高考数学复习、高中数学 空间直角坐标系与空间向量附答案解析

第8节 空间直角坐标系与空间向量

基础巩固题组 (建议用时：40分钟)

一、单项选择题

1.平面α的法向量为(1，2，－2)，平面β的法向量为(－2，－4，k )，若α∥β，则k 等于( ) A.2

B.－4

C.4

D.－2

2.在空间直角坐标系中，已知A (1，2，3)，B (－2，－1，6)，C (3，2，1)，D (4，3，0)，则直线AB 与CD 的位置关系是( ) A.垂直 B.平行

C.异面

D.相交但不垂直

3．在空间直角坐标系中，已知A (1，－2，1)，B (2，2，2)，点P 在z 轴上，且满足|P A |＝|PB |，则P 点坐标为( ) A ．(3，0，0) B ．(0，3，0) C ．(0，0，3)

D ．(0，0，－3)

4.已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都等于a ，点E ，F 分别是BC ，AD 的中点，则AE →·AF →的值为( ) A.a 2

B.1

2

a 2 C.1

4

a 2 D.34

a 2 5.如图，在空间四边形OABC 中，OA ＝8，AB ＝6，AC ＝4，BC ＝5，∠OAC ＝45°，∠OAB ＝60°，则OA 与BC 所成角的余弦值为( )

A.3－225

B.2－26

C.12

D.32

6.如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，棱长为a ，M ，N 分别为A 1B 和AC 上的点，A 1M ＝AN ＝

2a

3

，则MN 与平面BB 1C 1C 的位置关系是( )

A.斜交

B.平行

C.垂直

D.MN 在平面BB 1C 1C 内

二、多项选择题

7．已知ABCD －A 1B 1C 1D 1为正方体，则下列结论中正确的是( ) A. (A 1A →＋A 1D 1→＋A 1B 1→)2＝3A 1B 1→2； B.A 1C →·(A 1B 1→－A 1A →)＝0；

C.向量AD 1→与向量A 1B →的夹角是60°；

D.正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的体积为|AB →·AA 1→·AD →|. 8.已知点P 是平行四边形ABCD 所在的平面外一点，如果AB →＝(2，－1，－4)，AD →

＝(4，2，0)，AP →

＝(－1，2，－1)，则下列结论中正确的是( ) A. AP ⊥AB B. AP ⊥AD

C. AP →∥BD →

D.AP →

是平面ABCD 的法向量

三、填空题

9.已知AB →＝(1，5，－2)，BC →＝(3，1，z )，若AB →⊥BC →，BP →

＝(x －1，y ，－3)，且BP ⊥平面ABC ，则实数x ＋y ＝________.

10.正四面体ABCD 的棱长为2，E ，F 分别为BC ，AD 中点，则EF 的长为________. 四、解答题

11.方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是C 1C ，B 1C 1的中点.求证：MN ∥平面A 1BD .

12.如图所示，已知四棱锥P －ABCD 的底面是直角梯形，∠ABC ＝∠BCD ＝90°，AB ＝BC ＝PB ＝PC ＝2CD ，侧面PBC ⊥底面ABCD .证明：

(1)P A ⊥BD ；

(2)平面P AD ⊥平面P AB .

能力提升题组 (建议用时：20分钟)

13.有下列命题：①若p ＝x a ＋y b ，则p 与a ，b 共面；②若p 与a ，b 共面，则p ＝x a ＋y b ；③若MP →＝xMA →＋yMB →，则P ，M ，A ，B 共面；④若P ，M ，A ，B 共面，则MP →＝xMA →＋yMB →.其中真命题的个数是( ) A.1

B.2

C.3

D.4

14.如图，正方形ABCD 与矩形ACEF 所在平面互相垂直，AB ＝2，AF ＝1，M 在EF 上，且AM ∥平面BDE .则M 点的坐标为( )

A.(1，1，1)

B.⎝⎛

⎭

⎫23，23，1 C.⎝⎛

⎭⎫22，22，1 D.⎝⎛⎭

⎫24，24，1

15.如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，E ，F 分别是棱BC ，DD 1上的点，如果B 1E ⊥平面ABF ，则CE 与DF 的和的值为________.

16.如图，正△ABC 的边长为4，CD 为AB 边上的高，E ，F 分别是AC 和BC 边的中点，现将△ABC 沿CD 翻折成直二面角A －DC －B .

(1)试判断直线AB 与平面DEF 的位置关系，并说明理由；

(2)在线段BC 上是否存在一点P ，使AP ⊥DE ？如果存在，求出BP

BC 的值；如果不存在，请说

明理由.

第8节 空间直角坐标系与空间向量

1.C

2.B 3．C 4.C 5.A 6.B 7．AB 8.ABD 9.25

7

10. 2

11.证明 如图所示，以D 为坐标原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系.

设正方体的棱长为1，则

D (0，0，0)，A 1(1，0，1)，B (1，1，0)，M ⎝⎛⎭⎫0，1，12，N ⎝⎛⎭⎫1

2，1，1， 于是MN →＝⎝⎛⎭⎫12

，0，12，DA 1→＝(1，0，1)，DB →

＝(1，1，0). 设平面A 1BD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，

则n ·DA 1→＝0，且n ·DB →

＝0，得⎩

⎪⎨⎪⎧x ＋z ＝0，x ＋y ＝0.

取x ＝1，得y ＝－1，z ＝－1. 所以n ＝(1，－1，－1).

又MN →

·n ＝⎝⎛⎭⎫12

，0，12·(1，－1，－1)＝0， 所以MN →

⊥n .

又MN ⊄平面A 1BD ，所以MN ∥平面A 1BD .

12.证明 (1)取BC 的中点O ，连接PO ，△PBC 为等边三角形，即PO ⊥BC ， ∵平面PBC ⊥底面ABCD ，BC 为交线，PO ⊂平面PBC ， ∴PO ⊥底面ABCD .

以BC 的中点O 为坐标原点，以BC 所在直线为x 轴，过点O 与AB 平行的直线为y 轴，OP 所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示.

不妨设CD ＝1，则AB ＝BC ＝2，PO ＝ 3.

∴A (1，－2，0)，B (1，0，0)，D (－1，－1，0)，P (0，0，3). ∴BD →＝(－2，－1，0)，P A →

＝(1，－2，－3). ∵BD →·P A →＝(－2)×1＋(－1)×(－2)＋0×(－3)＝0， ∴P A →⊥BD →， ∴P A ⊥BD .

(2)取P A 的中点M ，连接DM ，则M ⎝⎛⎭⎫12

，－1，3

2.