等比性质
数学教案合比性质和等比性质例
数学教案合比性质和等比性质例章节一：合比性质介绍1.1 教学目标：了解合比性质的概念。
学会运用合比性质进行比例计算。
1.2 教学内容：合比性质的表示方法：a:b = c:d = e:f 表示a/b = c/d = e/f。
1.3 教学步骤：1. 引入合比性质的概念，引导学生理解合比性质的意义。
2. 通过示例讲解合比性质的应用，让学生学会如何运用合比性质进行比例计算。
3. 练习题：让学生独立完成一些合比性质的练习题，巩固所学知识。
章节二：等比性质介绍2.1 教学目标：了解等比性质的概念。
学会运用等比性质进行比例计算。
2.2 教学内容：等比性质定义：如果有两个比例相等，它们可以组成一个新的比例。
等比性质的表示方法：a:b = c:d 表示a/b = c/d。
2.3 教学步骤：1. 引入等比性质的概念，引导学生理解等比性质的意义。
2. 通过示例讲解等比性质的应用，让学生学会如何运用等比性质进行比例计算。
3. 练习题：让学生独立完成一些等比性质的练习题，巩固所学知识。
章节三：合比性质和等比性质的应用3.1 教学目标：学会运用合比性质和等比性质解决实际问题。
3.2 教学内容：合比性质和等比性质的应用场景：如商业、工程等领域中的比例计算问题。
3.3 教学步骤：1. 引入合比性质和等比性质的应用场景，让学生了解合比性质和等比性质在实际问题中的应用。
2. 通过示例讲解合比性质和等比性质在实际问题中的应用，让学生学会如何运用合比性质和等比性质解决实际问题。
3. 练习题：让学生独立完成一些合比性质和等比性质的应用题，巩固所学知识。
章节四：比例计算练习4.1 教学目标：巩固比例计算的知识。
4.2 教学内容：比例计算的方法和技巧。
4.3 教学步骤：1. 复习比例计算的基本概念和公式。
2. 通过示例讲解比例计算的方法和技巧，让学生学会如何进行比例计算。
3. 练习题：让学生独立完成一些比例计算的练习题，巩固所学知识。
章节五：比例应用题5.1 教学目标：学会解决实际问题中的比例应用题。
第2课时 等比的性质及其应用
第2课时等比的性质及其应用【学习目标】1．进一步了解成比例线段的概念、巩固并掌握比例的基本性质．2．能推导并理解比例的等比性质和合比性质．3．能运用比例的性质解决与比例线段有关的几何问题．【学习重点】巩固并掌握比例的基本性质及其简单应用，能推导并理解比例的等比性和合比性．【学习难点】运用比例的基本性质解决有关问题．一、情景导入生成问题1．已知点C为线段AB上一点，AB＝25cm，AC＝5cm，则ACBC＝14．2．已知线段a＝2，b＝3，d＝6且线段a，c，b，d成比例，则c＝4．3．如图，△ABC中，ADAB＝DEBC，DE＝1，AD＝2，BD＝3，则BC的长是(C)A.32B.23C.52D.72二、自学互研生成能力知识模块一探索比例的性质先阅读材料P79－80页的内容，然后完成下面的问题：1．比例的基本性质：如果a∶b＝c∶d，那么ad＝bc．2．等比性质：若ab＝cd＝ef＝…＝mn，且b＋d＋f＋…＋n≠0，则a＋c＋e＋…＋mb＋d＋f＋…＋n＝ab．3．合(分)比性质：若ab＝cd，则a±bb＝c±dd．1．证明等比性质：若ab＝cd＝ef＝…＝mn＝k，且b＋d＋f＋…＋n≠0.则a＝kb，c＝kd，e＝kf，…，m＝kn.∴a＋c＋e＋…＋mb＋d＋f＋…＋n＝kb＋kd＋kf＋…＋knb＋d＋f＋…＋n＝k（b＋d＋f＋…＋n）b＋d＋f＋…＋n＝k＝mn.2.证明合(分)比性质：(1)∵ab＝cd，∴ab＋1＝cd＋1，∴ab＋bb＝cd＋dd，∴a＋bb＝c＋dd；(2)∵ab＝cd，∴ab－1＝cd－1，∴ab－bb＝cd－dd，∴a－bb＝c－dd.归纳：合(分)比性质的证明用到了等式的性质1，同分母分式的加减法法则．知识模块二比例性质的应用1．自学自研教材P80页例2.2．目的：学到的知识要会应用升华，在这个环节中让学生灵活应用比例的等比性质，解决实际问题、师生互动，主要还是学生的动，要体现教师的主导作用，学生的主体作用，让学生会主动学习，遇到问题要善于分析思考．典例讲解：1．已知k＝a＋bc＝b＋ca＝c＋ab，求k的值．分析：解决这个问题时一定要注意分类讨论，不能只用等比性质，而把a＋b＋c＝0这种情况漏掉．解：当a＋b＋c＝0时，a＋b＝－c，k＝－cc＝－1；当a＋b＋c≠0时，可以用等比性质k＝2（a＋b＋c）a＋b＋c＝2；所以当a＋b＋c＝0时，k＝－1，当a＋b＋c≠0时，k＝2.2．在△ABC中，D是BC上一点，若AB＝15cm，AC＝10cm，且BD∶DC＝AB∶AC，BD－DC＝2cm，求BC.解：∵AB＝15cm，AC＝10cm，∴BDDC＝ABAC＝1510＝32.设BD＝3k，DC＝2k，∵BD－DC＝2cm，∴k＝2cm.∴BC＝3k＋2k＝5k＝10cm.对应练习：1．教材P80随堂练习．解：已知ab＝cd＝23(b＋d≠0)，则a＋bb＋d＝23b＋23db＋d＝23.2．教材P81习题4.2第1题．解：已知a b ＝c d ＝e f ＝23(b ＋d ＋f ≠0)，则a ＋c ＋e b ＋d ＋f ＝23b ＋23d ＋23f b ＋d ＋f ＝23.3．教材P 81习题4.2第2题．解：AB ＝22＋42＝25；DE ＝12＋22＝5；BC ＝22＋62＝210；DC＝12＋32＝10；AC ＝42＋62＝213；EC ＝22＋32＝13；△ABC 与△EDC 的周长比为25＋210＋2135＋10＋13＝2.三、交流展示 生成新知1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自主探究、合作探究”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上．并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑． 2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．知识模块一 探索比例的性质知识模块二 比例性质的应用四、检测反馈 达成目标见《名师测控》学生用书．五、课后反思 查漏补缺1．收获：___________________________________________________ 2．存在困惑：_______________________________________________。
等比性质知识点总结归纳
等比性质知识点总结归纳一、等比数列的定义等比数列是指一个数列中，从第二项起，每一项与它的前一项的比值都相等的数列。
即对于数列{a1, a2, a3, ..., an}，若对任意的n≥2，都有an/an-1=an-1/an-2=...=a2/a1=q（q≠0），则称该数列是等比数列，其中q为等比数列的公比。
二、等比数列的性质1.通项公式：对于等比数列{a1, a2, a3, ..., an}，其通项公式为an=a1*q^(n-1)（n≥1），其中a1为首项，q为公比。
2.前n项和公式：等比数列前n项和公式为Sn=a1*(1-q^n)/(1-q)（n≥1），其中a1为首项，q为公比。
3.角标和公式：等比数列角标和公式为Sn=a1*(1-q)/1-q^(n)（n≥1），其中a1为首项，q为公比。
4.性质1：等比数列的首项、公比、通项、前n项和、角标和满足一定关系。
5.性质2：等比数列的前两项确定了整个数列，即已知首项和公比就可以唯一确定一个等比数列。
6.性质3：等比数列的任意相邻两项的比值都等于公比，即an/an-1=q（n≥2）。
7.性质4：等比数列的任意三项都满足一个比值关系，即an/an-1=an-1/an-2=an/an-2=q^2（n≥3）。
8.性质5：等比数列中，如果公比大于1，则数列是递增的；如果公比小于1且大于-1，则数列是递减的；如果公比小于-1或等于-1，则数列不变号。
9.性质6：等比数列的各项满足乘法法则，即连续三项的乘积等于它们中间一项的平方。
10.性质7：等比数列中，如果公比大于1，则数列无上界；如果公比小于1且大于-1，则数列有上界，上界为a1/(1-q)；如果公比小于-1或等于-1，则数列不收敛。
三、等比数列的计算方法1.已知首项和公比求通项公式：对于等比数列{a1, a2, a3, ..., an}，若已知首项a1和公比q，其通项公式可求得为an=a1*q^(n-1)（n≥1）。
数列的等差与等比性质
数列的等差与等比性质数列是数学中一个有序的数的集合，其中每个数都被称为该数列的项。
数列在许多数学和实际应用中起着关键的作用。
在数列中，有两个重要的性质，即等差性质和等比性质，它们在数列的定义、特征和应用中都具有重要意义。
一、等差数列等差数列是指数列中的相邻两项之间的差值相等的数列。
设数列为{a₁, a₂, a₃, ...}，其中相邻两项之间的差值为d，则该数列为等差数列。
可以表示为：a₂ - a₁ = a₃ - a₂ = a₄ - a₃ = ... = d等差数列的常用表示方法是使用通项公式 an = a₁ + (n - 1)d，其中a₁为首项，d为公差，n为项数。
通过这个公式，我们可以方便地求得等差数列的任意一项。
例如，对于等差数列{2, 5, 8, 11, ...}，首项a₁=2，公差d=3，第n项可以通过an = 2 + (n - 1)3来计算。
等差数列在数学和实际生活中都有广泛的应用。
例如，在几何学中，等差数列可以用于定义等差数列的基本概念，如等差中项、等差均分、等差数列的前n项和等等。
在经济学中，等差数列可以用于描述某种现象的增长或减少规律，如某种商品的价格随时间的变化等。
二、等比数列等比数列是指数列中的相邻两项之间的比值相等的数列。
设数列为{b₁, b₂, b₃, ...}，其中相邻两项之间的比值为r，则该数列为等比数列。
可以表示为：b₂ / b₁ = b₃ / b₂ = b₄ / b₃ = ... = r等比数列的常用表示方法是使用通项公式 bn = b₁ * r^(n - 1)，其中b₁为首项，r为公比，n为项数。
通过这个公式，我们可以方便地求得等比数列的任意一项。
例如，对于等比数列{3, 6, 12, 24, ...}，首项b₁=3，公比r=2，第n项可以通过bn = 3 * 2^(n - 1)来计算。
等比数列也在数学和实际生活中扮演着重要角色。
在几何学中，等比数列可以用于定义等比数列的基本概念，如等比中项、等比比例、等比数列的前n项和等等。
合比性质和等比性质合比性质课件
通过这个课程，学习者可以掌握合比 性质和等比性质的基本概念、性质和 应用。
此外，该课程还注重培养学习者的逻 辑思维和数学素养，为进一步学习其 他数学课程打下坚实的基础。
展望
随着数学理论和应用的不断发 展，合比性质和等比性质的相 关知识也将不断更新和完善。
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定义
合比性质和等比性质的定义不同，合 比性质是指两个比值的和或差与另一 个比值之间存在一定的关系，而等比 性质则是两个比值相等。
性质
应用
合比性质在数学、物理等领域有广泛 应用，如几何、代数等，而等比性质 则主要应用于比例、百分数等问题。
合比性质涉及到两个比值的和或差与 另一个比值之间的关系，而等比性质 则是两个比值相等。
应用场景
等比性质在几何学中有着广泛的应用，如相似三角形、相似多边形的判定和性质等 。
等比性质在函数和数列中也经常出现，如等差数列和等比数列的判定和性质等。
等比性质在解决实际问题中也有应用，如测量、工程设计等领域中经常需要用到等 比性质来计算比例和比例关系。
03 合比性质和等比性质的比 较和联系
比较
练习题
设计一系列与合比性质和等比性 质相关的练习题，难度适中，覆
盖面广。
练习题应包括选择题、填空题、 计算题等多种题型，以便全面考 查学生对合比性质和等比性质的
理解和掌握程度。
对于难度较大的题目，可以给出 提示或解题思路，帮助学生更好 地理解和掌握合比性质和等比性
质。
06 总结和展望
总结
合比性质和等比性质合比性质课件是 一个全面、深入的课程，涵盖了合比 性质和等比性质的相关知识。
4.1比例的等比性质
则 a=2k,
b=5k,
c=6k,
2a+5b–c 4k+25k–6k 23 = . ∴ 3a–2b+c = 6k–10k+6k 2
本节课学习了什么内容？
成比例线段的意义， 主要内容： 比例的2个主要性质及其应用.
能力要求：通过本课的学习， 形成比例变形的能力， 要做一定量的习题，达到熟练.
比例性质
本节课学习目标
• 1.掌握比例的基本性质定理、等比性质， 会运用比例的性质进行简单的比例变换
自学检测：
两条线段的比是它们的长度的比，
也就是两个数的比.
关于成比例的数具有下面的性质.
比例式是等式，
因而具有等式的各个性质， 此外还有一些特殊性质：
(1)比例的基本性质
如果 a：b =c：d ，那么ad =bc.
a c 比例的内项乘积等于外项乘积 . 因为 a：b=c：d， 即 b = d ， 两边同乘以 bd，得 ad=bc； 上述性质反过来也对，就是
如果 ad =bc，那么 a：b =c：d .
(1)比例的基本性质
综合地说：
a：b=c：d ad=bc.
特殊地说：
a：b=b：c
2 b =ac.
说明： (1)一个等积式可以改写成八个比例式
练习3—5：
A
F C
Байду номын сангаас
基础练习：
x+y 5 x 例1、已知 3y = 4 ，求 y . x+y 5 解： ∵ 3y = 4 ， x+y 15 ∴ y = 4 ， x+y–y 15–4 ∴ y = 4 ， x 11 ∴ y=4 .
基础练习：
初中数学等比性质的推广和压缩
初中数学等比性质的推广和压缩
等比性质：如果。
那么。
因为在等比性质中，每个比的分子、分母的系数都是1，所以在初中几何课本中直接利用等比性质的题很少，如果根据分式的基本性质把等比性质推广，或者是把等比性质压缩，使用推广或压缩后的等比性质做题，就可以简化做题过程。
一、等比性质的推广
如果（）
那么
其中均为非零整数
且
证明：根据分式的基本性质，得
因为
所以
由等比性质，得
例1、已知，求的值。
分析：因为所求代数式中，每一项的系数都不是1，所以不能直接使用等比性质，又因为所给代数式与所求代数式对应项的系数相同，因此可以使用等比性质的推广。
解：因为
由等比性质的推广，得
因为
所以
所以
例2、已知，求的值。
分析：①此题条件的书写形式与等比性质条件的书写形式不同，所以要先改变条件的书写形式。
②所求代数式的分子、分母中相同字母的系数不同，所以需两次使用等比性质的推广。
解：由，得
设
由等比性质的推广，得
所以
所以
二、等比性质的压缩
等比性质的压缩，也可以说是等比性质部分条件的应用，即根据题中所求代数式的需要，选择条件中的部分等比作为新的条件，然后利用等比性质或等比性质的推广求解。
例3、已知，其中a，b，c，d，e，f，g，h都是整数，求证：
证明：设
所以
所以
所以
所以
例4、若，求的值。
解：由，得
由等比性质的推广和压缩，得
所以。
4.1.2等比性质教案
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是“4.1.2等比性质”这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过类似银行利息递增、细胞分裂这样的情况？”这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索等比数列的奥秘。
五、教学反思
在今天的教学过程中，我发现学生们对等比数列的概念和性质的理解普遍较好，大多数同学能够快速掌握等比数列的通项公式和求和公式。但在实际应用方面，部分学生还是显得有些吃力。我觉得这可能是因为我们在教学过程中，对实际案例的分析和讲解还不够充分，导致学生们在遇到实际问题时，不知道如何运用所学知识去解决。
在实践活动和小组讨论环节，学生们表现出了很高的积极性。他们通过讨论和实验操作，加深了对等比数列的理解。但同时我也发现，部分学生在讨论过程中过于依赖同学，缺乏独立思考。针对这一问题，我将在接下来的教学中，鼓励学生们独立思考，培养他们解决问题的能力。
此外，我还注意到，在课堂总结环节，有些学生对等比数列的应用仍然存在疑问。为了帮助他们更好地消化和吸收所学知识，我计划在课后加强个别辅导，针对学生的疑问进行有针对性的解答。
1.培养学生的逻辑推理能力，使其能够理解和运用等比数列的定义和性质进行推理；
2.提升学生的数学建模能力，通过等比数列的通项公式和求和公式的推导与应用，解决实际问题；
3.培养学生的数据分析能力，让学生能够从实际问题中抽象出等比数列模型，并进行求解；
4.增强学生的数学运算能力，熟练掌握等比数列的计算方法和技巧；
4.1.2等比性质教案
一、教学内容
数学教案合比性质和等比性质例
数学教案合比性质和等比性质例一、教学目标1. 理解合比性质和等比性质的概念。
2. 学会运用合比性质和等比性质进行比例计算。
3. 能够解决实际问题，提高解决问题的能力。
二、教学内容1. 合比性质：如果四个数a, b, c, d满足a + b = c + d，它们可以组成两个比例a:b = c:d和b:a = d:c。
2. 等比性质：如果四个数a, b, c, d满足a b = c d，它们可以组成两个等比a:b = c:d和b:a = d:c。
三、教学重点与难点1. 合比性质的理解和运用。
2. 等比性质的理解和运用。
四、教学方法1. 采用讲解法，讲解合比性质和等比性质的概念及运用方法。
2. 采用例题讲解法，通过具体例题讲解合比性质和等比性质的运用。
3. 采用练习法，让学生通过练习题巩固所学知识。
五、教学过程1. 引入：讲解比例的概念，引导学生思考比例的性质。
2. 讲解合比性质：介绍合比性质的定义，讲解合比性质的运用方法。
3. 讲解等比性质：介绍等比性质的定义，讲解等比性质的运用方法。
4. 例题讲解：选取典型例题，讲解合比性质和等比性质的运用。
5. 练习：布置练习题，让学生运用合比性质和等比性质进行计算。
6. 总结：对本节课的内容进行总结，强调合比性质和等比性质的运用方法。
7. 作业布置：布置课后作业，巩固所学知识。
六、教学评价1. 课堂讲解：评价学生对合比性质和等比性质的理解程度，以及运用性质进行比例计算的能力。
2. 练习题解答：评价学生对课堂所学知识的掌握程度，以及解决问题的能力。
3. 课后作业：评价学生对所学知识的巩固程度，以及运用合比性质和等比性质解决实际问题的能力。
七、教学反思1. 教学过程中是否有效地讲解了合比性质和等比性质的概念及运用方法？2. 学生是否积极参与课堂讨论和练习，展现出对比例性质的理解和运用能力？3. 针对学生的学习情况，是否需要调整教学方法和教学内容？八、拓展与延伸1. 合比性质和等比性质在实际生活中的应用：举例说明合比性质和等比性质在解决实际问题中的应用，如商业、工程等领域。
2023九年级数学上册第四章图形的相似1成比例线段第2课时等比性质教案(新版)北师大版
作业评价：
对学生的作业进行认真批改和点评，及时反馈学生的学习效果，鼓励学生继续努力。具体来说，我采取了以下措施：
1.批改作业：我认真批改学生的课后作业，对每一个学生的作业都进行了详细的检查和评分。我注重批改学生的解题过程，而不是仅仅关注答案的正确与否。
5.证明两个成比例线段是等长的：已知成比例线段a, b, c, d满足a/b = c/d，那么ab = cd。如果ab = cd，那么a^2 = b^2 + c^2 - 2bc*cos(A)，因为A是角b和角c所夹的角，所以a^2 = b^2 + c^2。因为a^2 = b^2 + c^2，所以a^2 = a^2，因此a = b。
在本节课的教学中，我们需要通过具体的例子和实际问题，让学生理解和掌握成比例线段的性质和等比性质的应用。通过课堂讲解、小组讨论和实践活动，培养学生的逻辑推理能力、直观想象能力和数学建模能力。同时，通过布置课后作业和提供拓展资源，帮助学生巩固所学知识，并拓宽知识视野。
教学反思与总结
今天上的这节课，让我再次深刻体会到了教学相长的乐趣。在准备和教授成比例线段和等比性质这部分内容时，我尝试了多种教学方法和策略，有些地方做得还不错，但也有需要改进的地方。
课堂
在课堂教学中，我通过提问、观察、测试等方式，了解学生的学习情况，及时发现问题并进行解决。具体来说，我采取了以下措施：
1.提问：在讲解成比例线段和等比性质的过程中，我通过提问的方式，了解学生对知识点的理解和掌握情况。我设计了不同难度的问题，以考察学生对概念的理解和应用能力。
北师大版初中九年级初三数学课件 第2课时等比性质
(b
d
n
0), 那么 a b
c m d n
a b
.
例题解析：
(1)、已知 a 2 ,求 a b 与 a - b； b3 b b
(2)、在ABC与DEF中，若 AB BC CA 3 , DE EF FD 4
且ABC的周长为18cm，求DEF的周长。
A
如图，已知
BE CF AB = AC
，
那么
AE AB =
AF AC
，
E
F
理由：
B
C
BE CF
AB = AC
AC CF AB = BE
AC AB
=
–CF –BE
AB–BE≠0
AC–CF AB–BE
=
AC AB
AF AC AE = AB
AF AE AC = AB
AE AF AB = AC.
已知：如图，OOCA
=
OB OD
=
3 2
∴
OA+OC OA
=
5 3
，
B
即
AC OA
=
5 3
，∴
OA AC
=
3 5
；
D
O C
1、你有什么感想、收获…？ 2、你有什么发现、探索…？
谢谢！
AD HG
的值又是多少？在求解过程中，你有什么发现？
已知，a，b，c，d，e，f六个数。
(2)如果 a c e (b d f 0), bd f
那么 a c e a 成立吗？为什么？ bd f b
比例基本性质
如果 a c ,那么a b c d .
bd
bd
如果
a b
梯形等比定理
梯形等比定理梯形等比定理梯形的等比平行于两底，并且等于两底和的一半L=(a+b)÷2 S=L×h(1)比例的基本性质如果a:b=c:d,那么ad=bc 如果ad=bc,那么a:b=c:d(2)合比性质如果a/b=c/d,那么(a±b)/b=(c±d)/d(3)等比性质如果a/b=c/d=…=m/n(b+d+…+n≠0),那么(a+c+…+m)/(b+d+…+n)=a/b平行线分线段成比例定理三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例推论平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的.对应线段成比例定理如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例看过梯形等比定理，聪明的同学都知道梯形的等比平行于两底，并且等于两底和的一半了吧！梯形等比公式L1：L2=L3：L4，若CD平行于AB和CD，则以上成立(1)比例的基本性质如果a:b=c:d,那么ad=bc;如果ad=bc,那么a:b=c:d(2)合比性质如果a/b=c/d,那么(a±b)/b=(c±d)/d(3)等比性质如果a/b=c/d=…=m/n(b+d+…+n≠0),那么(a+c+…+m)/(b+d+…+n)=a/b梯形的计算公式如下：1、梯形的周长计算公式：周长=上底+下底+腰+腰用字母表示：L=a+b+c+d (设上底长为a，下底长为b，两腰长分别为c、d，周长为L）2、等腰梯形的周长计算公式：周长=上底+下底+2腰用字母表示：L=a+b+2d （设上底长为a，下底长为b，两腰长分别为c、d，周长为L，由于等腰梯形的两腰长相等，即c=d，化简可得L=a+b+2d）3、梯形的面积公式：面积=（上底+下底）×高÷2用字母表示：s=(a+b)*h/2 (设梯形的上底长为a，下底长为b，高为h，面积为s）。
等比性质-优秀公开课
第2课时 等比性质知识点 比例的等比性质1．如果a b ＝c d ＝e f ＝23(a ，b ，c ，d ，e ，f 均为正数)，那么下列选项中错误的是( ) ＝23＝23 ＝c ＋e d ＋f＝23 2．教材例2变式题已知在△ABC 和△DEF 中，AB DE ＝BC EF ＝AC DF ＝56，则△ABC 与△DEF 的周长之比为( )3．已知a b ＝c d ＝e f ＝35，b ＋d ＋f ＝50，那么a ＋c ＋e ＝________. 4．已知a ，b ，c 是△ABC 的三边长，且a 5＝b 4＝c 6≠0. (1)求2a ＋b 3c的值； (2)若△ABC 的周长为90，求各边的长．5．已知a b ＝c d ＝e f ＝12(b ＋d ＋f≠0)，则a －4c ＋2e 2b －8d ＋4f的值为( )6．若x 2＝y 5＝z 7，且x ＋2y ＋z ＝38，则x ＝________，y ＝________，z ＝________． 7．若m 4＝n 5＝p 6，且m －n ＋p ＝10，则m ＋n －p ＝________．8．已知a ，b ，c 为△ABC 的三边长，且a ＋b ＋c ＝60，a 3＝b 4＝c 5，试求△ABC 的面积．9．阅读下面的解题过程，然后解题：题目：已知x a －b ＝y b －c ＝z c －a(a ，b ，c 互不相等)，求x ＋y ＋z 的值． 解：设x a －b ＝y b －c ＝z c －a＝k ，则x ＝k(a －b)，y ＝k(b －c)，z ＝k(c －a)，于是x ＋y ＋z ＝k(a －b ＋b －c ＋c －a)＝k·0＝0.依照上述方法解答下列问题：已知y ＋z x ＝z ＋x y ＝x ＋y z (x ＋y ＋z≠0)，求x －y －z x ＋y ＋z的值．10．已知a b ＋c ＋d ＝b a ＋c ＋d ＝c a ＋b ＋d ＝d a ＋b ＋c＝k ，求k 的值．教师详解详析1．D4．解：(1)设a 5＝b 4＝c 6＝k ，则a ＝5k ，b ＝4k ，c ＝6k ，所以2a ＋b 3c ＝10k ＋4k 18k ＝79. (2)由(1)及题意得5k ＋4k ＋6k ＝90，解得k ＝6，所以a ＝30，b ＝24，c ＝36.5．C 10 148．解：∵a 3＝b 4＝c 5＝a ＋b ＋c 3＋4＋5＝6012＝5， ∴a ＝15，b ＝20，c ＝25.又∵152＋202＝252，即a 2＋b 2＝c 2，∴△ABC 是直角三角形，且a ，b 为直角边长，∴S △ABC ＝12×15×20＝150. 9．解：设y ＋z x ＝z ＋x y ＝x ＋y z＝k ， 则y ＋z ＝kx ，z ＋x ＝ky ，x ＋y ＝kz ，∴2(x ＋y ＋z )＝k (x ＋y ＋z )．∵x ＋y ＋z ≠0，∴k ＝2，∴y ＋z ＝2x ，z ＋x ＝2y ，x ＋y ＝2z ，则x －y －z x ＋y ＋z＝－13. 10．解：①当a ＋b ＋c ＋d ＝0时，k ＝－1；②当a ＋b ＋c ＋d ≠0时，由等比性质，得a ＋b ＋c ＋d （b ＋c ＋d ）＋（a ＋c ＋d ）＋（a ＋b ＋d ）＋（a ＋b ＋c ）＝a ＋b ＋c ＋d 3（a ＋b ＋c ＋d ）＝13＝k ，∴k ＝13. 综上可知，k ＝－1或13.。
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则 a=kb, c=kd, e=kf
那么
kb kd kf bd f
=
Hale Waihona Puke k (b d f ) bd f
a = k= b
故原等式成立
常用法“设k法” 设 =k ， b d f ，
a c m (b d n 0) a c m a b d n b d n b
比例的性质
等比性质
复习 用数学语言默写出比例的三个性质
基本性质：如果
反比性质：如果
合比性质：如果
a c = b d c a = d b a = c d b
那么，ad=bc
b 那么 a
d = c
=
ab 那么 b
cd d
a c e ace a 如果 , 那么 成立吗? 为什么? b d f bd f b
2 探索： 当a b c 0时，k _______
当a b c 0时，k
-1 _________
a c e 2 3、 已知 b d f 3
，
2 2 2 质和等比的性质结合 2 a b d,e f a c 5 e ,c 2 3 3 (分式的基本性质 ） 3 起来解题非常方便。 2b d 5 f 3 2 2 2 2 a c 5e 2 b d 5 f 2a c 5 e 2 3 3 3 (等比的性质） 2 bd 5f 3 2 ( 2b d 5 f ) 3 2 a c 5e 2 2 18 点拨：遇到等比问题时，常设 1 8 31 2 3 辅助未知数比值K，题中的比
12×0.618≈7.5小时
年龄黄金分割点
0岁 100岁
100×（1－0.618）＝38.2岁
100－ 38.2 ＝61.8岁
快乐黄金分割点
宣泄 忍耐
＝ 0.618
四份宣泄，六份忍耐。
健康、快乐、魅力无限
一部分
另一部分
且2b-d+5f=18， 求2a—c+5e。 a c e 2 点拨：在处理等比问 解法一：∵ 题时将分式的基本性 b d f 3 解法二：由已知得：
3(2a c 5e) 18 2 2a c 5e 12
值为
2 ，利用这种方法思 3
路简捷。
面部黄金分割点
睡眠黄金分割点
a
c
e
──比例的等比性质.
x yz 1、已知 x : y : z 3: 5 : 7，求 x yz
2、已知 求
a c e 1 b d f 2
，且 b d f 0 。 的值。
ace bd f
bc ac ab 3、已知： k , 求k的值. a b c