第五章 位移法

B B' P
ui sin i
此拉力在垂直方向上的分力为: Ni sin i
A
α
EAi Ni ui li
2)列位移法基本方程:
7
i
B
ui=Δ sinα
i
Δ N sin i P 此结构受力平衡,则有 i i 1 B'' 7 i α EAi B' sin 2 i P ………位移法基本方程 i 1 li 即
θ
θ
1 1 M 12 Pl12，M 21 Pl12 8 θ8 θ
θ
图中,因有强迫转角存在, 则有转角弯矩：
θ
θ
i
j
lij M ij 3EI ij
M ji lij 3EI ij


θ M ji lij
6 EI ij
lij M ij 6 EI ij
M ij 则：
I 2 EI i1 2 EI i 2 I I I 1 2 4 E i1 i 2 i 3 is i li1 li 2 li 3 lis li1 li 2 2 EI is s M i1 M i 2 M i 3 M is 0 lis I I I I kii 4 E i1 i 2 i 3 is lis 若令 li1 li 2 li 3 2 EI ij 2 EI i1 2 EI i 2 ki1 , ki 2 kij li1 li 2 lij M i M i1 M i 2 M i 3 M is
设杆的材料相同,断面面积均为A, 中间杆长l,斜杆长 l′( l′= l /sinα).
B P
1、用力法求解
解：1）分析判断：
对于此超静定桁架分析可知，每一根杆件均 为二力杆，解除中间杆上端约束，用约束反力 X代替，得原超静定结构的基本结构，如图。
α
B P
X
α
2）列变形协调方程：
由题意，在仅有力P作用时， P TP 两斜杆的拉力均为： 2 sin 斜杆的伸长为（沿斜杆方向）为：
1
1
θ
2
4) 基 本 概 念
①“固端弯矩” 两端刚性固定的单跨梁在外力作用下的固定断面的弯矩 M ②“转角弯矩” 两端刚性固定的单跨梁仅因固定端发生转角而引起的在固定端 断面中的弯矩 M
5) 位移法基本方程形成 ：
把上述两个阶段“固端弯矩” 与“转角弯矩”叠加,并设θ0、 θ1、θ2恰好转到这样大小,使 得梁端的总弯矩应该具有的条 件满足,即
…………..以上所述的就是位移法的基本原理
二、位移法的符号规定与基本方程
注意:单跨梁弯曲理论所规定的符号法则在位移法中不适用.
在计算平面刚架和平面板架时,我们规定将结构置于XOY平面内,XOYZ为右手 直角坐标系,称为“总体坐标系”或 “结构坐标系”.为研究方便,每根杆件都要取一个 坐标系,称为 “局部坐标系”.
此方程式组叫做“位移法方程式”
(3) 位移法的计算步骤: 1.分析结构的节点，确定可以发生转角的节点，从 ...、 n 。 而决定几个未知数 n,1、 2、 ___ 2.形成刚性固定端，计算固端弯矩 M ； ...、 n ，求 M ' ； 3.强迫转动，使发生转角1、 2、 ___ ' ...、 n。 4.求总弯矩 M ij M ij M ij ，并求未知数 1、 2、 5.根据下图对位移法的解题思路进行分析 例题：
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
则上式改写作:
ki11 ki 22 kiii kiss Mi
对于整个结构,如果有n个节点发生转动,则将有如下 之节点平衡方程式组：
k111 k12 2 k133 k1n n M 1 k211 k22 2 k233 k2 n n M 2 k311 k32 2 k333 k3n n M 3 kn11 kn 2 2 kn 33 knn n M n
（5）列并解平衡方程 （6）求总弯矩
M i1 M i 2 M i3 ... M is 0
例1
用位移法计算图中的等 断面双跨梁(即前一章中用力 法算过的例子，见图4-6)。
解: 1)先决定未知数的数目. 这个双跨梁有三个节点(支座),由于支座0为刚性固定，θ0= 0 , 故未知转角数目有两个:θ1与θ2 ,于是假想在支座l与2处加固,使原来 的双跨梁变成两个两端刚性固定的单跨梁,其基本结构如下:
' P
TP l ' Pl EA 2 EA sin 2
B P
在仅有约束反力X作用时，斜杆的缩短(沿斜 杆方向)为：
Xl X 2 EA sin 2
'
在P和X共同作用下，B端向下的位移为:
X
α

P X ( P X )l sin 2 EAsin 3
' '
θ
0
θ
1
θ
1
θ
2
a)对支座0,弯矩等于零的条件满足
0 M 01 M 01
b)对支座l,弯矩平衡条件满足
M12 M12 M10 M10 0 M 21 M 21
c)对支座2,弯矩等于零的条件满足
于是就可以从这三个方程式中解出未知转角θ0、θ1和θ2求出 了这三个转角后，还可以求出因转角而引起的弯矩M’,于是每一根 梁的梁端总弯矩即可由公式 M M M 求到 。
4 EI ij lij
i
2 EI ij lij
j
M ji
2 EI ij lij
i
4 EI ij lij
j
同不难得： N ij
M ji M ij lij
N ji
M ji M ij lij
M ij M ij M ij M ij
中间杆B端的伸长也应该为△,这就是变形 协调条件,则有: ( P X )l Xl 2 EA sin 3 EA 3)解方程,可得到:
X
B P
P 1 2 sin 3 即此超静定结构解完,余下的问题是静定问题,很容易求解.
如果在此结构中再对称地增加几根 杆件,如图,B点会产生向下的位移△。
5.1 位移法
船体 结构 计算 的两 条路
1 2
先求未知力,再求位移(变形)
力法 位移法
先求未知位移(变形),再求内力
力法是求解超静定结构的有效方法之一,原理容易理解、基本结构 选取灵活、简单，适应不同计算要求。原则上讲,它可以解决所有的 超静定结构问题。但对有些问题力法不是很方便。
一、力法与位移法的比较 例：求如图所示的一次超静定桁架,
整理得:
8 EI 2 EI 1 2 0 l l 2 EI 4 EI 1 2 1 2 ql l l 12
就此结构而言，是5次超静定结构。 虽然此时可利用对称性，只剩下3个 未知力，但用力法解时仍比较麻烦。 若结构中有n 根杆件时，则用力法求解时 就会非常麻烦。
B B' P
2、现在我们从另一个角度出发来 考虑问题的求解。
1)分析: 从原结构中任意取出一根杆,如图, 设此杆下端位移为 ui ,由图中几何 关系得:
2 EI12 4 EI12 1 2 l12 l12
M 12
4EI12 2EI12 1 2 l12 l12
（4）列总弯矩表达式
M10 M10 M10 M12 M12 M12 M 01 M 01 M 01
M 21 M 21 M 21
0 1 1
θ
(b)力的差别:
上图中梁的中间支座断面的弯矩(指中间支座左断面与右断面的 弯矩)大小相等、方向相反(弯矩平衡),且支座0和2是自由支持端,弯 矩为零。而下图中的梁被分成了两个刚性固定的单跨梁,在外力作用 下,梁0-l在1断面的弯矩和梁1-2在l断面的弯矩显然不等,并且在0和2 断面中的弯矩亦不等于零
2)求固端弯矩及转角弯矩. 查弯曲要素表,得固端弯矩为:
θ1θ
1
θ
2
1 2 1 ql , M 10 ql 2 12 12 1 1 M 12 ql 2 , M 21 ql 2 12 12 M 01
再计算因转角θ1与θ2 引起的杆端弯矩：
2 EI 4 EI 1 , M 10 1 l l 4 EI 2 EI 2 EI 4 EI M 12 1 2 , M 21 1 2 l l l l M 01
B B''
ui
Ni
解得:

P 7 EAi sin 2 i i 1 li
例2 求解如图表示的一个具有两道纵仓壁的油船宽肋骨刚架. 分析: 此刚架共有十根杆子，八个节点，是一个复杂刚架。
如果用力法来解这个刚架 我们需要把它在节点处切开(或加铰)后成为十个单跨梁,并出现 十六个未知弯矩——节点1、4、5、8断面各有一对相同的弯矩,节点 2、3、6、7断面各有三个不同的弯矩，因此我们就需要列十六个方 程式才能求解。 根据刚架是左右对称的,未知弯矩的数目可以减少一半,但仍嫌 太多。方程式多了不但求解困难，还容易带来误差，因此力法解题 不适合.
例如，对于图中的双跨梁，我们首先把它在支座0、l和2处加固， 即加上抗转约束，使其分成两根两端刚性固定的单跨梁，如图所示。 这种两端刚性固定的单跨梁就是位移法中的基本结构，显然此基本 结构不是静定结构。
3) 现在来比较上下两图中 的梁的差别：
(a)变形的差别:
上图中的梁是连续的,支座0与 支座2是自由支持的,所以梁在支座 0、1和2断面都将发生转角。而下图中的梁在支座0、l和2处被刚性固 θ θ θ 定了,因而在该处转角为零.
局部坐标系规定:杆件轴线为x轴,原点为杆一端,另一端在x轴正方向上,
z轴正方向与总体坐标系相同. （1）位移法的符号规定：弯矩一律以顺时针方向为正；杆端剪力 一律与y轴正向为正。
（2）位移法的基本方程：通过弯曲要素表来 求固端弯矩 M 、转角弯矩 M 。
固端弯矩:
M 01 1 1 Ql01，M 10 Ql01 12 12
3)列位移法的基本方程: 对支座1,有: 对支座2,有:
M12 M12 0 M10 M10
0 M 21 M 21
将求得的固端弯矩及转角引起之杆端弯矩代入上两式,得:
1 2 4 EI 1 4 EI 2 EI ql 1 ql 2 1 2 0 12 l 12 l l 1 2 2 EI 4 EI ql 1 2 0 12 l l
θ
0
θ
1
θ
1
θ
2
（1）确定未知数 （2）求固端弯矩
M 01＝－ 1 Ql 01 M 10 12
1 M 12＝－ Pl12 M 21 8
（3）求强迫弯矩
M 01 4 EI01 2 EI01 0 1 l01 l01
M 10
M 21
2EI01 4EI01 0 1 l01 l01
4 EI ij lij
2 EI ij lij
i
i
2 EI ij lij
4 EI ij lij
j
j
则求杆端总弯矩：
M ji M ji M ji M ji
根据新的符号规定可以列出，平衡方程：
M i1 M i 2 M i 3 ... M is 0
将杆端总弯矩代入上式后,可得:
位移法就是计算这类复杂刚架 的一个较好的方法。
1)含义:
以节点转角为基本未知数(转角是 角位移),再根据杆件节点断面弯矩平 衡条件建立方程式,最后解出位移,所 以叫做“位移法”。
θ
0
θ
1
θ
1
θ
2
2)位移法的基本结构
和力法不同，位移法中不是把杆系拆为两端自由支持的单跨梁，而是将 杆系中各杆化为两端刚性固定的单跨梁。
为使基本结构中的梁的受力 与变形情况与原结构中的梁一致, 并把基本结构中的两个单跨梁联 系起来, 我们强迫下图中梁0-1的 0端转动一个角度θ0，l端转动一 个角度θ1 ,同时梁1-2的1端亦转动角度θ1 ,另外梁1-2的2端转动一个 θ θ θ 角度θ2 ,如图所示。 θ θ θ
0 1 1
θ
2
0