 a1 b1，不妨设 a1 b1 .这时闭区间 a1，b1 具有如下性质（称为具有性 质P）：
1. 闭区间 a1，b1 左侧没有数集 E 的点； 2. 闭区间 a1，b1 中至少有数集 E 的一个点；
2）
0 ，n0
1，有
n0 n0 1
1 2
1 2
.
即
第6节 实数的连续性：上确界下确界存在定理
证明：
x A , y B， x su p A , y su p B， 有 xy su p A su p B
因 此 sup AB sup A sup B
0, 1, x 0 A , x 0 sup A 0, 1, y 0 B , y 0 sup B
在 [ a N , b N ]中必有 E 中点 x N , 使得
( lim a n )
n
xN aN
sup E
aN
●
xN
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
bN
确界原理 注１：
单调有界原理
设 证明： a n 单调增，有上界，
则 a n 有上确界 sup a n a 且 an a
2
2
'
x y inf X inf Y
inf( X Y ) inf X inf Y
⑵ 显然有
inf X sup X , inf Y sup Y
inf X sup Y inf( X Y ) inf X inf Y sup X inf Y
3, x Q , E2
,
E1
x 0 x
x
3 x , x Q ， 3， 因 此 有 理 数
集 合 E 1的 上 界 为
3， E 2 集 合 的 下 确 界 为
集合确界定理不存在.
0, a N , 使 a N a
n N时
an a N a an a an a
lim a n a sup a n
n
第6节-实数的连续性：上确界下确界存在定理市公开课获奖课件省名师示范课获奖课件
因此 sup AB sup A sup B
0,
1,
x0
A,
x0
sup
A
sup
A
sup
B
1
0,
1,
y0Leabharlann B,y0sup
B
sup
A
sup
B
1
故有
x0 y0 sup A sup A sup B 1 sup B sup A sup B 1
sup Asup B
结论得证
二、确界存在定理
I1 I2 I3 ,
|
In
|
x
2n1
0.
此区间套特点：
每个[an , bn ]中必含有E中点, bn右边无E中点.
由区间套定理，
|
In,
n1
其中
lim
n
an
lim
n
bn
.
下证 sup E
Ⅰ.
x E,必有x
bn ,
x
lim
n
bn
.
上界
Ⅱ.
由于
lim
n
an
0,N N* ,
使aN , 根据区间特点,
② inf( X Y ) inf X supY sup( X Y )
③
对数列xn,yn, xn
yn则sinufpxxnn
sup yn inf yn
例3 设集合A，B是数轴上位于原点右方旳非空有界数集，记
AB xy x A,y B ， sup AB sup A sup B
证明： x A,y B，x sup A,y sup B， 有xy sup A sup B
定理1: 非空有上界旳数集必有上确界;
第6节 实数的连续性：上确界下确界存在定理
I1 I2 I3 ,
|
In
|
x
2n1
0.
此区间套特点：
每个[an ,bn ]中必含有E中点,bn右边无E中点.
由区间套定理，
|
In,
n1
其中
lim
n
an
lim
n
bn
.
下证 sup E
Ⅰ.
x E,必有x
bn ,
x
lim
n
bn
.
上界
Ⅱ.
由于
lim
n
an
0,N N* ,
使aN , 根据区间特点,
称为E的下确界，记为sup E
扩充：如果Ｅ没有上界，则记 sup E
例1.
inf N * 1
inf(0,1) 0,sup(0,1) 1
xn
n1 ,
infxn 0,supxn 1
结论：1。集合的确界可以属于这个集合也 可以不属于该集合
2.上确界与最大元的关系：
E中有最大元—即为上确界
§6实数的连续性
——上确界下确界存在定理
一、确界的定义
定义6.1： 设Ｅ是非空有下界集合， 若 满足
（1） x E, x （2） 0,y E，使y
称为E的下确界，记为inf E
扩充：如果Ｅ没有下界，则记 inf E
定义6.1： 设Ｅ是非空有上界集合， 若 满足
（1） x E, x （2） 0,y E，使y
lim n
an
a
sup{an }.
思考问题１
假设集合E有上界，并存在一个子列xn E，
满足
lim
n
xn
，则为集合E有上确界；
实数的连续性
S 中存在有限个开区间也覆盖了
闭区间 a ,
定理.
b
.
注：1.有限覆盖定理亦称为紧致性定理或海涅-波莱尔
2.在有限覆盖定理中，将被覆盖的闭区间 a , b 改为
1 ,1) n N 开区间 ( a , b ) ,定理不一定成立.例如开区间集 ( n 1
,
定理(可列化) 设 E 是非空集合，则 inf E (1) x E , x ; (2) xn E , xn ( n )
n n 1 例1 证明 sup n N 1, inf n N . n1 n1 2
2）在具有性质 . P 的区间中确定一个长度不超过该区间 1 长度 的也具有性质 P 的子区间（通常采用二等分法）， 2 然后继续使用上述步骤，可得具有性质 P 的区间套. 实 现将具有性质 P 的这个数“套”出来.
二、确界定理
非空数集 E 有上界,则它有无限多个上界,在这无 限多个上界之中,有一个上界 与数集 E 有一种特殊 关系. 定义:设 E 是非空数集.若 R 使 (1) x E , x ; (2) 0, x E , 有 : x . 则称是 数集 E 的上确界.表为 sup E
注:区间套定理中要求各个区间都是
闭区间，否则结论不一定成立.
1 例如 开区间序列 1， . n
区间套定理的应用：一般来讲，证明问题需要找 出一个具有某种性质 P 的数，常用区间套定理将这个 数“套”出来.
具体方法是： 1）构造一个具有性质 . P 的区间，性 质 P要根据性质 P 来定;
同样有 1 [a2 , b2 ] [a1 , b1 ], 并且 b2 a2 (b1 a1 ). 2 将上述过程无限进行下去, 可得一列闭区间[an , bn ]
实数六大定理证明
实数六大定理证明这六大定理分别为：确界存在定理、单调有界定理、有限覆盖定理、聚点定理、致密性定理、闭区间套定理，还有一个柯西收敛准则。
实数系的基本定理也称实数系的完备性定理、实数系的连续性定理，它们彼此等价，以不同的形式刻画了实数的连续性，它们同时也是解决数学分析中一些理论问题的重要工具，在微积分学的各个定理中处于基础的地位。
7个基本定理的相互等价不能说明它们都成立，只能说明它们同时成立或同时不成立，这就需要有更基本的定理来证明其中之一成立，从而说明它们同时都成立。
引进方式主要是承认戴德金公理，然后证明这7个基本定理与之等价，以此为出发点开始建立微积分学的一系列概念和定理。
在一些论文中也有一些新的等价定理出现，但这7个定理是教学中常见的基本定理。
扩展资料实数系的公理系统设R是一个集合，若它满足下列三组公理，则称为实数系，它的元素称为实数:对任意a，b∈R，有R中惟一的元素a+b与惟一的元素a·b分别与之对应，依次称为a，b 的和与积，满足：1、（交换律）对任意a，b∈R，有a+b=b+a，a·b=b·a。
2、（结合律）对任意a，b，c∈R，有a+(b+c)=(a+b)+c，a·(b·c)=(a·b)·c。
3、（分配律）对任意a，b，c∈R，有(a+b)·c=a·c+b·c。
4、（单位元）存在R中两个不同的元素，记为0,1分别称为加法单位元与乘法单位元，使对所有的a∈R，有a+0=a，a·1=a。
5、（逆元）对每个a∈R，存在R中惟一的元素，记为-a，称为加法逆元；对每个a∈R\{0}，存在R中惟一的元素，记为a^(-1)，称为乘法逆元，使a+(-a)=0。
a·a^(-1)=1。
实数连续性循环证明及相互证明
关于实数连续性的基本定理以上的定理表述如下：实数基本定理：对R 的每一个分划A|B ，都∃唯一的实数r ，使它大于或等于下类A 中的每一个实数，小于或等于上类B 中的每一个实数。
确界定理:在实数系R 内,非空的有上(下)界的数集必有上(下)确界存在。
单调有界原理:若数列}{n x 单调上升有上界，则}{n x 必有极限。
区间套定理:设｛,[n a ]n b ｝是一个区间套,则必存在唯一的实数r,使得r 包含在所有的区间里,即∞=∈1],[n n n b a r 。
有限覆盖定理:实数闭区间[a,b]的任一覆盖E,必存在有限的子覆盖。
紧致性定理：有界数列必有收敛子数列。
柯西收敛定理：在实数系中，数列}{n x 有极限存在的充分必要条件是：εε<->>∃>∀||,,,0m n x x ，N m N n N 有时当。
这些定理虽然出发的角度不同，但描写的都是实数连续性这同一件事，它们之间是相互等价的，即任取其中两个定理，它们可以相互证明。
那么，它们在证明过程中有哪些联系？作为工具，它们又各具有什么特点？以下先给出它们的等价证明。
（二）实数基本定理的等价证明一．用实数基本定理证明其它定理1．实数基本定理→单调有界定理证明：设数列}{n x 单调上升有上界。
令B 是数列}{n x 全体上界组成的集合，即B={b|n b x n ∀≤,}, 而A=R ﹨B ，则A|B 是实数的一个分划。
事实上，由单调上升}{n x ，故1x -1∈A ，即A 不空，由A=R ﹨B ，知A 、B 不漏。
又对任给a ∈A ，b ∈B ，则存在0n ，使a <0n x ≤b ，即A 、B 不乱。
故A|B 是实数的一个分划。
根据实数基本定理，A ，a R r ∈∀∈∃使得对,b r a B ，b ≤≤∈有。
下证∞→n limn x =r 。
事实上，对n N n n x x r ，N n ，x ，x r N ，A ，r ≤-∴-∃∈->∀ εεεε有时当单调上升又使知由于}{,0。
实数基本定理等价性证明
定理 1 （确界存在定理—实数系连续性定理）有上界的非空数集必有上确界，有下界的非空数集必有下确界.定理2 单调有界数列必定收敛.定理3 （闭区间套定理）设一无穷闭区间列{}[,]n n a b 适合下面两个条件： (i) 后一区间在前一区间之内，即对任一正整数n ，有11n n n n a a b b ++≤<≤； (ii) 当n →∞时，区间列的长度所成的数列{}()n n b a -收敛于零，即lim()0n n n b a →∞-=，则区间的两个端点所成两数列{}n a 及{}n b 收敛于同一极限ξ，并且ξ是所有区间的唯一公共点.定理4 （致密性定理，Bolzano-Weierstrass 定理）有界数列必有收敛子列.定理5 （Cauchy 收敛原理）数列{}n x 收敛的充分必要条件是：{}n x 是基本列.定理6 （有限覆盖定理）若开区间所成的区间集E 覆盖一个闭区间[,]a b ，则总可从E 中选出有限个区间，使这有限个区间覆盖[,]a b .定理7 （Weierstrass 聚点定理）有界无限数集A 必有聚点0x ∈ . 定理1⇒定理2 ：我们只就单调增加的有界数列予以证明.设{}n y 有界，则必有上确界{}sup n y β=.再设{}n y 是单调增加的，现在证明β恰好就是{}n y 的极限，即()n y n β→→∞.由上确界的定义有(i)(1,2,3,)n y n β≤= ；(ii)对任意给定的0ε>，在{}n y 中至少有一数N y ，有N y βε>-.但由于{}n y 是单调增加数列，因此当n N >时，有n N y y ≥，从而n y βε>-.也就是说，当n N >时，有0n y βε≤-<，所以 ()n y n β→→∞.这里不仅证明了单调有界数列的极限存在，而且也证明了如果它是单调增加的，则极限就是它的上确界.同样可证单调减少有界数列的极限存在，并且极限就是它的下确界.定理2⇒定理3 ：由定理的条件立即知道{}n a 是单调增加且有上界的数列，{}n b 是单调减少且有下界的数列，则lim n n a →∞存在，且极限等于{}n a 的上确界；同样lim n n b →∞存在，且等于{}n b 的下确界.亦即对任何正整数k ，有lim ,lim k n k n n n a a b b →∞→∞≤≥， (*)由定理的另一条件lim()0n n n b a →∞-=，并且由于已知{}n a 及{}n b 的极限都存在，则有lim()lim lim 0n n n n n n n b a b a →∞→∞→∞-=-=.从而证明了两个极限相等，且设ξ是它们的同一极限.于是定理前一部分的结果即已证得.余下要证的是ξ是所有区间的唯一公共点.由(*)的两个不等式，即有(1,2,)k k a b k ξ≤≤= ，也就是ξ是所有区间的一个公共点.现在要证明ξ是唯一公共点.设除点ξ外，所设区间列还有另一个公共点ξ'，且ξξ'≠.由于,(1,2,)n n a b n ξξ'≤≤= ，故有(1,2,)n n b a n ξξ'-≥-= .由数列极限的性质知道lim()n n n b a ξξ→∞'-≥-，由于lim()0n n n b a →∞-=，故有0ξξ'-≤，从而有ξξ'=.到此定理的全部结果都已证得.定理6⇒定理3 先证1[,]n n n a b ∞=≠∅ .假如1[,]n n n a b ∞==∅ .令(,)\[,]n n n G a b =-∞+∞，12(,),(,),1,2,n n n n G a G b n =-∞=+∞= .那么12n n n G G G = .不难说明111[,]n n G a b ∞=⊃ （如果不然，存在111[,]\n n x a b G ∞=∈1111([,]\)[,]n n n n n a b G a b ∞∞==== .这与假设1[,]n n n a b ∞==∅ 矛盾）.既然111[,]n n G a b ∞=⊃ .根据Borel 有限覆盖定理可知，必存在有限个开区间覆盖11[,]a b ，设它们是。
实数系的基本定理
a1
an1 an bn bn1
b1 。
显然 an 单调增加而有上界 b1 ， bn 单调减少而有下界 a1 ，由定理 2.4.1， an 与 bn 都收敛。 设 lim an ，则
n
lim bn lim bn an an lim bn an lim an 。
实数系的基本定理
确界存在定理
Cauchy收敛原理
单调有界数列收敛 定理
Bolzano—Weierstrass 定理 闭区间套定理
定理 2.1.1 （确界存在定理——实数系连续性定理） 非空有上界的 数集必有上确界；非空有下界的数集必有下确界。 证：
x R ，都可以表示成 x x x 1。
n, m N ：
xn a
于是
2
， xm a
2
，
xm xn xm a xn a 。
再证明充分性。 先证明基本数列必定有界， 取 0 1， 因为 xn 是基本数列， 所以 N 0 ，
n N0 ：
令 M max x1 , x2 ,
由此得到一个闭区间套 an , bn ，满足
an T , bn T ， n 1, 2,3,
。
由闭区间套定理，存在唯一的实数 属于所有的闭区间 an , bn ，且
lim bn lim an 。现在说明 是集合 T 的最小数，也就是集合 S 的
n n
an bn ， n 1,2,3,
令 n ，由极限的夹逼性得到
，
lim bn lim an ，
n n
第四章(4.1) 实数的连续性
证明：设A={x| ∀x ∈[a,b],使[a,x]具有有限覆盖}。 A非空： a ∈ A, 又A有上界b, 由确界定理, A有上确界, 设supA=c ≤ b. 下证：supA=b,且b ∈ A. (1)若c<b,因S为[a,b]的覆盖，故 ∃（ γ ， δ） ∈ S,s.t. c ∈(γ ,δ ). 又因c是上确界, 故存在x′ ∈(γ ,c)使x ′ ∈ A. ∴[a , x′]有有限开覆盖，设为 s1 = { ∆ i ,1 ≤ i ≤ n}.
而 inf B 是最大的下界, 因此 sup A ≤inf B.
例：用确界定理证明：单调增加有上界的数列 {xn }存在极限。
三、有限覆盖定理
定义 设 I 为数轴上的一个点集,S为一些开区间
的集合(即 S 中的元素均为形如 (α , β ) 的开区间 ).
若对于任意 x ∈ I , 都存在 (α , β ) ∈ S , 使 x ∈ (α , β ), 则称 S 是 I 的一个开覆盖. 若 S是 I 的一个开覆盖, 并且S 中的元素(开区间) 仅有有限个, 则称 S 是 I 的一个有限开覆盖. ⎧⎛ 1 ⎫ ⎞ , 1 ⎟ n = 1, 2, ... ⎬ 是区间 I = (0, 1) 的 例如 S = ⎨ ⎜ ⎩ ⎝ n+1 ⎠ ⎭ 一个开覆盖.但S中找不到有限个区间覆盖I.
且 sup A ≤ inf B .
证 由假设,B 中任一数 y 都是 A 的上界,A 中的任 一数 x 都是 B 的下界. 因此由确界定理, A 有上确 界, B 有下确界. 由定义, 上确界 sup A 是最小的上界, 因此, 任意
y∈B; sup A≤ y. 这样, sup A 又是 B 的一个下界,
S′ 为闭区间 [0, 1].
关于实数连续性的6个基本定理的互证
< ξ1 + ε
=
2ξ1 + ξ2 3
∀ε
= ξ2 − ξ1 3
> 0，∃N2
> 0, n > N2 , bn − ξ2
< ε ,即bn
> ξ2 −ε
= ξ1 + 2ξ2 3
∀ε > 0，∃N3，当n > N3时，bn − an < ε
∴ ∃N
=
max ( N1，N2，N3 )，当n>N时，bn
−
an
的子列{an} .
②数列{an} 只有有穷多项具有性质 M，那么 ∃N ，当 n N ，有 an 不具有
性质 M，即 ∃i > n,有an < ai ，从中任取一项记为 an1 ，因为它不具有性质 M，
{ } ∴ ∃n2 > n1, 使an1 < an2 ，……，如此继续下去，我们得到一子列 ank 单调 { } 上升， ∴ 有界数列{an} 必有单调子数列，由单调有界定理，可得 ank 存
∵[ a ， y ]在 E 中存在有限子覆盖，∴ [ a ， x ] ⊂ [ a ， y ]在 E 中存在有限子覆盖 下证 b < r.用反证法.如果不然，r ≤ b，则 r∈[ a ， b ].因此，在 E 中存在有一开 区间覆盖 Eα
覆盖 r. ∃ a0 ， b 0 ∈ Eα ，使 a0 < r < b0 .
∴∀n > N ,有r − ε ≤ xN ≤ xn ≤ r ，即| xn − r |< ε
2、确界定理证明区间套定理
证明：由[an+1,bn+1] ⊂ [an , bn ] ，知{an} 是单调上升有上界的实数列，{bn} 是单调下
实数连续性的八个等价定理证明
开区间所复盖，在此基础上再加σ β ，便知[ a ,c]也被∑中有限个开区所复盖，所
以 c∈E
(3) c＝ b ，事实上，若 c＜ b ，取 x ∈ (c,b) ∩ (c,bβ ) ，易知[ a, x ]被∑中有
递减的实数列 {an }发散于-∞的充分必要条件是 {an }无下界。
证明：仅证的推论的前半部分，后半部分可完全类似地得到。 必要性由极限的定义可得。
充分性：由条件，对任意 M＞0，M 不是 {an }的上界， 因此存在 n0 ∈ N ，使
an0 ＞M，从而 n ≥ n0 时，有 an ≥ an0 ＞M, 此即
无限开复盖，若∑中开区间的个数是有限的，则称∑是 E 的有限开复盖。
例 如 开 区 间 集 {(n −1, n + 1) : n ∈ Z} 是 整 个 实 数 的 一 个 开 复 盖 ，
5
{(2n −1,2n + 3) : n ∈ Z} 也 是 整 个 实 数 的 一 个 开 复 盖 。 又 如 开 区 间 集
第一章 实数系与不等式
§1.1 实数系连续性的基本定理
实数系连续性的八大基本定理： (1) Cauchy 准则
(2) Weierstrass 单调有界定理
(3) Cauchy－Cantor 闭区间套定理 (4) Dedekind 分割定理 (5) 确界存在定理 (6) Heine－Borel 有限复盖定理 (7) Weierstrass 聚点定理 (8) Bolzano－Weierstrass 致密性定理 是数学分析的基础，本节我们证明这八大基本定理的等价性，其顺序是:
n, m > N 时，恒有 an − am ＜ε.
若不然，即存在 ε 0 ＞0，对任意自然数 N ，存在 n > m > N ，使
确界存在定理证明
确界存在定理证明一、什么是确界存在定理？大家好，今天我们来聊聊确界存在定理，听名字是不是有点高大上？其实说白了，这就是一个数学上关于“界限”的定理。
界限？没错，就是告诉你某些东西到底能“跑多远”。
我们先不急着细说，先从一个很简单的例子说起。
你知道，有时候我们在人生的路上，不是走得特别快，也不是走得特别慢，而是总有个“上限”和“下限”，这就像是你每次想吃泡面时，心里都会有个预算——最多花十块钱，不能超过，也不能少于。
这就像是有一个“界限”在控制着你。
你看，数学上的确界存在定理，其实就是告诉我们：在某些特定条件下，事物的“上限”和“下限”是一定存在的，它们不是凭空出现的，是有规则可依的。
泡面界限的存在是不是就能让你心安理得地去买面了？哈哈，数学不就是在帮你找到生活的这种规律嘛！那具体来说，确界存在定理其实和实数有关，它告诉我们：假设我们有一个实数集，或者说一个实数序列，它要么有一个最小上界，要么有一个最大下界。
通俗一点说，就是你给我一个数列，我就能告诉你它的最大范围有多大，不会超出这个“界限”，你能懂吧？好比你去爬山，虽然山高，但是你知道山顶在那儿，山有个最高点，不会突然冒出一座更高的山。
二、定理的证明：真的是一锅粥来啦，大家是不是觉得这个定理听起来蛮酷的？但要证明它是不是就有点复杂了呢？别急，咱们慢慢来。
证明这个定理的过程其实就像是煮粥一样，虽然步骤很多，但每一步都不难，关键是要一步一步小心翼翼地做。
咱们假设有一个数列，它的每一项都是有界的。
这个有界就是我们的“界限”，而且是有一个明确的“上界”和“下界”的。
接下来呢，我们就要去找这个数列的最小上界或者最大下界。
想象一下，你有个东西，它的“边界”就在眼前，但它的具体数值是什么呢？就好比你看到一条河，知道河水的上限和下限，但具体数值如何呢？我们的目标就是把这个“界限”给找出来，最简单的方式就是使用“完备性”来证明。
完备性这个概念就像你房子里的一扇门，它一直在等你去推开。
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实数的连续性公理证明确界存在定理
定理一实数基本定理（戴德金实数连续性定理）实数系R按戴德金连续性准这是连续的，即对R的任意分划A|B，都存在唯一的实数r，它大于或等于下类A的每一实数。
小于或等于上类B中的每一个实数。
定理二单调有界有极限单调上升（下降）有上（下）界的数列必有极限存在。
定理三确界定理在实数系R内，非空的有上（下）界的数集必有上（下）确界存在。
定理四区间套定理设是一个区间套，则必有唯一的实数r，使得r包含在所有的区间套里，即。
定理五Borel有限覆盖定理实数闭区间的任一个覆盖E，必存在有限的子覆盖。
定理六Bolzano-Weierstrass紧致性定理有界数列必有收敛子数列。
定理七Cauchy收敛原理在实数系中，数列有极限存在的充分必要条件是：
任给>0，存在N，当n>N，m>N时，有。
定理一—三是对实数连续性的描述，定理四—定理六是对实数闭区间的紧致性的描述，定理七是对实数完备性的描述。
上述七个定理都描述了实数的连续性（或称完备性），它们都是等价的。
下面给出其等价性的证明：
定理一定理二：
设数列单调上升有上界。
令B是全体上界组成的集合，即
B=，而A=R\B,则A|B是实数的一个分划。
事实上，由有上界知B不
空。
又单调上升，故，即A不空。
由A=R\B知
A、B不漏。
又，
则，使，即
A、B不乱。
故A|B是实数的一个分划。
根据实数基本定理，
存在唯一的使得对任意，任意，有。
下证。
事实上，
对，由于，知，使得。
又单调上升。
故当n>N时，
有。
注意到，便有。
故当n>N时有
，于是。
这就证明了。
若单调下降有下界，
则令，则就单调上升有上界，从而有极限。
设极限为r，则。
定理二证完。
定理二定理三：
只需证明在实数系R内，非空的有上界的数集必有上确界存在。
设数集X 非空，且有上界。
则，使得对，有。
又R是全序集，对，
与有且只有一个成立。
故,有与有且只有一个成
立。
故r是X的上界与r不是X的上界有且只有一个成立。
X有上界，实数是X的上界。
若不存在实数不是X的上界，则由上知，实数都是X的上界，这显然与X非空矛盾。
故，使得不是X的上界，是X的上界。
则使得。
用的中点二等分，如果是X的上界，则取
；如果不是X的上界，则取。
继续用
二等分，如果是X的上界，则取；如果
不是X的上界，则取。
如此继续下去，便得到两串序列。
其中都不是X的上界且单调上升有上界（例如），都是X的上界且
单调下降有下界（例如）。
并且（当时）。
由单调上升
有上界知有存在，使得。
下证。
①事实上，对
，，当时有。
又都不是X上界对每一个，
，使得。
故对，，使得。
②若
，使得，则由知。
故
，使得。
又都是X的上界，故对有。
而，
故，这是不可能的。
故对，有。
综上①、②即有。
即X
有上确界存在。
定理三定理四：
由条件知集合非空，且有上界（例如）。
故由确
界定理知A有上确界，记为。
则对，有。
同理可知集合
有下确界，记为。
则对，有。
又，
由上可知。
两边取极限，令有。
又显然。
否则
由于是A的上确界，则，使得；同理，使得，则有。
又由区间套的构造可知，对，记k=max（n,m），则有。
故有，矛盾。
故必有。
故，记为r。
则对，
有。
下证具有这一性质的点是唯一的。
用反证法，如果还有另一，使得。
由于对一切n成立，故,令
，得，与矛盾。
故这样的r是唯一的，即存在唯一的实数r，使得r
包含在所有的区间里，即。
定理四定理五：
用反证法。
设E是区间的一个覆盖，但没有E的有限子覆盖。
记，二等分，则必有一区间没有E的有限子覆盖（否则把两区间的E
的有限子覆盖的元素合起来构成一新的集合E’,则E’是的E的有限子覆盖，即有E的有限子覆盖与反证假设矛盾），记其为。
二等分，则必有一区间没有E
的有限子覆盖，记为。
如此继续下去，得到一组实数的闭区间序列
，满足(i)；
(ii)。
故构成一个区间套，且每个都没有
E的有限子覆盖。
则由区间套定理有存在唯一的实数r，使得。
又
由覆盖的定义有，使得，即。
又由上区间套定理的证明
可知，其中。
故，
使得，，使得。
设，则
，即有覆盖。
这与没
有E的有限子覆盖的构造矛盾，故必有E的有限子覆盖。
定理五定理六：
设数列有界，即实数a,b，且a<b，有。
用
反证法，如果无收敛子数列，则对，使得只有有限
个。
（如果不然，即，对，有中有无限
个。
选定，再选，使。
这是办得到的，因
为包含数列的无限多项。
再取，使。
如此继续下
去，便得到的一子数列。
令，则有。
又，与反证假设矛盾）。
又以这样的
作为元素组成的集合显然是的一覆盖，记为E。
则由Borel有限覆盖定理知有E 的有限子覆盖。
而E中的每个元素都只包含的有限项，有限个有限的数相加仍为有限数，故只包含的有限项。
这与矛盾，故必有收敛子数
列，即有界数列必有收敛子数列。
定理六定理七：
必要性：
设在实数系中，数列有极限存在，则，，
使得只要，有（记）。
因此只要，就有。
必要性得证。
充分性：
设在实数系中，数列满足：
，，当
时，有，即是基本列。
先证是有界的。
事实上，取
，则，使得当时，有。
取定一，则
有。
取，
则有。
这就证明了是有界的。
再证明有极限存在。
由
Bolzano-Weierstrass紧致性定理可知有子数列，使得存在，记为a。
下证。
事实上，，由题设知，当时，有。
又，，只要，就有。
取，
则只要，选取，就有。
这就证
明了。
即有极限存在。
充分性得证。
综上，定理七证完。
定理七定理一：
对任意给定的实数R的分划A|B，
A、B非空，可任取点。
又分划满足不乱，。
用的中点二等分，
如果，则取；如果。
则取。
（分划满足不漏，对任意实数，或者属于A，或者属于B。
故
或。
）继续用二等分，如果，则取
；如果，则取。
如此继续下去，
便得到两串序列。
其中单调上升有上界（例如），单调下降有
下界（例如），并且（当时）。
下面用柯西收敛原理来证明
存在。
事实上如果不然，则，，，有。
不妨设，由单调上升有。
对上式都成立
（），取，并把所得的不等式相加得。
其中
k为不等式的个数。
故，当时。
而由N的取法可知对每一个
k都有相应的N’与之对应，即有相应的与之对应。
故对，，使得。
即无界，与有界矛盾。
故存在，记为r。
下证对
，有。
这等价于证明对，有。
事实上，
，由知，使。
故。
而对，由
知。
故，使。
从而，这就证明了，即证明了实
数基本定理。
综上，这就证明了这七个定理是等价的。
而从证明过程来看：
定理二定理三的方法可用于定理二定理四及定理四定理三；定理七定理一的方法可运用于定理七定理二，定理二定理四，定理四定理一。
而这并不构成
逻辑循环，因为我们已用十进小数证明了实数基本定理。
而这其实是用无限不循环小数方法来定义无理数。
事实上我们还可以用戴德金分割法、康托基本序列法或魏尔斯特拉斯的单调有界序列法来定义无理数，这都能构成反映实数本质的实数公理系统。