实数的连续性公理证明确界存在定理

实数的连续性公理证明确界存在定理

定理一实数基本定理（戴德金实数连续性定理）实数系R按戴德金连续性准这是连续的，即对R的任意分划A|B，都存在唯一的实数r，它大于或等于下类A的每一实数。小于或等于上类B中的每一个实数。

定理二单调有界有极限单调上升（下降）有上（下）界的数列必有极限存在。

定理三确界定理在实数系R内，非空的有上（下）界的数集必有上（下）确界存在。

定理四区间套定理设是一个区间套，则必有唯一的实数r，使得r包含在所有的区间套里，即。

定理五Borel有限覆盖定理实数闭区间的任一个覆盖E，必存在有限的子覆盖。

定理六Bolzano-Weierstrass紧致性定理有界数列必有收敛子数列。

定理七Cauchy收敛原理在实数系中，数列有极限存在的充分必要条件是：

任给>0，存在N，当n>N，m>N时，有。

定理一—三是对实数连续性的描述，定理四—定理六是对实数闭区间的紧致性的描述，定理七是对实数完备性的描述。上述七个定理都描述了实数的连续性（或称完备性），它们都是等价的。下面给出其等价性的证明：

定理一定理二：

设数列单调上升有上界。令B是全体上界组成的集合，即

B=，而A=R\B,则A|B是实数的一个分划。事实上，由有上界知B不

空。又单调上升，故，即A不空。由A=R\B知

A、B不漏。又，

则，使，即

A、B不乱。故A|B是实数的一个分划。根据实数基本定理，

存在唯一的使得对任意，任意，有。下证。事实上，

对，由于，知，使得。又单调上升。故当n>N时，

有。注意到，便有。故当n>N时有

，于是。这就证明了。若单调下降有下界，

则令，则就单调上升有上界，从而有极限。设极限为r，则

。定理二证完。

定理二定理三：

只需证明在实数系R内，非空的有上界的数集必有上确界存在。设数集X 非空，且有上界。则，使得对，有。又R是全序集，对，

与有且只有一个成立。故,有与有且只有一个成

立。故r是X的上界与r不是X的上界有且只有一个成立。X有上界，实数是X的上界。若不存在实数不是X的上界，则由上知，实数都是X的上界，这显然与X非空矛盾。故，使得不是X的上界，是X的上界。则使得。

用的中点二等分，如果是X的上界，则取

；如果不是X的上界，则取。继续用

二等分，如果是X的上界，则取；如果

不是X的上界，则取。如此继续下去，便得到两串序列

。其中都不是X的上界且单调上升有上界（例如），都是X的上界且

单调下降有下界（例如）。并且（当时）。由单调上升

有上界知有存在，使得。下证。①事实上，对

，，当时有。又都不是X上界对每一个，

，使得。故对，，使得。②若

，使得，则由知。故

，使得。又都是X的上界，故对有。而，

故，这是不可能的。故对，有。综上①、②即有。即X

有上确界存在。定理三定理四：

由条件知集合非空，且有上界（例如）。故由确

界定理知A有上确界，记为。则对，有。同理可知集合

有下确界，记为。则对，有。又，

由上可知。两边取极限，令有。又显然。否则

由于是A的上确界，则，使得；同理，使得，则有

。又由区间套的构造可知，对，记k=max（n,m），则有

。故有，矛盾。故必有。故，记为r。则对，

有。下证具有这一性质的点是唯一的。用反证法，如果还有另一，使得。由于对一切n成立，故,令

，得，与矛盾。故这样的r是唯一的，即存在唯一的实数r，使得r

包含在所有的区间里，即。

定理四定理五：

用反证法。设E是区间的一个覆盖，但没有E的有限子覆盖。

记，二等分，则必有一区间没有E的有限子覆盖（否则把两区间的E

的有限子覆盖的元素合起来构成一新的集合E’,则E’是的E的有限子覆盖，即有E的有限子覆盖与反证假设矛盾），记其为。二等分，则必有一区间没有E

的有限子覆盖，记为。如此继续下去，得到一组实数的闭区间序列

，满足(i)；

(ii)。故构成一个区间套，且每个都没有

E的有限子覆盖。则由区间套定理有存在唯一的实数r，使得。又

由覆盖的定义有，使得，即。又由上区间套定理的证明

可知，其中。故，

使得，，使得。设，则

，即有覆盖。这与没

有E的有限子覆盖的构造矛盾，故必有E的有限子覆盖。

定理五定理六：

设数列有界，即实数a,b，且a

反证法，如果无收敛子数列，则对，使得只有有限

个。（如果不然，即，对，有中有无限

个。选定，再选，使。这是办得到的，因

为包含数列的无限多项。再取，使。如此继续下

去，便得到的一子数列。令，则有。

又，与反证假设矛盾）。又以这样的

作为元素组成的集合显然是的一覆盖，记为E。则由Borel有限覆盖定理知有E 的有限子覆盖。而E中的每个元素都只包含的有限项，有限个有限的数相加仍为有限数，故只包含的有限项。这与矛盾，故必有收敛子数

列，即有界数列必有收敛子数列。

定理六定理七：

必要性：

设在实数系中，数列有极限存在，则，，

使得只要，有（记）。因此只要，就有

。必要性得证。

充分性：

设在实数系中，数列满足：

，，当

时，有，即是基本列。先证是有界的。事实上，取

，则，使得当时，有。取定一，则

有。取，

则有。这就证明了是有界的。再证明有极限存在。由

Bolzano-Weierstrass紧致性定理可知有子数列，使得存在，记为a。下证。事实上，，由题设知，当时，有。

又，，只要，就有。取，

则只要，选取，就有。这就证

明了。即有极限存在。充分性得证。

综上，定理七证完。

定理七定理一：

对任意给定的实数R的分划A|B，