高二上学期期中考试数学试题(带答案)
2023-2024学年河北省部分高中高二(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年河北省部分高中高二（上）期中数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．直线l ：2x +√3y −1=0的斜率为（ ） A ．−2√33B ．−√32C ．2√33D ．√322．若方程x 2+y 2+4x +2y ﹣m ＝0表示一个圆，则m 的取值范围是（ ） A ．（﹣∞，﹣5）B ．（﹣5，+∞）C ．（﹣∞，5）D ．（5，+∞）3．已知F 1，F 2分别是椭圆E ：x 29+y 25=1的左、右焦点，P 是椭圆E 上一点，若|PF 1|＝2，则|PF 2|＝（ ）A ．1B ．2C ．3D ．44．如图，在三棱锥P ﹣ABC 中，P A ⊥平面ABC ，AB ⊥AC ，且PD →=3DC →，则BD →在AC →方向上的投影向量为（ ）A ．34AC →B ．−23AC →C ．−34AC →D ．23AC →5．若圆O 1：x 2+y 2＝25与圆O 2：（x ﹣7）2+y 2＝r 2（r ＞0）相交，则r 的取值范围为（ ） A ．[2，10]B ．（2，10）C ．[2，12]D ．（2，12）6．若A （2，2，1），B （0，0，1），C （2，0，0），则点A 到直线BC 的距离为（ ） A ．2√305B ．√305C ．2√55D ．√557．已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b2=1(a ＞0，b ＞0)的右焦点为F ，过F 作双曲线C 的其中一条渐近线l 的垂线，垂足为A （第一象限），并与双曲线C 交于点B ，若FB →=BA →，则l 的斜率为（ ） A ．2B ．1C ．12D ．−748．已知实数x ，y 满足2x ﹣y +2＝0，则√(x −9)2+y 2+√x 2+y 2−4x −4y +8的最小值为（ ） A ．3√13B ．10+√13C ．108D ．117二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．如图，在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是AB ，BC 的中点，则（ ）A ．BC →−A 1A →=AD 1→B ．BC →−A 1A →=2AD 1→C ．EF →=12A 1C 1→D ．EF →=A 1C 1→10．在同一直角坐标系中，直线l ：y ＝mx +1与曲线C ：x 2+my 2＝1的位置可能是（ ）A ．B ．C ．D ．11．已知F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2a2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，P 是椭圆E 上一点，且|PF 1|=43|PF 2|，cos ∠PF 2F 1=35，则下列结论正确的有（ ） A ．椭圆E 的离心率为57B ．椭圆E 的离心率为45C ．PF 1⊥PF 2D ．若△PF 1F 2内切圆的半径为2，则椭圆E 的焦距为1012．苏州博物馆（图一）是地方历史艺术性博物馆，建筑物的顶端可抽象为如图二所示的上、下两层等高的几何体，其中上层EFGH ﹣NPQM 是正四棱柱，下层底面ABCD 是边长为4的正方形，E ，F ，G ，H 在底面ABCD 的投影分别为AD ，AB ，BC ，CD 的中点，若AF =√5，则下列结论正确的有（ ）A ．该几何体的表面积为32+8√2+4√6B ．将该几何体放置在一个球体内，则该球体体积的最小值为36πC ．直线CP 与平面ABF 所成角的正弦值为√63D ．点M 到平面BFG 的距离为√63三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知点N 是点M （3，3，4）在坐标平面Oxz 内的射影，则|ON →|= ． 14．若双曲线C ：x 2m+1+y 2m 2−m−2=1的实轴长与虚轴长相等，则m ＝ ．15．过点M(√3，0)作圆C ：x 2+（y ﹣1）2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 的方程为 ．16．如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AM ＝2MB ，N 为DD 1的中点，记平面CMN 与平面ADD 1A 1的交线为l ，则直线l 与直线AC 1所成角的余弦值为 ．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）已知直线l 1：x +ay ﹣a +2＝0与l 2：2ax +（a +3）y +a ﹣5＝0． （1）当a ＝1时，求直线l 1与l 2的交点坐标； （2）若l 1∥l 2，求a 的值．18．（12分）如图，在正四棱锥P ﹣ABCD 中，E ，F 分别为P A ，PC 的中点，DG →=2GP →． （1）证明：B ，E ，G ，F 四点共面．（2）记四棱锥P ﹣BEGF 的体积为V 1，四棱锥P ﹣ABCD 的体积为V 2，求V 1V 2的值．19．（12分）已知P 是圆C ：x 2+y 2＝12上一动点，过P 作x 轴的垂线，垂足为Q ，点M 满足PQ →=2PM →，记点M 的轨迹为E ． （1）求E 的方程；（2）若A ，B 是E 上两点，且线段AB 的中点坐标为(−85，25)，求|AB |的值．20．（12分）如图，这是某圆弧形山体隧道的示意图，其中底面AB 的长为16米，最大高度CD 的长为4米，以C 为坐标原点，AB 所在的直线为x 轴建立直角坐标系． （1）求该圆弧所在圆的方程；（2）若某种汽车的宽约为2.5米，高约为1.6米，车辆行驶时两车的间距要求不小于0.5米以保证安全，同时车顶不能与隧道有剐蹭，则该隧道最多可以并排通过多少辆该种汽车？（将汽车看作长方体）21．（12分）如图，在斜三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，△ABC 是边长为2的等边三角形，M ，Q 分别为AC ，A 1B 1的中点，且MQ ⊥AB ． （1）证明：MC 1⊥AB ．（2）若BB 1＝4，MQ =√15，求平面MB 1C 1与平面MC 1Q 夹角的余弦值．22．（12分）如图，已知F 1(−√10，0)，F 2(√10，0)分别是双曲线E ：x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点，P(−2√103，√63)是E 上一点． （1）求E 的方程．（2）过直线l ：x ＝1上任意一点T 作直线l 1，l 1与E 的左、右两支相交于A ，B 两点．直线l 1关于直线l 对称的直线为l 2（与l 1不重合），l 2与E 的左、右两支相交于C ，D 两点．证明：∠ABD ＝∠ACD ．2023-2024学年河北省部分高中高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．直线l ：2x +√3y −1=0的斜率为（ ） A ．−2√33B ．−√32C ．2√33D ．√32解：将l 的方程转化为y =−2√33x +√33，则l 的斜率为−2√33． 故选：A ．2．若方程x 2+y 2+4x +2y ﹣m ＝0表示一个圆，则m 的取值范围是（ ） A ．（﹣∞，﹣5）B ．（﹣5，+∞）C ．（﹣∞，5）D ．（5，+∞）解：因为方程x 2+y 2+4x +2y ﹣m ＝0表示一个圆，所以42+22+4m ＞0，解得m ＞﹣5． 故选：B ．3．已知F 1，F 2分别是椭圆E ：x 29+y 25=1的左、右焦点，P 是椭圆E 上一点，若|PF 1|＝2，则|PF 2|＝（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4解：椭圆E ：x 29+y 25=1，可知a ＝3，因为P 是椭圆E 上一点，所以|PF 1|+|PF 2|＝2a ＝6，所以|PF 2|＝6﹣|PF 1|＝4． 故选：D ．4．如图，在三棱锥P ﹣ABC 中，P A ⊥平面ABC ，AB ⊥AC ，且PD →=3DC →，则BD →在AC →方向上的投影向量为（ ）A ．34AC →B ．−23AC →C ．−34AC →D ．23AC →解：因为P A ⊥平面ABC ，AB ⊥AC ，所以P A ⊥AB ，P A ⊥AC ，故以A 为坐标原点，AB ，AC ，P A 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，令AB ＝a ，AC ＝b ，P A ＝c ，则A （0，0，0），B （a ，0，0），C （0，b ，0），D(0，34b ，14c)， 则AC →=(0，b ，0)，BD →=(−a ，34b ，14c)，所以BD →在AC →方向上的投影向量为AC →⋅BD →|AC →|⋅AC →|AC →|=34b 2|b|⋅AC →|b|=34AC →．故选：A ．5．若圆O 1：x 2+y 2＝25与圆O 2：（x ﹣7）2+y 2＝r 2（r ＞0）相交，则r 的取值范围为（ ） A ．[2，10]B ．（2，10）C ．[2，12]D ．（2，12）解：∵O 1与O 2相交， ∴|r ﹣5|＜|O 1O 2|＜|r +5|， 又|O 1O 2|＝7，∴|r ﹣5|＜7＜|r +5|，解得2＜r ＜12． 故选：D ．6．若A （2，2，1），B （0，0，1），C （2，0，0），则点A 到直线BC 的距离为（ ） A ．2√305B ．√305C ．2√55D ．√55解：由题意得，BA →=(2，2，0)，BC →=(2，0，−1)，则BA →在BC →上的投影向量的模为|BA →⋅BC →||BC →|=√5，则点A 到直线BC 的距离为√|BA →|2−(|BA →⋅BC →||BC →|)2=√(√8)2−(4√5)2=2√305． 故选：A ．7．已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b2=1(a ＞0，b ＞0)的右焦点为F ，过F 作双曲线C 的其中一条渐近线l 的垂线，垂足为A （第一象限），并与双曲线C 交于点B ，若FB →=BA →，则l 的斜率为（ ）A ．2B ．1C ．12D ．−74解：由已知直线l 的方程为y =b ax ，即bx ﹣ay ＝0，点F （c ，0），则|FA|=|bc|√b +(−a)2=b ，因为FB →=BA →，所以B 为线段AF 的中点，则|BF|=b2， 设双曲线C 的左焦点为F 1，则|BF 1|=2a +b2， 在△BFF 1中，由余弦定理可得：cos ∠BFF 1=|BF|2+|FF 1|2−|BF 1|22|BF||FF 1|=b 24+4c 2−(2a+b 2)22×b2×2c=2b−ac， 又cos ∠BFF 1=bc ，所以a ＝b ，故l 的斜率为1， 故选：B ．8．已知实数x ，y 满足2x ﹣y +2＝0，则√(x −9)2+y 2+√x 2+y 2−4x −4y +8的最小值为（ ） A ．3√13B ．10+√13C ．108D ．117解：√(x −9)2+y 2+√x 2+y 2−4x −4y +8=√(x −9)2+y 2+√(x −2)2+(y −2)2， 该式表示直线l ：2x ﹣y +2＝0上一点到P （9，0），Q （2，2）两点距离之和的最小值． 而P ，Q 两点在l 的同一侧，设点P 关于l 对称的点P ′（x 0，y 0），则{y 0−0x 0−9=−122×x 0+92−y 0+02+2=0，解得{x 0=−7y 0=8，∴P ′（﹣7，8），故√(x −9)2+y 2+√x 2+y 2−4x −4y +8≥|P′Q|=√(−7−2)+(8−2)2=3√13． 故选：A ．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．如图，在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是AB ，BC 的中点，则（ ）A ．BC →−A 1A →=AD 1→B ．BC →−A 1A →=2AD 1→C ．EF →=12A 1C 1→D ．EF →=A 1C 1→解：BC →−A 1A →=AD →+AA 1→=AD 1→，A 正确，B 不正确，又因为EF →=12A 1C 1→，故C 正确，D 不正确． 故选：AC ．10．在同一直角坐标系中，直线l ：y ＝mx +1与曲线C ：x 2+my 2＝1的位置可能是（ ）A ．B ．C ．D ．解：A ．取m ＝1，则直线l ：y ＝x +1与曲线C ：x 2+y 2＝1满足图中的位置关系，因此A 正确； B ．联立{y =mx +1x 2+my 2=1，化为（1+m 3）x 2+2m 2x +m ﹣1＝0，若直线l ：y ＝mx +1与曲线C ：x 2+my 2＝1有交点，则Δ＝4m 4﹣4（1+m 3）（m ﹣1）＝m 3﹣m +1＞0． 由曲线C ：x 2+my 2＝1结合图形，则0＜1m ＜1，∴m ＞1，满足Δ＞0，因此B 正确；C ．由曲线C ：x 2+my 2＝1结合图形，则0＜1m ＜1，∴m ＞1，直线l 与椭圆应该有交点，因此C 不正确；D ．由图可知：直线l 经过点（1，0），则m ＝﹣1，联立{y =−x +1x 2−y 2=1，化为x ＝1，y ＝0，即直线l 与双曲线的交点为（1，0），因此D 正确． 故选：ABD ．11．已知F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2a2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，P 是椭圆E 上一点，且|PF 1|=43|PF 2|，cos ∠PF 2F 1=35，则下列结论正确的有（ ） A ．椭圆E 的离心率为57B ．椭圆E 的离心率为45C ．PF 1⊥PF 2D ．若△PF 1F 2内切圆的半径为2，则椭圆E 的焦距为10解：A 、B 选项，由椭圆的定义得，|PF 1|+|PF 2|＝2a ，已知|PF 1|=43|PF 2|，解得|PF 1|=87a ，|PF 2|=67a ，由cos ∠PF 2F 1=|PF 2|2+|F 1F 2|2−|PF 1|22|PF 2||F 1F 2|=4c 2−47a 2247ac=35， 整理得5a 2+18ac ﹣35c 2＝0，即（a +5c ）（5a ﹣7c ）＝0，则a ＝﹣5c （舍去）或a =75c ，即c a=57，故椭圆E 的离心率为57，故A 正确，B 不正确；C 选项，由a =75c ，得|F 1F 2|=2c =107a ，则|PF 1|2+|PF 2|2=|F 1F 2|2，故PF 1⊥PF 2，故C 正确； D 选项，由PF 1⊥PF 2，△PF 1F 2内切圆的半径为2，得2c ＝2a ﹣4，因为a =75c ，所以c ＝5，即椭圆E 的焦距为10，故D 正确． 故选：ACD ．12．苏州博物馆（图一）是地方历史艺术性博物馆，建筑物的顶端可抽象为如图二所示的上、下两层等高的几何体，其中上层EFGH ﹣NPQM 是正四棱柱，下层底面ABCD 是边长为4的正方形，E ，F ，G ，H 在底面ABCD 的投影分别为AD ，AB ，BC ，CD 的中点，若AF =√5，则下列结论正确的有（ ）A ．该几何体的表面积为32+8√2+4√6B ．将该几何体放置在一个球体内，则该球体体积的最小值为36πC ．直线CP 与平面ABF 所成角的正弦值为√63D ．点M 到平面BFG 的距离为√63解：设F ，G 在平面ABCD 的投影分别为AB ，BC 的中点R ，S ，由于AF =√5，AB ＝4，所以F 到平面ABCD 的距离为FR =√AF 2−(12AB)2=1， 由于上、下两层等高，所以P 到平面ABCD 的距离为2，又FG =RS =12AC =2√2，由于GS ＝FR ＝1，BS =RB =12×4=2 所以BG =GC =√GS 2+BS 2=√5=BF =AF ，所以△AFB ≌△BGC ，同理可得△CDH ≌△ADE ≌△AFB ≌△BGC ，△BFG ≌△CHG ≌△DEH ≌△AEF ， 则点B 到FG 的距离为√BF 2−(12FG)2=√(√5)2−(√2)2=√3，则△ABF 的面积为12AB ⋅FR =12×4×1=2，△BFG 的面积为12×2√2×√3=√6，故该几何体的表面积4×2+4×√6+4×4+2√2×2√2+2√2×4=32+8√2+4√6，故A 正确； 将该几何体放置在一个球体内，要使该球体体积最小，则球心在该几何体上下底面中心所连直线上， 且A 、B 、C 、D ，N 、P 、Q 、M 均在球面上，设球心到下底面ABCD 的距离为x ， 由于四边形MNPQ 为边长为2√2的正方形，四边形ABCD 为边长为4的正方形， 则其对角线长度分别为4，4√2，则(2√2)2+x 2=22+(2−x)2，解得x ＝0，则该球体的半径为2√2，体积为4π3×(2√2)3=64√2π3，故B 错误；以A 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，则C （4，4，0），P （2，0，2），B （4，0，0），F （2，0，1），G （4，2，1），M （2，4，2），CP →=(−2，−4，2)，BF →=（﹣2，0，1），BG →=(0，2，1)，BM →=（﹣2，4，2）， 平面ABF 的一个法向量为m →=（0，1，0），则cos ＜CP →，m →＞=−42√6=−√63，设直线CP 与平面ABF 所成角为θ，则sinθ=|cos ＜CP →，m →＞|=√63，故直线CP 与平面ABF 所成角的正弦值为√63，故C 正确； 设平面BFG 的法向量为n →=(x 1，y 1，z 1)，则{n →⋅BF →=−2x 1+z 1=0n →⋅BG →=2y 1+z 1=0，令x 1＝1，得n →=（1，﹣1，2）， 则点M 到平面BFG 的距离为|n →⋅BM →||n →|=222=√63，故D 正确． 故选：ACD ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知点N 是点M （3，3，4）在坐标平面Oxz 内的射影，则|ON →|= 5 ． 解：由题可知，N （3，0，4），则ON →=(3，0，4)，∴|ON →|=√32+42=5． 故答案为：5．14．若双曲线C ：x 2m+1+y 2m 2−m−2=1的实轴长与虚轴长相等，则m ＝ 1 ．解：由题可知（m +1）+（m 2﹣m ﹣2）＝0，解得m ＝1或m ＝﹣1（舍去），∴m ＝1． 故答案为：1．15．过点M(√3，0)作圆C ：x 2+（y ﹣1）2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 的方程为 √3x −y =0 ．解：圆C ：x 2+（y ﹣1）2＝1①，则圆心C （0，1）， 以C （0，1），M （√3，0）为直径的圆的方程为：(x −√32)2+(y −12)2=1②，①﹣②可得，√3x −y =0，故直线AB 的方程为√3x −y =0． 故答案为：√3x −y =0．16．如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AM ＝2MB ，N 为DD 1的中点，记平面CMN 与平面ADD 1A 1的交线为l ，则直线l 与直线AC 1所成角的余弦值为7√111111．解：设I ∩AA 1＝P ，连接NP ，MP ，直线NP 即为直线l ．易证得MP ∥CN ，由AM ＝2MB ，N 为DD 1的中点，得AP =13AA 1，以D 为坐标原点，DA ．DC ，DD 1所在直线分别为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，设AB ＝6，则得：N （0，0，3），P （6，0，2），A （6，0，0），C 1（0，6，6）， NP →=（6，0，﹣1），AC 1→=（﹣6，6，6）， 所以得：|cos ＜NP →，AC 1→＞|=|NP →⋅AC 1→||NP →|⋅|AC 1→|=37×63=7√111111，故直线与直线 AC 1 所成角的余弦值为7√111111．故答案为：7√111111． 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）已知直线l 1：x +ay ﹣a +2＝0与l 2：2ax +（a +3）y +a ﹣5＝0． （1）当a ＝1时，求直线l 1与l 2的交点坐标； （2）若l 1∥l 2，求a 的值． 解：（1）因为a ＝1，所以l 1：x +y +1＝0，l 2：2x +4y ﹣4＝0，即x +2y ﹣2＝0， 联立{x +y +1=0x +2y −2=0解得{x =−4y =3，故直线l 1与l 2的交点坐标为（﹣4，3）．（2）因为l 1∥l 2，所以2a 2﹣a ﹣3＝0，解得a ＝﹣1或a =32， 当a ＝﹣1时，l 1与l 2重合，不符合题意． 当a =32时，l 1与l 2不重合，符合题意． 故a =32．18．（12分）如图，在正四棱锥P ﹣ABCD 中，E ，F 分别为P A ，PC 的中点，DG →=2GP →． （1）证明：B ，E ，G ，F 四点共面．（2）记四棱锥P ﹣BEGF 的体积为V 1，四棱锥P ﹣ABCD 的体积为V 2，求V 1V 2的值．解：（1）证明：因为E ，F 分别为P A ，PC 的中点， 所以BE →=12BA →+12BP →，BF →=12BC →+12BP →， 所以BG →=BD →+DG →=BD →+23DP →=BD →+23(BP →−BD →)=13BD →+23BP →=13BA →+13BC →+23BP →=23(12BA →+12BP →)+23(12BC →+12BP →)=23BE →+23BF →， 故B ，E ，G ，F 四点共面；（2）由正四棱锥的对称性知，V 1＝2V E ﹣PBG ，V 2＝2V A ﹣PBD ， 设点E 到平面PBG 的距离为d 1，点A 到平面PBD 的距离为d 2，由E 是P A 的中点得d 2＝2d 1， 由DG →=2GP →得S △PBD ＝3S △PBG ，所以V 1V 2=V E−PBG V A−PBD=13S △PBG ⋅d 113S △PBD ⋅d 2=16．19．（12分）已知P 是圆C ：x 2+y 2＝12上一动点，过P 作x 轴的垂线，垂足为Q ，点M 满足PQ →=2PM →，记点M 的轨迹为E ． （1）求E 的方程；（2）若A ，B 是E 上两点，且线段AB 的中点坐标为(−85，25)，求|AB |的值． 解：（1）设M （x ，y ），则Q （x ，0）， 因为PQ →=2PM →，则P （x ，2y ）， 因为P 在圆C 上，所以x 2+（2y ）2＝12， 故E 的方程为x 212+y 23=1．（2）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），若A ，B 是E 上两点，则{x 1212+y 123=1x 2212+y 223=1， 两式相减得x 12−x 2212+y 12−y 223=0，即y 1−y 2x 1−x 2=−x 1+x 24(y 1+y 2)．因为线段AB 的中点坐标为(−85，25)，所以y 1−y 2x 1−x 2=−x 1+x 24(y 1+y 2)=1，所以k AB ＝1，则直线AB 的方程为y ＝x +2．联立方程组{y =x +2x 212+y 23=1，整理得5x 2+16x +4＝0，其中Δ＞0， 则x 1+x 2=−165，x 1x 2=45， |AB|=√1+12√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=4√225． 20．（12分）如图，这是某圆弧形山体隧道的示意图，其中底面AB 的长为16米，最大高度CD 的长为4米，以C 为坐标原点，AB 所在的直线为x 轴建立直角坐标系． （1）求该圆弧所在圆的方程；（2）若某种汽车的宽约为2.5米，高约为1.6米，车辆行驶时两车的间距要求不小于0.5米以保证安全，同时车顶不能与隧道有剐蹭，则该隧道最多可以并排通过多少辆该种汽车？（将汽车看作长方体）解：（1）由圆的对称性可知，该圆弧所在圆的圆心在y轴上，由图形可得A（﹣8，0），B（8，0），D（0，4），设该圆的半径为r米，则r2＝82+（r﹣4）2，解得r＝10，圆心为（0，﹣6），故该圆弧所在圆的方程为x2+（y+6）2＝100．（2）设与该种汽车等高且能通过该隧道的最大宽度为d米，则(d2)2+(6+1.6)2=102，解得d=2√42.24．若并排通过4辆该种汽车，则安全通行的宽度为4×2.5+3×0.5=11.5＜2√42.24．隧道能并排通过4辆该种汽车；若并排通过5辆该种汽车，则安全通行的宽度为5×2.5+4×0.5=14.5＞2√42.24，故该隧道不能并排通过5辆该种汽车．综上所述，该隧道最多可以并排通过4辆该种汽车．21．（12分）如图，在斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中，△ABC是边长为2的等边三角形，M，Q分别为AC，A1B1的中点，且MQ⊥AB．（1）证明：MC1⊥AB．（2）若BB1＝4，MQ=√15，求平面MB1C1与平面MC1Q夹角的余弦值．（1）证明：因为△A1B1C1是等边三角形，Q为A1B1的中点，所以C1Q⊥A1B1，又AB∥A1B1，所以C1Q⊥AB，因为MQ⊥AB，C1Q∩MQ＝Q，所以AB⊥平面MC1Q，又MC1⊂平面C1MQ，所以MC1⊥AB；（2）解：取AB靠近点A的四等分点N，连接MN，NQ，易证得MN∥C1Q，则MN⊥AB，且MN=√32，由BB 1＝4，得QN =3√72，因为MQ =√15，所以MQ 2+MN 2＝QN 2， 即MQ ⊥MN ，又MQ ⊥AB ，从而MQ ⊥平面ABC ，以M 为坐标原点，MN 所在直线为x 轴，MQ 所在直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则M （0，0，0），B 1（0，1，√15），C 1（−√3，0，√15）， 则MB 1→=（0，1，√15），MC 1→=（−√3，0，√15）， 设平面MB 1C 1的法向量为m →=（x ，y ，z ），则有{m →⋅MB 1→=y +√15z =0m →⋅MC 1→=−√3x +√15z =0，令z ＝1，得m →=(√5，−√15，1)，由图可知，n →=（0，1，0）是平面MC 1Q 的一个法向量，设平面MB 1C 1与平面MC 1Q 的夹角为θ，则cosθ=|m →⋅n →||m →||n →|=√1521=√357．22．（12分）如图，已知F 1(−√10，0)，F 2(√10，0)分别是双曲线E ：x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点，P(−2√103，√63)是E 上一点． （1）求E 的方程．（2）过直线l ：x ＝1上任意一点T 作直线l 1，l 1与E 的左、右两支相交于A ，B 两点．直线l 1关于直线l 对称的直线为l 2（与l 1不重合），l 2与E 的左、右两支相交于C ，D 两点．证明：∠ABD ＝∠ACD ．解：（1）∵F 1(−√10，0)，F 2(√10，0)分别是双曲线E ：x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点，P(−2√103，√63)是E 上一点，∴{a 2+b 2=10409a2−69b2=1，解得a 2＝4，b 2＝6，∴E 的方程为x 24−y 26=1．（2）证明：设T （1，m ），由题意得直线l 1的斜率存在且不等于0， 设直线l 的方程为y ﹣m ＝k （x ﹣1），则直线l 2的方程为y ﹣m ＝﹣k （x ﹣1）， 设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），C （x 3，y 3），D （x 4，y 4）， 联立方程组{y −m =k(x −1)x 24−y 26=1，整理得（3﹣2k 2）x 2+（4k 2﹣4km ）x ﹣2k 2+4km ﹣2m 2﹣12＝0，Δ＝（4k 2﹣4km ）2﹣（12﹣8k 2）（﹣2k 2+4km ﹣2m 2﹣12）＝﹣72k 2﹣48km +24m 2+144＞0， 则x 1+x 2=4k 2−4km 2k 2−3，x 1x 2=2k 2−4km+2m 2+122k 2−3，|AT |=√1+k 2|x 1−1|，|BT |=√1+k 2|x 2﹣1|，|CT |=√1+k 2|x 3﹣1|，|DT |=√1+k 2|x 4﹣1|， ∴|AT ||BT |＝（1+k 2）|（x 1﹣1）（x 2﹣1）|＝（1+k 2）|x 1x 2﹣（x 1+x 2）+1| ＝（1+k 2）|2k 2−4km+2m 2+122k 2−3−4k 2−4km 2k 2−3+1|＝（1+k 2）|2m 2+92k 2−3|，同理，|CT ||DT |＝（1+k 2）|2m 2+92k 2−3，∴|AT||DT|=|CT||BT|，∴△ACT ∽△DBT ，∴∠ABD ＝∠ACD ．。
江苏省镇江市三校、泰州市部分学校2024-2025学年高二上学期11月期中考试 数学(含答案)
2024~2025学年度第一学期期中考试高二数学试题（考试时间：120分钟；总分：150分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.1. 直线的倾斜角等于（）A. B. C. D. 2. 在等比数列中，若，，则（）A. -32B. -16C. 16D. 323. 若点在圆外，则实数的取值范围为（）A.B. C. D.4. 将直线绕点顺时针旋转得到直线，则直线的方程是（）A. B. C. D.5. 过点作圆的切线，则切线方程为（）A. B. C. D.6. 已知圆内有一点，为过点的弦，当弦被点平分时，直线的方程为（）A. B. C. D. 7. 高斯（Gauss ）被认为是历史上最重要的数学家之一，并享有“数学王子”之称.小学进行的求和运算时，他这样算的：，，，，共有50组，所以，这就是著名的高斯算法，课本上推导等差数列前项和的方法正是借助了高斯算法.已知正数数列是公比不等于1的等比数列，且，试根据提示探求：若，则（）A1010B. 2024C. 1012D. 20208. 在平面直角坐标系中，若圆上存在点，且点关于轴的对称点122x y -=30o4590135{}n a 54a =78a =11a =()1,1P 22:420C x y x y a ++-+=a 4,5-（）(),5∞-(),4∞--6,5-（）1:20+-=l x y ()2,090 2l 2l 220x y -+=20x y ++=20x y --=220x y --=()1,1P 22:420E x y y +-+=10x y -+=0x y +=10x y ++=0x y -=()()22126x y -++=P AB ()1,1P --AB P AB 210x y --=210x y -+=230x y ++=230x y ++=123100++++L 1100101+=299101+=⋯5051101+=501015050⨯=n {}n a 120241a a =()11f x x=+()()()122024f a f a f a +++= xOy ()()2221:10C x y r r +-=>P P x Q在圆上，则的取值范围是（）A. B. C.D. （3，7）二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.9. 已知点，点，点，则下列正确有（）A. B. 直线的倾斜角为C. D. 点到直线10. 圆与圆相交于，两点，下列说法正确的是（）A. 直线方程为B. 公共弦C. 圆与圆的公切线段长为1D. 线段的中垂线方程为11. 已知数列满足，且，则下列正确的有（）A. B. 数列的前项和为C. 数列的前项和为D. 若数列的前项和为，则三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 设是数列前项和，且，则的通项公式为___________.13. 函数______________.14. 已知直线，相交于点，圆心在轴上的圆与直线，分别相切于两点，则四边形的面积为___________.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.的的的()222:24C x y -+=r 2⎤-+⎦[]3,7)2+()1,2A -()1,4B ()4,1C AB BC>AB 45 AB BC⊥B AC 221:2210C x y x y +--+=222:4440C x y x y +--+=A B AB 2230x y +-=AB 1C 2C AB 0x y +={}n a 1122n n n a a ++-=14a =332a =1n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭n 12n +2log n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭n ()22log 12n nn +++14n n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭n n T 11124n T ≤<n S {}n a n 23n S n ={}n a n a =()f x =1:230l x y --=2:230l x y ++=M x C 1l 2l ,A B AMCB15. 已知数列为等差数列，，数列为等比数列，公比为2，且，.（1）求数列与通项公式；（2）设数列满足，求数列的前项和.16. 已知圆，点.（1）过点圆作切线，切点为，求线段的长度（2）过点作一条斜率为的直线与圆交于，两点，求线段的长度（3）点为圆上一点，求线段长度的最大值17. 已知直线和直线交于点，求满足下列条件的一般式直线方程.（1）过点且与直线平行；（2）过点且到原点的距离等于2；（3）直线关于直线对称的直线.18. 已知圆.（1）求的范围，并证明圆过定点；（2）若直线与圆交于，两点，且以弦为直径的圆过原点，求的值.19. 已知数列满足.（1）求的值；（2）求证：数列是等差数列；（3）令，如果对任意，都有，求实数的取值范围.的{}n a 13a ={}n b 426a a -=24b ={}n a {}n b {}n c n n n c a b =+{}n c n n T ()22:19C x y -+=()3,4P -P C T PT P 12-A B AB Q C PQ 1:30l x y -+=2:210l x y -+=C C 410x y -+=C 1l 2l ()22:4420C x y x λλ++-+-=λC :320l x y -+=A B AB O λ{}n a ()*122N n n a a a n a n +++=-∈ 123a a a ++{}4log 2n a -()()()*212N n n b n a n =--∈*N n ∈n b t +≤22t t2024~2025学年度第一学期期中考试高二数学试题（考试时间：120分钟；总分：150分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.1.【答案】B2.【答案】D3.【答案】A4.【答案】C5.【答案】D6.【答案】B7.【答案】C8.【答案】A二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.9.【答案】BCD10.【答案】AC11.【答案】ACD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.【答案】13.14.【答案】或四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. 【解析】【分析】（1）利用等差数列的通项公式和等比数列的通项公式即可直接求解；（2）利用等差数列和等比数列的求和公式求解即可.【小问1详解】设等差数列的公差为，因为，所以，，所以；因为，所以．【小问2详解】结合（1）可得：．16. 【解析】分析】（1）求出圆心和半径，得到（2）求出直线，求出圆心到直线的距离，由垂径定理求出答案；（3）的最大值为点到圆心的距离加上半径，得到答案．【小问1详解】圆心，半径为，即，又，【63n-81595d 424a a -=26d =3d =()3133n a n n =+-⋅=24b =2224222n n n n b b --⋅⋅===1212n n n T a a a b b b =+++++++ ()()212123322122332n n n n n n ++=-++=+--PT ==:250AB x y +-=C AB PQ P C ()1,0C 33TC =PC ==故【小问2详解】，故直线，记圆心到直线的距离为，，故；【小问3详解】的最大值为点到圆心的距离加上半径，故．17. 【解析】【分析】（1）联立方程解交点坐标，由平行关系设直线方程，代入点坐标待定系数可得；（2）讨论斜率是否存在，当斜率存在时，设出点斜式直线方程，结合点到直线的距离公式求解即可；（3）根据对称性质，在其中一条直线上取不同于两直线交点的任一点，利用垂直关系与中点坐标公式建立方程组求解其对称点坐标，再结合交点由两点式方程可得.【小问1详解】联立方程，解得，．设与直线平行的直线为，由题意得：，，故满足要求的直线方程为：．【小问2详解】①当所求直线斜率不存在时，直线方程为，满足到原点的距离为2；②当所求直线斜率存在时，设直线方程为，即，，解得，直线方程为，PT ==()1432y x -=-+:250AB x y +-=C AB d d AB ==PQ P C max 33PQ PC =+=+C ()401x y t t -+=≠C 30210x y x y -+=⎧⎨-+=⎩25x y =⎧⎨=⎩(2,5)C ∴410x y -+=()401x y t t -+=≠2450t -⨯+=18t =4180x y -+=2x =5(2)y k x -=-250kx y k --+=∴22120k =∴2120580x y -+=综上所述，符合题意的直线方程为或．【小问3详解】在上取一点，设点关于直线的对称点为点，则，解得，，又，则直线的方程即所求直线方程，为，化简得，.故所求的直线方程为：．18. 【解析】【分析】（1）利用方程表示圆的充要条件列式求出范围，再分离参数求出定点坐标.（2）联立直线与圆的方程联立，利用韦达定理及向量垂直的坐标表示求解.【小问1详解】由圆，得，，，所以的范围为；，由，得，所以圆过定点.【小问2详解】以弦为直径的圆过原点，则，，20x -=2120580x y -+=1l ()0,3M M 2l ()00,N x y 0000312321022y x x y -⎧=-⎪⎪⎨+⎪⋅-+=⎪⎩0085115x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩811,55N ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭(2,5)C CN 115558225y x --=--790x y --=790x y --=22:(4)420C x y x λλ++-+-=2(4)4(42)0λλ--->20λ>0λ≠λ()(),00,-∞+∞ 22044(2)x x x y λ-++-+=2244020x y x x ⎧+-+=⎨-=⎩20x y =⎧⎨=⎩C ()2,0M AB O OA OB ⊥0OA OB ⋅=设点，，则，，即，由，消去整理得：，，，，于是，解得，满足，所以的值为．19. 【解析】【分析】（1）根据递推关系求值即可；（2）由递推关系可得，与原式相减可得，即，于是可得数列数列是以0为首项，以为公差的等差数列；（3）由（2）可得，故，作差并分析判断数列{b n }的单调情况，确定数列的最大项．由题意可得恒成立，于是，解不等式可得的范围．【小问1详解】，，，，，，，【小问2详解】证明：由题可知：①，②，②-①得，即：，()11,A x y ()22,B x y 12120x x y y +=()()12123+23+20x x x x +=()1212106+40x x x x ++=()223204420x y x y x λλ-+=⎧⎨++-+-=⎩y ()2108820x x λλ+++-=22=(+8)40(82)=962560λλλλ∆--+->12810x x λ++=-128210x x λ-=82+8106401010λλ-⋅-⋅+=3613λ=0∆>λ361312311...22n n n a a a a a n a +++++++=+-122n n a a +-=()11222n n a a +-=-{}4log 2n a -12-1122n n a -⎛⎫=- ⎪⎝⎭1212n n n b --=1n n b b +-()2max2n t b t ≤-t 123...2n n a a a a n a ++++=- 112a a ∴=-11a ∴=1224a a a ∴+=-232a ∴=12336a a a a ++=- 374a ∴=23137171.244a a a ++=++=∴123...2n n a a a a n a ++++=-12311...22n n n a a a a a n a ++∴+++++=+-122n n a a +-=()11222n n a a +-=-所以，，，又∴数列是以0为首项，以为公差的等差数列.【小问3详解】由（2）可得，，，则，由可得；由可得，∴，故{b n }有最大值，∴对任意，有，如果对任意，都有成立，则，∴，解得或，∴实数的取值范围是414411log 2log 2log 222n n n a a a +⎡⎤-=-=-+-⎢⎥⎣⎦4141log 2log 22n n a a +---=-41log 20a -={}4log 2n a -12-11212122n n a a a +-=-=--，1122n n a -⎛⎫=- ⎪⎝⎭1212n n n b --=()11212212121322222n n n n n nn n n n nb b +-+--+---=-==10n n b b +->2n <10n n b b +-<2n ≥12345......n b b b b b b >>>><>>232b =*N n ∈32n b ≤*N n ∈22n t b t +≤()2max2n t b t ≤-2322t t ≤-1t ≤-3t ≥t (,1][3,).-∞-⋃+∞。
2024学年长沙市高二数学上学期期中考试卷附答案解析
2024学年长沙市高二数学上学期期中考试卷一、单选题（本大题共8小题）1．直线120x y +-=的倾斜角是（）A ．π4B ．π2C ．3π4D ．π32．已知点B 是A （3，4，5）在坐标平面xOy 内的射影，则|OB|＝（）A ．B ．C ．5D ．3．长轴长是短轴长的3倍，且经过点()3,0P 的椭圆的标准方程为（）A ．2219x y +=B ．221819x y +=C ．2219x y +=或221819y x +=D ．2219y x +=或221819x y +=4．已知方程22121x y m m -=++表示双曲线，则m 的取值范围为（）A ．()2,1--B ．()(),21,-∞-⋃-+∞C ．()1,2D ．()(),12,-∞+∞ 5．在正四棱锥P ABCD -中，4,2,PA AB E ==是棱PD 的中点，则异面直线AE 与PC 所成角的余弦值是（）A ．B ．C ．38D ．6．已知椭圆22:195x y C +=的右焦点F ，P 是椭圆上任意一点，点(0,A ，则APF 的周长最大值为（）A ．9+B ．7+C ．14D ．157．已知()()3,0,0,3A B -，从点()0,2P 射出的光线经x 轴反射到直线AB 上，又经过直线AB 反射到P 点，则光线所经过的路程为（）A ．B ．6C ．D ．8．已知,A B 两点的坐标分别是()()1,0,1,0-，直线,AM BM 相交于点M ，且直线AM 的斜率与直线BM 的斜率的差是2，则点M 的轨迹方程为（）A ．()211y x x =-+≠±B ．()211y x x =+≠±C ．()211x y y =-+≠±D ．()211x y y =+≠±二、多选题（本大题共3小题）9．（多选题）已知点A (－3,－4)，B (6,3)到直线l ：ax ＋y ＋1＝0的距离相等，则实数a 的值等于（）A ．79B ．13-C ．79-D ．1310．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左､右焦点分别为12F F ､，过点1F 的直线与C 的左支相交于,P Q 两点，若2PQ PF ⊥，且243PQ PF =，则（）A ．4PQ a=B ．13PF PQ =C ．双曲线C 的渐近线方程为y =D ．直线PQ 的斜率为411．已知椭圆221:195x y C +=，将1C 绕原点O 沿逆时针方向旋转π2得到椭圆2C ，将1C 上所有点的横坐标沿着x 轴方向、纵坐标沿着y 轴方向分别伸长到原来的2倍得到椭圆3C ，动点P ，Q 在1C 上且直线PQ 的斜率为12-，则（）A ．顺次连接12,C C 的四个焦点构成一个正方形B ．3C 的面积为1C 的4倍C ．3C 的方程为2244195x y +=D ．线段PQ 的中点R 始终在直线109y x =上三、填空题（本大题共3小题）12．过点P (0,1)作直线l ，使它被直线l 1：2x ＋y －8＝0和l 2：x －3y ＋10＝0截得的线段被点P 平分，则直线l 的方程为．13．直线2y x =-与抛物线22y x =相交于,A B 两点，则OA OB ⋅=．14．设F 是双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右焦点，O 为坐标原点，过F 作C 的一条渐近线的垂线，垂足为H ，若FOH △的内切圆与x 轴切于点B ，且BF OB =，则C 的离心率为．四、解答题（本大题共5小题）15．在平面直角坐标系中，已知点()1,0A -、()1,0B ，动点P 满足PA PB ⊥．(1)求动点P 的轨迹方程；(2)若过点()1,2Q 的直线l 与点P 的轨迹（包括点A 和点B ）有且只有一个交点，求直线l 的方程．16．如图，在棱长为a 的正方体OABC O A B C ''''-中，E ，F 分别是AB ，BC 上的动点，且AE BF =．(1)求证：A F C E ''⊥；(2)当三棱锥B BEF '-的体积取得最大值时，求平面B EF '与平面BEF 的夹角的正切值．17．已知顶点为O 的抛物线212y x =的焦点为F ，直线l 与抛物线交于,A B 两点．(1)若直线l 过点()5,0M ，且其倾斜角ππ,63θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求OAB S 的取值范围；(2)是否存在斜率为1的直线l ，使得FA FB ⊥？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．18．如图，P 为圆锥的顶点，O 是圆锥底面的圆心，AC 为底面直径，ABD △为底面圆O 的内接正三角形，且ABD △的边长为3E 在母线PC 上，且3,1AE CE ==.(1)求证：直线//PO 平面BDE ；(2)若点M 为线段PO 上的动点，当直线DM 与平面ABE 所成角的正弦值最大时，求此时点M 到平面ABE 的距离.19．已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左右焦点分别为12,F F ，离心率22e =，点,P Q 分别是椭圆的右顶点和上顶点，POQ 的边PQ 上的中线长为32．(1)求椭圆的标准方程；(2)过点(2,0)H -的直线交椭圆C 于,A B 两点，若11AF BF ⊥，求直线AB 的方程；(3)直线12,l l 过右焦点2F ，且它们的斜率乘积为12-，设12,l l 分别与椭圆交于点,C D 和,E F ．若,M N分别是线段CD 和EF 的中点，求OMN 面积的最大值．参考答案1．【答案】C【分析】求出直线的斜率即可求解.【详解】因为120x y +-=，所以12y x =-+，所以直线120x y +-=的斜率为1-，所以直线120x y +-=的倾斜角为3π4.故选：C.2．【答案】C【详解】解：∵点B 是点A （3，4，5）在坐标平面Oxy 内的射影，∴B （3，4，0），则|OB|＝5．故选：C ．3．【答案】C【详解】当椭圆的焦点在x 轴上时，长半轴长为3，则短半轴长为1，所以椭圆的方程为2219x y +=；当椭圆的焦点在y 轴上时，短半轴长为3，则长半轴长为9，所以椭圆的方程为221819y x +=；所以椭圆方程为2219x y +=或221819y x +=.故选：C.4．【答案】B【详解】因为方程22121x y m m -=++表示双曲线，所以()()210m m ++>，解得2m <-或1m >-，故m 的取值范围为()(),21,-∞-⋃-+∞.故选：B.5．【答案】D 【详解】由题意知，4,2,PA AB ==PO ==所以(P ，()0,A ，()C ，()D ，22E ⎛- ⎝⎭，，21422AE ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，，(PC ,所以c o 24s AE PC ⋅== 故选：D.6．【答案】C【解析】设椭圆的左焦点为F '，||4||AF AF =='，||||26PF PF a +'==，利用||||||PA PF AF -'' ，即可得出．【详解】如图所示设椭圆的左焦点为F '，||4||AF AF =='，则||||26PF PF a +'==，||||||PA PF AF -'' ，APF ∴△的周长||||||||||6||AF PA PF AF PA PF =++=++-'46||||10||10414PA PF AF =++-'≤+'=+=，当且仅当三点A ，F '，P 共线时取等号．APF ∴△的周长最大值等于14．故选：C ．7．【答案】C【详解】直线AB 的方程为3y x =+，设点()0,2P 关于3y x =+的对称点为()1,P a b ，则212322b ab a -⎧=-⎪⎪⎨+⎪=+⎪⎩，得1,3a b =-=，即()11,3P -点()0,2P 关于x 轴的对称点为()20,2P -，由题意可知，如图，点12,P P 都在光线CD 上，并且利用对称性可知，1DP DP =，2CP CP =，所以光线经过的路程211226PC CD DP P C CD DP PP ++=++==故选：C 8．【答案】A【详解】设(),M x y ()1x ≠±，则211AM BM y yk k x x -=-=+-，整理得()211y x x =-+≠±，所以动点M 的轨迹方程是()211y x x =-+≠±.故选：A.9．【答案】BC【详解】因为A 和B 到直线l 的距离相等，由点A 和点B 到直线的距离公式，可得2234163111a a a a --+++++化简得3364a a +=+，所以()3364a a +=±+，解得79a =-或13-，故选：BC .10．【答案】BC【详解】由243PQ PF =，设3PQ m =，24PF m =，由2PQ PF ⊥，得25QF m =，则142PF m a =-，152QF m a =-，而11||||||PF QF PQ +=，解得23am =，因此12||3a PF =，14||3a QF =，对于A ，2PQ a =，A 错误；对于B ，显然112F F P Q = ，则13PF PQ =，B 正确；对于C ，令12||2F F c =，在12PF F 中，由2221212PF PF F F +=，得222464499a a c +=，则22179c a =，222289b c a =-=，即b a C的渐近线方程为3y x =±，C 正确；对于D ，由2121tan 4PF PF F PF ∠==，结合对称性，图中,P Q 位置可互换，则直线PQ 的斜率为4±，D错误.故选：BC 11．【答案】ABD【详解】椭圆221:195x y C +=的焦点为()2,0-，2,0，将1C 绕原点O 沿逆时针方向旋转π2得到椭圆2C ，则椭圆2C 的焦点为()0,2-，0,2，所以顺次连接12,C C 的四个焦点构成一个正方形，故A 正确；将1C 上所有点的横坐标沿着x 轴方向、纵坐标沿着y 轴方向分别伸长到原来的2倍得到椭圆3C ，所以3C 与1C 为相似曲线，相似比为2，所以3C 的面积为1C 的面积的224=倍，故B 正确；且3C 的方程为2222195x y ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+=，即2213620x y +=，故C 错误；设1,1，2,2，则1212,22x x y y R ++⎛⎫⎪⎝⎭，又2211195x y +=，2222195x y +=，所以2222121209955x x y y -+-=，即()()()()12121212095x x x x y y y y +-+-+=，所以1212121259y y y y x x x x -+⋅=--+，即59PQ OR k k ⋅=-，所以109OR k =，所以线段PQ 的中点R 始终在直线109y x =上，故D 正确；故选：ABD12．【答案】x ＋4y －4＝0【解析】设l 1与l 的交点为A (a,8－2a )，求得A 关于P 的对称点坐标，利用对称点在直线2l 上求得a ，即得A 点坐标，从而得直线l 方程．【详解】设l 1与l 的交点为A (a,8－2a )，则由题意知，点A 关于点P 的对称点B (－a,2a －6)在l 2上，代入l 2的方程得－a －3(2a －6)＋10＝0，解得a ＝4，即点A (4,0)在直线l 上，所以直线l 的方程为x ＋4y －4＝0.故答案为：x ＋4y －4＝0.13．【答案】0【详解】解：设()11,A x y ，()22,B x y ，则11221212(,)(,)OA OB x y x y x x y y ==+，由222y x y x=-⎧⎨=⎩，解得2240y y --=或2640x x -+=，所以124x x =，124y y =-，所以1212440OA OB x x y y =+=-+=．故答案为：0．14．【答案】【分析】由双曲线C 的右焦点(c,0)F 到渐近线的距离为FH b =，得到直角FOH △的内切圆的半径为r ，设FOH △的内切圆与FH 切于点M ，结合BF OB =和BF MH FH +=，列出方程求得a b =，利用离心率的定义，即可求解.【详解】由双曲线2222:1x y C a b-=的渐近线方程为b y x a =±，即0bx ay ±=，又由双曲线C 的右焦点(c,0)F 到渐近线的距离为FH b =，所以OH a ==，则直角FOH △的内切圆的半径为2a b cr +-=，如图所示，设FOH △的内切圆与FH 切于点M ，则2a b cMH r +-==，因为BF OB = ，可得12FM BF c ==，所以122a b cBF MH c FH b +-+=+==，可得a b =，所以双曲线C 的离心率为c e a ==故答案为：.15．【答案】(1)()2210x y y +=≠(2)3450x y -+=或1x =【详解】（1）法一：设s ，因为PA PB ⊥，所以由0PA PB ⋅= ，得()()221,1,10x y x y x y +⋅-=-+=，所以动点P 轨迹方程为()2210x y y +=≠.法二：由题2,AB PA PB =⊥，所以P 点的轨迹是以AB 中点O 为圆心,半径为1的圆去掉A 、B 得到的，所以P 点的轨迹方程为()2210x y y +=≠（2）因为直线l 与点P 的轨迹（并上点A 和点B ）有且只有一个交点（如图），①若斜率不存在，此时直线l 方程为：1x =，与圆221x y +=切于点B ，②当直线l 与圆相切斜率存在时，设():12l y k x =-+，即20kx y k -+-=，根据圆心到切线距离等于半径可得1=，得34k =，所以此时直线l 方程为3450x y -+=.综上，直线l 方程为1x =或3450x y -+=.16．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）构建空间直角坐标系，令AE BF m ==且0m a ≤≤，应用向量法求证C E A F ''⊥垂直即可；（2）由三棱锥体积最大，只需△BEF 面积最大求出参数m ，再标出相关点的坐标，求平面B EF '与平面BEF 的法向量，进而求它们夹角的余弦值，即可得正切值.【详解】（1）如下图，构建空间直角坐标系O xyz -，令AE BF m ==且0m a ≤≤，所以(0,,)C a a '，(,0,)A a a '，(,,0)E a m ，(,,0)F a m a -，则(,,)C E a m a a '=-- ，(,,)A F m a a '=-- ，故2()0C E A F am a m a a ''⋅=-+-+=，所以C E A F ''⊥，即A F C E ''⊥.（2）由（1）可得三棱锥B BEF '-体积取最大，即BEF △面积()22112228BEF a a S m a m m ⎛⎫=-=--+ ⎪⎝⎭ 最大，所以当2a m =时()2max 8BEF a S = ，故E 、F 为AB 、BC 上的中点，所以,,02a E a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，,,02a F a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，(,,)B a a a '，故0,,2a EB a ⎛⎫'= ⎪⎝⎭ ，,0,2a FB a ⎛⎫'= ⎪⎝⎭，若(,,)m x y z = 为平面B EF '的法向量，则022am EB y az a m FB x az ⎧⋅=+=⎪⎪⎨⎪⋅=''+=⎪⎩ ，令1z =-，故(2,2,1)m =- ，又面BEF 的法向量为(0,0,1)n =，所以11cos ,313m n m n m n ⋅-===⨯ ，设平面B EF '与平面BEF 的夹角为θ，由图可知θ为锐角，则1cos 3θ=，所以22sin 3θ==，所以sin tan cos θθθ==所以平面B EF '与平面BEF的夹角正切值为17．【答案】(1)⎡⎣(2)存在，9y x =-+或9y x =--【详解】（1）由题可知()3,0F ，且直线l 的斜率不为0，设1,1,2,2．设直线l 的方程为50kx y k --=，因为ππ,63θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则3k ∈⎣，因此点O 到直线l的距离为d =联立212,15,y x x y k ⎧=⎪⎨=+⎪⎩则212600y y k --=，显然Δ0>，所以121212,60y y y y k +==-，则AB =，所以12OAB S d AB == 当213k =时，OAB S取得最大值为，当23k =时，OABS 取得最小值为，所以OABS的取值范围为⎡⎣．（2）设直线方程为y x b =+，即x y b =-，联立212,,y x x y b ⎧=⎨=-⎩得212120y y b -+=，故144480b ∆=->即3b <,又121212,12y y y y b +==，易知()()11223,,3,FA x y FB x y =-=-，因为FA FB ⊥，则0FA FB ⋅=，因为1122,x y b x y b =-=-，所以()()2121223(3)0y y b y y b -++++=，即218270b b +-=，解得9b =-+9b =--，故存在斜率为1的直线l，使得FA FB⊥，此时直线l的方程为9y x=-+9y x=--18．【答案】(1)证明见解析(2)14【详解】（1）设AC BD F⋂=，连接EF，ABD为底面圆O的内接正三角形，2πsin3AC∴==，F为BD中点，2221,,AE CE AE CE AC AE EC==∴+=∴⊥，又3312,2,12223AF CF AO AF==∴=-===.AF AEAE AC=，且,,,EAF CAE AEF ACE AFE AEC EF AC∠∠∠∠=∴∴=∴⊥∽.PO⊥平面,ABD AC⊂平面,ABD PO AC∴⊥，//EF PO∴，PO⊄平面,BDE EF⊂平面BDE，//PO∴平面BDE.（2）1,2OF CF F==∴为OC中点，又//PO EF，E∴为PC中点，2PO EF=，2EF==，PO∴=，则2PC=，以F为坐标原点，,,FB FC FE方向为,,x yz轴正方向，可建立如图所示空间直角坐标系，则3110,,0,,0,0,0,0,,,0,0,0,,0,0,,222222A B E D O P⎛⎫⎛⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛----⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎝⎭⎝⎭⎝⎭，(3313,0,0,,,0,0,,0,,02222AB AE OP DO DA⎫⎛⎛⎫⎛⎫∴=====⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，设()()101,2OM OP DM DO OMλλ⎫==≤≤∴=+=-⎪⎪⎝⎭.设平面ABE的法向量 =s s，则30,230,22AB n x y AE n y z ⎧⋅=+=⎪⎪⎨⎪⋅=+=⎪⎩令1y =-，解得x z n =∴=-，设直线DM 与平面ABE 所成夹角为θ，sin DM n DM n θ⋅∴===⋅ ，令32t λ=+，则[]22,5,3t t λ-∈∴=，2222222(2)1314717431(32)33t t t t t t t λλ-++-+⎛⎫∴===-+ ⎪+⎝⎭，111,,52t ⎡⎤∈∴⎢⎥⎣⎦ 当127t =，即12λ=时，22min31311449(32)74λλ+⎡⎤+==⎢+⎣⎦，max (sin )1θ∴=，此时1,0,1,2DM MA DA DM ⎛=-∴=-=- ⎝⎭⎝⎭ ，∴点M 到平面ABE的距离12MA n d n ⋅=.19．【答案】(1)2212x y +=；(2)220x y -+-或220x y ++=；.【分析】（1）根据POQ 的边PQ上中线为PQ =，再联立2222,2c e a b c a ===+即可求解；（2）设直线AB 的方程为(2)(0)y k x k =+≠，1122()A x y B x y ,,(,)，联立直线AB 与椭圆方程得1212,x x x x +，再由11AF BF ⊥，即110AF BF ⋅=，最后代入即可求解；（3）设直线1l 的方程为(1)y k x =+,则直线2l 的方程为1(1)2y x k=-+，分别与椭圆方程联立，通过韦达定理求出中点,M N 的坐标，观察坐标知，MN 的中点坐标1(,0)2T 在x 轴上，则1||||2OMN M N S OT y y =- 整理后利用基本不等式即可得到面积的最值.【详解】（1）由题意，因为(,0),(0,)P a Q b ，POQ为直角三角形，所以PQ ==又22222c e a b c a ===+，所以1,1a b c ===，所以椭圆的标准方程为2212x y +=；（2）由（1）知，1(1,0)F -,显然直线AB 的斜率存在，设直线AB 的方程为(2)(0)y k x k =+≠，1122()A x y B x y ,,(,)，联立2212(2)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消去y 得，2222(12)8820k x k x k +++-=，所以22222(8)4(12)(82)8(12)0k k k k ∆=-+-=->，即2102k <<.且22121222882,1212k k x x x x k k -+=-=++，因为11AF BF ⊥，所以110AF BF ⋅=，所以1122(1,)(1,)0x y x y ------=，即12121210x x x x y y ++++=，所以1212121(2)(2)0x x x x k x k x +++++⋅+=，整理得2221212(12)()(1)140k x x k x x k ++++++=，即22222228(1)(82)(12)()1401212k k k k k k k +-+-+++=++，化简得2410k -=，即12k =±满足条件，所以直线AB 的方程为1(2)2y x =+或1(2)2y x =-+，即直线AB 的方程为220x y -+=或220x y ++=；（3）由题意，2(1,0)F ,设直线1l 的方程为(1)y k x =+,3344(,),(,)C x y D x y ，则直线2l 的方程为1(1)2y x k=-+，5566(,),(,)E x y F x y ，联立2212(1)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩消去y 得2222)202142(-=+-+x k x k k ，所以22343422422,1212k k x x x x k k -+==++，所以23422,212M x x k x k+==+2(1)12M M k y k x k =-=-+，所以2222(,)1212k kM k k -++，同理联立22121(1)2x y y x k ⎧+=⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩消去y 得222(12)2140k x x k +-+-=，所以2565622214,1212k x x x x k k -+==++所以5621,212N x x x k +==+21(1)212N Nky x k k =--=+所以221(,1212k N k k ++，即MN 的中点1(,0)2T .所以221121||112||||12412212282||||OMN M N k k S OT y y k k k k =-==⨯=⨯≤+++ ，当且仅当12||||k k =，即22k =±时取等号，所以OMN的面积最大值为【思路导引】本题考查待定系数法求椭圆的标准方程，直线与椭圆综合应用问题，利用基本不等式求最值，第三问的解题关键是分类联立直线12,l l 与椭圆方程，求出,M N 的坐标，观察坐标知，MN 的中点坐标1(,0)2T 在x 轴上，则1||||2OMN M N S OT y y =- 整理后利用基本不等式得到面积的最值.。
2024-2025学年吉林省长春市东北师范大学附属中学高二上学期10月期中考试数学试题(含答案)
2024-2025学年吉林省长春市东北师范大学附属中学高二上学期10月期中考试数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.直线x +3y +1=0的倾斜角是( )A. 30°B. 60°C. 120°D. 150°2.已知α,β是两个平面，l,m 是两条不同的直线，则下列说法正确的是( )A. 若m ⊥α,l ⊥m ，则l ⊥α B. 若m//β,n//β，则m//n C. 若m//α,l ⊥α，则l ⊥mD. 若α//β,m//α，则m//β3.已知两直线l 1:3x +4y−14=0,l 2:(a−2)x +4y +a =0，若l 1//l 2，则l 1与l 2间的距离为( )A. 95B. 125C. 175D. 1954.某同学参加学校组织的化学竞赛，比赛分为笔试和实验操作测试，该同学参加这两项测试的结果相互不受影响.若该同学在笔试中结果为优秀的概率为34，在实验操作中结果为优秀的概率为23，则该同学在这次测试中仅有一项测试结果为优秀的概率为( )A. 712B. 12C. 512D. 135.在平行四边形ABCD 中，点E,F,G 分别满足DE =EC ,BC =2BG ,AF =2FE ，则FG =( )A. 23AB−16ADB. 23AB +16ADC. 16AB−23ADD. 16AB +23AD6.已知圆M 经过P (1,1),Q (2,−2)两点，且圆心M 在直线l:x−y +1=0，则圆M 的标准方程是( )A. (x−2)2+(y−3)2=5 B. (x−3)2+(y−4)2=13C. (x +3)2+(y +2)2=25D. (x +3)2+(y−2)2=257.如图，在直三棱柱ABC−A 1B 1C 1中，AB ⊥BC,AB =BC =AA 1=2,P 为线段A 1B 1的中点，Q 为线段C 1P 上一点，则▵BCQ 面积的取值范围为( )A. [2,6] B. [2,5] C. [ 3,5] D. [ 2,5]8.已知点A,B是圆C:(x−2)2+y2=1上的两个动点，点P是直线l:x+y=0上动点，且PA⋅CA=0,PB⋅CB =0，下列说法正确的是( )A. 圆C上恰有一个点到直线l的距离为12B. PA长的最小值为2−1C. 四边形ACBP面积的最小值为2D. 直线AB恒过定点(32,−12)二、多选题：本题共3小题，共18分。
2023-2024学年山东省泰安市高二(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年山东省泰安市高二（上）期中数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知圆的一般方程为x 2+y 2+4x ﹣2y ﹣4＝0，其圆心坐标是（ ） A ．（1，2）B ．（﹣1，2）C ．（﹣2，1）D ．（﹣1，﹣2）2．已知直线l 1：4x +my +2＝0和l 2：mx +y +1＝0平行，则实数m ＝（ ） A ．﹣2B ．0C ．2D ．±23．如图：在平行六面体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，M 为A 1C 1与B 1D 1的交点．若AB →=a →，AD →=b →，AA 1→=c →，则下列向量中与BM →相等的向量是（ ）A ．−12a →+12b →+c →B ．12a →+12b →+c →C ．−12a →−12b →+c →D ．12a →−12b →+c →4．已知向量a →=（2，1，3），b →=（﹣1，2，﹣2），c →=（7，6，λ），若向量a →，b →，c →共面，则实数λ等于（ ） A ．10B ．8C ．5D ．35．已知A （﹣2，0），B （4，a ）两点到直线l ：3x ﹣4y +1＝0的距离相等，则a ＝（ ） A ．2B ．92C ．2或﹣8D ．2或926．如图所示，在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AD ＝AA 1＝1，AB ＝2，点E 是棱AB 的中点，则点E 到平面ACD 1的距离为（ ）A ．12B ．√22C ．13D ．167．若圆O 1：x 2+y 2−2x =0和圆O 1：x 2+y 2+2x −4y =0的交点为A ，B ，则下列结论正确的是（ ）A ．公共弦AB 所在直线的方程为x +y ＝0 B ．线段AB 的垂直平分线的方程为x +y +1＝0C ．公共弦AB 的长为√22D ．P 为圆O 1上一动点，则点P 到直线AB 的距离的最大值为√22+1 8．已知曲线x −1=√4−y 2，则√x 2+(y −4)2的最大值，最小值分别为（ ） A ．√17+2，√17−2B ．√17+2，√5C ．√37，√17−2D ．√37，√5二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9．给出下列命题，其中是真命题的是（ ）A ．若a →=(−1，1，−2)是直线l 的方向向量，b →=(−2，−1，12)是直线m 的方向向量，则l 与m 垂直B ．若a →=(1，1，−1)）是直线l 的方向向量，n →=(0，−1，−1)是平面α的法向量，则l ⊥α C ．若n 1→=(1，0，3)，n 2→=(0，1，2)分别为平面α，β的法向量，则α⊥βD ．若存在实数x ，y ，使MP →=xMA →+yMB →，则P ，M ，A ，B 共面 10．下列说法错误的是（ ）A ．任意一条直线都有倾斜角和斜率B ．直线y ＝x +1与直线y ＝x +2的距离为1C ．直线x ﹣y ﹣2＝0与两坐标轴围成的三角形的面积为2D ．经过（1，1）且在x 轴，y 轴上截距相等的直线方程为x +y ﹣2＝011．已知圆C ：x 2+y 3﹣4x ﹣4y +7＝0，一条光线从点P （4，1）射出经x 轴反射，则下列结论正确的是（ ） A ．若反射光线平分圆C 的周长，则反射光线所在直线的方程为3x +2y ﹣10＝0 B ．圆C 关于直线y ＝x +1对称的圆的方程为x 2+y 2+2x ﹣6y +9＝0C ．若反射光线与圆C 相切于点A ，与x 轴相交于点B ，则|PB|+|BA|=2√3D ．若反射光线与圆C 交于M ，N 两点，则△CMN 的面积的最大值为1212．已知正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为1，M 为侧面AA 1D 1D 上的动点，N 为侧面CC 1D 1D 上的动点，则下列结论正确的是（ ） A ．若BM =√52，则M 的轨迹长度为π4B ．若BM =√52，则M 到直线A 1D 的距离的最小值为√24C ．若B 1N ⊥AC 1，则N ∈CD 1，且直线B 1N ∥平面A 1BD D ．若M ∈A 1D ，则B 1M 与平面A 1BD 所成角正弦的最小值为√33三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知a →=(2，−1，3)，b →=(−4，2，x)，且a →⊥b →，则x ＝ ．14．经过两条直线2x +y ﹣8＝0和x ﹣2y +1＝0的交点，且垂直于直线3x ﹣2y +4＝0的直线的方程是 ．15．已知点A （4，6），点B 在圆x 2+y 2＝4上运动，则线段AB 的中点M 的轨迹方程为 ． 16．已知O 为坐标原点，A ，B 均在直线x ﹣y ﹣6＝0上，|AB |＝2，动点P 满足|P A |=√2|PB |，则|OP |的最小值为 ．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）已知空间三点A （1，2，2），B （2，1，2），C （3，2，1）． （1）若向量m →分别与AB →，AC →垂直，且|m →|=2√6，求向量m →的坐标； （2）求点C 到直线AB 的距离．18．（12分）已知△ABC 三个顶点分别为A （1，1），B （﹣1，﹣3），C （3，﹣1）． （1）求△ABC 的面积；（2）过△ABC 内一点P （1，0）有一条直线l 与边AB ，AC 分别交于点M ，N ，且点P 平分线段MN ，求直线l 的方程．19．（12分）如图，在平行六面体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是边长为2的正方形，侧棱AA 1的长为3，且∠A 1AB ＝∠A 1AD ＝120°，E ，F 分别在侧棱BB 1和DD 1上，且BE =13BB 1，DF =23DD 1．（1）若EF →=xAB →+yAD →+zAA 1→，求x +y +z ； （2）求直线EF 与AB 所成角的余弦值．20．（12分）已知圆C 与y 轴相切，圆心在直线x +y ﹣1＝0上，且被x 轴截得的弦长为2√3．（1）求圆C的方程；（2）已知直线l过点（1，﹣3），圆C上恰有三个点到直线l的距离等于1，求直线l的方程．21．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，E为线段CD中点，现将△ADE沿AE折起，使得点D到点P位置，且AP⊥BE．（1）求证：平面AEP⊥平面ABCE；（2）已知点M是线段CP上的动点（不与点P，C重合），若使平面MAE与平面APE的夹角为π4，试确定点M的位置．22．（12分）如图，已知圆C：x2+y2﹣4y+3＝0，动点P（m，﹣1）（m∈R），过点P引圆的两条切线，切点分别为A，B．（1）求证：直线AB过定点；（2）若两条切线P A，PB与x轴分别交于E，F两点，求△PEF的面积的最小值．2023-2024学年山东省泰安市高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知圆的一般方程为x 2+y 2+4x ﹣2y ﹣4＝0，其圆心坐标是（ ） A ．（1，2）B ．（﹣1，2）C ．（﹣2，1）D ．（﹣1，﹣2）解：根据题意，圆的一般方程为x 2+y 2+4x ﹣2y ﹣4＝0，即（x +2）2+（y ﹣1）2＝9，其圆心为（﹣2，1）， 故选：C ．2．已知直线l 1：4x +my +2＝0和l 2：mx +y +1＝0平行，则实数m ＝（ ） A ．﹣2B ．0C ．2D ．±2解：因为直线l 1：4x +my +2＝0和l 2：mx +y +1＝0平行，所以4﹣m 2＝0，解得m ＝±2，当m ＝2时，直线l 1：4x +2y +2＝0即为2x +y +1＝0，直线l 2：2x +y +1＝0，两直线重合，不符合题意， 当m ＝﹣2时，直线l 1：4x ﹣2y +2＝0即为2x ﹣y +1＝0，直线l 2：﹣2x +y +1＝0即为2x ﹣y ﹣1＝0，两直线平行，符合题意，故m ＝﹣2． 故选：A ．3．如图：在平行六面体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，M 为A 1C 1与B 1D 1的交点．若AB →=a →，AD →=b →，AA 1→=c →，则下列向量中与BM →相等的向量是（ ）A ．−12a →+12b →+c →B ．12a →+12b →+c →C ．−12a →−12b →+c →D ．12a →−12b →+c →解：∵BM →=BB 1→+B 1M →=c →+12BD → =c →+12(BA →+BC →) =c →+12(−a →+b →) =−12a →+12b →+c →故选：A ．4．已知向量a →=（2，1，3），b →=（﹣1，2，﹣2），c →=（7，6，λ），若向量a →，b →，c →共面，则实数λ等于（ ） A ．10B ．8C ．5D ．3解：∵向量a →，b →，c →共面，∴存在实数m ，n 使得c →=m a →+n b →．∴{7=2m−n6=m+2nλ=3m−2n⇒{m=4n=1λ=10，∴λ＝10．故选：A．5．已知A（﹣2，0），B（4，a）两点到直线l：3x﹣4y+1＝0的距离相等，则a＝（）A．2B．92C．2或﹣8D．2或92解：∵A（﹣2，0），B（4，a）两点到直线l：3x﹣4y+1＝0的距离相等，∴22=22，解得a＝2或92．故选：D．6．如图所示，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝2，点E是棱AB的中点，则点E到平面ACD1的距离为（）A．12B．√22C．13D．16解：如图，连接BD1，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，由AD＝AA1＝1，AB＝2，得AD1=√2，AC=CD1=√5，则S△ACD1=12×√2×√5−12=32，设点E到平面ACD1的距离为h，则B到平面ACD1的距离为2h，由V D1−ABC =V B−ACD1，得13×12×1×2×1=13×32×2ℎ，解得h=13．故选：C．7．若圆O1：x2+y2−2x=0和圆O1：x2+y2+2x−4y=0的交点为A，B，则下列结论正确的是（）A．公共弦AB所在直线的方程为x+y＝0 B．线段AB的垂直平分线的方程为x+y+1＝0C．公共弦AB的长为√2 2D．P为圆O1上一动点，则点P到直线AB的距离的最大值为√22+1解：对于A，依题意知，两圆相交于AB，故两圆方程作差可得4x﹣4y＝0，即x﹣y＝0，即为两圆公共弦AB所在直线方程，故A错误；对于B，圆O1：x2+y2−2x=0，则其圆心为（1，0），k AB＝1，则线段AB的垂直平分线的斜率为﹣1，故线段AB的垂直平分线方程为y﹣0＝﹣（x﹣1），即x+y﹣1＝0，故B错误；对于C，圆心O1到直线AB的距离d=|1−0|√1+(−1)2=√22，圆O1半径r＝1，所以|AB|=2√1−(22)2=√2，故C错误；对于D，圆心O1到直线AB的距离d=|1−0|√1+(−1)2=√22，圆O1半径r＝1，则点P到直线AB的距离的最大值为√22+1，故D正确．故选：D．8．已知曲线x−1=√4−y2，则√x2+(y−4)2的最大值，最小值分别为（）A．√17+2，√17−2B．√17+2，√5C．√37，√17−2D．√37，√5解：由x−1=√4−y2，可知x≥1，﹣2≤y≤2，且有（x﹣1）2+y2＝4，表示的图形为以A（1，0）为圆心，2为半径的半圆，如图所示：又因为√x2+(y−4)2表示半圆上的动点与点P（0，4）的距离，又因为|P A|=√12+42=√17，所以√x2+(y−4)2的最大值为|P A|+2=√17+2，当动点与图中B （1，2）点重合时，√x 2+(y −4)2取最小值， 此时|PB |=√(1−0)2+(4−2)2=√5． 故选：B ．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9．给出下列命题，其中是真命题的是（ ）A ．若a →=(−1，1，−2)是直线l 的方向向量，b →=(−2，−1，12)是直线m 的方向向量，则l 与m 垂直B ．若a →=(1，1，−1)）是直线l 的方向向量，n →=(0，−1，−1)是平面α的法向量，则l ⊥α C ．若n 1→=(1，0，3)，n 2→=(0，1，2)分别为平面α，β的法向量，则α⊥βD ．若存在实数x ，y ，使MP →=xMA →+yMB →，则P ，M ，A ，B 共面 解：对于A ，因为a →⋅b →=(−1)×(−2)+1×(−1)+(−2)×12=0， 可知a →⊥b →，所以l 与m 垂直，故A 正确；对于B ，因为a →⋅n →=1×0+1×(−1)+(−1)×(−1)=0， 可知a →⊥n →，所以l ⊂α或l ∥α，故B 错误；对于C ，因为n 1→⋅n 2→=1×0+0×1+3×2=6≠0， 所以平面α，β不相互垂直，故C 错误；对于D ，若存在实数x ，y ，使MP →=xMA →+yMB →，则MP →，MA →，MB →为共面向量，所以P ，M ，A ，B 共面，故D 正确． 故选：AD ．10．下列说法错误的是（ ）A ．任意一条直线都有倾斜角和斜率B ．直线y ＝x +1与直线y ＝x +2的距离为1C ．直线x ﹣y ﹣2＝0与两坐标轴围成的三角形的面积为2D ．经过（1，1）且在x 轴，y 轴上截距相等的直线方程为x +y ﹣2＝0 解：选项A ：当直线倾斜角为π2时，该直线斜率不存在．判断错误；选项B：直线y＝x+1与直线y＝x+2的距离为√1+1=√22．判断错误；选项C：直线x﹣y﹣2＝0与两坐标轴的交点分别为（2，0）和（0，﹣2），则此直线与两坐标轴围成的三角形的面积为12×2×2=2．判断正确；选项D：经过（1，1）且在x轴，y轴上截距相等的直线方程为x+y﹣2＝0和x﹣y＝0．判断错误．故选：ABD．11．已知圆C：x2+y3﹣4x﹣4y+7＝0，一条光线从点P（4，1）射出经x轴反射，则下列结论正确的是（）A．若反射光线平分圆C的周长，则反射光线所在直线的方程为3x+2y﹣10＝0B．圆C关于直线y＝x+1对称的圆的方程为x2+y2+2x﹣6y+9＝0C．若反射光线与圆C相切于点A，与x轴相交于点B，则|PB|+|BA|=2√3D．若反射光线与圆C交于M，N两点，则△CMN的面积的最大值为1 2解：圆C：x2+y2﹣4x﹣4y+7＝0，即（x﹣2）2+（y﹣2）2＝1，故圆心为C（2，2），半径为1，点P（4，1）关于x轴的对称点为Q（4，﹣1），对于A：由题意知，反射光线过圆心C，则k QC=2−(−1)2−4=−32，反射光线所在直线的方程为y﹣2=−32（x﹣2），即3x+2y﹣10＝0，A正确；对于B：将x＝2代入y＝x+1得y＝3，将y＝2代入y＝x+1得x＝1，圆C关于直线y＝x+1对称的圆心为：（1，3），对称圆的半径r＝1，所以对称圆的方程为（x﹣1）2+（y﹣3）2＝1，即x2+y2﹣2x﹣6y+9＝0，B错误；对于C：如图，P关于x轴的对称点Q，B，切点A三点共线，|PB|+|BA|＝|QB|+|BA|＝|QA|，而|QC|2＝（4﹣2）2+（﹣1﹣2）2＝13，|CA|＝1，所以|QA|=√|QC|2−|CA|2=2√3，C正确；对于D：如图S△CMN=12|CM||CN|sin∠MCN=12×12•sin∠MCN≤12，（当∠MCN＝90°时取等号），D正确．故选：ACD ．12．已知正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为1，M 为侧面AA 1D 1D 上的动点，N 为侧面CC 1D 1D 上的动点，则下列结论正确的是（ ） A ．若BM =√52，则M 的轨迹长度为π4B ．若BM =√52，则M 到直线A 1D 的距离的最小值为√24C ．若B 1N ⊥AC 1，则N ∈CD 1，且直线B 1N ∥平面A 1BD D ．若M ∈A 1D ，则B 1M 与平面A 1BD 所成角正弦的最小值为√33解：对于A ，因为BM =√52，所以M 在以B 为球心，√52为半径的球上． 又M 为侧面AA 1D 1D 上的点，所以M 在球被平面AA 1D 1D 截得的交线上． 因为AB ⊥平面AA 1D 1D ，AM ⊂平面AA 1D 1D ，可得AB ⊥AM ，由AB ＝1，BM =√52，所以AM =√BM 2−AB 2=12，所以，M 为以A 点为圆心，12为半径的圆上，如图，则M 的轨迹长度为14⋅2π⋅12=π4，故A 正确；对于B ，如上图，取A 1D 中点M 1，由正方形AA 1D 1D 的边长为1，可得AM 1=12√1+1=√22，由M 在以A 为圆心，12为半径的14圆弧上运动，可得M 到直线A 1D 的距离的最小值为√22−12，故B 错误；对于C ，如图，连结AC ，AD 1．因为CC 1⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以CC 1⊥BD ．又BD ⊥AC ，AC ⊂平面ACC 1，CC 1⊂平面ACC 1，AC ∩CC 1＝C ， 所以BD ⊥平面ACC 1．又AC 1⊂平面ACC 1，所以BD ⊥AC 1．因为D 1C 1⊥平面ADD 1A 1，A 1D ⊂平面ADD 1A 1，所以D 1C 1⊥A 1D ， 又A 1D ⊥AD 1，AD 1⊂平面AD 1C 1，D 1C 1⊂平面AD 1C 1，AD 1∩D 1C 1＝D 1， 所以A 1D ⊥平面AD 1C 1．又AC 1⊂平面AD 1C 1，则A 1D ⊥AC 1．又BD ⊂平面A 1BD ，A 1D ⊂平面A 1BD ，A 1D ∩BD ＝D ， 所以AC 1⊥平面A 1BD ．又B 1N ⊥AC 1，B 1∉平面A 1BD ，所以直线B 1N ∥平面A 1BD ，故C 正确； 对于D ，以点D 为坐标原点，分别以DA →，DC →，DD 1→为x ，y ，z 轴的正方向，如上图建立空间直角坐标系，则D （0，0，0），A 1（1，0，1），B （1，1，0），B 1（1，1，1）， DA 1→=(1，0，1)，DB →=(1，1，0)，DB 1→=(1，1，1)．因为M ∈A 1D ，设DM →=λDA 1→=(λ，0，λ)，（0≤λ≤1），B 1M →=DM →−DB 1→=(λ−1，−1，λ−1)． 设m →=（a ，b ，c ）是平面A 1BD 的一个法向量， 则{m →⋅DA 1→=a +c =0m →⋅DB →=a +b =0， 取a ＝1，则b ＝c ＝﹣1，m →=（1，﹣1，﹣1）是平面A 1BD 的一个法向量． 则cos ＜B 1M →，m →＞=m →⋅B 1M→|m →|⋅|B 1M →|=1√3×√(λ−1)2+1+(λ−1)2=1√3×√2λ−4λ+3，又2λ2﹣4λ+3＝2（λ﹣1）2+1≥1，当λ＝1时，有最小值1， 所以，√3√2λ2−4λ+3≤√3=√33，即cos ＜B 1M →，m →＞≤√33，所以，B 1M 与平面A 1BD 所成角正弦的最大值为√33，故D 错误． 故选：AC ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知a →=(2，−1，3)，b →=(−4，2，x)，且a →⊥b →，则x ＝ 103． 解：因为a →=(2，−1，3)，b →=(−4，2，x)，且a →⊥b →， 则2×（﹣4）+（﹣1）×2+3x ＝0，则x =103， 故答案为：103． 14．经过两条直线2x +y ﹣8＝0和x ﹣2y +1＝0的交点，且垂直于直线3x ﹣2y +4＝0的直线的方程是 2x +3y ﹣12＝0 ．解：设两直线2x +y ﹣8＝0和x ﹣2y +1＝0的交点为P ， 联立方程组{2x +y −8=0x −2y +1=0，解得x ＝3，y ＝2，可得两直线的交点为P （3，2）．由直线3x ﹣2y +4＝0的斜率为32，可得所求直线的斜率为k =−23，所以所求直线的方程为y −2=−23(x −3)，即2x +3y ﹣12＝0．故答案为：2x +3y ﹣12＝0．15．已知点A （4，6），点B 在圆x 2+y 2＝4上运动，则线段AB 的中点M 的轨迹方程为 （x ﹣2）2+（y ﹣3）2＝1 ．解：设M （x ，y ），B （x 1，y 1），由定点A （4，6），且M 是线段AB 的中点， 由中点坐标公式可得{x =4+x 12y =6+y 12，即{x 1=2x −4y 1=2y −6， 又点B 在圆上，故x 12+y 12=4，即（2x ﹣4）2+（2y ﹣6）2＝4，整理得（x ﹣2）2+（y ﹣3）2＝1，所以线段AB 中点M 的轨迹方程是（x ﹣2）2+（y ﹣3）2＝1． 故答案为：（x ﹣2）2+（y ﹣3）2＝1．16．已知O 为坐标原点，A ，B 均在直线x ﹣y ﹣6＝0上，|AB |＝2，动点P 满足|P A |=√2|PB |，则|OP |的最小值为 √2 ．解：设P （x ，y ），A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），由于|AB |＝2，所以|AB|=√(x 1−x 2)2+(y 1−y 2)2=2， 整理得(x 1−x 2)2+(y 1−y 2)2=4， 由于|P A |=√2|PB |，所以|P A |2＝2|PB |2，整理得(x +x 1−2x 2)2+(y +y 1−2y 2)2=2(x 1−x 2)2+2(y 1−y 2)2=8， 故点P 是以（2x 2﹣x 1，2y 2﹣y 1）为圆心，2√2为半径的圆， 易得圆心在x ﹣y ﹣6＝0上， 由于点（0，0）到直线的距离d =√2=3√2， 所以|OP|min =3√2−2√2=√2． 故答案为：√2．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）已知空间三点A （1，2，2），B （2，1，2），C （3，2，1）． （1）若向量m →分别与AB →，AC →垂直，且|m →|=2√6，求向量m →的坐标； （2）求点C 到直线AB 的距离．解：（1）AB →=(1，−1，0)，AC →=(2，0，−1)， 设m →=(x ，y ，z)，∵m →⊥AB →，m →⊥AC →， ∴m →⋅AB →=0，m →⋅AC →=0． ∴{x −y =02x −z =0，整理得{y =x z =2x ，∵|m →|=√x 2+y 2+z 2=√6x 2=2√6，∴x ＝±2， ∴m →=(2，2，4)或m →=(−2，−2，−4)；（2）取u →=AB →|AB →|=(√22，−√22，0)，a →=AC →=(2，0，−1)，则a →⋅u →=√2，a →2=5． ∴C 到直线AB 的距离为√a →2−(a →⋅u →)2=√5−2=√3．18．（12分）已知△ABC 三个顶点分别为A （1，1），B （﹣1，﹣3），C （3，﹣1）． （1）求△ABC 的面积；（2）过△ABC 内一点P （1，0）有一条直线l 与边AB ，AC 分别交于点M ，N ，且点P 平分线段MN ，求直线l 的方程．解：（1）∵A （1，1），B （﹣1，﹣3），C （3，﹣1），∴直线AB 的斜率k AB ＝2，可得直线AB 的方程为2x ﹣y ﹣1＝0， 点C 到直线AB 的距离d =65=65√5， ∵|AB|=√(1+1)2+(1+3)2=2√5，∴S △ABC =12|AB|⋅d =12×65√5×2√5=6；（2）由题知，直线AC 的斜率k AC ＝﹣1，可得直线AC 的方程为x +y ﹣2＝0， 设M （x 0，y 0），则N （2﹣x 0，﹣y 0），∵点M ，N 分别在直线AB ，AC 上，∴{2x 0−y 0−1=02−x 0−y 0−2=0，解得{x 0=13y 0=−13， 因此，直线l 的斜率k l =0+131−13=12，l 的方程为y −0=12(x −1)，即x ﹣2y ﹣1＝0．19．（12分）如图，在平行六面体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是边长为2的正方形，侧棱AA 1的长为3，且∠A 1AB ＝∠A 1AD ＝120°，E ，F 分别在侧棱BB 1和DD 1上，且BE =13BB 1，DF =23DD 1．（1）若EF →=xAB →+yAD →+zAA 1→，求x +y +z ； （2）求直线EF 与AB 所成角的余弦值．解：（1）由题意有：EF →=AF →−AE →=AD →+DF →−(AB →+BE →)=AD →+23DD 1→−(AB →+13BB 1→)=AD →+23AA 1→−AB →−13AA 1→=−AB →+AD →+13AA 1→，故x +y +z =−1+1+13=13； （2）令AB →=a →，AD →=b →，AA 1→=c →，则由题意有：|a →|=|b →|=2，|c →|=3，＜a →，b →＞=90°，＜a →，c →＞=＜b →，c →＞=120°，由（1）知：EF →=−a →+b →+13c →，则|EF →|=√(−a →+b →+13c →)2=√4+4+1+2−2=3，所以cos ＜EF →，AB →＞=−a →2+a →⋅b →+13a →⋅c →3×2=−4−16=−56，故直线EF 与AB 所成角的余弦值为56．20．（12分）已知圆C 与y 轴相切，圆心在直线x +y ﹣1＝0上，且被x 轴截得的弦长为2√3． （1）求圆C 的方程；（2）已知直线l 过点（1，﹣3），圆C 上恰有三个点到直线l 的距离等于1，求直线l 的方程． 解：（1）设圆C 的标准方程为（x ﹣a ）2+（y ﹣b ）2＝r 2（r ＞0）， ∵圆心C 在直线x +y ﹣1＝0上， ∴a +b ﹣1＝0①， ∵圆C 与y 轴相切， ∴r ＝|a |②，又∵圆C 被x 轴截得的弦长为2√3， ∴b 2+3＝r 2③，联立①②③解得，a ＝2，b ＝﹣1，r ＝2， ∴圆C 的方程为（x ﹣2）2+（y +1）2＝4． （2）∵圆C 上恰有三个点到直线l 的距离等于1， ∴圆心C 到直线l 的距离d ＝r ﹣1＝1． 当直线l 斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝1， 圆心C （2，﹣1）到直线l 的距离为1，符合题意； 当直线l 斜率不存在时，设直线l 的方程为y +3＝k （x ﹣1）， 即kx ﹣y ﹣k ﹣3＝0， ∴圆心C 到直线l 的距离d =|2k+1−k−3|√k +1=|k−2|√k +1=1，解之得，k =34，∴直线l 的方程为3x ﹣4y ﹣15＝0．综上，所求直线l 的方程为x ＝1或3x ﹣4y ﹣15＝0．21．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝4，AD ＝2，E 为线段CD 中点，现将△ADE 沿AE 折起，使得点D 到点P 位置，且AP ⊥BE ．（1）求证：平面AEP ⊥平面ABCE ；（2）已知点M 是线段CP 上的动点（不与点P ，C 重合），若使平面MAE 与平面APE 的夹角为π4，试确定点M 的位置．（1）证明：∵E 为CD 中点，AB ＝4，∴DE ＝CE ＝2， 又∵AD ＝2，四边形ABCD 为矩形， ∴AE 2=BE 2=2√2， ∴AE 2+BE 2＝AB 2，∴AE ⊥BE ，又∵AP ⊥BE ，AE ∩AP ＝A ，AP ，AE ⊂平面APE ， ∴BE ⊥平面APE ，又∵BE ⊂平面ABCE ， ∴平面AEP ⊥平面ABCE ；（2）解：过点E 作EQ ⊥平面ABCE ，以E 为坐标原点，以EA ，EB ，EQ 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(2√2，0，0)，P(√2，0，√2)，C(−√2，√2，0)，E （0，0，0），B(0，2√2，0)， ∴CP →=(2√2，−√2，√2)，EC →=(−√2，√2，0)，EA →=(2√2，0，0)， 设CM →=λCP →，λ∈（0，1），则EM →=EC →+CM →=(2√2λ−√2，√2−√2λ，√2λ)， 设n →=(x ，y ，z)是平面AME 的一个法向量，则有{n →⋅EM →=0n →⋅EA →=0，即{2√2x =0(2√2λ−√2)x +(√2−√2λ)y +√2λz =0， 取y ＝λ，可得平面AME 的一个法向量为n →=(0，λ，λ−1)， 又EB →=(0，2√2，0)为平面APE 的一个法向量， ∴cos〈n →，EB →〉=√2λ2√2√λ+(λ−1)=√λ+(λ−1)，∵平面MAE 与平面APE 的夹角为π4，∴√λ2+(λ−1)2=√22，解得λ=12，∴当点M 为线段PC 的中点时，平面MAE 与平面APE 的夹角为π4．22．（12分）如图，已知圆C ：x 2+y 2﹣4y +3＝0，动点P （m ，﹣1）（m ∈R ），过点P 引圆的两条切线，切点分别为A ，B ．（1）求证：直线AB 过定点；（2）若两条切线P A ，PB 与x 轴分别交于E ，F 两点，求△PEF 的面积的最小值．解：（1）证明：由题意知，圆心C （0，2），半径r ＝1， ∵P A ⊥CA ，PB ⊥CB ，∴A ，B 在以PC 为直径的圆上， ∵|PC|=√m 2+9，PC 的中点M(m 2，12)，∴以PC 为直径的圆M 的方程为(x −m 2)2+(y −12)2=m 2+94，即x 2+y 2﹣mx ﹣y ﹣2＝0．∵AB 为圆C 与圆M 的公共弦， ∴直线AB 的方程为mx ﹣3y +5＝0． ∴直线AB 过定点(0，53)．（2）①当P A ，PB 斜率均存在，即m ≠±1时， 设P A ，PB 的方程为y +1＝k （x ﹣m ）， 即kx ﹣y ﹣km ﹣1＝0，∵P A ，PB 与圆C 相切，∴圆心C到直线的距离d=√k+1=1，∴（m2﹣1）k2+6mk+8＝0．设P A，PB的斜率分别为k1，k2，∴k1+k2=−6mm2−1，k1k2=8m2−1，∴|k1−k2|=√(−6mm2−1)2−48m2−1=√4m2+32(m2−1)2，x E=m+1k1，x F=m+1k2，∴|EF|=|x E−x F|=|m+1k1−m−1k2|=|1k1−1k2|=|k1−k2||k1k2|=|2√m2+8m2−1||8m2−1|=√m2+84．∵当m∈R且m≠±1，∴当m＝0时，|EF|min=√22，此时，S△PEF=12×√22×1=√24．②当P A，PB有一条斜率不存在，即m＝±1时，不妨设P A的斜率不存在，则直线P A的方程为x＝﹣1，P（﹣1，﹣1），E（﹣1，0），设直线PB的方程为y+1＝k（x+1），由圆心（0，2）到PB的距离d=√k+1=1，解得k=43，∴直线PB的方程为4x﹣3y+1＝0，∴F(−14，0)，此时|EF|=34，S△PEF=12×34×1=38．由38＞√24，可得△PEF面积的最小值为√24．。
山东省菏泽市2024-2025学年高二上学期期中考试 数学(A卷)含答案
2024—2025学年度第一学期期中考试高二数学试题（A ）（答案在最后）注意事项：1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时问120分钟.2.答题前，考生务必将姓名、班级等个人信息填写在答题卡指定位置.3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑：非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签宇笔在答题卡上各题的答题区域内作答.超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1.下列选项中，与直线:571l x y +=平行的直线是（）A.10142x y += B.570x y -= C.750x y -= D.15211x y +=2.已知椭圆C ：2219x y m+=，“34m =”是“点()0,5为C 的一个焦点”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.已知曲线2216x y +=，从曲线上任意一点P 向y 轴作垂线，垂足为P'，且14PN PP'=，则点N 的轨迹方程为（）A.221169x y +=B.221916x y += C.22116x y += D.22116y x +=4.已知不全为零的实数a 、b 、c 满足2a c b +=，则直线:20l ax by c -+=被圆225x y +=所截得的线段长的最小值为（）A.B. C.D.5.已知椭圆C ：221x y m n +=的一个焦点为()7,0，且C 过点()0,24A ，则m n +=（）A.10B.49C.50D.12016.已知双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的右焦点为()6,0F ，点()6,5P 在C 上，则C 的离心率为（）A.32 B.23C.65D.567.直线l ：60x ay --=与圆22124360x y x y +---=的公共点个数为（）A.0B.1C.2D.1或28.已知椭圆C ：221x y m n+=（0m >，0n >）的左、右焦点分别为1F ，2F ，点P 是C 上一点，直线1PF ，2PF 的斜率分别为12，2-，且12PF F 是面积为4的直角三角形.则C 的方程为（）A.221169x y += B.22116x y += C.22194x y += D.221259x y +=二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.用一个平面去截一个圆柱的侧面，可以得到以下哪些图形（）A .两条平行直线B.两条相交直线C.圆D.椭圆10.设抛物线C ：214y x =的准线为l ，点P 为C 上的动点，过点P 作圆A ：228150x y x +-+=的一条切线，切点为Q ，过点P 作l 的垂线，垂足为B .则（）A.l 与圆A 相交B.当点P ，A ，B 共线时，PQ =C.2PB =时，PAB 的面积为2或6D.满足PA PB =的点P 恰有2个11.已知12,F F 分别为双曲线()2222:10,0x yC a b a b-=>>的左､右焦点，过2F 的直线l 与圆222:O x y a +=相切于点M ，l 与第二象限内的渐近线交于点Q ，则（）A.双曲线C 的离心率e >B.若22::OF MF OQ QM =，则C 的渐近线方程为3y x =±C.若1MF =，则C 的渐近线方程为y =D.若224QF MF =，则C 的渐近线方程为2y x=±三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知圆2222340x y x y λ++--=与x 轴相切，则λ=__________.13.已知抛物线C ：2y ax =的焦点F 恰为圆222240x y y +--=的圆心，点P 是C 与圆的一个交点，则点P 到直线OF 的距离为__________，点F 到直线OP 的距离为__________.14.已知曲线C 是椭圆2211612x y +=被双曲线2213y x -=（0x >）所截得的部分（含端点），点P 是C 上一点，()2,0A -，()2,0B ，则PA PB -的最大值与最小值的比值是__________.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.著名古希腊数学家阿基米德首次用“逼近法”的思想得到了椭圆的面积公式πS ab =，（a ，b 分别为椭圆的长半轴长和短半轴长）为后续微积分的开拓奠定了基础，已知椭圆C ：2211216x y +=.（1）求C 的面积；（2）若直线l ：2y x =+交C 于A ，B 两点，求AB .16.已知椭圆C ：2212x y +=上的左、右焦点分别为1F ，2F ，直线y x m =+与C 交于,A B 两点，若1F AB面积是2F AB 面积的3倍，求m 的值.17.已知椭圆C ：221925x y +=，直线l 过原点，且与C 相交于A ，B 两点，并与点()0,4D 构成三角形.（1）求ABD △的周长的取值范围：（2）求ABD △的面积S 的最大值.18.已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的离心率为32，点31,2A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭在椭圆E 上．（1）求椭圆E 的方程；（2）已知椭圆E 的右顶点为B ，过B 作直线l 与椭圆E 交于另一点C ，且||||7BC AB =，求直线l 的方程．19.若平面内的曲线C 与某正方形A 四条边的所在直线均相切，则称曲线C 为正方形A 的一条“切曲线”，正方形A 为曲线C 的一个“切立方”.（1）圆221x y +=的一个“切立方”A 的其中一条边所在直线的斜率是1，求这个“切立方”A 四条边所在直线的方程：（2）已知正方形A 的方程为2x y +=，且正方形A 为双曲线22221x y a b-=的一个“切立方”，求该双曲线的离心率e 的取值范围；（3）设函数312y x x =-的图象为曲线C ，试问曲线C 是否存在切立方，并说明理由.2024—2025学年度第一学期期中考试高二数学试题（A ）注意事项：1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时问120分钟.2.答题前，考生务必将姓名、班级等个人信息填写在答题卡指定位置.3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑：非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签宇笔在答题卡上各题的答题区域内作答.超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1.下列选项中，与直线:571l x y +=平行的直线是（）A.10142x y +=B.570x y -= C.750x y -= D.15211x y +=【答案】D 【解析】【分析】先将直线方程化为一般式方程，然后判断12210A B A B -=是否成立，注意分析重合情况.【详解】:571:5710l x y l x y +=⇔+-=，对于A ：101425710x y x y +=⇔+-=，可知两直线重合，不符合；对于B ：()57750⨯--⨯≠，所以不平行，不符合；对于C ：()55770⨯--⨯≠，所以不平行，不符合；对于D ：5217150⨯-⨯=，1152115703x y x y +=⇔+-=，且113-≠-，所以两直线平行，符合；故选：D.2.已知椭圆C ：2219x y m+=，“34m =”是“点()0,5为C 的一个焦点”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】【分析】利用椭圆几何性质，根据焦点坐标与9,m 之间的关系式可得结论.【详解】若34m =可得221934x y +=得一个焦点坐标为()0,5，即充分性成立；若“点()0,5为C 的一个焦点”，则可得295m -=，即34m =，可知必要性成立，因此，“34m =”是“点()0,5为C 的一个焦点”的充要条件.故选：C3.已知曲线2216x y +=，从曲线上任意一点P 向y 轴作垂线，垂足为P'，且14PN PP'=，则点N 的轨迹方程为（）A.221169x y += B.221916x y += C.22116x y += D.22116y x +=【答案】B 【解析】【分析】由向量找到三点的关系，设所求点N 的坐标，由三点关系得到P 的坐标，然后代入曲线2216x y +=，得到点N 的轨迹方程.【详解】∵14PN PP'= ，∴,,'P N P 三点共线，且3''4P N PP =又∵'PP y ⊥轴，∴设(),N x y ，则()'0,P y ，4,3P x y ⎛⎫⎪⎝⎭，∵点P 在2216x y +=上，∴224163x y ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即221916x y +=.故选：B.4.已知不全为零的实数a 、b 、c 满足2a c b +=，则直线:20l ax by c -+=被圆225x y +=所截得的线段长的最小值为（）A.B. C.D.【答案】B【解析】【分析】求出直线l 所过定点A 的坐标，分析可知，当OA l ⊥时，圆心到直线l 的距离最大，此时，直线l 截圆所得弦长最小，结合勾股定理即可得解.【详解】因为不全为零的实数a 、b 、c 满足2a c b +=，则直线:20l ax by c -+=的方程可化为()0ax a c y c -++=，即()()10a x y c y -+-=，由010x y y -=⎧⎨-=⎩可得1x y ==，即直线l 过定点()1,1A ，因为22115+<，即点A 在圆内，圆225x y +=的圆心为原点O ，半径为r =，当OA l ⊥时，圆心到l 的距离取最大值，且最大值为OA ==，所以，直线l 被圆截得的弦长的最小值为==故选：B.5.已知椭圆C ：221x y m n +=的一个焦点为()7,0，且C 过点()0,24A ，则m n +=（）A.10B.49C.50D.1201【答案】D 【解析】【分析】由条件知椭圆的焦点在x 轴上，半焦距长7c =，短半轴长24b =，根据,,a b c 的关系，可求,m n .【详解】椭圆C ：221x y m n +=的一个焦点为()7,0，过点()0,24A ，∴24924m n n -=⎧⎨=⎩，∴625576m n =⎧⎨=⎩，∴1201m n +=.故选：D.6.已知双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的右焦点为()6,0F ，点()6,5P 在C 上，则C 的离心率为（）A.32 B.23C.65D.56【答案】A 【解析】【分析】由已知列方程组求得,a b ，再由离心率公式计算．【详解】点()6,5P 在C 上，右焦点为()6,0F ，0,0a b >>，则22223625136a ba b ⎧-=⎪⎨⎪+=⎩，解得4a b =⎧⎪⎨=⎪⎩，所以离心率为6342c e a ===，故选：A ．7.直线l ：60x ay --=与圆22124360x y x y +---=的公共点个数为（）A.0 B.1 C.2D.1或2【答案】C 【解析】【分析】利用直线恒过定点，且定点在圆的内部，即可得到结论.【详解】由22124360x y x y +---=整理得：()()226276x y -+-=，可知圆22124360x y x y +---=圆心坐标为()6,2，半径为r =，再由直线l ：60x ay --=恒过点()6,0，由圆心()6,2到点()6,0的距离为2，可知2<所以点()6,0在圆的内部，即直线l 与圆一定有两个交点.故选：C.8.已知椭圆C ：221x y m n+=（0m >，0n >）的左、右焦点分别为1F ，2F ，点P 是C 上一点，直线1PF ，2PF 的斜率分别为12，2-，且12PF F 是面积为4的直角三角形.则C 的方程为（）A.221169x y += B.22116x y += C.22194x y += D.221259x y +=【答案】C 【解析】【分析】由直线斜率的关系得到两直线垂直，且知道直角三角形中121tan 2PF F ∠=，得到122PF PF =，由面积求出12,PF PF 的值，由椭圆定义和椭圆的性质求出,m n 的值，得到椭圆方程.【详解】∵121PF PF k k ⨯=-，∴12π2F PF ∠=，∵12112PF PF k PF ==，∴设112,PF n PF n ==，则12212112422PF F S PF PF n n n ==⋅== ，∴2n =，∴126PF PF =+=，∴9m =，∵122c F F ===，∵c ==∴4n =，∴椭圆方程为：22194x y +=.故选：C二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.用一个平面去截一个圆柱的侧面，可以得到以下哪些图形（）A.两条平行直线B.两条相交直线C.圆D.椭圆【答案】CD 【解析】【分析】分平面与底面平行和平面与底面的夹角为锐角两种情况，得到图形为圆和椭圆.【详解】一个平面去截一个圆柱的侧面，若平面与底面平行，则得到的图形为圆，若平面与底面的夹角为锐角时，可以得到的图形为椭圆.故选：CD10.设抛物线C ：214y x =的准线为l ，点P 为C 上的动点，过点P 作圆A ：228150x y x +-+=的一条切线，切点为Q ，过点P 作l 的垂线，垂足为B .则（）A.l 与圆A 相交B.当点P ，A ，B共线时，PQ =C.2PB =时，PAB 的面积为2或6D.满足PA PB =的点P 恰有2个【答案】BCD 【解析】【分析】对于A ，由抛物线与圆的方程，可得准线方程与圆心半径，根据直线与圆的位置关系，可得答案；对于B ，由题意作图，求得点的坐标，根据圆的切线性质与勾股定理，可得答案；对于C ，根据抛物线的性质求得点的坐标，利用分类讨论，结合图象，可得答案；对于D ，根据抛物线的性质，求得固定线段的中垂线，联立方程求交点，可得答案.【详解】对于A ，由抛物线21:4C y x =，即24x y =，则准线:1l y =-，由圆22:8150A x y x +-+=整理可得()2241x y -+=，则圆心()4,0A ，半径=1，由圆心A 到直线=−1的距离为1r =，则圆A 与直线l 相切，故A 错误；对于B ，由题意作图如下：由,,P A B 共线，且()4,0A ，当4x =时，21444y =⨯=，则()4,4P ，()4,1B -，4PA =，PQ ===，故B 正确；对于C ，由2PB =，则令1y =，2114x =，解得2x =±，当()2,1P 时，PAB 的高为422-=，面积为1222PB ⨯⨯=，如下图：当()2,1P -时，PAB 的高为()426--=，面积为1662PB ⨯⨯=，如下图：故C 正确；对于D ，由题意可作图如下：.由抛物线21:4C y x =整理可得24x y =，则其焦点()0,1F ，易知PF PB =，由直线AF 的斜率011404k -==--，线段AF 中点12,2⎛⎫⎪⎝⎭，则线段AF 的中垂线方程为()1422y x -=-，整理可得1542y x =-，联立2154214y x y x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，消y 可得216300x x -+=，()2164301360∆=--⨯=>，所以线段AF 的中垂线与抛物线存在两个交点，故D 正确.故选：BCD.11.已知12,F F 分别为双曲线()2222:10,0x yC a b a b-=>>的左､右焦点，过2F 的直线l 与圆222:O x y a +=相切于点M ，l 与第二象限内的渐近线交于点Q ，则（）A.双曲线C 的离心率2e >B.若22::OF MF OQ QM =，则C 的渐近线方程为33y x =±C.若16MF OM =，则C 的渐近线方程为2y x=±D.若224QF MF =，则C 的渐近线方程为2y x=±【答案】AC 【解析】【分析】利用2tan a MF O b∠=可得l ak b =-，与渐近线斜率相比较即可构造不等式求得离心率e ，知A 正确；根据斜率关系可知直线OM 为双曲线C 的一条渐近线，利用2cos QOF ∠可构造方程求得B 正确；分别利用1cos MOF ∠和cos QOF ∠可构造方程求得CD 正误.【详解】对于A ，2OM MF ⊥ ，2OF c =，OM a =，2MF b ∴==，2tan a MF O b ∴∠=，l ak b∴=-，又l 与第二象限内的渐近线交于点Q ，a bb a ∴->-，即2222a bc a <=-，222c a ∴>，c e a∴=>，A 正确；对于B ，由A 知：l ak b =-，又2OM MF ⊥，OM b k a∴=，∴直线OM 即为双曲线C 的一条渐近线，22::OF MF OQ QM = ，::OQ QM c b ∴=，又222OQ QM a -=，OQ c ∴=，QM b =，2222222242cos 2c c b c b QOF c c+--∴∠==，2tan b QOF a ∠=- ，2cos a QOF c ∴∠=-，2222c b ac c -∴=-2222c b a c c-∴=-，整理可得：()2222222c b c c a ac -=--=-，2220c ac a ∴--=，()()22210e e e e ∴--=-+=，2e ∴=，2=，解得：b a =C ∴的渐近线方程为y =，B 错误；对于C ，1MF == ，22222165cos 22a c a c a MOF ac ac +--∴∠==，12tan tan b MOF MOF a ∠=-∠=- ，1cos aMOF c∴∠=-，2252c a aac c -∴=-，整理可得：22252c a a -=-，即22223c a b a =+=，222b a ∴=，ba∴=，C ∴的渐近线方程为y =，C 正确；对于D ，2244QF MF b == ，3QM b ∴=，OQ ∴=22222222cos QOF ∴∠=，2tan b QOF a ∠=- ，2cos a QOF c ∴∠=-，222ac=-，整理可得：()()22222239a b a a b -=+，422915b a b ∴=，2253b a ∴=，3b a ∴=，C ∴的渐近线方程为3y x =±，D 错误.故选：AC.【点睛】关键点点睛：本题考查双曲线离心率、渐近线的求解问题，解题关键是能够利用余弦定理和渐近线斜率构造关于,,a b c 的方程，进而求得双曲线的离心率和渐近线方程.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知圆2222340x y x y λ++--=与x 轴相切，则λ=__________.【答案】98-【解析】【分析】整理圆的方程为标准式，明确圆心与半径，由切线建立方程，可得答案.【详解】由圆的方程整理可得圆()2232514216x y λ⎛⎫++-=+ ⎪⎝⎭，则圆心3,14⎛⎫- ⎪⎝⎭，半径r =，由圆与x 1=，解得98-.故答案为：98-.13.已知抛物线C ：2y ax =的焦点F 恰为圆222240x y y +--=的圆心，点P 是C 与圆的一个交点，则点P 到直线OF 的距离为__________，点F 到直线OP 的距离为__________.【答案】①.4②.22【解析】【分析】由圆标准方程得到圆心，从而知道焦点F 坐标和a 的值，写出抛物线方程后联立方程组，解得P 点坐标，根据点到直线的距离公式求得结果.【详解】∵圆的标准方程：()22215x y +-=，∴圆心为0,1，半径=5r ，∴114a =，即14a =，即抛物线C ：24x y =，0,1联立方程组22242240x y x y y ⎧=⎪⎨⎪+--=⎩，解得4y =或y =-6（∵204xy =≥舍去）∴4x =±∴()4,4P 或()4,4P -∵直线OF 与y 轴重合，∴点P 到直线OF 的距离为4，由对称性可知，无论取哪个点P ，点F 到直线OP 的距离相等，∴取()4,4P ，直线:0OP x y -=，∴点F 到直线OP的距离2d ==，故答案为：①414.已知曲线C 是椭圆2211612x y +=被双曲线2213y x -=（0x >）所截得的部分（含端点），点P 是C 上一点，()2,0A -，()2,0B ，则PA PB -的最大值与最小值的比值是__________.【答案】2【解析】【分析】由椭圆的定义，可得焦半径的和，整理所求差值为函数，利用分类讨论并结合图象，可得答案.【详解】由椭圆2211612x y +=，则4,a b ==，2c =，易知,A B 为椭圆的左右焦点，由P 为椭圆上的点，则28PA PB a +==，可得8PB PA =-，所以28PA PB PA -=-，联立22221161213x y y x ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，解得2249x y ⎧=⎨=⎩，当()2,3P 时，PA5=，则PA PB -取得最小值2如下图：；当()4,0P 时，PA 取得最大值()426--=，则PA PB -取得最大值4，如下图：.所以PA PB -的最大值与最小值的比值为2.故答案为：2.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.著名古希腊数学家阿基米德首次用“逼近法”的思想得到了椭圆的面积公式πS ab =，（a ，b 分别为椭圆的长半轴长和短半轴长）为后续微积分的开拓奠定了基础，已知椭圆C ：2211216x y +=.（1）求C 的面积；（2）若直线l ：2y x =+交C 于A ，B 两点，求AB.【答案】（1）（2）487【解析】【分析】（1）由椭圆C 的方程可知,a b 的值，代入椭圆的面积公式即可；（2）联立直线与椭圆的方程，利用韦达定理及弦长公式求解.【小问1详解】由椭圆C 的方程可知4a =，b =所以，椭圆C的面积πS ab ==；【小问2详解】联立22112162x y y x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得2712360x x +-=，设1122()A x y B x y ,,(,)，则12127x x +=-，12367x x =-，∴122427x x -==，所以，122424877AB x =-==.16.已知椭圆C ：2212x y +=上的左、右焦点分别为1F ，2F ，直线y x m =+与C 交于,A B 两点，若1F AB面积是2F AB 面积的3倍，求m 的值.【答案】12-【解析】【分析】根据1F AB 与2F AB 同底不等高的特点将面积比表示为高之比，结合直线与椭圆联立后所得方程的判别式∆求解出m 的值.【详解】解：将直线y x m =+与椭圆联立2212y x m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 可得2234220x mx m ++-=，因为直线与椭圆相交于,A B 点，则()22Δ1643220m m =-⨯->，解得m <<，设1F 到AB 的距离为1d ，2F 到AB 的距离为2d ，易知1−1,0，21,0，则1d =，2d =所以12131F AB F ABS m S m-+===+ ，解得12m =-或2-(舍去)，故12m =-.17.已知椭圆C ：221925x y +=，直线l 过原点，且与C 相交于A ，B 两点，并与点()0,4D 构成三角形.（1）求ABD △的周长的取值范围：（2）求ABD △的面积S 的最大值.【答案】（1）[)16,20（2）12【解析】【分析】（1）由椭圆定义得到ABD △的周长为10AB +，设()3cos ,5sin A θθ，[)0,2πθ∈且π3π,22θ≠，求出[)6,10AB =，求出周长的取值范围；（2）表达出2ABD A B S x x =- ，结合06A B x x <-≤，得到面积的最大值.【小问1详解】由题可得5a =，3b =，则22216c a b =-=，故4c =，所以()0,4D 为椭圆的其中一个焦点，则另一个焦点坐标为()0,4E -，连接,AE BE ，由对称性可知，DB AE =，故210AD DB AD AE a +=+==，则ABD △的周长为10AB +，设()3cos ,5sin A θθ，[)0,2πθ∈，因为,,A B D 三点构成三角形，故,,A B D 不共线，所以π3π,22θ≠，故[)0,2πθ∈且π3π,22θ≠，则222229cos 25sin 2916sin AB AO θθθ==+=+因为[)2sin0,1θ∈，故[)22916sin 6,10AB θ=+，所以ABD △的周长[)1016,20AB +∈；【小问2详解】114222ABD AOD BOD A B A B A B S S S OD x x x x x x =+=⋅-=⨯⋅-=- ，,,A B D 不共线，故06A B x x <-≤，所以(]20,12ABD A B S x x =-∈ ，S 的最大值为12.18.已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的离心率为32，点31,2A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭在椭圆E 上．（1）求椭圆E 的方程；（2）已知椭圆E 的右顶点为B ，过B 作直线l 与椭圆E 交于另一点C ，且7||||7BC AB =，求直线l 的方程．【答案】（1）2214x y +=（252250x y --=【解析】【分析】（1）利用给的条件列方程求得,a b 的值，进而得到椭圆的标准方程；（2）联立圆与椭圆的方程，先求得点C 的坐标，进而得到表达式，再化简即可求得．【小问1详解】由题可知2c a =，其中222c a b =-，所以12b a =,又点1,2A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭在椭圆E 上，所以221314a b+=，即22131a a +=，解得224,1a b ==，所以椭圆E 的方程为2214x y +=．【小问2详解】由椭圆E 的方程2214x y +=，得(2,0)B ，所以2AB ==，设()00,C x y ，其中00[2,2),[1,1]x y ∈-∈-，因为||||17BC AB ==，所以()220021x y -+=，又点()00,C x y 在椭圆22:14x E y +=上，所以220014x y +=，联立方程组()20022002114x y x y ⎧-+=⎪⎨+=⎪⎩，得200316160x x -+=，解得043x =或04x =（舍），当043x =时，03y =±，即4,33C ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭或4,33C ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭．所以当C的坐标为4,33⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭时，直线l20y +-=；当C的坐标为4,33⎛⎫-⎪⎪⎝⎭时，直线l20y --=．综上，直线l的方程为20y+-=20y--=.19.若平面内的曲线C与某正方形A四条边的所在直线均相切，则称曲线C为正方形A的一条“切曲线”，正方形A为曲线C的一个“切立方”.（1）圆221x y+=的一个“切立方”A的其中一条边所在直线的斜率是1，求这个“切立方”A四条边所在直线的方程：（2）已知正方形A的方程为2x y+=，且正方形A为双曲线22221x ya b-=的一个“切立方”，求该双曲线的离心率e的取值范围；（3）设函数312y x x=-的图象为曲线C，试问曲线C是否存在切立方，并说明理由.【答案】（1）y x=±，y x=-±（2）(（3）曲线C存在切立方，理由见解析【解析】【分析】（1）根据“切立方”的定义，结合图象，找到一个“切立方”A的四条边所在直线的方程即可；（2）根据“切立方”的定义，联立2x y+=与双曲线22221x ya b-=，由于相切，则∆=，根据0∆=，即可求出双曲线的离心率e的取值范围；（3）设第一个切点为()3111,12x x x-，则切线为()23113122y x x x=--，根据函数312y x x=-的图象关于原点对称和正方形对边平行，因此可设第二条切线为()23113122y x x x=-+，同理求出第三条和第四条切线，然后验证四条切线形成的图形是否为正方形即可.【小问1详解】根据“切立方”的定义，设直线方程y x m=+，y x n=-+可得1d==，m=，1d ==，n =y x =，y x =-±；【小问2详解】由正方形A 的方程为2x y +=，则2y x =±+，由正方形A 为双曲线22221x y a b-=的一个“切立方”，则222212x y a b y x ⎧-=⎪⎨⎪=±+⎩，联立整理得22222112110x x a b b b ⎛⎫-±--= ⎪⎝⎭，则422216114Δ410b a b b ⎛⎫⎛⎫=+-+= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，整理得224b a =-，即2224c a =-，由图可知2a >，则()22222224421,2c a e a a a -===-∈，所以(e ∈【小问3详解】由曲线312y x x =-，设切点为()3111,12x x x -，联立()()311131212y x x k x x y x x ⎧--=-⎪⎨=-⎪⎩，得()()331111212x x x x k x x ---=-，即2211120x x x x k ++--=，点()3111,12x x x -在曲线和直线上，整理得21312k x =-，则过该点的一条切线方程为()()()32111112312y x x x x x --=--，即()23113122y x x x =--，由函数312y x x =-为奇函数，其图象关于原点对称，因此如果曲线C 是存在“切立方”，则正方形也关于原点对称，故与第一条边平行的正方形的另一条边所在直线为：()23113122y x x x =-+，设第三个切点为()3222,12x x x -（20x >），同理可得另两条切线为()33223122y x x x =-±，若存在正方形，即()()2212333123121x x ⎧--=-⎪⎪=由此可设()10,2x ∈，22x>，3310x -=，设()33f x x =，由()1.90f >，()1.950f <，且在()1.9,1.95x ∈上，函数图象连续不间断，则由零点存在性定理可知()0f x =在()1.9,1.95x ∈上有解，因此曲线C 存在切立方.【点睛】关键点点睛：本题的第三问的关键是采用设线法，再结合对称性和零点存在性定义即可证明.。
山东省济南市山东省实验中学2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题(含答案)
山东省实验中学2024～2025学年第一学期期中高二数学试题 2024.11（选择性必修—检测）说明：本试卷满分150分，分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷为第1页至第2页，第Ⅱ卷为第3页至第4页.试题答案请用2B 铅笔或0.5mm 签字笔填涂到答题卡规定位置上，书写在试题上的答案无效。
考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（共58分）一、单选题（本题包括8小题，每小题5分，共40分。
每小题只有一个选项符合题意）1.已知空间向量，，，若，，共面，则实数（ ）A.1B.2C.3D.42.“”是“直线与直线平行”的（ ）A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.给出下列说法，其中不正确的是（）A.若，则，与空间中其它任何向量都不能构成空间的一个基底向量B.若，则点是线段的中点C.若，则，，，四点共面D.若平面，的法向量分别为，，且，则3.若三条直线，，不能围成三角形，则实数的取值最多有（ ）A.2个B.3个C.4个D.5个4.实数，满足，则的最小值为（ ）A. B.7C. D.36.若直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是（ ）A.()1,2,0a = ()0,1,1b =- ()2,3,c m = a b cm =1m =-()1:2310l mx m y +++=2:30l x my ++=a b ∥a b c2PM PA PB =+M AB 2OA OB OC OD =+-A B C D αβ()12,1,1n =- ()21,,1n t =-αβ⊥3t =1:43l x y +=2:0l x y +=3:2l x my -=m x y 2222x y x y +=-3x y -+3+:20l kx y --=:1C x =-k k >5k <≤k <<1k <≤7.在三棱锥中，为的重心，，，，，，若交平面于点，且，则的最小值为（ ）A.B.C.1D.8.已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在上且位于第一象限，圆与线段的延长线，线段以及轴均相切，的内切圆为圆.若圆与圆外切，且圆与圆的面积之比为4，则的离心率为（ ）A.C.二.多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分.）9.下列说法正确的是（）A.若直线的倾斜角越大，则直线的斜率就越大B.圆与直线必有两个交点C.在轴、轴上的截距分别为，的直线方程为D.设，，若直线与线段有交点，则实数的取值范围是10.已知椭圆的离心率为，长轴长为6，，分别是椭圆的左、右焦点，是一个定点，是椭圆上的动点，则下列说法正确的是（ ）A.焦距为2B.椭圆的标准方程为P ABC -G ABC △PD PA λ= PE PB μ= 12PF PC =λ()0,1μ∈PG DEF M 12PM PG =λμ+122343()2222:10x y C a b a b+=>>1F 2F P C 1O 1F P 2PF x 12PF F △2O 1O 2O 1O 2O C 123522:4O x y +=10mx y m +--=x y a b 1x y a b+=()2,2A -()1,1B :10l ax y ++=AB a (]322⎡⎫-∞-+∞⎪⎢⎣⎭，，()2222:10x y E a b a b +=>>23F F '()1,1A P E E 22195x y +=C.D.的最大值为11.立体几何中有很多立体图形都体现了数学的对称美，其中半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体，半正多面体因其最早由阿基米德研究发现，故也被称作阿基米德体.如图，这是一个棱数24，棱长为的半正多面体，它所有顶点都在同一个正方体的表面上，可以看成是由一个正方体截去八个一样的四面体所得的，下列结论正确的有（）A.平面B.，，，四点共面C.点到平面的距离为D.若为线段上的动点，则直线与直线所成角的余弦值范围为第Ⅱ卷（非选择题，共92分）三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分，其中14题第一空2分，第二空3分.）12.已知直线的倾斜角，则直线的斜率的取值范围为______.13.如图，已知点，，从点射出的光线经直线反射后再射到直线上，最后经直线反射后又回到点，则光线所经过的路程是______.14.杭州第19届亚运会的主会场——杭州奥体中心体育场，又称“大莲花”（如图1所示）.会场造型取意于杭州丝绸纹理与纺织体系，建筑体态源于钱塘江水的动态，其简笔画如图2所示.一同学初学简笔画，先AF '=PA PF +6AG ⊥BCDG A F C D B ACD E BC DE AF 12⎡⎢⎣l 2,43ππθ⎛⎫∈⎪⎝⎭l ()8,0A ()0,4B -()3,0P AB OB OB P画了一个椭圆与圆弧的线稿，如图3所示.若椭圆的方程为，下顶点为，为坐标原点，为圆上任意一点，满足，则点的坐标为______；若为椭圆上一动点，当取最大值时，点恰好有两个，则的取值范围为______.图1 图2 图3四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.（13分）已知两直线和的交点为.（1）直线过点且与直线平行，求直线的一般式方程；（2）圆过点且与相切于点，求圆的一般方程.16.（15分）已知椭圆，且过点.（1）求椭圆的方程；（2）若斜率为的直线与椭圆交于，两点，且点在第一象限，点，分别为椭圆的右顶点和上顶点，求四边形面积的最大值.17.（15分）在梯形中，，，，为的中点，线段与交于点（如图1）.将沿折起到位置，使得（如图2）.图1 图2（1）求证：平面平面；（2）线段上是否存在点，使得与平面的值；若不存在，请说明理由.E()222210x ya ba b+=>>10,2A⎛⎫-⎪⎝⎭O P C2PO PA=C Q QC Q a1:20l x y++=2:3210l x y-+=Pl P310x y++=lC()1,01l P C()2222:10x yC a ba b+=>>⎛⎝C12l C M N M A B CAMBN SABCD AB CD∥3BADπ∠=224AB AD CD===P AB AC DP O ACD△AC ACD'△D O OP'⊥D AC'⊥ABCPD'Q CQ BCD'PQPD'18.（17分）已知直线，半径为2的圆与相切，圆心在轴上且在直线的右上方.（1）求圆的方程；（2）直线与圆交于不同的，两点，且，求直线的斜率；（3）过点的直线与圆交于，两点（在轴上方），问在轴正半轴上是否存在定点，使得轴平分？若存在，请求出点的坐标：若不存在，请说明理由.19.（17分）已知点，是平面内不同的两点，若点满足（，且），则点的轨迹是以有序点对为“稳点”的-阿波罗尼斯圆.若点满足，则点的轨迹是以为“稳点”的-卡西尼卵形线.已知在平面直角坐标系中，，.（1）若以为“稳点”的-阿波罗尼斯圆的方程为，求，，的值；（2）在（1）的条件下，若点在以为“稳点”的5-卡西尼卵形线上，求（为原点）的取值范围；（3）卡西尼卵形线是中心对称图形，且只有1个对称中心，若，，求证：不存在实数，，使得以—阿波罗尼斯圆与—卡西尼卵形线都关于同一个点对称.:40l x ++=C l C x l C 2y kx =-C M N 120MCN ︒∠=2y kx =-()0,1M C A B A x y N y ANB ∠N A B P PAPBλ=0λ>1λ≠P (),A B λQ ()0QA QB μμ⋅=>Q (),A B μ()2,0A -()(),2B a b a ≠-(),A B λ221240x y x +-+=a b λQ (),A B OQ O 0b =λ=a μ(),A B μ山东省实验中学2024～2025学年第一学期期中高二数学试题参考答案 2024.11选择题1234567891011ABCBDDCCBDBCDABD填空题12..13.，.解答题15.【答案】（1）（2）.【详解】（1）直线与直线平行，故设直线为，……1分联立方程组，解得.直线和的交点.……3分又直线过点，则，解得，即直线的方程为.……5分（2）设所求圆的标准方程为，的斜率为，故直线的斜率为1，由题意可得，……8分解得，……11分故所求圆的方程为.(()1,-∞-+∞ ,20,3⎛⎫-⎪⎝⎭a >340x y ++=221140333x y x y +++-=l 310x y ++=l 130x y C ++=203210x y x y ++=⎧⎨-+=⎩11x y =-⎧⎨=-⎩∴1:20l x y ++=2:3210l x y -+=()1,1P --l P 1130C --+=14C =l 340x y ++=()()222x a y b r -+-=1:20l x y ++=1-CP ()()()()2222221110111a b r a b r b a ⎧--+--=⎪⎪-+-=⎨⎪+⎪=+⎩216162518a b r ⎧=-⎪⎪⎪=-⎨⎪⎪=⎪⎩2211256618x y ⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭化为一般式：.……13分16.【答案】（1）（2）【详解】（1）由椭圆，解得，……2分由椭圆过点，得，联立解得，，……4分所以椭圆的方程为.……5分（2）由题意可设，点在第一象限，，……6分设，，点，到直线的距离分别为，，由，消可得，，，……8分10分，，直线的一般式方程：，，，，……12分14分当时，有最大值为……15分17.【答案】（1）证明见解析（2）存在，【详解】（1）证明：在梯形中，，22114333x y x y+++-=2214xy+=2222:1x yCa b+==2a b= C⎛⎝221314a b+=2a=1b=C2214xy+=1:2l y x m=+M11m∴-<<()11,M x y()22,N x y A B l1d2d221412xyy x m⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩y222220x mx m++-=122x x m∴+=-21222x x m=-MN∴===()2,0A()0,1B l220x y m-+=1d∴=2d=12d d∴+=()121122AMN BMNS S S MN d d∴=+=⋅+==△△m=S13ABCD AB CD∥，，为的中点，，，，……1分是正三角形，四边形为菱形，，，……3分，，又，，平面，平面，……5分平面，平面平面.……6分（2）存在，，理由如下：……8分平面，，，，两两互相垂直，如图，以点为坐标原点，，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系.则，，，，，，设平面的一个法向量为，则，即，令，则，，，……11分设，，，， (12)分设与平面所成角为，则，即，，解得，224AB AD CD ===3BAD π∠=P AB CD PB ∴∥CD PB =BC DP =ADP ∴△DPBC AC BC ∴⊥AC DP ⊥AC D O ⊥' D O OP '⊥AC OP O = AC OP ⊂ABC D O ∴'⊥ABC D O ⊂' D AC '∴D AC '⊥ABC 13PQ PD '=D O ⊥' BAC OP AC ⊥OA ∴OP OD 'O OA OP OD 'x y z ()C ()2,0B ()0,0,1D '()0,1,0P )2,1BD ∴'=- )CD '=CBD '(),,n x y z =00n BD n CD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩'' 200y z z -+=+=⎪⎩1x =0y =z =(1,0,n ∴=()01PQ PD λλ'=≤≤)CP =()0,1,1PD =-'),CQ CP PQ CP PD λλλ∴=+=+=- CQ BCD 'θsin cos ,CQ n CQ n CQ n θ⋅====23720λλ-+=01λ≤≤ 13λ=线段上存在点，且，使得与平面……15分18.【答案】（1）（2）（3）【详解】（1）设圆心，则，……2分解得或（舍），故圆的方程为.……4分（2）由题意可知圆心到直线的距离为，……6分，解得.……8分（3）当直线的斜率存在时，设直线的方程为，，，，由得，……10分，……12分若轴平分，则，即，即，即，即，即，……14分当时，上式恒成立，即；……15分当直线的斜率不存在或斜率为0时，易知满足题意；综上，当点的坐标为时，轴平分.……17分19.【答案】（1），，（2）（3）证明见解析【详解】（1）因为以为“稳点”的—阿波罗尼斯圆的方程为，设是该圆上任意一点，则，……1分所以，……3分∴PD 'Q 13PQ PD '=CQ BCD '224x y +=k =()0,4N ()(),04C a a >-422a +=0a =8a =-C 224x y +=C 2y kx =-2sin 301︒=1=k =AB AB ()10y kx k =+≠()()0,0N t t >()11,A x y ()22,B x y 224,1x y y kx ⎧+=⎨=+⎩()221230k x kx ++-=12221k x x k -∴+=+12231x x k -=+y ANB ∠AN BN k k =-12120y t y t x x --+=1212110kx t kx tx x +-+-+=()()1212210kx x t x x +-+=()()22126011t k k k k -⨯--+=++40k kt -+=4t =()0,4N AB ()0,4N N ()0,4y ANB ∠2a =0b =λ=[]1,3(),A B λ221240x y x +-+=(),P x y 22124x y x +=-()()()()22222222222222244162212224PA x y x y x x x y ax by a b a x by a bx a y b PB+++++===+--++--+-+-+-因为为常数，所以，，且，……5分所以，，.……6分（2）解：由（1）知，，设，由，所以，……7分，整理得，即，所以，……9分，……10分由，得，即的取值范围是.……12分（3）证明：若，则以—阿波罗尼斯圆的方程为，整理得，该圆关于点对称.……15分由点，关于点对称及，可得—卡西尼卵形线关于点对称，令，解得，与矛盾，所以不存在实数，，使得以—阿波罗尼斯圆与—卡西尼卵形线都关于同一个点对称……17分22PA PB2λ2240a b -+=0b =2a ≠-2a =0b =λ==()2,0A -()2,0B (),Q x y 5QA QB ⋅=5=()222242516x y x ++=+2240y x =--≥42890x x --≤()()22190x x +-≤209x ≤≤OQ ==209x ≤≤13OQ ≤≤OQ []1,30b =(),A B ()()222222x y x a y ⎡⎤++=-+⎣⎦()22244240x y a x a +-++-=()22,0a +()2,0A -(),0B a 2,02a -⎛⎫⎪⎝⎭QA QB μ⋅=μ2,02a -⎛⎫⎪⎝⎭2222a a -+=2a =-2a ≠=-a μ(),A B μ。
2024-2025学年黑龙江省哈尔滨市高二上学期11月期中考试数学检测试题(含解析)
2024-2025学年黑龙江省哈尔滨市高二上学期11月期中考试数学检测试题一、单选题（本大题共10小题）1．直三棱柱中，若，则（ ）111ABC A B C -1,,CA a CB b CC c === 1A B =A ．B ．a b c+-r r ra b c-+r r r C ．D ．a b c -++ a b c-+- 2．已知点，，若直线的斜率为，则（ ）()1,0A (),B n m AB 21n m -=A ．B ．C ．D ．22-1212-3．已知，则（ ）()()1,5,1,3,2,5a b =-=-a b -= A ．B ．C ．D ．()4,3,6--()4,3,6--()4,3,6-()4,3,64．已知焦点在轴上的椭圆的焦距为6，则实数等于（ ）x 2213x y m +=mA ．B ．C ．12D ．3421412-5．已知正方体的棱长为1，则（ ）1111ABCD A B C D -A ．B ．C ．D ．11ACB D ⊥1AC BC⊥1B D BC⊥1B D AC^6．已知圆，圆，则这两圆的位置关系为（ 22:(2)(4)25E x y -+-=22:(2)(2)1F x y -+-=）A ．内含B ．相切C ．相交D ．外离7．设直线的方向向量为，平面的法向量为，若，则（ ）l a αb0a b ⋅= A ．B ．C ．D ．或//l αl α⊂l α⊥l α⊂//l α8．与平行，则（ ）1:10l ax y -+=2:2410l x y +-==aA ．B ．C ．D ．21212-2-9．经过点，斜率为的直线方程为（ ）(3,1)12A ．B ．210x y --=250x y +-=C ．D ．250x y --=270x y +-=10．已知，则该圆的圆心坐标和半径分别为（ ）221:202C x y x y ++-+=A ．，B ．，1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭()1,2-C ．，D ．，1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭()1,2-二、多选题（本大题共2小题）11．下列结论错误的是（ ）A ．过点，的直线的倾斜角为()1,3A ()3,1B -30︒B ．若直线与直线平行，则2360x y -+=20ax y ++=23a =-C ．直线与直线之间的距离是240x y +-=2410x y ++=D ．已知，，点在轴上，则的最小值是5()2,3A ()1,1B -P x PA PB+12．以A （1，1），B (3，-5)两点的线段为直径的圆，则下列结论正确的是（）A ．圆心的坐标为（2，2）B ．圆心的坐标为（2，-2）C ．圆心的坐标为（-2，2）D ．圆的方程是()222)210x y ++-=（E ．圆的方程是22(2)(2)10x y -++=三、填空题（本大题共4小题）13．已知平面的法向量是，平面的法向量是，若，则的α()2,3,1-β()4,,2λ-//αβλ值是.14．直线与圆的位置关系是.34120x y ++=()()22119-++=x y 15．三条直线与相交于一点，则的值为.280,4310ax y x y +-=+=210x y -=a16．在空间直角坐标系中，直线的一个方向向量为，平面的一个法向l ()1,0,3m =-α量为，则直线与平面所成的角为.()2n =l α四、解答题（本大题共3小题）17．求满足下列条件的直线方程（要求把直线的方程化为一般式）：(1)已知，，，求的边上的中线所在的直线方程.(1,2)A (1,4)B -(5,2)C ABC V AB (2)直线经过点，倾斜角为直线的倾斜角的2倍，求的方程.l (2,1)B --12y x=l 18．如图，在棱长为2的正方体中，分别是的中点，G 在棱CD 上，且,E F 1,DD DB ，H 是的中点．建立适当的空间直角坐标系，解决下列问题：13CG CD=1C G(1)求证：；1EF B C ⊥(2)求异面直线EF 与所成角的余弦值.1C G 19．已知圆C 经过坐标原点O 和点（4，0），且圆心在x 轴上(1)求圆C 的方程；(2)已知直线l ：34110x y +-=与圆C 相交于A 、B 两点，求所得弦长的值．AB答案1．【正确答案】D【详解】.()11111A A B B a b B A B cCC C CB =+=-+=-+--+ 故选：D ．2．【正确答案】C【详解】若直线的斜率为，则，AB 221mn =-所以，211n m -=故选：C.3．【正确答案】C【详解】向量，则.()()1,5,1,3,2,5a b =-=- (4,3,6)a b -=- 故选：C4．【正确答案】C【详解】由题意知，，3,3m a b c >==又，所以，222a b c =+3912m =+=即实数的值为12.m 故选：C5．【正确答案】D 【详解】以为原点，为单位正交基底建立空间直角坐标系，D {}1,,DA DC DD 则，，，，，，()0,0,0D A (1,0,0)1(1,0,1)A ()1,1,0B ()11,1,1B ()0,1,0C 所以，，，．()11,1,1A C =-- ()11,1,1B D =--- ()1,0,0BC =- ()1,1,0AC =-因为，所以．111111,1,1,0AC B D AC BC BC B D AC B D ⋅=⋅==⋅=⋅ 1B D AC ^故选：D.6．【正确答案】A【详解】圆的圆心为，半径；22:(2)(4)25E x y -+-=E (2,4)15r =圆的圆心为，半径，22:(2)(2)1F x y -+-=F (2,2)11r =，故，所以两圆内含；2=12EF r r <-故选：A7．【正确答案】D【详解】∵直线的方向向量为，平面的法向量为且，即，l a αb0a b ⋅= a b ⊥ ∴或.l α⊂//l α故选：D8．【正确答案】B【详解】由与平行，得，所以.1:10l ax y -+=2:2410l x y +-=11241a -=≠-12a =-故选：B9．【正确答案】A【详解】经过点，斜率为的直线方程为，即.(3,1)1211(3)2y x -=-210x y --=故选：A.10．【正确答案】A【详解】的标准方程为，故所求分别为221:202C x y x y ++-+= ()2213124x y ⎛⎫++-= ⎪⎝⎭，1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭故选：A.11．【正确答案】AC 【详解】对于A ，，即，故A 错误；131tan 312AB k α-===--30α≠︒对于B ，直线与直线平行，所以，解得，故B 2360x y -+=20ax y ++=123a =-23a =-正确；对于C ，直线与直线（即）之间的距离为240x y +-=2410x y ++=1202x y ++=C 错误；d 对于D ，已知，，点在轴上，如图()2,3A ()1,1B -P x取关于轴的对称点，连接交轴于点，此时()1,1B -x ()1,1B '--AB 'x P，5=所以的最小值是5，故D 正确；PA PB+故选：AC.12．【正确答案】BE 【详解】AB 的中点坐标为，则圆心的坐标为()2,2-()2,2-=r =所以圆的方程是22(2)(2)10x y -++=故选：BE13．【正确答案】6【详解】∵，∴的法向量与的法向量也互相平行.//αβαβ∴，∴.23142λ-==-6λ=故6.14．【正确答案】相交【详解】圆的圆心为，半径为，()()22119x y -++=()1,1-3因为圆心到直线，()1,1-34120x y ++=1135<所以直线与圆相交.34120x y ++=()()22119x y -++=故相交15．【正确答案】3【详解】由，即三条直线交于，431042102x y x x y y +==⎧⎧⇒⎨⎨-==-⎩⎩(4,2)-代入，有.280ax y +-=44803a a --=⇒=故316．【正确答案】π6【分析】应用向量夹角的坐标表示求线面角的正弦值，即可得其大小.【详解】设直线与平面所成的角为，l απ20θθ⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭则，所以.1sin cos ,2m n m n m n θ⋅====π6θ=故π617．【正确答案】(1)x +5y ﹣15＝0(2)4x ﹣3y +5＝0【详解】（1）因为，则的中点，(1,2),(1,4)A B -AB (0,3)D 因为的边上的中线过点，ABC V AB (5,2),(0,3)C D 所以的方程为，即，CD 233050y x --=--（）5150x y +-=故的边上的中线所在的直线方程为；ABC V AB 5150x y +-=（2）设直线的倾斜角为， 则，则所求直线的倾斜角为，12y x=απ0,4α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭2α因为，所以，1tan 2α=22tan 4tan 21tan 3ααα==-又直线经过点，故所求直线方程为，即4x ﹣3y+5＝0；(2,1)B --4123y x +=+（）18．【正确答案】(1)证明见解析【详解】（1）证明：如图，以D 为原点，以射线DA 、DC 、分别为x 轴、y 轴、1DD z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系，D xyz -则，，，，，()0,0,0D E (0,0,1)()1,1,0F ()0,2,0C ()10,2,2C ，，()12,2,2B 40,,03G ⎛⎫ ⎪⎝⎭所以，，()1,1,1EF =- ()12,0,2B C =--所以，()()()()()11,1,12,0,21210120EF B C ⋅=-⋅--=⨯-+⨯+-⨯-=所以，故．1EF B C ⊥1EF B C ⊥（2）因为，所以120,,23C G ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭1C G =因为，EF =()12241,1,10,,22333EF C G ⎛⎫⋅=-⋅--=-+=⎪⎝⎭所以．1114cos ,3EF C G EF C G EF C G ⋅=====19．【正确答案】(1)()2224x y -+=(2)【分析】（1）求出圆心和半径，写出圆的方程；（2）求出圆心到直线距离，进而利用垂径定理求出弦长.(1)由题意可得，圆心为(2，0)，半径为2．则圆的方程为()2224x y -+=；(2)由（1）可知：圆C 半径为2r =，设圆心（2，0）到l 的距离为d ，则61115d -==，由垂径定理得：AB ==。
山东省 2023~2024学年第一学期期中高二数学试题[含答案]
![山东省 2023~2024学年第一学期期中高二数学试题[含答案]](https://img.taocdn.com/s3/m/4758bd323d1ec5da50e2524de518964bcf84d2e6.png)
42
2 y
22
4
，化
为 (x 2)2 ( y 1)2 1，故选 A.
考点：1、圆的标准方程；2、“逆代法”求轨迹方程.
【方法点晴】本题主要考查圆的标准方程、“逆代法”求轨迹方程，属于难题.求轨迹方程的常见方法有:①直
接法，设出动点的坐标
x,
y
，根据题意列出关于
x,
y
的等式即可；②定义法，根据题意动点符合已知曲
y 1 mx 2m R
5. 在平面直角坐标系中，动圆
与直线
相切，则面积最
大的圆的标准方程为（ ）
x 12 y 12 4
A.
x 12 y 12 5
B.
x 12 y 12 6
C. 【答案】B
x 12 y 12 8
D.
【解析】
【分析】据题意分析可知直线经过定点 P ；圆的圆心到直线距离的最大时，圆的半径最大，即可得到面积
当直线 x ay 1 0 与直线 ax y 1 0 相互垂直时， a 1 不一定成立，所以“ a 1 ”是“直线
x ay 1 0 与直线 ax y 1 0 相互垂直”的非必要条件.
所以“ a 1 ”是“直线 x ay 1 0 与直线 ax y 1 0 相互垂直”的充分非必要条件.
2023~2024 学年第一学期期中高二数学试题
（选择性必修一检测） 2023.11
说明：本试卷满分 150 分，分为第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分，第 I 卷为 第 1 页至第 3 页，第 II 卷为第 3 页至第 4 页.试题答案请用 2B 铅笔或 0.5mm 签字笔填涂到 答题卡规定位置上，书写在试题上的答案无效.考试时间 120 分钟.
2023-2024学年湖北省部分省级示范高中高二(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年湖北省部分省级示范高中高二（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．已知点A （2，0），B （0，4），若过P （﹣6，﹣8）的直线l 与线段AB 相交，则实数k 的取值范围为（ ） A ．k ≤1B ．k ≥2C ．k ≥2或k ≤1D ．1≤k ≤22．圆 C 1：（x +2）2+（y ﹣2）2＝4和圆C 2：（x ﹣2）2+（y ﹣5）2＝16的位置关系是（ ） A ．外离B ．相交C ．内切D ．外切3．若圆C 经过点A （2，5），B （4，3），且圆心在直线l ：3x ﹣y ﹣3＝0 上，则圆C 的方程为（ ） A ．（x ﹣2）2+（y ﹣3）2＝4 B ．（x ﹣2）2+（y ﹣3）2＝8 C ．（x ﹣3）2+（y ﹣6）2＝2D ．（x ﹣3）2+（y ﹣6）2＝104．已知直线ax +3y +2a ＝0和2x +（a +1）y ﹣2＝0平行，则实数a 的值等于（ ） A ．a ＝2或a ＝﹣3B ．a ＝2C ．a ＝﹣3D ．a ＝﹣2或a ＝35．如图，在平行六面体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，M 为A 1C 1，B 1D 1的交点．若AB →=a →，AD →=b →，AA 1→=c →，则向量BM →=（ ）A ．−12a →+12b →+c →B ．12a →+12b →+c →C ．−12a →−12b →+c →D ．12a →−12b →+c →6．若椭圆x 29+y 24=1的弦AB 被点P （1，1）平分，则AB 所在直线的方程为（ ）A ．4x +9y ﹣13＝0B ．9x +4y ﹣13＝0C ．x +2y ﹣3＝0D ．x +3y ﹣4＝07．若直线l ：kx ﹣y ﹣2＝0与曲线C ：√1−(y −1)2=x ﹣1有两个不同的交点，则实数k 的取值范围是（ ） A ．k ＞43B ．43＜k ≤2C ．43＜k ≤2或−2≤k ＜−43D ．43＜k ≤48．吹奏乐器“埙”（如图1）在古代通常是用陶土烧制的，一种埙的外轮廓的上部是半椭圆，下部是半圆．半椭圆y 2a 2+x 2b 2=1（y ≥0，a ＞b ＞0且为常数）和半圆x 2+y 2＝b 2（y ＜0）组成的曲线C 如图2所示，曲线C 交x 轴的负半轴于点A ，交y 轴的正半轴于点G ，点M 是半圆上任意一点，当点M 的坐标为(√22，−12)时，△AGM 的面积最大，则半椭圆的方程是（ ）A ．4x 23+y 22=1(y ≥0)B ．16x 29+y 23=1(y ≥0)C ．2x 23+4y 23=1(y ≥0)D ．4x 23+2y 23=1(y ≥0)二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有2个或2个以上选项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.） 9．下面结论正确的是（ ）A ．若事件A 与B 是互斥事件，则A 与B 也是互斥事件 B ．若事件A 与B 是相互独立事件，则A 与B 也是相互独立事件C ．若P （A ）＝0.6，P （B ）＝0.2，A 与B 相互独立，那么P （A +B ）＝0.8D ．若P （A ）＝0.8，P （B ）＝0.7，A 与B 相互独立，那么P(AB)=0.2410．已知直线l ：kx ﹣y ﹣k ＝0，圆M ：x 2+y 2+Dx +Ey +1＝0的圆心坐标为（2，1），则下列说法正确的是（ ） A ．直线l 恒过点（0，1）B ．D ＝﹣4，E ＝﹣2C ．直线l 被圆M 截得的最短弦长为2√2D ．当k ＝1时，圆M 上存在无数对点关于直线l 对称 11．设椭圆x 29+y 23=1的右焦点为F ，直线y =m(0＜m ＜√3)与椭圆交于A ，B 两点，则（ ） A ．|AF |+|BF |＝6B ．△ABF 的周长的取值范围是[6，12]C ．当m ＝1时，△ABF 的面积为√6D ．当m =√32时，△ABF 为直角三角形12．已知正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为2，点P 为平面ABCD 内一动点，则下列说法正确的是（ ） A ．若点P 在棱AD 上运动，则A 1P +PC 的最小值为2+2√2B ．若点P 是棱AD 的中点，则平面PBC 1截正方体所得截面的周长为2√5+3√2C ．若点P 满足PD 1⊥DC 1，则动点P 的轨迹是一条直线 D ．若点P 在直线AC 上运动，则P 到棱BC 1的最小距离为2√33三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在答题卡上相应位置的横线上.） 13．若以连续掷两次骰子分别得到的点数m 、n 作为点P 的坐标，则点P 落在圆x 2+y 2＝16内的概率是 ．14．已知两点A （﹣3，﹣4），B （6，3）到直线l ：ax +y +1＝0的距离相等，则实数a 的值等于 ． 15．古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现了平面内到两个定点A ，B 的距离之比为定值λ（λ≠1）的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”．在平面直角坐标系中，已知A （1，0），B （4，0），若动点P 满足|PA||PB|=12，设点P 的轨迹为C ，过点（1，2）作直线l ，C 上恰有三个点到直线l 的距离为1，则满足条件的一条直线l 的方程为 ． 16．已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)，F 1，F 2分别是椭圆的左、右焦点，A 是椭圆的下顶点，直线AF 2交椭圆于另一点P ，若|PF 1|＝|P A |，则椭圆的离心率为 ．四、解答题（本大题共6小题，第17小题10分，其余各小题每题12分，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17．（10分）甲、乙两名魔方爱好者在30秒内复原魔方的概率分别是0.8和0.6．如果在30秒内将魔方复原称为“复原成功”，且每次复原成功与否相互之间没有影响，求：（1）甲复原三次，第三次才成功的概率；（2）甲、乙两人在第一次复原中至少有一人成功的概率． 18．（12分）已知△ABC 中，A （﹣2，1），B （4，3）．（1）若C （3，﹣2），求BC 边上的高AD 所在直线的一般式方程； （2）若点M （3，1）为边AC 的中点，求BC 边所在直线的一般式方程．19．（12分）如图，在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB ＝3，AD ＝AA 1＝2，点E 在AB 上，且AE ＝1． （1）求直线A 1E 与BC 1所成角的余弦值； （2）求点B 到平面A 1EC 的距离．20．（12分）已知点A （1，2），圆C ：x 2+y 2+2mx +2y +2＝0． （1）若过点A 可以作两条圆的切线，求m 的取值范围；（2）当m ＝﹣2时，过直线2x ﹣y +3＝0上一点P 作圆的两条切线PM 、PN ，求四边形PMCN 面积的最小值．21．（12分）已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a ＞b ＞0)的右焦点为F(√3，0)，长半轴长与短半轴长的比值为2．（1）求椭圆C 的方程；（2）设经过点A （1，0）的直线l 与椭圆C 相交于不同的两点M ，N ．若点B （0，1）在以线段MN 为直径的圆上，求直线l 的方程．22．（12分）如图1，已知ABFE 是直角梯形，EF ∥AB ，∠ABF ＝90°，∠BAE ＝60°，C 、D 分别为BF 、AE 的中点，AB ＝5，EF ＝1，将直角梯形ABFE 沿CD 翻折，使得二面角F ﹣DC ﹣B 的大小为60°，如图2所示，设N 为BC 的中点．（1）证明：FN ⊥AD ；（2）若M 为AE 上一点，且AMAE =λ，则当λ为何值时，直线BM 与平面ADE 所成角的正弦值为5√714．2023-2024学年湖北省部分省级示范高中高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．已知点A （2，0），B （0，4），若过P （﹣6，﹣8）的直线l 与线段AB 相交，则实数k 的取值范围为（ ） A ．k ≤1B ．k ≥2C ．k ≥2或k ≤1D ．1≤k ≤2解：过P （﹣6，﹣8）的直线l 与线段AB 相交，如图所示：可得k AP ≤k ≤k PB ， 即0−(−8)2−(−6)≤k ≤4−(−8)0−(−6)，即k ∈[1，2]．故选：D ．2．圆 C 1：（x +2）2+（y ﹣2）2＝4和圆C 2：（x ﹣2）2+（y ﹣5）2＝16的位置关系是（ ） A ．外离B ．相交C ．内切D ．外切解：两个圆的圆心分别为 C 1（﹣2，2）、C 2：（2，5），半径分别为2、4，两圆的圆心距 C 1C 2=√(2+2)2+(5−2)2=5，大于半径之差而小于半径之和，故两个圆相交， 故选：B ．3．若圆C 经过点A （2，5），B （4，3），且圆心在直线l ：3x ﹣y ﹣3＝0 上，则圆C 的方程为（ ） A ．（x ﹣2）2+（y ﹣3）2＝4 B ．（x ﹣2）2+（y ﹣3）2＝8 C ．（x ﹣3）2+（y ﹣6）2＝2D ．（x ﹣3）2+（y ﹣6）2＝10解：圆C 经过点A （2，5），B （4，3），可得线段AB 的中点为（3，4），又 k AB =5−32−4=−1，所以线段AB 的中垂线的方程为y ﹣4＝x ﹣3，即x ﹣y +1＝0． 由{x −y +1=03x −y −3=0，解得{x =2y =3，即C （2，3），圆C 的半径 r =√(2−2)2+(5−3)2=2， 所以圆C 的方程为 （x ﹣2）2+（y ﹣3）2＝4． 故选：A ．4．已知直线ax +3y +2a ＝0和2x +（a +1）y ﹣2＝0平行，则实数a 的值等于（ ） A ．a ＝2或a ＝﹣3B ．a ＝2C ．a ＝﹣3D ．a ＝﹣2或a ＝3解：由直线ax +3y +2a ＝0和2x +（a +1）y ﹣2＝0平行， 可得{a(a +1)=2×33×(−2)≠2a(a +1)，解得a ＝2或a ＝﹣3．故选：A ．5．如图，在平行六面体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，M 为A 1C 1，B 1D 1的交点．若AB →=a →，AD →=b →，AA 1→=c →，则向量BM →=（ ）A ．−12a →+12b →+c →B ．12a →+12b →+c →C ．−12a →−12b →+c →D ．12a →−12b →+c →解：∵在平行六面体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，M 为A 1C 1，B 1D 1的交点． AB →=a →，AD →=b →，AA 1→=c →，∴向量BM →=BB 1→+12B 1D 1→=BB 1→+12(BA →+AD →) =−12a →+12b →+c →．故选：A ． 6．若椭圆x 29+y 24=1的弦AB 被点P （1，1）平分，则AB 所在直线的方程为（ ）A ．4x +9y ﹣13＝0B ．9x +4y ﹣13＝0C ．x +2y ﹣3＝0D ．x +3y ﹣4＝0解：设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则{x 129+y 124=1x 229+y 224=1，所以x 12−x 229+y 12−y 224=0，整理得y 1−y 2x 1−x 2=−4(x 1+x 2)9(y 1+y 2)，因为P （1，1）为弦AB 的中点，所以x 1+x 2＝2，y 1+y 2＝2， 所以k AB =y 1−y2x 1−x 2=−4(x 1+x 2)9(y 1+y 2)=−49，所以弦AB 所在直线的方程为y −1=−49(x −1)，即4x +9y ﹣13＝0． 故选：A ．7．若直线l ：kx ﹣y ﹣2＝0与曲线C ：√1−(y −1)2=x ﹣1有两个不同的交点，则实数k 的取值范围是（ ） A ．k ＞43B ．43＜k ≤2C ．43＜k ≤2或−2≤k ＜−43D ．43＜k ≤4解：直线l ：kx ﹣y ﹣2＝0恒过定点（0，﹣2），∵√1−(y −1)2=x −1，得到（x ﹣1）2+（y ﹣1）2＝1（x ≥1），∴曲线C 表示以点（1，1）为圆心，半径为1，且位于直线x ＝1右侧的半圆（包括点（1，2），（1，0）），如下图所示：当直线l 经过点（1，0）时，l 与曲线C 有两个不同的交点，此时k ＝2； 当l 与半圆相切时，则由题可得√k 2+1=1，解得k =43，由图可知，当43＜k ≤2时，l 与曲线C 有两个不同的交点． 故选：D ．8．吹奏乐器“埙”（如图1）在古代通常是用陶土烧制的，一种埙的外轮廓的上部是半椭圆，下部是半圆．半椭圆y 2a 2+x 2b 2=1（y ≥0，a ＞b ＞0且为常数）和半圆x 2+y 2＝b 2（y ＜0）组成的曲线C 如图2所示，曲线C 交x 轴的负半轴于点A ，交y 轴的正半轴于点G ，点M 是半圆上任意一点，当点M 的坐标为(√22，−12)时，△AGM 的面积最大，则半椭圆的方程是（ ）A ．4x 23+y 22=1(y ≥0)B ．16x 29+y 23=1(y ≥0)C ．2x 23+4y 23=1(y ≥0)D ．4x 23+2y 23=1(y ≥0)解：由点M(√22，−12)在半圆上，所以b =√32，G （0，a ），A （﹣b ，0）， 要使△AGM 的面积最大，可平行移动AG ，当AG 与半圆相切于M(√22，−12)时，M 到直线AG 的距离最大， 此时OM ⊥AG ，即k OM •k AG ＝﹣1； 又k OM =−12√22=−√22，k AG =a b ，∴−√22⋅a b =−1，∴a =√2b =√62，所以半椭圆的方程为4x 23+2y 23=1(y ≥0)．故选：D ．二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有2个或2个以上选项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.） 9．下面结论正确的是（ ）A ．若事件A 与B 是互斥事件，则A 与B 也是互斥事件 B ．若事件A 与B 是相互独立事件，则A 与B 也是相互独立事件C ．若P （A ）＝0.6，P （B ）＝0.2，A 与B 相互独立，那么P （A +B ）＝0.8D ．若P （A ）＝0.8，P （B ）＝0.7，A 与B 相互独立，那么P(AB)=0.24解：A 中，由互斥事件的定义可知，事件A 、B 互斥，则A 与B 也是互斥事件不成立， 比如事件A 、B 是对立事件，则A 与B 是同一事件，显然不互斥，故A 错误； B 中，若A 与B 相互独立，则A 与B ，B 与A ，A 与B 都是相互独立事件，故B 正确；C 中，如果A 与B 相互独立，则P （A +B ）＝P （A ）+P （B ）﹣P （AB ）＝0.8﹣0.12＝0.68，故C 错误；D 中，如果A 与B 相互独立，则P(AB)=P(A)P(B)=P(A)(1−P(B))=0.8×(1−0.7)=0.24，故D 正确． 故选：BD ．10．已知直线l ：kx ﹣y ﹣k ＝0，圆M ：x 2+y 2+Dx +Ey +1＝0的圆心坐标为（2，1），则下列说法正确的是（ ） A ．直线l 恒过点（0，1） B ．D ＝﹣4，E ＝﹣2C ．直线l 被圆M 截得的最短弦长为2√2D ．当k ＝1时，圆M 上存在无数对点关于直线l 对称解：对于A ，直线l ：kx ﹣y ﹣k ＝0⇒k （x ﹣1）﹣y ＝0，恒过点（1，0），所以A 不正确；对于B ，圆M ：x 2+y 2+Dx +Ey +1＝0的圆心坐标为(−D2，−E2)，所以D ＝﹣4，E ＝﹣2，所以B 正确； 对于C ，圆M ：x 2+y 2﹣4x ﹣2y +1＝0⇒（x ﹣2）2+（y ﹣1）2＝4的圆心坐标为（2，1），圆的半径为2． 直线l ：kx ﹣y ﹣k ＝0，恒过点（1，0），圆的圆心到定点的距离为：√12+12=√2＜2，直线与圆相交， 直线l 被圆M 截得的最短弦长为2√4−2=2√2，所以C 正确；对于D ，当k ＝1时，直线方程为：x ﹣y ﹣1＝0，经过圆的圆心，所以圆M 上存在无数对点关于直线l 对称，所以D 正确． 故选：BCD ． 11．设椭圆x 29+y 23=1的右焦点为F ，直线y =m(0＜m ＜√3)与椭圆交于A ，B 两点，则（ ） A ．|AF |+|BF |＝6B ．△ABF 的周长的取值范围是[6，12]C ．当m ＝1时，△ABF 的面积为√6D ．当m =√32时，△ABF 为直角三角形解：∵椭圆方程为x 29+y 23=1，∴a ＝3，b =√3，c =√6，设椭圆的左焦点为F '，则|AF '|＝|BF |，∴|AF |+|BF |＝|AF |+|AF '|＝2a ＝6，∴A 选项正确； ∵△ABF 的周长为|AB |+|AF |+|BF |，又|AF |+|BF |＝6，易知|AB |的范围是（0，6）， ∴△ABF 的周长的范围是（6，12），∴B 选项错误；将y ＝1与椭圆方程联立，解得A(−√6，1)，B(√6，1)，∴S △ABF =12×2√6×1=√6，∴C 选项正确；将y =√32与椭圆方程联立，可解得A(−3√32，√32)，B(3√32，√32)，又易知F(√6，0)， ∴AF →⋅BF →=(√6+3√32)(√6−3√32)+(√32)2=0，∴△ABF 为直角三角形，∴D 选项正确． 故选：ACD ．12．已知正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为2，点P 为平面ABCD 内一动点，则下列说法正确的是（ ） A ．若点P 在棱AD 上运动，则A 1P +PC 的最小值为2+2√2B ．若点P 是棱AD 的中点，则平面PBC 1截正方体所得截面的周长为2√5+3√2C ．若点P 满足PD 1⊥DC 1，则动点P 的轨迹是一条直线D ．若点P 在直线AC 上运动，则P 到棱BC 1的最小距离为2√33解：对于A ：如图将平面ABCD 展开与平面ADD 1A 1处于一个平面，连接A 1C 与AD 交于点P ， 此时A 1P +PC 取得最小值，即(A 1P +PC)min =√22+42=2√5，故A 错误；对于B ：如图取DD 1的中点E ，连接BP 、PE 、C 1E 、AD 1， 因为点P 是棱AD 的中点，所以PE ∥AD 1且PE =12AD 1，又AB ∥C 1D 1且AB ＝C 1D 1，所以四边形ABC 1D 1为平行四边形，所以AD 1∥BC 1， 所以PE ∥BC 1，所以四边形EPBC 1即为平面PBC 1截正方体所得截面， 又BC 1=2√2，PE =12AD 1=√2，BP =EC 1=√12+22=√5， 所以截面周长为3√2+2√5，故B 正确；对于C ：如图，DC 1⊥D 1C ，BC ⊥平面DCC 1D 1，DC 1⊂平面DCC 1D 1， 所以DC 1⊥BC ，又D 1C ∩BC ＝C ，D 1C ，BC ⊂平面BCD 1A 1， 所以DC 1⊥平面BCD 1A 1，因为平面ABCD ∩平面BCD 1A 1＝BC ， D 1∈平面BCD 1A 1，P ∈平面ABCD ，又PD 1⊥DC 1，所以P 在直线BC 上，即动点P 的轨迹是一条直线，故C 正确；对于D ：如图建立空间直角坐标系，则B （2，2，0），C 1（0，2，2），设P （a ，2﹣a ，0）（a ∈[0，2]）， 所以BC 1→=(−2，0，2)，BP →=(a −2，−a ，0)， 所以P 到棱BC 1的距离d =√|BP →|2−(BC 1→⋅BP →|BC 1→|)2=√32a 2−2a +2=√32(a −23)2+43，所以当a =23时d min =√43=2√33，故D 正确．故选：BCD ．三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在答题卡上相应位置的横线上.） 13．若以连续掷两次骰子分别得到的点数m 、n 作为点P 的坐标，则点P 落在圆x 2+y 2＝16内的概率是29．解：由题意知，本题是一个古典概型，试验发生包含的事件是连续掷两次骰子分别得到的点数m 、n 作为点P 的坐标，共有6×6＝36种结果， 而满足条件的事件是点P 落在圆x 2+y 2＝16内，列举出落在圆内的情况：（1，1）（1，2）（1，3） （2，1）（2，2）（2，3）（3，1）（3，2），共有8种结果， 根据古典概型概率公式得到P =836=29， 故答案为：2914．已知两点A （﹣3，﹣4），B （6，3）到直线l ：ax +y +1＝0的距离相等，则实数a 的值等于 −79或−13． 解：∵两点A （﹣3，﹣4），B （6，3）到直线l ：ax +y +1＝0的距离相等， ∴√a 2+1=√a 2+1，化为|3a +3|＝|6a +4|．∴6a +4＝±（3a +3），解得a =−79或−13． 故答案为：a =−79或−13．15．古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现了平面内到两个定点A ，B 的距离之比为定值λ（λ≠1）的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”．在平面直角坐标系中，已知A （1，0），B （4，0），若动点P 满足|PA||PB|=12，设点P 的轨迹为C ，过点（1，2）作直线l ，C 上恰有三个点到直线l 的距离为1，则满足条件的一条直线l 的方程为 x ＝1或3x ﹣4y +5＝0（写出一条即可） ． 解：因为A （1，0），B （4，0），点P 满足|PA||PB|=12，设P （x ，y ），则2222=12，化简得x 2+y 2＝4，因为圆C 上恰有三个点到直线l 的距离为1，所以圆心到直线的距离为1． 若直线l 的斜率不存在，直线l 的方程为x ＝1；若直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ﹣2＝k （x ﹣1），即kx ﹣y ﹣k +2＝0， d =|−k+2|√k +1=1，解得k =34，直线l 的方程为：3x ﹣4y +5＝0．故答案为：x ＝1或3x ﹣4y +5＝0（写出一条即可）．16．已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)，F 1，F 2分别是椭圆的左、右焦点，A 是椭圆的下顶点，直线AF 2交椭圆于另一点P ，若|PF 1|＝|P A |，则椭圆的离心率为 √33解：如图所示，∵点P 在椭圆上，∴|PF 1|+|PF 2|＝2a ， ∵点A 是椭圆的下顶点，∴|AF 1|＝|AF 2|＝a ，又∵|PF 1|＝|P A |＝|PF 2|+|AF 2|＝|PF 2|+a ＝2a ﹣|PF 1|+a ＝3a ﹣|PF 1|， ∴|PF 1|=3a 2，|PF 2|=12a ， 在△PF 1A 中，|PF 1|=3a 2，|P A |=3a2，|AF 1|＝a ， 由余弦定理可得：cos ∠F 1AP =|AF 1|2+|PA|2−|PF 1|22|AF 1||AP|=13，∴sin 2∠F 1AO =1−cos∠F 1AP 2=13， ∴sin ∠F 1AO =√33，又∵sin ∠F 1AO =ca ， ∴离心率e =ca =√33， 故答案为：√33．四、解答题（本大题共6小题，第17小题10分，其余各小题每题12分，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17．（10分）甲、乙两名魔方爱好者在30秒内复原魔方的概率分别是0.8和0.6．如果在30秒内将魔方复原称为“复原成功”，且每次复原成功与否相互之间没有影响，求：（1）甲复原三次，第三次才成功的概率；（2）甲、乙两人在第一次复原中至少有一人成功的概率．解：记“甲第i 次复原成功”为事件A i ，“乙第i 次复原成功”为事件B i ， 依题意，P （A i ）＝0.8，P （B i ）＝0.6．（1）“甲第三次才成功”为事件A 1A 2A 3，且三次复原过程相互独立， 所以，P(A 1A 2A 3)=P(A 1)P(A 2)P(A 3)=0.2×0.2×0.8=0.032． （2）“甲、乙两人在第一次复原中至少有一人成功”为事件C ． 所以P(C)=1−P(A 1⋅B 1)=1−P(A 1)⋅P(B 1)=1−0.2×0.4=0.92． 18．（12分）已知△ABC 中，A （﹣2，1），B （4，3）．（1）若C （3，﹣2），求BC 边上的高AD 所在直线的一般式方程； （2）若点M （3，1）为边AC 的中点，求BC 边所在直线的一般式方程．解：（1）因为B （4，3），C （3，﹣2）， 所以k BC =−2−33−4=5， 因为AD 是BC 边上的高， 所以k AD ⋅k BC =−1⇒k AD =−15，所以高AD 所在直线的方程为y −1=−15(x +2)⇒x +5y −3=0； （2）因为点M （3，1）为边AC 的中点，所以{3=−2+C x21=1+C y 2⇒C(8，1)，因此BC 边所在直线的方程为y−33−1=x−44−8⇒x +2y −10=0．19．（12分）如图，在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB ＝3，AD ＝AA 1＝2，点E 在AB 上，且AE ＝1． （1）求直线A 1E 与BC 1所成角的余弦值； （2）求点B 到平面A 1EC 的距离．解：（1）由题意，建立如图所示空间直角坐标系，A 1(2，0，2)，E(2，1，0)，A 1E →=(0，1，−2)，B(2，3，0)，C 1(0，3，2)，BC 1→=(−2，0，2)， 设直线A 1E 与直线BC 1所成角为α，则cosα=|A 1E →⋅BC 1→|A 1E →|⋅|BC 1→||=5×22=√105．（2）由题意C(0，3，0)，EC →=(−2，2，0)， 设平面A 1EC 的法向量为n →=(x ，y ，z)，则{n →⋅A 1E →=y −2z =0n →⋅EC →=−2x +2y =0，取n →=(2，2，1)，又BE →=(0，−2，0)，所以B 到平面A 1EC 的距离为|n →⋅BE →|n →||=|−43|=43．20．（12分）已知点A （1，2），圆C ：x 2+y 2+2mx +2y +2＝0． （1）若过点A 可以作两条圆的切线，求m 的取值范围；（2）当m ＝﹣2时，过直线2x ﹣y +3＝0上一点P 作圆的两条切线PM 、PN ，求四边形PMCN 面积的最小值．解：（1）由题意得A （1，2）在圆外， 则1+4+2m +6＞0，即m ＞−112， 又4m 2+4﹣8＞0，即m ＞1或m ＜﹣1， 所以−112＜m ＜−1或m ＞1；故m 的取值范围为（−112，﹣1）∪（1，+∞）； （2）m ＝﹣2时，圆方程为（x ﹣2）2+（y +1）2＝3， 则圆的半径r =√3，圆心C （2，﹣1），∴S 四边形PMCN =|PM|⋅r =√3|PM|=√3⋅√|PC|2−r 2=√3⋅√|PC|2−3． 直线方程为2x ﹣y +3＝0，设圆心（2，﹣1）到直线2x ﹣y +3＝0的距离为d ，∴|PC|min =d =|2×2−(−1)+3|5=85，∴(S 四边形PMCN )min =√3√645−3=√3√495=75√15． 21．（12分）已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a ＞b ＞0)的右焦点为F(√3，0)，长半轴长与短半轴长的比值为2．（1）求椭圆C 的方程；（2）设经过点A （1，0）的直线l 与椭圆C 相交于不同的两点M ，N ．若点B （0，1）在以线段MN 为直径的圆上，求直线l 的方程．解：（1）由题可知c =√3，ab =2，a 2＝b 2+c 2，∴a ＝2，b ＝1．∴椭圆C 的方程为x 24+y 2=1．（2）易知当直线l 的斜率为0或直线l 的斜率不存在时，不合题意．当直线l 的斜率存在且不为0时，设直线l 的方程为x ＝my +1，M （x 1，y 1），N （x 2，y 2）． 联立{x =my +1x 2+4y 2=4，消去x ，可得（4+m 2）y 2+2my ﹣3＝0． Δ＝16m 2+48＞0，y 1+y 2=−2m 4+m 2，y 1y 2=−34+m 2． ∵点B 在以MN 为直径的圆上，∴BM →⋅BN →=0．∵BM →⋅BN →=(my 1+1，y 1−1)⋅(my 2+1，y 2−1)=（m 2+1）y 1y 2+（m ﹣1）（y 1+y 2）+2＝0， ∴(m 2+1)⋅−34+m 2+(m −1)⋅−2m4+m 2+2=0， 整理，得3m 2﹣2m ﹣5＝0， 解得m ＝﹣1或m =53．∴直线l 的方程为x +y ﹣1＝0或3x ﹣5y ﹣3＝0．22．（12分）如图1，已知ABFE 是直角梯形，EF ∥AB ，∠ABF ＝90°，∠BAE ＝60°，C 、D 分别为BF 、AE 的中点，AB ＝5，EF ＝1，将直角梯形ABFE 沿CD 翻折，使得二面角F ﹣DC ﹣B 的大小为60°，如图2所示，设N 为BC 的中点．（1）证明：FN ⊥AD ；（2）若M 为AE 上一点，且AM AE=λ，则当λ为何值时，直线BM 与平面ADE 所成角的正弦值为5√714． 解：（1）证明：如图1，已知ABFE 是直角梯形，EF ∥AB ，∠ABF ＝90°，∠BAE ＝60°，C 、D 分别为BF 、AE 的中点，AB ＝5，EF ＝1，将直角梯形ABFE 沿CD 翻折，使得二面角F ﹣DC ﹣B 的大小为60°，如图2所示，设N 为BC 的中点．∵由图1得：DC ⊥CF ，DC ⊥CB ，且CF ∩CB ＝C ，∴在图2中DC ⊥平面BCF ，∠BCF 是二面角F ﹣DC ﹣B 的平面角，则∠BCF ＝60°， ∴△BCF 是正三角形，且N 是BC 的中点，FN ⊥BC ， 又DC ⊥平面BCF ，FN ⊂平面BCF ，可得FN ⊥CD ， ∵BC ∩CD ＝C ，BC ，CD ⊂平面ABCD ． ∴FN ⊥平面ABCD ，∵AD ⊂平面ABCD ，∴FN ⊥AD ．（2）∵FN ⊥平面ABCD ，过点N 做AB 平行线NP ，∴以点N 为原点，NP ，NB 、NF 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系N ﹣xyz ，如图，则A(5，√3，0)，B(0，√3，0)，D(3，−√3，0)，E （1，0，3）， 设M （x 0，y 0，z 0）则AM →=(x 0−5，y 0−√3，z 0)，AE →=(−4，−√3，3)， AD →=(−2，−2√3，0)，DE →=(−2，√3，3)．∵AM →=λAE →，∴{x 0−5=−4λy 0=√3−√3λz 0=3λ⇒{x 0=5−4λy 0=√3−√3λz 0=3λ．∴M(5−4λ，√3−√3λ，3λ)，∴BM →=(5−4λ，−√3λ，3λ)， 设平面ADE 的法向量为n →=(x ，y ，z)则{n →⋅AD →=0n →⋅DE →=0⇒{−2x −2√3y =0−2x +√3y +3z =0，取x =√3，得n →=(√3，−1，√3)， 设直线BM 与平面ADE 所成角为θ， ∴sinθ=|cos〈n →，BM →〉|=|n →⋅BM →||n →|⋅|BM →|=5√3√3+1+3⋅√28λ−40λ+25=5√714，∴28λ2﹣40λ+13＝0，解得λ=12或λ=1314． 故当λ为12或1314时，直线BM 与平面ADE 所成角的正弦值为5√714．。
重庆市2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷含答案
重庆市2024—2025学年度上期高2026级半期考试数学试题（答案在最后）（满分150分，考试时间120分钟）注意事项1.答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知直线l 经过点()3,1，()2,0，则直线l 的倾斜角为（）A.π4 B.π3C.2π3 D.3π4【答案】A 【解析】【分析】由两点坐标结合斜率公式直接求出斜率，再求出倾斜角，然后由点斜式写出直线方程.【详解】设直线l 的倾斜角为θ.直线l 经过点()3,1，()2,0，所以01123l k -==-，所以tan 1θ=,又0πθ≤<，所以π4θ=.故选：A.2.若直线210x ay ++=与直线220x y +-=互相垂直，则实数a 的值是（）A.1 B.－1 C.4D.－4【答案】B 【解析】【分析】直接利用两直线垂直时系数的关系求解即可.【详解】由题可知，220a +=，解得1a =-.故选：B3.如图，在空间四边形ABCD 中，设,E F 分别是BC ，CD 的中点，则1()2AD DB DC →→→++=（）A.AD →B.FA →C.AE →D.EF→【答案】C 【解析】【分析】根据平面向量的平行四边形法则得出2DB DC DE →→→+=，再由平面向量的三角形加法运算法则即可得出结果.【详解】解：由题可知，,E F 分别是BC ，CD 的中点，根据平面向量的平行四边形法则，可得2DB DC DE →→→+=，再由平面向量的三角形加法法则，得出：11()222AD DB DC AD DE AD DE AE →→→→→→→→++=+⨯=+=.故选：C.4.平面内点P 到()13,0F -、()23,0F 的距离之和是10，则动点P 的轨迹方程是（）A.221259x y += B.2212516x y +=C.221259y x += D.2212516y x +=【答案】B 【解析】【分析】求出,,a b c 即可得出动点P 的轨迹方程.【详解】由题意，平面内点P 到()13,0F -、()23,0F 的距离之和是10，∴动点P 的轨迹E 为椭圆,焦点在轴上,3,210c a ==,解得：5a =，∴22216b a c =-=，∴轨迹方程为:2212516x y +=，故选:B.5.已如12,F F 是椭圆2212449x y +=的两个焦点，P 是椭圆上一点，1234PF PF =，则12PF F 的面积等于（）A.24B.26C.D.【答案】A 【解析】【分析】由定义可得12214PF PF a +==，结合条件求出12,PF PF 即可求出面积.【详解】由椭圆方程可得焦点在y 轴上，7a =，b =，5c ==，由椭圆定义可得12214PF PF a +==，又1234PF PF =，则可解得128,6PF PF ==，12210F F c == ，满足2221212PF PF F F +=，则12PF PF ⊥，121212186242PF F PF P S F ⋅=⨯⨯∴==.故选：A.6.我国汉代初年成书的《淮南子毕术》中记载：“取大镜高悬，置水盆于下，则是四邻矣.”这是我国古代人民利用平面镜反射原理的首个实例，体现了传统文化中的数学智慧.已知从点()5,3-发出的一束光线，经x 轴反射后，反射光线恰好平分圆：()()22115x y -+-=的圆周，则反射光线所在的直线方程为（）A.2310x y -+=B.2310x y --=C.3210x y -+=D.3210x y --=【答案】A 【解析】【分析】求得点()5,3-关于x 轴的对称点的坐标与圆的圆心坐标，由两点式可求反射光线所在直线方程.【详解】由()()22115x y -+-=，可得圆心(1,1)C ，由反射定律可知，点()5,3-关于x 轴的对称点()5,3--在反射光线上，又反射光线恰好平分圆：()()22115x y -+-=的圆周，所以反射光线过(1,1)C ，由直线的两点式方程可得反射光线所在直线方程为113151y x --=----，即2310x y -+=.故选：A.7.点P 是圆C ：()()22332x y -+-=上一动点，过点P 向圆O ：221x y +=作两条切线，切点分别为A ，B ，则四边形PAOB 面积的最大值为（）A.B. C.D.【答案】D 【解析】【分析】将四边形PAOB 的面积表示为S =||PO 的最大值即可.【详解】由圆()()22:332C x y -+-=为，可得圆心为(3,3)，由22:1O x y +=，可得圆心(0,0)O ，半径为1，连接PO ，则在PAO 中，||PA ==，所以四边形PAOB 的面积122||1||2PAO S S PA PA ==⨯⨯⨯== 所以||PO 最大时，四边形PAOB 面积的最大值，因为||CO ==，所以max ||||PO CO ==，所以四边形PAOB =故选：D.8.设A ，B 分别为椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的左、右顶点，M 是C 上一点，且::3:5:7MA MB AB =，则C 的离心率为（）A.13B.182C.11D.143【答案】D 【解析】【分析】由题意，根据余弦定理和同角的商数关系可得tan 11MA MAB k ∠==，tan 13MB MBA k ∠==-，设()00,M x y ，则22MA MBb k k a ⋅=-，得2245143b a =，结合离心率的概念即可求解.【详解】在MAB △中，由22237511cos 23714MAB +-∠==⨯⨯，得14sin MAB ∠=，所以tan 11MA MAB k ∠==，由22257313cos 25714MBA +-∠==⨯⨯，得sin MBA ∠=，所以tan 13MB MBA k ∠==-，设()00,M x y ，则200022000MA MBy y y k k x a x a x a⋅=⋅=+--，又2200221x y a b +=，∴()2222002b y x a a =--，∴22MA MB b k k a⋅=-，又451113143MA MBk k ⎛⎫⋅=⨯-=- ⎪ ⎪⎝⎭，∴2245143b a =，∴143e ==.故选：D.【点睛】关键点点睛：关键在于求得22MA MB b k k a ⋅=-，进而得2245143b a =，从而求得离心率，求解离心率问题常常需得到或构造,,a b c 的齐次式求解.二、多项选择题：本题共3小题，每小题满分6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知椭圆C 的中心为坐标原点，焦点12F F 、在x 轴上，短轴长等于2，焦距为，过焦点1F 作x 轴的垂线交椭圆C 于P 、Q 两点，则下列说法正确的是（）A.椭圆C 的方程为2214x y += B.椭圆C的离心率为2C.1PQ =D.23PF =【答案】ABC 【解析】【分析】求出,,a b c 的值，可判断AB 选项的正误；设点1F为椭圆的左焦点，x =将代入椭圆方程，可求得||PQ 的长，可判断C 选项的正误；利用椭圆的定义可判断D 选项的正误.【详解】对于椭圆C，由已知可得222b c =⎧⎪⎨=⎪⎩1,2b c a ===，.对于A 选项，因为椭圆的焦点在x 轴上，故椭圆的方程为2214xy +=，故A 对；对于B选项，椭圆的离心率为2c e a ==，故B 正确；对于C 选项，设点1F为椭圆的左焦点，易知点1(F ，将x =代入椭圆方程可得12y =±，故||1PQ =，故C 正确；对于D 选项，111|||22|P PQ F ==，故212|17|2||42a PF PF =-=-=，故D 错误.故选：ABC.10.已知直线l ：10kx y -+=和圆M ：()()22124x y -+-=，则下列选项正确的是（）A.直线l 恒过点()0,1B.圆M 与圆C ：221x y +=有三条公切线C.直线l 被圆M 截得的最短弦长为D.圆M 上恰有4个点到直线l 的距离等于32，则474733k ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭【答案】ACD 【解析】【分析】根据定点的特征即可求解可判断A ，根据两圆的位置关系即可求解可判断B ，根据垂直时即可结合圆的弦长公式求解可判断C12<，求解即可判断D.【详解】对于A ，由直线l 的方程10kx y -+=，可知直线l 恒经过定点(0,1)P ，故A 正确；对于B ，由圆()()22124x y -+-=的方程，可得圆心(1,2)M ，半径2r =，由221x y +=，可得圆心(0,0)C ，半径为1，又||MC ==2121-<<+，所以圆M 与圆221x y +=相交，圆M 与圆C 有两条公切线，故B 错误；对于C ，由||PM =，根据圆的性质，可得当直线l 和直线PM 垂直时，此时截得的弦长最短，最短弦长为=，故C 正确；对于D ，当圆M 上恰有4个点到直线l 的距离等于32，则圆心M 到直线l ：10kx y -+=的距离小于12，12<，整理得23830k k -+<，解得4433k +<<，故D 正确.故选：ACD.11.如图，点P 是棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -的表面上一个动点，则（）A.当P 在平面11BCC B 上运动时，三棱锥1P AA D -的体积为定值43B.当P 在线段AC 上运动时，1D P 与11A C 所成角的取值范围是ππ,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦C.若F 是11A B 的中点，当P 在底面ABCD 上运动，且满足//PF 平面11B CD 时，PF 5D.使直线AP 与平面ABCD 所成的角为45°的点P 的轨迹长度为2π42+【答案】AB 【解析】【分析】对A ：由1AA D △的面积不变，点P 到平面11AA D D 的距离不变，求出体积即可；对B ：以D 为原点，建立空间直角坐标系，设(),2,0P x x -，则()1,2,2D P x x =-- ，()112,2,0A C =-，结合向量的夹角公式，可判定B 正确；对C ：设(),,0P m n ，求得平面11CB D 的一个法向量为()1,1,1n =--，得到()2216FP m =-+ C 错误.对D ：由直线AP 与平面ABCD 所成的角为45︒，作PM ⊥平面ABCD ，得到点P 的轨迹，可判定D 正确.【详解】对于A ：1AA D △的面积不变，点P 到平面11AA D D 的距离为正方体棱长，所以三棱锥1P AA D -的体积不变，且1111142223323P AA D AA D V S AB -=⋅=⨯⨯⨯⨯= ，所以A 正确；对于B ：以D 为原点，DA ，DC ，1DD 所在的直线分别为x 轴、y 轴和z 轴，建立空间直角坐标系，可得()12,0,2A ，()0,0,2D ，()10,2,2C ，设(),2,0P x x -，02x ≤≤，则()1,2,2D P x x =-- ，()112,2,0A C =-，设直线1D P 与11A C 所成角为θ，则111111111cos cos ,D P A C D P A C D P A C θ⋅===，因为011x ≤-≤，当10x -=时，可得cos 0θ=，所以π2θ=；当011x <-≤时，1cos 2θ==，由π0,2θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以ππ32θ≤<，所以异面直线1D P 与11A C 所成角的取值范围是ππ,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦，所以B 正确；对于C ，由()12,2,2B ，()10,0,2D ，()0,2,0C ，()2,1,2F ，设(),,0P m n ，02m ≤≤，02n ≤≤，则()12,0,2CB = ，()10,2,2CD =- ，()2,1,2FP m n =---设平面11CB D 的一个法向量为 =s s ，则11220220n CD b c n CB a c ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩ 取1a =，可得1b =-，1c =-，所以()1,1,1n =--，因为//PF 平面1B CD ，所以()()2120FP n m n ⋅=---+=，可得1n m =+，所以FP =，当1m =时，等号成立，所以C 错误.对于D ：因为直线AP 与平面ABCD 所成的角为45°，由1AA ⊥平面ABCD ，得直线AP 与1AA 所成的角为45°，若点P 在平面11DCC D 和平面11BCC B 内，因为145B AB ∠=︒，145D AD ∠=︒，故不成立；在平面11ADD A 内，点P 的轨迹是12AD =；在平面11ABB A 内，点P 的轨迹是122AB =；在平面1111D C B A 时，作PM ⊥平面ABCD ，如图所示，因为45PAM ∠=︒，所以PM AM =，又因为PM AB =，所以AM AB =，所以1A P AB =，所以点P 的轨迹是以1A 点为圆心，以2为半径的四分之一圆，所以点P 的轨迹的长度为12π2π4⨯⨯=，综上，点P 的轨迹的总长度为π42+D 错误；故选：AB.【点睛】方法点拨：对于立体几何的综合问题的解答方法：（1）立体几何中的动态问题主要包括：空间动点轨迹的判断，求解轨迹的长度及动态角的范围等问题，解决方法一般根据线面平行，线面垂直的判定定理和性质定理，结合圆或圆锥曲线的定义推断出动点的轨迹，有时也可以利用空间向量的坐标运算求出动点的轨迹方程；（2）对于线面位置关系的存在性问题，首先假设存在，然后在该假设条件下，利用线面位置关系的相关定理、性质进行推理论证，寻找假设满足的条件，若满足则肯定假设，若得出矛盾的结论，则否定假设；（3）对于探索性问题用向量法比较容易入手，一般先假设存在，设出空间点的坐标，转化为代数方程是否有解的问题，若有解且满足题意则存在，若有解但不满足题意或无解则不存在.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知空间的量()6,2,1a = ，()2,,3b x =，若()a b a -⊥ ，则x =______.【答案】13【解析】【分析】利用空间向量的坐标表示及数量积公式计算即可.【详解】因为()a b a -⊥ ，所以()0a b a -=，所以20a a b -=，又因为()6,2,1a = ，()2,,3b x = ，所以3641(1223)0x ++-++=，解得13x =.故答案为：13.13.设b 为实数，若直线y x b =+与曲线x =有公共点，则实数b 的取值范围是______.【答案】2⎡⎤-⎣⎦【解析】【分析】曲线x =表示是以原点为圆心，2为半径的半圆，直线y x b =+是一条斜率为1的直线，画出图象，结合图象，即可得出答案.【详解】由x =可得()2240x y x +=≥，即x =表示以原点为圆心，2为半径的半圆，直线y x b =+是一条斜率为1的直线，()2240x y x +=≥与y 轴交于两点分别是()0,2A ，()0,2B -，当点()0,2A 在直线y x b =+上时2b =；当直线y x b =+与()2240x y x +=≥2=，所以b =(舍)或b =-所以直线y x b =+与曲线x =有公共点，实数b满足2b -≤≤.实数b的取值范围为2⎡⎤-⎣⎦.故答案为：2⎡⎤-⎣⎦.14.我国著名数学家华罗庚说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微．”事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决．如：若实数,x y 满足228130x y x +-+=，则x y +的最小值为______，______．【答案】①.4-②.13+【解析】【分析】利用直线和圆的位置关系可得x y +的最小值，把转化为点(),x y到直线10x +-=的距离与它到()1,0A 距离比值的2倍，结合图形可得答案.【详解】由228130x y x +-+=得()2243x y -+=，令x y t +=，则直线x y t +=与圆()2243x y -+=有公共点，所以圆心到直线x y t +=的距离为d =≤44t ≤≤+所以x y +的最小值为4-2=可以看作点(),x y到直线10x +-=的距离与它到()1,0A 距离比值的2倍，设过点()1,0A 的直线与圆相切于点(),P x y.设直线方程为()1y k x =-，由()()22143y k x x y ⎧=-⎪⎨-+=⎪⎩，得()()2222182130k x k x k +-+++=，()()()22228241130k k k ∆=+-++=，解得2k =±，结合图形可知2k =，把2k =代入联立后的方程可得切点(P ，代入可得13+.故答案为：4613+.【点睛】关键点点睛：本题求解的关键是把目标式转化为点(),x y到直线10x +-=的距离与它到()1,0A 距离比值的2倍，数形结合可得答案.四、解答题：本题共5小题，共77分，（15题13分，16-17题15分，18-19题17分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.如图所示，在几何体ABCDEFG 中，四边形ABCD 和ABFE 均为边长为2的正方形，//AD EG ，AE ⊥底面ABCD ，M 、N 分别为DG 、EF 的中点，1EG =.（1）求证：//MN 平面CFG ；（2）求直线AN 与平面CFG 所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解析（2）3【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，求得直线MN 的方向向量31,,12MN ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，求得平面CFG 的法向量1n ，然后利用10n MN ⋅= ，证明1MN n ⊥，从而得出//MN 平面CFG ；（2）求得直线AN 的方向向量()1,0,2AN = ，由（1）知平面CFG 的法向量1n，结合线面角的向量公式即可得解.【小问1详解】因为四边形ABCD 为正方形，AE ⊥底面ABCD ，所以AB ，AD ，AE 两两相互垂直，如图，以A 为原点，分别以AB ，AD ，AE方向为x 轴、y 轴、z 轴正方向建立空间直角坐标系A xyz -，由题意可得0,0,0，()2,0,0B ，()2,2,0C ，()0,2,0D ，()0,0,2E ，()2,0,2F ，()0,1,2G ，30,,12M ⎛⎫⎪⎝⎭，()1,0,2N ，则()0,2,2CF =- ，()2,1,2CG =-- ，31,,12MN ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 设平面CFG 的一个法向量为1 =1,1,1，则11n CFn CG ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩ ，故11·=0·=0n CF n CG ⎧⎪⎨⎪⎩ ，即11111220220y z x y z -+=⎧⎨--+=⎩，则111112y z x z =⎧⎪⎨=⎪⎩，令12z =，得()11,2,2n =，所以()1331,2,21,,111221022n MN ⎛⎫⎛⎫⋅=⋅-=⨯+⨯-+⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，所以1MN n ⊥，又MN ⊄平面CFG ，所以//MN 平面CFG .【小问2详解】由（1）得直线AN 的一个方向向量为()1,0,2AN = ，平面CFG 的一个法向量为()11,2,2n =，设直线AN 与平面CFG 所成角为θ，则111sin cos ,3n AN n AN n AN θ⋅=====⋅ ，所以直线AN 与平面CFG所成角的正弦值为3.16.已知点()2,3-在圆22:860C x y x y m +-++=上．（1）求该圆的圆心坐标及半径长；（2）过点()1,1M -，斜率为43-的直线l 与圆C 相交于,A B 两点，求弦AB 的长．【答案】（1）圆心坐标为()4,3-，半径长为2（2）165【解析】【分析】（1）先根据点在圆上求出参数m ，再将圆的方程化为标准方程，即可得出圆心及半径；（2）先写出直线方程，求出圆心到直线的距离，再根据圆的弦长公式l =.【小问1详解】因为点()2,3-在圆22:860C x y x y m +-++=上，所以4916180m +--+=，解得21m =，所以该圆的标准方程为()()22434x y -++=，所以该圆的圆心坐标为()4,3-，半径长为2；【小问2详解】因为直线l 过点()1,1M -，斜率为43-，所以直线l 的方程为()4113y x +=--，即4310x y +-=，则圆心()4,3-到直线l 的距离65d ==，所以165AB ===.17.已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>经过点1,2M ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，1F 、2F 是椭圆C 的左、右两个焦点，12F F =，P 是椭圆C 上的一个动点．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若点P 在第一象限，且1214PF PF ⋅≤ ，求点P 的横坐标的取值范围．【答案】（1）2214x y +=（2）(．【解析】【分析】（1）依题意得焦点坐标，再利用椭圆的定义求得a ，进而求得b 即可；（2）设(),(0,0)P x y x y >>，从而可求得()2212134PF PF x y ⋅=--+≤ ，再把2214x y =-代入求解即可.【小问1详解】由已知得2c =c ∴=，()1F ∴，)2F ，142MF +==，同理2432MF =，1224a MF MF ∴=+=，2a ∴=，1b ∴==，∴椭圆C 的标准方程为2214x y +=．【小问2详解】设(),(0,0)P x y x y >>，且2214x y +=，则()1,PF x y =- ，)2,PF x y =- ，()2212134PF PF x y ∴⋅=--+≤ ．由椭圆方程可得()2213144x x --+-≤，整理得239x ≤，所以0x <≤，即点P 的横坐标的取值范围是(．18.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，底面是边长为2的等边三角形，12CC =，D ，E 分别是线段AC ，1CC 的中点，1C 在平面ABC 内的射影为D .（1）求证：1A C ⊥平面BDE ；（2）若点F 为棱11B C 的中点，求点F 到平面BDE 的距离；（3）若点F 为线段11B C 上的动点（不包括端点），求平面FBD 与平面BDE 夹角的余弦值的取值范围.【答案】（1）证明过程见解析（2）4（3）1,22⎛ ⎝⎭【解析】【分析】（1）作出辅助线，得到BD ⊥平面11ACC A ，BD ⊥1AC ，又平行四边形11ACC A 为菱形，故1AC ⊥1AC ，又1//DE AC ，从而得到线面垂直，（2）建立空间直角坐标系，由（1）知，1AC ⊥平面BDE ；故平面BDE的一个法向量为(10,3,A C =- ，利用点到平面的距离向量公式求出答案；（3）设111,01C F C B λλ=<<，求出,Fλ，求出平面FBD 的法向量，结合平面BDE 的一个法向量为(10,3,A C =-，从而得到1cos ,A C m =，换元后，得到11cos ,,22AC m ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭ .【小问1详解】连接11,C D AC ，因为1C 在平面ABC 内的射影为D ，所以1C D ⊥平面ABC ，因为,BD AC ⊂平面ABC ，所以1C D ⊥BD ，1C D ⊥AC ，因为ABC V 为边长为2的等边三角形，D 是线段AC 的中点，所以BD ⊥AC ，因为1C D AC D = ，1,C D AC ⊂平面11ACC A ，所以BD ⊥平面11ACC A ，因为1A C ⊂平面11ACC A ，所以BD ⊥1AC ，因为112C C AC ==，四边形11ACC A 为平行四边形，所以平行四边形11ACC A 为菱形，故1AC ⊥1AC ，因为D ，E 分别是线段AC ，1CC 的中点，所以1//DE AC ，故1AC ⊥DE ，因为DE BD D ⋂=，,DE BD Ì平面BDE ，所以1AC ⊥平面BDE ；【小问2详解】由（1）知，1,,C D AC BD 两两垂直，以D 为坐标原点，1,,BD DA C D 所在直线分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，因为1C D ⊥AC ，D 是线段AC 的中点，所以由三线合一可得112C C AC ==，又2AC =，故1ACC △为等边三角形，(()()11110,,0,1,0,,,,,22A C B C F B ⎛- ⎝，由（1）知，1AC ⊥平面BDE ；故平面BDE的一个法向量为(10,3,A C =-，点F 到平面BDE 的距离11334DF A C d A C⋅== ；【小问3详解】点F 为线段11B C 上的动点（不包括端点），设111,01C F C B λλ=<<，(,Fs t ，则()),,0s t λ=，故,s tλ==，故,Fλ，设平面FBD 的法向量为(),,m x y z =，则())(),,0,,,0mDB x y z m DF x y z x y λλ⎧⋅=⋅==⎪⎨⋅=⋅=+=⎪⎩，解得0x =，令1y =，则33z =-，故30,1,3m ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，又平面BDE的一个法向量为(10,3,A C =-，故111cos ,A C m A C m A C m ⋅==⋅ ，令()32,3q λ-=∈，则1cos ,A C m ==，因为111,32q⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故2111124443q ⎛⎫⎛⎫-+∈ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，13,22⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭，平面FBD 与平面BDE 夹角的余弦值取值范围是1,22⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭.【点睛】立体几何二面角求解方法：（1）作出辅助线，找到二面角的平面角，并结合余弦定理或勾股定理进行求解；（2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用空间向量相关公式求解.19.已知点A ，B 是平面内不同的两点，若点P 满足PAPBλ=(0λ>，且1λ≠)，则点P 的轨迹是以有序点对(),A B 为“稳点”的λ—阿波罗尼斯圆.若点Q 满足QA QB μ⋅=(0μ>)，则点Q 的轨迹是以(),A B 为“稳点”的μ—卡西尼卵形线.已知在平面直角坐标系中，()2,0A -，(),B a b (2a ≠-）.（1）当2a =，0b =时，若点P 的轨迹是以(),A B 为“稳点”阿波罗尼斯圆，求点P 的轨迹方程；（2）在(1)的条件下，若点Q 在以(),A B 为“稳点”的5—卡西尼卵形线上，求OQ (O 为原点）的取值范围；（3）卡西尼卵形线是中心对称图形，且只有1个对称中心，若0b =，λ=试判断是否存在实数a ，μ，使得以(),A B 为“稳点”—阿波罗尼斯圆与μ—卡西尼卵形线都关于同一个点对称，若存在，求出实数a ，μ的值，若不存在，请说明理由.【答案】（1）221240x y x +-+=（2）[]1,3（3）不存在，理由见解析【解析】【分析】(1)由题意可知PA PB =，设：(),P x y=，整理计算即可求解；(2)设(),Q x y ，由定义得到()222242516x y x ++=+，从而有2240y x =-≥，求得209x ≤≤，再由OQ =(3)由0b =，λ=(),A B 为“稳点”一阿波罗尼斯圆的方程：()22244240x y a x a +-++-=，再结合对称性及QA QB μ⋅=得到μ—卡西尼卵形线，关于点2,02a -⎛⎫ ⎪⎝⎭对称，从而得到2222a a -+=推出矛盾，即可解决问题.【小问1详解】由已知()2,0A -，()2,0B 且PA PB=(),P x y=，∴()()22222222++=-+x y x y ，整理得：221240x y x +-+=，∴点P 的轨迹方程为：221240x y x +-+=.【小问2详解】由(1)知()2,0A -，()2,0B ，设(),Q x y，由5QA QB ⋅=，5=，所以()222242516x y x ++=+，2240y x =-≥，整理得42890x x --≤，即()()22190x x +-≤，所以209x ≤≤，OQ ==209r ≤≤，得13OQ ≤≤，即OQ 的取值范围是[]1,3.【小问3详解】若0b =，则以(),A B 为“稳点”—阿波罗尼斯圆的方程为()()222222x y x a y ⎡⎤++=-+⎣⎦，整理得()22244240x y a x a +-++-=，该圆关于点()22,0a +对称.由点()2,0A -，(),0B a 关于点2,02a -⎛⎫ ⎪⎝⎭对称及QA QB μ⋅=，可得μ—卡西尼卵形线关于点2,02a -⎛⎫ ⎪⎝⎭对称，令2222a a -+=，解得2a =-，与2a ≠-矛盾，所以不存在实数a ，μ，使得以(),A B 一阿波罗尼斯圆与μ—卡西尼卵形线都关于同一个点对称.。
江苏省扬州市扬州中学2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题(含答案)
江苏省扬州中学2024-2025学年第一学期期中试卷高 二 数 学 2024.11一、单项选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．圆的圆心和半径分别是（ ）A ．，1B ．，3C ．，2D ．，22．经过两点，的直线的斜率为（ ）A ．B ．C ．D ．3．椭圆x 225+y 216=1的焦点为为椭圆上一点，若，则（ ）A ．B ．C ．D ．4．已知双曲线的离心率大于实轴长，则的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D．5．两平行直线与之间的距离为（ ）ABCD6．已知圆关于直线对称，则实数（ ）A ．1或B ．1C ．3D ．或37．已知抛物线C :y 2=2px (p >0)的焦点为，若抛物线上一点满足|MF |=2，∠OFM =60°，则（ ）A ．3B ．4C ．6D ．88．如图，双曲线的左右焦点分别为、，过的直线与该双曲线的两支分别交于、两点（在线段上），⊙与⊙分别为与的内切圆，其半径分别为、，则的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．(0，+∞)二、多项选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.9．下列说法正确的是（ ）A ．若，且直线不经过第二象限，则，.()()22232x y +++=()2,3-()2,3-()2,3--()2.3-(2,7)A (4,6)B 12-2-12212,,F F P 13PF =2PF =435722:1y C x m -=m (3,)+∞)+∞(0,3)320mx y --=4670x y --=22:330C x y mx y +-++=:0l mx y m +-=m =3-1-F M p =2218y x -=1F 2F 1F l A B A 1F B 1O 2O 12AF F △2ABF △1r 2r 12r r 1132⎛⎫ ⎪⎝⎭，1233⎛⎫⎪⎝⎭，1223⎛⎫ ⎪⎝⎭，0abc ≠0ax by c ++=0ab >0bc <B ．方程（）表示的直线都经过点.C ．，直线不可能与轴垂直.D ．直线的横、纵截距相等.10．已知曲线．点，，则以下说法正确的是（ ）A ．曲线C 关于原点对称B ．曲线C 存在点P，使得C ．直线与曲线C 没有交点D ．点Q 是曲线C 上在第三象限内的一点，过点Q 向作垂线，垂足分别为A ，B ，则.11．已知集合.由集合中所有的点组成的图形如图中阴影部分所示，中间白色部分形如美丽的“水滴”.给出下列结论，正确的有（ ）A ．白色“水滴”区域（含边界）任意两点间距离的最大值为B ．在阴影部分任取一点，则到坐标轴的距离小于等于3.C ．阴影部分的面积为.D ．阴影部分的内外边界曲线长为.三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分.12．若双曲线的离心率为2，则其两条渐近线所成的锐角的大小为 .13．已知椭圆的左、右焦点分别为F 1、F 2，过点的直线交椭圆于A 、B 两点，若，则该椭圆的离心率为 .14．已知为曲线y =1+4―x 2上的动点，则的最大值为 .四、解答题:本题共5小题，共77分.解答题写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．已知△ABC 的顶点坐标是为的中点.(1)求中线的方程；(2)求经过点且与直线平行的直线方程.16．已知双曲线C :x 2a2―y 2b 2=1(a >0,b >0)的离心率为为双曲线的右焦点，且点到直线的()()21250x y λλ++--=R λ∈()2,1m ∈R 220m x y ++=y 3310x y +-=:44C x x y y =-1F 2(0,F 124PF PF -=2y x =2y x =±45QA QB ⋅=(){}22,(cos )(sin )4,0πP x y x y θθθ=-+-=≤≤∣P 1M M 8π8π()222210,0y x a b a b -=>>22221(0)x y a b a b+=>>2F 1AB F B ⊥，14sin 5F AB ∠=(),P a b 223a b a b --++()()()2,0,6,2,2,3,A B C M --AB CM B AC ()5,,03F c F 2a x c=距离为.(1)求双曲线的方程；(2)若点，点为双曲线左支上一点，求的最小值.17．已知，是抛物线：上的两点．(1)求抛物线的方程；(2)若斜率为的直线经过的焦点，且与交于，两点，求的最小值．18．椭圆与椭圆：有相同的焦点，且经过点.(1)求椭圆的方程；(2)椭圆的右焦点为，设动直线与坐标轴不垂直，与椭圆交于不同的，两点，且直线和的斜率互为相反数.①证明：动直线恒过轴上的某个定点，并求出该定点的坐标.②求△OMN 面积的最大值.19．定义：M 是圆C 上一动点，N 是圆C 外一点，记的最大值为m ，的最小值为n ，若，则称N 为圆C 的“黄金点”；若G 同时是圆E 和圆F 的“黄金点”，则称G 为圆“”的“钻石点”.已知圆165C ()12,0A P C PA PF +()6,2A m +()24,8B m +C ()221y px p =>C ()0k k ≠l C C P Q 2PQ k +C 1C 2212x y +=31,2Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭C C B l l C M N BM BN l x MN MN 2m n =E F -A ：，P 为圆A 的“黄金点”(1)求点P 所在曲线的方程.(2)已知圆B ：，P ，Q 均为圆“”的“钻石点”.①求直线的方程.②若圆H 是以线段为直径的圆，直线l ：与圆H 交于I ，J 两点，对于任意的实数k ，在y 轴上是否存在一点W ，使得y 轴平分？若存在，求出点W 的坐标；若不存在，请说明理由.()()221113x y +++=()()22221x y -+-=A B -PQ PQ 13y kx =+IWJ ∠江苏省扬州中学2024-2025学年第一学期期中试卷高二数学（参考答案）2024.11参考答案：题号12345678910答案C A D A C C A C BD CD 题号11 答案ABD8．【详解】设，∴S △AF 1F 2=12r 1(8+2m )=(4+m )r 1，S △ABF 2=12r 2(2m +2p )=(m +p )r 2，.在△与△中：，即，，当双曲线的斜率为正的渐近线时，取最大，此时，，当与轴重合时，取最小，此时，经上述分析得：，.故选：C.10．【详解】当时，曲线，即；当时，曲线，即；不存在；时，曲线，即；时，曲线，即；画出图形如右：对于A ，由图可得A 错误，故A 错误；对于B ，方程是以为上下焦点的双曲线，当时，曲线C 存在点P ，使得，故B 错误；对于C ，一三象限曲线的渐近线方程为，所以直线与曲线C 没有交点，故C 正确；对于D ，设，设点在直线上，点在直线，11222,,6,2,2AF m BA p F F AF m BF m p ====+=+-()()11224m r S m S p m p r +∴==+12AF F 2AF B 122cos cos F AF F AB ∠=-∠()()()()()2222222262222224m m m p m p m p m m m pm++-++-+-=-⇒=⋅⋅+⋅+⋅-32212324444444m m r m mp m m m r p mp m m m++-∴===+++--//l m p →+∞404m m ∴-=⇒=l x m 2m =()2,4m ∈1212,23r r ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭0,0x y ≥>22:44C x y =-2214y x -=0,0x y ≥<22:44C x y =--2214y x +=-0,0x y ≤≥22:44C x y -=-2214y x +=0,0x y <≤22:44C x y -=--2214y x -=2214y x -=12,F F 0,0x y ≥>214PF PF -=2y x =2y x =()00,Q x y A 2y x =B 2y x =-又点Q 是曲线C 上在第三象限内的一点，代入曲线方程可得，故D 正确；故选：CD.11．【详解】对于A ，由于，令时，整理得，解得，“水滴”图形与轴相交，最高点记为A ，则点A 的坐标为，点，白色“水滴”区域（含边界）任意两点间距离的最大值为，故A 正确；对于B ，由于，整理得：，所以，所以到坐标轴的距离为或，因为，所以，，所以到坐标轴的距离小于等于3，故B正确；对于C ，由于，令时，整理得，解得，因为表示以为圆心，半径为的圆，则，且，则在x 轴上以及x 轴上方，故白色“水滴”的下半部分的边界为以为圆心，半径为1的半圆，阴影的上半部分的外边界是以为圆心，半径为3的半圆，根据对称可知：白色“水滴”在第一象限的边界是以以为圆心，半径为2的圆弧，设，则，即AN 所对的圆心角为，同理AM 所在圆的半径为2，所对的圆心角为，阴影部分在第四象限的外边界为以为圆心，半径为2的圆弧，设，可得，DG 所对的圆心角为，同理DH 所在圆的半径为2，所对的圆心角为，故白色“水滴”图形由一个等腰三角形，两个全等的弓形，和一个半圆组成，22004455x y QA QB -⋅==22(cos )(sin )4x y θθ-+-=0x =[]32sin 0,2y yθ=-∈[1]y ∈- y (0,1)B -||1AB =22(cos )(sin )4x y θθ-+-=2cos cos 2sin sin x y αθαθ=+⎧⎨=+⎩2cos cos ,2sin sin )(M αθαθ++M ||2cos cos αθ+|2sin sin |αθ+cos [1,1],sin [0,1]θθ∈-∈2cos cos ||2cos ||cos |213|αθαθ+≤+≤+=|2sin sin ||2sin ||sin |213αθαθ+≤+≤+=M 22(cos )(sin )4x y θθ-+-=0y =[]32cos 2,2y yθ=-∈-[3,1][1,3]x ∈-- 22(cos )(sin )4x y -+-=θθ()cos ,sin Q θθ2r =13r OQ OP OQ r =-≤≤+=0πθ≤≤()cos ,sin Q θθO O ()1,0M -()1,0N 2AN AM MN ===π3π3()1,0N ()()3,0,3,0G H -π1,3ON OD OND ==∠=2π32π3所以它的面积是.轴上方的半圆（包含阴影和水滴的上半部分）的面积为，第四象限的阴影和水滴部分面积可以看作是一个直角三角形和一个扇形的面积的和，且等于所以阴影部分的面积为C 错误；对于D ，轴上方的阴影部分的内外边界曲线长为，轴下方的阴影部分的内外边界曲线长为，所以阴影部分的内外边界曲线长为，故D 正确.故选：ABD.12．13【详解】如图，设，因为，所以．由椭圆定义可知，，由，可得，所以．在Rt △F 1BF 2中，由，可得，即得，故得14．【详解】曲线，由于在曲线上，令，则，（其中），，又，，当时取得最大值15．【详解】（1）因为，所以，212π111π2π1222326S S S S ⎛=++=⨯⨯+⨯+⨯=⎝V 弓形半圆x 219π3π22⨯=2114π21π323⨯⨯+=941116π2(πππ2363++-=+x 1π4132π3223πππ2333⨯⨯+⨯⨯=+=x 111112π1(2π2π2)2π2233⨯⨯+⨯⨯-⨯⨯=13π11π8π33+=π314BF t =1AB F B ⊥，14sin 5F AB ∠=15,3AF t AB t ==21212=25,224AF a AF a t BF a BF a t =--=-=-22493AB AF BF a t t =+=-=13t a =1242,33BF a BF a ==2221212||||||F F BF BF =+222424(()33a a c =+2295c a =c e a ==9+1y =()()22141x y y +-=≥(),P a b ()2cos ,0π12sin a b θθθ=⎧≤≤⎨=+⎩()()222232cos 12sin 32cos 12sin a b a b θθθθ--++=---+++2cos 2sin 454sin 42sin 2cos 54sin θθθθθθ=--++=+-++()96sin 2cos 9θθθϕ=+-=+-sin ϕ=cos ϕ=π0,2ϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭[][]0,π,πθθϕϕϕ∈∴-∈-- π,02ϕ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭ππ,π2ϕ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭∴π2θϕ-=223a b a b --++9+()()2,0,6,2A B -()4,1M -故的方程是，即；（2）因为直线的斜率，所以经过点且与直线平行的直线方程为，即.16．【详解】（1）由题意知，解得，则，所以双曲线的方程为.（2）记双曲线的左焦点为，则，可得，当三点共线时，最小，且最小值为.故的最小值为.17．【详解】（1）∵，是抛物线C ：上的两点，∴，则，整理得，解得， 当时，，解得，不合题意；当时，，解得．故抛物线C 方程为y 2=6x ．（2）由（1）知C 的焦点为，故直线l 的方程为，联立，得，必有，设，，则，∴， ∴，即所以的最小值为18．【详解】（1）椭圆：的焦点坐标为，所以椭圆的焦点坐标也为，即得焦距为，∵椭圆过点，∴，CM 143124y x +-=+--2350x y +-=AC 303224ACk -==---B AC ()3264y x +=--34100x y +-=253165c a a c c ⎧=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩35a c =⎧⎨=⎩4b ==C 221916x y -=C 0F ()05,0F -0026PA PF PA PF a PA PF +=++=++0,,P F A 0PA PF +017AF =PA PF +17623+=()6,2A m +()24,8B m +()221y px p =>()()22212,848m p m p⎧+=⎪⎨+=⎪⎩()()22842m m +=+216m =4m =±4m =-()21224p m =+=113p =<4m =()212236p m =+=31p =>3,02⎛⎫⎪⎝⎭32y k x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭2632y xy k x ⎧=⎪⎨⎛⎫=- ⎪⎪⎝⎭⎩()222293604k x k x k -++=0∆>()11,P x y ()22,Q x y 212236k x x k ++=2122236636k PQ x x p k k+=++=+=+222666PQ k k k +=++≥+226k k=2k =2PQ k +6+1C 2212x y +=()1,0±C ()1,0±22c =C 31,2Q ⎛⎫⎪⎝⎭24a +=∴，，∴椭圆的标准方程为.（2）①设直线：（），由，得，设M (x 1,y 1)，N (x 2,y 2)，所以，，所以，因为直线和的斜率互为相反数，所以，所以，所以，所以.即，所以，因为，所以，所以动直线恒过轴上的定点②由①知，，且，即，又S △OMN =12⋅|OT |⋅|y 1―y 2|=12⋅4⋅(y 1+y 2)2―4y1y 2令，则，∴S △OMN=24⋅n (3n +16)2≤24⋅n (2⋅3n⋅16)2=24⋅n 4⋅3n ⋅16=3（当且仅当时取“＝”）∴(S △OMN )max =3.19．【详解】（1）因为点P 为圆A 的“黄金点”，即，所以点P的轨迹是以AP 所在曲线的方程为（2）①因为P 为圆B 的“黄金点”，则所以，即点P 在圆上，则P 是圆和的交点.因为P ，Q 均为圆“”的“钻石点”，所以直线即为圆和的公共弦所在直线，2a =b =22143x y +=l x my t =+0m ≠223412x my t x y =+⎧⎨+=⎩()2223463120m y mty t +++-=122634mt y y m +=-+212231234t y y m -=+()()()()1221121212111111MF NF y x y x y yk k x x x x -+-+=+=----()()()()1221121111y my t y my t x x +-++-=--BM BN 0MB NB k k =+()()()()12211211011y my t y my t x x +-++-=--()()1221110y my t y my t +-++-=()()1212210my y t y y +-+=()22231262103434t mtm t m m --⨯+-⨯=++()640m t -=0m ≠4t =l x ()4,0T 1222434m y y m +=-+1223634y y m =+()()22Δ24434360m m =-+⋅>24m >224==240n m =->24m n =+316n ==PA =()()2211 3.x y +++=()121PB PB +=-||3PB =()()22229x y -+-=()()22113x y +++=()()22229x y -+-=A B -PQ ()()22113x y +++=()()22229x y -+-=两圆方程相减可得，故直线的方程为.②设的圆心为的圆心为，半径为.直线的方程为，得的中点坐标为，点S 到直线，则，所以圆H 的方程为.假设轴上存在点满足题意，设，.若轴平分，则，即，整理得又，所以代入上式可得，整理得①，由可得，所以x 1+x 2=―23k k 2+1,x 1x 2=―89k 2+1，代入①并整理得，此式对任意的都成立，所以.故轴上存在点，使得轴平分.0x y +=PQ 0x y +=22(1)(1)3x y +++=(11),S --()()22229x y -+-=(2,2)T 3ST y x =PQ (0,0)0x y +==12PQ ==221x y +=y (0),W t ()()1122,,,I x y J x y 120x x ≠y IWJ ∠0IM JW k k +=12120y t y tx x --+=()()21120.x y t x y t -+-=11223,113y kx y kx =+=+211211)33(()0x kx t x kx t +-++-=()12121203kx x t x x ⎛⎫+-+= ⎪⎝⎭22131y kx x y ⎧=+⎪⎨⎪+=⎩()22281039k x kx ++-=2203k kt -+=k 3t =y ()0,3W y IWJ ∠。
2024-2025学年河南省南阳市六校高二上学期10月期中考试数学试题(含答案)
2024-2025学年河南省南阳市六校高二上学期10月期中考试数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知直线l 的斜率为− 3，则直线l 的一个方向向量的坐标为( )A. (−1,− 3)B. ( 3,−1)C. (− 3,−1)D. ( 3,−3)2.抛物线C ：y = 2x 2的焦点坐标为( )A. ( 22,0)B. ( 24,0)C. (0, 28)D. (0, 24)3.已知▵ABC 三个顶点的坐标分别为A (3,−1)，B (−5,2)，C (7,4)，则BC 边上的中线所在直线的方程为( )A. x +2y−1=0B. 2x +y−5=0C. 2x−y−7=0D. x−2y−5=04.已知双曲线C 以两个坐标轴为对称轴，且经过点(2, 3)和(− 5,−2)，则C 的渐近线方程为( )A. y =± 22xB. y =±xC. y =± 2xD. y =±2x5.“a =−3”是“直线ax +2ay−3=0与(a−1)x−(a +1)y +13=0垂直”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件6.已知直线l 经过点P (2,1)，且与圆C ：(x +1)2+(y−2)2=9相交于A ，B 两点，若|AB |=4 2，则直线l 的方程为( )A. y =1或3x +4y−10=0B. y =1或4x +3y−11=0C. 4x +3y−11=0或3x +4y−10=0D. 4x−3y−5=0或3x−4y−2=07.如图是某抛物线形拱桥的示意图，当水面处于l 位置时，拱顶离水面的高度为2.5m ，水面宽度为8m ，当水面上涨0.9m 后，水面的宽度为( )A. 6.4mB. 6mC. 3.2mD. 3m 8.已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 为双曲线上一点，若P 与F 1恰好关于C 的一条渐近线y =2x 对称，且|PF 2|=2，则▵PF 1F 2的面积为( )A. 2B. 22C. 23D. 4二、多选题：本题共3小题，共18分。
山东省烟台市2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题(含答案)
2024∼2025学年度第一学期期中学业水平诊断高二数学注意事项：1、本试题满分150分，考试时间为120分钟，2、答卷前，务必将姓名和准考证号填涂在答题卡上，3．使用答题纸时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写，要字迹工整，笔迹清晰．超出答题区书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求．1．在空间直角坐标系中，点关于面对称的点的坐标为（ ）A ．B ．C ．D ．2．已知直线和直线平行，则实数m 的值为（ ）A ．0B ．C ．1D ．或13．在三棱锥中，点M 在线段上，且，N 为中点，设，，，则（ ）A ．B ．C ．D ．4．已知直线的一个方向向量为且过点，则的方程为（ ）A ．B ．C ．D ．5．正四棱柱中，，E ，F ，G 分别是，，的中点，则直线与所成角的余弦值为（ ）ABCD6．过点的直线与曲线）A ．B ．C ．D ．7．在平行六面体中，底面是正方形，，，，M 是棱的中点，与平面交于点H ，则线段的长度为（ ）O xyz -()2,3,1P -xOy ()2,3,1--()2,3,1--()2,3,1---()2,3,1--210x my m ++-=10mx y ++=1-1-A BCD -AB 2AM MB = CD AB a = AC b =AD c = MN =111322a b c-- 111322a b c -++ 211322a b c--211322a b c-++()3,2-()2,12310x y ++=2370x y +-=3280x y +-=3240x y ++=1111ABCD A B C D -12AA AB =1CC BD 11A B 1C G EF ()1,2--y =22,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦[)22,00,3⎛⎤- ⎥⎝⎦422,0,33⎡⎫⎛⎤--⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦322,0,43⎡⎫⎛⎤--⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦ABCD A B C D '-'''ABCD 60A AB A AD ''∠=∠=︒2AB =4AA '=A B ''A C 'AMD 'A H 'ABCD8．过直线上一点P 作圆的切线，，切点为A ，B ，当最小时，直线的方程为（ ）A ．B ．C ．D ．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。
广东省江门市2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题(含答案)
2024～2025学年度第一学期期中考试高二级数学试题班别： 学号： 姓名： 成绩：一、单选题：本大题共8小题，共40分.1．在简单随机抽样中，某一个个体被抽到的可能性（ ）A ．与第几次抽样有关，第一次抽到的可能性大一些B ．与第几次抽样无关，每次抽到的可能性都相等C ．与第几次抽样有关，最后一次抽到的可能性要大些D ．与第几次抽样无关，每次都是等可能抽取，但各次抽取的可能性不一定2．某烟花爆竹厂从20万件同类产品中随机抽取了100件进行质检，发现其中有5件不合格，那么请你估计该厂这20万件产品中不合格产品约有（ ）A ．1万件B ．18万件C ．19万件D ．20万件3的倾斜角为，在轴上的截距为，则（ ）A ．，B ．，C ．，D ．，4．如图，在平行六面体中，为与的交点，若，，，则下列向量中与相等的向量是（ ）A ．B ．C ．D ．5．给定组数，则错误的是（ ）A ．中位数为3BC ．众数为2和3D ．第85百分位数为46．已知向量，，从6张大小相同分别标有号码的卡片中，有放回地抽取两张，、分别表示第一次、第二次抽取的卡片上的号码，则满足的概率是（ ）A ．B ．C ．D．10y ++=αy b 5π6α=1b =2π3α=1b =-2π3α=1b =5π6α=1b =-1111ABCD A B C D -M 11AC 11B D AB a =AD b = 1AA c =BM11+22a b c-+ 1122a b c++1122a b c--+ 1122a b c-+ 5,4,3,5,3,2,2,3,1,2(),a x y =()1,2b =- 1,2,3,4,5,6x y 0a b ⋅>1123415167．设，若点在线段上，则的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．8．在空间直角坐标系Oxyz 中，，，，点H 在平面ABC 内，则当点O 与H 间的距离取最小值时，点H 的坐标是（ ）A ．B ．C ．D ．二、多选题：本大题共3小题，共18分.9．如图所示，下列频率分布直方图显示了三种不同的分布形态.图（1）形成对称形态，图（2）形成“右拖尾”形态，图（3）形成“左拖尾”形态，根据所给图作出以下判断，正确的是（ ）A ．图（1）的平均数=中位数=众数B ．图（2）的众数<中位数<平均数C ．图（2）的众数<平均数<中位数D ．图（3）的平均数<中位数<众数10．下列事件中，是相互独立事件的是（ ）A ．一枚硬币掷两次，“第一次为正面”，“第二次为反面”B ．袋中有2个白球，2个黑球，不放回地摸两球，“第一次摸到白球”，“第二次摸到白球”C ．掷一枚骰子，“出现点数为奇数”，“出现点数为3或4”D ．掷一枚骰子，“出现点数为奇数”，“出现点数为偶数”11．如图，在棱长为2的正方体中，为线段上的动点，则（ ）A ．当时，B ．直线与所成的角不可能是C ．若，则二面角D ．当时，点到平面的距离为三、填空题：本大题共3小题，共15分.()()2,3,1,2A B -(),P x y AB 1y x+[]2,3-()2,3-][(),23,∞∞--⋃+()(),23,-∞-⋃+∞(1,1,1)A (0,1,0)B (0,0,1)C 211,,333⎛⎫⎪⎝⎭211,,333⎛⎫- ⎪⎝⎭111,,333⎛⎫- ⎪⎝⎭111,,333⎛⎫-- ⎪⎝⎭,A B A =B =A =B =A =B =A =B =1111ABCD A B C D -P 1BC 12B P PC =AP =1AP BD π61113B P BC = 11B A P B --12B P PC =1D 1A BP 2312．经过两点的直线的方向向量为,则 .13．如图，在平行六面体中，，，则 ．14．由1， 2， 3， …，1000这1000个正整数构成集合，先从集合中随机取一个数，取出后把放回集合，然后再从集合中随机取出一个数，则的概率为 ．四、解答题：本大题共5小题，共77分.15．（本小题13分）已知的顶点分别为，，.(1)求边的中线所在直线的方程；(2)求边的垂直平分线的方程.16．（本小题15分）为鼓励青年大学生积极参与暑期社会实践，某高校今年暑假组织返乡大学生积极参与了当地的暑假社区儿童托管服务.现抽样调查了其中100名大学生，统计他们参加社区托管活动的时间（单位：小时），并将统计数据制成如图所示的频率分布直方图.另外，根据参加社区托管活动的时间从长到短按3：4：3的比例分别被评为优秀､良好､合格.(1)求的值，并估计该校学生在暑假中参加社区托管活动的时间的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；(2)试估计至少参加多少小时的社区托管活动，方可以被评为优秀.17．（本小题15分）(0,2),(1,0)A B -(1,)k k =1111ABCD A B C D -12,3,4AD AB AA ===90BAD ∠=︒1160A AB A AD ∠=∠= 1AC =A A a aA A b 13a b >ABC V (2,4)A (7,1)B -(6,1)C -BC AD BC DE m如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面 是的中点，作交于点．(1)求证：平面；(2)求证：平面；(3)求平面与平面的夹角的大小．18．（本小题17分）甲、乙、丙三人结伴去游乐园玩射击游戏，其中甲射击一次击中目标的概率为，甲、乙两人各射击一次且都击中目标的概率为，乙、丙两人各射击一次且都击中目标的概率为，且任意两次射击互不影响．(1)分别计算乙，丙两人各射击一次击中目标的概率；(2)求甲、乙、丙各射击一次恰有一人击中目标的概率；(3)若乙想击中目标的概率不低于，乙至少需要射击多少次？（参考数据：，）19．（本小题17分）在空间直角坐标系中，已知向量，点.若直线以为方向向量且经过点，则直线的标准式方程可表示为；若平面以为法向量且经过点，则平面的点法式方程表示为.(1)已知直线的标准式方程为，平面，求直线与平面所成角的余弦值；(2)已知平面的点法式方程可表示为，平面外一点，求点到平面的距离；(3)（i ）若集合，记集合中所有点构成的几何体为，求几何体的体积：（ii ）若集合.记集合中所有点构成的几何体为，求几何体相邻两个面（有公共棱）所成二面角的大小.P ABCD -ABCD PD ⊥,,ABCD PD DC E =PC EF PB ⊥PB F //PA EDB PB ⊥EFD CPB PBD 12161999100lg 20.3010≈lg30.4771≈O xyz -(),,u a b c =()0000,,P x y z l u0P l ()0000x x y y z z abc a b c---==≠αu0P α()()()0000a x x b y y c z z -+-+-=l 1111x z -+==1α50y z +-+=l 1α2α2310x y z ++-=()1,2,1P P 2α{(,,)|||||2,||1}M x y z x y z =+≤≤M S S {(,,)|||||2,||||2,||||2}N x y z x y y z z x =+≤+≤+≤N T T高二级数学答案一、单选题：本大题共8小题，共40分.1．在简单随机抽样中，某一个个体被抽到的可能性（ ）A ．与第几次抽样有关，第一次抽到的可能性大一些B ．与第几次抽样无关，每次抽到的可能性都相等C ．与第几次抽样有关，最后一次抽到的可能性要大些D ．与第几次抽样无关，每次都是等可能抽取，但各次抽取的可能性不一定2．某烟花爆竹厂从20万件同类产品中随机抽取了100件进行质检，发现其中有5件不合格，那么请你估计该厂这20万件产品中不合格产品约有（ ）A ．1万件B ．18万件C ．19万件D ．20万件3的倾斜角为，在轴上的截距为，则（ ）A ．，B ．，C ．，D ．，4．如图，在平行六面体中，为与的交点，若，，，则下列向量中与相等的向量是（ ）A ．B ．C ．D ．5．给定组数，则错误的是（ ）A ．中位数为3BC ．众数为2和3D ．第85百分位数为46．已知向量，，从6张大小相同分别标有号码的卡片中，有放回地抽取两张，、分别表示第一次、第二次抽取的卡片上的号码，则满足的概率是（ ）A ．B ．C ．D．10y ++=αy b 5π6α=1b =2π3α=1b =-2π3α=1b =5π6α=1b =-1111ABCD A B C D -M 11AC 11B D AB a =AD b = 1AA c =BM11+22a b c-+ 1122a b c++1122a b c--+ 1122a b c-+ 5,4,3,5,3,2,2,3,1,2(),a x y =()1,2b =- 1,2,3,4,5,6x y 0a b ⋅>1123415167．设，若点在线段上，则的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．8．在空间直角坐标系Oxyz 中，，，，点H 在平面ABC 内，则当点O 与H 间的距离取最小值时，点H 的坐标是（ ）A ．B ．C ．D ．二、多选题：本大题共3小题，共18分.9．如图所示，下列频率分布直方图显示了三种不同的分布形态.图（1）形成对称形态，图（2）形成“右拖尾”形态，图（3）形成“左拖尾”形态，根据所给图作出以下判断，正确的是（ ）()()2,3,1,2A B -(),P x y AB 1y x+[]2,3-()2,3-][(),23,∞∞--⋃+()(),23,-∞-⋃+∞(1,1,1)A (0,1,0)B (0,0,1)C 211,,333⎛⎫⎪⎝⎭211,,333⎛⎫- ⎪⎝⎭111,,333⎛⎫- ⎪⎝⎭111,,333⎛⎫-- ⎪⎝⎭A ．图（1）的平均数=中位数=众数B ．图（2）的众数<中位数<平均数C ．图（2）的众数<平均数<中位数D ．图（3）的平均数<中位数<众数10．下列事件中，是相互独立事件的是（ ）A ．一枚硬币掷两次，“第一次为正面”，“第二次为反面”B ．袋中有2个白球，2个黑球，不放回地摸两球，“第一次摸到白球”，“第二次摸到白球”C ．掷一枚骰子，“出现点数为奇数”，“出现点数为3或4”D ．掷一枚骰子，“出现点数为奇数”，“出现点数为偶数”11．如图，在棱长为2的正方体中，为线段上的动点，则（ ）,A B A =B =A =B =A =B =A =B =1111ABCD A B C D -P 1BCA ．当时，B ．直线与所成的角不可能是C ．若，则二面角D ．当时，点到平面的距离为三、填空题：本大题共3小题，共15分.12．经过两点的直线的方向向量为,则 2 .13．如图，在平行六面体中， ，，则 7 ．14．由1， 2， 3， …，1000这1000个正整数构成集合，先从集合中随机取一个数，取出后把放回集合，然后再从集合中随机取出一个数，则的概率为 ．四、解答题：本大题共5小题，共77分.15．（本小题13分）已知的顶点分别为，，.(1)求边的中线所在直线的方程；(2)求边的垂直平分线的方程.12B P PC=AP =1AP BD π61113B P BC =11B A P B --12B P PC =1D 1A BP 23(0,2),(1,0)A B -(1,)k k =1111ABCD A B C D -12,3,4AD AB AA === 90BAD ∠=︒1160A AB A AD ∠=∠= 1AC =A A a aA A b 13a b >16672000ABC V (2,4)A (7,1)B -(6,1)C -BC AD BC DE16．（本小题15分）为鼓励青年大学生积极参与暑期社会实践，某高校今年暑假组织返乡大学生积极参与了当地的暑假社区儿童托管服务.现抽样调查了其中100名大学生，统计他们参加社区托管活动的时间（单位：小时），并将统计数据制成如图所示的频率分布直方图.另外，根据参加社区托管活动的时间从长到短按3：4：3的比例分别被评为优秀､良好､合格.(1)求的值，并估计该校学生在暑假中参加社区托管活动的时间的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；(2)试估计至少参加多少小时的社区托管活动，方可以被评为优秀.解：（1）由题意得，，解得.........4分因为，............8分所以可以估计该校学生在暑假中参加社区托管活动的时间的平均数约为38.25小时. (9)分（2）由题意得，因为，那么第70百分位数位于之间.m ()0.020.030.040.0651m ++++⨯=0.05m =()0.0227.50.0432.50.0637.50.0542.50.0347.5538.25⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=()0.0350.15,0.030.0550.4⨯=+⨯=40~45设第70百分位数为，则，解得.………………14分故至少参加42小时的社会实践活动，方可被评为优秀. ……………15分17．（本小题15分）如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面 是的中点，作交于点．(1)求证：平面；(2)求证：平面；(3)求平面与平面的夹角的大小．证明：（1）在四棱锥中，以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，设，则，…………1分，设平面的法向量为，则，令，得，…………3分则，而平面，所以平面.…………5分（2）由（1）知，，由，得，又，且平面，所以平面.…………9分（3）解：由（1）知，，且，设平面的法向量为，则，取，得，…………11分x ()450.050.15x -⨯=42x =P ABCD -ABCD PD ⊥,,ABCD PD DC E =PC EF PB ⊥PB F //PA EDB PB ⊥EFD CPB PBD P ABCD -D ,,DA DC DP ,,x y z 2DC =()()()()2,0,0,2,2,0,0,0,2,0,1,1A B P E ()()()2,0,2,2,2,0,0,1,1PA DB DE =-==EDB ()111,,m x y z =11112200DB m x y DE m y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩ 11y =-()1,1,1m =- 220PA m ⋅=-=PA ⊄EDB //PA EDB ()2,2,2PB =-0220PB DE ⋅=+-=PB ED ⊥EF PB ⊥,,EF DE E EF ED =⊂ EFD PB ⊥EFD ()0,2,0C ()()2,0,0,0,2,2CB PC ==-CPB ()222,,n x y z = 22220220CB n x PC n y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=-=⎪⎩21y =()0,1,1n =18．（本小题17分）甲、乙、丙三人结伴去游乐园玩射击游戏，其中甲射击一次击中目标的概率为，甲、乙两人各射击一次且都击中目标的概率为，乙、丙两人各射击一次且都击中目标的概率为，且任意两次射击互不影响．(1)分别计算乙，丙两人各射击一次击中目标的概率；(2)求甲、乙、丙各射击一次恰有一人击中目标的概率；(3)若乙想击中目标的概率不低于，乙至少需要射击多少次？（参考数据：，）12161999100lg 20.3010≈lg30.4771≈19．（本小题17分）在空间直角坐标系中，已知向量，点.若直线以为方向向量且经过点，则直线的标准式方程可表示为；若平面以为法向量且经过点，则平面的点法式方程表示为.(1)已知直线的标准式方程为，平面，求直线与平面所成角的余弦值；(2)已知平面的点法式方程可表示为，平面外一点，求点到平面的距离；(3)（i ）若集合，记集合中所有点构成的几何体为，求几何体的体积：（ii ）若集合.记集合中所有点构成的几何体为，求几何体相邻两个面（有公共棱）所成二面角的大小.O xyz -(),,u a b c =()0000,,P x y z l u 0P l ()0000x x y y z z abc a b c---==≠αu 0P α()()()0000a x x b y y c z z -+-+-=l 1111x z -+==1α50y z +-+=l 1α2α2310x y z ++-=()1,2,1P P 2α{(,,)|||||2,||1}M x y z x y z =+≤≤M S S {(,,)|||||2,||||2,||||2}N x y z x y y z z x =+≤+≤+≤N T T的正方形，高为2的长方体，的图象是一个完全对称的图象，所以我们只需讨论第一卦限的相邻两个平面的二面角即可，|||2}z x +≤。
福建省厦门2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题(含答案)
福建省厦门2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题本试卷共4页。
全卷满分150分。
考试用时120分钟。
注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将答题卡交回。
一、单选题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若经过两点的直线的倾斜角为，则等于（）A.-3B.-1C.0D.22.已知双曲线的离心率为，则该双曲线的渐近线方程为（）A. B. C. D.3.已知圆与圆关于直线对称，则的方程为（）A. B. C. D.4.已知抛物线的焦点为，过点且斜率大于0的直线交于A，B两点，若，则的斜率为（）5.如图，椭圆的两个焦点分别为，以线段为边作等边三角形若该椭圆恰好平分的另两边，则椭圆的离心率为（）(3,1)(2,1)A y B+-、3π4y22221(0,0)x ya ba b-=>>542y x=±12y x=±43y x=±34y x=±22:(1)(2)1M x y+++=22(3)(4)1N x y-++=：l l 250x y++=250x y--=250x y++=250x y--=2:4C y x=F F l C16||3AB=l22221(0)x ya ba b+=>>12,F F12F F12AF F 12AF FV12,AF AF6.已知为双曲线的右焦点，过点作的一条渐近线的垂线，垂足为E ，O 为坐标原点，若的面积为1，则的焦距的最小值为（ ）A.1B.2C.4D.7.如图，已知直线与抛物线交于A ，B 两点，且交AB 于点，点的坐标为，则方程为（ ）A. B. C. D.8.已知是椭圆与双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，线段的中垂线经过.记椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则的取值范围是（ ）A. B. C. D.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.9.已知为双曲线的一个焦点，则下列说法中，正确的是（ ）A.的虚轴长为6B.的离心率为C.的渐近线方程为D.点到的一条渐近线的距离为410.已知动点在直线上，动点在圆上，过点作圆的两条切线，切点分别为A 、B ，则下列描述正确的有（ ）1-F 2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>F C OEF V C l 22y x =,OA OB OD AB ⊥⊥D D (1,1)l 20x y +-=20x y ++=20x y -+=20x y --=12,F F P 12PF PF >1PF 2F 1e 2e 2114e e +(5,)+∞(6,)+∞(7,)+∞(6,7)F 22:1169x y Γ-=ΓΓ54Γ430x y ±=F ΓP :60l x y +-=Q 22:(1)(1)4C x y -+-=P CA.直线与圆相交B.|PQ |的最小值为C.四边形PACB 面积的最小值为4D.存在点，使得11.如图，曲线可以看作“蝴蝶结”的一部分，已知曲线上除原点外的所有点均满足其到原点的距离的立方与该点横纵坐标之积的绝对值的商恒为定值，则（ ）A.曲线关于直线对称B.曲线经过点，其方程为C.曲线围成的图形面积小于D.存在，使得曲线上有5个整点（即横、纵坐标均为整数的点）三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知椭圆的焦距是2，则的值是_____________.13.已知抛物线，从抛物线内一点发出平行于轴的光线经过抛物线上点反射后交抛物线于点，则的面积为____________.14.双曲线的离心率可以与其渐近线有关，比如函数的图象是双曲线，它的实轴在直线上，虚轴在直线上，实轴顶点是，焦点坐标是，已知函数.则其在一象限内的焦点横坐标是__________.四、解答题：共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（本小题13分）已知圆与轴交于A ，B 两点，动点与点A 的距离是它与点距离倍.（1）求点的轨迹方程;l C 2-P 120APB ︒∠=C C (0)a a >C y x =C (1,1)--()322||x yxy +=C 2π8a (2,6)a ∈C 221(4)4x y m m +=>m 24y x =A x B C ABC V 1y x=y x =y x =-(1,1),(1,1)--(y x =+e 22O :4x y +=x P B P（2）过点作倾斜角为直线交点的轨迹于M ，N 两点，求弦长|MN |.16.（本小题15分）已知双曲线的一条渐近线方程为，且经过点.（1）求双曲线的方程;（2）直线与双曲线相交于两点，若线段AB 的中点坐标为，求直线的方程.17.（本小题15分）已知椭圆分别为椭圆的左、右顶点.（1）求椭圆的方程;（2）过点作斜率不为0的直线，直线与椭圆交于P ，Q 两点，直线AP 与直线BQ 交于点，记AP 的斜率为的斜率为.求证:为定值.18.（本小题17分）已知抛物线的焦点为，点是上的一点，且.（1）求抛物线的方程;（2）设点（其中）是上异于的两点，的角平分线与轴垂直，为线段AB 的中点.（i ）求证:点N 在定直线上;（ii ）若的面积为6，求点A 的坐标.19.（本小题17分）通过研究，已知对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量，叫做把点绕点逆时针方向旋转角得到点，（1）已知平面内点，点，把点绕点逆时针旋转得到点，求点的坐标；（2）已知二次方程的图像是由平面直角坐标系下某标准椭圆绕原点逆时针旋转所得的斜椭圆，B 45︒l P 2222:100x y C a b a b-=>>（，）0x -=P C l C ,A B (3,2)l 2222:1(0)x y C a b a b+=>>,F A B C C (1,0)D l l C M 1,k BQ 2k 12k k 2:2(0)C y px p =>F (,2)M t C ||2MF =C ()()1122,,,A x y B x y 12x x <C M AMB ∠x N MAB ∆(,)AB x y =AB A θ(cos sin ,sin cos )AP x y x y θθθθ=-+B A θP (A B -B A π3P P 221x y xy +-=22221(0)x y a b a b+=>>O π4C（i ）求斜椭圆的离心率;（ii ）过点作与两坐标轴都不平行的直线交斜椭圆于点M 、N ，过原点作直线与直线垂直，直线交斜椭圆于点G 、H是否为定值，若是，请求出定值，若不是，请说明理由.C Q 1l C O 2l 1l 2l C 21||OH +福建省厦门2026届高二上期中考试数学试题参考答案及评分标准一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
浙江省宁波市镇海中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题(含答案)
镇海中学2024学年第一学期期中考试高二数学试题卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.1.在等差数列中，已知，，则等于（ ）A.11B.13C.15D.162.若椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合，则的值为（ ）A.1B.3C.4D.53.若点到直线和它到点的距离相等，则点的轨迹方程为（ ）A. B. C. D.4.任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2.反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环图.这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”等）.已知数列满足：，，则（ ）A.4720B.4722C.4723D.47255.已知函数是奇函数，函数是偶函数，且当时，，，则时，以下说法正确的是（ ）A. B.C. D.6.若函数在上单调递增，则的取值范围为（ ）A. B. C. D.7.已知，，，则（ ）A. B. C. D.8.已知椭圆：，左焦点为，在椭圆上取三个不同点，，，且，则的最小值为（ ）{}n a 12a =315S =4a 2212x y m +=24y x =m P 1x =-(1,0)P 2x y=2y x=24x y=24y x=1421→→→{}n a 11a =1,231,nn n n n a a a a a +⎧⎪=⎨⎪+⎩为偶数奇数当当为2024S =()f x ()g x 0x >()0f x '>()0g x '>0x <()()0f x g x ''+>()()0f xg x ''->()()0f xg x ''>()0()f xg x '>'21()1kx f x x +=+[)2,+∞k 43k ≥-1k ≤-1k ≤43k ≤-2023log 2024a =2024log 2025b =2025log 2026c =a b c>>a c b>>c b a>>c a b>>C 2213627x y +=F C P Q R 23PFQ QFR RFP π∠=∠=∠=123FP FQ FR ++A.B.C.D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列选项正确的是（ ）A.，B.，C.，D.，10.已知抛物线：，为共焦点，直线与抛物线交于，两点，则下列说法正确的是（ ）A.若点为抛物线上的一点，点坐标为，则的最小值为3B.若直线过焦点，则以为直径的圆与相切C.若直线过焦点，当时，则D.设直线的中点坐标为，则该直线的斜率与无关，与有关11.数列满足，，，则下列结论中一定正确的是（ ）A. B. C. D.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知，，则______.13.已知双曲线与直线相交于A ，B 两点，其中AB 中点的横坐标为，则该双曲线的离心率为______.14.已知函数，若在上恒成立，则实数的取值范围为______.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知函数.（1）求的最小值；（2）求在点处的切线方程.16.设等比数列的前项和为，且，.43434343-1y x =21y x'=-2x y =2ln 2xy '=ln y x =1y x'=cos 2y x =sin 2y x'=-C 24y x =F l C ()11,M x y ()22,N x y A B (3,1)AF AB +l F MN 1x =-l F MN OF ⊥5OM ON ⋅=MN ()00,x y ()00y ≠0x 0y {}n a 11a =22a =21n n n a a a ++>+1050a >20500a <10100a <20500a >1n a +=11a =100a =22221x y a b -=1y x =-23-()5ln(1)(5)5xf x e a x a x =++-+-()0f x ≥(0,)+∞a ()xf x xe =()f x ()f x (1,)e {}n a n n S 11a =-122n n n S S S ++=+（1）求数列的通项公式.（2）求数列的前项和.17.已知双曲线：（1）求双曲线的渐近线方程；（2）已知点，，直线与双曲线交于，两点，，，求的值.18.已知函数，，其中在.（1）求的值；（2）求函数的单调区间；（3）若恒成立，求实数的取值范围.19.在必修一中，我们曾经学习过用二分法来求方程的近似解，而牛顿（Issac Newton ，1643-1727）在《流数法》一书中给出了“牛顿切线法”求方程的近似解.具体步骤如下：设是函数的一个零点，任意选取作为的初始近似值，曲线在点处的切线为，设与轴交点的横坐标为，并称为的1次近似值；曲线在点处的切线为，设与轴交点的横坐标为，称为的2次近似值.一般地，曲线在点处的切线为，记与轴交点的横坐标为，并称为的次近似值.不断重复以上操作，在一定精确度下，就可取为方程的近似解.现在用这种方法求函数的大于零的零点的近似值，取.（1）求和；（2）求和的关系并证明；{}n a (1)n n n a ⎧⎫-⋅⎨⎬⎩⎭n n T C 2213y x -=C (0,4)P (2,0)Q PQ C A B 1PQ QA λ= 2PQ QB λ=12λλ+21()ln (R)f x mx x m x =+-∈21()1x g x xe x x=---()f x 1x =m ()f x ()()nx g x f x ≤-n r ()y f x =0x r ()y f x =()()00,x f x 1l 1l x 1x 1x r ()y f x =()()11,x f x 2l 2l x 2x 2x r ()y f x =()(),()n n x f x n ∈N 1n l +1n l +x 1n x +1n x +r 1n +n x ()0f x =2()2f x x =-r 02x =1x 2x n x 1n x -()*Nn ∈（3.()*11N nii xn =<<+∈∑镇海中学2024学年第一学期期中考试高二数学试题卷标准答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.A2.B3.D4.C5.B6.D7.A8.B二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分.9.ABC10.BCD11.AD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.14.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（1），在单调递减，单调递增，的最小值为（2）16.（1）（2）17.（1）（2）：，，，可得设点，，，18.（1）由题意可知，的定义域是，因为在处取得极值，所以，即，解得.当时，，单调递增；1105a ≤()(1)xf x x e '=+()f x (,1)-∞-(1,)-+∞()f x 1(1)f e-=-2y ex e =-1(1)2nn n a -=-⋅1242n n n T -+=-y =PQ 24y x =-+(2,4)PQ =- 222433y x x y =-+⎧⎨-=⎩216190x x -+=()11,A x y ()22,B x y 1216x x ∴+=1219x x ⋅=()()111222(2,4)2,2,PQ x y x y λλ=-=-=-()()()121212122422248222293x x x x x x λλ+-∴+=+===------()f x (0,)+∞211()2(0)f x mx x x x '=++>()f x 1x =(1)0f '=2110m ++=1m =-(0,1)x ∈()0f x '>()f x当时，，单调递减；所以在处取得极值.（2）此时，恒成立，当时，；当时，；所以的单调递增区间是，单调递减区间是.（3）在上恒成立，设，，，令，则，由，故恒成立，故在上单调递增，又，，故存在，使，即，即在上单调递减，在上单调递增，故，由，则，令，则有，，当时，恒成立，故在上单调递增，故，即，则，即的最小值为1；.(1,)x ∈+∞()0f x '<()f x ()f x 1x =()23222(1)2211121()2x x x x x f x x x x x x-++-++'=-++==22210x x ++> (0,1)x ∈()0f x '>(1,)x ∈+∞()0f x '<()f x (0,1)(1,)+∞ln 1xx n e x x ≤--(0,)+∞ln 1()e x x x x xϕ=--min ()n x ϕ∴≤22221ln 1e ln ()e (0)x xx x xx x x x xϕ-+'=-+=>2()e ln (0)xx x x x μ=+>()21()2e xx x x xμ'=++0x >()21()2e 0xx x x xμ'=++>()x μ(0,)+∞1112eee2221111e e e ln e 10e ee e e μ-⎛⎫=+=-=< ⎪⎝⎭(1)e ln l e 0μ=+=>01,1e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()00x μ=0200e ln 0xx x +=()x ϕ()00,x ()0,x +∞()0()x x ϕϕ≥0200e ln 0x x x +=01ln 0000ln 1e ln e x x x x x x =-=⋅()()1e (0)xx f x x x ω=+=>()001lnx x ωω⎛⎫= ⎪⎝⎭()()(1)e x x f x x ω''==+0x >()0x ω'>()x ω(0,)+∞001lnx x =00ln x x =-()001ln 000000000ln 1111e e 11x x x x x x x x x x x ϕ-=--=--=+-=()x ϕ1n ∴≤19.（1），：，，：，.（2），（3）左边：右边：，，，，求和，故()2f x x '=(2)4f '=1l 4(2)246y x x =-+=-132x =332f ⎛⎫'= ⎪⎝⎭2l 311733244y x x ⎛⎫=-+=- ⎪⎝⎭21712x =()()222nn n y x x x x --=-2122n n nxx x ++=1n x +=>22121444n n n xx x +⎛⎫=++ ⎪⎝⎭21202n n n n x x x x +--=<2n x <<22211134442n n n x x x +⎛⎫<+=+ ⎪⎝⎭()2211224n n x x +-<-()2201122244nnn x x ⎛⎫⎛⎫-<-=⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12n nx <<11nii x=<+∑。
北京市延庆区2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题(含答案)
延庆区2024-2025学年第一学期期中试卷高二数学2024.11本试卷共6页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回.第一部分（选择题共40分）一､选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.在复平面内，复数的共轭复数对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.已知向量且，那么（ ）A. B.6C.9D.183.在空间直角坐标系中，点关于坐标平面的对称点为（）A. B. C. D.4.设分别是空间中直线的方向向量，则直线所成角的大小为（ ）A. B. C. D.5.过和两点的直线的倾斜角是（）A. B.1 C. D.6.“”是“直线与平行”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件7.在平行六面体中，，点在上，且，则（ ）1i +()()1,2,1,3,,a b x y =-= a ∥b b = ()1,2,3P xOy ()1,2,3-()1,2,3-()1,2,3--()1,2,3-()()120,1,1,1,0,1v v ==- 12,l l 12,l l π65π6π32π3()2,0-()0,21-3π4π41a =1:20l ax y +-=()2:2120l x a y +++=1111ABCD A B C D -1,,AA a AB b AD c === P 1AC 1:1:2A P PC =AP =A. B.C. D.8.已知正方体的棱长为为的中点，则到平面的距离为（ ）9.在正方体中，点是线段上任意一点，则与平面所成角的正弦值不可能是（ ）A. B.10.已知点，直线，若直线上至少存在三个，使得为直角三角形，直线倾斜角的取值范围是（ ）211333a b c ++ 122333a b c ++ 112333a b c -++ 122333a b c -- 1111ABCD A B C D -2,E 1BB 1B 11A D E 1111ABCD A B C D -E 11A C AE ABCD 1323()()0,1,0,1A B -:2l y kx =-l M MAB V lA. B.C. D.第二部分（非选择题共110分）二､填空题共5小题，每小题5分，共25分.11.复数，则__________.12.已知点，点在线段上，且，则点坐标为__________.13.若平面，平面的法向量为，平面的法向量为，写出平面的一个法向量__________.14.已知点，直线与线段无交点，则直线在轴上的截距为__________；的取值范围是__________.15.如图：在直三棱柱中，，.记，给出下列四个结论：①存在，使得任意，都有；②对于任意点，都不存在点，使得平面平面；③的最小值为3；④当取最小时，过点作三棱柱的截面，则截面周长为.其中，所有正确结论的序号是__________.三､解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16.（本小题13分）已知的顶点坐标为.π5π0,,π66⎛⎤⎡⎤⋃ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦πππ2π,,3223⎡⎫⎛⎤⋃⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦πππ3π,,4224⎡⎫⎛⎤⋃⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦πππ5π,,6226⎡⎫⎛⎤⋃⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦5i 12iz =-z =()()1,1,4,1,4,2A B -C AB 2AC CB =C αβ⊥α()11,2,3n = β()2,,0n x y = β()()1,3,1,4A B -:2l y ax =-AB l y a 111ABC A B C -13,90AB BB BC ABC ∠==== 1,(01,01)CH xCB CP yCB x y ==<≤≤≤ (),f x y AH HP =+H P AH HP ⊥H P AHP ⊥11A B C (),f x y (),f x y ,,A H P 5ABC V ()()()1,52,14,3A B C ---､､（1）求过点且与直线平行的直线的方程；（2）求边上的中线所在直线的方程；（3）求边上的高所在直线的方程.17.（本小题14分）如图，在三棱柱中，底面是的中点，且.（1）求证：平面；（2）若，求直线与平面所成角的正弦值；（3）若，求平面与平面所成角的余弦值.18.（本小题14分）设的内角对应的边分别为，且.（1）求角的大小；（2）从下列三个条件中选择一组作为已知，使存在且唯一，并求的面积.条件①：；条件②：；条件③：.注：如果选择的条件使不存在或不唯一，第（2）问得0分.19.（本小题14分）已知函数，且的图像过点.（1）求函数的最小正周期和单调递减区间；（2）若函数在上与直线有交点，求实数的取值范围；（3）设函数，记函数在上的最大值为，求的最小B AC BC AB 111ABC A B C -1CC ⊥,ABC D 11A C 12AC BC CC ===1BC ∥1AB D AC BC ⊥1CC 1AB D AC BC ⊥1AB D 11ACC A ABC V ,,A B C ,,a bc sin cos b A B =B ABC V ABC V 3,sin 2sin b C A ==5b a ==b C ==ABC V ()22sin cos 2cos f x a x x x =+()f x π,06⎛⎫- ⎪⎝⎭()f x ()f x π,12m ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦3y =m ()()()g x f x t t =-∈R ()g x π11π,612⎡⎤⎢⎥⎣⎦()M t ()M t值及此时的值.20.（本小题15分）如图，已知四棱锥中，底面是边长为4的正方形，平面是正三角形，分别为的中点.（1）求证：平面；（2）求点到平面的距离；（3）线段上是否存在点，使得三棱锥的值；若不存在，说明理由.21.（本小题15分）给定正整数，设集合.对于集合中的任意元素和，记.设，且集合，对于中任意元素，若则称具有性质.（1）判断集合是否具有性质，集合是否具有性质；（直接写出答案，结论不需要证明）（2）判断是否存在具有性质的集合，并加以证明；（3）若集合具有性质，证明：.t P ABCD -ABCD CD ⊥,PAD PAD V ,,,E F G O ,,,PC PD BC AD PO ⊥ABCD A EFG PC M M EFG -PM PC 2n ≥(){}{}12,,,,0,1,1,2,,n k M t t t t k n αα==∈= ∣M ()12,,,n x x x β= ()12,,,n y y y γ= 1122n n x y x y x y βγ⋅=+++ A M ⊆(){}12,,,,1,2,,i i i i in A t t t i n αα=== ∣A ,i j αα,,1,,i j p i j i j αα=⎧⋅=⎨≠⎩A (),T n p ()()(){}1,1,0,1,0,1,0,1,1A =()3,2T ()()()(){}1,1,0,0,1,0,1,0,0,1,1,0,1,0,0,1B =()4,2T ()4,T p A A (),T n p ()121,2,,j j nj t t t p j n +++==延庆区2024-2025学年第一学期期中考试高二数学参考答案及评分标准2024.11一､选择题（共10小题，每小题4分，共40分）1.D2.A3.B4.C5.D6.C7.A8.B9.A 10.B二､填空题（共5小题，每小题5分，共25分）12. 13.（不唯一，共线即可）14.，（注：第一问3分，第二问2分）15.①③④（注：对一个2分，两个3分，有选错0分）三､解答题（共6小题，共85分）16.（共13分）解：（1）直线的斜率过点且与直线平行的直线的斜率为过点且与直线平行的直线方程为（2）设边的中点为，因为，所以点的坐标为，即，所以边的中线所在直线方程为()1,3,0()2,1,0-2-()6,5-AC 532145AC k -==---B AC 25-B AC ()21225905y x x y +=-+⇒++=BC D ()()2,14,3B C --､D 2413,22-+-+⎛⎫ ⎪⎝⎭()1,1D 51211AD k -==---BC ()121230y x x y -=--⇒+-=（3）因为，所以边的高线所在直线的斜率为，因此边的高线所在直线方程为.17.（共14分）（1）证明：连接，设，连接，由为三棱柱，得.又是的中点，所以是的中位线，.平面平面，平面；（2）解：底面，以为原点，的方向分别为轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则，，设平面的法向量为由，得；15621AB k --==-+AB 16-AB ()13462206y x x y -=--⇒+-=1A B 11A B AB E ⋂=DE 111ABC A B C -1A E BE =D 11A C DE 11ΔA BC 1BC ∴∥DE 1BC ⊄ 1,AB D DE ⊂1AB D 1BC ∴∥1AB D 1CC ⊥ ,ABC AC BC ⊥C 1,,CA CB CC ,,x y z ()()()0,0,0,2,0,0,0,2,0C A B ()()()()1112,0,2,0,2,2,0,0,2,1,0,2A B C D ()()()110,0,2,2,2,2,1,0,2CC AB AD ==-=- 1AB D (),,n x y z =12220220n AB x y z n AD x z ⎧⋅=-++=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ ()2,1,1n =设直线与平面所成角为.则.直线与平面.（3）设平面与平面所成角为为锐角，平面的法向量为，，平面与平面.18.（共14分）解：（1），由正弦定理得，在中，，，.（2）若选①，由余弦定理，得，解得若选③，1CC 1AB Dθ111sin cos ,n CC n CC n CC θ⋅=<>== ∴1CC 1AB D 1AB D 11ACC A ,αα11ACC A ()0,1,0m =cos cos ,n m n m n m α⋅=<>== 1AB D 11ACC A sin cos b A B =sin sin a b A B =sin sin cos B A A B =ABC V sin 0,tan A B ≠=()0,πB ∈ π3B ∴=sin 2sin ,2C A c a== 2222cos b a c ac B =+-222944cos a a a B =+-a c ==1sin 2S ac B ∴==b C == ()sin sin sin cos cos sin A B C B C B C =+=+=由正弦定理可得：选择②，面积公式2分；余弦定理2分.不超过4分.19.（共14分）解：（1）由题意，，解得，，，的最小正周期；的单调减区间为（2）函数在区间上与直线有交点所以，函数在区间上的最大值为3，又因为所以，解得.实数的取值范围是.（3）当时，取最大值4c =1sin 2S bc A ==2πππ3sin 2cos 206364f a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+-=+⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭a =()22cos f x x x ∴=+cos21x x =++π2sin 216x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭()f x 2ππ2T ==()f x π2ππ,π,63k k k z ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦()f x π,12m ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦3y =()f x π,12m ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ππ20,266x m ⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦ππ262m +≥π6m ≥∴m π,6∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭()()ππ11πππ2sin 21,,,2,2π661262g x f x t x t x x ⎛⎫⎡⎤⎡⎤=-=++-∈+∈ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎣⎦ππ262x +=()f x t -3t -当时，取最小值所以，当时，当时，所以，当时，20.（共15分）（1）证明：因为是正三角形，是的中点，所以.又因为平面平面，平面，所以面；解：（2）因为两两互相垂直.以点为原点，的方向分别为轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系.则，设平面的法向量为，由，得，点到平面的距离π3π262x +=()f x t -1t --1t ≤()3M t t=-1t >()1M t t =+1t =min ()2M t =PAD V O AD PO AD ⊥CD ⊥,PAD PO ⊂,PADCD PO ⊥,,AD CD D CD AD ⋂=⊂ABCD PO ⊥ABCD ,,OA OG OP O ,,OA OG OP,,x y z ()()()()()(0,0,0,2,0,0,2,4,0,2,4,0,2,0,0,0,0,O A B C D P --((()1,,,0,4,0,E F G --()((0,2,0,1,2,,1,4,EF EG FG =-==EFG (),,n x y z =2020n EF y n EG x y ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=+=⎪⎩ )n = (3,AE =- A EFG AE n d n ⋅==（3）设所以点到面的距离为定值解得：或.21.（共15分）（1）集合具有性质，集合B 不具有性质.（2）当时，集合A 中的元素个数为4.由题设.假设集合A 具有性质，则①当时，，矛盾.②当时，，不具有性质，矛盾.③当时，.因为和至多一个在A 中；和至多一个在A 中；和至多一个在A 中，故集合A 中的元素个数小于4，矛盾.④当时，，不具有性质，矛盾.⑤当时，，矛盾.综上，不存在具有性质的集合.11,0,,122PM PC λλ⎡⎫⎛⎤=∈⋃⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦()()2,4,,12,4M EM λλλλ-=-- M EFG 2PF n d nλ⋅== cos ,||||EF EG EF EG EF EG ⋅<>=== 1sin ,22EFG S EF EG EF EG =<>=V 11sin ,36M EFGEFG V S h EF EG EF EG h -==<>=V 14PM PC λ==34A ()3,2T ()4,2T 4n ={}0,1,2,3,4p ∈()4,T p 0p =(){}0,0,0,0A =1p =()()()(){}1,0,0,0,0,1,0,0,0,0,1,0,0,0,0,1A =()4,1T 2p =()()()()()(){}1,1,0,0,1,0,1,0,1,0,0,1,0,1,1,0,0,1,0,1,0,0,1,1A ⊆()1,1,0,0()0,0,1,1()1,0,1,0()0,1,0,1()1,0,0,1()0,1,1,03p =()()()(){}1,1,1,0,1,1,0,1,1,0,1,1,0,1,1,1A =()4,3T 4p =(){}1,1,1,1A =()4,T p A（3）记，则.若，则，矛盾.若，则，矛盾.故.假设存在使得，不妨设，即.当时，有或成立.所以中分量为1的个数至多有.当时，不妨设.因为，所以的各分量有个1，不妨设.由时，可知，中至多有1个1，即的前个分量中，至多含有个1.又，则的前个分量中，含有个1，矛盾.所以.因为，所以.所以.()121,2,,j j j nj c t t t j n =+++= 12n c c c np +++= 0p =(){}0,0,,0A = 1p =(){}1,0,0,,0A = 2p ≥j 1j c p +…1j =11c p +…1c n =0j c =()12,3,,j c j n == 12,,,n ααα ()1212n n n n np +-=-<…11p c n +<…11211,111,0p n t t t t +===== n n p αα⋅=n αp 23,11n n n p t t t +==== i j ≠1i j αα⋅={}121,2,3,,1,,,,q q p q q p t t t +∀∈+ 121,,,p ααα+ 1p +121p p p ++=+()11,2,,1i n i p αα⋅==+ 121,,,p ααα+ 1p +()()1122p p p +++=+()1,2,,j c p j n = …12n c c c np +++= ()1,2,,j c p j n == ()121,2,,j j nj t t t p j n +++==。
重庆市2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷含答案
重庆市高2026届高二上期期中考试数学试题（答案在最后）2024.11注意事项：1．本试卷满分为150分，考试时间为120分钟．2．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、准考证号填写在答题卡上．3．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、单项选择题：本题共8小题，每题5分，共40分.1.直线l 过(,),(,)()P b c b Q a c a a b ++≠两点，则直线l 的斜率为（）A.a b a b+- B.a b a b-+ C.1D.1-【答案】C 【解析】【分析】利用直线上两点的坐标求斜率即可.【详解】由题意可知，斜率()()1a b a bk a c b c a b--===+-+-，故选：C.2.若平面α的法向量为()4,4,2n =--，方向向量为(),2,1x 的直线l 与平面α垂直，则实数x =（）A.4B.4- C.2D.2-【答案】D 【解析】【分析】根据直线垂直于平面，则直线的方向向量平行于平面的法向量，即可求解.【详解】由直线l 与平面α垂直，故直线l 方向向量(),2,1x 与平面α的法向量()4,4,2n =--平行，设()()4,4,2,2,1x λ--=，即4422xλλλ=⎧⎪-=⎨⎪-=⎩，解得22x λ=-⎧⎨=-⎩.故选：D.3.圆心为(1,1)-且过原点的圆的一般方程是（）A.22220x y x y ++-= B.22220x y x y +-+=C.22220x y x y +--= D.222210x y x y ++-+=【答案】B 【解析】【分析】先求半径，再得圆的标准方程，最后转化为圆的一般方程.【详解】由题意知，()0,0在圆上，圆心为(1,1)-，所以圆的半径r ==，所以圆的标准方程为()()22112x y -++=，则一般方程为：22220x y x y +-+=，故选：B.4.椭圆22221x y a b +=和2222(0,0,,0)x y k a b a b k a b+=>>≠>一定具有（）A.相同的离心率B.相同的焦点C.相同的顶点D.相同的长轴长【答案】A 【解析】【分析】先将方程化为标准方程，再根据离心率，焦点。
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高二上学期期中考试数学试题(带答案)（注：题号后（A ）表示1-7班必做，（B ）表示8班必做。
）（完卷时间：120分钟，总分：150分）一、 选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
） 1.设,,a b c R ∈,且a b >,则（ ）A ．ac bc >B ．11a b< C ．22a b > D ．33a b >2.已知数列}{n a 是公差为2的等差数列，且521,,a a a 成等比数列，则2a = （ ）A ． －2B. －3C ． 2D ． 33.已知集合2{|4120},{|2}A x R x x B x R x =∈--<=∈<则()R A C B =（ ）A ．{|6}x x <B ．{|22}x x -<<C ．{|2}x x >-D ．{|26}x x ≤<4.若变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≤+012y x y x ,则y x z +=2的最大值和最小值分别为（ ）A ．4和3B ．4和2C ．3和2D ．2和05、已知等比数列{}n a 的前三项依次为1a -，1a +，4a +，则n a =( )A ．342n⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭ B ．243n⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭ C ．1342n -⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭ D ．1243n -⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭6.在△ABC 中，边a ，b ，c 的对角分别为A 、B 、C ，且B C A C A 222sin sin sin sin sin =⋅-+．则角B=( )A ．3πB ．2πC ．4πD ．6π7. 不等式⎩⎨⎧≤≤≥++-300))(5(x y x y x 表示的平面区域是一个( )A ．三角形B ．直角三角形C ．梯形D ．矩形8. ABC ∆的内角A B C 、、的对边分别是a b c 、、,若2B A =,1a =,3b =,则c =（ ）A ．23B ．2C ．2D ．19、（A ）在等差数列{}n a 中，79527a a a -=+，n S 表示数列{}n a 的前n 项和，13S = （ ） A 、18 B 、99 C 、117 D 、2979.(B) 执行右边的程序框图,若p =12,则输出的n =( )A.2B.3C.4D.510．若0,0>>n m ，且132=+n m ，则23m n+的最小值为( )A ．245B ．265C ．24D ．2511.在△ABC 中，已知b 2－bc －2c 2＝0，a ＝6，cos A ＝78，则△ABC 的面积S 为( )A.152 B.15 C.8155D ．63 12．数列{}n a 是递减的等差数列，{}n a 的前n 项和是n S ，且96S S =，有以下四个结论：①08=a ； ②当n 等于7或8时，n S 取最大值； ③存在正整数k ，使0=k S ； ④存在正整数m ，使m m S S 2=；其中所有正确结论的序号是（ ）A ．①②B ．①②③C ．②③④D ．①②③④二、填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分。
）13. 若角βα,满足,22πβαπ<<<-则βα-的取值范围是______________． 14．已知△ABC 的三个内角A 、B 、C 成等差数列，且边a=4，c=3，则b=_____________15.一货轮航行到M 处，测得灯塔S 在货轮的北偏东 60，与灯塔S 相距310海里，随后货轮按北偏西 45的方向航行30分钟至N 处，又测得灯塔S 在货轮的正东方向，则货轮的时速为 海里 16.(A)数列{}n a 中，232n a n =-，则当n= ，该数列的前n 项和n S 取得最大值。
16（B ）定义在(,0)(0,)-∞+∞上的函数()f x ,如果对于任意给定的等比数列{}n a , {()}n f a 仍是等比数列,则称()f x 为“保等比数列函数”. 现有定义在(,0)(0,)-∞+∞上的如下函数:①2()f x x =;②()2x f x =; ③()||f x x =; ④()ln ||f x x =. 则其中是“保等比数列函数”的()f x 的序号为三、解答题：（本大题共6小题，共74分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.（本题12分）在⊿ABC 中，已知030,1,3===B b c .（1）求出角C 和A ； （2）求⊿ABC 的面积S ； （3）将以上结果填入右下表.18. （本题12分）在等比数列{n a }中，5a =162，公比q =3，前n 项和n S =242，求首项1a 和项数n 的值．19． (A) （本题12分）已知c b a ,,分别是△ABC 的三个内角A 、B 、C 的对边．（Ⅰ）若△ABC 面积为,60,2,23︒==A c 求b a ,的值； （Ⅱ）若B b A a cos cos =，试判断△ABC 的形状．19.(B) （本题12分）某城市有一块不规则的绿地如图所示，城建部门欲在该地上建造一个底座为三角形的环境标志，小李、小王设计的底座形状分别为△ABC 、△ABD ，经测量CAS情况① 情况②AD=BD=14，BC=10,AC=16,∠C=∠D ． (I)求AB 的长度；(Ⅱ)若建造环境标志的费用与用地面积成正比，不考虑其他因素，小李、小王谁的设计使建造费用最低，请说明理由．20. （本题12分）某单位建造一间地面面积为122m 的背面靠墙的矩形小房，由于地理位置的限制，房子侧面的长度x 不得超过m 5，房屋正面的造价为400元/2m ，房屋侧面的造价为150元/2m ，屋顶和地面的造价费用合计为5800元，如果墙高为m 3，且不计房屋背面的费用，当侧面的长度为多少时，总造价最低？ 21（A ）（本题12分）已知))(1()(a x ax x f --=. （1）当12a =时，解不等式()0f x ≤；（2）若0a >，解关于x 的不等式()0f x ≤.(3)若不等式0)(≥x f 恒成立，求a 的值21(B). （本题12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,且n S =22n n +,*∈N n ,数列{}n b 满足3log 42+=n n b a ,*∈N n .(1)求n a ，n b(2)求数列{}n n b a ⋅的前n 项和n T .22.(A) （本题14分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,且n S =22n n +,*∈N n ,数列{}n b 满足3log 42+=n n b a ,*∈N n .(1)求n a ，n b(2)求数列{}n n b a ⋅的前n 项和n T .22(B). （本题14分）已知函数1)1()(2+++=x k kx x f （k 为常数）（1）若2=k ，解不等式()0>x f （2）解不等式()0>x f（3）对于任意R x ∈总有0)(≥x f 成立，求k 的取值范围．第一学期高二年级期中考数学科考试（答案）一、选择题题号 12 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 D D CBCACBC,C DAD二．填空题13. 0<-<-βαπ 14. 13 15. 610 16.（A ） 11 16(B) ① ③ 解答题： 17.1819.（A ）解：（I ）23sin 21==A bc S 2360sin 221=︒⋅∴b 得b=1。
由余弦定理得A bc c b a cos 2222-+=360cos 2122122=︒⋅⋅-+=∴a 则3=a ．（Ⅱ）由正弦定理及acosA=bcosB 得sinAcosA=sinBcosB ∴sin2A=sin2B ∴2A=2B 或2A=π－2B即A=B 或A+B=2π ∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形19（B ） 解：（Ⅰ）在ABC ∆中，由余弦定理得222222cos 161021610cos AB AC BC AC BC C C =+-⋅=+-⋅⋅ ①在ABD ∆中，由余弦定理及C D ∠=∠整理得2222222cos 1414214cos AB AD BD AD BD D C =+-⋅=+-⋅ ②………2分C A S 情况①60 90 23情况②120 30 43由①②得：222221414214cos 161021610cos C C +-⋅=+-⋅⋅ 整理可得 1cos 2C =，……………4分 又C ∠为三角形的内角，所以60C =,又C D ∠=∠,AD BD =,所以ABD ∆是等边三角形， 故14AB =，即A 、B 两点的距离为14.……………6分 （Ⅱ）小李的设计符合要求. 理由如下：1sin 2ABD S AD BD D ∆=⋅ 1sin 2ABC S AC BC C ∆=⋅ 因为AD BD ⋅>AC BC ⋅…………10分 所以ABD ABC S S ∆∆>由已知建造费用与用地面积成正比，故选择ABC ∆建造环境标志费用较低。
即小李的设计符合要求 (12)20、由题意得，造价)50(,5800)16(9005800)400121502(3≤<++=+⨯+⨯=x xx x x y 则（元）130********29005800)16(900=+⋅⨯≥++=x x x x y当且仅当时取等号，即416==x xx故当侧面的长度为4米时，总造价最低。
21（A ）解: （1）当12a =时，()1202x x ⎛⎫--≤ ⎪⎝⎭，∴不等式的解集为122x x ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭ ……………2分 （2）∵不等式()1()0f x x x a a ⎛⎫=--≤ ⎪⎝⎭当1a a>时，有01a <<，∴不等式的解集为1x a x a ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭； ……………5分当1a a<时，有1a >，∴不等式的解集为1xx a a ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭； ……………8分 当1a a =时，有1a =，∴不等式的解集为{}1． ……………………………10分（3）1=a ……………………………12分。