7第七章岩体本构关系与强度理论

( 1 3 )
2

1
8 ( 1 3 )
t 1 = -8 t c = -8
β
t
cos 危险裂纹方位角： 2

2 (
1 1

3 3
)
1 2
β= ±π/6
（4）双向压缩应力状态下 σ1＞0,σ3 ＞ 0, 满足σ1+3σ3 ＞0 破裂条件为：
y


(
x
2
y
)

2 xy
3
最大主应力与 x轴的夹 角θ可按下式求得：
tg 2 2
xy

x

y
任一斜面上的正应力和剪应力用主应力表示为：


n



1
2
3


1
2
3
cos 2
n

1
2
3
sin 2
莫尔应力圆的方程： (
n


1
2
3
)
2

2 n
试验数据的统计分析基础之上的。 1910年莫尔提出材料 的破坏是剪切破坏，材料在复杂应力状态下，某一斜面
上的剪应力达到一极限值，造成材料沿该斜面产生剪切
滑移破坏，且破坏面平行于中间主应力σ 2作用方向（即 σ 2不影响材料的剪切破坏），破坏面上的剪应力τ 该面上法向应力σ 的函数,即：
f
是
τf ＝ f (σ)
以平面应力问题为例，如图，任 意角度α截面的应力计算公式如下：

n


x
2
y


x
2
y
cos 2
xy
sin 2

n


x
2
y
sin 2
xy
cos 2
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最大最小主应力：
2

1


x
2
如果应力点（σ 1,σ 3)落在强度曲线 上或曲线左边，则岩石发生破坏， 否则不破坏。
讨论：
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（1）单轴拉伸应力状态下 σ1=0,σ3 ＜0,满足σ1+3σ3 ≤ 0, 破裂条件为：
3

3

3

t
危险裂纹方位角： sin
2 0 0
z
zx
zy
yx
xy
6个应力分量： σx,σy,σz, τxy,τyz,τzx
x


y
b
x
yz

xz
a

xy
x



yx
y
yz
xz



zx
zy
o

z
y
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3、平面问题的简化
在实际工程中，可根据不同的受力状态，将三维问题简化 为平面问题。 （1）平面应力问题；薄板 （2）平面应变问题。长隧道 4、基本应力公式

1
（2）双向拉伸应力状态下
σ1＜0,σ3＜0,满足σ1+3σ3 ＜ 0,
破裂条件为：

3

3

3

t
危险裂纹方位角：
sin 2 0 0

1
（3）单轴压缩应力状态下
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σ1＞0,σ3 = 0, 满足σ1+3σ3 ＞0 破裂条件为：
t

2 c cos 1 sin

c

2 c cos 1 sin

2 c cos 1 sin

1c

1 sin 1 sin
3

1c
k
3

c
其中：
k
1 sin 1 sin
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一、一点的应力状态
1、应力符号规定 （1）正应力以压应力为正，拉应力为负； （2）剪应力以使物体产生逆时针转为正，反之为负； （3）角度以x轴正向沿逆时针方向转动所形成的夹角为正， 反之为负。 z 2、一点应力状态
根据椭圆孔应力状态的解析解，得出了格里菲斯的强 度判据：
（1） 破裂条件为：

(
1
3
3)
1 2
3
0

1
8 (
3)
t
危险裂纹方位角：cos 2

2 (
1 1

3 3
)
（2）
破裂条件为：

1
3

3
0

3
t
危险裂纹方位角：
sin 2 0

4 c 2
4 ( c 2 t )
适用于岩性较坚硬至较软弱的岩石，如泥灰岩、砂岩、泥 页岩等岩石。
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2. 双曲线型

2
( t ) tg 0 ( t ) 1 c ( 3) 2 2 t
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（2）裂纹将沿着与最大拉应力作用方向相垂直的方向扩展。
tg tg 2
式中：γ ——新裂纹长轴与 原裂纹长轴的夹角；
β ——原裂纹长轴与
最大主应力的夹角。
2、格里菲斯强度判据
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五、格里菲斯强度理论
1921年格里菲斯在 研究脆性材料的基础上， 提出了评价脆性材料的 强度理论。该理论大约 在上世纪70年代末80年 代初引入到岩石力学研
究领域。
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1、格里菲斯强度理论的基本思想：
（1）在脆性材料内 部存在着许多杂乱无章的 扁平微小张开裂纹。 在 外力作用下，这些裂纹尖 端附近产生很大的拉应力 集中，导致新裂纹产生， 原有裂纹扩展、贯通，从 而使材料产生宏观破坏。
即：

c
t
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3、在三轴压缩条件下：σ 3方向的应变为

3

1 E

3
(
1

2
)
如果σ 3<μ (σ 1 +σ 2),则为拉应变，其强度条件为

3

1 E


3
(
1

2
)
t
而：

E
t
t
E——岩石的弹性模量；
σt——单轴抗拉强度。
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讨论： 1、在单轴拉伸条件下：岩石发生拉伸断裂破坏，其强度 条件为：

t


E
t
2、在单轴压缩条件下：岩石发生纵向拉伸断裂 破坏，其强度条件为：

t


c


E
t
E

1
2
2
t
tg o
适用于砂岩、灰岩、花岗岩等坚硬、较坚硬岩石。 3.直线型
1
2C 3 ( 1 f 1 f
2 2
f)
f
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3、莫尔－库仑强度理论
τf = f(σ)所表达的是一条曲线，该曲线的型式有：直线 型、抛物线型、双曲线型、摆线型。而直线型与库伦准则 表达式相同，因此，也称为库伦－莫尔强度理论。由库仑 公式表示莫尔包络线的强度理论，称为莫尔－库仑强度理 论。
上的剪应力达到或超过该破坏面上的粘结力和摩擦阻力之
和，便会造成材料沿该斜面产生剪切滑移破坏。

f
c tg
式中： τ
f
——材料剪切面上的抗剪强度；
c——材料的粘结力；
σ ——剪切面上的正应力。
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四、莫尔强度理论 1、莫尔强度理论的基本思想 ：莫尔强度理论是建立在
2 2
3 0， 1 c
2 c
n 2 ( c 2 t ) n 近似解：

2
0
n

2 c
c
2
2 ( c 2 t )
( c t )

2 ( c 2 t )
2
( 1 3 )

2 c
( c 2 t )
( 1 3 2 t )
限应力圆）。
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莫尔强度包络线的意义：包络线上任意一点的坐标都 代表岩石沿某一剪切面剪切破坏所需的剪应力和正应力， 即任意一点都对应了一个与之相切的极限应力圆。 莫尔强度包络线的应用：运用强度曲线可以直接判断岩 石能否破坏。将应力圆与强度曲线放在同一个坐标系中，若 莫尔应力圆在包络线之内，则岩石不破坏；若莫尔应力圆与 强度曲线相切，则岩石处于极限平衡状态；若莫尔应力圆与 强度曲线相交，则岩石肯定破坏。